北师大版八年级上册 第四章 一次函数 辅导讲义
北师大版八年级上册数学解读课件：第4章 一次函数(共28张PPT)
知识点 正比例函数的图象及性质
神州八号飞船起飞两分钟后,助推器开始分离落回地面,下图 可以大致刻画助推器在下落过程中(即落地前)的速度与时间的变 化情况.
知识点 正比例函数的图象及性质
|k|越大,图象与 y轴越近,而不是k值越大,图象与 y轴越近.
第4章 一次函数
4 一次函数的应用
知识点 运用待定系数法确定一次函数的表达式
如图所示,围棋盘上若“黑棋A”位于点(0,3),“白棋B”位于点 (-3,0),利用待定系数法就可以求出经过点A和点B的直线的函数关 系式.
知识点 运用待定系数法确定一次函数的表达式
(1)所取得的点必须是函数图象上的点. (2)代入点的坐标时,横、纵坐标不要混淆.
学科素养课件
北师版·数学 八年级上
第4章 一次函数
1函数
知识点 函数的概念
在平静的湖面上,投入一粒石子,泛起的波纹的周长L与半径r 之间的关系就是函数关系.
知识点 函数的概念
函数不是数,它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系.
知识点 函数的三种表示方法
弹簧挂上物体后会伸长,弹簧的长度 y(cm)与所挂物体的质量 x(kg)之间的关系可以利用表格、关系式和图象三种不同的方法呈 现.
汽车在行驶中油箱中含油量y(升)与行驶时间t(小时)的函数关 系式是y=60-4t,当油箱没油了,汽车行驶的时间为15小时,即t=15为 方程60-4t=0的解.
知识点 一次函数与一元一次方程的关系
一次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元一次方程的根, 不是与 y轴交点的纵坐标.
知识点 利用两个一次函数图象解决实际问题
知识点 一次函数和正比例函数
数学：第四章_一次函数课件(北师大版八年级讲课用)
某同学离家3000m，他骑自行车的速度是300m/min （1）完成下表：
x/min y/m
0 1 2 3 4 5
已走的路程 0
300
600
900
1200 1500
（2）你能写出y和x之间的关系式吗？ Y=300 x （3）你能写出剩下的路程z和x之间的关系式吗？
z=3000-300 x
做一做
2
的正比例函数. （2）圆的面积y (厘米2 )与它的半径x ( 厘米) 之间的关系.
解：由圆的面积公式，得y= πx2, y不是x的正比 例函数，也不是x的一次函数.
（3）一棵树现在高5 0 厘米，每个月长高2 厘米， x 月后这棵树的高度为y 厘米. 解：由题意得y=50+2x,y是x的一次函数，但不
(1) y 8 x
(2) y 5 x 6
(4) y 0.5 x 1
8 (3) y x
解：（1）、（4）是一次函，
其中（1）又是正比例函数。
例1 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是 否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为y (千
1. 某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂 物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5cm. (1)计算所挂物体的质量分别为1千克、 2千克、 3千克、 4千克、 5千克时的长度，并填入下表： x/千克 y/cm 0 1 2 3 4 5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
(2)你能写出y 与x之间的关系吗？
1.这些关系式是不是关于自变量的整式？ 2.这些关系式是关于自变量的几次式？
3.右面含自变量的式子是几项？
北师大版八年级数学上册第4章 一次函数 一次函数的图象和性质
次函数的图象吗？
例1 画出一次函数 y = －2x＋1 的图象
x y = –2x+1
–2
–1
5
3
y = –2x＋1
0
1
1 –1 y
5
01 23 4 5
4
2 列表
–3
一次函数的图 象是什么？
01 23 4 5 01 23 4 5
01 23 4 5 01 23 4 5
思考：观察它们的图象有什么特点？
y y=x+2
.
.
..
.O.
.
.
.
y
.
2
=
x
-
2
x
探究归纳
观察三个函数图象的平移情况：
y y=x+2 y=x
2●
y=x-2
O2
x
●
把一次函数y = x+2，y = x-2的图象与y = x比较，发现： 1. 这三个函数的图象形状都是 直线 ，并且倾斜程度
_相__同___． 2. 函数 y = x 的图象经过原点，函数 y = x + 2 的图象与
y 随 x 的增大而增大. ① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限；
② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限. 当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐下降，
y 随 x 的增大而减小. ① b＞0 时，直线经过第一、二、四象限；
② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限.
练一练 两个一次函数 y1 ＝ ax＋b 与 y2 ＝ bx＋a，它们在
要点归纳
思考：与 x 轴的 交点坐标是什么？
b k
北师大版八年级数学上册-第四章一次函数(同步+复习)精品讲义课件
① ② ③ ④ 圆的半径r=2 , 圆的面积S与半径r的关系。 长方形的宽一定时，其长与周长。 王成的年龄与身高。 汽车行驶过程中，路程一定，其速度与时间。
① ② 根据变化过程中变量的实际意义确定。 根据纯代数关系式确定：一看分母不为0；二看 根号内非负（开平方被开方数是非负数）； 定义：对于自变量在可取值范围内每一个确定的 值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称 为“当自变量等于a的函数值“。 函数值与自变量的取值是对应的、相互依赖的。 求法：有表查表；有式代入；有图看图。
2.
函数值：
①
② ③
【例4】做一做
1. 求当x=-2时，函数 y=x2-√x2的函数值. 3x 2. 函数y= —— 中，求自变量 x的取值范围。 √x-2 3. 当x取（ 意义。 ）时，函数y= ————有
√x -2 4x
五． （补充）函数的图象
1. 定义：把一个函数的自变量的每一个值与对应的函数值分别 做为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系中描出所有对 应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 作法：列表（选值计算画表）；描点（对应值为点的坐标）； 连线（平滑的直线或曲线）。画出的是近似图象。 作用（学会看图象）：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 一看对应：（变量互求：有关系式用关系式。） 二看趋势：（如何变化） 三看范围：（最大最小局部整体区别看） 四看增减；（上坡下坡） 五看快慢：（陡快缓慢平不变） 六解方程：（组）不等式（ 交点-扫描-投影法） 七比大小：（两函数，比大小，找交点，横分段，看变化，求得 解） 八出方案：（寻求生活中最优选择最佳方案） 九取特值：（结合字母常量的几何意义确定常量之间的关系）。 十设坐标：（设横表纵——永远不变的真理）。
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第四章一次函数1、函数的观点一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 和 y，而且关于 x 每一个确立的值，y 都有独一的值与它对应，那么就说x 是自变量， y 是 x 的函数。
对函数观点的理解：（1）有两个变量（2）一个变量的数值跟着另一个变量的变化而变化（3）自变量每确立一个值，函数有一个而且只有一个值与之对应（或多个x 的值能够对应一个 y 值但不可以一个 x 值对应多个 y 值，如 y=x2和 x2 =y）2、自变量的取值范围自变量的取值一定使含自变量的代数式都存心义。
（1）关系式为整式时，自变量的取值为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实质问题中，自变量的取值还要和实质状况相切合，使之存心义。
如： S r 2中，r表示圆的半径时，r>03、一次函数和正比率函数一次函数 y=kx+b特点：k0x 的次数是 1常数项 b 是随意实数正比率函数： y=kx特点：k0x 的次数是 1常数项 b=0正比率函数是一种特别的一次函数。
4、一次函数图像性质一次函数 y=kx＋ b 的图象的画法 .依据几何知识：经过两点能画出一条直线，而且只好画出一条直线，即两点确立一条直线，因此画一次函数的图象时，只需先描出两点，再连成直线即可 .一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（ 0 ， b ），.即横坐标或纵坐标为 0的点 .k 表示直线y=kx+b(k 0) 向上的方向与x 轴正方向夹角的大小，即直线倾斜的程度；b 表示直线 y=kx+b（k 0）与 y 轴交点的纵坐标一次函数 Y=kx+b k 0 的图象，当 b>0 时，图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方；当b<0 时，图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方；2两直线 y= k 1 x+ b 1 （k 0）的图象与 y= k 2 x+ b 2 （k 0）的地点关系：（ 1） 当 k 1 = k 2 时，且 b 1 b 2 时，两直线平行（ 2） 当 k 1 = k 2 时，且 b 1 =b 2 时，两直线重合（ 3） 当 k 1 k 2 时，两直线订交（ 4） 当 k 1 k 2 时，且 b 1 =b 2 时，两直线交于 y 轴上一点（ 0，b 1 ）或（ 0，b 2 ）【稳固训练】 一、选择题1 、 下 列 各 图 给 出 了 变 量 x 与 y 之 间 的 函 数 是 ：（ ）yyyyo xoxoxo xABCD2、已知油箱中有油 25 升，每小时耗油 5 升，则剩油量 P(升)与耗油时间 t(小时 ) 之间的函数关系式为 ( ) A ． P=25+5tB ． P=25－5tC ．P=25D ． P=5t － 255t3、函数 y ＝3x ＋ 1 的图象必定经过点 ()．A ．(3,5)B ．(－2,3)C ．(2,7)D ． (4,10)4、以下函数关系式 : ① yx ;② y2x11;③ yx 2x 1; ④ y1 .此中一次函数的个数是 ( )xA. 1 个B.2 个C.3 个D.4个 5、假如 y=x －2a ＋1 是正比率函数，则 a 的值是（ ）(A)1(B)0(C)－1(D)－ 2226. 一次函数 y=kx+b 图象如图，正确的是（）（A ）k>0，b >0 （ B ） k>0，b <0 （ C ） k<0，b>0（D ）k<0， b <07．已知一次函数的图象与直线 y=-x+1 平行，且过点（ 8，2），那么此一次函数 的分析式为（ ）A ．y=-x-2B ． y=-x-6C ． y=-x+10D ．y=-x-1 8、若直线 yx n不经过第四象限，则（ ）mA.m ＞0，n ＜0B.m ＜0，n ＜0C.m ＜0，n ＞ 0D.m ＞0，n ≤09、函数 y=kx+b(k ＜ 0， b ＞ 0)的图象可能是以下图形中的（ ）y y yyo xo xo xox[A.B.C.D.10、若函数 y=2x+3 与 y=3x －2b 的图象交 x 轴于同一点，则 b 的值为 ( )A ．－ 3B ．－3C ． 9D ．－92 411 一次函数 y=kx+6，y 随 x 的增大而减小，则这个一次函数的图象不经过 （）A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限12 如图 , 直线 y kx b 经过 A(0,2) 和 B(3,0) 两点 , 那么这个一次函数关系式是 ( ) A. y 2x 3 B. y2x 2 C. y 3x 2 D. y x 1313．李老师骑自行车上班，最先以某一速度匀速前进， ?半途因为自行车发生故障，停下修车耽搁了几分钟，为了准时到校，李老师加速了速度，仍保持匀速前进，假如准时到校． 在讲堂上，李老师请学生画出他前进的行程 y?（千 米）与前进时间 t （小时）的函数图象的表示图，同学们画出的图象如图所 示，你以为正确的选项是（ ）14、一次函数 y=ax+b ，若 a+b=1，则它的图象必经过点（）A 、(-1,-1)B、(-1, 1)C、(1, -1)D、 (1, 1)115、已知点（ -4，y 1），（2，y 2）都在直线 y=- 2 x+2 上，则 y 1 y 2 大小关系是 ()（A ）y 1 >y 2 （B ） y 1 =y 2（C ） y 1 <y 216．如图一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A 和点 B ．(1)写出点 A 和点 B 的坐标并求出 k 、 b 的值； (2)求出当 x= 3时的函数值．217、已知，函数 y 1 3k x 2k 1 ，试回答：（1） k 为什么值时，图象交 x 轴于点（3，0）？4（2）k 为什么值时， y 随 x 增大而增大？18、如图，是某汽车行驶的行程 S(km)与时间 t(min)的函数关系图.察看图中所供给的信息，解答以下问题：（ 1）汽车在前 9 分钟内的均匀速度是（2）汽车在半途停了多长时间？S/km（3）当 16≤t≤30 时，求 S 与 t 的函数关系式.40129 1630t/min19、某自来水企业为了鼓舞市民节俭用水，采纳分段收费标准，若某用户居民每个月应交水费y（元）是用户量x（方）的函数，其图象如下图，依据图象回答以下问题：（ 1）分别求出 x≤5 和 x>5 时， y 与 x 的函数关系式；（ 2）自来水企业的收费标准是什么？y(元)（ 3）若某户居民交水费9 元，该月用水多少方6.6320.如图信息， l 1为走私船， l 2为我公安快艇，航行时行程与时间的函数图象，问：（ 1）在刚出发时我公安快艇距走私船多少㎞？（2）计算走私船与公安快艇的速度分别是多少？（ 3）写出 l 1 , l 2的分析式 .（ 4）问 6 分钟时两艇相距几千米。
北师版八年级数学上册第四章 一次函数1 函数
感悟新知
例1 下列是关于变量 x，y 的关系：
知1－练
① y= 2 x－1 ； ② 5x－2y=1； ③ y=|3x|； ④ x－y2=2；
⑤ x=|3y|．其中表示 y 是 x 的函数的是
D．①③⑤
感悟新知
解题秘方：根据函数的定义判断即可．
知1－练
解：题中 ① ② ③；满足 函数的定义，而 ④⑤ 不 满足，即 A选项正确 .
方法叫做关系 式法. 其中的
过程中自变 量与函数值
的变化规律，而 且有些函数不能
等式叫做函数 的对应关系 用关系式法表示
关系式
出来
续表
知2－讲
表示方法
定义
优点
缺点
图象法
用图象表示两 直观、形象 从自变量的值 个变量间的函 地反映出函 常常难以找到 数关系的方法 数关系变化 对应函数的准 叫做图象法 的趋势和某 确值
变化而变化的，因此在求函数值时，一定要
明确是求自变量为多少时的函数值．
感悟新知
例3
知3－练
某公交车每月的支出费用为 4 000 元，票价为 2 元 /人，
设每月有 x 人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为 y 元．
(1)请写出 y 与 x 之间的关系式，并列表格表示当 x 的值分别是 1 000，1 500，2 000，2 500，3 000 时， y 的值；
感悟新知
续表
知3－讲
类型
特点
举例
自变量的取 值范围
自变量是零 等号右边是
次幂 (负整数 自变量的零
次幂 ) 的底 次幂或负整
数
数次幂
y=x0( x ≠ 0)， y=x－2( x ≠ 0)
使幂的底数 不为0 的实 数
北师大版八年级上册第四章一次函数辅导讲义
专题一：函数知识点精讲：1. 一般地，假如在一个变化过程中有两个变量x 和y ，而且对于变量x 的每一个值，变量y 都有的值与它对应，那么我们称y 是x的函数，此中x 是自变量。
典型例题：【例1】以下四个图像中，不行能是函数图像的是( )【习题1】以下各图象中，哪一个不行能是函数图象（）A B C D规律与小结：1.函数中，x 的值有独一的y 值与它对应，也就是说能够多个x 对应同一个y 值，但不能够一个x 对应多个y 值。
2.函数必定是方程，但方程不必定是函数。
专题二：正比率函数与一次函数知识点精讲：1. 若两个变量x, y间的对应关系能够表示成（ k , b 为常数，k 0）的形式，则称 y 是x的一次函数。
特别地，当 b0 时，称 y 是x的正比率函数。
典型例题：【例 1】以下函数是一次函数的是（）A．=-8x B．y= 8．x2．8C y=-8+2+2 Dx x【习题 1】设圆的面积为，半径为，那么以下说法正确的选项是（）S RA．S是R的一次函数B． S是 R的正比率函数2D．以上说法都不正确C．S与R成正比率关系【例 2】函数=m 1 +（-1 ）是一次函数，则值（）y m x m mA． m≠0B．m=2C． m=2或4D． m＞2【习题 2】若函数y=（k-1） x+k2-1是正比率函数，则k 的值是（）A． -1B． 1C．-1或1D．随意实数【例 3】若某地打长途电话 3 分钟以内收费元， 3 分钟此后每增添 1 分钟（不到 1 分钟按 1 分钟计算）加收元，当通话时间 t ≥3分钟时，电话费y（元）与通话时间t （分）之间的关系式为（）A．y=t + B ．y=+1 C ．y=+D．y=【习题 3】已知，如图，某人驱车在离 A 地10千米的 P 地出发，向 B地匀速行驶，30 分钟后离P地 50 千米，设出发x 小时后，汽车离A地 y 千米（未抵达 B 地前），则 y 与 x 的函数关系式为（）A． =50B．y =100C． =50x-10D．=100 +10y x x y y x【习题 4】某报亭老板以每份元的价钱从报社购进某种报纸500 份，以每份元的价钱销售x 份（ x＜500），未销售完的报纸又以每份元的价钱由报社回收，此次买卖中该老板赢利y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（ ）A ． y =（ x ＜ 500）B ． y =（ x ＜ 500）C ． y =（ x ＜ 500）D ． y =（ x ＜ 500）【例 4】已知 y +a 与 x +b （ a 、 b 为常数）成正比率． y 是 x 的一次函数吗？请说明原因 .【习题 5】已知 y =（ k -3 ） x + k 2 -9 是对于 x 的正比率函数，求当 x =-4 时， y 的值．规律与小结：1. 认清一次函数和正比率函数的差别。
北师大版八年级上册第四章一次函数辅导讲义
（2）已知y随x增大而增大，求m的取值范围．
规律与小结：
1.对于一次函数和正比例函数图像，一定要印在脑子里；
2.注意 的取值的正负形；
3.平移的口诀：“左加又减，上加下减”。
专题一：函数
知识点精讲：
1.一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 和 ，并且对于变量 的每一个值，变量 都有的值与它对应，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量。
典型例题：
【例1】下列四个图像中，不可能是函数图像的是 ( )
【习题1】下列各图象中，哪一个不可能是函数图象（ ）
A B C D
规律与小结：
【习题4】某报亭老板以每份0.5元的价格从报社购进某种报纸500份，以每份0.8元的价格销售x份（x＜500），未销售完的报纸又以每份0.1元的价格由报社收回，这次买卖中该老板获利y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=0.7x-200（x＜500）B．y=0.8x-200（x＜500）
C．y=0.7x-250（x＜500）D．y=0.8x-250（x＜500）
典型例题：
【例1】下列函数是一次函数的是（ ）
A．y=-8xB．y= C．y=-8 +2D．y= +2
【习题1】设圆的面积为S，半径为R，那么下列说法正确的是（ ）
A．S是R的一次函数B．S是R的正比例函数
C．S与 成正比例关系D．以上说法都不正确
【例2】函数y=m +（m-1）是一次函数，则m值（ ）
【例2】如果函数y=3x+m的图象一定经过第二象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤0
【习题1】设0＜k＜2，关于x的一次函数y=kx+2（1-x），当1≤x≤2时的最大值是（ ）
北师大版数学八年级上册复习课件：第四章一次函数
o
x
y
k<0,b<0
o
x
练习：
如图，在同一坐标系中，关于x的一次函数 y = x+ b与 y = b x+1的图象只可能是（ C ）
(A)
y
(B)
y
ox
ox
y (C)
ox
(D)
y
ox
• 图象辨析
1.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则
在直角坐标系内它的大致图象是( A )
• 函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式 写成y=k（x+0）+b，则用下面的口诀“左 右平移在括号,上下平移在末稍,左负右正须 牢记,上正下负错不了”。
1、求下列函数中自变量x的取值范围 （1）y= x（x+3）； （2）y= 3
4x 8
（3）y= 2x 1 （4）y= x 1 1 x
7.某商场文具部的某种笔售价25元，练习本每本售价5元。该商 场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择。甲：买一支笔赠送 一本练习本。乙：按购买金额打九折付款。某校欲购这种笔10支， 练习本x（x ≥10)本，如何选择方案购买呢？ 解：甲、乙两种方案的实际金额y元与练习本x本之间的关系式是：
y甲=(x-10)××5+25×10=5x+200 (x ≥10)
例：画出Y=3x+3的图象
解：列表得：
y
x 0 -1 y30
.3
描点，连线如图：
.o
x
-1
4.一次函数的性质
函数 解析式
自变 量的 取值 范围
正比 例 y=kx 全体
函数 （k≠0） 实数
北师大版八年级数学上册第四章一次函数第1课时一次函数的应用课件
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两个 顶点A，B的坐标分别为（3，0），（3，2），对角线 AC所在直线为l，求直线l的函数关系式.
10. 如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于点A、B． （1）求A，B两点的坐标； （2）在x轴上有一点P，使得△一次函数y=kx－3k+6的图象过原点，则一次函数的关系式为( A )
A. y=2x
B. y=2x+6
C. y=2x-6
D. y=x
C C
D
5. 已知y-3与x成正比例，且当x=2时，y=7.
(1)写出y与x之间的关系式： y=2x+3 ； (2)当x=4时，y= 11 ； (3)当y=4时，x= 0.5 .
第四章 一次函数
4 一次函数的应用 第1课时
1. 由于正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)中只有一个参数k，故只需 一 个条 件就可求得k的值.
2. 由于一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)中有两个参数k，b，需要 两 个 独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值.这 两 个条件通常是两个点 的坐标或两对x，y的值.
D D
y=2x
4. 一次函数y=kx+b的图象与直线y=2x+1平行，且经过点（-3，4），则表 达式为： y=2x+10 ．
5. 已知一次函数的图象经过A(0，-3)，B(1，3)两点，求这个一次函数的 关系式.
设这个一次函数的关系式为y=kx+b. 因为一次函数的图象经过A（0，-3），B（1，3）两点，将坐标分别代入 关系式，得b=-3且k+b=3.解得k=6，b=-3. 所以这个一次函数的关系式为y=6x-3.
北师大版八年级数学上册第四章一次函数复习课件
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1234
x
图象法
2、一次函数图象及性质
1.作函数图象有几个步骤？ 列表 描点 连线
2.正比例函数y=kx和一次函数y=kx+b图象有什
么特点？
正比例函数的图象是__过__原___点__（__0_，___0_）__的一条直线。 一次函数的图象是____过__（___0_，__b_）_______的一条直线。 3.作正比例函数和一次函数图象需要描出几个点？
把（0，4）（1，2）分别代入关系式，得
4=b 2=k•1+b ∴ k= -2 b=4
待定系数法
步骤
设、列、解、代
∴该一次函数的表达式为y=-2x+4。
二、小组合作，知识梳理
同学们通过小组交流合作，对自 己本章整理的知识树，进行补充修改 再整理，小组成员可以互相补充，每 一组选出整理的最好的一份展示。
应用
一、知识回顾，熟悉考点
1、一次函数定义
函数形如_y_=_k_x_＋__b_（__k_、_b_为__常__数__，__k≠_０__）__ 叫做一次函数。
当__b_=_0_时，_y_=_k_x_（__k_≠___０__）_是正
比例函数。 正比例函数与一次函数的联系是什么？
正比例函数是特殊的一次函数。
1、一次函数定义 m__=_1__时，函数
是一次函数。
判断是一次函数的条件是什么？
1、自变量的指数=1。
2、自变量前的系数k≠0。
1、一次函数定义
若y=（m-2）x+m2-4是关于x的正比例函数，则
m___=__-_2___。
第四章 一次函数 讲义 2024--2025学年北师大版八年级数学上册
北师大版八年级上册第四单元一次函数讲义知识点清单：知识点一．函数的概念知识点二．函数关系式知识点三．函数自变量的取值范围知识点四．函数的图象知识点五．函数的表示方法知识点六．一次函数的定义知识点七．正比例函数的定义知识点八．一次函数的性质知识点九．一次函数图象与系数的关系知识点十．一次函数图象上点的坐标特征知识点十一．一次函数图象与几何变换知识点十二．待定系数法求一次函数解析式知识点十三．待定系数法求正比例函数解析式知识点十五．根据实际问题列一次函数关系式知识点十四．一次函数与一元一次方程知识点十六．一次函数的应用知识点十七．一次函数综合题知识点一．函数的概念1．下列曲线中表示y是x的函数的是（）A ．B ．C．D．知识点二．函数关系式2．小明一家自驾车到离家500km的某景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了行驶路程x（km）与油箱余油量y（L）之间的部分数据：行驶路程x（km）050100150200…油箱余油量y（L）4541373329…下列说法不正确的是（）A．该车的油箱容量为45LB．该车每行驶100km耗油8LC．油箱余油量y（L）与行驶路程x（km）之间的关系式为y＝45﹣8xD．当小明一家到达景点时，油箱中剩余5L油知识点三．函数自变量的取值范围3．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．4．函数y＝中，自变量x的取值范围是．知识点四．函数的图象5．如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（）A．A地与B地之间的距离是180千米B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时C．汽车中途共休息了5小时D．汽车返回途中的速度是60千米/时知识点五．函数的表示方法6．某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如下表所示：支撑物高度h（cm）10203040506070小车下滑时间t（s） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（）A．支撑物的高度为40cm，小车下滑的时间为2.13sB．支撑物的高度h越大，小车下滑时间t越小C．若小车下滑的时间为2s，则支撑物的高度在40cm至50cm之间D．若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑的时间每次至少减少0.5s知识点六．一次函数的定义7．函数①y ＝5x ；②y ＝2x ﹣1；③；④；⑤y ＝x 2﹣2x +1，是一次函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知y ＝3x m ﹣1+5是y 关于x 的一次函数，则m 的值为．知识点七．正比例函数的定义9．若函数y ＝﹣7x +m ﹣2是正比例函数，则m 的值为（）A ．0B ．1C ．﹣2D ．210．若y 关于x 的函数y ＝﹣7x +2+m 是正比例函数，则m ＝．知识点八．一次函数的性质11．若直线y ＝kx +b 经过第一、二、四象限，则函数y ＝bx ﹣k 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．12．若点A （x 1，﹣1），B （x 2，﹣2），C （x 3，3）在一次函数y ＝﹣2x +m （m 是常数）的图象上，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（）A ．x 1＞x 2＞x 3B ．x 2＞x 1＞x 3C ．x 1＞x 3＞x 2D ．x 3＞x 2＞x 113．已知函数y ＝（2m +1）x +m ﹣3（1）若函数图象经过原点，求m 的值；（2）若函数的图象平行直线y ＝3x ﹣3，求m 的值；（3）若这个函数是一次函数，且y 随着x 的增大而减小，求m 的取值范围．14．（1）如图所示，∠AOB ＝α，∠AOB 内有一点P ，在∠AOB 的两边上有两个动点Q 、R （均不同于点O ），现在把△PQR 周长最小时∠QPR 的度数记为β，则α与β应该满足关系是．（2）设一次函数y ＝mx ﹣3m +4（m ≠0）对于任意两个m 的值m 1、m 2分别对应两个一次函数y 1、y 2，若m 1m 2＜0，当x ＝a 时，取相应y 1、y 2中的较小值P ，则P 的最大值是．知识点九．一次函数图象与系数的关系15．已知一次函数y＝（a﹣2）x+1，y随着自变量x的增大而增大，则a的取值范围为．知识点十．一次函数图象上点的坐标特征16．一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m的值为（）A．﹣2B．﹣2或2C．1D．217．关于x的一次函数y＝﹣4x+8的图象，下列说法不正确的是（）A．直线不经过第三象限B．直线经过点（1，4）C．直线与x轴交于点（2，0）D．y随x的增大而增大18．直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上，则点M的坐标为．19．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求点A，B的坐标．＝2S△AOB，求点C的坐标．（2）若点C在x轴上，且S△ABC20．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，2），若直线y＝﹣2x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B 两点，连接PA、PB．（1）求点A、点B的坐标；（2）求△PAB的面积．21．如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y＝﹣x+10在第一象限内一个动点．（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣3，0），直线y＝﹣分别交x轴、y轴于点A、B．（1）求点A、B的坐标；（2）若点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AP．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．知识点十一．一次函数图象与几何变换23．将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝2x+5B．y＝2x+3C．y＝2x﹣2D．y＝2x﹣324．将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（）A．y＝﹣2（x﹣4）B．y＝﹣2x+4C．y＝﹣2（x+4）D．y＝﹣2x﹣425．在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（﹣1，﹣2），则n的值为．26．如图，直线l1：y＝x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1平移到直线l2，直线l2与x轴交于点C，点A与点C，点B与点D分别是平移前后的对应点，若线段AB在平移过程中扫过的图形面积为20，求点D的坐标．知识点十二．待定系数法求一次函数解析式27．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为（）A．y＝x+2B．y＝﹣x+2C．y＝x+2或y＝﹣x+2D．y＝﹣x+2或y＝x﹣228．如图，若点P（﹣2，4）关于y轴的对称点在一次函数y＝x+b的图象上，则b的值（）A．﹣2B．2C．﹣6D．629．已知某直线经过点A（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是．30．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y 轴于点D．（1）求一次函数的解析式；（2）求点C和点D的坐标；（3）求△AOB的面积．31．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；＝2，求点C的坐标．（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC知识点十三．待定系数法求正比例函数解析式32．正比例函数y＝kx经过点（1，3），则k＝．33．已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．知识点十四．一次函数与一元一次方程34．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx+b＝4的解是（）A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝435．一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），则关于x的方程﹣kx+b＝0的解为（）A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝0D．x＝236．已知直线y＝﹣3x与y＝kx+2相交于点P（m，3），则关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝337．如图一次函数y＝kx+2的图象分别交y轴，x轴于点A、B，则方程kx+2＝0的解为（）A．x＝0B．x＝2C．D．38．如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（）A．0B．2C．4D．639．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是．知识点十五．根据实际问题列一次函数关系式40．已知等腰三角形的周长是20cm，底边长y（cm）是腰长x（cm）的函数关系式为，自变量x的取值范围是．知识点十六．一次函数的应用41．甲、乙两船沿直线航道AC匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道AC中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图．下列说法：①乙船的速度是40千米/时；②甲船航行1小时到达B处；③甲、乙两船航行0.6小时相遇；④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0≤t≤2.5．其中正确的说法的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④42．声音在空气中传播的速度（简称声速）v（m/s）与空气温度t（℃）满足一次函数的关系（如表格所示），则下列说法错误的是（）A．温度越高，声速越快B．当空气温度为20℃时，声速为342m/sC．声速v（m/s）与温度t（℃）之间的函数关系式为D．当空气温度为40℃时，声速为350m/s43．甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，在乙园采摘需总费用y2元．y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克B．甲园的门票费用是60元C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多44．某中学开展春季越野赛，小明、小颖两名同学同时从起点出发，他们所跑的路程y（千米）与时间x（分）之间的关系如图所示，小刚由图示得出下列信息：①在比赛中小明的速度始终比小颖快，所以小明先到达终点；②比赛开始20分钟时，小明和小颖第一次相遇；③越野赛全程为6千米；④小明最后冲刺速度为0.3千米/分钟．在小刚得出的信息中正确的有（填序号即可）．45．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x （小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象可知，下列结论：①两车出发后4小时相遇；②动车的速度是普通列车速度的2倍；③两车相遇后，普通列车还需行驶6小时到达目的地；④C点的坐标是（5，1000），其中正确的有.（填所有正确结论的序号）46．某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．设销售人员一个月的销售量为x （件），方式一的销售人员的月收入为y 1（元），方式二的销售人员的月收入为y 2（元）．（1）请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数表达式；（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？47．甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价20元，乒乓球拍每副定价100元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球，乙店按八折优惠．某俱乐部需购球拍4副，乒乓球x （x ≥10）盒．（1）若在甲店购买付款y 甲（元），在乙店购买付款y 乙（元），分别写出：y 甲，y 乙与x 的函数关系式．（2）若该俱乐部需要购买乒乓球30盒，在哪家商店购买合算？48．科学调查结果显示：当中学生电子产品日平均使用时间小于30分钟时，近视率较低．使用时长从30分钟到1小时的过程中，近视率会急剧上升，研究发现近视率y 是日平均使用时长x （分钟）的一次函数，当日平均使用时长为30分钟时，近视率为10%，当日平均使用时间为60分钟时，近视率为70%．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）当日平均使用时间为40分钟时，近视率是多少？49．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA 表示货车离甲地的距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系；折线BCD 表示轿车离甲地的距离y （千米）与时间x （时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；（2）求线段CD 对应的函数表达式；（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．知识点十七．一次函数综合题50．如图，直线l1：y＝2x+6与过点B（3，0）的直线l2交于点C（﹣1，m），且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D．（1）求直线l2的解析式；（2）若点M是直线l2上的点，且在y轴左侧，过点M作MN⊥直线x＝1于点N，点Q在直线x＝1上，要使△MNQ≌△AOD，求所有满足条件的点Q的坐标．51．【阅读理解】已知M，N为平面内不重合的两点．给出以下定义：将M绕N顺时针旋转α（0°＜α＜360°）的过程记作变换（N，α）．例如：在平面直角坐标系xOy中，已知点M（1，0），N（2，0），则M经过变换（N，90°）后所得的点B的坐标为（2，1）．【迁移应用】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+b分别与x轴，y轴交于点A（﹣1，0），B，设A经过变换（B，180°）后得到C．（1）求点C的坐标；（2）过C作CD⊥x轴于D，点E是线段CD上一动点，设E经过变换（B，90°）后得到点F，连接BE，BF．ⅰ）若△ABF的面积为3，求点F的坐标；ⅱ）设点M是y轴上一动点，当以A，B，F，M（四点为顶点的四边形为平行四边形时，求点M的坐标．52．如图，平面直角坐标系中，直线AB：交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．（1）求直线AB的解析式和点B的坐标；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；＝2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求点C的坐标．（3）当S△ABP53．如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x 轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）．（1）则k＝，b＝，n＝；（2）求四边形AOCD的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标．54．如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）求点A、C的坐标；（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．55．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点M的坐标；②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．56．（1）认识模型：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）应用模型：①已知直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（5，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ 是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．57．如图，直线l1：y＝﹣x+3与x轴相交于点A，直线l2：y＝kx+b经过点（3，﹣1），与x轴交于点B（6，0），与y轴交于点C，与直线l1相交于点D．（1）求直线l2的函数关系式；（2）点P是l2上的一点，若△ABP的面积等于△ABD的面积的2倍，求点P的坐标；（3）设点Q的坐标为（m，3），是否存在m的值使得QA+QB最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．58．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．（1）若点O′恰好落在直线AB上，求OP的长．（2）若Q是直线AB上的一个动点，当△AOQ的面积为10时，求Q的坐标．（3）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标，若不存在，说明理由．（4）若C是y＝﹣x+3上的动点，当△ABC是以BC为底的等腰三角形，求出点C的坐标．59．问题提出（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P为高AE上的动点，过点P作PH⊥AC于H，则的值为；问题探究（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、B．若点P是直线AB上一个动点，过点P作PH⊥OB于H，求OP+PH的最小值．问题解决（3）如图3，在平面直角坐标系中，长方形OABC的OA边在x轴上，OC在y轴上，且B（6，8）．点D在OA边上，且OD＝2，点E在AB边上，将△ADE沿DE翻折，使得点A恰好落在OC边上的点A′处，那么在折痕DE上是否存在点P使得EP+A′P最小，若存在，请求最小值，若不存在，请说明理由．60．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）求出点A、点B的坐标；（2）求△COB的面积；（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别于l1、l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
北师版八年级上册数学教学课件 第四章 一次函数 函数
1 (中考·广安)如图，数轴上表示的是某个函数自变
量的取值范围，则这个函数表达式为( C )
A．y＝x＋2
B．y＝x2＋2
C．y＝ x 2
D．y＝
1 x2
2 (中考·恩施州)函数y＝ 的取值范围是( B ) A．x≥2 C．x≠2
1 ＋x－2的自变量x x2
B．x＞2 D．x≤2
1.判断变量之间具有函数关系的三个要素：(1)一个变化过程； (2)有两个变量；(3)一个变量的值确定后，另一个变量都有 唯一的值和它对应．
2．确定自变量的取值范围的方法：(1)整式和奇次根式中，自 变量的取值范围是全体实数；(2)偶次根式中，被开方式大 于或等于0；(3)零指数幂、负整数指数幂中，底数不为0； (4)实际问题中，自变量除了满足表达式有意义外，还要考 虑使实际问题有意义．
1.必做: 完成教材P77-78，T1-T4
总结
判断一个量是常量还是变量的方法：看在 这个量所在的变化过程中，该量的值是否发生改变 (或者说是否会取不同的数值)，其中在变化过程中 不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量．
例2 如图，各曲线中表示y是x的函数的是 _①__②__③___．(写出所有满足条件的图的序号)
导引：紧扣函数的定义，要判断y是不是x的函数，关键看 给x一个值，y是否有一个唯一的值与其对应，若 是，则y是x的函数；若不是，则y不是x的函数．
(1)当t分别为-43 ℃ ，-27 ℃, 0 ℃ , 18 ℃时，相应的热 力学温度T是多少？
(2)给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？
思考：在关系式T=t+273中，两个变量中若知道其 中一个，是否可以确定另外一个?
函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有 唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数， 其中x是自变量．
新版北师大版八年级数学上册第四章一次函数全章课件
二、新课讲解
例 画出一次函数y=-2x+1的图象.
解： 列表：
x
… -2 -1
0
1
2
…
y…5源自31-1 -3 …
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出 相应的点.
连线：把这些点依次连接起来，得到y=-2x+1的图象（如图）， 它是一条直线.
二、新课讲解
一次函数y=kx＋b的图象有什么特点？你是怎样理
与纵坐标，并验证它们是否都满足关系式y=-3x.
在所画的图象上取点 （0，0）、（1，-3） 和（-1,3），显然它 们的横坐标与纵坐标
都满足关系式y=-3x.
二、新课讲解
（1）满足关系式y=-3x的x，y所对应的点（x，y）都在 正比例函数y=-3x的图象上吗？
满足关系式y=-3x的x，y所对应的点（x，y）都在 正比例函数y=-3x的图象上. （2）正比例函数y=-3x的图象上的点（x，y）都满足关 系式y=-3x吗？
为简单的正比例函数的图象.
二、新课讲解
例 画出正比例函数y=2x的图象.
解： 列表：
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐 标系内描出相应的点.
连线：把这些点依次连接起来，得到y=2x的图象
（如图），它是一条直线.
二、新课讲解
（1）画出正比例函数y=-3x的图象.
（2）在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标
二、新课讲解
解： （1）当月收入超过3500元而不超过5000元时，
y=（x-3500）×3％，即y=0.03x-105； （2）当x=4160时，y=0.03×4160-105=19.8
（元）； （3）因为（5000-3500）×3％=45（元），
北师大版八年级数学上册第四章《一次函数》课件精选全文
巩固练习
变式训练
变量x与y的对应关系如下表所示：
x 1 4 9 16 25 … y ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 … 问：变量y是x的函数吗？为什么？若要使y是x的函数，可 以怎样改动表格？
解：y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都 有两个确定的值与其对应. 要使y是x的函数，可以将表 格中y的每一个值中的“±”改为“＋”或“－”.
（千米），则y关于x的函数解析式是（ D ）
A．y＝4x（x≥0） C．y＝3﹣4x（x≥0）
B．y＝4x﹣3（
x
3 4
D．y＝3﹣4x（0 x
） 3）
4
课堂检测
基础巩固题
1. 在下图中，不能表示y是x的函数的是（ D ）
A
B
C
D
课堂检测
基础巩固题
2.下列说法中，不正确的是（ C ） A.函数不是数，而是一种关系 B.多边形的内角和是边数的函数 C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数
探究新知
知探识究点新2知 函数值及自变量的取值范围
注意：要根 据实际问题确定自
上述问题中，自变量能取哪些值？ 变量的取值范围.
探究新知
函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a， 函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自 变量等于a时的函数值． 即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b 叫做当x=a时的函数值．
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值， 相应地就确定了另一个变量的值.
探究新知
小结
函数
一般地，如果在一个变化过程中有两 个变量x和y，并且对于变量x的每一个值， 变量y都有唯一的值与它对应，那么我们 称y是x的函数，其中x是自变量.
北师版初中八年级上册数学精品授课课件 第四章 一次函数 本章归纳总结
常量是 π 和 r，变量是 V 和 h.
（2）设圆柱的高 h 不变，在圆柱的体积 V 与圆柱的 底面半径 r 的关系式为 V=πr2h 中，常量和变量 又分别是什么？
常量是 π 和 h，变量是 V 和r.
11. 已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则k，b的取
值范围是（ （x）↘，. y↘）
A.k＞0， b＞0
B.k＞0，b＜0
C. k＜0， b＞0
D.k＜0，b＜0
【教材P99 复习题 第8题】
k,号b符
b＞0
y
y＝kx＋b（k≠0）
k＞0
b＜0 b＝0 b＞0
y
y
y
k＜0
b＜0
y
b＝0
y
1. 一水池的容积是90 m3，现蓄水10m3，用水管以5 m3/h的速度向水 池中注水，直到注满为止. （1）写出水池蓄水量V（m3）与注水时间t （h）之间的 关系式，并指出自变量 t 的取值范围; （2）当t＝10时，V的值是多少?
解：（1）根据题意，得V＝5t＋10（0≤ t ≤ 16）,
（2）当 t ＝ 10 时，V＝5×10＋10＝60， 即当t＝10时，V的值是60.
填空：
汽车出发_______小时与电动自行车相遇；
电动自行车的0.速5 度为_______千米/时； 汽车的速度为_______千米/时； 汽车比电动自行车早___9____小时到达B地.
4
5
2
16. 某公司推销一种产品，设 x（件）是推销产品的数量，y（元）是 推销费，图中表示公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图 回答下列问题.
北师大版初二上-一次函数讲义全精选全文
可编辑修改精选全文完整版第四章：一次函数◆4.1函数1．函数的概念一般地,在一个变化过程中有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y 值,那么我们称y是x的函数．其中x是自变量,当自变量取一个值时,另一个变量就有唯一确定的值与它对应,这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据．辨误区自变量与另一个变量的对应关系若y是x的函数,当x取不同的值时,y的值不一定不同．如：y＝x2中,当x＝2,或x＝－2时,y的值都是4.[例1－1] 下列关于变量x,y的关系式：①x－3y＝1；②y＝|x|；③2x－y2＝9.其中y是x 的函数的是< >．A．①②③ B．①② C．②③ D．①②[例1－2] 已知y＝2x2＋4,<1>求x取错误!和－错误!时的函数值；<2>求y取10时x的值．.谈重点函数中变量的对应关系当自变量取一个值时,另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值,则自变量并不一定有唯一的值与之相对应,所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系．2．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式,也称为函数解析式或关系表达式．谈重点函数关系式中的学问①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量,哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量,等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如,y＝x＋1是表示y是x的函数．若写成x＝y－1就表示x是y的函数．也就是说：求y与x的函数关系式,必须是用只含变量x的代数式表示y,即得到的等式<解析式>左边只含一个变量y,右边是含x的代数式．[例2]已知等腰三角形的周长为36,腰长为x,底边上的高为6,若把面积y看做腰长x的函数,试写出它们的函数关系式．3．自变量的取值范围<1>使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围．<2>自变量的取值范围的确定方法：首先,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．当解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数；当解析式是二次根式时,自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当解析式中含有零整数幂或负整数指数幂时,自变量的取值应使相应的底数不为0；其次,当函数解析式表示实际问题时,自变量的取值还必须使实际问题有意义．[例3]若等腰三角形的周长为50 cm,底边长为x cm,一腰长为y cm,y与x的函数关系式为y＝错误!<50－x>,则变量x的取值范围是__________．4．函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：列表法、图象法、解析法,以解析法应用较多．有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示,而有的只能用其中的一种或两种来表示．<1>列表法：列一张表,第一行表示自变量取的各个值,第二行表示相应的函数值,这种表示函数关系的方法称为列表法．<2>图象法：通过建立平面直角坐标系,以自变量取的每一个值为横坐标,以相应的函数值为纵坐标,描出每一个点,由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象,这种表示函数关系的方法称为图象法．<3>解析法：用式子表示函数关系的方法称为解析法,这样的式子称为函数的解析式．析规律函数的三种表示方法三种表示方法各有优缺点,应用时要视具体情况,选择适当的表示方法,或将三种方法结合使用．①列表法：优点是能明显地显现出自变量与对应的函数值,缺点是取值有限；②图象法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质,缺点是求得的函数值是近似的；③解析法：优点是简明扼要、规范准确,并且可以根据解析式列表、画图象,进而研究函数的性质；缺点是有些函数无法写出解析式,只能列出表格或画出图象来表示．[例4] 你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水,乌鸦想喝,但是嘴够不着瓶中的水,于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中,瓶中水面的高度随石子的增多而上升,乌鸦喝到了水．但是还没解渴,瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度,乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中,水面又上升,乌鸦终于喝足了水,哇哇地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x ,瓶中水面的高度为y ,下面能大致表示上面故事情节的图象是< >．5.怎样判定函数关系<1>从关系式判定函数由函数的定义知道,在某个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 每一个确定的值,y 都有且只有一个值与之对应,当x 取不同的值时,y 的值可以相等也可以不相等,但如果一个x 的值对应着两个不同的y 值,那么y 一定不是x 的函数．根据这一点,我们可以判定一个关系式是否表示函数．<2>从表格中判定函数根据函数的定义知道,从表格中理解函数仍然是先看是否只有两个变量,再看对于变量x 每一个确定的值,y 是否都有唯一的值和它对应,也就是说x 若取相同的值,y 必须是相同的值．<3>从图象上判定函数根据函数的定义知道,每一个x 值只能对应唯一的一个y 值,因此要判断哪些图形表示的是函数,只要在所给的自变量的取值范围内任作一条垂直于x 轴的直线,若直线与所给图形只有一个交点,则说明这个图形表示的是函数,若交点不止一个,则一定不是函数．[例5－1] 下列表格中能反映y 是x 的函数的是< >．A x －1 1 2 3 －1 y 0 2 4 8 10B x 0 1 2 3 0 y －2 2 3 4 6C x 2 2 2 2 2 y －1 0 1 1 3D x －1 1 2 3 4 y 0 2 4 8 10[例5－2] y x 6.如何判断同一函数学习了函数的概念,判断两个函数是否表示同一函数要看它们是不是满足以下三个条件：<1>自变量的取值范围完全相同．<2>函数值的取值范围完全相同．<3>变形后,两个函数的解析式是一致的,即自变量和函数的对应关系完全相同．如果两个函数满足以上三个条件,那么它们是同一函数．解答这类问题的关键是正确理解上述的三个条件．☆函数的自变量取值范围和解析式为函数的两个基本条件,判断两个函数是否相等的关键是看自变量取值范围和解析式.自变量取值范围和函数值分别相同的函数不一定是相等函数.[例6-1] 下列函数中,与y ＝x 表示同一个函数的是< >．A ．y ＝错误!B ．y ＝|x |C ．y ＝<错误!>2D ．y ＝错误![例6-2]下列各组函数中,哪些是同一函数：①y x =与1y x =+；②1,y x x =-为实数,与1,y x x =-为自然数；③24y x =-与22y x x =-+④11y x =+与11u x =+； ⑤2y x x =2y x =； ⑥2||y x =与2,02,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩； 7．函数图象的实际应用函数的图象是由点组成的,每个点都具有实际意义,利用函数的图象可以反映实际问题中的关系,同样通过观察函数的图象也可以得到关于实际问题的相关信息．可以说,函数的图象是我们解决实际问题的有效手段和重要的工具．解决函数图象选择问题的关键是在阅读反映实际问题的文字语言的同时,对图象进行观察、分析,获取有效的解题信息．解答这类问题主要是利用数形结合的思想分析问题、解决问题．[例7]父亲节,学校"文苑"专栏登出了某同学回忆父亲的小诗："同辞家门赴车站,别时叮咛语千万,学子满载信心去,老父怀抱希望还．"如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离,横轴t表示离家的时间,那么下面与上述诗意大致吻合的图象是< >．………………………………………………………………………………◆4.2一次函数与正比例函数1．一次函数的定义若两个变量x,y之间的关系式可以表示成y＝kx＋b<k,b为常数,k≠0>的形式,则称y是x的一次函数<x是自变量>．谈重点一次函数的条件函数是一次函数必须符合下列两个条件：<1>关于两个变量x,y的次数是1；<2>必须是关于两个变量的整式．[例1]下列函数中,是一次函数的是< >．A．y＝7x2B．y＝x－9 C．y＝错误! D．y＝错误!2．正比例函数的定义对于一次函数y＝kx＋b,当b＝0,即y＝kx<k为常数,且k≠0>时,我们称y是x的正比例函数．辨误区一次函数与正比例函数的关系需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况,特殊之处在于b＝0,且k≠0,因此,正比例函数一定是一次函数,但一次函数并不一定是正比例函数．[例2]下列函数中,是正比例函数的是< >．A．y＝－2x B．y＝－2x＋1 C．y＝－2x2D．y＝－错误!辨误区正比例函数的判断要判断一个函数是否是正比例函数,首先看它是否为一次函数,也就是能否转化为y＝kx ＋b<k≠0>的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数,函数解析式能否转化为y＝kx<k≠0>的形式．3．根据条件列一次函数关系式列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法,解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题,抓住关键词,找出问题中的变量并用字母表示,然后根据题意列出函数关系式．点技巧如何列函数关系式列关系式时,一定要先知道两个变量,并且弄清谁是自变量．[例3] 甲、乙两地相距30 km,某人从甲地以每小时4 km的速度走了t h到达丙地,并继续向乙地走．<1>试分别确定甲、丙两地距离s1<km>及丙、乙两地距离s2<km>与时间t<h>之间的函数关系式．<2>它们是什么函数．4．一次函数与正比例函数的联系与区别若两个变量x,y之间的关系可以表示成y＝kx＋b<k,b为常数,k≠0>的形式,则称y是x 的一次函数,特别地当b＝0时,称y是x的正比例函数,显然正比例函数是一次函数,而一次函数不一定是正比例函数,正比例函数是一次函数的特殊情况．区别：①正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限,但一次函数一般不经过原点,通常情况下要经过三个象限．__①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b＝0时,一次函数转化为正比例函数,因此正比例函数是一次函数的特例．[例4－1]在下列函数中,x是自变量,哪些是一次函数？哪些是正比例函数？<1>y＝3x；<2>y＝错误!；<3>y＝－3x＋1；<4>y＝x2.[例4－2] 已知正比例函数中自变量每增加一个单位,函数值就减少2个单位,求函数的解析式．5．用一次函数解决实际问题函数与我们的生活息息相关,生活中的许多问题可以通过函数得以解决,如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似,即弄清题意和题目中的数量关系,找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系式,列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式．辨误区写解析式,定自变量的范围通常确定一个函数,不仅要确定这个函数的解析式,还要确定这个函数的自变量的取值范围．[例5] 一天老王骑摩托车外出旅游,刚开始行驶时,油箱中有油9 L,行驶了1 h后发现已耗油1.5 L.<1>求油箱中的剩余油量Q<L>与行驶的时间t<h>之间的函数关系式,并求出自变量t的取值范围；<2>如果摩托车以60 km/h的速度匀速行驶,当油箱中的剩余油量为3 L时,老王行驶了多少千米？………………………………………………………………………………◆4.3一次函数的图象1．函数的图象对于一个函数,我们把它的自变量x与对应的变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描出它的对应点,所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象．谈重点函数图象与点的坐标的关系<1>函数图象上的任意点P<x,y>必满足该函数关系式．<2>满足函数关系式的任意一对x,y的值,所对应的点一定在该函数的图象上．<3>判定点P<x,y>是否在函数图象上的方法是：将点P<x,y>的坐标代入函数表达式,如果满足函数表达式,这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的表达式,这个点就不在函数的图象上．[例1] 判断下列各点是否在函数y＝2x－1的图象上．A<2,3>, B<－2,－3>．2．函数图象的画法画函数图象的一般步骤：<1>列表：列表给出自变量与函数的一些对应值,通常把自变量x的值放在表的第一行,其对应函数值放在表的第二行,其中x的值从小到大．<2>描点：以表中每对对应值为坐标,在平面直角坐标系内描出相应的点．描点时一般把关键的点准确地描出,点取得越多,图象越准确．<3>连线：按照自变量从小到大的顺序,把所描的点用平滑的曲线连接起来．释疑点平滑曲线的特点所谓的"平滑曲线",现阶段可理解为符合图象的发展趋势、让人感觉过渡自然、比较"平""滑"的线,实际上有时是直线．[例2] 作出一次函数y＝－2x－1的图象．分析：取几组对应值,列表,描点,连线即可．解：列表：x …－2－101…y …31－1－3…描点：以表中各组对应值作为点的坐标,在坐标系中描出相应的点．连线：把这些点连起来．注：一次函数y＝－2x－1的图象是直线,连线时,两端要露头．3.一次函数的图象和性质<1>一次函数的图象和性质①一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b<k≠0>的图象是一条直线．由于两点确定一条直线,因此画一次函数的图象,只要描出图象上的两个点错误!,过这两点作一条直线就行了．我们常常把这条直线叫做"直线y＝kx＋b"．②一次函数中常量k,b<k≠0>：直线y＝kx＋b<k≠0>与y轴的交点是<0,b>,当b＞0时,直线与y轴的正半轴相交；当b＜0时,直线与y轴的负半轴相交；当b＝0时,直线经过原点,此时一次函数即为正比例函数．一次函数y＝kx＋b中的k,决定了直线的倾斜程度,k的绝对值越大,则直线越接近y轴,反之,越靠近x轴．③一次函数y＝kx＋b<k≠0>的性质：当k＞0时,直线y＝kx＋b从左向右上升,函数y的值随自变量x的增大而增大；当k＜0时,直线y＝kx＋b从左向右下降,函数y的值随自变量x的增大而减小．<2>正比例函数的图象和性质①正比例函数的图象：一般地,正比例函数y＝kx<k是常数,k≠0>的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y＝kx.在画正比例函数y＝kx的图象时,一般是经过点<0,0>和<1,k>作一条直线．②正比例函数y＝kx的性质：当k＞0时,直线y＝kx经过第一、三象限,从左往右上升,即y随x的增大而增大；当k＜0时,直线y＝kx经过第二、四象限,从左往右下降,即y随x 的增大而减小．[例3－1]作出一次函数y＝－3x＋3的图象．[例3－2]若一次函数y＝<2m－6>x＋5中,y随x增大而减小,则m的取值范围是________．[例3－3]下图表示一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx<k,b是常数,且k≠0>图象的是< >．4．k,b的符号与直线所过象限的关系学习了一次函数y＝kx＋b<k≠0>,我们知道一次函数图象经过哪些象限是由k,b的符号决定的．一般分为四种情况：<1>k＞0,b＞0时,图象过第一、二、三象限；<2>k＞0,b＜0时,图象过第一、三、四象限；<3>k＜0,b＞0时,图象过第一、二、四象限；<4>k＜0,b＜0时,图象过第二、三、四象限．析规律 k,b的符号与直线的关系根据一次函数y＝kx＋b中k,b的符号可以确定图象所经过的象限；根据函数图象所经过的象限,可以确定k,b的符号．解决有关问题,应熟练把握k,b的符号与函数图象所经过象限的几个类型,并能灵活应用．[例4－1] 一次函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限,则正比例函数y＝kbx图象经过哪个象限？[例4－2]如图是一次函数y＝kx＋b的图象的大致位置,试分别确定k,b的正负号,并判断一次函数y＝<－k－1>x－b的图象所经过的象限．5.一次函数图象与坐标轴的交点一次函数的图象是直线,这条直线与x轴交于点错误!,与y轴交于点<0,b>．考查直线与两坐标轴的交点的问题常见的有三类：<1>判定直线所过的象限,一般给出函数关系式,判定直线经过哪几个象限或确定不经过哪个象限．<2>求直线的解析式,一般先设出函数关系式为y＝kx＋b<k≠0>,把已知的两点的坐标分别代入,求出k,b的值即可．<3>求两交点与坐标轴围成的三角形的面积,由于这个三角形是直角三角形,利用面积公式即可．[例5] 如图,已知直线y＝kx－3经过点M<－2,1>,求此直线与x轴,y轴的交点坐标,并求出与坐标轴所围的三角形的面积．6．关于一次函数的最值问题对于一般的一次函数,由于自变量的取值范围可以是全体实数,因此不存在最大、最小值<简称"最值">,但在实际问题中,因题目中的自变量受到实际问题的限制,所以就有可能出现最大值或最小值．求解这类问题,先分析问题中两个变量之间的关系是否适合一次函数模型,再在自变量允许的取值范围内建立一次函数模型．运用一次函数解决实际问题的关键是根据一次函数的性质来解答．除正确确定函数表达式外,利用自变量取值范围去分析最值是解题的关键．"在生活中学数学,到生活中用数学",是新课标所倡导的一个主旨之一,在考题中,有许多利用数学知识求解生活中的实际问题的试题,考查同学们利用所学知识求解实际问题的能力．[例6] 某报刊销售亭从报社订购晚报的价格是0.7元,销售价是每份1元,卖不掉的报纸可以以每份0.2元的价格退回报社,若每月按30天计算,有20天每天可卖出100份报纸,其余10天每天只能卖出60份,但每天报亭从报社订购的份数必须相同,报亭每天从报社订购多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大？………………………………………………………………………………◆4.4一次函数的应用1．确定一次函数表达式<1>借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点,若过原点,则为正比例函数,可设其关系式为y＝kx<k≠0>；若不过原点,则为一次函数,可设其关系式为y＝kx＋b<k≠0>；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数,只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数,则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y＝kx或y＝kx＋b中,求出其中的k,b,即可确定出其关系式．<2>确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件①由于正比例函数y＝kx<k≠0>中只有一个未知系数k,故只要一个条件,即一对x,y的值或一个点的坐标,就可以求出k的值,确定正比例函数的表达式．②一次函数y＝kx＋b<k≠0>有两个未知系数k,b,需要两个独立的关于k,b的条件,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点的坐标或两对x,y的值．[例1]如图,直线AB对应的函数表达式是< >．A．y＝－错误!x＋3 B．y＝错误!x＋3 C．y＝－错误!x＋3 D．y＝错误!x＋3点技巧用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数,故应设成y＝kx＋b<k≠0>的形式,再将A,B两点坐标代入该关系式,即可求出k,b,从而确定出具体的关系式．2．待定系数法<1>定义：先设出式子中的未知系数,再根据条件求出未知系数,从而写出这个式子的方法,叫做待定系数法,其中的未知数也称为待定系数．<2>用待定系数法求解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将x,y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中,得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程<组>,得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中,得到所求函数的解析式．[例2－1] 一次函数图象如图所示,求其解析式．[例2－2] 在直角坐标系中,一次函数y＝kx＋b的图象经过三点A<2,0>,B<0,2>,C<m,3>,求这个函数的表达式,并求m的值．解：根据题意,得2k＋b＝0①,b＝2, km＋b＝3②,把b＝2代入①,得2k＋2＝0,即k＝－1；把b＝2,k＝－1代入②,得m＝－1.故函数的表达式为y＝－x＋2.3．一次函数的实际应用<1>通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题,要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析,观察函数图象时,首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么,也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．释疑点函数图象中的特殊点观察图象获取信息时,一定要注意图象上的特殊点,这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．<2>一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数,它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点,这部分内容在中考中占有重要的地位．谈重点函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中,当自变量的取值范围受到一定的限制时,函数y＝kx＋b<k≠0>的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析,其图象可能是射线、线段或折线等等．[例3－1]甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度y<m>与挖掘时间x<h>之间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题：<1>乙队开挖到30 m时,用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了__________ m.<2>请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式．<3>当x为何值时,甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？[例3－2] 某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月费用为y1元,应付给国有出租车公司的月费用是y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象<两条射线>如图,观察图象回答下列问题：<1>每月行驶的路程在什么范围内时,租国有出租车公司的车合算？<2>每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同？<3>如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km,那么这个单位租哪家车合算？析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中,当取相同的自变量时,下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．4．一次函数和一元一次方程的关系当一次函数y＝kx＋b<k≠0>中的函数值为0时,可得0＝kx＋b即kx＋b＝0,这在形式上变成了求关于x的一元一次方程,也就是说,当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；若从图象上来看,则可看做函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标,即为方程kx＋b＝0的解．由此可见,方程与函数是密不可分的．[例4] 某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验,实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y<L>与行驶时间t<h>的关系如下表,与行驶路程x<km>的关系如下图．请你根据这些信息求A行驶时间t<h>012 3油箱余油量y<L>1008468525一次函数y＝kx＋b<k≠0>的图象可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到<当b ＞0时,向上平移；当b＜0时,向下平移>．实际上就是指一次函数y＝kx＋b的图象沿y轴平移时,在b的位置上按照"上加下减"的规律进行．如：一次函数l1：y＝错误!x＋2的图象可以看做是由正比例函数l：y＝错误!x的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到的；一次函数l2：y＝错误!x－2的图象可以看做是由正比例函数l：y＝错误!x的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到的．思考：函数图像左右移动解析式如何变化呢？[例5] 如图所示,将直线OA向上平移1个单位长度,得到一个一次函数的图象,那么这个一次函数的解析式是__________．析规律平移中的函数解析式解决平移问题可以对性质进行记忆直接运用,也可以找出平移后借助坐标系运用待定系数法求解．平移前后k的值不变,改变的是b的值．6.函数、方程和不等式的完美结合从"数"的角度看,由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0<a,b为常数,且a≠0>的形式,所以解一元一次方程可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值为0时,求相应的自变量的值；反之,求自变量x为何值时,一次函数y＝ax＋b的值为0,只要求出方程ax＋b＝0的解即可．由于任何一元一次不等式都可以转化为类似ax＋b＞0或ax＋b＜0的形式,所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值大<小>于0时,求自变量相应的取值范围；反之,求一次函数y＝ax＋b的值何时大<小>于0时,只要求出不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集即可．从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出,三者最终能用函数观点统一起来,并且达到一种完美的结合,这种结合,又常常在一些考题中得以体现．。
北师大版八年级数学上册第四章4.2一次函数与正比例函数课件
例4.我国目前的个人工资、薪金所得税征收办法是：月收入 不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过 6500元的部分征收3%的所得税…如果某人月收入6000元.他 应缴纳个人工资、薪金所得税为（6000-5000））×3%=30 （元）. （1）当月收入超过5000元而又不超过6500元时，写出应缴 纳所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式. （2）某人月收入为5820元，他应该缴纳所得税多少元？ （3）如果某人本月缴所得税33.6元，那么此人本月工资、 薪金是多少以元？
解：(1) y=80x+100, y是x的一次函数
(2)当x=0.5时， y=80×0.5+100=140
3.根据下表写出y与x之间的关系式是： __y_=_3_x_+_1___，y是否为x的一次函数？y是否
为x有正比例函数？
x
-2 -1 0
1
2
… …
y
-5 -2 1
4
7
… …
y是x一次函数, y不是x的正比例函数
解：S=x(30-x)
因为33.6<45，所以此人的工资，薪金大于5000元小于6500元 (1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg， 4 kg， 5 kg时的长度，并填入下表：
6<45，所以此人的工资，薪金大于5000元小于6500元 我国目前的个人工资、薪金所得税征收办法是：月收入不超过5000元的部分不收税； (2) 你能写出x与y的关系吗?
售价 1.5 3 （元）
1.5 2 4.5 6
2.5 3 7.5 9
3.5 … 10.5 …
如果卖出的香蕉数量用x（千克）表示，售价 用y（元）表示，则y与x的关系式为__y_=_3_x____；
北师大版数学八上第四章一次函数复习讲义
第四章一次函数复习讲义知识点：1、表达式：b kx y +=（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。
特别地，当一次函数b kx y +=中的b=0时（即kx y =）（k 为常数，k ≠0），称y 是x 的正比例函数。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线；图像与系数的关系，一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。
3、一次函数增减性。
4、图像的平移：上加下减，左加右减5、两直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系6、正比例函数和一次函数解析式的确定7、一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值．练习一次函数与正比例函数的识别1、当m_____________时，()21445m y m x x +=-+-是一次函数；2、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________； 待定系数法求解析式1、若函数y=3x+b 经过点（2，-6），求函数的解析式。
2、直线y=kx+b 的图像经过A （3，4）和点B （2，7），求函数的解析式。
3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y （升）与行驶时间x （小时）之间的关系．求油箱里所剩油y （升）与行驶时间x （小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x 的取值范围。
4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点（-2,0）求解析式。
平移1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。
2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线3. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线4. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线5. 直线x y 31=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。
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专题一：函数
知识点精讲：
1.一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和y ，并且对于变量x 的每一个值，变量y 都有 的值与它对应，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量。
典型例题：
【例1】下列四个图像中，不可能是函数图像的是 ( )
【习题1】下列各图象中，哪一个不可能是函数图象（ ）
A B C D
规律与小结：
1. 函数中，x 的值有唯一的y 值与它对应，也就是说可以多个x 对应同一个y 值，但不可以一个x 对应多个y 值。
2. 函数一定是方程，但方程不一定是函数。
专题二：正比例函数与一次函数
知识点精讲：
1. 若两个变量y x ,间的对应关系可以表示成 （b k ,为常数，0≠k ）的形式，则称y 是x 的一次函数。
特别地，当0=b 时，称y 是x 的正比例函数。
典型例题：
【例1】下列函数是一次函数的是（ ）
A ．y =-8x
B ．y =8x -
C ．y =-82x +2
D ．y =8x
-+2 【习题1】设圆的面积为S ，半径为R ，那么下列说法正确的是（ ）
A ．S 是R 的一次函数
B ．S 是R 的正比例函数
C ．S 与2R 成正比例关系
D ．以上说法都不正确
【例2】函数y =m 1m x - +（m -1）是一次函数，则m 值（ ）
A ．m ≠0
B ．m =2
C ．m =2或4
D ．m ＞2
【习题2】若函数y =（k -1）x +2k -1是正比例函数，则k 的值是（ ）
A ．-1
B ．1
C ．-1或1
D ．任意实数
【例3】若某地打长途电话3分钟之内收费1.8元，3分钟以后每增加1分钟（不到1分钟按1分钟计算）加收0.5元，当通话时间t ≥3分钟时，电话费y （元）与通话时间t （分）之间的关系式为（ ）
A ．y =t +2.4
B ．y =0.5t +1
C ．y =0.5t +0.3
D ．y =0.5t -0.3
【习题3】已知，如图，某人驱车在离A 地10千米的P 地出发，向B 地匀速行驶，30分钟后离P 地50千米，设出发x 小时后，汽车离A 地y 千米（未到达B 地前），则y 与x 的函数关系式为（ ）
A ．y =50x
B ．y =100x
C ．y =50x -10
D ．y =100x +10
【习题4】某报亭老板以每份0.5元的价格从报社购进某种报纸500份，以每份0.8元的价格销售x 份（x ＜500），未销售完的报纸又以每份0.1元的价格由报社收回，这次买卖中该老板获利y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ）
A ．y =0.7x -200（x ＜500）
B ．y =0.8x -200（x ＜500）
C ．y =0.7x -250（x ＜500）
D ．y =0.8x -250（x ＜500）
【例4】已知y +a 与x +b （a 、b 为常数）成正比例．y 是x 的一次函数吗？请说明理由.
【习题5】已知y =（k -3）x +2k -9是关于x 的正比例函数，求当x =-4时，y 的值．
规律与小结：
1. 认清一次函数和正比例函数的区别。
2. 当说是正比例函数的时候，就要保证常数项b 为0，同时保证前面的系数k 不为0.
3. 当说这是一次函数或者正比例函数的时候，就设成b kx y +=或kx y =的形式。
专题三：一次函数的图像
知识点精讲：
1.在正比例函数kx y =中，
当0>k 时，y 的值随着x 值的增大而 ；
当0<k 时，y 的值随着x 值的增大而 。
2.一次函数b kx y +=的图像经过点 。
当0>k 时，y 的值随着x 值的增大而 ；
当0<k 时，y 的值随着x 值的增大而 。
典型例题：
【例1】若正比例函数的图象经过点（2，-3），则这个图象必经过点（）
A．（-3，-2） B．（2，3）C．（3，-2） D．（-2，3）
【例2】如果函数y=3x+m的图象一定经过第二象限，那么m的取值范围是（）
A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0
【习题1】设0＜k＜2，关于x的一次函数y=kx+2（1-x），当1≤x≤2时的最大值是（）
A．2k-2 B．k-1 C．k D．k+1
【例3】已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【习题2】如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【例4】在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+1的图象不经过（）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
【例5】已知正比例函数y=kx（k≠0），当x=-1时，y=-2，则它的图象大致是（）
A． B． C． D．
【习题3】已知点P（m，n）在第四象限，则直线y=nx+m图象大致是下列的（）
A．B．C．D．
【习题4】一次函数y=kx+k（k＜0）的图象大致是（）
A．B． C．D．
【习题5】如图为一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【例6】将直线y=-2x向下平移两个单位，所得到的直线为（）
A．y=-2（x+2）B．y=-2（x-2）C．y=-2x-2 D．y=-2x+2
【习题6】将下列函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，图象经过原点的是（）
A．y=-x-3 B．y=3x C．y=x+3 D．y=2x+5
【习题7】将一次函数y=-2x+4的图象平移得到图象的函数关系式为y=-2x，则移动方法为（）A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位
C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位
【例7】已知函数y=（2m-2）x+m+1的图象过一、二、四象限，求m的取值范围．
【习题8】已知函数y=（2m-2）x+m+1，
（1）m为何值时，图象过原点．
（2）已知y随x增大而增大，求m的取值范围．
规律与小结：
1.对于一次函数和正比例函数图像，一定要印在脑子里；
2.注意b
k、的取值的正负形；
3.平移的口诀：“左加又减，上加下减”。