2016年4月全国自考高等数学(工本)真题试卷(题后含答案及解析)

2016年4月全国自考高等数学（工本）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题
单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．直线z=1+2t，y=一1一t，z=2t的方向向量是( )
A．{2，一1，2}
B．{2，1，2}
C．{一1，1，0}
D．{1，一1，0}
正确答案：A
解析：直线x=1+2t，y=-1-t，z=2t可以转化为对称式方程，故直线的方向向量为{2，一1，2}．
2．设函数f(x，y)=h(x)g(y)在点(x0，y0)的某邻域内有定义，且存在一阶偏导数，则fy(x0，y0)= ( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
3．设积分区域D：x2+y2≤1，则二重积分f()dxdy= ( ) A．4πf(r)dr
B．2πrf(r)dr
C．2πf(r2)dr
D．2πF(r)dr
正确答案：B
4．微分方程+x2y=cosx是( )
A．可分离变量的微分方程
B．齐次微分方程
C．一阶线性齐次微分方程
D．一阶线性非齐次微分方程
正确答案：D
5．设无穷级数收敛，则在下列数值中p的取值为( ) A．
B．
C．1
D．2
正确答案：D
解析：收敛，故｜｜1，故本题选
D．
填空题请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．点P(3，2，0)到平面3x-2y+z+7=0的距离为________．
正确答案：3
解析：点P到平面3x-2y+z+7=0的距离d==3．
7．已知函数f(x，y)=，则f()=_____________．
正确答案：
解析：
8．设积分区域D：｜x｜≤a，｜y｜≤a，且二重积分=4，则常数a=__________．
正确答案：1
9．微分方程y”一y=e-3x的特解y*=___________．
正确答案：．
解析：已知微分方程y”一y=e-3x为二阶常系数线性非齐次微分方程，m=0，λ=一3，而对应齐次方程的特征方程为r2—1=0，解得r=±1，故λ不是该齐次方程的特征根，故可设原微分方程的特解为y*=a0e-3x，则y*’=一3a0e-3x，
y*”=9a0e-3x，代入原微分方程可得9a0e-3x一a0e-3x=e-3x，得a0=，故原微
分方程的特解为y*=e-3x．
10．已知无穷级数，则un=___________．
正确答案：
计算题
11．求过点C(一1，2，一4)并且垂直于平面2x-3y+z-6=0的直线方程．正确答案：因为直线方向向量S={2，一3，1}，所以，所求直线方程为
．
12．求曲线x=2t，y=t2，z=1+t3在对应于t=1的点处的法平面方程．
正确答案：对应于t=1的点为(2，1，2)，因为x’=2，y’=2t，z’=3t2，所以，对应于t=1的点处的法向量n={2，2，3}，从而所求法平面方程为2(x 一2)+2(y一1)+3(z一2)=0，即2x+2y+3z一12=0．
13．求函数z=e2x+3y的全微分dz．
正确答案：因为2e2x+3y，=3e2x+3y，所以dz=2e2x+3ydx+3e2x+3ydy=e2x+3y(2dx+3dy)
14．求函数f(x，y，z)=x2+2y2+3z2+xy一3x+2y一6z在点P(1，1，1)处的梯度gradf(1，1，1)．
正确答案：因为=2x+y--3，=4y+x+2，=6z一6，所以从而
gradf(1，1，1)={0，7，0}．
15．计算二重积分，其中D是由y=x，x=1及y=0所围成的区域．正确答案：
16．计算三重积分(1一x)dv，其中Ω是由曲面z=x2+y2和z=1所围成的区域．
正确答案：由对称性得xdv=0，所以
17．计算对弧长的曲线积分(2-2x2y+x)ds，其中C是从点A(一1，一1)到B(-1，2)的直线段．
正确答案：直线段C的方程为x=一1(一1≤y≤2)，ds=dy=dy，所以(2—2x2y+x)ds=(1—2y)dy=(y-y2)=0
18．计算对坐标的曲线积分(x—y)dx+xydy，其中C为直线y=x从点O(0，0)到点A(1，1)的线段．
正确答案：C的方程y=x，x从0变到1，所以
19．求微分方程的通解．
正确答案：分离变量后得e2ydy=exdx，两边积分得
，从而通解为e2y=ex+
C．
20．求微分方程y”+y’一6y=0的通解．
正确答案：特征方程为r2+r一6=0，特征根为r1=2，r2=一3，所以通解为y=C1e2x+C2e-3x．
21．判断无穷级数的敛散性．
正确答案：令，则，并且
收敛．
22．已知f(x)是周期为2π的周期函数，它在[一π，π)上的表达式为
求f(x)傅里叶级数
(ancosnx+bnsinnx)中系数a4．
正确答案：
综合题
23．某工厂生产的两种商品的产量x和y的利润函数为L(x，y)=64x+32y+4xy 一2x2一4y2+36求获得最大利润时两种商品的产量，并求最大利润．
正确答案：令解得x=40，y=24，
驻点唯一．并且L(40，24)=1700，故两种商品的产量分别为40和24时，获得最大利润为1700．
24．证明对坐标的曲线积分(20sin3x+2y)dx+(2x一14cosy)dy在整个xOy 面内与路径无关．
正确答案：令P(x，y)=20sin3x+2y，Q(x，y)=2x一14cosy，因为=2，
=2，且，所以，在整个xOy面内曲线积分与路径无关．25．将函数f(x)=展开为x的幂级数．
正确答案：。