2014年高考一轮复习数学教案：13.1 数学归纳法

2013 年，2014 年,高考第一轮复习,数学教案集
※第十三章
●网络体系总览
数学归纳法 应用 数列的极限 极限 函数的极限
极限
四则运 算法则
无穷等 比数列 函数的 连续性
●考点目标定位 1.数学归纳法、极限 要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. （2）了解数列极限和函数极限的概念. （3）掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限. （4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. ●复习方略指南 极限的概念和方法是近代数学的核心内容， 微积分学的基本概念、 基本方法在现代实践 中越来越多的被应用，并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主 要内容由两部分组成，一是数学归纳法，二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限 的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性.
13.1
数学归纳法
●知识梳理 1.数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方 法： （1）先证明当 n=n0（n0 是使命题成立的最小自然数）时命题成立； （2）假设当 n=k（k ∈N*， k≥n0）时命题成立，再证明当 n=k+1 时命题也成立，那么就证明这个命题成立， 这种证明方法叫数学归纳法. 2.数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探 求数列的通项；⑤不等式的证明.
特别提示
（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可; （2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标. ●点击双基
1 1 1 1 + + +„+ （n∈N *） ，那么 f（n+1）－f（n）等于 n 1 n  2 n  3 2n 1 1 A. B. 2n  1 2n  2 1 1 1 1 C. + D. － 2n  1 2n  2 2n  1 2n  2 1 1 1 1 1 1 1 解析： n+1） （n） （ f －f = + +„+ + + － （ + +„ n2 n3 2n  1 2n  2 n 1 n  2 2n
1.设 f（n）=

+
1 1 1 1 1 1 ）= + － = － . 2n  1 2n  2 n  1 2n  1 2n  2 2n
答案：D 2.（2004 年太原模拟题）若把正整数按下图所示的规律排序，则从 2002 到 2004 年的箭 头方向依次为
1 2 4 3 5 6 8 7 9 10 12 „ 11
A.
B.
C.
D.
解析：2002=4×500+2，而 an=4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数. 答案：D 3.凸 n 边形有 f（n）条对角线，则凸 n+1 边形有对角线条数 f（n+1）为 A.f（n）+n+1 B.f（n）+n C.f（n）+n－1 D.f（n）+n －2 解析：由 n 边形到 n+1 边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原 n－2 个顶点连成的 n－2 条对角线，及原先的一条边成了对角线. 答案：C 4.用数学归纳法证明“ （n+1） （n+2） ·„· （n+n）=2n·1·3·„· （2n－1），从“k 到 ” k+1”左端需增乘的代数式为 A.2k+1 B.2（2k+1） C.
2k  1 k 1
D.
2k  3 k 1
解析：当 n=1 时，显然成立. 当 n=k 时，左边=（k+1） （k+2） ·„· （k+k） ， 当 n=k+1 时，左边=（k+1+1） （k+1+2） ·„· （k+1+k） （k+1+k+1） =（k+2） （k+3） ·„· （k+k） （k+1+k） （k+1+k+1） =（k+1） （k+2） ·„· （k+k）
(2k  1)(2k  2) =（k+1） （k+2） ·„· （k+k）2（2k+1）. k 1
答案：B 5.（2004 年春季上海，8）根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第 n 个图形中有_________个点.
解析：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除 中心外还有两边，每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点;„;依次类 推，第 n 个图形中除中心外有 n 条边，每边 n－1 个点，故第 n 个图形中点的个数为 n（n－ 1）+1. 答案：n2－n+1 ●典例剖析 【例 1】 比较 2n 与 n2 的大小（n∈N *）. 剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系， 再用数学归纳法证明.

解：当 n=1 时，21＞12， 当 n=2 时，22=22，当 n=3 时，23＜32， 当 n=4 时，24=42，当 n=5 时，25＞52， 猜想：当 n≥5 时，2n＞n2. 下面用数学归纳法证明： （1）当 n=5 时，25＞52 成立. （2）假设 n=k（k∈N *，k≥5）时 2k＞k2， 那么 2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k＞k2+C 0 +C 1 +C k 1 =k2+2k+1=（k+1） 2. k k k ∴当 n=k+1 时，2n＞n2. 由（1） （2）可知，对 n≥5 的一切自然数 2n＞n2 都成立. 综上，得当 n=1 或 n≥5 时，2n＞n2；当 n=2，4 时，2n=n2；当 n=3 时，2n＜n2. 评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当 放缩.
深化拓展
当 n≥5 时，要证 2n＞n2，也可直接用二项式定理证：2n=（1+1）n=C 0 +C 1 +C 2 +„ n n n +C n 2 +C n1 +C n ＞1+n+ n n n
n(n  1) n(n  1) + =1+n+n2－n＞n2. 2 2
【例 2】 是否存在常数 a、 c 使等式 1· 2－12） （n2－22） b、 （n +2 +„+n 2－n2） 4+bn2+c （n =an 对一切正整数 n 成立?证明你的结论. 剖析：先取 n=1，2，3 探求 a、b、c 的值，然后用数学归纳法证明对一切 n∈N*，a、b、 c 所确定的等式都成立. 解：分别用 n=1，2，3 代入解方程组
1  a  4 , a  b  c  0  1   16a  4b  c  3  b   , 4 81a  9b  c  18   c  0.  
下面用数学归纳法证明. （1）当 n=1 时，由上可知等式成立; （2）假设当 n=k+1 时，等式成立， 则当 n=k+1 时，左边=1·（k+1）2－12］+2［ ［ （k+1）2－22］+„+k［ （k+1）2－k2］+（k+1） ［ （k+1）2－（k+1）2］=1· 2－12）+2（k2－22）+„+k（k2－k2）+1· （k （2k+1）+2（2k+1） +„+k（2k+1） =
1 4 1 1 1 k +（－ ）k2+（2k+1）+2（2k+1）+„+k（2k+1）= （k+1）4－ （k+1）2. 4 4 4 4
∴当 n=k+1 时，等式成立. 由（1） （2）得等式对一切的 n∈N*均成立. 评述： 本题是探索性命题， 它通过观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程 去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力. 【例 3】 2003 年全国） a0 为常数， an=3n 1－2an－（n∈N*） （ 设 且 .证明： n≥1 时， n= a 1
－
1 n [3 + 5