万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题
中考数学考点系统复习 第三章 函数 方法技巧突破(一) 反比例函数中的面积问题
S 阴影＝|k1|－|k2|
图形
S ＝S －S 阴影 △AOB △AOD 结论 1 1
＝2|k1|－2|k2|
S ＝S －S 阴影 △COB △OCD 11
＝2|k1|－2|k2|
图形
过点 D 作 DF⊥x 轴于点
结论
S 阴影＝S 矩形 －S －S ＝ OABC △OCD △OAE |k1|－|k2|
【模型示例】
图形
结论
S 四边形 PMON＝|k|
S ＝S 四边形 ABCD
四边形 PQMD
2．(2021·荆州)如图，过反比例函数 y＝kx(k>0，x>0) 图象上的四点 P1，P2，P3，P4 分别作 x 轴的垂线，垂足 分别为 A1，A2，A3，A4，再过 P1，P2，P3，P4 分别作 y 轴， P1A1，P2A2，P3A3 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从 左到右依次为 S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则 S1 与 S4 的数量关 系为 S1＝S1＝44SS44.
x 轴于点 B，连接 BC，则△ABC 的面积等于
A．8
B．6 C．4 D．2
( C)
模型四：两点两垂线 【模型特征】
反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂 线围成的图形面积等于 2|k|.
【模型示例】
图形
结论
S△APP′＝2|k| S 四边形 ANBM＝2|k|
4．(2021·南京)如图，正比例函数 y＝kx 与函数 y＝6x的图象交于 A，B 两点，BC∥x 轴，AC∥y 轴，则 S△ABC＝1 12 2.
A．4
B．6
C．8
D．12
( C)
反比例函数中的面积问题(共26张PPT)
课后精练
解：(1)如图，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H， ∵直线 AB 的解析式为 y＝－2x＋4，∴B 点坐标为(0，4)， A 点坐标为(2，0)． ∵∠OAB＋∠DAH＝90°，∠ADH＋∠DAH＝90°， ∴∠BAO＝∠ADH. 又∵∠BOA＝∠AHD，∴△AOB∽△DHA. ∴ADOH＝ABOH＝AADB＝12.∴D2H＝A4H＝12，解得 DH＝4，AH＝8. ∴D(10，4)，则 k＝10×4＝40. 故答案为：40.
③若 M 点的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k＝2＋ 3；
7.如图，函数 y＝kx(k 为常数，k＞0)的图象与过原点的 O 的直线 相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧)，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别 交 x 轴，y 轴于点 E，F.现有以下四个结论：
课后精练
∵D(10，4)，∴D′(10，－4)． 设直线 CD′的解析式为 y＝ax＋d， 则180a＋a＋dd＝＝8－ ，4，解得da＝＝－566. ， 故直线 CD′的解析式为 y＝－6x＋56. 当 y＝0 时，x＝238，故 P 点坐标为238，0. 延长 CD 交 x 轴于 Q，此时|QC－QD|的值最大， ∵CD∥AB，D(10，4)，∴直线 CD 的解析式为 y＝－2x＋24. ∴Q(12，0)．∴PQ＝12－238＝83. 故 P 点坐标为238，0，Q 点坐标为(12，0)，线段 PQ 的长为83.
专题2 反比例函数中的面积问题
考点解读
反比例函数中的面积类问题是最能体现数形结合思想 方法的一类问题，几何中的函数问题使图形性质代数 化，函数中的几何问题使代数知识图形化，利用“数”
反比例函数中的面积问题
解得 k=2 评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。 第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相 等，列出含k的方程求k值。
例2（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数 与函数 在第二象限的交点， 轴于B， 轴于D，且矩形ABOD的பைடு நூலகம்积为3． （1）求两函数的解析式． （2）求两函数的交点A、C的坐标．
图象上，∴
解得x=1从而所求面积为π 评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有 对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
四、 讨论与面积有关的综合问题 例8．（2008山东省）（1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：
与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积.
.解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上 ∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=
（2）∵B点的横坐标为-4， ∴纵坐标为y=2 ∴B(-4，2) ∵点A（-2，4）、 点B（-4，2）在直线y=kx+b上 ∴ 4=-2k+b 且2=-4k+b 解得 k=1 b=6 ∴直线AB为y=x+6 与x轴的交点坐标C（-6，0）
（3）若点P是y轴上一动点，且 ， 求点P的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得 -k=3 ∴
∴反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 （2）由 ，解得 ，
∴点A、C的坐标分别为（
，3），（3， ） （3）设点P的坐标为（0，m） 直线 与y轴的交点坐标为M（0，2） ∵
中考数学复习方法技巧突破(一)反比例函数中的面积模型教学课件
3．★(2022 · 营口)如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的边 OA 在 x 轴
正半轴上，其中∠OAB＝90° ，AO＝AB，点 C 为斜边 OB 的中点，反比例
k 函数 y＝x(k>0，x>0)的图象过点 C 且交线段 AB 于点 D，连接 CD，OD，若
3 S△OCD＝2，则 k 的值为
方法技巧突破(一) 反比例函数中 的面积模型
模型一：单个反比例函数的图象与三角形的面积
1 S△POA＝2|k|
1 S△ABC＝2|k|
1 S△ABC＝2|k|
S△AOB＝|k|(OA＝AB)
S△APP′＝2|k|
1 S△AOB＝2OD·|xB－xA|
S△ABM＝|k|
1 S△AOC＝S△BOD＝2|k|
k 7．如图，点A，C为函数y＝ x (x＜0)图象上的两点，过点A，C分别作AB ⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点 E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为34时，k的值为－－2 2.
模型三：双反比例函数的图象与三角形(四边形)的面积
1
1
S△ABC＝S△AOB＝2|k1|＋2|k2|
11．(2021·齐齐哈尔)如图，点A
是反比例函数y＝
k1 x
(x<0)图象上一
点，AC⊥x
轴于点C且与反比例函数y＝
k2 x
(x<0)的图象交于点B,
AB＝
3BC，连接OA, OB.若△OAB的面积为6，则k1＋k2＝－－2020 .
S矩形ABCD＝|k1－k2|
1 S△AOB＝2|k1－k2|
2
k
8．(2021·丹东)如图，点A在双曲线y1＝ x (x>0)上，点B在双曲线y2＝ x
2020年数学中考 专题复习 万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题
万能解题模型(一)反比例函数中的面积问题前言：“一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节从小学到初中，学生们经历了无数次考试。
通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。
但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。
结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。
这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。
做好试卷分析和总结是十分有必要的。
那么，怎样做好试卷分析呢？我认为，应从下面两点做起：一．失分的原因主要有如下四方面：（1）考试心理：心理紧张，马虎大意；（2）知识结构：知识面窄，基础不扎实；（3）自身能力：审题不清，读不懂题意；（4）解题基本功：答题规范性差。
只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。
二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？（1）怎样做出来的？——想解题方法；（2）为什么这样做？——思考解题原理；（3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路；（4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律；（5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路；（6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。
转变，让我们从一轮复习开始。
按照上面两点认真完成后面练习题。
希望每一位同学经过一轮复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜中考。
类型1 单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积S △AOP ＝12|k| S △ABC ＝12|k| S △ABC ＝12|k|1．(2019·枣庄)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC ＝90°，CA ⊥x 轴，点C 在函数y ＝kx(x ＞0)的图象上．若AB ＝1，则k 的值为(A)A ．1B.22C. 2 D ．2类型2 单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积S 四边形PMON ＝|k| S 四边形ACDE ＝S 四边形EFGB2．如图，A ，B 两点在双曲线y ＝4x 上，分别经过A ，B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，已知S 阴影＝1，则S 1＋S 2＝(D)A ．3B ．4C ．5D ．6类型3 双曲线上不在同一象限上两点一垂线形成的三角形的面积S △ABM ＝|k| S △ABM ＝|k|S △CDE ＝S △ACD ＋S △ADE ＝12AD·|y C －y E | S △ABC ＝S △BCD ＋S △ACD ＝12CD·|x B －x A |3．(2019·黄冈)如图，一直线经过原点O ，且与反比例函数y ＝kx(k>0)相交于点A 、点B ，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，连接BC.若△ABC 面积为8，则k ＝8．类型4 双曲线上不在同一象限上两点两垂线形成的三角形或四边形的面积S △APP′＝2|k| S ▱AMBN ＝2|k|4．如图，A ，B 是函数y ＝2x的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则(B)A ．S ＝2B ．S ＝4C ．2＜S ＜4D ．S ＞45．(2019·郴州)如图，点A ，C 分别是正比例函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝4x的图象的交点，过A 点作AD ⊥x轴于点D ，过C 点作CB ⊥x 轴于点B ，则四边形ABCD 的面积为8．类型5 双曲线上在同一象限上任意两点与原点形成的三角形的面积作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点M ，BF ⊥x 轴于点F ，S △OAM ＝S 四边形MEFB ，S △AOB ＝S 直角梯形AEFB .6．如图，AB 是反比例函数y ＝3x在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是1和3，则S △AOB＝4．类型6 两条双曲线与一条平行于坐标轴的直线所形成的几何图形的面积S 矩形ABCD ＝|k 1－k 2| S ▱ABCD ＝|k 1－k 1| S △AOB ＝12|k 1－k 2| S △ABC ＝S △AOB ＝12|k 1|＋12|k 2|7．(2019·鸡西)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y ＝1x 上，顶点B 在反比例函数y ＝5x上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是(C) A.32 B.52 C ．4 D ．68．如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC 平行于x 轴，分别交y ＝3x (x ＞0)，y ＝kx(x ＜0)的图象于B ，C 两点．若△ABC 的面积为2，则k 的值为－1．9．(2019·株洲)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 为反比例函数y ＝kx(k ＞0)上不同的三点，连接OA ，OB ，OC ，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B ，C 分别作BE ，CF 垂直x 轴于点E ，F ，OC 与BE 相交于点M ，记△AOD 、△BOM 、四边形CMEF 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则(B)A ．S 1＝S 2＋S 3B ．S 2＝S 3C ．S 3＞S 2＞S 1D ．S 1S 2＜S 2310．(2019·本溪)如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB 和菱形OCDE 的边OA ，OE 都在x 轴上，点C 在OB 边上，S △ABD ＝3，反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象经过点B ，则k。
专题：反比例函数中的面积问题
微专题 反比例函数中的面积问题
模型一 一点一垂线
反比例函数图象上一点与坐标轴垂线、另一坐标轴上一点(含原点)围成的三 角形面积＝ |k|.
1
S△ABC＝ 2 |k|
S△ABC＝12 |k|
1
S△AOC＝ 2 |k|
1. 如图，点A在反比例函数y＝－ 4 的图象上，AM⊥y轴于点M，点P是x轴上的一
方法一：S△EOF＝S△EOD－S△FOD. 方法二：作EM⊥x轴于点M，交OF于点B，FA⊥x轴于点A，则S△OEB＝S四边形 BMAF(划归到模型一)，则S△EOF＝S直角梯形EMAF.
类型一 两交点在反比例函数同一支上
Байду номын сангаас
方法一：当
BE CE
或
BFFA＝m时，则S四边形OFBE＝m|k|.
方法二：作EM⊥x轴于点M，
A. 1
B. m－1
C. 2
D. m
第3题图
模型四 两点两垂线
反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形 面积＝2|k|.
SABC 2 | k |
易得四边形ANBM是平行四边形， ∴S四边形ANBM＝AM·NM＝AM·2OM＝2|k|
模型四 两点两垂线 反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形
＝ ＝
1
2
1
OM·AM＋12 OM·BC |k|＋1 |k|＝|k|
22
S△ABM＝S△ADM＋S△MDB
＝
1 2
MD·|yB－yA|
S△ABM＝S△BMO＋S△AMO
＝
1 2
MO·|xB－xA|
3. 如图，直线y＝mx与双曲线y＝k (k≠0)交于点A，B，过点A作
反比例函数背景下的面积问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
模型介绍一、反比例函数k 的几何意义1.反比例函数k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k 。
如图二，所围成三角形的面积为2k二、利用k 的几何意义进行面积转化1.如图，直线AB 与反比例函数k y x=（0k ≠）交于A 、B 两点，与x 、y 轴的交点分别为C 、D ，那么OAB OCD OBD OAC S S S S ∆∆∆∆=--，此方法是绝大部分学生选用的方法。
但是，从效率来讲，就比较低2.如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。
【例1】．如图，反比例函数y＝在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，则△AOB的面积是8．过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∴x＝2时，y＝3；x＝6时，y＝1，＝S△OBD＝3，故S△ACOS四边形AODB＝×（3+1）×4+3＝11，故△AOB的面积是：11﹣3＝8．故答案为：8．变式训练【变1-1】．如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若，△AOB的面积为12，则k的值为（）A．4B．6C．10D．12解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，∵OC∥AD，，∴，∴，k＞0，∴k＝12，故选：D．【变1-2】．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，＝4，则k的值为16．若E是AB的中点，S△BEF解：设E（a，），则B纵坐标也为，∵E是AB中点，∴F点坐标为（2a，），∴BF＝BC﹣FC＝﹣＝，＝4，∵S△BEF∴a•＝4，∴k＝16．故答案是：16．【例2】．如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为12．解：解法一：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵BC∥x轴，∴AE⊥BC，∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，∴A（，6），B（，4），∴AE＝2，BE＝﹣＝，∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，∴k＝1，∴k＝12．解法二：同理知：BE＝1，设A（a，6），则B（a+1，4），∴6a＝4（a+1），∴a＝2，∴k＝2×6＝12．故答案为12．变式训练【变2-1】．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是（）A．9B．8C．7D．6解：∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，∴A（4，3），B（2，6），作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，＝S△BOE＝×12＝6，∴S△AOD＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，∵S△OAB＝（4+2）×（6﹣3）＝9，∴S△AOB故选：A．【变2-2】．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝a﹣．（结果用a，b表示）解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），∵点P为曲线C1上的任意一点，∴mn＝a，＝mn﹣b﹣b﹣（m﹣）（n﹣）∴阴影部分的面积S△AOB＝mn﹣b﹣（mn﹣b﹣b+）＝mn﹣b﹣mn+b﹣＝a﹣．故答案为：a﹣．1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（）A．3B．2C．D．4解：作AE⊥BC于E，连接OA，∵AB＝AC，∴CE＝BE，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝×2CE＝CE，∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴＝（）2＝4，∵△BCD的面积等于1，OC＝OB，＝S△BCD＝，∴S△COD＝4×＝1，∴S△CEA∵OC＝CE，＝S△CEA＝，∴S△AOC＝+1＝，∴S△AOE＝k（k＞0），∵S△AOE∴k＝3，故选：A．2．如图，OC交双曲线y＝于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB ∥x轴，则k的值是（）A．18B．50C．12D．解：延长DA、交x轴于E，∵四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴，∴∠CAB＝∠AOE，∴DE⊥x轴，CB⊥x轴，∴∠AEO＝∠ABC∴△AOE∽△CAB，∴＝（）2，∵矩形ABCD的面积是8，OC：OA＝5：3，∴△ABC的面积为4，AC：OA＝2：3，∴＝（）2＝，＝9，∴S△AOE∵双曲线y＝经过点A，＝|k|＝9，∴S△AOE∵k＞0，∴k＝18，故选：A．3．如图，已知点A，B分别在反比例函数y1＝﹣和y2＝的图象上，若点A是线段OB 的中点，则k的值为（）A．﹣8B．8C．﹣2D．﹣4解：设A（a，b），则B（2a，2b），∵点A在反比例函数y1＝﹣的图象上，∴ab＝﹣2；∵B点在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝2a•2b＝4ab＝﹣8．故选：A．4．如图，点A（m，n），B（4，）在双曲线y＝上，且0＜m＜n．若△AOB的面积为，则m+n＝（）A．7B．C．D．3解：∵点A（m，n），B（4，）在双曲线y＝上，∴mn＝4×＝k，∴mn＝k＝6，∴双曲线为y＝，∴n＝，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，＝S△AOD+S梯形ADEB﹣S△BOE＝S梯形ADEB，∵S△AOB∴（+）（4﹣m）＝，解得m1＝1，m2＝﹣16，∵0＜m＜n．∴m＝1，∴n＝6，∴m+n＝7，故选：A．5．如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴＝3，则S△于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD＝3，S△BCDAOC为（）A．2B．3C．4D．6解：在Rt△BCD中，∵×CD×BD＝3，∴×CD×3＝3，∴CD＝2，∵C（2，0），∴OC＝2，∴OD＝4，∴B（4，3），∵点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，∴k＝12，∵AC⊥x轴，＝＝6，∴S△AOC故选：D．6．如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y 轴上的动点，则△ABC的面积为（）A．k1﹣k2B．（k1﹣k2）C．k2﹣k1D．（k2﹣k1）解：由题意可知，AB＝﹣，AB边上的高为x，＝×（﹣）•x＝（k1﹣k2），∴S△ABC故选：B．7．已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线y＝与边BC交于点D、与对角线OB交于中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（）A．10B．5C．D．解：设E点的坐标是（x，y），∵E是OB的中点，∴B点的坐标是（2x，2y），则D点的坐标是（，2y），∵△OBD的面积为10，∴×（2x﹣）×2y＝10，解得，k＝，故选：D．8．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是12，则k＝（）A．6B．9C．D．解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD＝3AD，∴D（，b）∵D、E在反比例函数的图象上，∴＝k，设E的坐标为（a，y），∴ay＝k∴E（a，），＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣••（b﹣）＝12，∵S△ODE∴4k﹣k﹣+＝12k＝故选：D．9．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝8．解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝4，∵k＞0，∴k＝8．故答案为8．10．如图，若反比例函数y＝的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为2．解：如图，过点P作x轴的垂线于M，∵△POQ为等边三角形，∴OP＝OQ，OM＝QM＝OQ，∵反比例函数的图象经过点P，∴设P（a，）（a＞0），则OM＝a，OQ＝OP＝2a，PM＝，在Rt△OPM中，PM＝＝＝a，∴＝a，∴a＝1（负值舍去），∴OQ＝2a＝2，故答案为：2．11．如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x 轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．则△OAP 的面积为5．解：过P作MN⊥x轴于M，交AB于N，过A作AD⊥x轴于D，∵A（4，3），∴AD＝3，OD＝4，∴AO＝＝5，∵AB＝AO，∴AB＝5，∵AB∥x轴，点B的横坐标是4+5＝9，纵坐标是3，即点B的坐标是（9，3），设直线OB的解析式是y＝ax，把B点的坐标（9，3）代入得：3＝9a，解得：a＝，即y＝x，∵AB∥x轴，∴MN⊥AB，把A（4，3）代入y＝，得k＝12，即y＝，解方程组得：或，∵点P在第一象限，∴点P的坐标是（6，2），∵A（4，3），AB∥x轴，P（6，2），∴MN＝AD＝3，PN＝3﹣2＝1，﹣S△APB＝3﹣＝5，∴△OAP的面积是S△ABO故答案为：5．12．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC 面积的最小值为6．解：方法一：设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y＝x+m代入y＝，得x+m＝，整理，得x2+mx﹣3＝0，则a+b＝﹣m，ab＝﹣3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝m2+12．＝AC•BC∵S△ABC＝（﹣）（a﹣b）＝••（a﹣b）＝（a﹣b）2＝（m2+12）＝m2+6，∴当m＝0时，△ABC的面积有最小值6．故答案为6．方法二：因为y＝x+m斜率为1，且BC∥x轴，AC∥y轴，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB，＝AC•BC＝AB2，∴S△ABC当AB最小时，m＝0，直线为y＝x，联立方程，解得或，∴A（，），B（﹣，﹣），AB＝×2＝2，＝×4×6＝6．∴S△ABC最小故答案为：6．13．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO ＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，且交线＝6，则k的值为8．段AB于点D，连接CD，OD．若S△OCD解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），∵点C为斜边OB的中点，∴C（，），∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，∴k＝•＝，∵∠OAB＝90°，∴D的横坐标为m，∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D，∴D的纵坐标为，作CE⊥x轴于E，＝S△AOD，∵S△COES△OCD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝6，∴（AD+CE）•AE＝6，即（+）•（m﹣m）＝6，∴m2＝32，∴k＝＝8，故答案为：8．解法二：作CE⊥OA于E，∵C为AB的中点，OA＝AB，∠OAB＝90°，＝S△AOD＝k，S△AOB＝2k，∴S△OEC＝k，∴S△BOD∵C为斜边OB的中点，＝S△BCD＝S△BOD＝6，∴S△OCD∴×k＝6，∴k＝8．故答案为：8．14．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为18．解：过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，设OC＝a，CN＝2b，MN＝b，∵▱OABC的面积为15，∴BM＝，∴ND＝BM＝，∴A，D点坐标分别为（，3b），（，a+2b），∴•3b＝（a+2b），∴b＝a，∴k＝•3b＝•3×a＝18，故答案为：18．15．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x 轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．解：连DC，如图，∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，而点D为OB的中点，∴BD＝OD＝b，＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∵S梯形OBAC∴（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，∴ab＝，把A（a，b）代入双曲线y＝，∴k＝ab＝．故答案为：．16．如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．（1）求k1，k2，b的值；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出不等式x+b的解．解：（1）∵反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），∴k1＝8，B（﹣4，﹣2），解方程组，解得；（2）由（1）知一次函数y＝k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），＝×6×4+×6×1＝15；∴S△AOB（3）﹣4≤x＜0或x≥1．17．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．（1）求反比例函数的解析式；（2）求直线EB的解析式；．（3）求S△OEB解：（1）∵A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴，∴AB＝6，∵cos∠OAB＝＝，∴，∴OA＝10，由勾股定理得：OB＝8，∴A（8，6），∴D（8，），∵点D在反比例函数的图象上，∴k＝8×＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）设直线OA的解析式为：y＝bx，∵A（8，6），∴8b＝6，b＝，∴直线OA的解析式为：y＝x，则，x＝±4，∴E（﹣4，﹣3），设直线BE的解式为：y＝mx+n，把B（8，0），E（﹣4，﹣3）代入得：，解得：，∴直线BE的解式为：y＝x﹣2；＝OB•|y E|＝×8×3＝12．（3）S△OEB18．如图，直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα＝．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；．（3）求S△OAB解：（1）∵直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），∴a＝×3＝4，∴点A的坐标为（3，4），∴k＝3×4＝12，∴反比例函数解析式y＝．（2）∵点B在这个反比例函数图象上，设点B坐标为（x，），∵tanα＝，∴＝，解得：x＝±6，∵点B在第一象限，∴x＝6，∴点B的坐标为（6，2）．（3）设直线OB为y＝kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：2＝6k，解得：k＝，∴OB直线解析式为：y＝x．过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如图所示：则点C坐标为（3，1），∴AC＝3．S△OAB的面积＝S△OAC的面积+S△ACB的面积＝×|AC|×6＝9．∴△OAB的面积为9．19．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比＝4．例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB （1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（2）若直线AB与双曲线的另一交点为D点，求△ODB的面积．＝•|x A|•y B，解：（1）由题意得：S△AOB即×2×y B＝4，y B＝4，∴B（2，4），设反比例函数的解析式为：y＝，把点B的坐标代入得：k＝2×4＝8，∴y＝，设直线AB的解析式为：y＝ax+b，把A（﹣2，0）、B（2，4）代入得：，解得：，∴y＝x+2；（2）由题意得：x+2＝，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴D（﹣4，﹣2），＝S△OAD+S△OAB＝×2×2+4＝6．∴S△ODB20．如图，在平行四边形OABC中，，点A在x轴上，点D是AB 的中点，反比例函数的图象经过C，D两点．（1）求k的值；（2）求四边形OABC的面积．解：（1）过点C作CE⊥x轴于E，∵∠AOC＝45°，∴OE＝CE，∴OE2+CE2＝OC2∵OC＝2，∴OE＝CE＝2，∴C（2，2），∵反比例函数的图象经过点C点，∴k＝2×2＝4；（2）过点D作DF⊥x轴于F，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC＝2，∠DAF＝∠AOC＝45°，又∵点D是AB的中点，∴AD＝，AF＝DF，∴AF2+DF2＝AD2，∴AF＝DF＝1，∴D点的纵坐标为1，∵反比例函数的图象过点D点，∴D（4，1），∴OF＝4，OA＝OF﹣AF＝4﹣1＝3，∴平行四边形OABC的面积S＝OA•CE＝3×2＝6．21．如图，直线y＝6x与双曲线y＝（k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标为2．（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；（2）点B是双曲线上的点，且点B的纵坐标是6，连接OB，AB，求△AOB的面积．解：（1）将x＝2代入y＝6x，得：y＝12，∴点A的坐标为（2，12），将A（2，12）代入y＝，得：k＝24，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）在y＝中y＝6时，x＝4，∴点B（4，6），而A（2，12），如图，过A作AC⊥y轴，BD⊥x轴，交于点E，则OD＝4，OC＝12，BD＝6，AC＝2，AE＝2，BE＝6，＝S矩形OCED﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE∴S△AOB＝4×12﹣×2×12﹣×4×6﹣×2×6＝48﹣12﹣12﹣6＝18．22．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，且满足，求x的取值范围．解：（1）∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣8，∴反比例函数的表达式为y＝﹣．∵A（﹣4，n）在y＝﹣的图象上，∴n＝2，∴A（﹣4，2）．∵y＝kx+b经过A（﹣4，2）和B（2，﹣4），∴，解得∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2．（2）当y＝﹣x﹣2＝0时，解得x＝﹣2．∴点C（﹣2，0），∴OC＝2，＝S△AOC+S△COB∴S△AOB＝×2×2+×2×4＝6．（3）根据函数的图象可知：若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，当﹣4＜x＜0时，满足kx+b﹣＜0．23．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，2）、点B（﹣4，n）．（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，求点P的坐标．解：（1）∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，2），∴k2＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数表达式为：y＝﹣，∵反比例y＝﹣的图象经过点B（﹣4，n），∴﹣4n＝﹣2，解得n＝，∴B点坐标为（﹣4，），∵直线y＝k1x+b经过点A（﹣1，2），点B（﹣4，），∴，解得：，∴一次函数表达式为：y＝+．（2）设直线AB与x轴的交点为C，如图1，当y＝0时，x+＝0，x＝﹣5；∴C点坐标（﹣5，0），∴OC＝5．S△AOC＝•OC•|y A|＝×5×2＝5．S△BOC＝•OC•|y B|＝×5×＝．S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝5﹣＝；（3）如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，∵点A′和A（﹣1，2）关于x轴对称，∴点A′的坐标为（﹣1，﹣2），设直线A′B的表达式为y＝ax+c，∵经过点A′（﹣1，﹣2），点B（﹣4，）∴，解得：，∴直线A′B的表达式为：y＝﹣x﹣，当y＝0时，则x＝﹣，∴P点坐标为（﹣，0）．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OC的中点A（3，2），交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数和直线EF的解析式；（2）求△OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b＞0的解集．解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），∴C点坐标为（6，4），∵A点坐标为（3，2），∴k1＝3×2＝6，∴反比例函数解析式为y＝；把x＝6代入y＝得x＝1，则F点的坐标为（6，1）；把y＝4代入y＝得x＝，则E点坐标为（，4），把F（6，1）、E（，4）代入y＝k2x+b，得，解得，，∴直线EF的解析式为y＝﹣x+5；﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF（2）△OEF的面积＝S矩形BCDO＝4×6﹣×4×﹣×6×1﹣×（6﹣）×（4﹣1）＝；（3）由图象得：不等式k2x+b﹣＞0的解集为＜x＜6．25．如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP、OQ．求△OPQ的面积．解：（1）反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），解得m＝4，故反比例函数的表达式为y＝．一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（﹣4，n），所以，解得n＝﹣1，b＝﹣5．∴一次函数的表达式y＝﹣x﹣5；（2）由，解得或．∴点P（﹣1，﹣4），在一次函数y＝﹣x﹣5中，令y＝0，得﹣x﹣5＝0，解得x＝﹣5，故点A（﹣5，0），S△OPQ＝S△OP A﹣S△OAQ＝×5×4−×5×1＝7.5．26．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AB边的中点C，且与OA边交于点D．（1）求k的值；（2）连接OC，CD，求△OCD的面积；（3）若直线y＝mx+n与直线CD平行，且与△OAB的边有交点，直接写出n的取值范围．解：（1）∵等边△OAB，∴AB＝BO＝AO＝4，∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，∵点C是AB的中点，∴BC＝AC＝2，过点C作CM⊥OB，垂足为M，在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，∴BM＝1，CM＝，∴OM＝4﹣1＝3，∴点C 的坐标为（﹣3，），代入y ＝得：k ＝﹣3答：k 的值为﹣3；（2）过点A 作AN ⊥OB ，垂足为N ，由题意得：AN ＝2CM ＝2，ON ＝OB ＝2，∴A （﹣2，2），设直线OA 的关系式为y ＝kx ，将A 的坐标代入得：k ＝﹣，∴直线OA 的关系式为：y ＝﹣x ，由题意得：，解得：舍去，，∴D （﹣，3）过D 作DE ⊥OB ，垂足为E ，S △OCD ＝S CMED +S △DOE ﹣S △COM ＝S CMED ＝（+3）×（3﹣）＝3，答：△OCD 的面积为3．（3）①当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 过点O 时，此时y ＝mx +n 的n ＝0，②当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 经过点A 时，设直线CD 的关系式为y ＝ax +b ，把C 、D 坐标代入得：，解得：a ＝1，b ＝3+∴直线CD 的关系式为y ＝x +3+，∵y ＝mx +n 与直线y ＝x +3+平行，∴m ＝1，把A （﹣2，2）代入y ＝x +n 得：n ＝2+2因此：0≤n ≤2+2且n ．答：n 的取值范围为：0≤n ≤2+2且n ≠3+．。
反比例函数中与面积有关的问题及其解析
反比例函数中与面积有关的问题及解答反比例函数解析式及图象的特殊性与面积结合起来，既能考查反比例函数本身的基础知识，又能充分体现数形结合的思想方法，考查涉及的题型广泛，方法灵活，可较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题及解析归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|。
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：k结论2：在直角三角形ABO中，面积S=2结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB 中，面积为S=|k|类型之一 k 与三角形的面积※问题1、如图，已知双曲线y=xk（k ＞0）经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为6，则k=______．答案解析：过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E ， 由双曲线上点的性质，得S △AOC =S △DOE = 21k, ∵DE⊥x 轴，AB⊥x 轴， ∴DE ∥ AB ，∴△OAB ∽ △OED， 又∵OB=2OD，∴S △OAB =4S △DOE =2k ，由S △OAB -S △OAC =S △OBC ，得2k -21k=6，解得：k=4．故答案为：4．问题2.如图，分别过反比例函数y=x2018(x ＞0)的图象上任意两点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2,，比较它们的大小，可得A.S 1＞S 2B.S 1=S 2C.S 1＜S 2D.S 1、S 2大小不确定。
微专题 反比例函数中的面积问题
解：由一次函数y＝－2x＋12可得A(6，0)，
y＝－2x＋12
联立 y＝－8x0 ， 解得 xy＝＝－108或 xy＝＝2－04，
∴C(－4，20)，E(10，－8)，
∴S△CDE＝S△ACD＋S△ADE
＝
1 2
AD·|yC－yE|＝
1 2
×10×(20＋8)＝140.
第4题图
模型四 两点两垂线 模型特征 反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于 2|k|. 模型示例
过点D作DF⊥x轴于点F， 则S阴影＝S矩形OABC－S矩形OFDC－ S四边形AEDF(划归到模型四) ＝|k1|－|k2|－S四边形AEDF
针对训练
9. 如图，点A是反比例函数y＝ 6 的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，线段 x
AB交反比例函数y＝ 2 的图象于点C，则△OAC的面积为( x
∴S△AOE＝S四边形ECDB
针对训练 1. 如图，点A在反比例函数y＝－ 4 的图象上，AM⊥y轴于点M，点P是x轴上的一点，
x 则△APM的面积为___2_____．
第1题图
模型二 一点两垂线 模型特征 反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|k|. 模型示例
针对训练 2. 如图，正方形ABCD的顶点B，D在反比例函数y＝ 1 (x＞0)的图象上，且AB∥x轴，
模型示例
类型一 两条双曲线的k值符号相同
S矩形OABC＝|k1|， S矩形 ODEC＝|k2|
S阴影＝|k1|－|k2|
S阴影＝S△AOB－S△AOD
＝
1 2
|k1|－
1 2 |k2|
S阴影＝S△COB－S△OCD
反比例函数解面积问题
反比例函数-面积问题解析一、以反比例函数图像上的点和过这点作坐标轴的垂线所得的垂足所围成的图形面积例1反比例函数y=的图像如图1所示，点M是该函数图像上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON=2，则k的值为.分析图中△MON是以图像上一点和过这点作x轴或y轴的垂线所得的垂足及坐标原点围成的，只需根据三角形面积公式就可以求出k的值.解设M点的坐标为（x,y），则S△MON=|xy|=|k|=2，得|k|=4，∴k=±4（k=4不合题意，舍去），即k=-4.变式1：如图2，已知点P在函数y=（x＞0）的图像上，PA ⊥x轴、PB⊥y轴，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积为.分析只是把图中的三角形变为矩形，所以S矩形OAPB=|xy|=2.二、以反比例函数图像与正比例函数图像的交点和坐标平面上的一些特殊点所围成的图形面积例2如图3，反比例函数y=的图像与直线y=kx（k＞0）相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于个面积单位.分析Rt△ABC的两个顶点是反比例函数图像与正比例函数图像的交点，分别在反比例函数图像的两个分支上，且知道反比例函数图像上的A、B两点关于原点成中心对称，∴S△ABC= |2x×2y|=2|xy|=10.变式1.如图4，直线y=mx与双曲线y=交于点A、B.过点A 作AM⊥x轴，垂足为点M连接BM.若S△ABM=1，则k的值是（）. A．1B.m-1C．2D.m分析图形变为反比例函数图像上的A、B两点和其中一点与坐标轴的交点所围成的△AMB，底为|y|，高为|2x|，则S△ABM= |y×2x|=|xy|=|k|=1，得k=±1（根据图形知k＞0），所以k=1.变式2.如图5，直线y=mx与双曲线y=交于点A、B过点A、B分别作AM⊥x轴、BN⊥x轴，垂足分别为M、N，连接BM、AN.若S AMBN=1，则k的值是.分析图形变成AMBN，它的面积实际上就是△ABM面积的2倍，则S AMBN=2|xy|=2|k|=1，结合图像可知k=.三、以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形面积例3如图6，在直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图像与反比例函数y=的图像交于A（1，4）、B（3、m）两点.（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积.分析（1）略；（2）△AOB是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形，△AOB面积直接比较难求，可看作S△COD-S△COA-S△BOD.先求出一次函数的解析式，然后求出一次函数y=k1x+6的图像与x轴和y轴的交点坐标，就可求出S△COD、S△COA、S△BOD，即可求出S△AOB=4××-×1×-4××=. 变式1.如图7，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=的图像交于A（-2，1），B（1，n）两点.（1）试确定上述反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积.分析（1）略：（2）△AOB也是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形，只是把△AOB的面积看作S△COD+S△COA+S△BOD，即可求得S△AOB=1×1×+1×1×+1×1×=.四、以反比例函数图像与其它图形的交点和坐标原点所围成的图形面积例4如图8，已知双曲线y=（x＞0）经过矩形OABC边AB 的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k=.分析这是以反比例函数图像与矩形的交点和坐标原点所围成的图形面积.四边形OEBF的面积可看作S矩形OABC-S△COE-S△AOF，设F点的坐标为（x,y），则E点的坐标为（x,2y），S矩形OABC=x×2y=2xy=2k,S△COE=x×2y×=xy=k，S△AOF=xy=k，所以S四边形OEBF=k=2.五、以反比例函数图像上的点与坐标轴围成的图形及一次函数图像与坐标轴围成的图形和面积例5如图9，D是反比例函数y=（k＜0）的图像上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=-x+m与y=-x+2的图像都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，求k的值.分析先求出C（0，2），D（，2）和m=2，再求出A（2，0），得S矩形OCDE=-k，S△COA=2，所以-k+2=4，得k=-2.。
反比例函数中图形面积问题的解题技巧
㊀㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １９反比例函数中图形面积问题的解题技巧反比例函数中图形面积问题的解题技巧Һ赵振海㊀（山东省东营市垦利区第二实验中学，山东㊀东营㊀２５７５００）㊀㊀ʌ摘要ɔ反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋʂ０）系数ｋ的几何意义是中考出题频率最高的反比例函数考点．目标图形面积的值与比例系数ｋ的值可以互相设求，可以说是变化万千．教师在平时教学中，进行此类题目的训练对培养学生的创造性思维和灵活应变能力具有很好的作用．变化的图形㊁固定的知识点相结合，能激发学生的创造灵感，培养学生学习函数的兴趣．ʌ关键词ɔ反比例函数；图形面积；解题技巧中考题通过改变与本知识点关联的图形来体现新颖的出题特点，从而实现试题对不同难度和能力水平的考查．２０２０年中考题，题目类型十分丰富，解题方法更是多种多样．一㊁直接应用数形结合实现面积值与ｋ值的互求例１㊀（２０２０㊃贵州省贵阳）如图１，点Ａ是反比例函数ｙ＝３ｘ图像上任意一点，过点Ａ分别作ｘ轴，ｙ轴的垂线，垂足为Ｂ，Ｃ，则四边形ＯＢＡＣ的面积为．图１ʌ解答ɔ从反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋʂ０）图像上任意一点向ｘ轴和ｙ轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为Ｓ＝｜ｋ｜．故答案为３．例２㊀（２０２０㊃湖南省常德）如图２，若反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＜０）的图像经过点Ａ，ＡＢʅｘ轴于Ｂ，且әＡＯＢ的面积为６，则ｋ＝．ʌ解答ɔ解：运用知识点ＳәＡＯＢ＝｜ｋ｜２，图２ȵＡＢʅＯＢ，ʑＳәＡＯＢ＝｜ｋ｜２＝６，ʑｋ＝ʃ１２，ȵ反比例函数的图像在二四象限，ʑｋ＜０，ʑｋ＝－１２．故答案为－１２．例３㊀（２０２０年㊃山东省滨州）如图３，点Ａ在双曲线ｙ＝４ｘ上，点Ｂ在双曲线ｙ＝１２ｘ上，且ＡＢʊｘ轴，点Ｃ，Ｄ在ｘ轴上，若四边形ＡＢＣＤ为矩形，则它的面积为（㊀㊀）．图３Ａ．４Ｂ．６Ｃ．８Ｄ．１２ʌ解答ɔ解：过Ａ点作ＡＥʅｙ轴，垂足为Ｅ，ȵ点Ａ在双曲线ｙ＝４ｘ上，ʑ四边形ＡＥＯＤ的面积为４，ȵ点Ｂ在双曲线ｙ＝１２ｘ上，且ＡＢʊｘ轴，ʑ四边形ＢＥＯＣ的面积为１２，ʑ矩形ＡＢＣＤ的面积为１２－４＝８．故选Ｃ．ʌ点评ɔ以上三个题目均比较直接地考查了反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋʂ０）系数ｋ的几何意义，这一知识点需要我们记准用熟．第２题需要注意ｋ的符号，第３题仅仅是两个图像的简单组合，和直接应用差不多，没有难度．无论是求ｋ，还是求面积，都是知识点的直接应用．二㊁运用简单不规则图形面积的和差转换巧求面积例４㊀（２０２０㊃山东省威海）如图４，点Ｐ（ｍ，１），点Ｑ（－２，ｎ）都在反比例函数ｙ＝４ｘ的图像上．过点Ｐ分别向ｘ轴，ｙ轴作垂线，垂足分别为点Ｍ，Ｎ．连接ＯＰ，ＯＱ，ＰＱ．若四边形ＯＭＰＮ的面积记作Ｓ１，әＰＯＱ的面积记作Ｓ２，则（㊀㊀）．图４Ａ．Ｓ１ʒＳ２＝２ʒ３Ｂ．Ｓ１ʒＳ２＝１ʒ１Ｃ．Ｓ１ʒＳ２＝４ʒ３Ｄ．Ｓ１ʒＳ２＝５ʒ３ʌ解答ɔ解：ȵ点Ｐ（ｍ，１），点Ｑ（－２，ｎ）都在反比例函㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １９数ｙ＝４ｘ的图像上，ʑｍˑ１＝－２ｎ＝４，ʑｍ＝４，ｎ＝－２．ȵＰ（４，１），Ｑ（－２，－２），过点Ｐ分别向ｘ轴，ｙ轴作垂线，垂足分别为点Ｍ，Ｎ，ʑＳ１＝４．作ＱＫʅＰＮ，交ＰＮ的延长线于Ｋ，则ＰＮ＝４，ＯＮ＝１，ＰＫ＝６，ＫＱ＝３，ʑＳ２＝ＳәＰＱＫ－ＳәＰＯＮ－Ｓ梯形ＯＮＫＱ＝１２ˑ６ˑ２－１２ˑ４ˑ１－１２（１＋３）ˑ２＝３，ʑＳ１ʒＳ２＝４ʒ３．故选Ｃ．例５㊀（２０２０㊃四川省达州）如图５，点Ａ，Ｂ在反比函数ｙ＝１２ｘ的图像上，Ａ，Ｂ的纵坐标分别是３和６，连接ＯＡ，ＯＢ，则әＯＡＢ的面积是．图５ʌ解答ɔ解：ȵ点Ａ，Ｂ在反比函数ｙ＝１２ｘ的图像上，Ａ，Ｂ的纵坐标分别是３和６，ʑＡ（４，３），Ｂ（２，６）．作ＡＤʅｙ轴于Ｄ，ＢＥʅｙ轴于Ｅ，ＳәＡＯＤ＝ＳәＢＯＥ＝１２ˑ１２＝６，ȵＳәＯＡＢ＝ＳәＡＯＤ＋Ｓ梯形ＡＢＥＤ－ＳәＢＯＥ＝Ｓ梯形ＡＢＥＤ，ʑＳәＯＡＢ＝１２ˑ（４＋２）ˑ（６－３）＝９．故答案为９．ʌ点评ɔ以上两个题目都出现了不规则的斜三角形，它们没有在坐标轴上的一条边，因此我们不能一眼看出其面积和ｋ值的关系，它们的求解均是通过割补法进行的，都是将斜三角形变成矩形㊁直角三角形㊁直角梯形的代数和，如第４题，Ｓ２＝ＳәＰＱＫ－ＳәＰＯＮ－Ｓ梯形ＯＮＫＱ．解此类题目的关键就是向坐标轴作垂线割补原图．三㊁巧用组合图形面积值和方程思想逆向求得ｋ值图６例６㊀（２０２０㊃辽宁省营口）如图６，在平面直角坐标系中，әＯＡＢ的边ＯＡ在ｘ轴正半轴上，其中øＯＡＢ＝９０ʎ，ＡＯ＝ＡＢ，点Ｃ为斜边ＯＢ的中点，反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０，ｘ＞０）的图像过点Ｃ且交线段ＡＢ于点Ｄ，连接ＣＤ，ＯＤ，若ＳәＯＣＤ＝３２，则ｋ的值为（㊀㊀）．Ａ．３Ｂ．５２Ｃ．２Ｄ．１ʌ解答ɔ解：根据题意设Ｂ（ｍ，ｍ），则Ａ（ｍ，０），ȵ点Ｃ为斜边ＯＢ的中点，ʑＣｍ２，ｍ２()，ȵ反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０，ｘ＞０）的图像过点Ｃ，ʑｋ＝ｍ２㊃ｍ２＝ｍ２４．ȵøＯＡＢ＝９０ʎ，ʑＤ的横坐标为ｍ，ȵ反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０，ｘ＞０）的图像过点Ｄ，ʑＤ的纵坐标为ｍ４．作ＣＥʅｘ轴于Ｅ，ȵＳәＣＯＤ＝ＳәＣＯＥ＋Ｓ梯形ＡＤＣＥ－ＳәＡＯＤ＝Ｓ梯形ＡＤＣＥ，ＳәＣＯＤ＝３２，ʑ１２（ＡＤ＋ＣＥ）㊃ＡＥ＝３２，即１２ｍ４＋ｍ２()㊃ｍ－１２ｍ()＝３２，ʑｍ２８＝１，ʑｋ＝ｍ２４＝２．故选Ｃ．例７㊀（２０２０㊃山东省淄博）如图７，在直角坐标系中，以坐标原点Ｏ（０，０），Ａ（０，４），Ｂ（３，０）为顶点的ＲｔәＡＯＢ，其两个锐角对应的外角平分线相交于点Ｐ，且点Ｐ恰好在反比例函数ｙ＝ｋｘ的图像上，则ｋ的值为（㊀㊀）．图７Ａ．３６Ｂ．４８Ｃ．４９Ｄ．６４ʌ解答ɔ解：过Ｐ分别作ＡＢ，ｘ轴，ｙ轴的垂线，垂足分别为Ｃ，Ｄ，Ｅ，如图７，ȵＡ（０，４），Ｂ（３，０），ʑＯＡ＝４，ＯＢ＝３，ʑＡＢ＝３２＋４２＝５，ȵә的两个锐角对应的外角平分线相交于点Ｐ，ʑＰＥ＝ＰＣ，ＰＤ＝ＰＣ，ʑＰＥ＝ＰＣ＝ＰＤ，设Ｐ（ｔ，ｔ），则ＰＣ＝ｔ．ȵＳәＰＡＥ＋ＳәＰＡＢ＋ＳәＰＢＤ＋ＳәＯＡＢ＝Ｓ矩形ＰＥＯＤ，ʑ１２ˑｔˑ（ｔ－４）＋１２ˑ５ˑｔ＋１２ˑｔˑ（ｔ－３）＋１２ˑ３ˑ４＝ｔˑｔ，解得ｔ＝６，ʑＰ（６，６）．把Ｐ（６，６）代入ｙ＝ｋｘ得ｋ＝６ˑ６＝３６．故选Ａ．ʌ点评ɔ第６题根据题意设Ｂ（ｍ，ｍ），则Ａ（ｍ，０），Ｃｍ２，ｍ２()，Ｄｍ，ｍ４ｍ()，然后根据ＳәＣＯＤ＝ＳәＣＯＥ＋Ｓ梯形ＡＤＣＥ－ＳәＡＯＤ＝Ｓ梯形ＡＤＣＥ，得到１２ｍ４＋ｍ２()㊃ｍ－１２ｍ()＝３２，即可求得ｋ＝ｍ２４＝２．第７题过Ｐ分别作ＡＢ，ｘ轴，ｙ轴的垂线，垂足㊀㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １９分别为Ｃ，Ｄ，Ｅ，如图７，利用勾股定理计算出ＡＢ＝５，根据角平分线的性质得ＰＥ＝ＰＣ＝ＰＤ，设Ｐ（ｔ，ｔ），利用面积的和差得到１２ˑｔˑ（ｔ－４）＋１２ˑ５ˑｔ＋１２ˑｔˑ（ｔ－３）＋１２ˑ３ˑ４＝ｔˑｔ，求出ｔ，得到Ｐ点坐标，然后把Ｐ点坐标代入ｙ＝ｋｘ中求出ｋ的值．从解题方法来看两题用的都是列方程的方法．四㊁巧用三角形全等或等积规律求图形面积或反求ｋ值例８㊀（２０２０㊃湖南省张家界）如图８所示，过ｙ轴正半轴上的任意一点Ｐ，作ｘ轴的平行线，分别与反比例函数ｙ＝－６ｘ和ｙ＝８ｘ的图像交于点Ａ和点Ｂ，若点Ｃ是ｘ轴上任意一点，连接ＡＣ，ＢＣ，则әＡＢＣ的面积为（㊀㊀）．图８Ａ．６Ｂ．７Ｃ．８Ｄ．１４ʌ解答ɔ解：ȵＡＢʊｘ轴，且әＡＢＣ与әＡＢＯ共底边ＡＢ，ʑәＡＢＣ的面积等于әＡＢＯ的面积，连接ＯＡ，ＯＢ，如图８所示．则ＳәＡＢＯ＝ＳәＰＢＯ＋ＳәＰＡＯ＝１２ＰＯ㊃ＰＢ＋１２ＰＯ㊃ＰＡ＝１２ˑ｜８｜＋１２ˑ｜－６｜＝４＋３＝７．故选Ｂ．图９例９㊀（２０２０㊃黑龙江省牡丹江）如图９，点Ａ在反比例函数ｙ１＝１８ｘ（ｘ＞０）的图像上，过点Ａ作ＡＢʅｘ轴，垂足为Ｂ，交反比例函数ｙ２＝６ｘ（ｘ＞０）的图像于点Ｃ．Ｐ为ｙ轴上一点，连接ＰＡ，ＰＣ，则әＡＰＣ的面积为（㊀㊀）．Ａ．５Ｂ．６Ｃ．１１Ｄ．１２ʌ解答ɔ解：连接ＯＡ和ＯＣ，ȵ点Ｐ在ｙ轴上，则әＡＯＣ和әＡＰＣ面积相等，ȵＡ在ｙ１＝１８ｘ上，Ｃ在ｙ２＝６ｘ上，ＡＢʅｘ轴，ʑＳәＡＯＣ＝ＳәＯＡＢ－ＳәＯＢＣ＝６，ʑәＡＰＣ的面积为６．故选Ｂ．ʌ点评ɔ以上两题中均有一个 跑偏 的三角形，解决方法都是运用等积变换将 跑偏 的三角形替换成目标三角形．如第９题连接ＯＡ和ＯＣ，利用等积法可得әＡＰＣ的面积即әＡＯＣ的面积，再结合反比例函数中系数ｋ的意义，利用ＳәＡＯＣ＝ＳәＯＡＢ－ＳәＯＢＣ，问题迎刃而解．五㊁运用相似巧求目标三角形面积值反求ｋ值例１０㊀（２０２０㊃四川省凉山）如图１０，矩形ＯＡＢＣ的面积为１００３，对角线ＯＢ与双曲线ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０，ｘ＞０）相交于点Ｄ，且ＯＢʒＯＤ＝５ʒ３，则ｋ的值为．图１０ʌ解答ɔ解：ȵＯＡＢＣ为矩形，ʑＡＢʅｘ轴，作ＤＥʅｘ轴，ʑＡＢʊＤＥ，ʑәＯＤＥʐәＯＡＢ，ʑＳәＯＤＥＳәＯＡＢ＝ＯＤＯＢ()２，ȵＯＢʒＯＤ＝５ʒ３，矩形ＯＡＢＣ的面积为１００３，ʑＳәＯＤＥ＝ＳәＯＡＢˑ３５()２＝１００３ˑ１２ˑ９２５＝６，ʑｋ＝６ˑ２＝１２．故答案为１２．例１１㊀（２０２０㊃贵州省遵义）如图１１，әＡＢＯ的顶点Ａ在函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图像上，øＡＢＯ＝９０ʎ，过ＡＯ边的三等分点Ｍ，Ｎ分别作ｘ轴的平行线交ＡＢ于点Ｐ，Ｑ．若四边形ＭＮＱＰ的面积为３，则ｋ的值为（㊀㊀）．图１１Ａ．９Ｂ．１２Ｃ．１５Ｄ．１８ʌ解答ɔ解：ȵＮＱʊＭＰʊＯＢ，ʑәＡＮＱʐәＡＭＰʐәＡＯＢ，ȵＭ，Ｎ是ＯＡ的三等分点，ʑＳәＡＮＱＳәＡＭＰ＝１４，ȵ四边形ＭＮＱＰ的面积为３，ʑＳәＡＮＱ＝１．ȵ１ＳәＡＯＢ＝ＡＮＡＯ()２＝１９，ʑＳәＡＯＢ＝９，ʑｋ＝２ＳәＡＯＢ＝１８．故选Ｄ．ʌ点评ɔ以上两题均运用相似三角形的性质 面积比等于相似比的平方，求得目标三角形面积，进而可求出ｋ的值．ʌ参考文献ɔ王涛．与反比例函数有关的面积问题解析［Ｊ］．资治文摘（管理版），２０１０（２）．。
万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题
万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题万能解题模型(一)：反比例函数中的面积问题类型1：单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$A(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，点 $P(x_1,0)$ 为$A$ 点向 $x$ 轴作垂线段的底部交点，则 $\triangle AOP$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1y_1$，同时 $\triangle ABC$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1\cdot\frac{k}{x_1}=\frac{1}{2}k$，因此$\triangle AOP$ 和 $\triangle ABC$ 面积的比值为$\frac{S_{\triangle AOP}}{S_{\triangleABC}}=\frac{\frac{1}{2}x_1y_1}{\frac{1}{2}k}=\frac{y_1}{k} $，即 $S_{\triangle AOP}=|k|\cdot S_{\triangle ABC}$。
类型2：单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$P(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，$AC$ 和 $DE$ 分别为$P$ 点向 $x$ 轴和 $y$ 轴作垂线段的线段，$B$ 点为 $AC$ 和$DE$ 的交点，则四边形 $PMON$ 的面积为 $S=|x_1y_1|$，同时四边形 $ACDE$ 的面积为$S=\frac{1}{2}|x_1|\cdot|y_1|=\frac{1}{2}S_{\square PMON}$，因此四边形 $PMON$ 和四边形 $ACDE$ 面积的比值为$\frac{S_{\square PMON}}{S_{\squareACDE}}=\frac{2S}{|x_1|\cdot|y_1|}=2|k|$，即 $S_{\square PMON}=|k|\cdot S_{\square ACDE}$。
反比例函数面积问题
反比例函数面积问题反比例函数是一种特殊的函数形式，具有以下的一般形式： y =k/x （其中k为常数，x不等于0）。
反比例函数经常在数学和科学领域中出现，特别是在描述多种关系和量之间的相互影响时。
在这篇文章中，我们将探讨反比例函数面积问题。
面积问题是在求解几何形体的面积时经常遇到的一类问题。
反比例函数面积问题就是基于反比例函数的特性来解决与面积相关的问题。
让我们从一个具体的实例开始，以更好地理解反比例函数在面积问题中的应用。
假设有一个矩形，其长度为x，宽度为y。
我们知道，矩形的面积可以通过计算长度乘以宽度来得到。
我们将根据反比例函数的定义来描述此问题。
根据反比例函数的定义，我们有y = k/x。
将x和y分别替换为矩形的长度和宽度，我们得到y = k/x = l*w （其中l表示矩形的长度，w表示矩形的宽度）。
我们可以看到，在这个例子中，矩形的面积与其长度和宽度之间存在反比例关系。
当长度增加时，宽度会减小，以保持面积不变；反之亦然。
现在让我们来尝试解决一个具体的反比例函数面积问题。
问题：假设有一个矩形，其长度为8 cm，面积为24 cm²。
当长度增加到10 cm时，矩形的面积是多少？解法：我们可以使用反比例函数来解决这个问题。
根据反比例函数的定义，我们有y = k/x。
这里，y表示矩形的面积，x表示矩形的长度。
根据题目中给出的条件，我们可以将面积和长度表示为y = 24/x。
我们将已知的长度和面积带入公式，得到24 = 8/x。
现在我们可以解这个方程，求得反比例函数的常数k的值。
通过求解方程，我们得到k = 24*8 = 192。
现在我们可以使用得到的常数k来求解问题中给出的具体情况。
根据反比例函数的形式y = k/x，我们有y = 192/10 = 19.2 cm²。
所以，当长度增加到10 cm时，矩形的面积为19.2 cm²。
通过这个具体的例子，我们可以看到反比例函数如何在解决面积问题中发挥作用。
万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题
万能解题模型(一)反比例函数中的面积问题类型1单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积S△AOP＝12|k| S△ABC＝12|k| S△ABC＝12|k|1．(2019·枣庄)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝kx(x＞0)的图象上．若AB＝1，则k的值为(A)A．1B.2 2C. 2D．2类型2单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积S四边形PMON＝|k|S四边形ACDE＝S四边形EFGB2．如图，A，B两点在双曲线y＝4x上，分别经过A，B两点向x轴、y轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1＋S2＝(D)A．3 B．4 C．5 D．6类型3双曲线上不在同一象限上两点一垂线形成的三角形的面积S△ABM＝|k| S△ABM＝|k|S△CDE＝S△ACD＋S△ADE＝12AD·|y C－y E| S△ABC＝S△BCD＋S△ACD＝12CD·|x B－x A|3．(2019·黄冈)如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝kx(k>0)相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC.若△ABC面积为8，则k＝8．类型4双曲线上不在同一象限上两点两垂线形成的三角形或四边形的面积S△APP′＝2|k|S▱AMBN＝2|k|4．如图，A，B是函数y＝2x的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则(B)A．S＝2 B．S＝4C．2＜S＜4 D．S＞45．(2019·郴州)如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝4x的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为8．类型5双曲线上在同一象限上任意两点与原点形成的三角形的面积作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点M ，BF ⊥x 轴于点F ，S △OAM ＝S 四边形MEFB ，S △AOB ＝S 直角梯形AEFB .6．如图，AB 是反比例函数y ＝3x在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是1和3，则S △AOB＝4．类型6 两条双曲线与一条平行于坐标轴的直线所形成的几何图形的面积S 矩形ABCD ＝|k 1－k 2| S ▱ABCD ＝|k 1－k 1| S △AOB ＝12|k 1－k 2| S △ABC ＝S △AOB ＝12|k 1|＋12|k 2|7．(2019·鸡西)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y ＝1x 上，顶点B 在反比例函数y ＝5x上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是(C) A.32 B.52 C ．4 D ．68．如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC 平行于x 轴，分别交y ＝3x (x ＞0)，y ＝kx(x ＜0)的图象于B ，C 两点．若△ABC 的面积为2，则k 的值为－1．9．(2019·株洲)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 为反比例函数y ＝kx(k ＞0)上不同的三点，连接OA ，OB ，OC ，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B ，C 分别作BE ，CF 垂直x 轴于点E ，F ，OC 与BE 相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1，S2，S3，则(B)A．S1＝S2＋S3B．S2＝S3C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S2310．(2019·本溪)如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD＝3，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过点B，则k的值为3．。
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类型 6 两条双曲线与一条平行于坐标轴的直线所形成的几何图形的 面积
S 矩形 ABCD＝|k1－k2|
S▱ABCD＝|k1－k1|
S△AOB＝21|k1－k2| S△ABC＝S△AOB＝21|k1|＋12|k2|
7．(2019·鸡西)如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，平行四
边形 OABC 的顶点 A 在反比例函数 y＝1x上，顶点 B 在反比例函数 y＝x5上，
A．1
2 B. 2 C. 2 D．2
类型 2 单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积
S 四边形 PMON＝|k|
S ＝S 四边形 ACDE
四边形 EFGB
2．如图，A，B 两点在双曲线 y＝4x上，分别经过 A，B 两点向 x 轴、y
轴作垂线段，已知 S 阴影＝1，则 S1＋S2＝(D )
A．3
B．4
C．5
D．6
类型 3 双曲线上不在同一象限上两点一垂线形成的三角形的面积
S△ABM＝|k|
S△ABM＝|k|
S△CDE＝S△ACD＋S△ADE＝12AD·|yC－yE| S△ABC＝S△BCD＋S△ACD＝12CD·|xB－xA|
3．(2019·黄冈)如图，一直线经过原点 O，且与反比例函数 y＝kx(k>0) 相交于点 A、点 B，过点 A 作 AC⊥y 轴，垂足为 C，连接 BC.若△ABC 面 积为 8，则 k＝ 8 ．
9．(2019·株洲)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B，C 为
反比例函数 y＝kx(k＞0)上不同的三点，连接 OA，OB，OC，过点 A 作 AD⊥y
轴于点 D，过点 B，C 分别作 BE，CF 垂直 x 轴于点 E，F，OC 与 BE 相
交于点 M，记△AOD、△BOM、四边形 CMEF 的面积分别为 S1，S2，S3， 则( B )
类型 5 双曲线上在同一象限上任意两点与原点形成的三角形的面积
作 AE⊥x 轴于点 E，交 OB 于点 M，BF⊥x 轴于点 F，S△OAM＝S 四边形 MEFB，S△AOB＝S 直角梯形 AEFB.
6．如图，AB 是反比例函数 y＝3x在第一象限内的图象上的两点，且 A， B 两点的横坐标分别是 1 和 3，则 S△AOB＝ 4 ．
A．S1＝S2＋S3 C．S3＞S2＞S1
B．S2＝S3 D．S1S2＜S32
10．(2019·本溪)如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB 和菱形 OCDE 的边 OA，OE 都在 x 轴上，点 C 在 OB 边上，S△ABD＝ 3，反比例函数 y ＝kx(x＞0)的图象经过点 B，则 k 的值为 3．
第三单元 函数 万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题
类型 1 单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积
S△AOP＝21|k| S△ABC＝21|k|
S△ABC＝21|k|
1．(2019·枣庄)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的 顶点 A，B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x 轴，点 C 在函数 y＝kx(x＞0)的图象上．若 AB＝1，则 k 的值为( A )
类型 4 双曲线上不在同一象限上两点两垂线形成的三角形或四边形 的面积
S△APP′＝2|k|
S▱AMBN＝2|k|
4．如图，A，B 是函数 y＝2x的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x
轴，AC∥y 轴，△ABC 的面积记为 S，则(B )
A．S＝2
B．S＝4
C．2＜S＜4
D．S＞4
5．(2019·郴州)如图，点 A，C 分别是正比例函数 y＝x 的图象与反比例 函数 y＝4x的图象的交点，过 A 点作 AD⊥x 轴于点 D，过 C 点作 CB⊥x 轴 于点 B，则四边形 ABCD 的面积为 8 ．
点 C 在 x 轴的正半轴上，则平行四边形 OABC 的面积是(C )
3
5
A.2
B.2
C．4
D．6
8．如图，在平面直角坐标系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，点 A 是 x 轴上任意一点，BC 平行于 x 轴，分别交 y＝3x(x＞0)，y＝kx(x＜0)的图象于 B，C 两点．若△ABC 的面 积为 2，则 k 的值为 －1 ．