2019哈三中二模理科数学题及答案

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黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三第二次模拟数学(理)试题含答案

2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数iai+-21(R a ∈,i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a 的值为 A ．1B ．-1C ．3D ．-32．若{}{}0,1,2,|2,a A B x x a A ===∈，则A B =A ．{0,1,2}B. {0,1,23}，C. {0,1,24}，D. {1,24}，3. 向量(2,),(1,3)==-a t b ，若b a,的夹角为钝角，则t 的范围是A ．t<32B ．t>32C ．t<32且t ≠6- D ．t<6- 4．双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于 A ．552 B ．54C ．52D ．554 5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6．已知某个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 A ．3560B ．200C ．3580D ．2407. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x =3π对称的函数是 A ．2sin(2)3=+y x πB ．2sin(2)6=-y x πC ．2sin()23=+xy πD ．2sin(2)3=-y x π8．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ．i i ,i S S ,i 2120=-=≤C ．1220+==<i i ,SS ,iD ．1220+==≤i i ,SS ,i 9．已知α是第二象限角，且sin(53)-=+απ，则tan2α的值为 A ．54B ．723-C ．724-D ．924-10．P 为圆C 1：229x y +=上任意一点，Q 为圆C 2：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为 A ．2513B ．53C ．π2512 D ．π5311．已知抛物线x 2=4y 焦点为F,经过F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),点A,B 在抛物线准线上的射影分别为A 1,B 1,以下四个结论：①x 1x 2=4-, ②AB =y 1+y 2+1 , ③11FB A ∠=2π,④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2 其中正确的个数为A ． 1 B. 2 C. 3 D. 412．已知函数ax xe xf x -=)(，),0(∞+∈x ，当12x x >时，不等式1221)()(x x f x x f <恒成立，则实数a 的取值范围为A ．],(e -∞B ．),(e -∞C ．)2,(e-∞ D ．]2,(e -∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=c=7，且ΔABC 的面积为233，b a +的值为 . 14．在三棱锥S —ABC 中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13， SB=29，则异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为__________.15．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)，则f(n)＝________.16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是A （0，0，B 0，0），C （0，1，0），D 1，则该四面体的外接球的体积为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)设数列{}n a 满足2311+=+n n a a ，41=a (1) 求证{}3n a -是等比数列，并求n a ;(2) 求数列{}n a 的前n 项和n T .18．(12分)为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三上学期第二次调

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三上学期第二次调研考试数学（理）试题考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知为虚数单位，则复数的虚部是A. B. C. D.2. 已知角的终边经过点，则A ．B ．C ．D ．3. 若，则A ．B ．C ．D ．4. 已知命题：函数的图象与函数的图象关于直线对称，命题：函数的图象与函数的图象关于直线对称，则下列命题中为真命题的是A ．B ．C ．D ．5. 函数21()cos 4f x x x =++（）的最大值为 A ． B ． C ． D ．6. 若函数在上是增函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．7. 将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得曲线上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为A ．B ．C ．D ．8. 函数满足：对任意的实数都有，且,，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++的值为A ．B ．C ．D ．9. 如下图所示的程序框图输出的结果是A ．B ．C ．D ．10. 函数()21()ln 2x f x x e -=+-的图象大致是A ．B ．C ．D ．11. 已知定义在上的偶函数在是单调递增的，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．12. 若存在，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13. 函数)65(log )(221+-=x x x f 的单调递增区间为．14. 已知幂函数()()2242+1m m f x m x --=在上单调递减，则函数的解析式为．15. 已知函数（）的最小正周期为，为图象的对称轴，则函数在区间上零点的个数为．16. 已知且对任意的恒成立，则的最小值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本题10分）已知，．（1）求的值；（2）求的值．18.（本题12分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =-+．（1）求函数的单调递减区间；（2）设图象与图象关于直线对称，求时，的值域．19. （本题12分）已知，．（1）当时，解不等式；（2）若时恒成立，求实数的取值范围．20. （本题12分）平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为 2c o s 4c o s 0ρθθρ+-=．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知曲线和曲线交于两点，求的值．21. （本题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点，为内一点，过点的直线交椭圆于、两点，，．为坐标原点，当时，．（1）求椭圆的方程；（2）求实数的取值范围．22. （本题12分）设函数()2()33x f x e x ax a R =+-+∈．（1）当时,求函数的单调区间；（2）,恒成立,求最大的正整数的值；（3）且，证明: 22(1)(1)(3)(1)(3)(1)0x y e x e y x x x y y y -+-+--+--≥．参考答案第I卷（选择题，共60分）一．选择题CCBAA,DDDCA,AB第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题13. 14.15. 2 16.3三．解答题17.（1）；（2）18. （1）每一个25[2,2],()33k k k Zππππ++∈；（2）19. （1）或；（2）20. （1），；（2）21. （1）；（2）22. （1）单调递减，单调递增；（2）易求，所以的最大正整数值为8；（3）证明略.。

黑龙江省哈三中2019届高三下学期第二次高考模拟数学(理)

y 1 a sin
24．（本题满分 10 分）选修 4— 5 不等式选讲
已知函数 f (x) | x a |.
（ I ）若 f （ x） ≤ｍ的解集为 {x| — 1≤ x≤）５，求实数 a， m 的值；（ II ）当 a=2 且 0≤t<2 时，解关于 x 的不等式 f（ x）+t≥ｆ（ x+2 ）．
A ． {1}
B． {1 ，2}
C． {2}
1 D ． { ,2 }
2
7．已知二项式 (2 x
1 )n 展开式中的第 5 项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为 x
A．1
B． 32
C． 64
D ． 128
8．一只蚂蚁从正方体 ABCD — A 1B2C1D 1 的顶点 A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶
已知（ I ）求 f （ x）的最大值及取到最大值时相应的
x 的集合； -
（ II ）若函数 y f ( x) m在区间 [0, ] 上恰好有两个零点，求实数 2
m 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， △ ABE 为等腰三角形， AE=BE ，平面 ABCD ⊥平面
8
1
A．
2
1
B．
3
1
C．
4
1
D．
5
4．如果执行右面的程序框图，那么输出的
S为
A ． 96
B． 768
C． 1 536
D． 768
D．9 D ．第四象限
· 1·
5．已知 a， b， l ，表示三条不同的直线， , , 表示三个不同的平面，有下列四个命题：

2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(理科)-解析版

2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.设集合A={-1，0，1}，B={x|2x＞2}，则A∩B=（）A. B. C. D.3.若x，y满足不等式组，则z=2x-3y的最小值为（）A. B. C. D.4.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），若e=p，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）A. B. C. D.6.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2，a7=15，则{a n}的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.运行如图程序，则输出的S的值为（）A. 0B. 1C. 2018D. 20178.已知函数f（x）=ln（x+1）-ax，若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，则实数a的值为（）A. B. C. 1 D. 29.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AB1D=，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=cos x-sin x在（0，α）上是单调函数，且f（α）≥-1，则α的取值范围为（）A. B. C. D.11.已知半圆C：x2+y2=1（y≥0），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ=，则t的取值范围是（）A. B.C. D.12.在边长为2的菱形ABCD中，BD=2，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角B-AC-D的余弦值为，则所得三棱锥A-BCD的内切球的表面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知cosα=-，则cos2α=______．14.在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为______（用数字作答）．15.已知函数f（x）是奇函数，且0≤x1＜x2时，有＜1，f（-2）=1，则不等式x-3≤f（x）≤x的解集为______．16.已知数列{a n}的前n项和S n满足，S n=3a n-2，数列{na n}的前n项和为T n，则满足T n＞100的最小的n值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且S=bc cos A，C=．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若c=，求S的值．18.如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，PA⊥BD，AB=2，PA=PD=CD=BC=1．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．19. 某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间2×2并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，（i ）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii ）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：K 2=，其中n =a +b +c +d临界值表20. 已知O 为坐标原点，椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（-c ，0），F 2（c ，0），过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交所得的弦长为3，直线y =- 与椭圆C 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l ：y =k （x +c ）与椭圆C 相交于E ，D 两点，使得（）＜1？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由！21. 已知函数f （x ）=e x-ax ．（Ⅰ）若函数f （x ）在x ∈（，2）上有2个零点，求实数a 的取值范围．（注e 3＞19）（Ⅱ）设g （x ）=f （x ）-ax 2，若函数g （x ）恰有两个不同的极值点x 1，x 2证明：＜．22. 已知曲线C 1的参数方程为（α为参数），P 是曲线C 1上的任一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，线段PQ 的中点的轨迹为C 2．（Ⅰ）求曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l ：sinθ-cosθ=交曲线C 2于M ，N 两点，求|MN |．23. 已知函数f （x ）=|x -2|．（Ⅰ）解不等式f （x ）+f （2x +1）≥6；（Ⅱ）对a +b =1（a ，b ＞0）及∀x ∈R ，不等式f （x -m ）-（-x ）≤恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.【答案】A【解析】解：B={x|x＞1}；∴A∩B=∅．故选：A．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义．3.【答案】D【解析】解：画出x，y满足不等式组表示的平面区域，如图所示；平移目标函数z=2x-3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）当目标函数过点A时，z取得最小值，∴z的最小值为2×2-3×3=-5．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.【答案】A【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p=2，又e=p，所以e==2，可得c2=4a2=a2+b2，可得：b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y=±．故选：A．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，抛物线的简单性质的应用．5.【答案】B【解析】解：图标第一部分的面积为8×3×1=24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32=9π，图标第三部分的面积为π×22=4π，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B．以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，若S4=3S2，a7=15，则4a1+6d=3（2a1+d），a1+6d=15，解可得a1=3，d=2；故选：B．根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，分析可得4a1+6d=3（2a1+d），a1+6d=15，解可得d的值，即可得答案．本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2017+（sin +sin）+（sin +sin）+…+（sin +sin）的值，可得：S=2017+（sin +sin）+（sin +sin）+…+（sin +sin）=2017．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】B【解析】解：f （x）的定义域为（-1，+∞），因为f′（x）=-a，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，可得1-a=2，解得a=-1，故选：B．求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．9.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=a，则A（1，0，0），D（0，0，0），B1（1，a，1），=（-1，-a，-1），=（0，-a，-1），∵∠AB1D=，∴cos==，解得a=，B1（1，，1），B（1，0），C1（0，，1），=（0，），=（-1，0，1），设直线AB1与BC1所成角为θ，则cosθ===．∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与BC1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cosx-sinx=2cos（x+）在（0，α）上是单调函数，∴+α≤π，∴0＜α≤．又f（α）≥-1，即 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，∴α∈（0，]，故选：C．利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，由此可得α的取值范围．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|=|t|，由于BP与x轴垂直，且∠BPQ=，则在Rt△PBT中，|BT|=|PB|=|t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值-，则t取得最小值-，t=0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为[-，0）]；故选：A．根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT|=|PB|=|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：如下图所示，易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC，BN⊥AC．所以，∠BND是二面角B-AC-D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，可得BO⊥平面ACD．因为在△BDN中，，所以，BD2=BN2+DN2-2BN•DN•cos∠BND=，则BD=2．故三棱锥A-BCD为正四面体，则其内切球半径．因此，三棱锥A-BCD的内切球的表面积为．故选：C．作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B-AC-D的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥B-ACD为正四面体，根据内切球的半径为其棱长的倍得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．13.【答案】【解析】解：∵cosα=-，∴cos2α=2cos2α-1=2×（-）2-1=．故答案为：．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】120【解析】解：（2+x）5的展开式的通项是，所以在（1+x）（2+x）5=（2+x）5+x（2+x）5的展开式中，含x3的项为，所以x3的系数为120．故答案为：120．根据（2+x）5的展开式的通项公式，计算在（1+x）（2+x）5的展开式中含x3的项是什么，从而求出x3的系数．本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．15.【答案】[0，2]【解析】解：由x-3≤f（x）≤x等价为-3≤f（x）-x≤1设g（x）=f（x）-x，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（-x）=-f（x），则有g（-x）=f（-x）-（-x）=-f（x）+x=-[f（x）-x]=-g（x），即函数g（x）为R上的奇函数，则有g（0）=0；又由对任意0≤x1＜x2时，有＜1，则==-1，∵＜1，∴=-1＜0，即g（x）在[0，+∞）上为减函数，∵g（x）是奇函数，∴g（x）在（-∞，+∞）上为减函数，∵f（-2）=1，∴g（-2）=f（-2）-（-2）=1+2=3；g（2）=-3，g（0）=f（0）-0=0，则-3≤f（x）-x≤0等价为g（2）≤g（x）≤g（0），∵g（x）是减函数，∴0≤x≤2，即不等式x-3≤f（x）≤x的解集为[0，2]；故答案为：[0，2]．根据条件构造函数g（x）=f（x）-x，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．16.【答案】7【解析】解：根据题意，数列{a n}满足S n=3a n-2，①当n≥2时，有S n-1=3a n-1-2，②，①-②可得：a n=3a n-3a n-1，变形可得2a n=3a n-1，当n=1时，有S1=a1=3a1-2，解可得a1=1，则数列{a n}是以a1=1为首项，公比为的等比数列，则a n=（）n-1，数列{na n}的前n项和为T n，则T n =1+2×+3×（）2+……+n×（）n-1，③则有T n =+2×（）2+3×（）3+……+n×（）n，④③-④可得：-T n=1+（）+（）2+……×（）n-1-n×（）n=-2（1-）-n×（）n，变形可得：T n=4+（2n-4）×（）n，若T n＞100，即4+（2n-4）×（）n＞100，分析可得：n≥7，故满足T n＞100的最小的n值为7；故答案为：7．根据题意，将S n=3a n-2变形可得S n-1=3a n-1-2，两式相减变形可得2a n=3a n-1，令n=1求出a1的值，即可得数列{a n}是以a1=1为首项，公比为的等比数列，即可得数列{a n}的通项公式，进而可得T n =1+2×+3×（）2+……+n×（）n-1，由错位相减法分析求出T n的值，若T n＞100，即4+（2n-4）×（）n＞100，验证分析可得n的最小值，即可得答案．本题考查数列的递推公式，关键是分析数列{a n}的通项公式，属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵S=bc sin A=bc cos A，∴sin A=2cos A，可得：tan A=2，∵△ABC中，A为锐角，又∵sin2A+cos2A=1，∴可得：sin A=，cos A=，又∵C=，∴cos B=-cos（A+C）=-cos A cos C+sin A sin C=．（Ⅱ）在△ABC中，sin B==，由正弦定理，可得：b==3，∴S=bc cos A=3．【解析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可得tanA=2，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，cosA，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosB的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理可得b的值，即可得解S的值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵AB∥CD，∠BCD=，PA=PD=CD=BC=1，∴BD=，∠ABC=，，∴，∵AB=2，∴AD=，∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵PA⊥BD，PA∩AD=A，∴BD⊥平面PAD，∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．解：（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO=，由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，，0），B（，，0），C（-，，0），P（0，0，），=（-1，0，0），=（-，，），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=，得=（0，，），∵=（，，-），∴cos＜，＞==-，∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x 轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用职权向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．K2==≈6.061＞5.021．所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．（6分）（Ⅱ）（i）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，2人中女生的人数为X，则X的可能值为0，1，2．则P（（X=0）==，P（（X=1）==，P（（X=2）==，可得X的分布列为：可得数学期望E（X）=0×+1×+2×=．【解析】（I）列出列联表，利用独立性检验计算公式及其判定定理即可得出结论．（Ⅱ）（i）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．本题考查了独立性检验计算公式及其原理、超几何分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）∵在=1（a＞b＞0）中，令x=c，可得y=±，∵过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，∴=3，∵直线y=-与椭圆C相切，∴b=，∴a=2∴a2=4，b2=3．故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c=1，则直线l的方程为y=k（x+1），联立，可得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，则△=64k4-4（4k2+3）（4k2-12）=144（k2+1）＞0，∴x1+x2=-，x1x2=，∴y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=-，∵（）＜1，∴•＜1，∴（x2-1，y2）（x1-1，y1）=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2＜1，即++1-＜1，整理可得k2＜4，解得-2＜k＜2，∴直线l存在，且k的取值范围为（-2，2）．【解析】（Ⅰ）由题意可得=3，以及直线y=-与椭圆C相切，可得b=，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=0，得a=，令h（x）=，x∈（，2），h′（x）=，故h（x）在（，1）递减，在（1，2）递增，又h（）=2，h（2）=，h（1）=e，故h（2）＞h（），故a∈（e，2）；（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2=e x-ax-ax2，故g′（x）=e x-2ax-a，∵x1，x2是函数g（x）的两个不同的极值点（不妨设x1＜x2），易知a＞0（若a≤0，则函数f（x）没有或只有1个极值点，与已知矛盾），且g′（x1）=0，g′（x2）=0，故-2ax1-a=0，-2ax2-a=0，两式相减得2a=，于是要证明＜ln（2a），即证明＜，两边同除以，即证（x1-x2）＞-1，即证（x1-x2）-+1＞0，令x1-x2=t（t＜0），即证不等式t-e t+1＞0，当t＜0时恒成立，设h（t）=t-e t+1，则h′（t）=-[-（+1）]，设k（t）=-（+1），则k′（t）=（-1），当t＜0时，k′（t）＜0，k（t）递减，故k（t）＞k（0）=0，即-（+1）＞0，故h′（t）＜0，故h（t）在t＜0时递减，h（t）在t=0处取最小值h（0）=0，故h（t）＞0得证，故＜．【解析】（Ⅰ）问题转化为a=，令h（x）=，x∈（，2），根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）求出2a=，问题转化为证（x1-x2）-+1＞0，令x1-x2=t（t＜0），即证不等式t -e t+1＞0，当t＜0时恒成立，设h（t）=t-e t+1，则h′（t）=-[-（+1）]，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得（x-3）2+（y-1）2=4，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），则PQ中点的轨迹方程为（2x-3）2+（y-1）2=4．（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为y-x=1，∴联立y-x=1与（2x-3）2+（y-1）2=4得x=，∴|MN|==．【解析】（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得圆C1的普通方程，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），将P的坐标代入C1的方程即可得；（Ⅱ）先把l的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入C2的直角坐标方程可得M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长|MN|．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）+f（2x+1）=|x-2|+|2x-1|=，＜，，＞当x＜时，由3-3x≥6，解得x≤-1；当≤x≤2时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1][3，+∞）．（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（a+b）（+）=5++≥5+2=9，∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9，∴-13≤m≤5．【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出+的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学(理)试题

2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟试题1.如果复数i 2ai 1+-（a ∈R ，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为 A.1 B.-1 C.3 D.-32.若A={0,1,2}，B={x=a 2，a ∈A}，贼A ∪B=A.{0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2,4}D.{1,2,4}3.向量），（t 2=，）（3,1-=，若的夹角为钝角，则t 的范围是 A.t ＜32 B.t ＞32 C.t ＜32且t ≠-6 D.t ＜-64.双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于 A.552 B.54 C.52 D.554 5.有5名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A.60种B.70种C.75种D.150种6.已知某个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 A.3560 B.200 C.3580 D.2407.下列函数中，最小正周期为π，且图像关于直线x=3π对称的图像是 A.)32sin(2π+=x y B.)62sin(2π-=x yC.)32x sin(2π+=yD.)32sin(2π-=x y 8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺长的木棍，每天截取一段，永远都截不完。

现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是A.i ＜20，S=S-i 1，i=2iB.i ≤20，S=S-i 1，i=2iC.i ＜20，S=2S ,i=i+1D.i ≤20，S=2S ，i=i+1 9.已知α为第二象限角，且53)sin(-=+απ,则tan2α的值为 A.54 B.723- C.724- D.924-10.P 为圆9221=+y x C ：上任意一点，Q 为圆25222=+y x C ：上任意一点，PQ 重点组成的区域为M 在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为 A.2513 B.53 C.π2512 D.π53 11.已知抛物线y 4x 2=焦点为F ，经过F 的直线交抛物线与），（11y x A ，），（22y x B ，点A 、B 在抛物线准线上的投影分别为11B A ，，以下四个结论：①4x x 21-=，②|AB|=1y y 21++，③211π=∠FB A ，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2，其中正确的个数为A.1B.2C.3D.4 12.已知函数），（）（∞+∈-=0,x f x ax xe x ，当12x x ＞时，不等式1221)(x xf x x f ＜）（恒成立，贼实数a 的取值范围为A.]e (，-∞B.），e (-∞C.），2e(-∞ D.]2e(，-∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.在锐角三角形ABC 中，a,b,c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A sin c 2a 3=，7c =，且△ABC 的面积为233，a+b 的值为________. 14.在三棱锥S-ABC 中，∠SAB=∠SAC ＝∠ACB=90°，AC=2，BC=13,29,则异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为_________.（1）求证3}-{a n 是等比数列，并求n a ；（2）求数列}{a n 的前n 项和n T .为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA=AD ，M ，N 分别是AB ，PC 的中点（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD（2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求二面角N-MD-C 的正弦值.20.（12分）（1）求M 的轨迹并给出标准方程；值范围.21.(12分) 已知函数)ln()(m x e x f x +-=，其中m ＞1（1）设x=0是函数f(x)的极值点，讨论函数f(x)的单调性；（2）若y=f(x)有两个不同的零点1x 和2x ，且21x 0x ＜＜，（i ）求参数m 的取值范围（ii ）求证：11x x ln e12x x 12-+---e ）＞（.（二）选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所选的第一题记分.22.[选修4-4：极坐标系与参数方程]（10分）以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为1y 1-x 22=+）（，2C 的方程为3y x =+，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线.（1）求1C 与2C 的极坐标方程；取值范围.23..[选修4-5：不等式选讲]（10分）。

2019届黑龙江省哈尔滨市第三中高三第二次模拟数学（理）试题

2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数iai+-21(R a ∈,i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a 的值为 A ．1B ．-1C ．3D ．-32．若{}{}0,1,2,|2,a A B x x a A ===∈，则A B =A ．{0,1,2}B. {0,1,23}，C. {0,1,24}，D. {1,24}，3. 向量(2,),(1,3)==-a t b ，若b a,的夹角为钝角，则t 的范围是A ．t<32B ．t>32C ．t<32且t ≠6- D ．t<6- 4．双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于 A ．552 B ．54C ．52D ．554 5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6．已知某个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 A ．3560B ．200C ．3580D ．2407. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x =3π对称的函数是 A ．2sin(2)3=+y x πB ．2sin(2)6=-y x πC ．2sin()23=+x y πD ．2sin(2)3=-y x π8．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ．i i ,i S S ,i 2120=-=≤C ．1220+==<i i ,SS ,iD ．1220+==≤i i ,SS ,i 9．已知α是第二象限角，且sin(53)-=+απ，则tan2α的值为 A ．54B ．723-C ．724-D ．924-10．P 为圆C 1：229x y +=上任意一点，Q 为圆C 2：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为 A ．2513B ．53C ．π2512 D ．π5311．已知抛物线x 2=4y 焦点为F,经过F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),点A,B 在抛物线准线上的射影分别为A 1,B 1,以下四个结论：①x 1x 2=4-, ②AB =y 1+y 2+1 , ③11FB A ∠=2π,④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2 其中正确的个数为A ． 1 B. 2 C. 3 D. 412．已知函数ax xe xf x -=)(，),0(∞+∈x ，当12x x >时，不等式1221)()(x x f x x f <恒成立，则实数a 的取值范围为A ．],(e -∞B ．),(e -∞C ．)2,(e-∞ D ．]2,(e -∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=c=7，且ΔABC 的面积为233，b a +的值为 .14．在三棱锥S —ABC 中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13， SB=29，则异面直线SC 与AB所成角的余弦值为__________.15．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)，则f(n)＝________.16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是A （0，05，B 30，0），C （0，1，0），D 315，则该四面体的外接球的体积为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)设数列{}n a 满足2311+=+n n a a ，41=a (1) 求证{}3n a -是等比数列，并求n a ;(2) 求数列{}n a 的前n 项和n T .18．(12分)为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图。

2019届黑龙江省哈尔滨市第三中学高考第二次模拟测试数学(理)试题(解析版)

2019届黑龙江省哈尔滨市第三中学高考第二次模拟测试数学（理）试题一、单选题1．2-31ii =+（） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()()231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-．故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．设集合{1,0,1}A =-，{|22}x B x =>，则A B =I （） A ．∅ B ．{}1-C ．{1,0}-D ．{0,1}【答案】A【解析】可解出集合B ，然后进行交集的运算即可．【详解】 B {}22xx =＝{x |x ＞1}；∴A ∩B ＝∅．故选：A ．【点睛】考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义，属于基础题．3．若x ，y 满足不等式组1010330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z 2x 3y =-的最小值为（）A ．-5B ．-4C ．-3D ．-2【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z 的最小值．【详解】画出x ，y 满足不等式组10 10330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域，如图所示平移目标函数z 2x 3y =-知，当目标函数过点A 时，z 取得最小值，由10330x y x y -+=⎧⎨--=⎩得23x y =⎧⎨=⎩，即A 点坐标为()2,3∴z 的最小值为22335⨯-⨯=-，故选A. 【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（） A ．3y x =B ．22y x =±C ．5y x =D ．2y x = 【答案】A【解析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程．【详解】抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2，又e ＝p ，所以e ca==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b 3=a ，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±3x ．故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．5．随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）A ．24+9ππB ．424+9ππC ．18+9ππD ．418+9ππ【答案】B【解析】以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【详解】图标第一部分的面积为8×3×1＝24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝9π，图标第三部分的面积为π×22＝4π，故此点取自图标第三部分的概率为4249ππ+，故选B ．【点睛】本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题． 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且423S S =，715a =，则{}n a 的公差为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件得111463(2),615a d a d a d +=++=，由此可得d 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得427315S S a =⎧⎨=⎩，即111463(2)615a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩．故选B ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，关键是掌握等差数列的前n 项和公式的形式特点，属于基础题．7．运行如图程序，则输出的S 的值为（）A ．0B ．1C ．2018D ．2017【答案】D【解析】依次运行程序框图给出的程序可得第一次：2017sin 2018,32S i π=+==，不满足条件；第二次：32018sin 201812017,52S i π=+=-==，不满足条件；第三次：52017sin 2018,72S i π=+==，不满足条件；第四次：72018sin 201812017,92S i π=+=-==，不满足条件；第五次：92017sin 2018,112S i π=+==，不满足条件；第六次：112018sin 201812017,132Si π=+=-==，满足条件，退出循环．输出2017．选D ．8．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】B【解析】求出函数的导数，利用切线方程通过f ′（0），求解即可；【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），因为f ′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ，可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1，故选：B ．【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力． 9．在长方体1111-ABCD A B C D 中，1=1=BC CC ，16AB D π=∠，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A ．B C D 【答案】D【解析】由异面直线所成的角的定义，先作出这个异面直线所成的角的平面角，即连接DC 1，再证明∠BC 1D 就是异面直线AB 1与1BC 所成的角，最后在△BC 1D 中计算此角的余弦值即可．【详解】如图连接C 1D ，则C 1D ∥AB 1，∴∠BC 1D 就是异面直线AB 1与BC 1所成的角．又11BC CC ==，16AB D π∠=，∴1AB ，∴1BC =，∴1DC ，在△BC 1D 中，∴cos BC 1D 26==．∴异面直线AB 1与1BC 所成的角的余弦值为：6．故选D ．【点睛】本题考查了异面直线所成的角的定义和求法，关键是先作再证后计算，将空间角转化为平面角的思想，属于基础题．10．已知函数()3sin f x x x =-在(0,)α上是单调函数，且()1f α≥-，则α的取值范围为（） A ．(0,]65π B ．(0,]32π C ．(0,]2πD ．(0,]3π【答案】C【解析】利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得 cos （α6π+）12≥-，则 α6π+∈（6π，23π]，由此可得α的取值范围．【详解】函数f （x ）3=x ﹣sin x ＝2cos （x 6π+）在（0，α）上是单调函数，∴6π+α≤π，∴0＜α56π≤．又f （α）≥﹣1，即 cos （α6π+）12≥-，则 α6π+∈（6π，23π]，∴α∈（0，2π]，故选C ．【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题． 11．已知半圆C ：221x y +=（0y ≥），A 、B 分别为半圆C 与x 轴的左、右交点，直线m 过点B 且与x 轴垂直，点P 在直线m 上，纵坐标为t ，若在半圆C 上存在点Q 使3BPQ π=∠，则t 的取值范围是（）A ．23[3]⋃ B ．23[3,0)-⋃C ．33[,0)(0,]33-⋃ D ．2323[,0)(0,]33-U 【答案】A【解析】根据题意，设PQ 与x 轴交于点T ，分析可得在Rt △PBT 中，|BT |3=|PB |3=|t |，分p 在x 轴上方、下方和x 轴上三种情况讨论，分析|BT |的最值，即可得t 的范围，综合可得答案．【详解】根据题意，设PQ 与x 轴交于点T ，则|PB |＝|t |，由于BP 与x 轴垂直，且∠BPQ 3π=，则在Rt △PBT 中，|BT |33=|PB |33=|t |，当P 在x 轴上方时，PT 与半圆有公共点Q ，PT 与半圆相切时，|BT |有最大值3，此时t 有最大值3，当P 在x 轴下方时，当Q 与A 重合时，|BT |有最大值2，|t |有最大值233，则t 取得最小值23-， t ＝0时，P 与B 重合，不符合题意，则t 的取值范围为[23-，0）(03⋃，]；故选A ．【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于中档题．12．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（）A ．43π B ．π C ．23πD ．2π【答案】C【解析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥AC ，BN ⊥AC ，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND ，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案．【详解】如下图所示，易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN ⊥AC ，BN ⊥AC ．所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO ⊥DN 交DN 于点O ，可得BO ⊥平面ACD ．因为在△BDN 中，3BN DN ==BD 2＝BN 2+DN 2﹣2BN •DN •cos ∠BND 1332343=+-⨯⨯=，则BD ＝2．故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的14，又正四面体的高6，故662R == 因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244(3R πππ=⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．二、填空题 13．已知cos 3α=-，则cos2=α______．【答案】59-【解析】直接利用二倍角的余弦公式求得cos2a 的值．【详解】∵cos2α=221cos a -=225199⨯-=-，故答案为59-．【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题． 14．5(1)(2)x x ++的展开式中，3x 的系数为______．【答案】120【解析】根据（2+x ）5的展开式的通项公式可得（1+x ）（2+x ）5的展开式中，x 3的系数．【详解】∵（2+x ）5的展开式的通项公式为T r +15rC = 25-r •x r ，∴在（1+x ）（2+x ）5的展开式中，x 3的系数为32235522C C +=40+80＝120，故答案为：120．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．15．已知函数()f x 是奇函数，且120x x ≤<时，有1212()()1f x f x x x -<-，(2)1f -=，则不等式3()x f x x -≤≤的解集为____．【答案】[0,2]【解析】根据条件构造函数g （x ）＝f （x ）﹣x ，判断函数g （x ）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．【详解】由x ﹣3≤f （x ）≤x 等价为﹣3≤f （x ）﹣x ≤0设g （x ）＝f （x ）﹣x ，又由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则有f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有g （﹣x ）＝f （﹣x ）﹣（﹣x ）＝﹣f （x ）+x ＝﹣[f （x ）﹣x ]＝﹣g （x ），即函数g （x ）为R 上的奇函数，则有g （0）＝0；又由对任意0≤x 1＜x 2时，有()()1212f x f x x x ＜--1，则()()()()()()()12121212121212g x g x f x f x x x f x f x x x x x x x -----==----1，∵()()1212f x f x x x ＜--1，∴()()()()12121212g x g x f x f x x x x x --=---1＜0，即g （x ）在[0，+∞）上为减函数， ∵g （x ）是奇函数，∴g （x ）在（﹣∞，+∞）上为减函数，∵f （﹣2）＝1，∴g （﹣2）＝f （﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3； g （2）＝﹣3，g （0）＝f （0）﹣0＝0，则﹣3≤f （x ）﹣x ≤0等价为g （2）≤g （x ）≤g （0）， ∵g （x ）是减函数， ∴0≤x ≤2，即不等式x ﹣3≤f （x ）≤x 的解集为[0，2]；故答案为：[0，2]．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g （x ），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．16．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足，32n n S a =-.数列{}n na 的前n 项和为n T ，则满足100n T >的最小的n 值为______．【答案】7【解析】根据题意，将S n ＝3a n ﹣2变形可得S n ﹣1＝3a n ﹣1﹣2，两式相减变形，并令n ＝1求出a 1的值，即可得数列{a n }是等比数列，求得数列{a n }的通项公式，再由错位相减法求出T n 的值，利用T n ＞100，验证分析可得n 的最小值，即可得答案．【详解】根据题意，数列{a n }满足S n ＝3a n ﹣2，① 当n ≥2时，有S n ﹣1＝3a n ﹣1﹣2，②，①﹣②可得：a n ＝3a n ﹣3a n ﹣1，变形可得2a n ＝3a n ﹣1，当n ＝1时，有S 1＝a 1＝3a 1﹣2，解可得a 1＝1，则数列{a n }是以a 1＝1为首项，公比为32的等比数列，则a n ＝（32）n ﹣1，数列{na n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1+232⨯+3×（32）2+……+n ×（32）n ﹣1，③则有32T n 32=+2×（32）2+3×（32）3+……+n ×（32）n ，④③﹣④可得：12-T n ＝1+（32）+（32）2+……×（32）n ﹣1﹣n ×（32）n ＝﹣2（132nn -）﹣n ×（32）n，变形可得：T n ＝4+（2n ﹣4）×（32）n ，若T n ＞100，即4+（2n ﹣4）×（32）n ＞100，分析可得：n ≥7，故满足T n ＞100的最小的n 值为7；故答案为7．【点睛】本题考查数列的递推公式及错位相减法求和，关键是分析数列{a n }的通项公式，属于中档题．三、解答题17．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，且cos S bc A =，4C π=.（1）求cos B 的值；（2）若c =，求S 的值.【答案】（1）cos B =（2）3S = 【解析】（1）由已知利用三角形面积公式可得tan A ＝2，利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，cos A ，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cos B 的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用正弦定理可得b 的值，即可得S 的值．【详解】（1）∵S 12=bc sin A ＝bc cos A ， ∴sin A ＝2cos A ，可得：tan A ＝2， ∵△ABC 中，A 为锐角，又∵sin 2A +cos 2A ＝1， ∴可得：sin A 5=，cos A 5=，又∵C 4π=，∴cos B ＝﹣cos （A +C ）＝﹣cos A cos C +sin A sin C 10=-，（2）在△ABC 中，sin B 23101cos B =-=，由正弦定理，可得：b c sinBsinC⋅==3， ∴S ＝bc cos A ＝3．【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，2BCD π∠=，PA BD ⊥，2AB =，PA=PD=CD=BC=1.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见证明；（2）22211【解析】（1）推导出AD ⊥BD ，P A ⊥BD ，从而BD ⊥平面P AD ，由此能证明平面P AD ⊥平面ABCD ．（2）取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥AD ，以O 为坐标原点，以过点O 且平行于BC 的直线为x 轴，过点O 且平行于AB 的直线为y 轴，直线PO 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值．【详解】（1）∵AB ∥CD ，∠BCD 2π=，P A ＝PD ＝CD ＝BC ＝1，∴BD =∠ABC 2π=，4DBC π∠=，∴4ABD π∠=，∵AB ＝2，∴AD =∴AB 2＝AD 2+BD 2，∴AD ⊥BD ，∵P A ⊥BD ，P A ∩AD ＝A ，∴BD ⊥平面P AD ， ∵BD ⊂平面ABCD ，∴平面P AD ⊥平面ABCD ．（2）取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥AD ，且PO 2=，由平面P AD ⊥平面ABCD ，知PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，以过点O 且平行于BC 的直线为x 轴，过点O 且平行于AB 的直线为y 轴，直线PO 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （1122-，，0），B （1322，，0），C （1322-，，0），P （0，0， BC =u u u r （﹣1，0，0），BP =u u u r （1322，--，2），设平面PBC 的法向量n =r（x ，y ，z ），则0130222n BC x n BP x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取z =n =r（0，23）， ∵PA =u u u r（1122-，，2-）， ∴cos 11n PA n PA n PA ⋅==-⋅u u u r r u u u r ru u u r r ＜，＞ ∴直线P A 与平面PBC所成角的正弦值为11．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间/分钟[)0,10[)10,20[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60总人数203644504010将学生日均体育锻炼时间在[)40,60的学生评价为“锻炼达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表【答案】（1）见解析；（2）（i ）男生有6人，女生有4人. （ii ）见解析【解析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）（i ）由男女生所占的比例直接求解；（ii ）分别求得X 不同取值下的概率，列出分布列，根据期望公式计算结果即可. 【详解】（1）由22⨯列联表中数据，计算得到2K 的观测值为()2200602030901505090110k ⨯-⨯=⨯⨯⨯2006.061 5.02433=≈>. 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关.（2）（i ）“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为3:2，故用分层抽样方法从中抽出10人，男生有6人，女生有4人. （ii ）X 的可能取值为0，1，2；()26210103C P X C ===，()11642108115C C P X C ===，()242102215C P X C ===，∴X 的分布列为∴X 的数学期望()1824012315155E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样及离散型随机变量的应用问题，是基础题．20．已知O 为坐标原点，椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交所得的弦长为3，直线y =椭圆C 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l ：()y k x c +＝与椭圆C 相交于E ，D 两点，使得22()1F E DE F E -⋅<u u u u v u u u v u u u u v？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由！【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由题意列出关于a,b 的关系式，解得a ，b 即可.（2）将直线与椭圆联立，将向量数量积的运算用坐标形式表示，利用根与系数之间的关系确定k 的取值范围．【详解】（1）在22221(0)x y a b a b +=>>中，令x c =，得22221c y a b +=，解得2by a=±. 由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆C 相交所得的弦长）为3，得223b b a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以223b a=.①因为直线l：y =1C相切，则b ==② 将②代入①，得2a =.故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）设点()11,E x y ，()22,D x y .由（1）知1c =，则直线l 的方程为()1y k x =+.联立()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +++-=，则()()()2222284434121441440k k k k ∆=-+-=+>恒成立.所以2122843k x x k -+=+，212241243k x x k -=+， ()()2121211y y k x x =++ ()212121k x x x x =+++= 2222222412891434343k k k k k k k ⎛⎫---+= ⎪+++⎝⎭. 因为()221F E DE F E -⋅<u u u u v u u u v u u u u v，所以()221F E ED F E +⋅<u u u u v u u u v u u u u v .即221F D F E ⋅<u u u u v u u u u v . 即()()22111,1,x y x y -⋅-= ()12121211x x x x y y -+++<，得2222224128911434343k k k k k k ----++<+++，得2279143k k -<+，即227943k k -<+，解得22k -<<；∴直线l 存在，且k 的取值范围是()2,2-. 【点睛】本题综合考查椭圆的性质及其应用、直线与椭圆的位置关系，考查了向量数量积的坐标运算，同时考查了基本运算能力、逻辑推理能力，难度较大． 21．已知函数()x f x e ax =-.（1）若函数()f x 在1(,2)2x ∈上有2个零点，求实数a 的取值范围.（注319e >）（2）设2()()g x f x ax =-，若函数()g x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：12ln(2)2x x a +<. 【答案】（1）(,a e ∈（2）见证明【解析】（1）将a 分离，构造函数()x e h x x=，利用导数研究()h x 的图像，得到a 的范围.（2）由已知()g x ，求其导函数，由x 1，x 2是g （x ）的两个不同极值点，可得a ＞0，结合g ′（x 1）＝0，g ′（x 2）＝0得到1120x e ax a --=，2220xe ax a --=进一步得到12122x x e e a x x -=-，把问题转化为证明1212212x x x x e e e x x +--＜，将其变形后整体换元构造函数()t ϕ．再利用导数证明()t ϕ＞0得答案．【详解】（1）1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()0f x =得xea x=，令()()()21x xe x e h x h x x x='-=⇒ ∴112x ≤<时，()0h x '<， 12x <≤时，()0h x '>，∴()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在()1,2上是增函数.又12h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()222e h =，()1h e =()344161640444e e e e e e ---==>， ∴()122h h ⎛⎫>⎪⎝⎭，∴h （x ）的大致图像：利用()y h x =与y a =的图像知(,2a e e ∈.（2）由已知()2xg x e ax ax =--，∴()2xg x e ax a =--'，因为1x ，2x 是函数()g x 的两个不同极值点（不妨设12x x <），易知0a >（若0a ≤，则函数()f x 没有或只有一个极值点，与已知矛盾），且()10g x '=，()20g x '=.所以1120x e ax a --=，2220xe ax a --=.两式相减得12122x x e e a x x -=-，于是要证明()12ln 22x x a +<，即证明1212212x xx x e e e x x +-<-，两边同除以2x e ，即证12122121x x x x e ex x ---<-，即证()12122121x x x x x x e e --->-，即证()121221210x x x x x x ee ----+>，令12x x t -=，0t <.即证不等式210tt te e -+>，当0t <时恒成立. 设()21t t t te e ϕ=-+，则()2212t t tt te t e e ϕ=+⋅⋅-'= 22211]22t t tt t t e e e e ⎡⎫⎛⎫+-=--+⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭. 设()212tt h t e =--，则()221111222t th t e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭'，当0t <时，()0h t '<，()h t 单调递减，所以()()00h t h >=，即2102t t e ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以()0t ϕ'<，所以()t ϕ在0t <时是减函数.故()t ϕ在0t =处取得最小值()00ϕ=. 所以()0t ϕ>得证.所以()12ln 22x x a +<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查了导数在解决不等式证明问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，属于难题． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为32cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），P 是曲线1C 上的任一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，线段PQ 的中点的轨迹为2C .（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若直线l ：1sin cos θθρ-=交曲线2C 于M ，N 两点，求||MN .【答案】（1）见解析（2）||5MN =【解析】（1）曲线C 的参数方程消去参数α求出曲线C 的普通方程，再设P ，Q 中点坐标，表示出P 坐标代入曲线1C 方程，得到2C 的直角坐标方程．（2）联立直线与曲线2C 的方程，求得交点横坐标，利用弦长公式求出弦长|MN |．【详解】（1）消去参数α得曲线1C 的普通方程为()()22314x y -+-=，设PQ 的中点坐标为(),x y ，则P 点坐标为()2,x y ，则PQ 中点的轨迹方程为()()222314x y -+-=.（2）∵直线的直角坐标方程为1y x -=；∴联立1y x -=，()()222314x y -+-=得x =∴125MN x =-=. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查了轨迹问题及弦长公式，考查运算求解能力，是中档题．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x =-（Ⅰ）解不等式()()216f x f x ++≥；（Ⅱ）对()1,0a b a b +=>及x R ∀∈，不等式()()41f x m f x a b---≤+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）(][),13,-∞-+∞U .（Ⅱ）135m -≤≤.【解析】【详解】详解：（Ⅰ）()()133,,21212211,2,233, 2.x x f x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪++=-+-=+≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩当12x <时，由336x -≥，解得1x ≤-；当122x ≤≤时，16x +≥不成立；当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥.所以不等式()6f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞U .（Ⅱ）因为()1,0a b a b +=>，所以()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭. 由题意知对x R ∀∈，229x m x -----≤，即()max 229x m x -----≤，因为()()22224x m x x m x m -----≤---+=--，所以949m -≤+≤，解得135m -≤≤.【点睛】⑴ 绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法．⑵ 不等式的恒成立可用分离变量法．若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也是求最值．一般有：① ()()(f x g a a <为参数）恒成立max ()()g a f x ⇔>②()()(f x g a a >为参数）恒成立max ()()g a f x ⇔< ．。

2019哈三中二模理科数学题及问题详解

2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{||1|2}A x x =-<，1{|39}3x B x =<<，则A B =I A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,3)D ．(1,3)-2．设S n 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则“d < 0”是“数列{}n S 有最大项”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．ΔABC 中，(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =-，若12m n ⋅=，则角C 为 A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 4．已知11ea dx x =⎰，则61()x ax-展开式中的常数项为A ．20B ．-20C ．-15D ．155．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为A ．12B ．14C ．23D ．646．已知函数()sin()3cos()(0,||)2f x x x πωφωφωφ=+-+><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的外接球半径为A ．12 B ．3 C ．174D ．1748．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的摄影为C ，若AF FB =u u u r u u u r，36BA BC ⋅=u u u r u u u r，则抛物线的方程为A ．26y x =B ．23y x =C ．212y x =D ．223y x =9．阅读右面的程序框图，输出结果s 的值为A ．12 B ．316C ．116D ．1810．在平行四边形ABCD 中，AE EB =u u u r u u u r ，2CF FB =u u ur u u u r ，连接CE 、DF 相交于点M ，若AM AB AD λμ=+u u u u r u u u r u u u r，则实数λ与μ的乘积为A ．14B ．38C ．34D ．4311．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞12．设点P 在曲线xy e =上，点Q 在曲线11(0)y x x=->上，则||PQ 的最小值为 A．(1)2e - B1)e -C．2D第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第二次调研考试

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三上学期第二次调研考试数学（理）试题考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知为虚数单位，则复数的虚部是A. B. C. D.2. 已知角的终边经过点，则A ．B ．C ．D ．3. 若，则A ．B ．C ．D ．4. 已知命题：函数的图象与函数的图象关于直线对称，命题：函数的图象与函数的图象关于直线对称，则下列命题中为真命题的是A ．B ．C ．D ．5. 函数21()cos 4f x x x =++（）的最大值为 A ． B ． C ． D ．6. 若函数在上是增函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．7. 将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得曲线上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为A ．B ．C ．D ．8. 函数满足：对任意的实数都有，且,，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++的值为A ．B ．C ．D ．9. 如下图所示的程序框图输出的结果是A ．B ．C ．D ．10. 函数()21()ln 2x f x x e -=+-的图象大致是A ．B ．C ．D ．11. 已知定义在上的偶函数在是单调递增的，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．12. 若存在，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13. 函数)65(log )(221+-=x x x f 的单调递增区间为．14. 已知幂函数()()2242+1m m f x m x --=在上单调递减，则函数的解析式为．15. 已知函数（）的最小正周期为，为图象的对称轴，则函数在区间上零点的个数为．16. 已知且对任意的恒成立，则的最小值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本题10分）已知，．（1）求的值；（2）求的值．18.（本题12分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =-+．（1）求函数的单调递减区间；（2）设图象与图象关于直线对称，求时，的值域．19. （本题12分）已知，．（1）当时，解不等式；（2）若时恒成立，求实数的取值范围．20. （本题12分）平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为 2c o s 4c o s 0ρθθρ+-=．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知曲线和曲线交于两点，求的值．21. （本题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点，为内一点，过点的直线交椭圆于、两点，，．为坐标原点，当时，．（1）求椭圆的方程；（2）求实数的取值范围．22. （本题12分）设函数()2()33x f x e x ax a R =+-+∈．（1）当时,求函数的单调区间；（2）,恒成立,求最大的正整数的值；（3）且，证明: 22(1)(1)(3)(1)(3)(1)0x y e x e y x x x y y y -+-+--+--≥．参考答案第I卷（选择题，共60分）一．选择题CCBAA,DDDCA,AB第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题13. 14. 15. 2 16.3三．解答题17.（1）；（2）18. （1）每一个25[2,2],()33k k k Zππππ++∈；（2）19. （1）或；（2）20. （1），；（2）21. （1）；（2）22. （1）单调递减，单调递增；（2）易求，所以的最大正整数值为8；（3）证明略.。

2019哈三中二模理科数学题及答案

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{||1|2}A x x =-<，1{|39}3x B x =<<，则A B = A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,3)D ．(1,3)-2．设S n 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则“d < 0”是“数列{}n S 有最大项”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．ΔABC 中，(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =-，若12m n ⋅=，则角C 为 A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 4．已知11ea dx x =⎰，则61()x ax-展开式中的常数项为 A ．20B ．-20C ．-15D ．155．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为A ．12B ．14C ．23D ．646．已知函数()sin()3cos()(0,||)2f x x x πωφωφωφ=+-+><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的外接球半径为A ．12 B ．316 C ．174D ．1748．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的摄影为C ，若AF FB =，36BA BC ⋅=，则抛物线的方程为A ．26y x =B ．23y x =C ．212y x =D ．223y x =9．阅读右面的程序框图，输出结果s 的值为A ．12 B ．316C ．116D ．1810．在平行四边形ABCD 中，AE EB =，2CF FB =，连接CE 、DF 相交于点M ，若AM AB AD λμ=+，则实数 λ与μ的乘积为A ．14B ．38C ．34D ．4311．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞12．设点P 在曲线xy e =上，点Q 在曲线11(0)y x x=->上，则||PQ 的最小值为 A ．2(1)2e - B ．2(1)e -C ．22D ．2第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019哈三中二模理科数学题及问题详解

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{||1|2}A x x =-<，1{|39}3x B x =<<，则A B = A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,3)D ．(1,3)-2．设S n 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则“d < 0”是“数列{}n S 有最大项”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．ΔABC 中，(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =-，若12m n ⋅=，则角C 为 A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 4．已知11ea dx x =⎰，则61()x ax-展开式中的常数项为 A ．20B ．-20C ．-15D ．155．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为A ．12B ．14C ．23D6．已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=++><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的外接球半径为A ．12 BC ．174D ．48．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的摄影为C ，若AF FB =，36BA BC ⋅=，则抛物线的方程为A ．26y x =B ．23y x =C ．212y x =D ．2y =9．阅读右面的程序框图，输出结果s 的值为A ．12B ．16C ．116D ．1810．在平行四边形ABCD 中，AE EB =，2CF FB =，连接CE 、DF 相交于点M ，若AM AB AD λμ=+，则实数 λ与μ的乘积为A ．14B ．38C ．34D ．4311．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞12．设点P 在曲线xy e =上，点Q 在曲线11(0)y x x=->上，则||PQ 的最小值为 A．1)2e - B1)e -C．2D第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学(理)试题

绝密★启用前黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．如果复数2i+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（） A ．1B ．-1C ．3D ．-32．若{0,1,2}A =，{|2,}a B x x a A ==∈，则A B =（）A ．{0,1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{0,1,2,4}D ．{1,2,4}3．向量(2,)a t =，(1,3)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是（） A ．23t <B ．32>t C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-4．双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于（）A ．5B ．45C ．25D ．55．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6．已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）○…………装…………○……………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订○…………装…………○……………○……A ．5603 B ．200 C ．5803D ．2407．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的函数是（） A ．B ．C ．D ．8．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A ．20i <，1S S i=-，i i 2= B ．20i ≤，1S S i=-，i i 2=C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ 9．已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则tan 2α的值为（） A ．45B ．237-C ．724-D ．249-10．P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中A ．2513 B ．35C ．1225πD ．35π11．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．○…………※※请※※不※○…………第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题12．已知抛物线24x y=焦点为F，经过F的直线交抛物线于),(11yxA，),(22yxB，点A，B在抛物线准线上的射影分别为1A，1B，以下四个结论：①124x x=-，②121AB y y=++，③112A FBπ∠=，④AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．413．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，2sinc A=，c=ABC∆的面积为2，a b+的值为__________．14．在三棱锥中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________．15．如图所示，有三根针和套在一根针上的个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为，则__________．16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyzO-中的坐标分别是A，B，(0,1,0)C，D，则该四面体的外接球的体积为__________．三、解答题17．设数列{}n a满足1123n na a+=+，14a=.（1）求证{3}na-是等比数列，并求na；………装……○…………线……__________姓名：_____………装……○…………线……（2）求数列{}n a 的前n 项和n T .18．为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占；（i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）（ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为，求的分布列及数学期望 .（说明表示的概率.参考数据：，）19．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ；（2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C --的正弦值.20．动点(,)M x y 6=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知D ，直线l ：y kx =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DB λ=且12λ<<，求k 的取值范围.（1）设0x =是函数()f x 的极值点，讨论函数()f x 的单调性；（2）若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，（i ）求参数m 的取值范围；（ii ）求证：2121ln(1)1x x ex x e ---+>-.22．选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线.（1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围. 23．选修4-5：不等式选讲（1）已知+∈R c b a ,,，且1a b c ++=，证明9111≥++cb a ；（2）已知+∈Rc b a ,,，且1abc =111a b c≤++.参考答案1．D 【解析】【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解. 【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-，由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题. 2．C 【解析】【分析】先求出集合B ，再求并集即可. 【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C. 【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题. 3．C 【解析】【分析】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解. 【详解】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，230a b t =-+<，得23t <. 向量()2,a t =，()1,3b =-共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b =-. 所以23t <且6t ≠-. 故选C. 【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题. 4．A 【解析】【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】双曲线2214x y -=的顶点为()2,0±.渐近线方程为：12y x =±. 双曲线2214x y -==. 故选A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题. 5．C ．【解析】试题分析：由已知可得不同的选法共有216575C C =，故选C ．考点：排列组合． 6．B 【解析】【分析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解. 【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为()284202+⨯=，故体积为：2010200⨯=.故选B. 【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题. 7．B 【解析】试题分析：首先选项C 中函数的周期为4，故排除C ；将分别代入A ，B ，D ，得函数值分别为，而函数在对称轴处取最值，故选B ．考点：三角函数的周期性、对称性． 8．D 【解析】【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D. 【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题. 9．C 【解析】【分析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-. 34sin tan cos ααα==-. 232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题. 10．B 【解析】【分析】先求得M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【详解】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有222(14)x y r r +=剟，那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B. 【点睛】本题主要考查了几何概型的求解，涉及轨迹问题，是解题的关键，属于中档题. 11．D 【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数的取值范围即可. 【详解】不等式即，结合可得恒成立，即恒成立，构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，故恒成立，即恒成立，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；则的最小值为，据此可得实数的取值范围为. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．C 【解析】【分析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=. 则4,42121-==+x x k x x ，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥ ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题. 13．5 【解析】【分析】由正弦定理边化角可得3π=C ，由面积公式和余弦定理列方程可得a b +.【详解】2sin c A =2sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=. 在锐角三角形ABC 中，可得3π=C .所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=，解得5a b +=. 故答案为5. 【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题. 14．【解析】【详解】如图,取A 为原点、AB 和AS 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.则点,故,. 于是,所求夹角的余弦值为. 故答案为：15．7,2n -1; 【解析】解：设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1； n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， h （3）=h （2）×h （2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h （3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h （n-1）+1=2n -1，故答案为：7；2n-1．16．29π【解析】【分析】. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高3=，所以球半径为23，体积为34932r ππ=.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.17．（1）113()3n n a -=+（2）313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据条件可得()11333n n a a +-=-，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵1123n n a a +=+，14a =， ∴()11333n n a a +-=-，故{}3n a -是首项为1，公比为13的等比数列， ∴1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故0111113...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131333112313nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-.【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题. 18．（1）；（2）（i ） ;(ii). 【解析】【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令计算的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为，根据题意，，即.由得，，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为分.（ⅱ）因为～，， .所以的分布列为所以.【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式( )求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度． 19．（1）见解析（2）36【解析】【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可. 【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点，∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ，又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ， ∴()2,0,2PB t =-，()0,1,1MN =. ∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010， ∴由1010PB MN PB MN⋅=得2t =. 设(),,m x y z =为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-，()0,1,1MN =.由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()1,1,1m =-，3m =，∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角，则3cos 3AP m AP mθ⋅==，∴sin θ=【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20．（1）2219x y +=（2）k >k <【解析】【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解. 【详解】（1）解：M点的轨迹是以()，()-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=.（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=得12y y λ=-……① 由12λ<<得0k ≠，由y kx =-得y x k+=代入2219x y +=整理()222190k yk ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立，由根与系数的关系得12219y y k+=-+……③ 212219k y y k =-+……④由①③得1119y k λ=-+，2119y k λ=-+()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k的取值范围是k >k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.21．（1）见解析；（2）（i ）e m >，（ii ）见解析. 【解析】【分析】（1）求函数导数，由()'0011f m=-=可得解，进而得单调区间；（2）（i ）分析函数导数可得函数单调性，结合,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，可得解；（ii ）先证当me =时，若()ln()0xf x e x e =-+=，得存在3()(0)0f x f ==，进而证31x <-，再证e m >时，11x <-，可得211t x x =->，构造函数()ln(1)th t e t =-+，利用函数单调性即可证得. 【详解】（1）()1'xf x e x m=-+，若0x =是函数()f x 的极值点，则()'0011f m=-=，得1m =，经检验满足题意，此时()1'1xf x e x =-+，()'f x 为增函数，所以当(1,0),'()0x f x ∈-<，()f x 单调递减；当(0,),'()0x f x ∈+∞>，()f x 单调递增（2）（i ）1m ≥， ()1'xf x e x m=-+，记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x m =+>+，知()'f x 在区间(),m -+∞内单调递增. 又∵()1'010f m=->， ()1'101m f e m -=+-<-， ∴()'f x 在区间()1,0m -内存在唯一的零点0x ，即()0001'0x f x e x m =-=+，于是001x e x m=+， ()00ln x x m =-+.当0m x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减；当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，易知,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，解得e m >. （ii ）当me =时有()ln()xf x e x e =-+，令()ln()0x f x e x e =-+=.由（i ）中的单调性知，存在3()(0)0f x f ==，当3(,0),()0x x f x ∈<. 111(1)ln(1)ln(1)ln1.7022f e e e -=--<--<-=<，所以31x <-.下证当e m >时，11x <-.由()ln()ln()x xf x e x m e x e =-+<-+，所以33333()ln()ln()0x xf x e x m e x e =-+<-+=，由（i ）知，当12(,),()0x x x f x ∈<，得131x x <<-.. 所以211x x ->，令211t x x =-> 要证2121ln(1)1x x ex x e ---+>-，即证ln(1)1t e t e -+>-.令1()ln(1),'()1tth t e t h t e t =-+=-+单调递增，且1'(1)02h e =->，所以'()0,()h t h t >单调递增，所以()(1)ln 21h t h e e >=->-.得证.【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.22．（1）1C 的极坐标方程为θρcos 2=，2C 的极坐标力程为3cos sin ρθθ=+ （2）3(1,1)OA OB-∈- 【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可；（2）设3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，分别与1C 和2C 的极坐标方程联立，可得2cos OA α=和3cos sin OB αα=+，进而看化简求值. 【详解】解：（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+. （2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+，所以32cos cos sin OA OB ααα-=--4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB -∈-. 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题. 23．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++展开利用基本不等式证明即可；（2）由11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭ 12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a b a a b b c c=++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++≥，当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立.（2）因为11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭ 12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111a b c ++≥. 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三上学期第二次调研考试数学(理)试题(解析版)

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三上学期第二次调研考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，则复数的虚部是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，复数的虚部是．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．2.已知角的终边经过点，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：角的终边经过点，，，，则，故选：B．由条件利用本任意角的三角函数的定义，求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，则，故选：C．直接利用二倍角的余弦公式的变形，求得的值．本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4.已知命题p：函数的图象与函数的图象关于直线对称，命题q：函数的图象与函数的图象关于直线对称，则下列命题中为真命题的是A. B. ￢￢ C. ￢ D. ￢【答案】A【解析】解：由函数与函数互为反函数，则函数的图象与函数的图象关于直线对称，即命题p为真，函数与函数互为反函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，即命题q为真，故为真，故选：A．由原函数与其反函数的图象关于直线对称，又本题考查了反函数及反函数图象的对称性，属简单题5.函数的最大值为A. 2B.C.D.【答案】A【解析】解：由于：，所以：．函数，，，当时，．故选：A．首先把函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最大值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，二次函数的性质的应用，余弦型函数的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.若函数在上是增函数，则m的最大值是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数，，令：，解得：，在上是增函数，所以：，故：当时，．故选：D．首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.将函数图象所有的点向右移动个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，所得图象的函数解析式为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，所得图象的函数解析式为：，故选：C．利用三角函数的图象变换规律易知，再将其图象上各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，即可得到答案．本题考查函数的图象变换，掌握三角函数的图象变换规律是关键，属于中档题．8.函数满足对任意的实数x都有，且，，则的值为A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】解：函数满足对任意的实数x都有，，，，，，．故选：D．推导出，由，，得，，由此能求出的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.如图所示的程序框图输出的结果是A. 2018B.C. 1009D.【答案】C【解析】解：执行如图所示的程序框图知，该程序运行后是计算并输出，当时，终止循环，此时输出．故选：C．模拟执行题目中的程序框图，得出该程序运行后输出的S值．本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．10.函数的图象可能是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：当时，，故排除D；易知在R上连续，故排除B；且，故排除C，故选：A．分析四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解．本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法应用．11.已知定义在R上的偶函数在是单调递增的，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，为偶函数且在单调递增，则，若不等式对任意恒成立，则在区间上恒成立，又由，则，则，即在区间上恒成立，分析可得：，解可得：，即a的取值范围为；故选：A．根据题意，结合函数的奇偶性与单调性可得，进而可得在区间上恒成立，结合x的范围可得，据此可得，即在区间上恒成立，分析可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，关键是得到关于x的绝对值的不等式，属于综合题．12.若存在使得不等式成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：令，则题目中问题等价于“当时，有成立即可，当时，，在上单调递减，，由，解得，当时，在区间上单调递增，其值域为，当时，即时，在区间上恒成立，在上单调递增，，由，解得，与矛盾，时，即时，由的单调性以及值域可知，存在唯一的，使，且满足当，，为减函数，且满足当，，为增函数，，其中，，这与矛盾，综上a的取值范围为故选：B．本题属于求存在性问题，不是恒成立问题，考查函数的求导和函数的单调性的关系．令，则题目中的问题等价于当时，即可．本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的单调增区间为______．【答案】【解析】解：令，则，根据复合函数的同增异减的原则可得，的单调增区间，即函数时的减区间．由可得或故函数的定义域为．而由函数t的图象可得函数时的减区间为，时的增区间为．故答案为．本题即求函数时的减区间，再由函数t的图象可得结果．本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质的应用，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．14.已知幂函数在上单调递减，则函数的解析式为______．【答案】【解析】解：幂函数在上单调递减，，解得，函数的解析式为．故答案为：．利用幂函数的性质直接求解．本题考查函数解析式的求法，考查幂函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.已知函数的最小正周期为，为图象的对称轴，则函数在区间上零点的个数为______．【答案】2【解析】解：由题意，的最小正周期为；则；是函数图象的一条对称轴，则，；；；那么，其图象如图：可知函数在区间上零点的个数为2；故答案为：2．根据函数的最小正周期为，为图象的对称轴，可得解析式，结合余弦函数的图象可得在区间上零点的个数；本题主要考查余弦函数的图象及性质的应用属于基础题．16.已知，且对任意的恒成立，则的最小值为______．【答案】3【解析】解：设，则，当时，，即函数在为减函数，当时，，在不恒成立，即不成立．当时，设，得：，设，得：，即在区间上递减，在区间上递增，即，则，，，设则，易得，当时，则，当时，则，即在区间上递减，在区间上递增，即，故的最小值为3．故答案为：3．先，然后讨论和两种情况，求得，然后构造函数设求其最小值即可．本题考查了函数恒成立问题，通常采用分离变量最值法，逐步构造函数求函数的最值，本题属综合性较强的题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知，．求的值；求的值．【答案】解：，．，所以：，，，，，．，．则：，，所以：，所以：．【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出三角函数的值．利用的变换利用角的变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的变换的应用，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.已知函数．求函数的单调递减区间；设图象与图象关于直线对称，求时，的值域．【答案】解：函数．，令：，解得：，所以函数的单调递减区间为：．设图象与图象关于直线对称，则：，当时，则：，故：，故：，【解析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．利用函数的对称性，首先求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.已知，．当时，解不等式；若时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：时，可化为：，当时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得不成立；当时，不等式化为，解得综上所述：不等式的解集为或当时，，即恒成立，，解得；当时，，即恒成立，，当时，，即恒成立，，解得，综上所述：实数a的取值范围是：．【解析】代入后，对x3种情况讨论去绝对值解不等式，再相并；对x分3种情况去绝对值得不等式恒成立，求出a的范围，再相交．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．20.平面直角坐标系xOy中，曲线过点，其参数方程为为参数，以原点O为极点，X轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为．求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；已知曲线和曲线交于A，B两点，求的值．【答案】解：曲线过点，其参数方程为为参数，曲线的普通方程为，曲线极坐标方程为，，曲线的直角坐标方程为．联立，得或，设，，，，，．【解析】由曲线过点及其参数方程，能求出曲线的普通方程，从而能求出曲线极坐标方程．联立，得，，由此能求出的值．本题考查曲线普通方程和直角坐标方程的求不地，考查两线段的倒数和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.已知椭圆C：过点，为C内一点，过点P的直线l交椭圆C于A、B两点，，为坐标原点，当时，．求椭圆C的方程；求实数的取值范围．【答案】解：由于，则A、P、B三点共线，当时，，所以，点和点在椭圆上，因为椭圆C过点，则，将点的坐标代入椭圆的方程得，解得，因此，椭圆C的方程为；设直线l的方程为，设点、，将直线l的方程代入椭圆C的方程并化简得，由韦达定理可得，，，，，所以，，则，由于，所以，．所以，，则，由，上述两式相除得，由于，化简得，解得，所以，，因此，实数的取值范围是．【解析】先由椭圆C过点得出值，再由已知条件得出点在椭圆上，代入椭圆方程可得出b的值，于是可得出椭圆C的方程；设直线l的方程为，并设点、，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，并列出韦达定理，由可得，由已知条件得，将关系式代入韦达定理并消去，于是可得出的不等式，即可求出的取值范围．本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，属于难题．22.设函数．当时，求函数的单调区间；，恒成立，求最大的正整数a的值；，且，证明：．【答案】解：时，函数．．可知：函数在R上单调递增．而，时，；时，．函数的单调递减区间为，单调递增为．，恒成立，，化为：．．可知：时，函数取得极小值即最小值，．，的最大正整数值为8．证明：，且，要证明：．，．．令，则时，必需；时，必需．当时，．．可知：函数在内单调递增，而，．在时单调递减．．在内单调递增，成立．同理可得：时，必需．综上可得：，且，．【解析】时，函数可知：函数在R上单调递增，而，即可得出单调区间．，恒成立，，化为：利用导数研究函数的单调性即可得出．，且，要证明：，化为令，可知时，必需；时，必需利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学(理)试题(

【题文】动点(,)M x y6=.（1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知D ，直线l：y kx =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DB λ=且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）k >k <【解析】【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解. 【详解】（1）解：M点的轨迹是以()，()-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=. （2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=得12y y λ=-……①由12λ<<得0k ≠，由y kx =-得y x k+=代入2219x y +=整理()222190k y k ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立，由根与系数的关系得12219y y k+=-+……③ 212219k y y k=-+……④由①③得1119y k λ=-+2119y k λ=-+代入④整理得()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k的取值范围是k >k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.【标题】黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学（理）试题【结束】。

黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(理科)(内考).doc

实用文档2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）（内考）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 ．（5 分）＝（）A ．B．C． D ．2 ．（5 分）设集合A＝{﹣1，0，1}， B＝{x|2x＞2}，则 A ∩B＝（）A ． ? B． {﹣ 1} C． {﹣ 1， 0} D ． {0 ， 1}3 ．（5 分）若x，y满足不等式组，则z＝2x﹣3y的最小值为（）A ．﹣ 2B．﹣ 3C．﹣ 4 D ．﹣ 54 ．（5 分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，抛物线 y2＝2 px（ p＞0）的焦点坐标为（ 1 ，0 ），若e＝p，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y＝x B．y＝x C．y＝x D ．y＝x5 ．（ 5 分）随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为 3 部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为 1 ；第二部分为圆环部分，大圆半径为 3 ，小圆半径为 2 ；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）A ．B ．C ．D ．6 ．（ 5 分）设等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n ，且 S 4＝ 3S 2，a7 ＝ 15 ，则 {a n }的公差为（）A ． 1B ． 2C ． 3D ．47 ．（5 分）运行如图程序，则输出的 S 的值为（）A ． 0B ． 1C ． 2018D ．20178 ．（5 分）已知函数f （x ）＝ ln （ x +1 ）﹣ ax ，若曲线 y ＝f （x ）在点（ 0 ，f （ 0 ））处的切线方程为 y ＝ 2 x ，则实数 a 的值为（）A ．﹣ 2B ．﹣ 1C ． 1D ．29 ．（5 分）在长方体ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1D 1 中， BC ＝ CC 1 ＝1 ，∠AB 1 D ＝，则直线 AB 1 与BC 1 所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．10 ．（ 5 分）已知函数 f （x ）＝ cos x ﹣ sin x 在（ 0，α）上是单调函数，且f （α）≥﹣1 ，则α的取值范围为（） A ．（ 0 ， ] B ．（0 ，]C ．（ 0，]D ．（0 ， ]11 ．（ 5 分）已知半圆 C ：x 2+ y 2＝ 1（ y ≥0），A 、B 分别为半圆 C 与 x 轴的左、右交点，直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直，点P 在直线 m 上，纵坐标为 t ，若在半圆 C 上存在点 Q 使∠BPQ＝，则 t 的取值范围是（）A ． [﹣， 0 ）] B． [ ﹣， 0）∪（ 0 ，]C． [﹣， 0 ）∪（ 0 ，] D ．[ ﹣， 0）∪（ 0 ，]12 ．（ 5 分）在边长为 2 的菱形ABCD中，BD＝ 2 ，将菱形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使二面角 B﹣ AC﹣ D 的余弦值为，则所得三棱锥A﹣ BCD 的内切球的表面积为（）A ．B．πC． D ．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13 ．（ 5 分）已知 cos α＝﹣，则 cos2 α＝．14 ．（ 5 分）在（ 1+ x）（2+ x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）．15 ．（ 5 分）已知函数 f （x）是奇函数，且0≤x1＜ x2时，有＜ 1 ，f（﹣ 2 ）＝ 1 ，则不等式x﹣3≤f（ x）≤x 的解集为．16 ．（ 5 分）已知数列 {a n }的前n项和S n满足，S n＝3 a n﹣ 2，数列 {na n }的前n项和为T n，则满足 T n＞100 的最小的 n 值为．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 ～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22 ，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分．17 ．（ 12 分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且 S＝ bc cos A， C＝．（Ⅰ）求 cos B的值；（Ⅱ）若 c＝，求 S 的值．18 ．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ ABCD 中， AB ∥CD ，∠BCD＝， PA⊥ BD ， AB＝2，PA＝PD＝ CD＝ BC＝1．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面 ABCD；（Ⅱ）求直线PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．19 ．（ 12 分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200 名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的[0 ，10 ） [10 ，20 ） [20 ， 30 ）[30 ，40 ）[40 ， 50 ） [50 ， 60 ）时间 / 分钟总人数20 36 44 50 40 10 将学生日均体育锻炼时间在[40 ， 60 ）的学生评价为“锻炼达标”．（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面 2 ×2 列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20 110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10 人，进行体育锻炼体会交流，（ i）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ ii ）从参加体会交流的 10 人中，随机选出 2 人作重点发言，记这2 人中女生的人数为X ，求 X 的分布列和数学期望．参考公式： K 2＝，其中 n ＝ a + b + c + d临界值表P （ K 2≥k 0 ）0.10 0.05 0.025 0.010 k 02.7063.8415.0246.63520 ．（ 12 分）已知O 为坐标原点，椭圆：＝1 （＞ b ＞ 0）的左、右焦点分别为C aF 1 （﹣ c ， 0 ）， F 2（ c ，0 ），过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交所得的弦长为 3 ，直线 y ＝﹣与椭圆 C 相切．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线 l ：y ＝k （ x + c ）与椭圆 C 相交于 E ，D 两点，使得（）＜ 1 ？若存在，求 k 的取值范围；若不存在，请说明理由！21 ．（ 12 分）已知函数f （ x ）＝ e x﹣ ax ．（Ⅰ）若函数（）在x ∈（，2 ）上有 2 个零点，求实数a 的取值范围．（注e 3＞19 ）f x（Ⅱ）设 g （ x ）＝ f （ x ）﹣ ax 2，若函数 g （ x ）恰有两个不同的极值点x 1， x 2 证明：．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]22 ．（ 10 分）已知曲线 C 1 的参数方程为（α为参数），P 是曲线C 1上的任一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为Q ，线段 PQ 的中点的轨迹为C 2．（Ⅰ）求曲线 C 2 的直角坐标方程；（Ⅱ）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：sinθ﹣cosθ＝交曲线 C2于 M ， N 两点，求|MN |．[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分）23 ．已知函数f（ x）＝|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式 f （ x）+ f（2x+1）≥6；（Ⅱ）对 a+ b ＝1（ a， b＞0）及? x∈R，不等式 f（ x﹣ m ）﹣（﹣ x）≤恒成立，求实数 m 的取值范围．2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）（内考）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 ．（5 分）＝（）A ．B．C． D ．【考点】 A5 ：复数的运算．【专题】 38 ：对应思想； 4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝．故选： B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2 ．（5 分）设集合A＝{﹣1，0，1}， B＝{x|2x＞2}，则 A ∩B＝（）A ． ?B． {﹣ 1}C． {﹣ 1， 0} D ． {0 ， 1} 【考点】 1E ：交集及其运算．【专题】 11 ：计算题； 37 ：集合思想； 49 ：综合法； 5J：集合．【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解： B＝{x|x＞1}；∴A∩B＝?．故选： A ．【点评】考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义．3 ．（5 分）若x，y满足不等式组，则z＝2x﹣3y的最小值为（）A ．﹣ 2B．﹣ 3C．﹣ 4 D ．﹣ 5【考点】 7C ：简单线性规划．【专题】 11 ：计算题； 31 ：数形结合；35 ：转化思想；49 ：综合法； 5F：空间位置关系与距离．【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z 的最小值．【解答】解：画出 x， y 满足不等式组表示的平面区域，如图所示；平移目标函数z＝2x﹣3 y 知， A（2，3）， B（1，0）， C（0，1）当目标函数过点 A 时， z 取得最小值，∴z 的最小值为2×2 ﹣3 ×3 ＝﹣ 5 ．故选： D．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4 ．（5 分）已知双曲线＝ 1（a ＞ 0 ，b ＞0 ）的离心率为e ，抛物线 y 2＝2 px （ p ＞ 0 ）的焦点坐标为（ 1 ，0 ），若 e ＝ p ，则双曲线 C 的渐近线方程为（） A ． y ＝ x B ． y ＝ x C ． y ＝ x D ．y ＝x【考点】 KI ：圆锥曲线的综合．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转化思想； 49 ：综合法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：抛物线 y 2＝ 2px （ p ＞ 0）的焦点坐标为（ 1， 0 ），则 p ＝ 2 ，又 e ＝ p ，所以 e ＝＝ 2，可得c 2＝4 a 2＝ a 2+ b 2，可得： b ＝a ，所以双曲线的渐近线方程为： y ＝±．故选： A ．【点评】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，抛物线的简单性质的应用．5 ．（ 5 分）随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为 “黑白太阳”的图标，该图标共分为3 部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为 3、宽为 1 ；第二部分为圆环部分，大圆半径为3 ，小圆半径为 2 ；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）A ．B．C． D ．【考点】 CF：几何概型．【专题】 11 ：计算题； 38 ：对应思想； 4R ：转化法； 5I ：概率与统计．【分析】以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：图标第一部分的面积为8 ×3×1 ＝ 24 ，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝ 9 π，图标第三部分的面积为π× 2 2＝ 4 π，故此点取自图标第三部分的概率为，故选： B．【点评】本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．6 ．（ 5 分）设等差数列 {a n }的前n项和为S n，且S4＝ 3 S2，a7＝15，则{a n}的公差为（）A ． 1 B． 2 C． 3 D ．4【考点】 83 ：等差数列的性质．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 35 ：转化思想； 54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，设等差数列 {a n }的公差为 d ，分析可得4a1+6 d ＝3（2 a1+ d ），a1+6 d ＝ 15 ，解可得d 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设等差数列{a n }的公差为 d ，若S4＝3S2， a7＝15，则4a1+6 d ＝3（2a1+ d ），a1+6 d＝15，解可得 a1＝3， d＝2；故选： B．【点】本考等差数列的前n 和，关是掌握等差数列的前n 和公式的形式，属于基．7 ．（5 分）运行如程序，出的S 的（）A ． 0B． 1C． 2018 D ．2017【考点】 EF：程序框．【】 11 ：算； 27 ：表型； 4B ：法； 5K ：算法和程序框．【分析】由已知中的程序句可知：程序的功能是利用循构算并出量S 的，模程序的运行程，分析循中各量的化情况，可得答案．【解答】解：模程序的运行，可得程序的功能是利用循构算并出量S＝2017+ （sin+sin）+（sin+sin）+⋯+（sin+sin）的，可得： S＝2017+（sin+sin）+（sin+sin）+⋯+（sin+sin）＝2017 ．故： D．【点】本考了程序框的用，解模程序框的运行程，以便得出正确的，是基．8 ．（5 分）已知函数f（x）＝ ln （ x+1） ax，若曲 y ＝f（x）在点（0，f （0））的切线方程为 y ＝ 2 x ，则实数 a 的值为（）A ．﹣ 2B ．﹣ 1C ． 1D ．2【考点】 6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转化思想； 49 ：综合法； 53 ：导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f ′（0 ），求解即可；【解答】解： f （ x ）的定义域为（﹣ 1， + ∞），因为 ′（）＝﹣ ，曲线 y ＝（）在点（ 0 ，（ 0））处的切线方程为 y ＝ 2 x ，f x a f x f可得 1 ﹣ a ＝ 2 ，解得 a ＝﹣ 1 ，故选： B ．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．9 ．（5 分）在长方体ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1D 1 中， BC ＝ CC 1 ＝1 ，∠AB 1 D ＝，则直线 AB 1 与BC 1 所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】 LM ：异面直线及其所成的角．【专题】 11 ：计算题； 31 ：数形结合； 41 ：向量法； 5G ：空间角．【分析】以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 1 与 BC 1 所成角的余弦值．【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB ＝ a ，则 A （1 ， 0 ，0 ），D （ 0 ， 0 ， 0）， B 1（1 ，a ， 1 ），＝（﹣ 1，﹣ a ，﹣ 1），＝（ 0，﹣ a ，﹣ 1 ），∵∠AB 1D＝，∴cos＝＝，解得 a＝， B1（1，， 1 ），B（ 1 ，0 ），C1（ 0，， 1 ），＝（ 0 ，），＝（﹣ 1 ，0 ，1 ），设直线 AB 1与 BC1所成角为θ，则 cos θ＝＝＝．∴直线 AB 1与 BC1所成角的余弦值为．故选： D．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10 ．（ 5 分）已知函数 f （x）＝cos x﹣ sin x在（ 0，α）上是单调函数，且f（α）≥﹣1，则α的取值范围为（）A ．（ 0 ，]B．（0 ，]C．（ 0，] D ．（0 ，]【考点】 H5 ：正弦函数的单调性．【专题】 35 ：转化思想； 49 ：综合法； 56 ：三角函数的求值．数的图象，可得cos （α+ ）≥﹣ ，则 α+ ∈（， ] ，由此可得α的取值范围．【解答】解：函数 f （ x ）＝cos x ﹣ sin x ＝ 2cos （x +）在（ 0，α）上是单调函数，∴+ α≤π，∴0＜α≤ ．又 f （α）≥﹣1 ，即 cos （α+）≥﹣ ，则 α+∈（，]，∴α∈（0 ，]，故选： C ．【点评】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．11 ．（ 5 分）已知半圆 C ：x 2+ y 2＝ 1（ y ≥0），A 、B 分别为半圆 C 与 x 轴的左、右交点，直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直，点P 在直线 m 上，纵坐标为t ，若在半圆 C 上存在点 Q 使∠BPQ ＝，则 t 的取值范围是（）A ． [﹣ ， 0 ）]B ． [ ﹣ ， 0）∪（ 0 ，] C ． [﹣， 0 ）∪（ 0 ， ]D ．[ ﹣， 0）∪（ 0 ，]【考点】 JE ：直线和圆的方程的应用．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 35 ：转化思想； 5B ：直线与圆．【分析】根据题意，设 PQ 与 x 轴交于点 T ，分析可得在 Rt △PBT 中，|BT |＝ |PB |＝|t |，分 p 在 x 轴上方、下方和 x 轴上三种情况讨论，分析 |BT |的最值，即可得 t 的范围，综合可得答案．【解答】解：根据题意，设 PQ 与 x 轴交于点 T ，则 |PB |＝|t |，由于 BP 与 x 轴垂直，且∠ BPQ ＝，则在 Rt △PBT 中，|BT |＝ |PB |＝ |t |，当 P 在 x 轴上方时， PT 与半圆有公共点 Q ， PT 与半圆相切时， |BT |有最大值 3，此时 t有最大值，当 P 在 x 轴下方时，当Q 与 A 重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值﹣，则t取得最小值﹣，t＝0时， P 与 B 重合，不符合题意，则 t 的取值范围为[﹣，0）]；故选： A ．【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．12 ．（ 5 分）在边长为 2 的菱形ABCD中，BD＝ 2 ，将菱形ABCD 沿对角线 AC 对折，使二面角﹣﹣D 的余弦值为，则所得三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为（）B ACA ．B．πC． D ．【考点】 LR ：球内接多面体．【专题】 11 ：计算题； 21 ：阅读型； 35 ：转化思想；4A ：数学模型法；5U ：球．【分析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥ AC， BN ⊥AC ，可得出二面角 B﹣ AC﹣ D 的平面角为∠ BND ，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥B﹣ACD 为正四面体，根据内切球的半径为其棱长的倍得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点 N ，则 DN ⊥ AC，BN ⊥ AC．所以，∠ BND 是二面角 B﹣ AC﹣ D 的平面角，过点 B 作 BO ⊥ DN 交 DN 于点 O，可得BO⊥平面 ACD ．因为在△BDN 中，，所以，BD2 ＝BN2 +DN2﹣ 2BN?DN?cos ∠＝BND ，则 BD ＝2．故三棱锥 A﹣ BCD 为正四面体，则其内切球半径．因此，三棱锥A﹣ BCD 的内切球的表面积为．故选： C．【点评】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13 ．（ 5 分）已知 cos α＝﹣，则cos2α＝．【考点】 GS：二倍角的三角函数．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转化思想； 56 ：三角函数的求值．【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵ cos α＝﹣，∴cos2 α＝2cos 2α﹣1 ＝ 2×（﹣ ） 2﹣1 ＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14 ．（ 5 分）在（ 1+ x ）（2+ x ） 5 的展开式中， x 3的系数为120 （用数字作答）．【考点】 DA ：二项式定理．【专题】 11 ：计算题； 5P ：二项式定理．【分析】根据（ 2+ x ） 5的展开式的通项公式，计算在（1+ x ）（ 2+ x ）5 的展开式中含 x3的项是什么，从而求出x 3的系数．【解答】解：（2+ x ） 5的展开式的通项是，所以在（ 1+ x ）（ 2+ x ）5 ＝（ 2+ x ） 5+ x （ 2+ x ） 5的展开式中，含 x 3的项为，所以 x 3的系数为 120 ．故答案为： 120 ．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．15 ．（ 5 分）已知函数 f （x ）是奇函数，且 0 ≤x 1＜ x 2 时，有＜ 1 ， f （﹣ 2 ）＝ 1 ，则不等式 x ﹣3 ≤f （ x ）≤x 的解集为 [0 ， 2] ．【考点】 3N ：奇偶性与单调性的综合．【专题】 35 ：转化思想； 4M ：构造法； 51 ：函数的性质及应用．【分析】根据条件构造函数g （ x ）＝ f （ x ）﹣ x ，判断函数 g （x ）的奇偶性和单调性，【解答】解：由 x﹣3≤f（ x）≤x 等价为﹣3≤f （ x）﹣ x≤1设 g （ x）＝ f（ x）﹣ x，又由函数 f（x）是定义在R 上的奇函数，则有 f （﹣ x）＝﹣ f （x），则有 g （﹣ x）＝ f（﹣ x）﹣（﹣ x）＝﹣ f（ x）+ x＝﹣[ f（x）﹣ x]＝﹣ g （x ），即函数 g （ x）为 R 上的奇函数，则有 g （0）＝0；又由对任意0≤x1＜x2时，有＜1，则＝＝﹣1，∵＜1 ，∴＝﹣1＜0，即g （ x）在[0，+∞）上为减函数，∵g（ x）是奇函数，∴g（ x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，∵f（﹣2）＝1，∴g （﹣2）＝ f（﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3；g （2）＝﹣3， g（0）＝ f（0）﹣0＝0，则﹣ 3 ≤f（x）﹣x≤0 等价为g（ 2 ）≤g（x）≤g（ 0 ），∵g（ x）是减函数，∴0 ≤x≤2，即不等式 x﹣3≤f（ x）≤x 的解集为[0，2]；故答案为： [0 ， 2] ．【点】本考函数的奇偶性与性的合用，关是构造函数g （ x），利用特殊化分析不等式，利用函数奇偶性和性行化是解决本的关．16 ．（ 5 分）已知数列{a n }的前n和S n足，S n＝3 a n2，数列 {na n }的前n和T n，足 T n＞100的最小的 n7．【考点】 8H ：数列推式．【】 11 ：算； 34 ：方程思想； 35 ：化思想； 54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据意，将S n＝3a n 2 形可得S n﹣1＝ 3 a n﹣12，两式相减形可得 2 a n ＝ 3 a n﹣1，令n＝ 1 求出a1的，即可得数列 {a n }是以a1＝ 1 首，公比的等比数列，即可得数列 {a n}的通公式，而可得T n＝1+2×+3 ×（）2+ ⋯⋯+ n×（）n﹣1，由位相减法分析求出T n的，若T n＞100，即4+ （ 2 n 4 ）×（）n＞100 ，分析可得n 的最小，即可得答案．【解答】解：根据意，数列{a n }足S n＝ 3 a n 2 ，①当 n ≥2，有 S n﹣1＝3 a n﹣12，②，① ②可得： a n＝3 a n 3 a n﹣1，形可得 2 a n＝ 3 a n﹣1，当 n ＝1 ，有 S1＝ a1＝3 a12，解可得a1＝1，数列 {a n }是以a1＝ 1 首，公比的等比数列，a n＝（） n ﹣1，数列 { n }的前n 和Tn ， n ＝1+2 × +3 ×（）2+ ⋯⋯+n×（） n﹣1 ，③na T有T n＝+2 ×（）2+3×（）3+⋯⋯+n×（）n，④③ ④可得：T n＝1+（）+（）2+⋯⋯×（）n﹣1n×（）n＝2（1）n ×（）n，形可得： T n＝4+（2n 4 ）×（）n ，若 T n ＞ 100 ，即 4+ （ 2 n ﹣ 4 ）×（）n＞100 ，分析可得： n ≥7 ，故满足 T n ＞ 100 的最小的 n 值为 7 ；故答案为： 7．【点评】本题考查数列的递推公式，关键是分析数列{a n }的通项公式，属于基础题．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 ～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22 ，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分．17 ．（ 12 分）已知△ ABC 中，角 A ，B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，△ABC 的面积为S ，且 S ＝ bc cos A ， C ＝．（Ⅰ）求 cos B 的值；（Ⅱ）若 c ＝，求 S 的值．【考点】 HP ：正弦定理．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转化思想； 49 ：综合法； 58 ：解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可得tan A ＝ 2 ，利用同角三角函数基本关系式可求 sin A ， cos A ，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cos B 的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用正弦定理可得 b 的值，即可得解 S的值．【解答】解：（Ⅰ）∵ S ＝ bc sin A ＝ bc cos A ，∴sin A ＝ 2cos A ，可得： tan A ＝ 2，∵△ABC 中， A 为锐角，又∵sin 2 A +cos 2A ＝ 1，∴可得： sin A ＝， cos A ＝，又∵C＝，∴cos B＝﹣ cos （A+ C）＝﹣ cos A cos C+sin A sin C＝．（Ⅱ）在△ ABC 中，sin B＝＝，由正弦定理，可得： b ＝＝3，∴S＝ bc cos A＝3．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18 ．（ 12 分）如图，四棱锥P﹣ ABCD 中， AB ∥CD ，∠BCD＝，PA⊥BD，AB＝2，PA＝PD＝ CD＝ BC＝1．（Ⅰ）求证：平面 PAD ⊥平面 ABCD；（Ⅱ）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．【考点】 LY：平面与平面垂直；MI ：直线与平面所成的角．【专题】 14 ：证明题； 31 ：数形结合； 49 ：综合法； 5G ：空间角．【分析】（Ⅰ）推导出AD ⊥ BD，PA⊥ BD，从而 BD ⊥平面 PAD，由此能证明平面PAD ⊥平面 ABCD ．（Ⅱ）取AD 中点 O，连结 PO，则 PO⊥ AD ，以 O 为坐标原点，以过点O 且平行于BC 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 AB 的直线为 y 轴，直线 PO 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用职权向量法能求出直线PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵ AB∥CD ，∠BCD＝，PA＝PD＝CD＝BC＝1，∴BD＝，∠ABC＝，，∴，∵AB＝2，∴AD ＝，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵PA⊥BD ， PA∩AD ＝ A，∴BD⊥平面 PAD，∵BD?平面 ABCD ，∴平面 PAD⊥平面 ABCD ．解：（Ⅱ）取 AD 中点 O，连结 PO，则 PO⊥ AD ，且 PO ＝，由平面 PAD ⊥平面 ABCD，知 PO⊥平面 ABCD，以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 BC 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 AB 的直线为y轴，直线 PO 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A（， 0 ），B（， 0 ），C（﹣， 0），P（ 0 ， 0 ，），＝（﹣ 1， 0， 0 ），＝（﹣，），设平面 PBC 的法向量＝（x，y，z），则，取 z＝，得＝（0，，），∵＝（，﹣），∴cos ＜＞＝＝﹣，∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19 ．（ 12 分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200 名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的[0 ，10 ）[10 ，20 ） [20 ， 30 ）[30 ，40 ） [40 ， 50 ） [50 ， 60 ）时间 / 分钟总人数20 36 44 50 40 10 将学生日均体育锻炼时间在[40 ， 60 ）的学生评价为“锻炼达标”．（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面 2 ×2 列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20 110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10 人，进行体育锻炼体会交流，（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii ）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求 X 的分布列和数学期望．参考公式： K 2＝，其中n＝a+b+c+d临界值表P（ K2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010k 0 2.706 3.841 5.024 6.635【考点】 BL ：独立性检验； CG：离散型随机变量及其分布列；CH ：离散型随机变量的期望与方差．【专题】 49 ：综合法； 5I ：概率与统计；5O ：排列组合．【分析】（ I）列出列联表，利用独立性检验计算公式及其判定定理即可得出结论．（Ⅱ）（ i）在“锻炼达标”的学生50 中，男女生人数比为3： 2，用分层抽样方法抽出10 人，男生有 6 人，女生有 4 人．【解答】解：（ I）列出列联表，课外体育不达标课外体育达标合计男60 30 90女90 20 110合计150 50 200K2＝＝≈6.061 ＞ 5.021 ．所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．（6分）（Ⅱ）（ i）在“锻炼达标”的学生50 中，男女生人数比为 3 ： 2 ，用分层抽样方法抽出10 人，男生有 6 人，女生有 4 人．（ ii ）从参加体会交流的10 人中，随机选出 2 人作重点发言， 2 人中女生的人数为X，则 X 的可能值为0 ， 1 ， 2 ．则 P（（ X＝0）＝＝，P（（X＝1）＝＝，P（（X＝2）＝＝，可得 X 的分布列为：X 0 1 2P可得数学期望E（ X）＝0×+1 ×+2 ×＝．【点评】本题考查了独立性检验计算公式及其原理、超几何分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20 ．（ 12 分）已知O 为坐标原点，椭圆：＝1 （＞b＞ 0）的左、右焦点分别为C aF1（﹣ c，0）， F2（ c，0），过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆 C 相交所得的弦长为 3 ，直线 y＝﹣与椭圆 C 相切．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l：y ＝k（ x+ c）与椭圆 C 相交于 E，D 两点，使得（）＜ 1 ？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由！【考点】 KL ：直线与椭圆的综合．【专题】 15 ：综合题； 38 ：对应思想； 4R：转化法； 5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意可得＝ 3，以及直线y ＝﹣与椭圆C相切，可得b ＝，解之即得 a， b ，从而写出椭圆 C 的方程；（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵在＝1（a＞b＞0）中，令x＝c，可得 y ＝±，∵过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆 C 相交所得的弦长为3，∴＝ 3 ，∵直线 y＝﹣与椭圆C相切，∴b＝，∴a＝2∴a 2＝4， b2＝3．故椭圆 C 的方程为+＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c＝1，则直线 l 的方程为 y＝ k（ x+1），联立，可得（ 4 k 2+3 ）x2+8 k2x+4 k2﹣ 12 ＝ 0 ，则△＝64 k 4﹣ 4 （ 4 k2+3 ）（ 4 k2﹣ 12 ）＝ 144 （k2+1 ）＞ 0 ，∴x1+ x2＝﹣，x1x2＝，∴y1 y2＝ k 2（ x1+1）（ x2+1）＝﹣，∵（）＜1，∴?＜1，∴（x2﹣1， y2）（ x1﹣1，y1）＝ x1x2﹣（ x1+ x2）+1+ y 1y 2＜1，即++1 ﹣＜1，整理可得 k 2＜4，解得﹣ 2 ＜k＜ 2 ，∴直线 l 存在，且 k 的取值范围为（﹣2， 2）．【点评】本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21 ．（ 12 分）已知函数 f （ x ）＝ e x﹣ ax ．（Ⅰ）若函数 f （ x ）在 x ∈（，2 ）上有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．（注 e 3＞19 ）（Ⅱ）设 g （ x ）＝ f （ x ）﹣ ax 2，若函数 g （ x ）恰有两个不同的极值点x 1， x 2 证明：．【考点】 6D ：利用导数研究函数的极值．【专题】 33 ：函数思想； 4R ：转化法； 53 ：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）问题转化为 a ＝，令 h （ x ）＝，x ∈（， 2 ），根据函数的单调性求出 a 的范围即可；（Ⅱ）求出 2 a ＝，问题转化为证（ x 1 ﹣x 2）﹣+1 ＞ 0 ，令 x 1﹣ x 2＝ t （ t ＜0 ），即证不等式t﹣ e t+1 ＞0 ，当t ＜ 0 时恒成立，设 h （ t ）＝t﹣ e t+1 ，则 h ′（t ）＝﹣[ ﹣（ +1 ）] ，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由 f （ x ）＝ 0 ，得 a ＝，令 h （x ）＝， x ∈（， 2 ），h ′（x ）＝，故 h （x ）在（， 1 ）递减，在（ 1 ， 2）递增，又 h （）＝ 2， h （ 2）＝， h （ 1）＝ e ，故 h （2 ）＞ h （），故 a ∈（ e ， 2）；（Ⅱ） g （ x ）＝ f （ x ）﹣ ax 2＝ e x﹣ ax ﹣ ax 2，故 g ′（x ）＝ e x﹣ 2ax ﹣ a ，大全易知 a ＞ 0 （若 a ≤0 ，则函数 f （ x ）没有或只有 1 个极值点，与已知矛盾），且 g ′（x 1 ）＝ 0， g ′（x 2 ）＝ 0 ，故 ﹣2 ax 1 ﹣ a ＝ 0，﹣ 2 ax 2﹣ a ＝ 0 ，两式相减得 2a ＝，于是要证明＜ ln （2a ），即证明＜，两边同除以，即证（ x 1﹣ x 2 ）＞﹣ 1 ，即证（ x 1﹣ x 2 ）﹣ +1 ＞ 0，令 x 1﹣ x 2 ＝t （ t ＜ 0 ），即证不等式 t﹣ e t+1 ＞ 0，当 t ＜0 时恒成立，设 h （t ）＝ t﹣ e t+1 ，则 h ′（t ）＝﹣[ ﹣（ +1 ） ] ，设 k （）＝﹣（ +1 ），则 k ′（）＝（﹣ 1 ），tt当 t ＜0 时， k ′（t ）＜ 0 ， k （ t ）递减，故 k （ t ）＞ k （ 0）＝ 0 ，即﹣（ +1 ）＞ 0 ，故 h ′（t ）＜ 0 ，故 h （t ）在 t ＜ 0 时递减， h （ t ）在 t ＝ 0 处取最小值 h （ 0 ）＝ 0 ，故 h （t ）＞ 0 得证，故．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思想，是一道综合题．（二）选考题：共 10 分．请考生在第22 、 23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程]22 ．（ 10 分）已知曲线C1的参数方程为（α为参数），P是曲线C1上的任一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为Q，线段 PQ 的中点的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：sinθ﹣cosθ＝交曲线 C2于 M ， N 两点，求|MN |．【考点】 Q4 ：简单曲线的极坐标方程．【专题】 11 ：计算题； 5S ：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）利用 cos 2α+sin2α＝1 消去α可得圆C1的普通方程，设PQ的中点坐标为（ x， y），则 P 点坐标为（2 x， y），将 P 的坐标代入C1的方程即可得；（Ⅱ）先把 l 的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入C2的直角坐标方程可得M ，N 的横坐标，再根据弦长公式可得弦长|MN |．【解答】解：（Ⅰ）利用cos 2α+sin 2α＝1 消去α可得（x﹣ 3 ）2 + （y﹣ 1 ）2＝ 4，设 PQ 的中点坐标为（x， y），则 P 点坐标为（2x， y），则 PQ 中点的轨迹方程为（ 2 x﹣ 3 ）2+ （y﹣1 ）2＝ 4 ．（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为y﹣ x＝1，2 2得 x＝，∴|MN |＝∴联立 y﹣ x＝1与（2 x﹣3）+（y﹣ 1 ）＝4＝．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分）23 ．已知函数f（ x）＝|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式 f （ x）+ f（2x+1）≥6；（Ⅱ）对 a+ b ＝1（ a， b＞0）及? x∈R，不等式 f（ x﹣ m ）﹣（﹣ x）≤恒成立，求实数 m 的取值范围．【考点】 3R ：函数恒成立问题；R6 ：不等式的证明．【专题】 15 ：综合题； 35 ：转化思想； 4R ：转化法； 5T：不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用 1 的代换，结合基本不等式先求出+的最小值是9 ，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ） f（x）+ f（2 x+1）＝|x﹣2|+|2 x﹣1|＝当x＜时，由3﹣3 x≥6，解得 x≤﹣1；当≤x≤2时， x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得 x≥3．所以不等式f（ x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1] ∪ [3 ， + ∞）．（Ⅱ）∵ a+ b＝1（ a， b ＞0），∴（a+ b ）（+ ）＝ 5++ ≥5+2 ＝ 9 ，∴对于? x∈ R，恒成立等价于：对? x∈ R，|x﹣2 ﹣m |﹣ |﹣x﹣ 2| ≤9 ，即[| x﹣ 2 ﹣m |﹣ |﹣x﹣ 2|] max≤9∵|x﹣ 2﹣m |﹣ |﹣x﹣ 2| ≤|（x﹣ 2 ﹣m）﹣（x+2 ）|＝ | ﹣4﹣m |∴﹣9≤m +4 ≤9，∴﹣13 ≤m≤5 ．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用 1 的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。