2016高等数学B(一)考试试题

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2016高数期末B卷答案

同向的单位向量量是
（B ）
２．将３．设４．
５．设函数的周期为，在
上的定义为
级数在
处收敛于
三、计算题（8 分
分）
１．
２．
，求
，则的 Fourier
３．
4. 求
5．求二二次积分
6. 求三重积分
7. 验证在
样的一一个
。
8．求
是某一一函数
的全微分，并求出这
9. 求 10．
，其中。.
的上侧 .
教研室主任
出卷人人王凡
A.
B.
C.
D. 原点
２．向量量
（ C）
A.
B.
C.
D.
３．函数
A 充分非非必要条件； C.充分必要条件；
４．
Ａ．1 阶
Ｂ．2 阶
B.必要非非充分条件； D.既非非充分又又非非必要条件.
Ｃ. 3 阶Ｄ．4 阶
５．正项级数
收敛的充要条件为（ C ）
装
A.
B.
订
线
C.
D.
二二、填空题（2 分
分）
１．与
本试卷适应范围本科一一年年级
课程号 MATH2602
南京农业大大学试题纸
2015-2016 学年年第 2 学期课程名高高等数学
课程类型：必修试卷类型：B 学分 5
学号
姓名
班级
题号一一
二二
三
四
五
六
七
八八
九总分签名
得分
装
订
一一、单选选择题（2 分
线
１．曲面面
分）的旋转轴是（ B ）.

中国农业大学-高等数学期末考试试卷(附参考答案)

中国农业大学2015~2016学年秋季学期高等数学B （上）课程考试试题(A 卷)一、填空题（每小题3分，满分15分，请将答案填写在每题的横线上） 1. 011lim sin sin x x x x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭1-. 2.设()arctan f x =则(1)f '=14. 3. 若()()F x f x '=，则()d f x dx dx=⎰()f x . 4.x -=2π. 5．1lim 1n n nn →∞++=()213.二、选择题（每小题3分，满分15分，请将答案填写在每题的括号中） 1. 下列命题不正确的是【 A 】A. 若函数)(x f 在点0x 处连续,则)(x f 在点0x 处必可导B. 若函数)(x f 在点0x 处不连续,则)(x f 在点0x 处必不可导C. 若函数)(x f 在点0x 处可导,则)(x f 在点0x 处必连续D. 若函数)(x f 在点0x 处可导,则)(x f 在点0x 处必可微2.设111()1x x e f x e -=+，则0x =是()f x 的【 B 】．（A ）可去间断点；（B ）跳跃间断点；（C ）第二类间断点；（D ）连续点.3. 设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小，而sin nx x 是比()21x e -高阶的无穷小，则正整数n 等于【 B 】．（A ） 1 ；（B ）2；（C ）3；（D ）4.4. 设322,1,()3,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处的【 C 】．（A ）左、右导数都存在；（B ）左、右导数都不存在；（C ）左导数存在，但右导数不存在；（D ）左导数不存在，但右导数存在.5.广义积分1dx +∞⎰【 D 】．（A ）发散；（B ）收敛于2π；（C ）收敛于2π；（D ）收敛于π. 三、求下列极限（本题共2小题，每小题6分，满分12分）1．122lim 6x x x x -→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 解 1641246224lim lim 166x x x x x x x x x -+-⎛⎫-⋅-⋅ ⎪+⎝⎭→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭因为 644lim 1641lim 262x x x e x x x +-→∞→∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭-⎛⎫-⋅= ⎪+⎝⎭ 所以1222lim 6x x x e x -→∞+⎛⎫= ⎪+⎝⎭2．()220201lim .x t x e dt x →-⎰解()()22220020011lim lim (2)x x t t x x d e dt e dt dx d x x dx →→--=⎰⎰ ()224400211lim lim 2x x x x e e xx→→--==2408lim 1x x e x →⋅= 0.= 四、计算下列导数（本题共2小题，每小题6分，满分12分） 1.设21cos x t y t⎧=+⎨=⎩, 求22dx y d . 解2,dx t dt =sin ,dy t dt=- sin ;2dy t dx t-=222321cos sin 1sin cos .2241d dy d y t t t t t t dt dx dx t dx t tdt t ⎛⎫ ⎪--⎝⎭==-⋅=+2.设1(0)x y x x =>，求dy dx . 解先在等式两边取对数，=⋅1 ln ln y x x ()'⋅=-+=-2221111ln 1ln y x x y x x x所以()-'=-121ln x y x x五、计算下列积分（本题共2小题，每小题6分，满分12分） 1. 11xdx e +⎰ 解1111111x xx x x xx x e e dx dxe e e e dx dx d e e +-=++⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰1(1)1x x dx d e e =-++⎰⎰ ln(1).x x e C =-++ 2、设()220,x t t f x e dt -+=⎰求120(1)().x f x dx -⎰ 解：11123300011(1)()(1)()(1)()d 33x f x dx x f x x f x x '-=---⎰⎰213201(1)d 3x x x e x -+=--⎰ 212(1)12201(1)d(1)((1))6x x e x u x --+=---=-⎰令11001d (1)(2)666u ue e u e u u e e --==-+=-⎰ 六、（本题满分10分）证明当0x >时，有不等式1arctan .2x x π+> 证明设函数1()arctan ,0.2f x x x x π=+-> 则2211()0,1f x x x'=-<+因此()f x 在单调减少. 又lim ()0,x f x →+∞= 于是()1()arctan 00,2f x x x x π=+->>即1arctan (0).2x x x π+>>. 七、（本题满分10分）求曲线y =的一条切线l ，使得曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成图形的面积最小.解由y '=得曲线在点0(x 处的切线l 方程为：0),y x x =-即y x =所围面积为203S x dx ⎛=+-=+-⎭⎰13220012S x x --⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，532200134S x x --⎛⎫''=- ⎪⎝⎭.令0S '=，得01x =，又()1102S ''=>.故当01x =时，面积取极小值，由于驻点唯一，因此01x =是最小值点，此时切线l 的方程为11.22y x =+ 八、（本题满分8分）设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且(1)0f =，证明至少存在一点()ξ0,1∈，使得ξξξ2()().f f '=-. 证明只要证明ξξξ()2()0.f f '+=设ϕ2()().x x f x = 则ϕ()x 在[]0,1上满足罗尔定理条件，故至少存在一点()ξ0,1∈，使得ϕξξξξξ2()2()()0f f ''=+=，即ξξξ2()().f f '=- 九、（本题满分6分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()f x 的函数值都是有理数.已知(0)2f =，证明在[0,1]上()2f x ≡.证：由最值定理可知()f x 在[0,1]上有最大值M 和最小值m . 于是().M f x m ≥≥如果,M m >此时()f x 的值域为闭区间[,],m M 则存在无理数r ，满足,M r m >>，从而存在ξ[0,1]∈使得ξ()f r =. 这与函数的值都是有理数矛盾. 因此必有.M m =故在[0,1]上()2f x ≡。

高等数学考试试题及答案-昆明理工大学

e 3 x cos 2 x 3e 3 x 2 sin 2 x 3 （用洛必达法则） lim （4 分）；（7 分） x 0 x 0 2 cos 2 x sin 2 x 2
(2). lim
x
x
2
1 x 2 1 lim
2 x

2 x2 1 x2 1
五．证明题：（本题 5 分）设 f ( x) 为连续函数，证明： xf (sin x)dx
0

2 0
f (sin x)dx 。
昆明理工大学试卷标准答案
一．填空题：（本题总分 20 分，每小题 4 分） 1． (,4) (4,5) (5,6) (6,) ； 2． f ( x0 ) ； 3． F ( x a) F (2a) ； 4．0， 2 ； 5． x 2 y 2 C 。二．计算题：（本题总分 49 分，每小题 7 分） 1． (1). lim
2．设 f ( x) 在 x x0 处可导，则 lim
h 0
；
3．设 F ( x) f ( x) ，则 f (t a)dt
a
x
；
4．函数 f ( x)
e2x 1 的可去间断点为 x0 x( x 1)
，补充定义 f ( x0 )
，则函数
在 x 0 点连续。 5．方程 y
昆明理工大学考试试卷
课程名称（含档次）专业高等数学 B(一) 层次（本、专）本科课程代号考试方式（开、闭卷）闭卷
一．填空题：（本题总分 20 分，每小题 4 分） 1．函数 f ( x)
1 的定义域是 lg x 5
；
f ( x 0 2h) f ( x 0 ) 2h

2016年全国高中数学联赛（B卷）一试试题及答案

12016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为．的值为．2.设{}|12A a a =-££，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =Î+³的面积为．的面积为． 3.已知复数z 满足22z z z z +=¹（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为．的所有可能值的积为．4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为．的值为．5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．盒子的概率为．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为．的方程为．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为．所成角的余弦值为．8.设正整数n 满足2016n £，且324612n n n n ìüìüìüìü+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a 的值．的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ×+×=×（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．成立．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足：满足：（1）221,1,2,,2016k k x y k +== ；（2）122016y y y +++ 是奇数．是奇数．求122016x x x +++ 的最小值．的最小值．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <£三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，的重心，点点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ^^证明：AG 平分.PAQ Ð四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =Î¹求B 的元素个数的最小值．素个数的最小值．QGP D CBA2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为．的值为．答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.a a += 另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因又因()()()()()22252132********2223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=×+×+=+××+=+=+而240a a +>，从而24 6.a a +=2.设{}|12A a a =-££，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =Î+³的面积为．的面积为．答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为如图中阴影部分所示，其面积为 133227.2MRS MNPQ S S -=´-´´=正方形3.已知复数z 满足22z z z z +=¹（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为．的所有可能值的积为．答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+Î由22z z z +=知，知，222i 22i i,a b ab a b a b -+++=-比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ¹知0b ¹，从而有，从而有230,a +=即32a =-，进而23.2b a a =±+=±于是，满足条件的复数z 的积为3333i i 3.2222æöæö-+--=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为．的值为．答案：2016.解：由条件知解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +=++= ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知，结合①知，()()()()22400 2.f g f g --=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =´=另解：因为另解：因为()()391x f x g x x +=++， ① 所以所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以对称，所以()()2.f x f x =- ③又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x éù-++=-++ëû，从而，从而()()2 4.g x g x =--- ④ 将③、④代入①，再移项，得将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++ ⑤ 在⑤式中令0x =，得，得()()22 6.f g -= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．盒子的概率为．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为 223560.C P ´=过所求的概率为6012.12525p ==6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++-+=则直线l 的方程为．的方程为．答案：2450.x y -+=解：12,C C 的标准方程分别为的标准方程分别为()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++-=-由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a =->解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O -直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M æö-ç÷èø，由此可得直线l 的方程是2450.x y -+= 7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为．所成角的余弦值为．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OV的方向为,,x y z 轴的正向，建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V ---- 由条件知111112,,,,,222333M N æöæö--ç÷ç÷èøèø，因此，因此311442,,,,,.222333AM BN æöæö==-ç÷ç÷èøèø 设异面直线,AM BN 所成的角为q ，则，则 111cos .111122AM BNAM BNq ×-===×´V DN yxOzMCB A8.设正整数n 满足2016n £，且324612n n n n ìüìüìüìü+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．的最大整数．解：由于对任意整数n ，有，有135113,2461224612n n n n ìüìüìüìü+++£+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ等号成立的充分必要条件是()1mod12n º-，结合12016n ££知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =-= 共有168个．个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()m o d x y m º，则.x y m m ìüìü=íýíýîþîþ这是因为，当()mod x y m º时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++ìüéùéùéùéùìü=-=-=+-+=-=íýíýêúêúêúêúîþëûëûëûëûîþ因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n º时，时，11112222.2461224612n n n n n n n n ìüìüìüìüìüìüìüìü+++=+++íýíýíýíýíýíýíýíýîþîþîþîþîþîþîþîþ容易验证，当正整数满足112n ££时，只有当11n =时，等式324612n n n n ìüìüìüìü+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ才成立．而201612168=´，故当12016n ££时，满足324612n n n n ìüìüìüìü+++=íýíýíýíýîþîþîþîþ正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分）分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程是方程()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a 的值．的值．解对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.k ka a --=因此，5051lg ,lg a a 是一元二次方程210020t t --=的两个不同实根，从而的两个不同实根，从而 ()505150511lg lg lg ,100a aaa =+=即1100505110.a a =由等比数列的性质知，()501501001210050511010.a a a a a æö===ç÷èø10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ×+×=×（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．的最小值．解（1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB AC cb A +-×==同理得，222222,.22a c b a b c BA BC CA CB +-+-×=×= 故已知条件化为故已知条件化为 ()()22222222223,b c a a c b a b c +-++-=+-即22223.a b c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得）由余弦定理及基本不等式，得()2222222123cos 2222,36363a b a b a b c C ab ab a b a b b a b a +-++-===+³×=等号成立当且仅当::3:6: 5.a b c =因此cos C 的最小值为2.311.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．成立．解过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C 交于点()()2200,1,,1P a a Q a a ---（注意这里1a >），2l 与C 交于点()()001,0,1,0,R S -由条件知20000212a PQ R S -===，解得 2.a = 这意味着符合条件的a 只可能为 2.下面验证2a =符合条件．符合条件．事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，中有某条直线斜率不存在时，则可设则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设的斜率都存在，不妨设()()()121:2,:20,l y k x l y x k k=-=--¹注意这里1k ¹±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l 与C 只有一个交点）．联立1l 与C 的方程知，()222210,x kx ---=即()2222122210,kx k x k ----=这是一个二次方程式，其判别式为2440k D =+>．故1l 与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,R S 由弦长公式知，由弦长公式知，2222244112.11k k PQ k k k++=+×=×--用1k-代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k --+-+=×=---于是.PQ RS =综上所述，2a =为符合条件的值．为符合条件的值．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足：满足：（1）221,1,2,,2016k k x y k +== ；（2）122016y y y +++ 是奇数．是奇数．求122016x x x +++ 的最小值．的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k kx y k ££= 于是（注意0i x ³）()2016201620162016201622211111120162016.kkkk k k k k k k x xyy y =====³=-=-³-ååååå① 不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>£££ 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+£-£-åå若11m k k y m =>-å，并且201612015,k k m y m =+->-å令2016111,2015,mk k k k m y m a y m b ==+=-+-=-+åå则0,1,a b <<于是于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=-+--+=-+-ååå由条件（2）知，20161k k y =å是奇数，所以a b -是奇数，这与0,1a b <<矛盾．矛盾．因此必有11mk k y m =£-å，或者201612015,k k m y m =+-£-å则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=-£ååå于是结合①得201611.kk x=³å又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ========== 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++ 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <£证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<£是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<£是偶数，则,2A B n =Æ 的不超过k 的正约数的集合是.A B若结论不成立，我们证明.A B =对d A Î，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k £，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k £，即2d B Î，故.A B £反过来，对d B Î，设2d d ¢=，则|d n ¢，d ¢是奇数，又2kd k ¢£<，故,d A ¢Î从而.B A £ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，的重心，点点,P Q 在直线BD上，使得,.GP PC GQ QC ^^证明：AG 平分.PAQ Ð解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，点G 在线段AC 上．上．由于90GPC GQC Ð=Ð=，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知圆．由相交弦定理知QGP D CBAGMQPOD CBAPM MQ GM MC ×=× ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有故有1,2OC GC AG ==因此,G O 关于点M 对称．于是对称．于是.GM MC AM MO ×=× ②结合①、②，有PM MQ AM MO ×=×，因此,,,A P O Q 四点共圆．四点共圆．又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO Ð=Ð，即AG 平分.PAQ Ð四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =Î¹求B 的元素个数的最小值．素个数的最小值．解：先证明17.B ³考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．中没有负数．设1211a a a <<< 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ³>于是于是 1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ³情况二：A 中至少有一个负数．中至少有一个负数．设12,,,k b b b 是A 中的全部非负元素，12,,,l c c c 是A 中的全部负元素．不妨设中的全部负元素．不妨设 110,l k c c b b <<<£<<其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ³，故 6.k ³于是有于是有 111212,k k l k c b c b c b c b c b >>>>>>它们是B 中的110k l +-=个元素，且非正数；又有个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<<它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ³+=由此可知，17.B ³另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =-±±±±±-是个17元集合．元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。

2016年成人高考高数一真题及答案

2016年成人高等学校专升本招生全国统一考试真题高等数学（一）第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（1-10小题，每小题4分，共40分）1. limx→03sin x 2x =（） A.23 B.1 C. 32 D. 32. 若函数y =2x +sin x ,则y′=（）A.1−cos xB.1+cos xC. 2−cos xD.2+cos x3.设函数y =e x−2,则dy =（）A.e x−3dxB.e x−2dxC.e x−1dxD.e x dx4.设函数y =(2+x)3,则y′=（）A.(2+x)2B.3(2+x)2C. (2+x)4D.3 (2+x)45.设函数y =3x +1,则y′′=（）A.0B.1C.2D.36.d dx ∫e t dt x 0=( ).A.e xB. e x −1C.e x−1D.e x+17. ∫xdx =( ).A 、2x 2+CB 、x 2+C C 、12x 2+CD 、x +C 8. ∫2sin x dx =π20（）A. 12B. 1C.2D.39.设函数 z =3x 2y ，则ðz ðy =（）A.6yB.6xyC.3xD.3x 210.幂级数∑1n x n ∞n=1的收敛半径为（） A.0 B.1 C.2 D.+∞二、填空题（11-20小题，每小题4分，共40分）11. lim x→0(1+x )2x=12.设函数y =x 3，则y ′=13.设函数y =(x −3)4，则dy =14.设函数y =sin(x −2)，则y ′′=15.∫12x dx =16. ∫x 71−1dx =17. 过坐标原点与直线x−13=y+12=z−3−2 垂直的平面方程为 .18.设函数z =3x +y 2，则dz =19.微分方程y′=3x 2的通解为y =20.设区域D =*(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1+，则∬2dxdy = .三、解答题（21-28题，共70分）21.若函数f (x )= 在x =0处连续，求a .22. lim x→01−e x sin x23.求曲线y =x 3−3x +5的拐点24.计算∫(x −e x )dxsin xx ,x ≠0a ,x =025.设函数z=x2sin y+ye x，求∂z.∂x26.设D为曲线y=x2与直线y=x所围成的有界平面图形，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vdxdy,其中D为由曲线y=x2与直线y=1所围成的有界平面区27.求∬(x3+y)D域.28.求微分方程y′′−y′−2y=e x的通解。

高等数学b第一章试题及答案

高等数学b第一章试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = \sin(x) \)C. \( f(x) = x^3 \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：B2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = x^2 \) 的导数是：A. \( 2x \)B. \( x^2 \)C. \( \frac{1}{x} \)D. \( 2x^3 \)答案：A4. 积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果 \( \lim_{x \to 2} f(x) = 3 \)，那么 \( \lim_{x \to 2} (2f(x) - 1) \) 的值是 ________。

答案：52. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的导数是 ________。

答案：\( 3x^2 - 3 \)3. 函数 \( f(x) = e^x \) 的不定积分是 ________。

答案：\( e^x + C \)4. 级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是一个________。

答案：收敛三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数 \( f(x) = \ln(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。

答案：切线方程为 \( y = x - 1 \)。

2. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} e^x dx \)。

高等数学b试题及答案

高等数学b试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) (2x+1)dx的值。

A. 3/2B. 5/2C. 2D. 1答案：B3. 求极限lim(x→0) [sin(x)/x]。

A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A4. 判断级数∑(n=1,∞) (1/n^2)的收敛性。

A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 交错收敛答案：A5. 设矩阵A=(aij)为3阶方阵，且|A|=-2，求A的行列式。

A. -2B. 2C. 4D. -4答案：A6. 判断函数y=x^2-6x+8在区间[2,4]上的单调性。

A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在x=2处取得最小值，则c的值为________。

答案：42. 设函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值。

答案：1/x3. 计算二重积分∬(D) xy dxdy，其中D为区域x^2+y^2≤4。

答案：8/34. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求数列的通项公式。

答案：an=2^(n-1)三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+1的极值点。

解：首先求导f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。

经检验，x=1为极小值点，x=-1为极大值点。

2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2-2x+1)dx。

解：∫(0,2) (3x^2-2x+1)dx = [x^3-x^2+x](0,2) = (8-4+2) - (0-0+0) = 6。

3. 求极限lim(x→∞) [(x^2+3x+2)/(x^2-x+1)]。

高数B(上)试题及答案1

高数B(上)试题及答案1第一篇：高数B(上)试题及答案1高等数学B（上）试题1答案一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”）（× ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （× ）2. 闭区间上的间断函数必无界. （√ ）3. 若f(x)在某点处连续，则f(x)在该点处必有极限. （× ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （√ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（× ）6. y f(x)在点x0连续，则y f(x)在点x0必定可导. （× ）7. 若x0点为y f(x)的极值点，则必有f(x0)0. （× ）8. 若f(x)g(x)，则f(x)g(x).二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设f(x1)x，则f(3)16. 2．limxsinx21＝x1。

x112x 3.lim xsin sinx x xx x1e2. 4. 曲线x6y y在(2,2)点切线的斜率为2323. 5．设f(x0)A，则limh0f(x02h)f(x03h)＝h05A. 6. 设f(x)sinxcos31,(x0)，当f(0)x1处有极大值.时，f(x)在x0点连续. 7. 函数y x3x在x8. 设f(x)为可导函数,f(1)1，F(x)f三、计算题（每题6分，共42分）12f(x)，则F(1)x 1. (n2)(n3)(n4) . 3n5n(n2)(n3)(n4)解： limn5n31．求极限lim234lim111（3分） n n n n1（3分）x xcosx2. 求极限 lim. x0x sinxx xcosx解：limx0x sinx1cosx xsinx（2分）limx01cosx2sinx xcosx（2分）limx0sinx33. 求y(x1)(x2)2(x3)3在(0,)内的导数. 解：lny ln(x1)2ln(x2)3ln(x3)，y123y x1x2x3，故y(x1)(x2)2(x3)3123x1x2x34. 求不定积分2x11x2dx. 解：2x11x2dx11x2d(1x2)11x2dxln(1x2)arctanx C5. 求不定积分xsinx2dx. 解：xsinx2dx12sinx2d x212cosx2 C6．求不定积分xsin2xdx. 解：xsin2xdx12xsin2xd(2x)12xdcos2x12xcos2x cos2xdx2分）（2分）（2分）（2分）（3分）（3分）（3分）（3分）（2分）（2分）（11xcos2x sin2x C（2分）247. 求函数y sinx cosx的导数. 解：lny cosxlnsinx （3分）y sinx cosx1cot2x lnsinx（3分）四、解答题（共9分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌2022的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大. 解：设垂直于墙壁的边为x，所以平行于墙壁的边为2022x，所以，面积为S x(2022x)2x2022（3分）由S4x2022，知（3分）当宽x5时，长y2022x10，（3分）面积最大S51050（平方米）。

大学数学2015-2016(1) 微积分B(1) 练习题参考答案

x x 0 x 0 x 0 x 0
而 f (0) a, 故要使 lim f ( x) lim f ( x) f (0) ，须且只须 a 1 .
x 0 x 0
所以当且仅当 a 1 时，函数 f ( x) 在 x 0 处连续．（2）因为 lim f ( x) lim
5 t
1 t lim 1 t t
5
e 5 . e
1 2x
（13）因为 (1 2 x)
(1 2 x) lim e
x 0
x 1 6 2 x sin x
e
1
x 1 6 ln(1 2 x ) 2 x sin x
3 2
所以方程 x 4 x 1 0 在 (0,1) 内至少有一个根.
3 2
（2）设 f ( x ) e 3 x ，则 f ( x ) 在 [0,1] 上连续，
x
且 f ( 0) 1 0, f (1) e 3 0 ，故由零点定理知方程在 (0,1) 内至少有一个根.
x 0
所以， lim f ( x) 0 ，且 f (0) 0 ，因此，函数在 x 0 处连续．
x 0
f ( x) f (0) f ( x) f (0) 1 ， f ' (0) lim 1 ， x 0 x 0 x0 x0 所以函数在 x 0 处可导． f ' (0) lim
18、 y
1 2 1 x ，所以 y ( 4 ) x 2 2 2
1
1
x4

1 ， 4
所以切线方程为 y 2
1 ( x 4) ，法线方程为 y 2 4( x 4) ． 4

高等数学(B)1

内蒙古广播电视大学2015-2016学年度第一学期《高等数学（B）1》期末试题4分，共20分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋──────的定义域为_________√１－ｘ2 _______________。

２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx 上点（０，１）处的切线方程是______________。

ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ’（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────——h→o h＝ _____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。

ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。

１－ｘ4二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，每小题2分，共10分）1１．设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－──②１＋──③────④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ’（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ’(x)＝Ｇ’(x)，则（）①Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数②Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ密封线内不要写参考内容三、计算题（每小题6分，共30分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／──────求ｙ’。

高数B(上)试题及答案

高等数学B （上）试题1答案一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”）（ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界.（ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡.二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2)1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sinx x x→∞＝1。

3.112lim sin sin xx x x x x x x →∞⎡⎤+⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21e +.4. 曲线326y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为23.5．设0()f x A '=，则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--＝5A.6. 设1()sin cos,(0)f x x x x=≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续.7. 函数33y x x =-在x =1-处有极大值.8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，21()()F x f f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则=')1(F 1.三、计算题（每题6分，共42分）1．求极限 3(2)(3)(4)lim5n n n n n→+∞+++ . 解： 3(2)(3)(4)lim 5n n n n n →+∞+++234lim 111n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3分）1= （3分）2. 求极限 0cos lim sin x x x xx x →--.解：0cos lim sin x x x xx x→--01cos sin lim1cos x x x xx →-+=- （2分） 02sin cos limsin x x x xx→+= （2分） 3= （2分）3. 求23(1)(2)(3)y x x x =+++在(0,)+∞内的导数.解：ln ln(1)2ln(2)3ln(3)y x x x =+++++，（2分）123123y y x x x '=+++++，（2分）故23123(1)(2)(3)123y x x x x x x ⎛⎫'=+++++ ⎪+++⎝⎭（2分） 4. 求不定积分221d 1x x x ++⎰.解：221d 1x x x ++⎰22211d(1)d 11x x x x=++++⎰⎰ （3分） 2ln(1)arctan x x C =+++ （3分）5. 求不定积分2sin d x x x ⎰.解：2sin d x x x ⎰()221sin d 2x x =⎰ （3分） 21cos 2x C =-+ （3分）6．求不定积分sin 2d x x x ⎰. 解：sin 2d x x x ⎰11sin 2d(2)dcos222x x x x x ==-⎰⎰ （2分） ()1cos 2cos2d 2x x x x =--⎰ （2分）11cos 2sin 224x x x C =-++ （2分）7. 求函数()cos sin xy x =的导数.解：ln cos ln sin y x x = （3分）()()cos 12sin cotlnsin x y x x x +'=- （3分）四、解答题（共9分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x ，所以平行于墙壁的边为202x -，所以，面积为2(202)220S x x x x =-=-+，（3分）由4200S x '=-+=，知（3分）当宽5x =时，长20210y x =-=，（3分）面积最大51050S =⨯=（平方米）。

高数b第一章测试题及答案解析

高数b第一章测试题及答案解析一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=1处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 4答案：B解析：根据导数的定义，f'(x)=2x，所以f'(1)=2。

2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B解析：利用洛必达法则，分子分母同时求导得到lim(x→0)(cos(x)/1)=cos(0)=1。

3. 定积分∫(0,1)x^2dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A解析：根据定积分的计算公式，∫(0,1)x^2dx=(1/3)x^3|(0,1)=(1/3)(1)^3-(1/3)(0)^3=1/3。

4. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的极值是：A. 最大值B. 最小值C. 无极值D. 不确定答案：B解析：首先求导数y'=3x^2-3，令y'=0，解得x=1或x=-1。

再求二阶导数y''=6x，将x=1代入得y''(1)=6>0，说明x=1处为最小值。

5. 曲线y=x^3+2x-3在点(1,0)处的切线斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：求导数y'=3x^2+2，将x=1代入得y'(1)=3+2=5。

6. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^xB. e^x + CC. x*e^xD. x*e^x + C答案：B解析：根据积分公式，∫e^x dx = e^x + C。

二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-6x+8的极值点是__。

答案：x=2解析：求导数f'(x)=3x^2-6，令f'(x)=0，解得x=±√2，再求二阶导数f''(x)=6x，将x=2代入得f''(2)=12>0，说明x=2处为极小值点。

2016年高等数学真题及答案

广东省2008年普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）1、下列函数为奇函数的是A. x x -2B. x x e e -+C. xx e e -- D. x x sin2、极限()xx x 101lim -→+=A. eB. 1-e C. 1 D.-1 3、函数在点0x 处连续是在该点处可导的A.必要非充分条件B. 充分非必要条件C.充分必要条件D. 既非充分也非必要条件 4、下列函数中，不是x xe e 22--的原函数的是A.()221x x e e -+ B. ()221x x e e -- C. ()x x e e 2221-+ D. ()x x e e 2221-- 5、已知函数xy e z =，则dz =A. ()dy dx e xy +B. ydx +xdyC. ()ydy xdx e xy +D. ()xdy ydx e xy + 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6、极限xx x e e x-→-0lim= 。

7、曲线y=xlnx 在点（1，0）处的切线方程是= 。

8、积分()⎰-+22cos sin ππdx x x = 。

9、设y e v y e u x x sin ,cos ==，则xvy u ∂∂+∂∂= 。

10、微分方程012=+-xx dx dy 的通解是。

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11、计算xx xx x sin tan lim--→。

12、求函数2)2(43)(+--=x x x f 在区间[-1，2]上的最大值及最小值。

13、设参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==-ttet y ex 2确定函数y=y(x)，计算dx dy 。

14、求不定积分⎰++dx xxx cos 1sin sin 2。

15、计算定积分⎰+dx x )1ln(210。

高等数学B(一)

高等数学B(一)课程简介高等数学主要内容为微积分学，微积分学是现代数学的重要基础与起点，它不仅在物理、力学、化学、生物等自然科学领域中已有非常广泛的应用，近几十年来它已应用于社会、经济、人文等领域，成为这些领域的一个重要的研究工具。

微积分学起源于资本主义工业革命，工业的发展要求精确刻画各种运动—机械运动、天体运动、流体与气体运动等等的规律性，为此作为研究变量的高等数学-微积分学诞生了，十七世纪牛顿、莱不尼兹建立了微积分学，又经过一个半多世纪才形成现在应用的微积分学的体系。

经济学与现代数学关系密切，据统计自1969年起建立的诺贝尔经济学奖的得主有半数以上得益于有效的应用现代数学，因此作为现代数学基础的微积分学也是经济学专业一门重要基础课。

作为研究变量数学的微积分学不同于以研究常量为主的初等数学，在学习方法上要注意它的特点。

教学内容课程分（一）（二）两部分，共十五章，分别学习两个学期，每学期16周，平均二周左右学习一章。

第一部分绪论笫一章函数常量与变量函数概念函数表示的多样性反函数复合函数函数一些特性描述笫二章极限与连续极限概念的直观叙述极限性质函数连续性夹逼定理单调函数极限两个基本极限无穷小比较极限概念的严格叙述笫三章导数与微分导数概念导数四则运算复合函数求导高阶导数微分概念与运算笫四章微分学基本定理及其应用微分学基本定理（费尔马定理、罗尔拉格朗日哥西微分中值定理）罗必达法则泰勒公式函数单调性与凸凹性判别函数极值与最值函数渐近线函数作图笫五章不定积分不定积分的概念与性质换元积分法分部积分法有理函数不定积分三角有理式不定积分笫六章定积分定积分概念与性质微积分学基本定理定积分换元法与分部积分法定积分应用广义积分笫七章向量代数与空间解折几何7．1向量代数7．2空间的平面与直线7．3二次曲面7．4曲面方程与曲线方程笫八章多元函数微分学多元函数偏导数与全微分复合函数微分法8．4方向导数与梯度隐函数存在性与微分法二元泰勒公式极值与条件极值教材与参考书龚德恩主编《经济数学基础》第一分册微积分（第五版）四川人民出版社（2015）高等数学李忠周建莹编着北京大学出版社高等数学（物理类）文丽吴良大编着北京大学出版社数学分析简明教程邓东皋尹小霖编着，高等教育出版社教学安排大课-----每周2次4学时，共16周64学时作业----每周交1次，批改记成绩。

16级高数B(上)(A)试题解答

3．
首先，转化为求自然对数的极限
lim
x
ln
e
1
x3
1
1
x3
2
x3
1 2
。
所以，原极限
1
e2
。
4． ln y 1 1 ln x 1 ln cos x ， 2x 4 8
y y
1 2x2
1 4x
1 8 cos
x
( sin
x)
，
1
y
y
1 2x2
1 4x
1 8
tan
x
。
5.
原式
sin2 x cos2 x dx
A=
A* 2
1
3 1 1
2 1 0
1 1 。 1
若| A|=2，
3 2 1
A
1
1
1
。
1 0 1
六．
1．
0 x ， 0 tan x 1，所以
4 x tan xdx
4
xdx
2
。
4
0
0
32
2．
4
(x tan
x
tan
x)dx
8
(
x) tan xdx
0
8
08
0
n!
(2n 1)！ n
0
1 ! 1! n!
n！ n! 。
(2n 1)！
(依次消去对角线下方元素)
0!
n
D k! k 0
0
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n！
n!
n
(k !)2 。
k 0
n！
2． xi ， 0 i k 1，
m0,0