全国高中数学竞赛专题-三角函数

三角恒等式与三角不等式

一、基础知识

定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=

r

L

,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取

一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r

y ,余弦函数co s α=r x ,

正切函数tan α=

x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y

r

定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1

；

商数关系：tan α=α

α

αααsin cos cot ,cos sin =； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；

平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.

定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;

（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α;

（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α;

（Ⅳ）s in ⎪⎭⎫

⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭

⎫

⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。

单调区间：在区间⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡+

-

22,2

2πππ

πk k 上为增函数，在区间⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡++

πππ

π232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2

π

时, y 取最小值-1，值域为[-1，1]。 对称性：直线x =k π+

2

π

均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。

单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。 最小正周期：2π。 奇偶性：偶函数。

有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。

对称性：直线x =k π均为其对称轴，点⎪⎭⎫

⎝

⎛+

0,2π

πk 均为其对称中心。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+2π)在开区间(k π-2π, k π+2

π

)上为增函数,

最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2

π

，0）均为其对称中心。

定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,

s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β;

tan (α±β)=

.)

tan tan 1()

tan (tan βαβα ± 两角和与差的变式：2222

sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+-

2

222cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+-

三角和的正切公式：tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγ

αβγαββγγα

++-++=

---

定理7 和差化积与积化和差公式:

s in α+s in β=2s in ⎪⎭⎫

⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα, s in α-s in β=2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫

⎝⎛-2βα,

co s α+co s β=2co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαco s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα, co s α-co s β=-2s in ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βαs in ⎪⎭⎫

⎝⎛-2βα,

s in αco s β=21[s in (α+β)+s in (α-β)], co s αs in β=21

[s in (α+β)-s in (α-β)],

co s αco s β=21[co s(α+β)+co s(α-β)], s in αs in β=-2

1

[co s(α+β)-co s(α-β)].

定理8 二倍角公式：s in 2α=2s in αco s α, co s2α=co s 2α-s in 2α=2co s 2α-1=1-2s in 2α, tan 2α=

.)

tan 1(tan 22αα

-

三倍角公式及变式：3

sin 33sin 4sin ααα=-，3

cos34cos 3cos ααα=-

1s i n (60)s i n

s i n (60)s i n 34αααα-

+=

，1

cos(60

)cos cos(60)cos34

αααα-+= 定理9 半角公式: s in 2α=2)cos 1(α-±, co s 2α=2

)

cos 1(α+±,

tan

2α=)cos 1()

cos 1(αα+-±=

.sin )cos 1()

cos 1(sin αααα-=+ 定理10 万能公式: ⎪

⎭

⎫

⎝⎛+⎪

⎭⎫

⎝⎛=

2tan 12tan 2sin 2ααα, ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2tan 12tan 1cos 22ααα,.2tan 12tan 2tan 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα 定理11 辅助角公式：如果a , b 是实数且a 2+b 2≠0，则取始边在x 轴正半轴，终边经过点(a , b )的一个角为β，

则s in β=

2

2b

a b +,co s β=

2

2b

a a +，对任意的角α.a s in α+bco s α=)(2

2b a +s in (α+β).

定理12 正弦定理：在任意△ABC 中有

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===， 其中a , b , c 分别是角A ，B ，

C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径。

定理13 余弦定理：在任意△ABC 中有a 2=b 2+c 2-2bco s A ，其中a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边。

定理14 射影定理：在任意△ABC 中有cos cos a b C c B =+，cos cos b a C c A =+，cos cos c a B b A =+ 定理15 欧拉定理：在任意△ABC 中，2

2

2OI R Rr =-，其中O,I 分别为△ABC 的外心和内心。 定理16 面积公式：在任意△ABC 中，外接圆半径为R,内切圆半径为r ，半周长2

a b c

p ++=

则211sin 2sin sin sin (sin sin sin )224a abc S ah ab C rp R A B C rR A B C R

=

=====++

222

1)(c o t c o t c o t )4

c a A b B c C ==++

定理17 与△ABC 三个内角有关的公式：

（1）sin sin sin 4cos

cos cos ;222A B C A B C ++= （2）cos cos cos 14sin sin sin ;222

A B C

A B C ++=+

（3）tan tan tan tan tan tan ;A B C A B C ++=