【高职高考】【代数】第二章集合和简易逻

第二章 集合和简易逻辑

【学习内容】 1.集合及其运算 2.数理逻辑用语

【学习要求】

1.理解集合、元素及其关系，理解空集的概念.

2.掌握集合的表示法及子集、真子集、相等之间的关系.

3.理解交集、并集和补集等运算

4.了解充要条件的含义

§2.1 集合

一、集合的基本概念

1.集合及其有关基本概念

集合：把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合.一般用大写字母,,A B C L 表示. 2.元素：

集合里的各个对象叫做集合的元素，一般用小写字母,,a b c L 表示. 3.元素与集合的关系: 对于一个给定的集合，它和它的元素之间的关系是整体和个体的关系，即集合包含它的每一个元素;它的每一个元素都包含在集合中.于是把a 是集合A 的元素，记作a A ∈，读作“a 属于A ”；把a 不是集合A 的元素，记作a A ∉，读作“a 不属于A ”. 4.有限集：

含有有限个元素的集合叫做有限集

无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集 空集：不含任何元素的集合叫做空集.记作∅ 5.常见的几种数集

自然数集：全体自然数的集合叫做自然数集，通常记作N

整数集：全体整数的集合叫做整数集，通常记作Z （全体正整数的集合通常记作*

N 或N +） 有理数集：全体有理数的集合叫做有理数集，通常记作Q 实数集：全体实数的集合叫做实数集.通常记作R

区间的概念

设a b 、是两个实数，并且a b <，那么：

用不等式a x b <<表示的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ； 用不等式a x b ≤≤表示的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ；

用不等式a x b ≤<，a x b <≤表示的实数x 的集合都叫做半开半闭区间，分别表示为[,),(,]a b a b .

特别地，全体实数的集合R 表示为(,)-∞+∞，“+∞”读作正无穷大，“-∞”读作负无穷

大

不等式x a >可表示为(,)a +∞，不等式x a ≥可表示为[,)a +∞ 不等式x b <可表示为(,)b -∞，不等式x b ≤可表示为(,]b -∞

不等式的解集和函数的定义域、值域等，也可以用区间表示.

二、集合的表示法

1）列举法

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，如{1,2,3,4,5}

注意：用列举法表示集合时，列出的元素要求不遗漏、不增加、不重复，但与元素的列出顺序无关. 2）描述法

把集合中的元素的共同属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，如{|2}x x > 一般先在大括号内左端写出元素的一般形式（常用字母x 、y 等表示），然后画一条竖线，在竖线右边列出集合的元素的公共属性

注意：用描述法表示集合时，有时可省去竖线及元素的一般形式.如“所有三角形”组成的集合可写成{三角形}

3）图示法有时也可以用圆圈或方框表示集合（如图）

三、集合与集合的关系

1.子集

对于两个集合A 与B ,如果集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合B 叫做集合A 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇，读作B 包含于A ,或A 包含B . 子集的性质：

1） 任何一个集合A 是它本身的子集：A A ⊆,因为集合A 的任何一个元素都是属于集合A

本身；

2） 空集是任何一个集合A 的子集：A ∅⊆；

3） 对于集合A B C 、、如果,A B B C ⊆⊆,则A C ⊆ 2.真子集

如果集合B 是集合A 的子集，并且A 中至少有一个元素不属于B ，那么集合B 叫做集合A

的真子集，记作B ≠⊂A 或A ≠⊂B 真子集的性质：

1）空集是任何一个非空集合A 的真子集，即∅≠⊂A

2）对于集合A B C 、、如果A ≠⊂B ,B ≠⊂C ,则A ≠⊂C

常见的几种数集的关系：N ≠⊂Z ,Z ≠⊂Q ,Q ≠⊂R

3.集合相等

对于两个集合A 与B ,如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么就说集合A 与集合B 相等，记作A B =,事实上，当A 与B 所含元素完全相同时，集合A 与B 相等. 例如若2{1,1},{|10}A B x x =-=-=，则A B =

例1用适当的符号（,,,,∈∉=⊆⊇≠⊂，≠⊃）填空

（1）{1}_______{1,2,3}; （2）1_______{1,2,3}; （3）0_______∅; （4）0_______{0}; （5）{1,2,3}_______{2,1,3}; （6）{,}a b _______{};a

解析：,∈∉是用来表示元素与集合之间的关系的，,,=⊆⊇≠⊂，≠⊃是用来表示集合与集合之间的关系的.

（1）{1}与{1,2,3};都是集合，集合{1}的元素1属于集合{1,2,3}，但集合{1,2,3}里的元素

2,3不属于集合{1}，集合{1}是集合{1,2,3}的真子集，应填≠⊂.

（2）1是元素，{1,2,3}是集合，且1是集合{1,2,3}里的元素.所以应填∈ （3）0是元素，∅是集合，且∅不含任何元素，所以0不属于∅.应填∉

A

（4）元素0是集合{0}的元素，所以0属于集合{0}.应填∈

（5）集合{1,2,3}与集合{2,1,3}的元素相同，所以集合{1,2,3}与集合{2,1,3}相等，应填= （6）集合{}a 是集合{,}a b 的真子集，应填≠⊃.

四、集合的运算

1. 交集

由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ,

读作A 交B ，即

{|}A B x x A x B =∈∈且 交集的性质 1）A A A = 2) A ∅=∅ 3) A B B A =

2. 并集

由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ,

读作A 并B ，即

{|}A B x x A x B =∈∈或 并集的性质 1）A A A = 2) A A ∅=

3) A B B A =

3. 全集与补集

全集

在研究某些集合与集合之间的关系时，如果这些集合都是某一给定集合的子集，则这个给定的集合叫做全集，用符号U 表示.这就是说，全集含有所要研究的各个集合的全部元素. 全集是相对于所讨论的问题而言的，一个集合在一定条件下是全集，在另一条件下就可能不是全集 补集

如果已知集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的元素构成的集合，叫做集合A 在

全集U 中的补集，记作：U A ð,读作

A 在U 中的补集，简读作A 的补集.即 {|}U A x x U x A

=∈∉且ð

A B A B I A B

A B U A

U A ð