2020年高考数学押题卷及答案(共三套)

2020年高考数学押题卷及答案（共三套）

2020年高考数学押题卷及答案（一）

一.填空题（每题5分，共70分） 1. 复数(2)i i +的虚部是

2．如{}23,2a a a ∈-,则实数a 的值等于

3. 若函数1(),10()4

4,01x

x x f x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩

，则4(log 3)f = 4．等比数列}{n a 中，n S 表示前n 顶和，324321,21a S a S =+=+，则公比q 为 5．在集合{}1,2,3中先后随机地取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个二

位数，则“个位数与十位数不相同”的概率是 .

6．设,αβ为互不重合的平面，m ，n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,m n m n αα⊥⊂⊥则；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥β； ③若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥=⊂⊥⊥I 则；④若,,//,//m m n n ααββ⊥⊥则， 其中所有正确命题的序号是 ． 7．已知0>xy ，则|21||21|x

y y x +++

的最小值为 8．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则给出如下四个判断：正确的有

①()()76f f > ②()()96f f > ③()()97f f > ④()()107f f >

9．已知角A 、B 、C 是ABC V 的内角，,,a b c 分别是其对边长，向量2(23sin ,cos ),22

A A

m =u r ，

(cos ,2)2A

n =-r ，m n ⊥u r r ，且2,a =3cos 3B =则b = 10．直线

1x y a b +=通过点(cos ,sin )M αα,则2211

a b

+的取值范围为 11．已知()sin()(0),()()363f x x f f πππωω=+>=，且()f x 在区间(,)63

ππ

有最小值，无最

大值，则ω=__________．

12. 在区间[],1t t +上满足不等式3311x x -+≥的解有且只有一个，则实数t ∈

13． 在△ABC 中，1tan

,0,()022

C AH BC AB CA CB =⋅=⋅+=u u u r u u u

r u u u r u u u r u u u r ，H 在BC 边上，则过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为

14. 已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,2

31,n

n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩

当为偶数时

当为奇数时，若47a =，则m 所有可能的取值为

二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分）

15.（14分）设函数2()2(03)f x x x a x =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ， 其中0,a a R ≠∈．

（1）求m 、n 的值（用a 表示）；

（2）已知角β的顶点与平面直角坐标系xoy 中的原点o 重合，始边与x 轴的正半轴重

合，终边经过点(1,3)A m n -+．求tan()3

π

β+的值．

16. （14分）在直角梯形PBCD 中，,2,42

D C BC CD PD π

∠=∠=

===，A 为PD 的中点，

如下左图。将PAB V 沿AB 折到SAB V 的位置，使SB BC ⊥，点E 在SD 上，且13SE SD =u u r u u u r

，

,M N 分别是线段,AB BC 的中点，如右图．

（1）求证：SA ⊥平面ABCD ； （2）求证：平面AEC ∥平面SMN ．

17. （14分）如图，在一条笔直的高速公路MN 的同旁有两个城镇A B 、，它们与MN 的距离分别是km a 与8km(8)a >，A B 、在MN 上的射影P Q 、之间距离为12km ，现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价为50万元/km ；而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为200万元．设计部门提交了以下三种修路方案：

方案①：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口；

方案②：两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点K ，并 在K 点修一个公共立交出入口；

方案③：从A 修一条普通公路到B ，再从B 修一条普通公路到 高速公路，也只修一个立交出入口．

请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案．

18. （16分）已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>和圆222:O x y b +=O ：，过椭圆上一点P 引

圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．

（1）（ⅰ）若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e 的值； （ⅱ）若椭圆上存在点P ，使得090APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围；

（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点,M N ，问当点P

在椭圆上运动时，22

22a b ON OM +是否为定值？请证明你的结

论．

19. （16分）对于数列}{n a ，定义数列}{1n n a a -+为}{n a 的“差数列”.

（I ）若}{n a 的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出}{n a 的一个通项公式；

（II ）若,21=a }{n a 的“差数列”的通项为n 2，求数列}{n a 的前n 项和n S ； （III ）对于（II ）中的数列}{n a ，若数列}{n b 满足8*1212(),n n n a b b n N +=-⋅∈且47b =-，求：①数列}{n b 的通项公式；②当数列}{n b 前n 项的积最大时n 的值．

20. （16分）已知函数()f x 的图像在[a,b]上连续不断，定义：

1()min{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，2()max{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，其中

min{()/)f x x D ∈表示函数)(x f 在D 上的最小值，max{()/)f x x D ∈表示函数)(x f 在

D 上的最大值，若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数)(x f 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”

（1）若()cos ,[0,]f x x x π=∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；

（2）已知函数2(),[1,4],f x x x =∈-试判断)(x f 是否为[-1,4]上的“k 阶收缩函数”，

如果是，求出对应的k ，如果不是，请说明理由；

（3）已知0b >，函数32()3,f x x x =-+是[0,b]上的2阶收缩函数，求b 的取值范围

附加题

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

21.（选修4—2：矩阵与变换）

已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值

1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．