二次函数基础知识盘点

二次函数基础知识盘点

二次函数()20y ax bx c a =++≠是中考必考的内容，填空题、选择题常考查其基础知识，解答题一般与其他知识组合形成综合题，并常作为压轴题，以考查学生分析问题和解决问题的能力，因此盘点一下二次函数的基础知识很有必要。

一、二次函数的系数与抛物线的特征

1. a 的符号确定抛物线的开口，0a >时开口向上；0a <时开口向下。

2. ab 的整体符号确定抛物线对称轴的位置，当0ab >（即02b

a

-

<）时，对称轴在y 轴的左方；当0ab <（即02b a ->）时，对称轴在y 轴的右方，特殊地，当0b =时，02b a

-=，y 轴为抛物线的对称轴。

当a 的符号与对称轴的位置确定时，可以确定b 的符号，例如，对称轴在y 轴的右方时，

0ab <，若0a >，则0b <；若0a <，则0b >。

3. c 的符号确定抛物线与y 轴的交点位置。0c >时，交点在y 轴的正半轴上；

0c <时，交点在y 轴的负半轴上。特殊地0c =时，抛物线过原点。又若0b =时，抛物线的顶点在原点。

4. 2

4b ac ∆=-的符号确定抛物线与x 轴的交点个数。0∆>时，有两个交点；0

∆=时，只有一个交点，抛物线的顶点在x 轴上；

0∆<时，没有交点。 例如，二次函数()2

0y ax bx c a =++≠的图

象如图⑴所

示，则0a <，0b <（ 0ab >），0c >，0∆>。

二、二次函数与二次方程之间的关系

二次函数()2

0y ax bx c a =++≠中，当

0y =时，转化

为方程2

0ax bx c ++=，当抛物线与x 轴有交点

时（0∆≥），

可以解二次方程2

0ax bx c ++=，求得抛物线与x 轴的交点坐标，并且由图象可以确定当x 取何值时0y >或0y <。

例如，二次函数2

23y x x =--中，令2

230x x --=，得3x =或1x =-，抛物线与x

轴交于A ()1,0-，B ()3,0两点（如图2）。当3x >或

1x <-时，

0y >；当13x -<<时，0y <。

三、二次函数的恒等变形

图 （1）

图（2）

2

22

424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++

⎪⎝

⎭。 这是一种非常重要的恒等变形，应该熟练掌握，这种变形至少有以下几个方面的作用：

1. 可知抛物线的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

；

2. 可知抛物线的对称轴为2b x a

=-

； 3. 可知二次函数的最大值或最小值，当0a >时，有最小值2

44ac b a -；当0a <时，有

最大值2

44ac b a

-；

4. 可以确定x 为何值时，y 随x 的增大而增大，或y 随x 的增大而减小；

5. 便于取点作出二次函数的图象（通常找出五点：顶点，与x 轴的两个交点，与y 轴的交点及该点关于对称轴的对称点）；

6. 有利于按照要求平移抛物线。

例如，二次函数223y x x =--，可通过配方变形为()2

14y x =--。由此可知抛物线的顶点坐标为()1,4-；对称轴为1x =；当1x =时，函数有最小值4-；当1x <时，y 随x 的增大而减小，当1x >时，y 随x 的增大而增大；取五点：()1,0-，()0,3-，()1,4-，()2,3-，()3,0可以作出此二次函数的图象（如上图⑵）；将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，就可以得到二次函数2

y x =的图象。

四、二次函数解析式的确定

二次函数一般有三种形式： 1. 一般式：2

y ax bx c =++；

2. 顶点式：()2

y a x m n =-+，(),m n 为抛物线的顶点；

3. 交点式：()()12y a x x x x =--，()12,x x 为抛物线与x 轴交点的横坐标。 解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式。

例1 如图⑶，二次函数2

y ax bx c =++的图象过点()1,0A -和点()1,2B -，且与y 轴

交于正半轴，给出下列四个结论：

①0abc < ②20a b -< ③1a c +=- ④1a <-

其中正确结论的序号是__________。 解：由图象可知0a <，0b <（ 0ab >），

c >

，

x

0abc ∴>。

又由图象可知，对称轴12b

x a

=-

>-，即12b a <。 0a < ，2b a ∴>，即20a b -<。

图象过点()1,0-和()1,2-，

0,

2,

a b c a b c -+=⎧∴⎨

++=-⎩二式相加得，1a c +=-。 1a c +=-，1a c ∴=--，0c > ，1a ∴<-。 ∴正确结论的序号是②③④。

例2 已知抛物线()2

112

y x m x n =-+-+经过()1,2A -、()4,3B -两点。

⑴求此抛物线的解析式；

⑵求抛物线与x 轴的交点坐标；

⑶求抛物线的顶点坐标和对称轴方程； ⑷画出此抛物线的图象； ⑸当x 取何值时，0y <？

⑹当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？ ⑺将此抛物线沿x 轴方向向右平移32个单位，再沿y 轴方向向下平移9

8

个单位，求平移后的抛物线的解析式。

解：⑴ 抛物线过()1,2-和()4,3-，

()()112,2

8413,m n m n ⎧---+=⎪∴⎨⎪-+-+=-⎩即()()51,241 5.m n m n ⎧

--+=⎪

⎨⎪-+=⎩

解得3,

23.m n ⎧

=⎪⎨⎪=⎩

211322y x x ∴=-++。

⑵解211

3022

x x -

++=，即260x x --=，得2x =-或3x =。 ∴抛物线与x 轴交于()2,0-和()3,0。 ⑶2

2111125322228

y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭。

∴抛物线的顶点坐标是125,28⎛⎫

⎪⎝⎭

，对称轴是12x =。