函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续知识点总结
函数极限连续知识点总结一、函数极限的定义1.1 函数的极限概念首先，我们先来了解一下函数的极限概念。
对于给定的函数$f(x)$和实数$a$，如果当$x$趋于$a$时，函数$f(x)$的取值无限接近某个确定的实数$L$，那么我们称$L$为函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$，并称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时收敛于$L$。
1.2 函数极限的定义根据上面的概念，我们可以得到函数极限的严格定义：设函数$f(x)$在点$a$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0 <|x - a| < \delta$时，就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立，那么就称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$。
上述定义可以用符号表示为：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。
1.3 函数极限的几何意义函数极限的定义反映了函数在某一点附近的变化趋势。
通过函数图像可以直观地理解函数极限的几何意义：当$x$在点$a$的邻域内时，函数$f(x)$的图像逐渐接近直线$y=L$，并且可以任意地靠近直线$y=L$。
这也就意味着函数在$x$趋于$a$时，其值可以无限接近于$L$。
1.4 函数极限存在的充分条件函数极限的存在需要满足一定的条件，下面给出函数极限存在的充分条件：（1）函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义；（2）存在实数$L$，使得对任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。
函数极限和连续中难点疑点解析及重要公式与结论关于
函数、极限和连续中的难点、疑点解析及重要公式与结论文章来源：文都教育函数、极限和连续是高数或微积分的基础，且与后边的内容联系比较紧密，如导数的概念、定积分的定义等等都是用极限进行定义的，是我们必须要掌握的内容。
同学们在刚开始学习时一定打好基础，为了更好的学习这章的内容，文都教研组的老师对这部分的难点和疑点进行分析，以及给出一些重要的公式与结论。
1. 函数的奇偶性、周期性与导数、积分间的联系：（1）设()f x 是可导的偶函数，则()'f x 为奇函数，且()'00f =；设()f x 是可导的奇函数，则()'f x 为偶函数。
（2）设()f x 连续，若()f x 是偶函数，则()0xf t dt ⎰为奇函数； 若()f x 是奇函数，则对任意的a ，()x a f t dt ⎰为偶函数。
（3）设()f x 在[],a a -上连续，则若()f x 是偶函数，则()()02a aaf x dx f x dx -=⎰⎰； 若()f x 是奇函数，则()0a a f x dx -=⎰。
（4）可导的周期函数的导函数仍然是同周期函数。
（5）设()f x 是以T 为周期的函数，则()()()220T T a TT a f x dx f x dx f x dx -+==⎰⎰⎰， ()()00nTTf x dx n f x dx =⎰⎰。
2. 在自变量不同变化过程中的函数极限及其联系：（1）()()()()0000lim lim lim lim x x x x x x x x f x A f x f x f x A -+→→→→=⇔===； （2）()()()()lim lim lim lim x x x x f x A f x f x f x A →∞→∞→-∞→+∞=⇔===； （3）()()lim lim x n f x A f n A →+∞→∞=⇒=； （4）设0lim n n x x →∞=，且0n x x ≠，()0lim x x f x A →=，则()()0lim lim n n x x f x f x A →∞→==。
数学中的函数极限与连续性知识点
数学中的函数极限与连续性知识点函数极限与连续性是数学中非常重要的概念，在解决实际问题和理论研究中起着至关重要的作用。
在本文中，我们将深入探讨函数极限与连续性的基本概念、性质以及相关定理，并举例说明其在实际问题中的应用。
一、函数极限的定义与性质函数极限是研究函数在某一点上的变化趋势的重要工具。
在介绍函数极限之前，我们首先需要定义一些基本的概念。
设函数f(x)在点x_0的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都能找到另一个正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x) - A| < ε成立，其中A为常数，则称函数f(x)在点x_0处极限为A，记作lim┬(x→x_0)f(x)=A。
函数极限具有以下性质：1.唯一性：函数极限是唯一的，即一个函数在某一点的极限只能有一个值。
2.局部有界性：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x)| < M成立，其中M为常数。
3.局部保号性：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有f(x)与A同号。
二、连续性的概念与性质连续性是函数学中的一个重要的概念，是函数极限的基础。
一个函数在一个点x_0处连续，意味着在该点的函数值与极限值相等。
函数f(x)在区间[a, b]上连续，是指f(x)在该区间内的每一个点都连续。
在具体分析连续性时，我们需要关注以下几个方面的性质：1. 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数在其定义域内连续。
2. 复合函数的连续性：若f(x)在点x_0处连续，且g(x)在点y_0=f(x_0)处连续，则复合函数h(x) = g[f(x)]在点x_0处连续。
3. 极限运算法则：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，lim┬(x→x_0)g(x)=B，则lim┬(x→x_0)[f(x)±g(x)] = A±B，lim┬(x→x_0)[f(x)g(x)] = A·B，及lim┬(x→x_0)[f(x)/g(x)] = A/B（其中B≠0）。
函数连续与存在性问题
函数连续与存在性问题函数连续性和存在性是数学中重要的概念。
在本文档中，我们将探讨函数连续性和存在性的基本概念以及与之相关的一些重要性质。
函数连续性函数连续性是指函数在某个特定区间上没有突变或跳跃的性质。
具体地说，如果函数在某个点的左极限和右极限存在且相等，那么函数在该点处是连续的。
这可以表示为以下公式：lim_{{x \to c^-}} f(x) = \lim_{{x \to c^+}} f(x) = f(c)其中 $c$ 是函数的一个特定点。
函数连续性的一个重要结果是介值定理。
介值定理指出，如果一个函数在一个区间的两个端点处取不同的函数值，那么在该区间内一定存在一个点，使得函数取介于这两个端点函数值之间的任意值。
这个定理在数学分析和应用问题中经常被用到。
函数存在性函数存在性指的是函数在某个特定区间内是否存在值。
通常，在函数连续性的前提下，我们可以推断函数的存在性。
如果一个函数在某个区间上连续，并且在一个端点处取某个函数值，那么该函数在该区间内一定存在一个点，使得函数取该函数值。
函数存在性的一个重要概念是零点定理。
零点定理指出，如果一个函数在某个区间的两个端点处取正负不同的函数值，那么在该区间内一定存在一个点，使得函数取零值。
这个定理在解方程和求根等问题中有着广泛的应用。
总结函数连续性和存在性是数学中基本的概念，也是许多重要定理的基础。
它们在数学分析和实际问题中有着广泛的应用价值。
了解函数连续性和存在性的基本概念及其相关定理，对于解决数学问题和理解数学模型都是至关重要的。
希望本文档能为读者提供清晰的理解和启发，并能在实际问题中进行应用和进一步探索。
高等数学极限的公式总结
高等数学极限的公式总结在高等数学中，极限的公式是非常重要的概念，这些公式能够帮助我们理解函数的极限，并进行极限的运算。
以下是一些常见的高等数学极限的公式总结：1. 极限的四则运算性质：lim(a+b) = lim a + lim blim(a-b) = lim a - lim blim(ab) = lim a lim b (假设lim a 和 lim b都存在)lim(a/b) = lim a / lim b (假设lim b 不等于0)2. 极限的常数性质：lim a = a (当a是一个常数)3. 极限的单调性：lim(f(x0+delta x) - f(x0)) / delta x = f'(x0) (当delta x -> 0)4. 连续函数的性质：如果f(x)在x0处连续，那么lim f(x) = f(x0) 当 x -> x05. 无穷小量与无穷大量：当x -> 0时，x是无穷小量，1/x是无穷大量。
6. 洛必达法则：如果lim (f'(x)/g'(x))存在，那么lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)) (当x->a时)。
7. 泰勒公式：对于任何n阶可导函数f(x)，存在一个多项式Pn(x)，使得对于所有-∞ < x < ∞，有f(x) = Pn(x) + o(x^n)，其中o(x^n)是高阶无穷小。
8. 夹逼准则：如果存在一个区间或闭区间[a, b]，满足f(a) <= g(a), f(b) >= g(b)，并且lim f(x) = lim g(x)，则lim g(x)存在，并且lim g(x) = lim f(x)。
9. 无穷大与无穷小的关系：lim x -> ∞ f(x) = lim x -> ∞ f(x) （如果存在的话）lim x -> ∞ f(x) = 0 （如果lim x -> ∞ f(x)存在的话）10. 极限的唯一性：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x - x0 < δ时，有f(x) - A < ε。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
函数两个重要极限公式
函数两个重要极限公式函数两个重要极限公式：第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限是微积分中的基础概念,它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。
极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理
函数
函数是满足一定函数关系的变量间的对应关系，它是一种数学模型，用来描述两个变量之间的关系，是数学中相当重要的概念，如函数
`y=f(x)`中，x是自变量，而y则是函数表达式`f(x)`的因变量。
极限
极限是数学中的一个重要概念，它可以用来描述一个变量在另一个变量接近一些值时可能达到的极限情况，它表明一个变量在另一个变量接近一个特定值时，都会趋于一个确定值，即极限值，如函数`y=f(x)`的极限表示为`lim f(x)=L`，即表示当`x`的值趋于其中一特定值时，函数
`f(x)`的值都趋于极限值`L`。
连续
连续是一种数学表示方式，它描述的是数学中其中一变量的变化是连续的，即在任何变量任意两个点之间，原始函数的图像没有断点，而是一条连续曲线，如果函数`y=f(x)`是连续的，则表明变量`x`在其中一区间内的任何取值，函数`f(x)`都有唯一对应的值，而且是连续变化的。
1、极限定理：定义域内的每一个点都存在，则函数`y=f(x)`的极限表示为`lim f(x)=L`，其中`L`是极限值。
2、连续定理：函数`y=f(x)`是连续的，则变量`x`在其中一区间内的任何取值，函数`f(x)`都有唯一对应的值，而且是连续变化的。
3、泰勒定理：如果一个函数`f(x)`是n次可导的。
函数的极限与连续知识点总结
函数的极限与连续知识点总结函数的极限与连续性是数学中一个重要的概念，它不仅在数学分析和计算方面有着重大的意义，而且在大多数科学和技术领域都有着重要的应用。
因此，了解函数的极限与连续性以及与它们相关的知识，对于我们了解科学和技术，进行算法设计和分析，甚至是进行科学探索都有着重要的意义。
首先，让我们从函数的极限的概念开始讨论。
函数的极限的概念指的是当函数的某个参数的值趋向于某个特定的数值或无穷大时，函数值的变化趋势。
函数的极限可以用数学公式来表达，比如在实数范围内，函数f(x)的极限lim x→a f(x)=L，表示当x趋近于a时，f(x)的值趋于L。
函数的极限也被称为特殊的函数，其特殊的参数是极限点，也就是变量的值趋向某个特定的值时，函数的变化趋势可以用函数的极限来表达。
其次，接下来我们来讨论函数的连续性的概念。
函数的连续性可以定义为，当函数的某个参数的值在转变时，函数的值也在变化，但是这种变化是无穷连续的，即它没有跳变，而是逐渐发生变化。
函数的连续性可以用数学公式来表达，就像函数f(x)在实数范围内连续，可以用f(x)在[a,b]内连续或者f(x)在(a,b)内连续来表达。
再次，函数的极限与连续性之间也存在着重要的联系，函数的极限可以用来定义函数的连续性，并从而被用于验证函数的连续性。
有一个重要的定理，叫做特征赤值定义，其定义函数f(x)在[a,b]间连续的条件是，函数f在该区间内的极限都存在，且该极限的值一定是函数的赤值。
也就是说，如果一个函数的极限存在，并且极限的值就是函数的赤值，那么这个函数就是在[a,b]间连续的。
最后，函数的极限与连续性也被用于其他科学和技术领域，比如信号处理和控制系统设计，以及计算机科学，甚至是人工智能的研究。
例如，在信号处理中，函数的极限可以被用来计算信号的平均值，而函数的连续性可以被用来分析信号的峰峰值和稳定性。
在计算机科学领域，函数的极限可以用来分析算法的效率，而函数的连续性则可以用来分析计算机程序的流程性和可读性。
极限与连续函数的关系与性质
极限与连续函数的关系与性质极限与连续函数是微积分学中的重要概念，它们在数学和物理等领域的应用广泛。
本文将介绍极限和连续函数的关系以及它们的性质。
一、极限的定义与性质1. 极限的定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，若对于任意给定的正实数ε，存在正实数δ，使得当0 < |x-a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，则称L是函数f(x)当x趋于a时的极限。
即表示为lim(x→a) f(x) = L。
2. 极限的性质：- 唯一性：如果lim(x→a) f(x)存在，那么极限是唯一的。
- 局部有界性：如果lim(x→a) f(x) = L存在，则存在一个正实数δ，使得a的邻域内，函数f(x)有界。
- 局部保号性：如果lim(x→a) f(x) = L存在且L>0（或L<0），则存在一个正实数δ1，当0 < |x-a| < δ1时，f(x) > 0（或f(x) < 0）。
- 保序性：如果lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，且L1 < L2，则对于充分小的正实数ε，存在正实数δ，当0 < |x-a| < δ时，有f(x) < g(x) - ε。
二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，在[a,b]内的任意一点c 上，lim(x→c) f(x) = f(c)，则称函数f(x)在区间[a,b]上连续。
2. 连续函数的性质：- 有界性：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数f(x)在区间[a,b]上有界。
- 介值性：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且不恒取常数，则对于函数f(x)的任意两个值f(a)和f(b)之间的任意实数L，存在区间[a,b]上的某个点c，使得f(c) = L。
- 零点定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)和f(b)异号（即f(a) * f(b) < 0），则在区间[a,b]上至少存在一个点c，使得f(c) = 0。
函数的极限与连续性的概念与应用
函数的极限与连续性的概念与应用函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
而函数的极限和连续性，更是函数理论中重要的概念和工具。
本文将讨论函数的极限和连续性的概念，并探讨它们在实际应用中的重要性。
一、函数的极限概念函数的极限是指当自变量逼近某个特定值时，函数值的趋势或取值趋近于某个确定的常数。
形式化地说，设函数为f(x)，当x接近于某个常数a时，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得只要0<|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε成立，其中L为常数，则函数f(x)在x趋近于a时的极限为L。
函数的极限概念是数学分析中的基础概念，它对于研究函数的性质和变化趋势具有重要意义。
通过对函数的极限的研究，我们可以得到函数的单调性、凸凹性、极大值、极小值等性质，进而对函数进行更深入的分析。
二、函数的连续性概念函数的连续性是指函数在其定义域上的每一点都存在极限，并且该极限等于该点的函数值。
换句话说，函数在定义域上的每一点上的左极限、右极限都存在，并且等于该点函数值。
如果函数在定义域上的每个点都连续，则称该函数在该定义域上连续。
函数的连续性概念对于研究函数的光滑性和连贯性具有关键作用。
连续函数具有许多重要性质，比如介值定理、最值定理等，这些性质在实际问题的建模和求解中具有重要的应用。
三、函数极限与连续性的应用1. 物理学中的运动学在物理学中，函数的极限和连续性的概念应用广泛，特别是在运动学中。
通过对物体运动过程中位移、速度、加速度等量的函数关系进行极限和连续性分析，可以精确描述和预测物体在运动过程中的状态。
2. 经济学中的边际效应在经济学中，函数的极限和连续性的概念被广泛用于描述边际效应。
通过对经济变量之间的关系进行极限和连续性分析，可以研究经济活动中的边际效应，比如边际成本、边际收益等。
3. 工程学中的信号处理在工程学中，函数的极限和连续性的概念在信号处理中得到广泛应用。
通过对信号的极限和连续性分析，可以对信号进行滤波、降噪等处理，提高信号的质量和准确性。
函数极限连续重要概念公式定理
一、函数、极限、连续重要概念公式定理(一)数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义:给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 就是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=、若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散、收敛数列的性质:(1)唯一性:若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限就是唯一的.(2)有界性:若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤、(3)局部保号性:设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或、(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A 、(三)函数极限存在判别法 (了解记忆)1.海涅定理:()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞=.2、充要条件:(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==、3、柯西准则:()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<、4、夹逼准则:若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则lim ()x x f x A →=、5、单调有界准则:若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在、(四)无穷小量的比较 (重点记忆)1、无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==、(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α就是比)x β（高阶的无穷小量、 (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量、 (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（就是同阶无穷小量、 (4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~、 (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2、常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x xx x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 (五)重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==、定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中、定理3 (保号定理):0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或、定理4 单调有界准则:单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限、 定理5 (夹逼定理):设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=.定理6 无穷小量的性质:(1)有限个无穷小量的代数与为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量.定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量. 定理8 极限的运算法则:设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限. 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续. 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续.(六)重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=、(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式:设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n m a x a x a x a a n m b b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩L L . (4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==、 (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=1,n = limarctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=、 (七)连续函数的概念1、 ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件:①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦、 2、 ()f x 在0x 左连续:()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=、 3、 ()f x 在0x 右连续:()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=、 4、 ()f x 在(),a b 内连续:如果()f x 在(),a b 内点点连续.5、 ()f x 在[],a b 内连续:如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续.(八)连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1.有界性定理:设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤.2.最大最小值定理:设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得:()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈、3.介值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,μ就是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤.4.零点定理:设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<(九)连续函数有关定理1.连续函数的四则运算:连续函数的与、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数.2.反函数的连续性:单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续.3.复合函数的连续性:()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续.4.初等函数的连续性:一切初等函数在其定义区间内就是连续函数.(十)间断点的定义及分类1.定义:若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点.2.间断点的分类。
高数公式大全
高数公式大全高等数学是一门涉及多个分支和概念的学科，其中包含了许多重要的公式和定理。
以下是一些高等数学中常用的公式和定理的详细内容：1. 极限与连续性：- 极限的定义：对于函数f(x)，当x无限接近于某个值a时，如果f(x)的值无限接近于L，则称L为f(x)在x=a处的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
- 常用极限公式：- lim(x→a)(c) = c，其中c为常数。
- lim(x→a)(x^n) = a^n，其中n为正整数。
- lim(x→a)(sin(x)) = sin(a)。
- lim(x→a)(e^x) = e^a，其中e为自然对数的底数。
- lim(x→∞)(1/x) = 0。
- lim(x→0)(sin(x)/x) = 1。
2. 导数与微分：- 导数的定义：对于函数f(x)，在某个点x=a处的导数表示函数在该点的变化率，记作f'(a)或df(x)/dx|_(x=a)。
- 常用导数公式：- (c)' = 0，其中c为常数。
- (x^n)' = nx^(n-1)，其中n为正整数。
- (sin(x))' = cos(x)。
- (cos(x))' = -sin(x)。
- (e^x)' = e^x。
- (ln(x))' = 1/x。
- 微分的定义：对于函数f(x)，在某个点x=a处的微分表示函数在该点的线性近似，记作df(x)。
- 常用微分公式：- df(x) = f'(x)dx。
3. 积分与定积分：- 不定积分的定义：对于函数f(x)，其不定积分表示函数的原函数，记作∫f(x)dx。
- 常用不定积分公式：- ∫(c)dx = cx，其中c为常数。
- ∫(x^n)dx = (1/(n+1))x^(n+1)，其中n不等于-1。
- ∫(sin(x))dx = -cos(x)。
- ∫(cos(x))dx = sin(x)。
- ∫(e^x)dx = e^x。
高等数学-极限与连续公式概念(2021年整理)
高等数学-极限与连续公式概念(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高等数学-极限与连续公式概念(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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极限与连续๑▪数列有界的充要条件是数列既有上界又有下界。
▪数列极限存在与否、极限是什么，与数列前面的有限项无关,只与后面的无穷多项有关。
若改变数列有限项，不影响数列的极限。
▪数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一。
若=a，则=a2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3)保号性：若=a，=b，且a，则存在正整数N，当n N时,恒有。
若=a，且a(或a b）,则存在正整数N，当n N时，有(或b)若=a,且a(或a0)，则存在正整数N，当n N时，有（或0）▪函数极限=A的充要条件是==A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关.即=▪函数极限的性质：1)极限的惟一性:若函数f(x)当（或）时有极限,则其极限惟一.2)局部有界性3)局部保号性▪极限运算法则:设limf（x）=A，limg（x）=B，则1）lim[f(x）]=A B2）lim［f(x)g(x)］=AB3）当B时,lim =4）lim［cf（x)］=climf（x） (c为常数）5）lim[f(x)= ［limf(x） (k为常数）▪当，时，有 =▪复合函数运算法则：=▪数列的夹逼准则：设有3个数列{}{｝{｝,满足条件：1）（n=1，2,…）；2）==a，则数列{}收敛，且=a▪函数的夹逼准则：设函数f（x),g（x)，h(x)在点的某去心邻域内有定义，且满足条件：1)g（x)f(x)h（x）；2)=A，。
连续与极限的基本概念
连续与极限的基本概念在数学中，连续与极限是两个十分重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍连续与极限的基本概念以及相关的性质和定理。
一、连续的基本概念连续是指函数在某个区间上的无间断性。
具体来说，给定一个函数f(x)，如果对于该函数的任意x值，只要x在该函数的定义域内，都有f(x)存在且存在有限，那么我们就说函数f(x)在该定义域上是连续的。
连续函数具有以下性质：1. 第一类间断点：如果在某个点a处，函数f(x)的左、右极限存在且相等，但与f(a)不相等，那么称a为函数f(x)的第一类间断点。
2. 第二类间断点：如果在某个点a处，函数f(x)的左、右极限存在，但左、右极限不相等或者其中至少一个不存在，那么称a为函数f(x)的第二类间断点。
二、极限的基本概念极限是指函数在某个点上的趋近性。
具体来说，给定一个函数f(x)，如果对于给定的实数L，对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，那么我们就说函数f(x)在x=a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限具有以下性质：1. 一致极限性质：如果对于函数f(x)，当x无穷大时，其极限L与任意ε都存在这样的N，当x > N时，有|f(x) - L| < ε，那么我们称函数f(x)在无穷远处的极限为L。
2. 唯一性：函数f(x)在某个点x=a处的极限若存在，则该极限唯一。
3. 局部有界性：如果函数f(x)在某个点x=a处的极限存在，那么该函数在该点附近存在一个区间，使得函数在该区间上有界。
三、连续与极限的关系连续与极限是密切相关的。
事实上，连续函数在其定义域上的每个点处的极限都存在且与函数在该点处的函数值相等。
四、重要定理连续函数具有一些重要的性质和定理，其中包括：1. 介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且对于任意给定的实数α和β，且α < β，存在一个实数c，使得f(c) = ξ，其中α < ξ< β，那么函数f(x)在开区间(α, β)上至少存在一个点x0，使得f(x0) = ξ。
第一章 函数的极限与函数的连续性
1第一章 函数的极限与函数的连续性一、学习目的与要求1、了解函数极限的ε—δ定义，会用它证明一些简单函数的极限。
2、了解无穷小，无穷大的概念。
掌握无穷小的比较。
3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。
4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。
5、了解在闭区间上连续函数的性质。
二、学习重点函数极限的概念及计算三、内容提要1、数列极限与函数极限设v u ,表示数列变量n x 或函数变量，在同一个极限过程中,lim ,lim B v A u ==该极限过程可以是数列极限或函数极限中的任一种,A 、B 、a 、β是常数，则极限有以下性质。
2注 X 的形式与极限过程相关，当u 、v 是数列时，n n X |{=≥}N ，N 是某个自然数；当u 、v 是函数变量，极限过程是-→0x x 时，),(00x x X δ-=，极限过程是),(,00δx U X x x=→时，其余类推。
（III ）基本极限公式e n nn n n =+=∞→∞→)11(lim ,01lim， )0(1lim lim ,0)1(lim >===-+∞→∞→∞→a a n n n n n n n nn n n n n n )1(lim ,21)(lim 2-=-+∞→∞→不存在,)11(lim ,)1(lim 10e xe x x x xx =+=+∞→→ ,11lim ,1sin lim 00=-=→→xe xxx x x ,01sinlim ,1)1ln(lim0==+→→xx xx x x x x e 1lim →不存在， xx x ||lim0→不存在。
（IV ）极限之间的联系（1）)(lim )(lim )(lim 0x f A x f A x f x x x x x x -+→→→==⇔=（2）.)(lim )(lim )(lim A x f x f A x f x x x ==⇔=-∞→+∞→∞→（3）⇔=→A x f x x )(lim 0对任意趋于0x 的数列n x ，有A x f n n =∞→)(lim2．无穷小量与无穷大量 （I ）概念无穷小量 在指定极限过程中以零为极限的变量3无穷大量 在指定极限过程中趋于无穷大的变量)(v o u = 表示u 是较v 高阶的无穷小量，即0/lim =v u)(v O u = 表示u 与v 是同阶的无穷小量，即a a v u ,/lim =是非零常数。
连续函数极限值等于函数值
连续函数极限值等于函数值连续函数的极限值等于函数值是一个非常重要的数学概念，也是微积分中关于极限的基本定理之一、在这个定理中，我们可以证明当一个函数在其中一点连续时，它在这一点的极限值等于这个点的函数值。
首先，我们需要了解连续函数的概念。
在数学中，一个函数f(x)在其中一点x=a处连续，意味着满足以下三个条件：1.函数f(x)在x=a处有定义；2.函数f(x)在x=a的邻域内有定义；3.函数f(x)在x=a处的极限存在，并且等于函数的函数值。
当一个函数f(x)在其中一点x=a处连续时，我们可以表达为：lim(x->a) f(x) = f(a)要证明这个定理，我们可以从极限的定义出发。
根据极限的定义，对于一个函数f(x)，当x趋近于a时，f(x)趋近于L，可以表示为：lim(x->a) f(x) = L我们需要证明当f(x)在x=a处连续时，L=f(a)成立。
为了证明这一点，我们可以利用反证法。
假设存在一个函数f(x)在x=a处连续，但是lim(x->a) f(x) 不等于f(a)。
也就是说，当x趋近于a时，f(x)不趋近于f(a)，而是趋近于另外一个值L。
根据我们的假设，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε成立。
因为f(x)在x=a处连续，所以也存在另外一个δ'>0，当0<，x-a，<δ'时，有，f(x)-f(a)，<ε成立。
我们可以选择一个δ*，它满足0 < δ* < min(δ, δ')。
这意味着当0 < ，x-a，< δ*时，既有，f(x) - L，< ε，也有，f(x) - f(a)，< ε成立。
我们可以通过δ*的选择，将上述两个不等式合并起来，得到：f(x)-L，+，f(x)-f(a)，<2ε(因为，f(x)-L，和，f(x)-f(a)，的和小于2ε)通过三角不等式的性质，我们可以得到：L-f(a)，<=，f(x)-L，+，f(x)-f(a)，(对于任意实数a、b，有，a+b，<=，a，+，b，)结合上述不等式，我们可以得到：L-f(a)，<2ε因此，当f(x)在x=a处连续时，对于任意给定的ε>0，满足，L-f(a)，<2ε。
函数、极限、连续重要概念公式定理
一.函数.极限.持续主要概念公式定理（一）数列极限的界说与收敛数列的性质数列极限的界说：给定命列{}nx ,假如消失常数A ,对任给0ε>,消失正整数N ,使当n N >时,恒有nxA ε-<,则称A 是数列{}nx 的当n 趋于无限时的极限,或称数列{}nx 收敛于A ,记为lim nn x A →∞=.若{}n x 的极限不消失,则称数列{}nx 发散.收敛数列的性质：(1)独一性：若数列{}nx 收敛,即lim nn xA →∞=,则极限是独一的．(2)有界性：若lim nn xA →∞=,则数列{}n x 有界,即消失0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim nn xA →∞=,且()00A A ><或,则消失正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .（二）函数极限的界说（三）函数极限消失判别法(懂得记忆)1．海涅定理：()0lim x xf x A →=⇔对随意率性一串0n x x →()0,1,2,nxx n ≠=,都有()lim nn f x A →∞=．2.充要前提：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x xf x A f x f x A +-→→→=⇔==;(2)lim ()lim()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x xf x A →=⇔对随意率性给定的0ε>,消失0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若消失0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于随意率性两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且消失常数M,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞消失.（四）无限小量的比较(重点记忆)1.无限小量阶的界说,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim 0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无限小量.(2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量.(3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无限小量.(4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~.(5)()lim (0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量2.经常应用的等价无限小量(命题重点,积年必考) 当0x →时,（五）主要定理(必记内容,懂得控制)定理1 000lim ()()()x xf x A f x f x A -+→=⇔==.定理20lim ()()(),lim ()0x x x xf x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x xf x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理 4 单调有界准则：单调增长有上界数列必有极限;单调削减有下界数列必有极限.定理5 (夹逼定理)：设在0x 的范畴内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无限小量的性质：(1)有限个无限小量的代数和为无限小量; (2)有限个无限小量的乘积为无限小量; (3)无限小量乘以有界变量为无限小量．定理7在统一变更趋向下,无限大量的倒数为无限小量;非零的无限小量的倒数为无限大量．定理8 极限的运算轨则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim (0)()f x A Bg x B= ≠定理9 数列的极限消失,则其子序列的极限必定消失且就等于该数列的极限．定理10 初等函数在其界说域的区间内持续． 定理11设()f x 持续,则()f x 也持续．（六）主要公式(重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim 1x xx→=(2)101lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(经由过程变量调换,这两个公式可写成加倍一般的情势：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n ma x a x a x a a n mb b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩．(4)函数()f x 在0x x =处持续()()()0f x f x f x -+⇔==.(5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度 (6)几个经常应用极限lim e 0,x x →-∞=lim e ,x x →+∞=∞0lim 1x x x +→=. （七）持续函数的概念1. ()f x 在0x x =处持续,需知足三个前提： ①()f x 在点0x 的某个范畴内有界说 ②()f x 当0x x →时的极限消失③()()00lim x xf x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左持续：()f x 在(]00,xx δ-内有界说,且()()00lim x x f x f x -→=.3. ()f x 在0x 右持续：()f x 在[)0,x xδ+内有界说,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内持续：假如()f x 在(),a b 内点点持续．5. ()f x 在[],a b 内持续：假如()f x 在(),a b 内持续,且左端点x a =处右持续,右端点x b =处左持续．（八）持续函数在闭区间上的性质(重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上持续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对随意率性的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上持续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈;()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上持续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上持续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）持续函数有关定理1．持续函数的四则运算：持续函数的和.差.积.商(分母在持续点处的数值不为零)仍为持续函数．2．反函数的持续性：单值.单调增长(削减)的持续函数,其反函数在对应区间上也单值.单调增长(削减)且持续．3．复合函数的持续性：()u x ϕ=在点0x 持续,()0x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 持续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 持续．4．初等函数的持续性：一切初等函数在其界说区间内是持续函数．（十）间断点的界说及分类1．界说：若在0x x =处,()0lim x x f x →不消失,或()0f x 无界说,或()()00lim x xf x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类一.函数.极限.持续（一）数列极限的界说与收敛数列的性质数列极限的界说：给定命列{}nx ,假如消失常数A ,对任给0ε>,消失正整数N ,使当n N >时,恒有nxA ε-<,则称A 是数列{}nx 的当n 趋于无限时的极限,或称数列{}nx 收敛于A ,记为lim nn x A →∞=.若{}n x 的极限不消失,则称数列{}nx 发散.收敛数列的性质：(1)独一性：若数列{}nx 收敛,即lim nn xA →∞=,则极限是独一的．(2)有界性：若lim nn xA →∞=,则数列{}n x 有界,即消失0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim nn xA →∞=,且()00A A ><或,则消失正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .（二）函数极限的界说（三）函数极限消失判别法(懂得记忆)1．海涅定理：()0lim x xf x A →=⇔对随意率性一串0n x x →()0,1,2,nxx n ≠=,都有()lim nn f x A →∞=．2.充要前提：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x xf x A f x f x A +-→→→=⇔==;(2)lim ()lim()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x xf x A →=⇔对随意率性给定的0ε>,消失0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若消失0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于随意率性两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且消失常数M,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞消失.（四）无限小量的比较(重点记忆)1.无限小量阶的界说,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim 0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无限小量.(2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量.(3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无限小量.(4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~.(5)()lim (0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量2.经常应用的等价无限小量(命题重点,积年必考) 当0x →时,（五）主要定理(必记内容,懂得控制)定理1 000lim ()()()x xf x A f x f x A -+→=⇔==.定理20lim ()()(),lim ()0x x x xf x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x xf x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理 4 单调有界准则：单调增长有上界数列必有极限;单调削减有下界数列必有极限.定理5 (夹逼定理)：设在0x 的范畴内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无限小量的性质：(1)有限个无限小量的代数和为无限小量; (2)有限个无限小量的乘积为无限小量; (3)无限小量乘以有界变量为无限小量．定理7在统一变更趋向下,无限大量的倒数为无限小量;非零的无限小量的倒数为无限大量．定理8 极限的运算轨则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=±(2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim (0)()f x A Bg x B= ≠定理9 数列的极限消失,则其子序列的极限必定消失且就等于该数列的极限．定理10 初等函数在其界说域的区间内持续． 定理11设()f x 持续,则()f x 也持续．（六）主要公式(重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim 1x xx→=(2)101lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(经由过程变量调换,这两个公式可写成加倍一般的情势：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n ma x a x a x a a n mb b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩．(4)函数()f x 在0x x =处持续()()()0f x f x f x -+⇔==.(5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度 (6)几个经常应用极限lim e 0,x x →-∞=lim e ,x x →+∞=∞0lim 1x x x +→=. （七）持续函数的概念1. ()f x 在0x x =处持续,需知足三个前提： ①()f x 在点0x 的某个范畴内有界说 ②()f x 当0x x →时的极限消失③()()00lim x xf x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左持续：()f x 在(]00,xx δ-内有界说,且()()00lim x x f x f x -→=.3. ()f x 在0x 右持续：()f x 在[)0,x xδ+内有界说,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内持续：假如()f x 在(),a b 内点点持续．5. ()f x 在[],a b 内持续：假如()f x 在(),a b 内持续,且左端点x a =处右持续,右端点x b =处左持续．（八）持续函数在闭区间上的性质(重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上持续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对随意率性的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上持续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈;()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上持续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上持续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）持续函数有关定理1．持续函数的四则运算：持续函数的和.差.积.商(分母在持续点处的数值不为零)仍为持续函数．2．反函数的持续性：单值.单调增长(削减)的持续函数,其反函数在对应区间上也单值.单调增长(削减)且持续．3．复合函数的持续性：()u x ϕ=在点0x 持续,()0x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 持续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 持续．4．初等函数的持续性：一切初等函数在其界说区间内是持续函数．（十）间断点的界说及分类1．界说：若在0x x =处,()0lim x x f x →不消失,或()0f x 无界说,或()()00lim x xf x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类。
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一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限是唯一的．(2)有界性：若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤.(3)局部保号性：设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .（二）函数极限的定义（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)1．海涅定理：()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞=．2.充要条件：(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==.3.柯西准则：()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<.4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则lim ()x x f x A →=.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在.（四）无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==.(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x xx x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==.定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中.定理3 (保号定理)：0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或.定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=．定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量． 定理8 极限的运算法则：设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限． 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续． 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续．（六）重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n m a x a x a x a a n m b b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩L L ． (4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==. (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=1,n = limarctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=. （七）连续函数的概念1. ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件：①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦. 2. ()f x 在0x 左连续：()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=. 3. ()f x 在0x 右连续：()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=. 4. ()f x 在(),a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内点点连续．5. ()f x 在[],a b 内连续：如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续．（八）连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1．有界性定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤．2．最大最小值定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得：()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈.3．介值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续,μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤．4．零点定理：设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<（九）连续函数有关定理1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数． 2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续．3．复合函数的连续性：()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续．4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．（十）间断点的定义及分类1．定义：若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点．2．间断点的分类。