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孙维刚教学思想之学法指导初探

1 引言

孙维刚老师带领的班级，全班40人，38人达重点线，22人考入清华、北大（达55%），100%上大学，破天荒地创造了“真实的神话”，一直是教育界崇拜学习的对象！孙维刚因而被中国教育界誉为传奇教师，有“中国数学教育之父”的称号。孙维刚的教育教学思想内容十分丰富，在这里本文只是就他在数学教学中所体现的学法指导方面来进行探讨，以有助于了解和把握数学教学与指导学生学习的方向。

2 孙维刚教学法分析

在教学中，孙老师让学生主动学习、探索学习，做学习的主人，积极思考与老师互动教学。教学中他想尽办法培养和激发学生学习的欲望和探索精神，让学生积极参与教学，充分思考，锻炼多向思维，鼓励学生有自己的思想和独到见解。他觉得做题不能题海战术，要精简更要经典，培养学生的发散思维和聚合思维，使学生觉得学习数学是极大的轻松、快乐和富有成就感。

孙老师最善于归纳总结，他把中学数学总结出四个“大规律”、十五个“中规律”、还有三四十个“小规律”，他把知识形成网络，四通八达，真是“条条大路通罗马”，使得中学数学的学习变得简单有趣，易于掌握。更重要的是，他将这种方法迁移到各学科的学习，给予学生的是一种可持续发展的能力。具体学法指导如下。

1）引导学生自己动手证明每个公式、每个定理，独立做题，善于归纳总结。

2）在课堂学习中，他营造民主的学习氛围，让学生对知识进行质疑和挑战，与老师互动、与同学互动，训练发达思维，真正做课堂的主人，以便促进学生之间聪明才智的相互影响。

3）时时注意寻找知识之间的联系和规律。

①世上不存在“没有为什么的事物”。孙维刚常说世上不存在“没有为什么的事物”，他让学生探索其中的奥妙，培养学生的探索精神和创新意识；对知识展开争论，鼓励百花齐放，百家争鸣。

下面举一个例子[1]。在高等数学里，函数级数（ancosnx+bnsinnx）为什么起名为三角级数呢？因为这个级数是以三角函数列1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，...，cosnx，sinnx，

...为基础所做成的函数级数。

为什么该数列称作三角函数列呢？是因为数列的项是三角函数sinnx 和cosnx。为什么sinnx和cosnx称作“三角”函数呢？是因为一方面f （x）=sinx和f（x）=cosx符合函数的定义；另一方面，它们是“三角学”里的函数。为什么它们所在的数学分支称作“三角学”？也就是说，它们为什么产生于“三角学”中？即这个分支为什么称作“三角学”呢？

“三角学”的建立产生于测量计算的需要，面临“解三角形”的课题，故而称之“三角学”，尽管它后来的发展已远远超出“解三角形”的范围。

问到何时为止呢？问到1+2=3时才罢休。这样追根溯源的结果是什么？一是八方联系，导致浑然一体。原以为离散的知识，原来都有条不紊地联系在一起。二是通过追问，可以找出事物之间的联系，有助于形成学生的联想习惯和联想能力，形成知识网络。三是渐渐形成一种好的学习方

法，养成好的学习习惯，在学习探索中，在形成的知识网络中，游刃有余地理解、掌握新的知识。

②寻找联系与区别，在比较中学习新知识。孙维刚指导学生对知识要刨根问底，寻求知识之间的关联，在比较中学习新知识，站在系统的高度教学知识，强调思维向哲理的高度升华，注重八方联系、浑然一体。孙维刚利用独特的方法建立强大的知识网络，学生不必一个个去攻克去掌握知识，而是在系统中在比较中学习掌握新知识的方法，寻找它与旧知识的联系与区别，归纳共性、剖析个性，自然会水到渠成、事半功倍。

如在学习一次函数y=kx时，归纳出数轴上的三个点0、1、-1把数轴分成4个区（-∞，-1），（-1，0），（0，1），（1，+∞），当k在这3个点及这4个区间上分别取值时，概括了函数y=kx的图象的全部变化情况，从而可以深入地掌握一次函数图象乃至增减性等的全部知识。

那么，学习二次函数y=ax2、幂函数y=xa、指数函数y=ax、对数函数y=logax时，只要仍是讨论a在上述3个点及4个区间上分别取值时，与一次函数y=kx的k分别取值时作对比，不但能轻而易举地掌握它们的图象乃至增减性的全部知识，还会把这5个函数编织成一幅图案，使之浑然一体。

4）正确对待做题――有效提高解题水平的捷径。正确精练做题，既可以掌握知识应用，又可以加深对知识的理解。通过解题中的观察、剖析、联想、探索等到解题方法的形成过程，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。

孙维刚所用的方法简单地说来有四点：题务必精，一题多解，多解归

一，多题归一。在解题中指导学生归纳共性，突出个性，八方联系，浑然一体，在形成的知识网络中归纳出科学有效的解题规律。

①题要精简，更要经典。精简，题目要少而精，要有代表性，不能题海战术。经典，题目不应当只是一些死记硬背的内容，要综合性强，要有应用价值，教科书似的精题，并能使学生做到一通百通，举一反三；在解题方法上，解题的思路要活力四射，要灵活机动，综合运用，而不是机械地堆砌公式，索然无味；类型相同的题目，做有代表性的几道即可，不要大量重复；不选用脱离常规方法的偏题、怪题；等等[2]。

②一题多解，发散思维。开展一题多解教学，可以更为清楚地认识到条件与结论、条件与条件、问题与方法之间的实质性联系。三角形内角平分线性质定理是孙维刚与他的学生在课堂上所解的一道经典例题，总共想出24种证法[3]。

③多解归一，聚合思维。在一题多解的基础上，分析和寻求不同解法的共同本质，锻炼学生的聚合思维。这里有两层意思：一是在思想方法上有哪些是共同的；二是在具体步骤上有哪些是共同的。

④多题归一，总结规律。一个好的解题思考规律的形成，应当是在多解归一（共性）的基础上，再比较一类题目方法上的共同点，发掘它们的共同点的一致性，从而形成普适性的解题思考规律，找到解决一类题的“万能钥匙”。

5）经常让学生开展问题研讨，指导学生写总结，撰写论文。

6）要做到“温故而知新”，学习过后要经常回顾、反思，只有总结、反思才能有所优化和进步。