一次函数找规律【教师版】解析

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北师版八上数学专题6 一次函数中的规律探索问题(课件)

理，得其高为（2−1 ）2 − (2−2 ）2 ＝ 3 ×2 n－2.故点 Bn 的纵
坐标为
1
3
n－2
n－1
n－1
3 ×2 .而点 Bn 的横坐标为 ×2 ＋2 ＝ ×2 n－1
2
2
＝3×2 n－2，所以点 Bn 的坐标为（3×2 n－2， 3 ×2 n－2）.故答案
为（3×2 n－2， 3 ×2 n－2）.
得 OA3＝2 OA2＝22；…；同理，得 OAn ＝2 n－1.因为∠ BnOAn＋1
＝30°，∠ BnAnAn ＋ 1 ＝60°，所以∠ BnOAn ＋ 1 ＝∠ OBnAn ＝
30°.
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所以 BnAn ＝ OAn ＝2 n－1，即△ AnBnAn＋1的边长为2 n－1.由勾股定
n－2， 3 ×2 n－2）
（3×2
坐标为
.
⁠
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【思路导航】根据题意，得∠ B1 OA2 ＝∠ A1 B1 O ， OA2 ＝2
OA1，同理可求得 OAn ，再结合含30°角的直角三角形的性质可
求得△ AnAn＋1 Bn 的边长，进一步可求得点 Bn 的坐标.
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点 Bn 的坐标，即可求得 AnBn .返回ຫໍສະໝຸດ 录数学八年级上册 BS版
【解析】由题意，知点 B1， B2， B3，…， Bn 在直线 y ＝ x 的图
象上，即 A1 B1＝ A1 A2＝ OA1， A2 B2＝ OA2， A3 B3＝ OA3，…，
AnBn ＝ AnAn＋1＝ OAn .又因为点 A1的坐标为 A1
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第四章

一次函数找规律教师版推荐文档

一次函数规律题1．（2009仙桃）如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A，以OA为边作正方形OABC，11111记作第一个正方形；然后延长CB与直线y＝x＋1相交于点A，再以CA为边作正方形21121CABC，记作第二个正方形；同样延长CB与直线y＝x＋1相交于点A，再以CA为边作正323221222方形CABC，记作第三个正方形；…依此类推，则第n个正方形的边长为___．3332xBAAxy 3B的垂线交直线于点作，）坐标为（1，?福州）2.（20100如图直线，过点点，111xxBOBAA，轴于点长为半径画弧交的垂线交直线于点；再过点以原点O为圆心，2212xAAOB 的坐标轴于点为圆心，以原点O，…，按此做法进行下去，点长为半径画弧交532为（，）。

13，以x轴的垂线交直线于点B0x，点A坐标为（1，），过点A变：如图，直线作y=1113，以轴的垂线交直线于点B长为半径画弧为圆心，OBx轴于点A；再过点A作x原O1222的横坐标AnO 原点为圆心，OB长为半径画弧交x轴于点A，…，按此做法进行下去，点23）为（3233321n?1nnn?)()()(() B. D.2A、 C.23333题第43于点l）作y轴的垂线交直线，x，过点A（01：（3.2013?东营）如图，已知直线ly=3作B于点B，过点l作Al，过点B作直线的垂线交y轴于点；过点Ay轴的垂线交直线B1111。

的坐标为A；…；按此作法继续下去，则点轴于点的垂线交直线lyA________42234、、7l)，过x轴上的点、3、574.（2011四川广安）如图所示，直线OP经过点P(4, 其阴影部分梯形的面积从左至相交得到一组梯形，9、11……分别作x轴的垂线，与直线OP__________.关于Sn的函数关系式是S、、右依次记为SSS……则n13n2333333x3、y=OP解：直线的解析式为、,s1s2+7、+3分别为、s3=45=1233333=(8n-4)所求为[4+8(n-1)]则由4、12、920可知每个比前面一个多+118=20，.(2,00(1直5201山东威海如直直轴于轴于1x?l llllx?y,0)n((3,0)分别轴于点，轴于点的图象与直线，…，…直线.函数，nn321lAABAlAll xy?2，，…，，的图象与直线，分别交于点，…，交于点；函数nn2131123BA?OABAB BBSBS四边形,四边形.如果,的面积记作，的面积记作，…111212n2213?SBABABBAA SS .的面积记作,…四边形那么的面积记作,201122331n?1nn?nn3在直B、…、BB、OAn、4，0），点AA、…、A将线段等分，点B、A6.如图，已知（n-1n-11212、AB、…、△ABAAB∥B∥…∥∥A线y=0.5x上，且BABA∥ABy轴．记△OA、△n-1n-12211n-111122n-2n-1最近的常数是++S越来越大时，猜想．当S、、…S、的面积分别为AB△ASSnS+S…nn-1122nn-114 （）A.1 B.2 C.4 D.8，分别21的图象上，它们的横坐标依次为-1、、y=-2x+mCBA7. 如图，点、、在一次函数_________. 轴的垂线，则图中阴影部分的面积的和是轴与过这些点作xy5解：易知三个三角形全等。

一次函数的像特征及其变化规律

一次函数的像特征及其变化规律一次函数是指形式为y = kx + b的函数，其中k和b是常数，k表示斜率，b表示截距。

一次函数的图像通常表现为一条直线。

在讨论一次函数的像特征及其变化规律之前，首先来了解一下一次函数的基本性质。

一、基本性质1. 斜率 k：一次函数的斜率 k 决定了直线的倾斜程度。

当 k > 0 时，图像向右上方倾斜；当 k < 0 时，图像向右下方倾斜；当 k = 0 时，图像为水平直线。

2. 截距 b：一次函数的截距 b 决定了直线与y轴的交点。

当 b > 0 时，图像在y 轴上方与y轴相交；当 b < 0时，图像在y轴下方与y轴相交；当 b = 0 时，图像与y轴相切。

3. 零点 x0：一次函数的零点即为满足y = 0的x值，表示函数与x轴的交点。

零点可以通过解方程 kx + b = 0 找到，即 x0 = -b/k。

二、像特征的变化规律一次函数的像特征主要包括斜率和截距的变化规律。

1. 斜率的变化规律：（1）当 k > 0 时，随着k的增大，直线的倾斜程度越大，图像越陡峭。

（2）当 k < 0 时，随着k的减小，直线的倾斜程度越大，图像越陡峭。

（3）当 k = 0 时，直线为水平线，斜率不变。

（4）当 k > 1 或 k < -1 时，直线倾斜程度更大，图像越陡。

2. 截距的变化规律：（1）当 b > 0 时，随着b的增大，直线与y轴的交点越靠上。

（2）当 b < 0 时，随着b的减小，直线与y轴的交点越靠下。

（3）当 b = 0 时，直线与y轴相切。

（4）当截距 b 不变时，直线与y轴的交点也不变。

三、例题分析例1：考虑函数 f(x) = 2x + 1斜率 k = 2，截距 b = 1。

根据斜率和截距的定义，我们可以得出以下结论：（1）斜率 k > 0，表示直线向右上方倾斜；（2）截距 b > 0，表示直线与y轴交点在y轴的正半轴上；（3）直线与x轴的交点为 x0 = -b/k = -1/2，即 x = -0.5。

一次函数[含参考答案解析]

一次函数专题【基础知识回顾】一、一次函数的定义:一般的：如果y= （），那么y 叫x 的一次函数特别的：当b= 时，一次函数就变为y=kx(k≠0)，这时y 叫x 的【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当b=0时，它才是正比例函数】二、一次函数的同象及性质：1、一次函数y=kx+b 的同象是经过点（0，b ）（-bk ，0）的一条，正比例函数y= kx 的同象是经过点和的一条直线。

【名师提醒：因为一次函数的同象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取个特殊的点，过这两个点画一条直线即可】2、正比例函数y= kx(k≠0)，当k >0时，其同象过、象限，此时时y 随x的增大而；当k<0时，其同象过、象限，时y 随x 的增大而。

3、一次函数y= kx+b ，图象及函数性质①、k >0 b >0过象限 ②、k >0 b<0过象限③、k<0 b >0过象限 ④、k<0 b >0过象限4、若直线l1：y= k1x+ b1与l1：y= k2x+ b2平行，则k1 k2，若k1≠k2，则l1与l2【名师提醒：y 随x 的变化情况，只取决于的符号与无关，而直线的平移，只改变的值的值不变】三、用待定系数法求一次函数解析式：关键：确定一次函数y= kx+ b 中的字母与的值步骤：1、设一次函数表达式2、将x ，y 的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组1、一次函数与一元一次方程：一般地将x= 或y 代入y= kx+ b 中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。

2、一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数图象位于x 轴上方或下方时相应的x 的取值范围，反之也成立3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标【名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决y 随x 的增大而 y 随x 的增大而2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的问题】五、一次函数的应用一般步骤：1、设定问题中的变量 2、建立一次函数关系式3、确定自变量的取值范围4、利用函数性质解决问题5、作答【名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，方案设计问题等】【重点考点例析】考点一：一次函数的图象和性质例1 一次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限例2 写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（k≠0）的解析式（关系式）．例3已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，则y1y2（填“＞”或“＜”或“=”）．考点三：一次函数解析式的确定例4 一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则k的值是__________．考点四：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系例5 函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）例6 已知两直线L1：y=k1x+b1，L2：y=k2x+b2，若L1⊥L2，则有k1•k2=﹣1．（1）应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，求k；（2）直线经过A（2，3），且与y=x+3垂直，求解析式．考点六：一次函数的应用例7 某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：（1）填空：乙的速度v2= 米/分；（2）写出d1与t的函数关系式；（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？【聚焦中考】1.直线y=-x+1经过的象限是（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限2.若一次函数y=（m-3）x+5的函数值y随x的增大而增大，则（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜33.将一次函数y=x的图象向上平移2个单位，平移后，若y＞0，则x的取值范围是（）A．x＞4 B．x＞-4 C．x＞2 D．x＞-24.如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y=-x+1上，则m的值为（）5. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0.3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形A OB（此时点P与点B重合）．（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求证：△AOC ≌△ABP；由此你发现什么结论？（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．【备考真题过关】一、选择题1.一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是（）2.已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.正比例函数y=kx（k≠0）的图象在第二、四象限，则一次函数y=x+k的图象大致是（）A．B．C．D．4.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③5.一次函数y=kx-k（k＜0）的图象大致是（）A．B． C． D．6.正比例函数y=kx（k≠0）的图象在第二、四象限，则一次函数y=x+k的图象大致是（）A．B． C．D．7．正比例函数y=x的大致图象是（）A．B．C．D．8．正比例函数y=2x的大致图象是（）A．B．C．D．9．已知直线y=mx+n，其中m，n是常数且满足：m+n=6，mn=8，那么该直线经过（）A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限10．已知一次函数y=kx-1，若y随x的增大而增大，则它的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限11．如图，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y=（m-2）x+n，则m的取值范围在数轴上表示为（）A． B．C． D．12．当kb＜0时，一次函数y=kx+b的图象一定经过（）A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限二、填空题13.将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为__________．14.过点（﹣1，7）的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线平行．则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是__________．15.一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为米．16.直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．一次函数【重点考点例析】例1 解：∵解析式y=﹣2x+1中，k=﹣2＜0，b=1＞0，∴图象过一、二、四象限，∴图象不经过第三象限．故选C．例2 解：∵正比例函数y=kx的图象经过一，三象限，∴k＞0，取k=2可得函数关系式y=2x（答案不唯一）．故答案为：y=2x（答案不唯一）.例3 解：∵P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，∴y1=，y2=×2=，∵＜，∴y1＜y2．故答案为：＜．例4 解：当k＞0时，此函数是增函数，∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，∴当x=1时，y=3；当x=4时，y=6，∴，解得，∴=2；当k＜0时，此函数是减函数，∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，∴当x=1时，y=6；当x=4时，y=3，∴，解得，∴=﹣7．故答案为：2或﹣7．例5 解：将点A（m，3）代入y=2x得，2m=3，解得，m=，∴点A的坐标为（，3），∴由图可知，不等式2x≥ax+4的解集为x≥．故选A．例6 解：（1）∵L1⊥L2，则k1•k2=﹣1，∴2k=﹣1，∴k=﹣；（2）∵过点A直线与y=x+3垂直，∴设过点A直线的直线解析式为y=3x+b，把A（2，3）代入得，b=﹣3，∴解析式为y=3x﹣3．例7 解：（1）乙的速度v2=120÷3=40（米/分），故答案为：40；（2）v1=1.5v2=1.5×40=60（米/分），60÷60=1（分钟），a=1，d1=；（3）d2=40t，当0≤t≤1时，d2﹣d1＞10，即﹣60t+60﹣40t＞10，解得0；当0时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；当1≤t≤3时，d1﹣d2＞10，即40t﹣（60t﹣60）＞10，当1≤时，两遥控车的信号不会产生相互干扰综上所述：当0或1≤t时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．【聚焦山东中考】1. B．2. C．3. B．4.B．5.解：（1）证明：∵△AOB与△ACP都是等边三角形，∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，∴∠CAO=∠PAB，在△AOC与△ABP中，∴△AOC≌△ABP（SAS）．∴∠COA=∠PBA=90°，∴点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°．故结论是：点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°；（2）解：点P在过点B且与AB垂直的直线上．∵△AOB是等边三角形，A（0，3），∴B（，）．当点C移动到点P在y轴上时，得P（0，﹣3）．设点P所在的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．把点B、P的坐标分别代入，得，解得，所以点P所在的函数图象的解析式为：y=x﹣3．【备考真题过关】一、选择题1.B．2.A．3.B．4. A．5.A.6.B．7. C．8. B．9. B．10. C．11. C．12. A．二、填空题13.y=3x+2．14.（1，4），（3，1）．15. 2200．16. 4．WORD 格式整理专业知识分享解：（1）把P （2，n ）代入y=2x 得n=3，所以P 点坐标为（2，3），把P （2，3）代入y=-x+m 得-2+m=3，解得m=5，即m 和n 的值分别为5，3；（2）把x=0代入y=-x+5得y=5，所以B 点坐标为（0，5），所以△POB 的面积=12×5×2=5．。

考点10 一次函数(精讲)(解析版)

考点10.一次函数（精讲）【命题趋势】一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。

各地对一次函数的图象与性质的考查也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右。

一次函数不仅是中考重要考点，也是反比例函数、二次函数学习的基础，而初中函数部分，更是和整个高中学习体系联系紧密，不管对于中考还是高中基础积累，一次函数学习都尤为重要。

故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。

【知识清单】1：一次函数的相关概念（☆☆）1）正比例函数的概念：一般地，形如y =kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫正比例函数，其中k 叫正比例系数。

2）一次函数的定义：一般地，形如y =kx +b (k ，b 为常数，且k ≠0)的函数叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数y =kx +b 中的b =0时，y =kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

2：一次函数的图象与性质（☆☆☆）1）一次函数的图象特征与性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b (k ≠0)k >0，b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0，b <0一、三、四k >0，b =0一、三y =kx +b (k ≠0)k <0，b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0，b <0二、三、四k <0，b =0二、四2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）。

①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴。

②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴。

3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直。

2024-2025学年度北师版八上数学-专题6-一次函数中的规律探索问题【课外培优课件】

3
.
故答案为
5 2022
52023
＝－ 2022 ，
3
3
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7. 如图，在平面直角坐标系中，点 A1是直线 y ＝2 x 上一点.过点
A1作 A1 B1∥ x 轴，交直线 y ＝ 2 x 于点 B1；过点 B1作 B1 A2∥ y
轴，交直线 y ＝2 x 于点 A2；过点 A2作 A2 B2∥ x 轴，交直线 y ＝
点 A4（7，8），点 B4（15，8）……
所以点 Bn （2 n －1，2 n－1）.
故答案为（2 n －1，2 n－1）.
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5. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y ＝ x ＋2与 y 轴交于
点 A1，作正方形 A1 B1 C1 O ， A2 B2 C2 C1， A3 B3 C3 C2，….使点
2
2
2
4
2
2
4
16
……
∴ Sn ＝
9
.
4 −1
因此 S2024＝
故答案为
9
4 2023
9
4 2023
.
.
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9. （选做）如图，正方形 AOBO2 的顶点 A 的坐标为 A （0，
2），点 O1为正方形 AOBO2的中心；以正方形 AOBO2的对角线
AB 为边，在 AB 的右侧作正方形 ABO3 A1，点 O2为正方形 ABO3
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第四章
专题6
一次函数
一次函数中的规律探索问题
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1. 若规定[ x ]表示不大于 x 的最大整数，如[2.3]＝2，[－1.2]＝

八年级数学上册第四章一次函数一次函数探规律同步辅导素材新版北师大版【word版】.doc

1利用一次函数探规律一、以三角形为背景的坐标规律例1 如图1放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为2的等边三角形，边AO 在y 轴上，点B 1，B 2，B 3，…都在直线y =33x 上，则A 2014的坐标是．分析：根据题意得出直线AA 1的表达式，求出A ，A 1，A 2，A 3的坐标，找到坐标变化规律，得出答案．解：如图1，过点B 1向y 轴作垂线B 1D ，垂足为D. 由题意，得A （0，2），AO ∥A 1B 1.在Rt △A B 1D 中，AB 1=OA=2，AD=12OA=1，B 1=.所以B 1的横坐标为3，A 1的横坐标为3.连接AA 1，可知所有三角形顶点A 1，A 2，A 3，…都在直线AA 1上. 因为点B 1，B 2，B 3，…都在直线y =33x 上，AO =2，所以直线AA 1的表达式为y A =33x +2. 所以A 1的纵坐标为3，即A 1（3，3）.同理可得A 2的横坐标为23，则A 2的纵坐标为4，即A 2（23，4）. 所以A 3（33，5），…，A 2014（20143，2016）．故填（20143，2016）．二、以正方形为背景的坐标规律例2正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，按图3所示方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y =x +1和x 轴上，则点B 6的坐标是．分析：首先利用直线的表达式，分别求得A 1，A 2，A 3，…的坐标，由此得出规律求出点A n 的坐标，即可求出点B 6的坐标．图2解：由题意，知当x=0时，y=1.所以OA1=1，A1B1=OC1=1.所以A1的纵坐标是1=20，横坐标是0=20﹣1；A2的纵坐标是1+1=21，横坐标是1=21﹣1；A3的纵坐标是2+2=22，横坐标是1+2=3=22﹣1；A4的纵坐标是4+4=23，横坐标是1+2+4=7=23﹣1，即点A4的坐标为（7，8）．由此可得A n的纵坐标是2n﹣1，横坐标是2n﹣1﹣1，即点A n的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．所以点A6的坐标为（25﹣1，25）．因为点B6的纵坐标与A6的纵坐标相等，横坐标与A7的横坐标相等，所以B6（26﹣1，25），即B6（63，32）．故填（63，32）．2。

第四章一次函数压轴题考点训练(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)

第四章一次函数压轴题考点训练A ．．．．【答案】A【分析】根据y 1,y 2的图象判断出k+b 的值，然后根据k-1、所求函数图象经过的象限即可．【详解】解：根据y 1,y 2的图象可知，，且当x=1时，y 2=0，即k+b=0.∴对于函数()1y k x b =-+，有b 时，y=k-1+b=0-1=-1＜0.∴符合条件的是选项.故选：A.【点睛】本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关．．．．()A．（-1，0）【答案】B【分析】由题意作A求的P点；首先利用待定系数法即可求得直线∵A（1，-1），∴C的坐标为（1，1连接BC，设直线BC∴123k bk b+-⎧⎨+-⎩＝＝,解得⎧⎨⎩A ．433B ．233【答案】D【分析】根据题意利用相似三角形可以证明线段用o n AB B ∆∽AON ∆求出线段o n B B 的长度，即点【详解】解：由题意可知，2OM =，点则OMN ∆为顶角30度直角三角形，ON如图所示，当点P 运动至ON 上的任一点时，设其对应的点∵o AO AB ⊥，iAP AB ⊥∴o iOAP B AB ∠=∠又∵tan 30o AB AO =∙ ，tan i AB AP =∙∴::o i AB AO AB AP=∴o i AB B ∆∽AOP∆∴o i AB B AOP∠=∠【答案】32b -≤≤【分析】根据矩形的性质求得点D 的坐标，交，则交点在线段BD 之间，代入求解即可．【详解】解：矩形ABCD 中，点A 、根据矩形的性质可得：(1,3)D 根据图像得到直线y x b =+与矩形ABCD 将点(4,1)B 代入得：41b +=，解得b 将点(1,3)D 代入得：13+=b ，解得b 由此可得32b -≤≤【答案】0k <或01k <<【分析】分别利用当直线()430y kx k k =+-≠过点值范围，据此即可求解．【详解】解：当直线y =【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和两直线交点坐标的求法，加辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形，是解题的关键．评卷人得分三、解答题13．A城有某种农机30台，B城有该农机40台．现要将这些农机全部运往运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从别为150元/台和240元/台（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为系式，并直接写出自变量x的取值范围；值．【答案】（1）W 关于x 的函数关系式为W ＝140x +12540，自变量x 的取值范围为0≤x ≤30；（2）有三种调运方案：①A 城运往C 乡28台，运往D 乡2台；B 城运往C 乡6台，运往D 乡34台；②A 城运往C 乡29台，运往D 乡1台；B 城运往C 乡5台，运往D 乡35台；③A 城运往C 乡30台，运往D 乡0台；B 城运往C 乡4台，运往D 乡36台；（3）a 的值为200元．【分析】（1）设A 城运往C 乡x 台农机，可以表示出运往其它地方的台数，根据调运单价和调运数量可以表示总费用W ；（2）列出不等式组确定自变量x 的取值范围，在x 的正整数解的个数确定调运方案，并分别设计出来；（3）根据A 城运往C 乡的农机降价a 元其它不变，可以得出另一个总费用与x 的关系式，根据函数的增减性，确定当x 为何值时费用最小，从而求出此时的a 的值．【详解】解：（1）设A 城运往C 乡x 台农机，则A 城运往D 乡（30﹣x ）台农机，B 城运往C 乡（34﹣x ）台农机，B 城运往D 乡（6+x ）台农机，由题意得：W ＝250x +200（30﹣x ）+150（34﹣x ）+240（6+x ）＝140x +12540，∵x ≥0且30﹣x ≥0且34﹣x ≥0，∴0≤x ≤30，答：W 关于x 的函数关系式为W ＝140x +12540，自变量x 的取值范围为0≤x ≤30．（2）由题意得：1401254016460030x x +>⎧⎨⎩，解得：28≤x ≤30，∵x 为整数，∴x ＝28或x ＝29或x ＝30，因此有三种调运方案，即：①A 城运往C 乡28台，运往D 乡2台；B 城运往C 乡6台，运往D 乡34台；②A 城运往C 乡29台，运往D 乡1台；B 城运往C 乡5台，运往D 乡35台；③A 城运往C 乡30台，运往D 乡0台；B 城运往C 乡4台，运往D 乡36台；（3）由题意得：W ＝（250﹣a ）x +200（30﹣x ）+150（34﹣x ）+240（6+x ）＝（140﹣a ）x +12540，∵总费用最小值为10740元，∴140﹣a ＜0∴W 随x 的增大而减小，又∵28≤x ≤30，∴当x ＝30时，W 最小，即：（140﹣a ）×30+12540＝10740，【答案】（1）y=2x+4（2）1112-+【分析】（1）根据图像求出B的坐标，然后根据待定系数法求出直线（1）求m 的值；（2）点P 从O 出发，以每秒2个单位的速度，沿射线OA 方向运动.设运动时间为t ()s .①过点P 作PQ OA ⊥交直线AB 于点Q ，若APQ ABO ∆≅∆，求t 的值；②在点P 的运动过程中，是否存在这样的t ，使得POB ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6；（2）①2或8；②2.5或4或6.4.3【点睛】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，形的性质，利用分类讨论的思想方法，是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =-+交于点C ．（1）求点A ，B 的坐标．（3）存在．∵线段AB在第一象限，∴这时点P在x轴负半轴．∵==OA 2,OB 4，∴222224BP OP OB x =+=+，222222420AB OA OB =+=+=，222()(2)AP OA OP x =+=-．∵222BP AB AP +=，∴222420(2)x x ++=-，解得8x =-，∴当点P 的坐标为(8,0)-时，ABP 是直角三角形；③设AB 是直角边，点A 为直角顶点，即90BAP ∠= ．∵点A 在x 轴上，P 是x 轴上的动点，∴90BAP ∠≠ ．综上，当点P 的坐标为(0,0)或(8,0)-时，ABP 是直角三角形．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与及几何变换、一次函数的性质及直角三角形的判定等知识点，掌握分类讨论思想和一次函数图像的性质是解答本题的关键．。

一次函数解题技巧与疑难详解

一次函数【一次函数图象的平移规律】一个点作上下平移时，横坐标不变，纵坐标发生变化（向上平移,纵坐标变大；向下平移,纵坐标变小）。

同理，一个点作左右平移时，纵坐标不变，横坐标发生变化（向右平移,横坐标变大，向左平移，横坐标变小）。

由于图形在平移时，图形上的每一个点都作了相同的平移，所以在理解一次函数平移时，只须抓住一个点的变化去理解就行了。

直线y=kx+b上下平移m个单位时，每个对应点的x取值不变，但对应的函数值y增加或减少m个单位，故解析式变为y=kx+b±m。

直线y=kx+b左右平移时，我们不防将函数解析式变一下形，得到 x = yk－bk当直线y=kx+b，即x = yk－bk左右平移m个单位时，每个对应点的y取值不变，但对应的函数值x减少或增加m个单位，故解析式变为 x = yk－bk-m或 x =yk－bk+m 化成一般式就得到 y=kx+b±km 即y=k(x±m)+b观察得出规律：直线y=kx+b平移时，“上加下减只变b,左加右减括号里”【例谈求一次函数解析式的常见题型】一. 定义型例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。

注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。

如本例中应保证二. 点斜型例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

三. 两点型已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

五. 斜截型例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

六. 平移型例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

七. 实际应用型例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。

注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。

专题07一次函数的规律探究问题(解析版)

专题07一次函数的规律探究问题例1．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，…，n A 在x 轴上，点1B ，2B ，…，n B 在直线33y x =上，若点1A 的坐标为(1,0)，且112A B A ，223A B A ，…，1n n n A B A + 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为1S ，2S ，．．，n S ，则n S 可表示为（）A．22B ．22n -C ．22n -D ．22n -【答案】D【解析】∵112A B A △，223A B A △，…，1n n n A B A +△都是等边三角形，∴112233////////n n A B A B A B A B ⋅⋅⋅，1223341////////n n B A B A B A B A +⋅⋅⋅，∵直线3y x =与x 轴的成角1130B OA ∠=o ，11120OA B ∠=o，∴1130∠=︒OB A ，∴111OA A B =，∵()11,0A ，∴111A B =，同理2230OB A ∠=o ，…，30n n OB A ∠=o ，∴2222B A OA ==，334B A =，…，12n n n B A -=，易得1290OB A ∠=o，…，190n n OB A +∠=o，∴12B B =23B B =…，12n n B B +=∴11331224S =⨯⨯=，2122S =⨯=…，1212222n n n nS --=⨯⨯=；故选：D ．例2如图,已知直线b 的解析式为y x =,在点)1A 作x 轴的垂直交直线b 于点1B ,以11A B 为边作第1个正在方形1112A B C A ,2A 在x 轴上,21A C 的延长线交直线b 于点2B ,以22A B 为边作第2个正在方形2223A B C A ,……;按此作法继续下去,则第2021个正在方形2021202120212022A B C A 的边长20212021A B 为________．【答案】20202【解析】由题意可知:点1B ,2B ,3B , ,n B 在直线y x =的图象上,即11121==A B A A OA ,22232==A B A A OA ,33343A B A A OA ==, ,1n n n n n A B A A OA +==,又∵点1A 的坐标为)1A ,∴111==OA A B222112A B OA OA A A ==+=+=23332232A B OA OA A A ==+=+==⋅;34443342A B OA OA A A ==+=+==⋅，22111222n n n n n n n n n A B OA OA A A -----==+=⋅+⋅=⋅,∴2021202121202002122-==A B ,故答案为:20202例3.如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【解析】如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M ，将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON ∠=45°∵1ONM =∠90°，∴1ON NM =∵1ON NM ⊥，∴11OM MM ==，∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0），同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0），∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.例4.如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O V 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O V 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x =-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标．．．为______．【答案】3875【解析】∵AB ⊥y 轴，点B （0，3），∴OB =3，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-，得：334x =-，得：x =-4，即A （-4，3），∴OB =3，AB =4，OA ，由旋转可知：OB =O 1B 1=O 2B 1=O 2B 2=…=3，OA =O 1A =O 2A 1=…=5，AB =AB 1=A 1B 1=A 2B 2=…=4，∴OB 1=OA +AB 1=4+5=9，B 1B 3=3+4+5=12，∴OB 21=OB 1+B 1B 21=9+（21-1）÷2×12=129，设B 21（a ，34a -），则OB 21=129=，解得：5165a =-或5165（舍），则335163874455a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，即点B 21的纵坐标为3875，故答案为：3875．课后训练1．如图，直线l 的函数表达式为y ＝x ﹣1，在直线l 上顺次取点A 1（2，1），A 2（3，2），A 3（4，3），A 4（5，4），…，A n （n +1，n ），构成形如”的图形的阴影部分面积分别表示为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 2021＝___．【答案】4044．【解析】根据题意，∵A 1（2，1），A 2（3，2），A 3（4，3），A 4（5，4），…，A n （n +1，n ），∴11135(12)1(23)142222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=，21157(23)1(34)162222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=，31179(34)1(45)182222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=，……∴22n S n =+；∴20212202124044S =⨯+=．故答案为：4044．2．如图，正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，…按其所示放置，点1A ，2A ，3A ，…和1C ，2C ，3C ，…分别在直线1y x =+和x 轴上，则点2021B 的横坐标是______．【答案】202121-【解析】当x =0时，y =x +1=1，∴A （0，1），∴直线与x 轴的交点（-1，0），∵四边形111A OC B 是正方形，∴11111190OC C B OC B ==∠=︒，，∴B 1（1，1），易得112223334445A B A A B A A B A A B A ⋯⋯ 、、、均是等腰直角三角形，可得：每一个正方形的边长都是它前一个正方形边长的2倍，因此：B 2的横坐标为1+1×2=1+2=20+21=3=22-1，B 3的横坐标为1+1×2+2×2=1+2+4=20+21+22=7=23-1，B 4的横坐标为24-1，B 5的横坐标为25-1，……B 2021的横坐标为22021-1，故答案为：22021-1．3．如图，在平面直角坐标系中，直线l 为正比例函数y ＝x 的图象，点A 1的坐标为（1，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线l 于点D 1，以A 1D 1为边作正方形A 1B 1C 1D 1；过点C 1作直线l 的垂线，垂足为A 2，交x 轴于点B 2，以A 2B 2为边作正方形A 2B 2C 2D 2；过点C 2作x 轴的垂线，垂足为A 3，交直线l 于点D 3，以A 3D 3为边作正方形A 3B 3C 3D 3，……依此类推，则正方形A 2B 2C 2D 2的面积为___________；正方形AnBnCnDn 的面积为__________．【答案】92（92）n −1，【解析】∵直线l 为正比例函数y ＝x 的图象，∴∠D 1OA 1＝45°，∴D 1A 1＝OA 1＝1，∴正方形A 1B 1C 1D 1的面积＝1＝（92）1−1，由勾股定理得，OD 1，D 1A 2＝22，∴A 2B 2＝A 2O =2，∴正方形A 2B 2C 2D 2的面积＝92＝（92）2−1，同理，A 3D 3＝OA 3＝92，∴正方形A 3B 3C 3D 3的面积＝814＝（92）3−1，…由规律可知，正方形A n B n C n D n 的面积＝（92）n −1，故答案是：92，（92）n −1．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：1y x =+交y 轴于点1A ，点2A ，3A ，…，n A 在直线l 上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 在x 轴的正半轴上，若11OA B ，212A B B △，323A B B ，…，1n n n A B B -△，依次均为等腰直角三角形，点n B 的坐标是______．【答案】()21,0-n【解析】直线1y x =+与x 轴、y 轴的交点分别为（-1，0），（0，1），∴OA 1=1，∵△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，∴B 1（1，0），∴A 2（1，2），∴A 2B 1=2，∴B 2（3，0），A 3（3，4），∴A 3B 2=4，∴B 3（7，0），……B n （2n -1，0），5．如图，过点1(1,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点1B ；点2A 与点O 关于直线11A B 对称；过点2(2,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点2B ；点3A 与点O 关于直线22A B 对称；过点3(4,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点3B 按此规律作下去，则2021B 的坐标为______．【答案】（22020，22021）【解析】∵11A B x ⊥轴交直线2y x =于1B ，且1(1,0)A ，∴1(1,2)B 同理，可分别得2(2,4)B ，3(4,8)B ，4(8,16)B ，一般地，可得：1(2,2)n n n B -当n =2021时，则2021B 的坐标为20202021(2,2)故答案为：20202021(2,2)6．如图，在平面直角坐标系中，直线l 为正比例函数y x =的图像，点1A 的坐标为(1，0)，过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1D ，以11A D 为边作正方形1111D C B A ；过点1C 作直线l 的垂线，垂足为2A ，交x 轴于点2B ，以22A B 为边作正方形2222A B C D ；过点2C 作x 轴的垂线，垂足为3A ，交直线l 于点3D ，以33A D 为边作正方形3333A B C D ，…，按此规律操作下所得到的正方形2021202120212021A B C D 的面积是______．【答案】202092⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】∵直线l 为正比例函数y =x 的图象，∴∠D 1OA 1=45°，∴D 1A 1=OA 1=1，∴正方形A 1B 1C 1D 1的面积=1=（92）1-1，由勾股定理得，OD 1，D 1A 2=2，∴A 2B 2=A 2O =322，∴正方形A 2B 2C 2D 2的面积=92=（92）2-1，同理，A 3D 3=OA 3=92，∴正方形A 3B 3C 3D 3的面积=814=（92）3-1，…由规律可知，正方形A n B n C n D n 的面积=（92）n -1，∴正方形2021202120212021A B C D 的面积是202092⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：202092⎛⎫ ⎪⎝⎭．7．如图，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝1122x +在x 轴上相交于点P （﹣1，0）．直线l 1与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l 2上的点B 1处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 1处后，再沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l 2上的点B 2处后，又改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 2处后，仍沿平行于x 轴的方向运动，一照此规律运动，动点依次经过点B 1，A 1，B 2，A 2，B 3，A 3，…则当动点C 到达B 6处时，点B 6的坐标为_____．【答案】（63，32）【解析】直线l 1为1y x =+,∴当0x =时,1y =∴A 点坐标为()0,1,则1B 点的纵坐标为1,设B 1()1x ,1,111122∴=+x ,解得11x =1B ∴点的坐标为()1,1;则1A 点的橫坐标为1,设()111,A y ,1112∴=+=y 1A ∴点的坐标为()1,2,则2B 点的纵坐标为2,设()22,2B x 211222∴=+x ,解得23x =,2B ∴点的坐标为()3,2,即()221,2-同理，可得B ()37,4，即()3221,2- ,B ∴n 的坐标为()n n 121,2--∴点6B 的坐标为()6521,2-,即6(63,B 32)故答案为(63,32)．8．如图，直线y ＝x +4与y 轴交于A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，点A 1，A 2，A 3…在直线y ＝x +4上，点C 1，C 2，C 3，…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3…，S n ，则S n 的值为______（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】22n +1【解析】∵直线y ＝x +4的k ＝1，∴直线与x 轴的夹角为45°，∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，当x ＝0时，y ＝4，所以，OA 1＝4，即第一个正方形的边长为4，所以，第二个正方形的边长为4+4＝8，第三个正方形的边长为8+8＝16，…，第n 个正方形的边长为2n +1，∴S 1＝12×4×4＝422，S 2＝12×8×8＝622，S 3＝12×16×16＝822，…，S n ＝12×2n +1×2n +1＝2222n +＝22n +1．故答案为22n +1．。

专题13 一次函数中的找规律问题训练(解析版)八年级数学下学期(人教版)

专题13 一次函数中的找规律问题训练（时间：60分钟总分：120）班级姓名得分一、选择题1．在平面直角坐标系中，点()11,1A -在直线y x b =+上，过点1A 作11A B x ⊥轴于点1B ，作等腰直角三角形112A B B (2B 与原点O 重合)，再以12A B 为腰作等腰直角三角形212A A B ，以22A B 为腰作等腰直角三角形223A B B ，…按照这样的规律进行下去，那么2020A 的坐标为( )A ．()2019201921,2- B ．()2019201922,2- C ．()2020202021,2- D ．()2020202022,2- 【答案】B 【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出A 2（0，2），A 3（2，4），A 4（6，8），根据坐标的变化即可找出变化规律A n （2n -1-2，2n -1）．即可得出点A 2020的坐标．【详解】解：∵点B 1、B 2、B 3、…、B n 在x 轴上，且A 1B 1=B 1B 2，A 2B 2=B 2B 3，A 3B 3=B 3B 4， ∵A 1（-1，1），∵A 2（0，2），A 3（2，4），A 4（6，8），，…，∵A n （2n -1-2，2n -1）．∵A 2020的坐标为（22019-2，22019）．故选：B ．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出A n 坐标的变化规律，注意掌握解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，和1B ，2B ，3B ，分别在直线15y x b =+和x 轴上，11OA B ∆，122B A B ∆，233B A B ∆，是以1A ，2A ，3A，为顶点的等腰直角三角形．如果点()11,1A ，那么点2020A 的纵坐标是（）A ．201932⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．202032⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．201923⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．202023⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】设点A 2，A 3，A 4…，A 2019坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．【详解】解：1(1,1)A 在直线15y x b =+， 45b ∴=， 1455y x ∴=+，设22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ，44(A x ，4)y ，⋯，20202020(A x ，2019)y ，则有221455y x =+，331455y x =+，⋯，202020201455y x =+，又∵11OA B ，∵122B A B ，∵233B A B ，⋯，都是等腰直角三角形， 2122x y y ∴=+，312322x y y y =++，⋯，2020123201920202222x y y y y y =+++⋯++．将点坐标依次代入直线解析式得到：21112y y =+，3121131222y y y =++=2y ，432y =3y ，⋯，2020201932y y =，又11y =，232y ∴=，233()2y =，343()2y =，⋯，201920203()2y =，故选：A ．【点睛】此题主要考查了一次函数点坐标特点，等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半，解题的关键是找出规律．3．正方形1112A B C A ，2223A B C A ，3334A B C A ，…，按如图所示的方式放置，点123A A A ，…和点123B B B ，…分别在直线1y x =+和x 轴上．则点2020C 的纵坐标是（）A ．20202B ．20192C ．202021-D ．201921-【答案】B 【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质确定点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5进而确定C 1，C 2，C 3，C 4，C 5的坐标并总结出点C n 的纵坐标的规律为2n -1（n 为正整数），将n=2030代入即可解答．【详解】解：由题意可知，A 1纵坐标为1，A 2的纵坐标为2，A 3的纵坐标为4，A 4的纵坐标为8， A 1和C 1，A 2和C 2，A 3和C 3，A 4和C 4的纵坐标相同，∵C 1，C 2，C 3，C 4，,C 5,…C n 的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…2n -1 ∵2020C 的纵坐标为22020-1=22019．故答案为B ．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、正方形的性质以及找规律，找出C n 点纵坐标的规律为2n -1（n 为正整数）是解答本题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……都是等腰Rt△，直角顶点P 1(3，3)，P 2，P 3……，均在直线y ＝﹣13x+4上，设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……的面积分别为S 1，S 2，S 3……则S 2019的值为（）A ．201894 B ．201994 C ．401894 D ．401994【答案】A 【分析】分别过点P 1、P 2、P 3作x 轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．【详解】解：如图，分别过点P 1、P 2、P 3作x 轴的垂线段，垂足分别为点C 、D 、E ，∵P 1（3，3），且∵P 1OA 1是等腰直角三角形， ∵OC ＝CA 1＝P 1C ＝3，设A 1D ＝a ，则P 2D ＝a ， ∵OD ＝6+a ，∵点P 2坐标为（6+a ，a ），将点P 2坐标代入y ＝﹣13x+4，得：﹣13（6+a ）+4＝a ，解得：a ＝32，∵A 1A 2＝2a ＝3，P 2D ＝32，同理求得P 3E ＝34、A 2A 3＝32，∵S 1＝12×6×3＝9、S 2＝12×3×32＝94、S 3＝12×32×34＝294、…… ∵S 2019＝201894．故选：A ．【点睛】本题考查了几何类的规律题，掌握等腰直角三角形的性质、三角形面积的规律是解题的关键． 5．已知：直线y=1n n +x+11n +（n 为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1+S 2+S 3+…+S 2019（） A ．20182019B ．20192020C ．20182038D ．20194040【答案】D 【分析】依次求出S 1、S 2、S 3，就发现规律：S n =12×()11n n +，然后求其和即可求得答案．注意()11111n n n n =-++．【详解】解：∵当n=1时，直线为y=12x+12， ∵直线与两坐标轴的交点为（0，12），（-1，0），∵S 1=12×1×12=14；当n=2时，直线为y=23x+13， ∵直线与两坐标轴的交点为（0，13），（-12，0），∵S 2=12×12×13=12×()1221⨯+；当n=3时，直线为y=34x+14， ∵直线与两坐标轴的交点为（0，14），（-13，0）， ∵S 3=12×13×14=12×()1331⨯+；…， S n =12×()11n n +， ∵S 1+S 2+S 3+…+S 2019=12×（1-12+1231-+1341-+…+12019-12020）=12⨯（1-12020）=20194040故选：D ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意找出规律是解答此题的关键． 6．如图，函数y ＝x 和y ＝－12x 的图象分别为直线l 1、12，过点A 1（1，－12）作x 轴的垂线交l 1于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交l 1于点A 4，过点A 4作y 轴的垂线交l 2于点A 5，……，依次进行下去，则A 2019的横坐标为（）A ．－21007B ．21008C ．－21008D ．－21009【答案】D 【分析】可根据点A 1坐标结合两条直线的解析式求出点23456,,,,A A A A A 这几个点的坐标，找出其横坐标的变化规律，再确定A 2019的横坐标【详解】解：2A 点的横坐标与1A 的横坐标相同均为1，将21A x =代入y ＝x 得21A y =，可得31A y =，代入y ＝－12x 得32A x =-，依次类推可得23456(1,1),(2,1),(2,2),(4,2),(4,4)A A A A A ----，观察可知其规律为01122123456(2,1),(2,1),(2,1),(2,2),(2,2),(2,4)A A A A A A ----，且一四象限点的横坐标相同，二三象限点的横坐标相同.所以先确定点2019A 的所在象限.20194504......3÷=∴点2019A 在第三象限与点2020A 的横坐标相同202021010÷=∴点2020A 的横坐标为10101100922--=-所以点2019A 的横坐标为10092- 故选：D 【点睛】本题是平面直角坐标系中点坐标规律的探究题，找准点的变化规律是解题的关键.二、填空题7．如图，点()12,2A 在直线y x =上，过点作11//A B y 轴交直线12y x =于点1B ，以点1A 为直角顶点，11A B 为直角边在11A B 的右侧作等腰直角111A B C △，再过1C 点作过点22//A B y 轴交直线y x =和直线12y x =于2A ，2B 两点，以点2A 为直角顶点，22A B 为直角边在22A B 的右侧作等腰直角222A B C △，…，按此规律进行下去，则等腰直角n n n A B C 的边长n n B C 为_____．（用含正整数n 的代数式表示）【答案】132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】列出各点坐标寻找规律，横纵坐标成32倍扩大．【详解】解：点1(2,2)A 在直线y x =上， ∴点1B 横坐标为2，将2x =代入12y x =得1y =， ∴点1B 坐标为(2,1)．∵111A B C 为等腰直角三角形，1111211A B AC ∴==-=，∴点1C 坐标为(3,2)．11B C过1C 点作22//A B y 轴，2A ∴，2B 的横坐标为3，将3x =分别代入y x =与12y x =中得2A ，2B 的纵坐标分别为3，32，即2(3,3)A ，23(3,)2B ，2233322A B =-=，2222B C B ∴==．点2C 坐标为9(,3)2．同理可得333()2B C =443()2B C =3()2n n n B C -∴=故答案为：3()2n - 【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征及等腰直角三角形的性质，解题关键是通过计算找出点及边长变化规律．8．如图，在平面直角坐标系中，点123,,,,n A A A A 在x 轴上，点123,,,,n B B B B 在直线3y x =上．若1(1,0)A ，且1122231,,,n n n A B A A B A A B A +都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为123,,,,n S S S S ，则2021S 可表示为____．【答案】2【分析】由等边三角形性质可知，A 1B 1∵A 2B 2…∵A n B n ，因为直线y =与x 轴的夹角∵B 1OA 1＝30°，∵OA 1B 1＝120°，可得出OA 1＝A 1B 1，A 1B 1＝1，∵OB 2A 2＝30°，…，∵OB n A n ＝30°，B 2A 2＝OA 2＝2，B 3A 3＝4，…，B n A n ＝2n ﹣1，因为∵OB 1A 2＝90°，根据勾股定理可知B 1B 2=则S 1112=⨯=【详解】解：由等边三角形可知： A 1B 1∵A 2B 2∵…∵A n B n ， B 1A 2∵B 2A 3∵…∵B n A n +1，∵直线y =与x 轴的夹角∵B 1OA 1＝30°，∵OA 1B 1＝120°， ∵∵OB 1A 1＝30°， ∵OA 1＝A 1B 1， ∵A 1（1，0）， ∵A 1B 1＝1，同理∵OB 2A 2＝30°，…，∵OB n A n ＝30°， ∵B 2A 2＝OA 2＝2，B 3A 3＝4，…，B n A n ＝2n ﹣1，可知∵OB 1A 2＝90°，…，∵OB n A n +1＝90°，∵B 1B 2=B 2B 3＝…，B n B n +1＝2n ﹣∵S 1112=⨯S 2122=⨯⨯=，…，S n ＝22n ﹣∵当n =2021时，0202142S =故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一次函数函数图像点的坐标特征，合理利用函数图像上点的坐标规律是解决本题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，函数3y x =和yx =-的图象分别为直线1l ，2l ，过点(1,0)作x 轴的垂线交1l 于点1A ，过点1A 作y 轴的垂线交2l 于点2A ，过点2A 作x 轴的垂线交1l 于点3A ，过点3A 作y 轴的垂线交2l 于点4A ，…，依次进行下去，则点6A 的坐标为________；点2022A 的坐标为________．【答案】(27,27)-， ()101110113,3- 【分析】写根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7、A 8等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“A 4n +1（32n ，32n +1），A 4n +2（﹣32n +1，32n +1），A 4n +3（﹣32n +1，﹣32n +2），A 4n +4（32n +2，﹣32n +2）（n 为自然数）”，依此规律结合2022＝505×4+2即可找出点A 2022的坐标．【详解】解：当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∵点A 1的坐标为（1，3）；当y ＝﹣x ＝3时，x ＝﹣3，∵点A 2的坐标为（﹣3，3）；同理可得：A 3（﹣3，﹣9），A 4（9，﹣9），A 5（9，27），A 6（﹣27，27），A 7（﹣27，﹣81），…， ∵A 4n +1（32n ，32n +1），A 4n +2（﹣32n +1，32n +1），A 4n +3（﹣32n +1，﹣32n +2），A 4n +4（32n +2，﹣32n +2）（n 为自然数）．∵2022＝505×4+2，∵点A 2022的坐标为()101110113,3-，故答案为：（﹣27，27），()101110113,3-．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A 4n +1（32n ，32n +1），A 4n +2（﹣32n +1，32n +1），A 4n +3（﹣32n +1，﹣32n +2），A 4n +4（32n +2，﹣32n +2）（n 为自然数）”是解题的关键．10．如图，直线y ＝x +4与y 轴交于A 1，按如图方式作正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，点A 1，A 2，A 3…在直线y ＝x +4上，点C 1，C 2，C 3，…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3…，S n ，则S n 的值为______（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】22n +1【分析】根据直线解析式判断出直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出OA 1，即第一个正方形的边长，同理依次求出第二个、第三个正方形的边长，然后根据规律写出第n个正方形的边长，如果根据阴影部分的面积等于相应正方形的面积的一半列式计算即可得解．【详解】∵直线y ＝x +4的k ＝1，∵直线与x 轴的夹角为45°，∵直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，当x ＝0时，y ＝4，所以，OA 1＝4，即第一个正方形的边长为4，所以，第二个正方形的边长为4+4＝8，第三个正方形的边长为8+8＝16，…，第n 个正方形的边长为2n +1，∵S 1＝12×4×4＝422， S 2＝12×8×8＝622， S 3＝12×16×16＝822， …，S n ＝12×2n +1×2n +1＝2222n +＝22n +1．故答案为22n +1．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．11．如图，在平面直角坐标系中，点123n A A A A ⋯，，，，在 x 轴上，123n B B B B ⋯，，，，在直线 y x =上，若1(2,0)A ，且 1122231,,,n n n A B A A B A A B A +⋯都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为 123,,,,n S S S S ⋯．则 n S 可表示为 _________ ．【答案】22n -【分析】直线y x =与x 轴的成角1130B OA ∠=︒，可得2230OB A ∠=︒，⋯，30n n OB A ∠=︒，1290OB A ∠=︒，⋯，190n n OB A +∠=︒；根据等腰三角形的性质可知111A B =，2222B A OA ==，334B A =，⋯，12n n n B A -=；根据勾股定理可得12B B =23B B =⋯，1123n n n B B ，再由面积公式即可求解．【详解】解：∵112A B A 、∵223A B A ∵1n n n A B A +都是等边三角形，112233////////n n A B A B A B A B ，1223341////////n n B A B A B A B A ，直线3y x =与x 轴的成角1130B OA ∠=︒，11120OA B ∠=︒， 1130OB A ∴∠=︒，111OA A B ，∵1(2,0)A ，112A B ，同理2230OB A ∠=︒，⋯，30n n OB A ∠=︒，2224B A OA ，338B A ，⋯，2n n n B A ，易得1290OB A ∠=︒，⋯，190n n OB A +∠=︒，1223B B ，2343B B ，⋯，12n n B B += 11223232S ，21443832S ，⋯，211223232n n n n S ；故答案是：22n -【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长、应用相似三角形规律求解是解题的关键．12．正方形111A B C O ，2221A B C C ，2333A B C C 2333A B C C …按如图的方式放置，1A ，2A ，3A …和点1C ，2C ，3C …分别在直线2y x =+和x 轴上，则点3C 的横坐标是_________【答案】14【分析】先利用直线的解析式可求出点1A 的坐标，从而可得1OC 的长，再利用直线的解析式分别求出23,A A 的坐标，然后利用正方形的性质即可得．【详解】对于直线2y x =+，当0x =时，2y =，即1(0,2)A ，12OA ∴=，四边形111A B C O ，2221A B C C ，2333A B C C 都是正方形，11121223232,,OC OA C C C A C C C A ∴====，∴点2A 的横坐标为2，将2x =代入直线解析式得：224y =+=，即2(2,4)A ，12124C C C A ∴==，2112246OC OC C C ∴=+=+=，∴点3A 的横坐标为6，将6x =代入直线解析式得：628y =+=，即3(6,8)A ，23238C C C A ∴==，32236814OC OC C C ∴=+=+=，则点3C 的横坐标为14，故答案为：14．【点睛】本题考查了正方形的性质、一次函数图象上的点坐标等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．13．如图，已知直线a ：y=x ，直线b ：y=-12x 和点P(1，0)，过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点P 1，过点P 1作x 轴的平行线交直线b 于点p 2，过点p 2作y 轴的平行线交直线a 于点p 3，过点p 3作x 轴的平行线交直线b 于点p 4，…，按此作法进行下去，则点P 2021的横坐标为_____________．【答案】10102【分析】点(1,0)P ，1P 在直线y x =上，得到1(1,1)P ，求得2P 的纵坐标1P =的纵坐标1=，得到2(2,1)P -，即2P 的横坐标为12(2)-=-，同理，3P 的横坐标为12(2)-=-，4P 的横坐标为24(2)=-，25(2)P =-，36(2)P =-，37(2)P =-，48(2)P =-⋯，求得221(2)n n n P P +==-，于是得到结论．【详解】解：点(1,0)P ，1P 在直线y x =上， 1(1,1)P ∴，12//PP x 轴，2P ∴的纵坐标1P =的纵坐标1=， 2P 在直线12y x =-上， 112x ∴=-， 2x ∴=-，2(2,1)P ∴-，即2P 的横坐标为12(2)-=-，同理，3P 的横坐标为12(2)-=-，4P 的横坐标为24(2)=-，25(2)P =-，36(2)P =-，37(2)P =-，48(2)P =-⋯，221(2)n n n P P +∴==-，令212021n +=，则1010n =2021P ∴的横坐标为10101010(2)2=-，故答案为：10102．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，点)A ，点()0,1B ，作第一个正方形111OA C B 且点1A 在OA 上，点1B 在OB 上，点1C 在AB 上；作第二个正方形1222A A C B 且点2A 在1A A 上，点2B 在12AC 上，点2C 在AB 上…，如此下去，其中1C 纵坐标为______，点n C 的纵坐标为______．n⎝⎭【分析】先确定直线AB的解析式，然后再利用正方形的性质得出点C1和C2的纵坐标，归纳规律，然后按规律求解即可．【详解】解：设直线AB的解析式y=kx+b则有：1bb+==⎪⎩，解得：31kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以直线仍的解析式是：y=1x-+设C1的横坐标为x，则纵坐标为y=1x-+∵正方形OA1C1B1∵x=y，即1x x=+，解得x==∵点C1同理可得：点C2=232⎛-⎝⎭∵点C n的纵坐标为n⎝⎭．n⎝⎭．【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特点等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键．。

专题06 一次函数图像的五种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)

专题06一次函数图像的五种考法类型一、图像的位置关系问题例．直线y kx k =-与直线y kx =-在同一坐标系中的大致图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据直线y kx k =-与直线y kx =-图像的位置确定k 的正负，若不存在矛盾则符合题意，据此即可解答．【详解】解：A 、y kx =-过第二、四象限，则0k >，所以y kx k =-过第一、三、四象限，所以A 选项符合题意；B 、y kx =-过第二、四象限，则0k >，所以y kx k =-过第一、三、四象限，所以B 选项不符合题意；C 、y kx =-过第一、三象限，则0k <，所以y kx k =-过第二、一、四象限，所以C 选项不符合题意；D 、y kx =-过第一、三象限，则0k <，所以y kx k =-过第二、一、四象限，所以D 选项不符合题意．故选A ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像：一次函数0y kx b k =+≠（）的图像为一条直线，当0k >，图像过第一、三象限；当0k <，图像过第二、四象限；直线与y 轴的交点坐标为()0b ，．【变式训练1】在同一坐标系中，直线1l ：()3y k x k =-+和2l ：y kx =-的位置可能是()A ．B ．．．【答案】B【分析】根据正比例函数和一次函数的图像与性质，对平面直角坐标系中两函数图像进行讨论即可得出答案．k>，故由一次函数图像与【详解】A、由正比例函数图像可知0，即0点的上方，故选项A不符合题意；．．．．【答案】B【分析】先根据直线1l，得出k然后再判断直线2l的k和b的符号是否与直线．B．．．【答案】C【分析】根据一次函数的图象性质判断即可；ab>，【详解】∵0同号，A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m 和n 的符号，即可进行解答．【详解】解：A 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn <，符合题意；B 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；C 、由一次函数图象得：0,0m n >>，由正比例函数图象得：0mn <，不符合题意；D 、由一次函数图象得：0,0m n ><，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系．类型二、图像与系数的关系则13k≥或3k≤-，故答案为：【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键．类型三、图像的平移问题例．将直线y kx b =+向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到直线2y x =，则（）A ．2k =，8b =-B ．2k =-，2b =C ．1k =，4b =-D ．2k =，4b =【答案】A【分析】根据直线y kx b =+向左平移2个单位，变为()2y k x b =++，再向上平移4个单位，变为()24y k x b =+++，然后结合得到直线2y x =，即可解出k 和b 的值．【详解】解：直线y kx b =+向左平移2个单位，变为()2y k x b =++，再向上平移4个单位，变为()24y k x b =+++，得到直线2y x =，2k ∴=，240k b ++=，2k ∴=，8b =-，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图像平移变换，熟练掌握图象左加右减，上加下减的变换规律是解答本题的关键．【变式训练1】对于一次函数24y x =-+，下列结论错误的是（）．A ．函数的图象与x 轴的交点坐标是(0,4)B ．函数的图象不经过第三象限C ．函数的图象向下平移4个单位长度得2y x =-的图象D ．函数值随自变量的增大而减小【答案】A【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．【详解】A 选项：当0y =时，2x =，所以函数的图象与x 轴的交点坐标是(2,0)，故A 选项错误；B 选项：函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B 选项正确；C 选项：函数的图象向下平移4个单位长度，得到函数244y x =-+-，即2y x =-的图象，故C 选项正确；D 选项：由于20k =-<，所以函数值随x 的增大而减小，故D 选项正确．故选：C【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，函数图象平移的法则，熟练运用一次函数的图象及性质进行判断是解题的关键．【变式训练2】把直线3y x =-先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x 轴的交点为()0m ,，则m 的值为（）A ．3B ．1C ．1-D ．3-【答案】B【分析】由题意知，平移后的直线解析式为()32333y x x =---=-+，将()0m ,代入得033m =-+，计算求解即可．【详解】解：由题意知，平移后的直线解析式为()32333y x x =---=-+，将()0m ,代入得033m =-+，解得1m =，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点．解题的关键在于熟练掌握图象平移：左加右减，上加下减．类型四、规律性问题例．在平面直角坐标系中，直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111A B C O ，正方形2221A B C C ，…，正方形1n n n n A B C C -，使得点1A ，2A ，3A ，…．在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，…，在y 轴正半轴上，则点2023B 的坐标为（）A ．()202220232,21-B ．()202320232,2C ．()202320242,21-D ．()202220232,21+【答案】A【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点11A B 、的坐标，同理可得出2A 、3A 、4A 、5A …及2B 、3B 、4B 、5B …的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律()12,21n n n B --（n 为正整数），依此规律即可得出结论．【详解】解：当0y =时，由10x -=，解得：1x =，∴点1A 的坐标为()1,0，111A B C O 为正方形，()11,1B ∴，同理可得：()22,1A ，()34,3A ，()48,7A ，()516,15A ，…，∴()22,3B ，()34,7B ，()48,15B ，()516,31B ，…，【答案】20222022(21,2)-【分析】先求出1A 、2A 、3A 、4A 的坐标，找出规律，即可得出答案．【详解】解：直线1y x =+和y 轴交于1A ，1A ∴的坐标()0,1，即11OA =，四边形111C OA B 是正方形，111OC OA ∴==，【答案】()20222,0【分析】根据1A 的坐标和函数解析式，即可求出点34,A A 探究规律利用规律即可解决问题．【详解】∵直线3y x =，点1A 的坐标为∴()11,3B 在11Rt OA B △中，11131,OA A B ==，类型五、增减性问题．B．．．A ．()15,53B ．()15,63C ．()17,53D 【答案】D【答案】40432【分析】根据已知先求出2OA ，3OA ，33A B ，44A B ，然后分别计算出1S ，2S 【详解】解：∵11OA =，212OA OA =，∴22OA =，∵322O A O A =，∴34OA =，∵432OA OA =，。

新人教版八年级下册一次函数精品讲解

一次函数精品讲解考点一一次函数和正比例函数的定义一般地，如果y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数．特别地，当b ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx (k 是常数，k ≠0)，这时y 叫做x 的正比例函数．考点二一次函数的图象与性质 1．一次函数的图象(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是经过点(0，b )和⎝⎛⎭⎫－bk ，0的一条直线． (2)正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k )的一条直线． 2．一次函数图象的性质一次函数y ＝kx ＋b ，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．考点三一次函数解析式的确定常用待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法的一般步骤是： 1．设出函数解析式；2．根据已知条件求出未知的系数； 3．具体写出这个解析式．考点四一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y ＝kx ＋b 与kx ＋b ＝0直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是方程kx ＋b ＝0的解，方程kx ＋b ＝0的解是直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标．2．y ＝kx ＋b 与不等式kx ＋b ＞0从函数值的角度看，不等式kx ＋b ＞0的解集为使函数值大于零(即kx ＋b ＞0)的x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y ＞0，因此kx ＋b ＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围．3．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．1．一个正比例函数的图象过点(2，－3)，它的表达式为( )．A ．y ＝－32xB ．y ＝23xC ．y ＝32xD ．y ＝－23x2．若一次函数y ＝kx ＋b 的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么k 和b 的符号判断正确的是( )．A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0 3．两直线l 1：y ＝2x －1，l 2：y ＝x ＋1的交点坐标为( )． A ．(－2,3) B ．(2，－3) C ．(－2，－3) D ．(2,3) 4．某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．(1)分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y (元)和重量x (克)之间的函数关系式；(2)李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？一、一次函数的图象与性质【例1】点P 1(x 1，y 1)和点P 2(x 2，y 2)是一次函数y ＝－4x ＋3图象上的两个点，且x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是( )．A ．y 1＞y 2B ．y 1＞y 2＞0C ．y 1＜y 2D ．y 1＝y 2解析：因为一次函数y ＝－4x ＋3中k ＜0，根据其性质，y 随x 的增大而减小．所以当x 1＜x 2时，y 1＞y 2.答案：A解有关一次函数y=kx+b 的图象与性质的问题时，应注意以下三点：①一次函数图象分布特征与k ，b 的符号之间的关系；②一次函数图象的增减性与k 的符号之间的关系；③一次函数与两坐标轴的交点及围成的图形的面积等．在同一直角坐标系中，函数y ＝kx ＋1和函数y ＝kx(k 是常数且k ≠0)的图象只可能是( )．二、求一次函数解析式【例2】娄底至新化高速公路的路基工程分段招标，市路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖筑路基的长度y (m)与挖筑时间x (天)之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题：(1)求在0≤x ＜2的时间段内，y 与x 的函数关系式； (2)求在x ≥2时间段内，y 与x 的函数关系式；(3)用所求的函数解析式预测完成1 620 m 的路基工程，需要挖筑多少天？解：(1)当0≤x ＜2时，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ，∴40＝k .∴y 与x 的函数关系式为y ＝40x (0≤x ＜2)．(2)当x ≥2时，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 115＝3k ＋b ，255＝7k ＋b ，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝35，b ＝10. ∴y 与x 的函数关系式为y ＝35x ＋10(x ≥2)． (3)当y ＝1 620时，35x ＋10＝1 620，x ＝46. 答：需要挖筑46天．确定一次函数的函数关系式，可先设出函数关系式，再根据条件确定关系式中未知的数．根据图象，由两个点的坐标可确定一次函数关系式，正比例函数只需一个点的坐标即可．三、一次函数与方程(组)、不等式的关系【例3】如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解是__________．解析：如图所示，二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解就是直线y ＝ax ＋b 与直线y ＝kx的交点，所以点P 的坐标就是方程组的解，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2两个函数图象的交点坐标，即满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．四、一次函数的应用【例4】小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O—A—B—C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为__________千米/分钟；(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系；(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？解：(1)154 15(2)由图象可知，s是t的正比例函数．设所求函数的解析式为s＝kt(k≠0)，代入(45,4)，得4＝45k，解得k＝445.∴s与t的函数关系式s＝445t(0≤t≤45)．(3)由图象可知，小聪在30≤t ≤45的时段内s 是t 的一次函数，设函数解析式为s ＝mt ＋n (m ≠0)．代入(30,4)，(45,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧30m ＋n ＝4，45m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－415，n ＝12.∴s ＝－415t ＋12(30≤t ≤45)．令－415t ＋12＝445t ，解得t ＝1354.当t ＝1354时，s ＝445×1354＝3.答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)根据题意，设定问题中的变量；(2)建立一次函数关系式模型；(3)确定自变量的取值范围；(4)与方程或不等式(组)结合解决实际问题．1．(2012四川乐山)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax＋c的图象可能是()．2．(2011黑龙江哈尔滨)一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：升)随行驶里程x(单位：千米)的增加而减小，若这辆汽车平均耗油量为0.2升/千米，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是()．3．(2011浙江义乌)一次函数y ＝2x －1的图象经过点(a,3)，则a ＝__________.4．(2011内蒙古呼和浩特)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n 的图象如图所示，则|n －m |－m 2可化简为__________．5．(2012山东菏泽)如图，一次函数y ＝－23x ＋2的图象分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，求过B ，C 两点直线的解析式．1．一次函数y＝－3x－2的图象不经过()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．一次函数y＝(a－2)x＋a－3的图象与y轴的交点在x轴的下方，则a的取值范围是()．A．a≠2 B．a＜3且a≠2 C．a＞2且a≠3 D．a＝33．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误．．的是()．A ．摩托车比汽车晚到1 hB ．A ，B 两地的路程为20 kmC ．摩托车的速度为45 km/hD ．汽车的速度为60 km/h4．一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是( )．A ．x ＜0B ．x ＞0C ．x ＜2D ．x ＞25．把直线y ＝－2x 向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点(m ，n )，且2m ＋n ＝6，则直线AB 的解析式是( )．A ．y ＝－2x －3B ．y ＝－2x －6C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x ＋66．如果点(－2，m )和⎝⎛⎭⎫12，n 都在直线y ＝43x ＋4上，则m ，n 的大小关系是：__________. 7．点A (－3,4)在一次函数y ＝－3x －5的图象上，图象与y 轴的交点为B ，那么△AOB 的面积为________．8．一辆汽车在行驶过程中，路程y (千米)与时间x (小时)之间的函数关系如图所示，当0≤x ≤1时，y 关于x 的函数解析式为y ＝60x ，那么当1≤x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为__________．9．如图，直线y＝3x，点A1坐标为(1,0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为________．10．星期天8：00～8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y(立方米)与时间x(小时)的函数关系如图所示．(1)8：00～8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？(2)当x≥0.5时，求储气罐中的储气量y(立方米)与时间x(小时)的函数解析式；(3)请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由．参考答案基础自主导学自主测试1．A 2.D 3.D4．解：(1)y甲＝477x，y乙＝530×3＋530(x－3)×80%＝424x＋318.(2)由y甲＝y乙，得477x＝424x＋318，∴x＝6.由y甲＞y乙，得477x＞424x＋318，则x＞6.由y甲＜y乙，得477x＜424x＋318，则x＜6.所以当x＝6时，到甲、乙两个商店购买费用相同．当4≤x＜6时，到甲商店购买合算．当6＜x≤10时，到乙商店购买合算．规律方法探究变式训练 B知能优化训练中考回顾1．A 2.D 3.2 4．n5．解：如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，则∠AOB ＝∠CDA ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAO ＋∠ABO ＝∠BAO ＋∠CAD ＝90°. ∴∠ABO ＝∠CAD .又∵AB ＝AC ，∴△ABO ≌△CAD .∴AD ＝OB ＝2，CD ＝AO ＝3.∵y ＝－23x ＋2与x 轴交于点(3,0)，与y 轴交于点(0,2)，∴C (5,3)．设过B ，C 两点直线的解析式是y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 5k ＋b ＝3，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝15，b ＝2.∴过B ，C 两点直线的解析式为y ＝15x ＋2.模拟预测1．A 2.B 3.C 4.D 5.D 6．m ＜n 7.7.58．y ＝100x －40 9.(16,0)10．解：(1)8 000立方米．(2)当x ≥0.5时，设y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5k ＋b ＝10 000，10.5k ＋b ＝8 000，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－200，b ＝10 000.∴y ＝－200x ＋10 100(x ≥0.5)．(3)当x ＝2.5时，y ＝－200×2.5＋10 100＝9 600， 10 000－9 60020＝20＞18.∴第18辆车在10：30前能加完气．。

(沪教版)八年级数学专题训练专题07 一次函数的规律探究性问题(解析版)

专题07 一次函数的规律探究性问题（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图,在平面直角坐标系中,直线l ：1y x =+交x 轴于点A ,交y 轴于点1A ,2A ,3A ,…在直线l 上,点1B ,2B ,3B ,…在x 轴的正半轴上,若11AOB ,212A B B △,323A B B △,…,依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x轴上,则第10个等腰直角三角形是10910A B B ,其点10B 的横坐标为（）A ．512B ．1023C ．2047D ．2048【标准答案】B 【思路指引】先求出B 1、B 2、B 3…的坐标,探究其规律,即可得到答案．【详解详析】解：直线y ＝x ＋1与x 轴、y 轴的交点分别为（-1,0）,（0,1）, 由题意得OA =OA 1=1,∵1A OB ∆,212A B B ∆,323A B B ∆,…均为等腰直角三角形,∴OB 1=OA 1=1, ∴点B 1（1,0）, ∴B 1B 2=B 1A 2=1+1=2,∴OB2=OB1+B1B2=1+2=3,∴点B2（3,0）,∴B2A3=B2B3=3+1=4,∴OB3=OB2+B2B3=3+4=7,∴点B3（7,0）,∴B1（1,0）,B2（3,0）,B3（7,0）…,∵1=2-1,3=22-1,7=23-1,…,∴B n的横坐标为2n-1,∴当n=10时, 210-1=1024-1=1023故选择B．【名师指路】此题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质,解题的关键是从特殊到一般,探究规律,利用规律解决问题．2．如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为（4-,5）,点B坐标为（0,3）,点D在x轴上．若线段DB交直线12y x=-于点C,当点D从点O向x轴负半轴方向运动时,△ABC面积的变化趋势是（）A．先变大再变小B．先变小再变大C．无法确定D．保持不变【标准答案】D【思路指引】根据点A、点B坐标求出所在直线解析式为132y=x-+,当点D从点O向x轴负半轴方向运动时,点C始终在线段DB交直线12y x=-上,在△ABC中,始终以AB边为底边,过C点作直线AB的垂线为高,根据两直线斜率可得出平行关系,利用平行线间距离处处相等可知无论点D运动到哪一点高不变,因此△ABC面积保持不变．【详解详析】解：设直线AB 的解析式为y=kx b +, 将点A （4-,5）,点B （0,3）代入可得：5=4k b3=b -+⎧⎨⎩, 得出直线AB 的解析式为：132y=x -+,又∵点C 所在直线解析式为：12y x =-,∴//AB OC ,∵点C 始终在线段DB 交直线12y x =-上,在△ABC 中,以AB 边为底边, 则点D 运动过程中高不变, 故△ABC 面积保持不变．故选：D ．【名师指路】本题考查了求一次函数的解析式、斜率的性质、利用平行线间的距离解决问题等性质及定理,熟练运用以上性质定理是解题的关键．3．如图,在直角坐标系中,正方形111A B C O 、2221A B C C 、…、1n n n n A B C C -按如图所示的方式放置,其中点1A 、2A 、3A 、…、n A 均在一次函数1y x =+的图象上,点1C 、2C 、3C 、…、n C 均在x 轴上,则点2021A 的坐标为（）A ．()2021202121,2-B ．()2020202021,2-C ．()2021202021,2-D ．()2020202121,2-【标准答案】B 【思路指引】首先分别求得A 1,A 2,A 3,A 4…的坐标,由此得到一定的规律,据此求出点2021A 的坐标．【详解详析】解：把x =0代入1y x =+得,y =1,∴A 1的纵坐标是：1＝20,A 1的横坐标是：0＝20﹣1, 把x =1代入1y x =+得,y =2,∴A 2的纵坐标是：1+1＝21,A 2的横坐标是：1＝21﹣1,同理,A 3的纵坐标是：2+2＝4＝22,A 3的横坐标是：1+2＝3＝22﹣1, ∴A 4的纵坐标是：4+4＝8＝23,A 4的横坐标是：1+2+4＝7＝23﹣1, 据此可以得到A n 的纵坐标是：2n ﹣1,横坐标是：2n ﹣1﹣1．即点2021A 的坐标为()2020202021,2-．故选：B ．【名师指路】此题主要考查了坐标的变化规律,正确得到点的坐标的规律是解题的关键．4．如图所示,已知点1B ,2B ,3B ……在直线2y x =-+上,点1A ,2A ,3A ……在x 轴上,点1C ,2C ,3C ……分别在y 轴、11A B 、22A B 上,四边形111A B C O 、2221A B C A 、3332A B C A ……都是正方形,则下列说法：①点1B 的坐标是(1,1)；②11222A B A B =；③点n B 的横坐标是112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭；④正方形1n n n n A B C A -的边长是112n -⎛⎫⎪⎝⎭其中错误的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【标准答案】A 【思路指引】根据2y x =-+,求出(0,2),(2,0)E F ,然后利用已知结合一次函数及正方形的性质,推出1(1,1)B 、211(1,)22B +、322111(1,)222B ++,,的规律,及推出正方形边长的规律111A B =,2212A B =,33212A B =,,112n n n A B -⎛⎫= ⎪⎝⎭,然后利用规律依次进行判断．【详解详析】解：如图：2y x =-+,(0,2),(2,0)E F ∴,2OE OF ∴==,又90EOF ∠=︒, 45OEF OFE ∴∠=∠=︒,又四边形111OA B C 为正方形,1111111,90OC C B EC B B C O ∴=∠=∠=︒, 1145C B E OEF ∴∠=∠=︒, 111B C C E ∴=,1111OC C B ∴==,1(1,1)B ∴,故①正确；又11//A B OE ,1145A B F OEF ∴∠=∠=︒,又四边形1222A A B C 为正方形,1222122122,90AC B C B C B AC B ∴=∠=∠=︒, 22121245C B B C B B ∴∠=∠=︒, 212221C B C B C A ∴==,2122111122C A C B A B ∴===, 11122222A B AC A B ∴==,故②正确；1(1,1)B 、211(1,)22B +、322111(1,)222B ++,,∴点n B 的横坐标是12111111++22222n n --⎛⎫++=- ⎪⎝⎭,故③错误；111A B =,2212A B =,33212A B =,,112n n n A B -⎛⎫= ⎪⎝⎭,故④正确；综上所述：③错误, 故选：A ．【名师指路】本题考查点的坐标规律,解题的关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点,结合正方形的性质,寻找到点的坐标规律是解题的关键．5．如图所示,在平面直角坐标系中,点1A ,2A ,3A ,…都在x 轴上,点1B ,2B ,3B ,…都在直线y x=上,△11OA B ,△112B A A ,△212B B A ,△223B A A ,△323B B A ,…都是等腰直角三角形,如果11OA =,则点2021B 的坐标是（）A ．()2021202122，B ．()2020202022，C ．()2019201922，D ．()2018201822，【标准答案】B 【思路指引】利用直线y ＝x 上点的坐标特点及等腰直角三角形的性质,可分别求得B 1、B 2、B 3的坐标,由此归纳总结即可求得B 2021的坐标．【详解详析】解：∵11OA B 是等腰直角三角形,11OA =, ∴A 1B 1＝OA 1＝1, ∴点B 1的坐标为（1,1）, ∵112B A A 是等腰直角三角形,∴A 1A 2＝A 1B 1＝1, 又∵212B B A 是等腰直角三角形,∴22OA B 是等腰直角三角形, ∴A 2B 2＝OA 2＝OA 1＋A 1A 2＝2, ∴点B 2的坐标为（2,2）, ∵323B B A 是等腰直角三角形,∴33OA B 是等腰直角三角形, ∴A 3B 3＝OA 3＝OA 2＋A 2A 3＝22, ∴点B 3的坐标为（22,22）,同理可得：A 4B 4＝OA 4＝23,点B 4的坐标为（23,23）, A 5B 5＝OA 5＝24,点B 5的坐标为（24,24）, ……∴B 2021的坐标为（22020,22020）, 故选：B ．【名师指路】本题主要考查一次函数图象上点的坐标,利用等腰直角三角形的性质求得B 1、B 2、B 3的坐标是解题的关键． 6．如图,正方形AOCD 、正方形111A CC D 、正方形2122A C C D 的顶点A 、1A 、2A 和O 、C 、1C 、2C 分别在一次函数1y x =+的图象和x 轴上,若正比例函数y kx =则过点5D ,则k 的值是（）A ．6332B ．3263C ．3116D ．1631【标准答案】B【思路指引】根据正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特征求得点5D 的坐标,代入函数解析求得k 的值．【详解详析】解：当0x =时,1y =,则(0,1)A ,1OC OA ∴==,则(0,1)C ,(1,1)D把1x =代入1y x =+知,2y =,则12A C =,则112CC AC ==．此时1(12,12)D +⨯,即(3,2) 同理,2(124,22)D ++⨯,即(7,4)．3(1248,222)D +++⨯⨯,即(15,8)． 4(124816D ++++,42),即(31,16)． 5(12481632D +++++,52),即(63,32)．把5(63,32)D 代入y kx =, 得3263k =, 故选：B ．【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的规律探究题、及正方形的性质,解题的关键是解答时按形成各点的形成顺序依次求出,从而找出规律．7．在平面直角坐标系中,直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ,如图所示,依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C ,、正方形1n n n n A B C C -,使得点123,,,A A A 在直线l 上,点123,,,C C C 在y 轴正半轴上,则点2021B 的坐标为（）A ．()201920202,21-B ．()202020202,2C ．()202020212,21-D ．()201920202,21+【标准答案】C 【思路指引】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A 1、B 1的坐标,同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标,根据点的坐标的变化可找出变化规律“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”,依此规律即可得出结论．【详解详析】解：当y =0时,有x -1=0, 解得：x =1,∴点A 1的坐标为（1,0）． ∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形, ∴点B 1的坐标为（1,1）．同理,可得出：A 2（2,1）,A 3（4,3）,A 4（8,7）,A 5（16,15）,…, ∴B 2（2,3）,B 3（4,7）,B 4（8,15）,B 5（16,31）,…, ∴B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）, ∴点B 2021的坐标为（22020,22021-1）．故选：C ．【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标,根据点的坐标的变化找出变化规律“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键． 8．如图,直线1:1l y x =+与直线211:22l y x =+相交于点()1,0P -．直线1l 与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发,先沿平行于x 轴的方向运动,到达直线2l 上的点1B 处后,改为垂直于x 轴的方向运动,到达直线1l 上的点1A 处后,再沿平行于x 轴的方向运动,到达直线2l 上的点2B 处后,又改为垂直于x 轴的方向运动,到达直线1l 上的点2A 处后,仍沿平行于x 轴的方向运动,…照此规律运动,动点C 依次经过点1B ,1A ,2B ,2A ,3B ,3A ,…,2014B ,2014A ,…则当动点C 到达2021A 处时,运动的总路径的长为（）A ．22021B ．202122-C ．202021+D ．202222-【标准答案】D 【思路指引】由直线l 1：y =x +1可知,A （0,1）,则B 1纵坐标为1,代入直线l 2：y =12x +12中,得B 1（1,1）,又A 1、B 1横坐标相等,可得A 1（1,2）,则AB 1=1,A 1B 1=2-1=1,可判断△AA 1B 1为等腰直角三角形,利用平行线的性质,得△A 1A 2B 2、△A 2A 3B 3、…、都是等腰直角三角形,根据平行于x 轴的直线上两点纵坐标相等,平行于y 轴的直线上两点横坐标相等,及直线l 1、l 2的解析式,分别求AB 1+A 1B 1,A 1B 2+A 2B 2的长,得出一般规律．【详解详析】解：由直线l 1：y =x +1可知,A （0,1）,根据平行于x 轴的直线上两点纵坐标相等,平行于y 轴的直线上两点横坐标相等,及直线l 1、l 2的解析式可知,B 1（1,1）,AB 1=1, A 1（1,2）,A 1B 1=2-1=1,AB 1+A 1B 1=2,B 2（3,2）,A 2（3,4）,A 1B 2=3-1=2,A 2B 2=4-2=2,A 1B 2+A 2B 2=2+2=4=22, …,由此可得A n -1B n +A n B n =2n ,所以,当动点C 到达A n 处时,运动的总路径的长为2+22+23++2n =2n +1-2,所以,当动点C 到达A 2021处时,运动的总路径的长为22022-2, 故选：D ．【名师指路】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x 轴的直线上点的纵坐标相等,平行于y 轴的直线上点的横坐标相等,得出点的坐标,判断等腰直角三角形,得出一般规律．9．如图,在平面直角坐标系中,四边形11112222333,,OA B C A A B C A A B C ,…都是菱形,点123,,A A A …都在x 轴上,点123,,C C C ,…都在直线3333y x =+上,且11212323160,1C OA C A A C A A OA ∠=∠=∠==︒=,则点n C 的横坐标是（）A ．2321n -⨯-B ．2321n -⨯+C ．1321n -⨯-D ．1321n -⨯+【标准答案】A【思路指引】分别过点123,,,...C C C 作x 轴的垂线,交于123,,,...D D D ,再连接112233,,,...C D C D C D,利用勾股定理及根据菱形的边长求得1A 、2A 、3A ⋯的坐标然后分别表示出1C 、2C 、3C ⋯的坐标找出规律进而求得n C 的坐标．【详解详析】解：分别过点123,,,...C C C 作x 轴的垂线,交于123,,,...D D D ,再连接112233,,,...C D C D C D 如下图：11OA =,11OC ∴=,1121232360C OA C A A C A A ∴∠=∠=∠=⋯=︒,在11Rt OC D 中,111122OD OC ==根据勾股定理得：2221111OD OC C D =-,即222111()2OD =-,解得：13OD =1C ∴3横坐标为12,11(2C ∴3),四边形111OA B C ,1222A A B C ,2333A A B C ,⋯都是菱形, 122A C ∴=,234A C =,348A C =,⋯,2C ∴的纵坐标为：22122122413A C D D AC =--代入3333y x =+,求得横坐标为2,2(2,3)C ∴,3C 的纵坐标为：2223233316423C D A A C D =-=-=,代入3333y x =+,求得横坐标为5, 3(5C ∴,23), 4(11C ∴,43),5(23C ,83), 6(47C ∴,163)；,⋯,2(321n n C -⨯-,223)n -则点n C 的横坐标是：2321n -⨯-, 故选：A ．【名师指路】本题是对点的坐标变化规律的考查,主要利用了菱形的性质,解直角三角形,根据已知点的变化规律求出菱形的边长,得出系列C 点的坐标,找出规律是解题的关键． 10．如图所示,直线3333y x =+与y 轴相交于点D ,点1A 在直线3333y x =+上,点1B 在x 轴上,且11OA B 是等边三角形,记作第一个等边三角形；然后过1B 作121B A OA ∥与直线3333y x =+相交于点2A ,点2B 在x 轴上,再以12B A 为边作等边三角形221A B B ,记作第二个等边三角形；同样过2B 作231B A OA ∥与直线3333y x =+相交于点3A ,点3B 在x 轴上,再以23B A 为边作等边三角形332A B B ,记作第三个等边三角形；…依此类推,则第n 个等边三角形的顶点n A 纵坐标为（）A ．12n -B ．22n -C ．123n -D ．223n -【标准答案】D 【思路指引】可设直线与x 轴相交于C 点．通过求交点C 、D 的坐标可求∠DCO =30°．根据题意得△COA 1、△CB 1A 2、△CB 2A 3…都是等腰三角形,且腰长变化有规律．在正三角形中求高即可得解．【详解详析】解：设直线与x 轴相交于C 点．分别过A 1、A 2、A 3作x 轴的垂线,垂足分别为E 、F 、G令x =0,则y = 3y =0,则x =-1． ∴OC =1,OD =3 ∴2222CD OC OD OC +== ∴∠DCO =30°． ∵△OA 1B 1是正三角形, ∴∠A 1OB 1=60°． ∴∠CA 1O =∠A 1CO =30°, ∴OA 1=OC =1． ∴OE =12OA 1=12． ∴13A E =即A 13同理可得：第二个正三角形的边长=1+1=2,23A F 即A 23 第三个正三角形的边长=1+1+2=4,323A G =即A 3纵坐标为23 ∴第n 个正三角形的边长=12n -,A n 纵坐标为223n - 故选：D ．【名师指路】此题考查一次函数的应用及正三角形的有关计算,综合性强,难度大．二、填空题11．如图在平面直角坐标系中,△P 1OA 1,△P 2A 1A 2,△P 3A 2A 3…都是等腰直角三角形,其直角顶点P 1(3,3),P 2,P 3…均在直线143y x =-+上,则点P 2021的纵坐标是 ___．【标准答案】202032【思路指引】过点123P P P 、、分别作112233PB x P B x P B x ⊥、⊥、⊥,分别求出23P P 、两点的纵坐标,找出规律,即可求解．【详解详析】解：过点123P P P 、、分别作112233PB x P B x P B x ⊥、⊥、⊥,如下图：△P 1OA 1,△P 2A 1A 2,△P 3A 2A 3…都是等腰直角三角形则点123B B B 、、分别为线段11232OA A A A A 、、的中点,由直角三角形的性质可得1111PB A B =,221222P B A B A B ==,332333P B A B A B == 由()133P ，,则1B (30)，,1(6,0)A 设2(0)B a ，,则22126P B A B a ==-,2(,6)P a a - 又因为P 2,P 3…均在直线143y x =-+上所以1643a a -=-+,解得152a =,2153(,)22P同理可以求出3393(,)44P123P P P 、、的纵坐标分别为11332-=,2132-,3132- 可以得到n P 的纵坐标为132n -则点2021P 的纵坐标为202032故答案为202032【名师指路】此题考查了直角坐标系中点坐标规律的探索,涉及了等腰直角三角形的性质,一次函数的性质等,根据已知条件利用相关性质求出23P P 、的坐标,找到规律是解题的关键．12．正方形111A B C O ,2221A B C C ,3332A B C C ,…,按如图所示的方式放置,点1A ,2A ,3A ,…和点1C ,2C ,3C ,…分别在直线1y x =+和x 轴上,已知点()11,1B ,()23,2B ,则n B 的横坐标是_____．【标准答案】12n - 【思路指引】根据()11,1B ,()23,2B ,()37,4B ,()415,8B ,……,即可归纳出n B 的横坐标．【详解详析】解：∵点1A ,2A ,3A ,…和点1C ,2C ,3C ,…分别在直线1y x =+和x 轴上,已知点()11,1B ,()23,2B , ∴1A （0,1）,2A （1,2）,3A （3,4）,……, ∴()37,4B ,4A （7,8）,()415,8B ,∴()121,2n n n B --,故答案是：12n -．【名师指路】本题主要考查一次函数图像和正方形的性质,根据点()11,1B ,()23,2B ,()37,4B ,()415,8B ,找出n B 横坐标的变化规律,是解题的关键．13．如图,在平面直角坐标系中,点123,,,A A A ,都在x 轴正半轴上,点123,,,B B B ,都在直线y kx=上,1130B OA ∠=︒,112223334,,,A B A A B A A B A ∆∆∆,都是等边三角形,且11OA =,则点6B 的横坐标是_______．【标准答案】48 【思路指引】设△1n n n B A A +的边长为n a ,根据直线的解析式得出30n n A OB ∠=︒,再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出30n n OB A ∠=︒,190n n OB A +∠=︒,从而得出13n n n B B a +=,由点1A 的坐标为(1,0),得到11a =,2112a =+=,31214a a a =++=,412318a a a a =+++=,⋯,12n na ,即可解决问题．【详解详析】解：过1B 作1B C x ⊥轴于C ,过2B 作2B D x ⊥轴于D ,过3B 作3B E x ⊥轴于E ,如图所示：设△1n n n B A A +的边长为n a ,则121212AC A C A A ==,232312A D A D A A ==,⋯, 113BC ∴,223B D ,333B E ,⋯, 13(2B ∴3),点1B ,2B ,3B ,⋯是直线y kx =上的第一象限内的点, 3k ∴=30n n A OB ∠=︒,又△1n n n A B A +为等边三角形,160n n n B A A +∴∠=︒,30n n OB A ∴∠=︒,190n n OB A +∠=︒,13n n n n B B OB a +∴==,11OA =,∴点1A 的坐标为(1,0),11a ∴=,2112a =+=,31214a a a =++=,412318a a a a =+++=,⋯, 12n na ,632a ∴=,∴点6B 的横坐标为633324822a =⨯=, 故答案为：48．【名师指路】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、规律型、以及三角形外角的性质等,解题的关键是找出规律13n n n n B B OB a +==．14．如图,在平面直角坐标系中,直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ,如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形1n n n n A B C C -,使得点1A 、2A 、3A 、…在直线l 上,点1C 、2C 、3C 、…在y 轴正半轴上,则点2021B 的坐标是__________．【标准答案】（22020,22021-1）【思路指引】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质,可得出点A 1、B 1的坐标,同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标,根据点的坐标变化可找出变化规律：“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”,依此规律即可得出结论．【详解详析】解：当y =0时,有x -1=0, 解得：x =1,∴点A 1的坐标为（1,0）． ∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形, ∴点B 1的坐标为（1,1）．同理,可得出：A 2（2,1）,A 3（4,3）,A 4（8,7）,A 5（16,15）,…, ∴B 2（2,3）,B 3（4,7）,B 4（8,15）,B 5（16,31）,…, ∴B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）, ∴点B 2021的坐标是（22020,22021-1）．故答案为：（22020,22021-1）．【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标,根据点的坐标的变化找出变化规律“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键．15．正方形111A B C O ,正方形2221A B C C ,正方形3332A B C C ,…按如图所示放置,点1A ,2A ,3A ,…在直线y kx b =+上,1C ,2C ,3C ,…在x 轴上,已知()11,1B ,()23,2B ,则n B 的坐标为______．【标准答案】()121,2n n -- 【思路指引】首先利用待定系数法求得直线A 1A 2的解析式,然后分别求得B 1,B 2,B 3...的坐标,可以得到规律：B n (2n -1,2n -1),据此即可求解. 【详解详析】B 1的坐标为(1,1),点B 2的坐标为(3,2),..正方形111A BC O 边长为1,正方形2221A B C C 边长为2,∴A 1的坐标是(0,1),A 2的坐标是 (1,2),代入y kx b =+得：12b k b =⎧⎨+=⎩,解得：11k b =⎧⎨=⎩, 则直线A 1A 2的解析式是：1y x =+, A 1B 1= 1,点B 2的坐标为(3,2),∴点A 3的坐标为(3,4), ∴A 3C 2= A 3 B 3 = B 3C 3= 4,∴点B 3的坐标为(7,4),∴B 1的纵坐标是：1=20,B 1的横坐标是：1 =21 -1, ∴B 2的纵坐标是：2=21,B 2的横坐标是：3 =22-1, ∴B 3的纵坐标是：4=22,B 3的横坐标是7 =23-1, ∴B n 的纵坐标是：2n -1,横坐标是：2n -1,则B n ：( 2n -1 ,2n -1), 故答案为：( 2n -1 ,2n -1) 【名师指路】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律．此题难度较大,注意正确得到点的坐标的规律是解题的关键.16．如图,在平面直角坐标系中,点1A ,2A ,3A ,⋯和1B ,2B ,3B ,⋯分别在直线15y x b =+和x 轴上,△11OA B ,△122B A B ,△233B A B ,⋯都是等腰直角三角形,如果点1(1,1)A ,那么点2020A 的纵坐标是__．【标准答案】20193()2【思路指引】由题意易得1455y x =+,设22(A x ,2)y ,33(A x ,3)y ,44(A x ,4)y ,⋯,20202020(A x ,2020)y ,则有221455y x =+,331455y x =+,…..,202020201455y x =+,然后根据等腰直角三角形的性质可得2122x y y =+,312322x y y y =++,….,进而将点的坐标依此代入即可求解．【详解详析】解：1(1,1)A 在直线15y x b =+, 45b ∴=, 1455y x ∴=+, 设22(A x ,2)y ,33(A x ,3)y ,44(A x ,4)y ,⋯,20202020(A x ,2020)y , 则有221455y x =+,331455y x =+,⋯202020201455y x =+,又△11OA B ,△122B A B ,△233B A B ,⋯都是等腰直角三角形,2122x y y ∴=+, 312322x y y y =++,⋯2020123201920202222x y y y y y =+++⋯++,将点坐标依次代入直线解析式得到：21112y y =+, 3121131222y y y =++= 2y , 432y = 3y , ⋯202032y =2019y , 又11y =,232y ∴=, 33(2y =2), 43(2y =3),⋯20203(2y =2019),故答案为：3(22019)．【名师指路】本题主要考查一次函数的规律题,解题的关键是找到点的坐标规律．17．平面直角坐标系xOy 中,点A 1,A 2,A 3,……和B 1,B 2,B 3,……分别在直线y ＝13x +23和x 轴上,△OA 1B 1,△B 1A 2B 2,△B 2A 3B 3,……都是等腰直角三角形,如果A 1（1,1）,则点A 2021的纵坐标是 ___．【标准答案】22020 【思路指引】利用待定系数法可得A 1、A 2、A 3的坐标,进而得出各点的坐标的规律．【详解详析】解：∵A 1（1,1）,∵△OA 1B 1为等腰直角三角形 ∴点B 1 (0,2),∵直线OA 1,B 1A 2,B 2A 3互相平行,而已知直线OA 1的解析式为：y x = ∴直线12B A l 的解析式为：2y x =-, ∴设A 2（2+a ,a ）,则a =13（a +2）+23,解得a =2, ∴A 2（4,2）,∵△B 1A 2B 2为等腰直角三角形 ∴点B 2 (0,6),直线23B A l 的解析式为：6y x =- 设A 3（6+b ,b ）,则有b =13（6+b ）+23,解得b =4, ∴A 3（10,4）,由此发现点A n 的纵坐标为2n -1, 即点A 2021的纵坐标是22020,故答案为：22020．【名师指路】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18．如图,已知直线a ：y x =,直线b ：12y x =-和点()1,0P ,过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点1P ,过点1P 作x 轴的平行线交直线b 于点2P ,过点2P 作y 轴的平行线交直线a 于点3P ,过点3P 作x 轴的平行线交直线b 于点4P ,…,按此作法进行下去,则点2021P 的横坐标为________．【标准答案】21010．【思路指引】点P （1,0）,P 1在直线y =x 上,得到P 1（1,1）,求得P 2的纵坐标=P 1的纵坐标=1,得到P 2（-2,1）,即P 2的横坐标为-2=-21,同理,P 3的横坐标为-2=-21,P 4的横坐标为4=22,P 5=22,P 6=-23,P 7=-23,P 8=24…,求得242nn P =,于是得到结论．【详解详析】解：∵点P （1,0）,P 1在直线y =x 上, ∴P 1（1,1）, ∵P 1P 2∥x 轴,∴P 2的纵坐标=P 1的纵坐标=1,∵P 2在直线12y x =-上,∴112x =-∴x =-2,∴P 2（-2,1）,即P 2的横坐标为-2=-21,同理,P 3的横坐标为-2=-21,P 4的横坐标为4=22,P 5=22,P 6=-23,P 7=-23,P 8=24…,∴242nn P =,∴P 2020的横坐标为1202022⨯=21010, ∴P 2021的横坐标为21010, 故答案为：21010．【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,规律型：点的坐标,正确的作出规律是解题的关键．19．如图,在平面直角坐标系中,点()11,1A 在直线y x =图象上,过1A 点作y 轴平行线,交直线y x =-于点1B ,以线段11A B 为边在右侧作正方形1111D C B A ,11C D 所在的直线交y x =的图象于点2A ,交y x =-的图象于点2B ,再以线段22A B 为边在右侧作正方形2222A B C D 依此类推,按照图中反应的规律,第2020个正方形的边长是_______．【标准答案】201923⨯ 【思路指引】通过计算可得第一个正方形的边长为2,第二个正方形的边长为6,……,通过探究规律,利用规律解决问题即可．【详解详析】解：由题意,1(1,1)A ,1(1,1)B -,112A B ,∴第一个正方形的边长为2,112A D ∴=,2(3,3)A ∴,2(3,3)B -,2223=6A B ∴=⨯,∴第二个正方形的边长为6,226A D ∴=,3(9,9)A ∴,3(9,9)B -,即：232(3)3A ，, 223(33)B ，-,233=2318A B ∴⨯=,∴第三个正方形的边长为18,4(27,27)A ∴,4(27,27)B -,即：334(3)3A ，, 334(33)B ，-,434=2354A B ∴⨯=⋯,可得1(3n n A -,13)n -,1(3n n B -,13)n --,1=23n n n A B -⨯ 第2020个正方形的边长为201923⨯．故答案为： 201923⨯．【名师指路】本题考查一次函数图像上的点的特征,规律型问题,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考常考题型． 20．如图,点B 1在直线l ：y ＝12x 上,点B 1的横坐标为2,过点B 1作B 1A 1⊥l ,交x 轴于点A 1,以A 1B 1为边,向右作正方形A 1B 1B 2C 1,延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边,向右作正方形A 2B 2B 3C 2,延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边,向右作正方形A 3B 3B 4C 3,延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；照这个规律进行下去,则第n 个正方形A n B n B n +1C n 的边长为 ___（结果用含正整数n 的代数式表示）．5×（32）n -1 【思路指引】设直线y ＝12x 与x 轴夹角为α,过B 1作B 1H ⊥x 轴于H ,由点B 1的横坐标为2,点B 1在直线l ：y ＝12x 上,可得OH ＝2,B 1H ＝1,OB 12215OH B H +tan α＝1B H OH＝12,Rt △A 1B 1O 中,求得A 1B 1＝OB 1•tan α5,即第15,在Rt △A 2B 2O 中,求得第25×32,在Rt △A 3B 3O 中,求得第3个5×945×（32）2,在Rt △A 4B 4O 中,求得第45×2785×（32）3,......观察规律即可得：第n 个正方形边长是52×（32）n -1．【详解详析】解：设直线y ＝12x 与x 轴夹角为α,过B 1作B 1H ⊥x 轴于H ,如图：∵点B 1的横坐标为2,点B 1在直线l ：y ＝12x 上,令x ＝2得y ＝1, ∴OH ＝2,B 1H ＝1,OB 12215OH B H +∴tan α＝1B H OH＝12, Rt △A 1B 1O 中,A 1B 1＝OB 1•tan α5,即第15, ∴OB 2＝OB 1＋B 1B 2555×3,Rt △A 2B 2O 中,A 2B 2＝OB 2•tan α5×3×125×32,即第25×32,∴OB 3＝OB 2＋B 2B 35×35×325×92,Rt △A 3B 3O 中,A 3B 3＝OB 3•tan α5×92×125×94,即第35×945×（32）2,∴OB 4＝OB 3＋B 3B 45×925×945×274,Rt △A 4B 4O 中,A 4B 4＝OB 4•tan α5×274×125×278,即第45×2785×（32）3,.....．根据规律可知：第n 5×（32）n -1, 5×（32）n -1．【名师指路】本题考查一次函数图象上点的特征,涉及解直角三角形、规律探索等知识,解题的关键是tan α＝12的应用．三、解答题21．在学习了一次函数后,某校数学兴趣小组根据学习的经验,对函数y=-｜x ｜-2的图象和性质进行了探究,下面是该兴趣小组的探究过程,请补充完整:(1)自变量x 的取值范围是全体实数,x 与y 的几组对应值如表: x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y ...-5-4-3n-3-4-5...①n= ；②如图,在所给的平面直角坐标系中,描出以表中各组对应值为坐标的点,根据描出的点画出该函数的图象；(2)当一2＜x≤5时,y 的取值范围是； (3)根据所画的图象,请写出一条关于该函数图象的性质.【标准答案】（1）①-2,②见解析；（2）72y -≤≤-；（3）函数图象关于y 轴对称；顶点坐标为（0,-2）等等. 【思路指引】（1）①把x=0代入函数表达式,即可得出n 的值；②把表格中7个点画在坐标系中,根据点的变化趋势,即可画出此函数的图象；（2）结合图象,当一2＜x≤5时,72y -≤≤-. （3）结合图象,可得当x=-2时,y=0. 【详解详析】解：（1）①把x=0代入y=-x-2,得y=-2 ②如图所示即为函数图象；（2）当一2＜x≤5时,从图像中可看出最高点纵坐标为-2,最低点纵坐标为-7, ∴72y -≤≤-.（3）结合图象,可得函数图象关于y 轴对称；顶点坐标为（0,-2）等等.【名师指路】本题主要考查一次函数的图象与性质,解题的关键是掌握函数自变量的取值范围、函数值的求法、列表描点画函数图象及一次函数的性质．22．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a 2±2ab+b 2＝（a±b ）2,222a ab b a b ±+=±,如何将双526±56±(22236232±=完全平方的形式,因()25263232±±材料二：在直角坐标系xOy 中,对于点P(x,y)和Q(x,y’)给出如下定义：若(0)y (0)y x y x ≥⎧=⎨-<'⎩则称点Q 为点P的“横负纵变点”．例如：点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2),点(﹣2,5)的“横负纵变点”为(﹣2,﹣5)．问题：（1）点(2,3-的“横负纵变点”为 ,点()33,2--的“横负纵变点”为；（27210+；（3）已知a 为常数（1≤a≤2）,点M(-2是关于x 的函数12121y a a a a x=-+---图像上的一点,点M’是点M 的“横负纵变点”,求点M’的坐标．【标准答案】（1）2-3，,()-332，；（2253）(22)【思路指引】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．（2）模仿例题解决问题即可．（3）首先化简双重二次根式,再根据待定系数法,“横负纵变点”解决问题即可．【详解详析】解：（1）根据题目意思,(0)(0)y x y y x ≥⎧=⎨-<'⎩0和0-<,点的“横负纵变点”为,点()2--的“横负纵变点”为()2，,故答案为：,()2；（2）∵257,2510+=⨯=（3）∵1(1)a a +-=,1(1)1a a -=- 112-11-y xx x⎛⎫=-==⎪⎝⎭∵点M(是关于x 的函数1y x=-图像上的一点,∴m =-即：M （,又∵点M’是点M 的“横负纵变点∴M′的坐标为（【名师指路】本题属于一次函数综合题,考查了待定系数法,横负纵变点”的定义,双重二次根式的化简等知识,解题的关键是理解题意,学会模仿解决问题,属于中考常考题型．23．小东同学根据函数的学习经验,对函数y =1x - +3x +进行了探究,下面是他的探究过程：（1）已知x ＝-3时3x += 0；x ＝1 时1x -= 0,化简： ①当x ＜-3时,y ＝； ②当-3≤x ≤1时,y ＝； ③当x ＞1时,y ＝．（2）在平面直角坐标系中画出y ＝|x ﹣1|+|x +3|的图象,根据图象,写出该函数的一条性质：；【标准答案】（1）①﹣2﹣2x；②4；③2x+2；（2）画出图象见解析；函数图象不过原点．【思路指引】（1）根据已知条件及绝对值的化简法则计算即可；（2）画出函数图象,则易得一条函数性质；【详解详析】解：（1）∵x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0∴当x＜﹣3时,y＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2﹣2x；②当﹣3≤x≤1时,y＝1﹣x+x+3＝4；③当x＞1时,y＝x﹣1+x+3＝2x+2；故答案为：﹣2﹣2x；4；2x+2．（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象,如图所示：根据图象,该函数图象不过原点．故答案为：函数图象不过原点；【名师指路】本题考查了一次函数的图象上的点的坐标特点及绝对值的化简计算,数形结合是解题的关键．24．城关中学九（6）班的毕业复习资料复印业务原来由宏图复印社承接,其收费y 1（元）与复印页数x （页）的关系如下表：（1）y 1与x 的函数关系是否满足一次函数关系？（2）现在另一家复印社明晰复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费,则可按每页0.10元收费,请写出明晰复印社每月收费y 2（元）与复印页数x （页）的函数表达式；（3）你若是班级的学习委员,在复印资料时,选择哪家复印社比较优惠,说明理由．【标准答案】（1）y 1与x 的函数关系满足一次函数关系．（2）y 2=0.1x+200．（3）当复印量等于4000时,选择两家均可；当复印量大于4000页时,选择明晰复印社；当复印量小于4000页时,选择宏图复印社．【思路指引】（1）设y 1=kx+b,由题意找出满足两个量的函数关系式,即可得解．（2）由题中三个量的关系即可得出函数表达式．（3）由前两题的函数表达式,找出中间量,由此再得出一元一次不等式,即可得解．【详解详析】解：（1）设y 1=kx+b,把（100,15）和（200,30）分别代入,得：1001520030k b k b +⎧⎨+⎩＝＝, 解得：0.150k b ⎧⎨⎩＝＝．∴函数的表达式可能为y 1=0.15x ；把（400,60）和（1000,150）分别代入,可得等式成立． ∴y 1与x 的函数关系满足一次函数关系．（2）由题意得,y 2=0.1x+200．（3）由0.150.1200y xy x ⎧⎨+⎩＝＝,解得： 4000600x y ⎧⎨⎩＝＝．即当复印4000页是,两家收费均为600元；∴此时选择两家都可以．由0.15x＞0.1x+200,解得：x＞4000；∴当复印量大于4000页时,宏图复印社的收费大于明晰复印社,此时应选择明晰复印社．同理,当复印量小于4000页时,选择宏图复印社．综上所述,当复印量等于4000时,选择两家均可；当复印量大于4000页时,选择明晰复印社．当复印量小于4000页时,选择宏图复印社．【名师指路】本题主要考查一元一次不等式和一次函数的应用,理解题中各个量的关系是解题的关键．25．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如图所示的方式放置点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝ka+b（k＞0）和x轴上,已知点B1(1,1),B2(3,2)．（1）求k、b的值；（2）填写下列各点的坐标：B3( , ),B n( , )．【标准答案】（1）11kb=⎧⎨=⎩；（2）7,4；2n﹣1,2n﹣1【思路指引】（1）根据已知B1（1,1）,B2（3,2）,求出A1（0,1）,A2（1,2）,就可以确定一次函数的解析式；（2）根据图象能够求得B3（7,4）,通过观察图象可以得到B n的横坐标是A n＋1的横坐标,B n的纵坐标是A n 的纵坐标；再通过A n（2n﹣1﹣1,2n﹣1）的规律,确定B n（2n﹣1,2n﹣1）的规律,进而求解本题．【详解详析】解：（1）∵点B1（1,1）,B2（3,2）,∴A1（0,1）,A2（1,2）,将点A1,A2代入直线y＝kx＋b（k＞0）得：12bk b=⎧⎨+=⎩,解得：11kb=⎧⎨=⎩；（2）通过观察图象可知B n的横坐标是A n＋1的横坐标,B n的纵坐标是A n的纵坐标, ∵A3（3,4）,A4（7,8）,∴A n（2n﹣1﹣1,2n﹣1）,∴B n（2n﹣1,2n﹣1）,∴B3（7,4）．故答案为：（1）11kb=⎧⎨=⎩；（2）7,4,2n﹣1,2n﹣1．【名师指路】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律,正确得到点的坐标的规律是解题的关键．26．平面直角坐标系中,设一次函数y＝（2a﹣1）x+3﹣b的图象是直线l1．（1）如果把l1向下平移2个单位后得到直线y＝3x+1,求a,b的值；（2）当直线l1过点(m,6﹣b)和点(m+3,4a﹣7)时,且﹣3＜b＜12,求a的取值范围；（3）点P(﹣2n+3,3n﹣1)在直线l2上运动,直线l2与直线l1无交点,求a、b所需满足的条件．【标准答案】（1）a的值为2,b的值为0；（2）﹣132＜a＜1；（3）1412ab⎧=-⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩【思路指引】（1）根据一次函数平移的规律列方程组求解；（2）将两点坐标代入解析式得出方程组,求出a、b的等量关系式,再根据b的取值范围求出a的取值范围；（3）先设点P（x,y）,然后根据点P坐标找出x、y之间关系式,利用两直线无交点即平行（k相等,b不等）列出算式求解．【详解详析】解：（1）∵y＝（2a﹣1）x+3﹣b向下平移2个单位后得到直线y＝3x+1,∴213 321ab-=⎧⎨--=⎩,∴20 ab=⎧⎨=⎩,即a的值为2,b的值为0；（2）由题意知,代入点(m ,6﹣b )和点(m +3,4a ﹣7),得 ()()()2136213347a m b ba mb a ⎧-+-=-⎪⎨-++-=-⎪⎩, 两式相减得,b ＝2a +10, ∵﹣3＜b ＜12, ∴﹣3＜2a +10＜12, ∴﹣132＜a ＜1；（3）设点P 坐标为（x ,y ）,则2331n x n y -+=⎧⎨-=⎩①② , 由①知,n ＝12（3﹣x ）＝3-22x ,代入②得,3（3-22x）﹣1＝y ,∴y ＝3722x -+,∵直线l 2与直线l 1无交点, ∴3212732a b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩,解得1412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩．【名师指路】本题考查一次函数的图象和性质,以及一次函数平移的规律,掌握基本的性质是解题的关键．27．一个水库的水位在最近5h 内持续上涨．表记录了这5h 内6个时间点的水位高度,其中t 表示时间,y 表示水位高度．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？（2）水位高度y 是否为时间t 的函数？如果是,试写出一个符合表中数据的函数解析式,并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？（3）据估计这种上涨规律还会持续2h ,预测再过2h 水位高度将为多少米．【标准答案】（1）是,在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的；（2）0.3305()y t t =+≤≤,图见解析,可以近似地表示水位的变化规律；（3）5.1m 【思路指引】（1）根据题目要求描出表中数据对应的点,连接画出的点可得这些点是在一条直线上,继而根据一次函数的性质得出规律；（2）根据待定系数法求解析式,根据数形结合的思想画出函数图象,结合一次函数的性质即可求得水位的变化规律；（3）由题意可得再过2h ,即()527h t =+=,代入函数解析式即可求解．【详解详析】解：（1）如图,描出表中数据对应的点可以看出,这6个点在一条直线上．再结合表中数据,可以发现每小时水位上升0.3m ．由此猜想,如果画出这5h 内其他时刻（如 2.5h t =等）及其水位高度所对应的点,它们可能也在这条直线上,即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．（2）由于水位在最近5h 内持续上涨,对于时间t 的每一个确定的值,水位高度y 都有唯一的值与其对应,所以y 是t 的函数．开始时水位高度为3m ,以后每小时水位上升0.3m ．∴函数0.3305()y t t =+≤≤是符合表中数据的一个函数,它表示经过h t 水位上升0.3m t ,即水位y 为()0.33m t +．其图象是图中点()0,3A 和点()5,4.5B 之间的线段AB ．。

一次函数经过象限规律

一次函数经过象限规律在数学中，一次函数是指具有形式为y=ax+b的函数，其中a和b 为常数，且a不等于0。

一次函数的图像通常为一条直线，而这条直线会经过不同的象限，根据函数的系数a的正负与零的关系，可以分析这条直线在各个象限的规律。

当a大于0时，即a>0，那么函数y=ax+b的图像将会从第二象限向第一象限延伸。

这是因为当a大于0时，直线的斜率为正，导致直线向上倾斜。

因此，一次函数图像会在y轴正半轴上方延伸，经过第二象限，最后到达第一象限。

这种情况下，函数的图像会沿着正方向逐渐增大。

当a小于0时，即a<0，函数y=ax+b的图像将会从第四象限向第三象限延伸。

因为当a小于0时，直线的斜率为负，导致直线向下倾斜。

所以，一次函数图像会在y轴负半轴上方延伸，经过第四象限，最后到达第三象限。

在这种情况下，函数的图像会沿着负方向逐渐减小。

当a等于0时，即a=0，函数y=ax+b的图像将会成为一条水平直线。

因为当a等于0时，直线的斜率为零，导致直线与x轴平行。

所以，一次函数的图像会平行于x轴，不会穿越任何象限。

一次函数经过不同象限的规律是根据系数a的正负与零的关系来确定的。

当a大于0时，函数图像会从第二象限向第一象限延伸；当a小于0时，函数图像会从第四象限向第三象限延伸；当a等于0时，函数图像会成为一条水平直线。

这些规律使我们能够更好地理解一次函数在不同象限中的表现形式，从而更深入地研究函数的性质和特点。

在数学学习中，掌握一次函数经过象限规律是非常重要的，因为这可以帮助我们更好地理解函数的图像和性质。

通过观察和分析函数在不同象限中的表现，我们可以更深入地了解函数的变化趋势和规律，为进一步学习和研究提供了重要的基础。

因此，掌握一次函数经过象限规律是数学学习中的一项重要内容，也是提高数学素养的关键之一。

愿每位学习数学的同学都能够深入理解一次函数的象限规律，从而在数学学习中取得更好的成绩和更大的收获。

2019八年级数学下册一次函数题型归纳解析北师大版

2021-2021 年八年级数学下册一次函数题型归纳解析北师大版1.判断 k、b 的符号在不作出函数图象的情况下，依照函数图象经过的象限，可判断出k、 b 的符号，反之亦然.例 2〔 2006 年广东非课改卷〕正比率函数或一次函数(y=kx+b)的图象以以下图，那么k、 b 的符号〔〕A、 k＜ 0， b＞ 0.B、 k＞ 0，b＞ 0.C、 k＜ 0， b＜ 0.D、 k＞ 0， b＜ 0.【解析】看图象自左向右是上升还是下降来决定k 的正负由图象与y 轴的交点在x 轴的上方还是下方来决定 b 的正负．解 k＜0， b＞ 0.随着【评析】注意到图象自左向右上升，函数值x 的增大而减小；直线与y 轴正方向订交，y 随着 x 的增大而增大，图象自左向右下降，函数值k 为正，直线与y 轴的负方向订交，k 为负 . 反之亦然.y 2.判断直线经过的象限例 2〔 2006 年广州〕以以下图象中，表示直线y=x-1的是()y yy y11-1O x O1xO 1x-1O x-1-1(A)(B)(C)(D)解析：直线经过的象限是由k、 b 的符号确定的。

当k＞ 0， b＞0时，直线经过第1， 2，3 象限；当 k ＞ 0， b＜ 0 时，直线经过第1、3、 4 象限等。

反之亦然。

解：在 y=x-1 中， k＝ 1＞ 0， b＝－ 1＜ 0，故直线经过第1、 3、4 象限，应选择 D。

3.确定函数的解析式此类问题主若是观察考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．例 3 〔 2006 年陕西〕某初版社初版一种适合中学生阅读的科普读物，假设该读物首次序一版印刷的印数很多于 5000 册时，投入的本钱与印数间的相应数据以下：印数 x〔册〕500080001000015000⋯⋯本钱 y〔元〕28500360004100053500⋯⋯〔 1〕上表中数据的研究，种物的投入本钱y〔元〕是印数x〔册〕的一次函数，求个一次函数的解析式〔不要求写出x 的取范〕；（2〕若是初版社投入本钱 48000 元，那么能印物多少册？解析〔 1〕所求一次函数的解析式 y＝ kx ＋ b，5000k b28500,8000k b36000.5解得 k＝，b＝16000。

一次函数的垂直线的解析式规律

一次函数的垂直线的解析式规律说起一次函数的垂直线，可能很多同学一听到就觉得头大，怎么也弄不清楚那到底是个啥意思。

嘿，其实它并没有想象中的那么难。

要是你把它想象成一条直线，那就很容易理解了。

就像你走在大街上，眼前不时出现的电线杆，咱们日常生活中看到的那种直来直去的线，不偏不倚，跟地面垂直的那种。

你知道，一旦我们聊起“垂直”这俩字，它的意思就很明确：就是“90度直角”。

这就像是一根竖着的旗杆，旗帜永远不会趴在地上，它永远是直挺挺的。

一次函数的图像呢，就是一条斜着的直线，它可能向上走，可能向下走。

但它可不会垂直。

垂直线就不一样了，它是完全立起来的，像个挺拔的战士，毫不含糊地直指上天。

一次函数的垂直线又是啥呢？很简单，就是跟一次函数的图像互相垂直的线。

如果你想画出来，根本不需要什么复杂的公式。

只要你知道一次函数的斜率，就能推算出垂直线的斜率。

记住，一次函数的斜率，如果你拿它和垂直线的斜率一比，它俩的乘积一定是1。

咋说呢？就是说，如果一次函数的斜率是2，那垂直线的斜率就得是1/2，俩人刚好是反向而行。

像两条背道而驰的高速公路，走的方向完全不同，但却是严格对立的。

有些同学可能会问，为什么是1？其实这个“1”就是数学界的一种约定俗成的法则。

因为垂直的两条线，恰好是互相“正交”的，它们的斜率乘积就是1。

这就像两个人站在十字路口，一个向左走，另一个向右走，方向完全不同，但又都不偏不倚，走得非常直。

虽然你感觉它们的角度不同，但它们的关系非常简单——永远都是互相垂直的。

这就是“直角”的魔力。

不过，很多同学看到这里可能又会皱眉头，觉得这个公式有点抽象。

没关系，我们可以用点简单的例子来理一理。

比如说，想象你站在一根电线杆旁边，那个电线杆代表着一个垂直线。

如果你手里有一根笔直的尺子，那这根尺子就可以代表一次函数的图像，它可能斜着朝某个方向走。

然后呢，假如你从电线杆的顶部开始，用尺子和电线杆夹出一个直角，嘿，这就是我们说的“垂直”。

一次函数图象平移及解析式变化规律

一次函数图象的平移及分析式的变化规律我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“此中一条直线能够由此外一条直线经过平移获得”的结论,这就波及到一次函数图象平移的问题.函数的图象及其分析式 ,是从“形”和“数”两个方面反应函数的性质 ,也是初中数学中数形联合思想的重要表现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行挪动）时 ,与之对应的函数分析式也随之发生改变,而且函数分析式的变化表现出以下的变化规律:一次函数 y kx b k 0 的图象平移后其分析式的变化按照“上加下减，左加右减”的规律:（1）上下平移 , k值不变 , b 值“上加下减”:将一次函数y kx b k 0 的图象向上平移m 个单位长度,分析式变成y kx b m k 0 ; 将一次函数y kx b k 0 的图象向下平移 m 个单位长度,分析式变成 y kx b m k 0 .（ 2）左右平移 , k值不变 , 自变量x“左加右减”:将一次函数y kx b k 0 的图象向左平移 n 个单位长度,分析式变成y k x n b k 0 , 睁开得y kx kn b k 0 ; 将一次函数 y kx b k 0 的图象向右平移 n 个单位长度,解析式变为y k x n b k 0 ,睁开得 y kx kn b k 0 .注意 :（ 1）不论一次函数的图象作何种平移,平移前后 , k 值不变 ,b 值改变 .设上下平移的单位长度为m, 则 b 值变成 b m ;设左右平移的单位长度为n,则b值变成b kn .（ 2）上边的规律以下页图（51）所示 .y = kx + b + m (k ≠0)向上平移m个单位y = k(x + n) + b (k ≠0)y = kx + b (k ≠0)向左平移n个单位长度向下平移m个单位y = k(x n) + b (k ≠0) 向右平移n个单位长度y = kx + b m(k ≠0)图（ 51）一次函数图象的平移及其分析式的变化规律1. 将直线 y 3x 向下平移2个单位,获得直线________________.2. 将直线yx 5 向上平移5个单位,获得直线________________.3. 将直线 y 2 x 3 向下平移 5 个单位 ,获得直线 ________________.4. 将直线 y 3x 2 向左平移 1 个单位 ,获得直线 ________________.5.将直线 y2x 1 向上平移3个单位,获得的直线是________________.6.将一次函数 y 2 x 3的图象沿y轴向上平移8个单位长度,所得直线的函数表达式为【】（ A）y 2x 5 （B）y 2x 5（ C）y 2x 8 （D）y 2x 87. 将直线y 2x 向右平移2个单位所得的直线是【】（ A）y 2x 2 （B）y 2x 2 （ C）y 2 x 2 （ D）y 2 x 28. 将函数y 3x 的图象沿y轴向上平移 2 个单位后 ,所得图象对应的函数表达式为【】（ A）y 3x 2 （B）y 3x 2（ C）y3 x 2 （ D）y3 x 29. 直线y 3x 4 向下平移 4 个单位 ,获得直线 ________________.10. 函数 y 2x 3 的图象能够看作由函数y 2x 7 的图象向_________平移_________个单位获得 .11. 把函数 y 2x 3 的图象向下平移4个单位后的函数图象的表达式为【】（ A）y 2x 7 （ B）y 6x 3（ C）y 2x 1 （D）y 2x 512. 将直线y2 x 4 向上平移5个单位后,所得直线的表达式是_____________.13. 直线 y 3x 2 沿y轴向下平移 5 个单位 ,则平移后直线与y轴的交点坐标为_________.14. 若直线 y kx b 平行于直线 y 3x 4,且过点 1, 2 ,则该直线对应的函数表达式是【】（ A）y 3x 2 （ B）y 3x 6（ C）y 3x 5 （ D）y 3x 515.将直线 y 2x 先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得直线的表达式是 ________________.16.直线 y 2x 1 向上平移3个单位长度后,所得直线与y轴的交点坐标为_________.17. 已知直线y 2 5k x 2k 3 ,若该直线经过原点,则k _________;若该直线与直线 y 3x 5 平行 ,则 k _________.18. 若把直线y 2 x 3向上平移3个单位长度,获得的图象的表达式是【】（ A）y 2x （） y 2x 6B（ C）y 5x 3 （ D）y x 319. 要从直线 y 4 4x 2 4【】x 的图象获得直线 y ,就要将直线 y x3 3 3（ A）向上平移2个单位（B）向下平移2 个单位3 3（ C）向上平移 2 个单位（D）向下平移 2 个单位20. 函数y kx 4 的图象平行于直线 y 2x ,求函数的表达式.21. 已知一次函数y kx 4,当x 2时,y 3.（1）求一次函数的关系式 ;（2）将该函数的图象向上平移 6 个单位 ,求平移后的图象与x轴的交点的坐标 .22. 一次函数y kx b 的图象与y轴交于点 (0, 2) ,且与直线y 3x 1 平行 ,求2它的函数关系式 .23. 在直线 y1 x 3 上分别找出知足以下条件的点,并写出它的坐标:2（1）横坐标是 4 ;（2）和x轴的距离是 2 个单位 .y4321O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x–2–1–1–2–3图（ 52）剖析 : 若不借助于图象, 只经过计算 , 你能确立上边问题的答案吗?。

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一次函数规律题
1．（2009仙桃）如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴相交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，记作第一个正方形；然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1相交于点A 2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，记作第二个正方形；同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1相交于点A 3，再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形；…依此类推，则第n 个正方形的边长为___．
2.（2010•福州）如图直线3y x ，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 的垂线交直线于点1B B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A x 的垂线交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去，点5A 的坐标为（，）。

变：如图，直线
y=
3
3
x ，点A 1坐标为（1，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，以原O 为圆心，OB 1长为半径画弧x 轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点An 的横坐标为（） A 、1)332(
-n B.n )332( C.2n )33( D.21)3
3
(-n
3.（2013•东营）如图，已知直线l ：y=
3
3
x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为________。

第4题
4.（2011四川广安）如图7所示，直线OP经过点P(4, 43)，过x轴上的点l、3、5、7、9、11……分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S1、S2、S3……S n则S n关于n的函数关系式是__________.
解：直线OP的解析式为y=3x,s1、s2、s3分别为3+33=43、53+73=123、
93+113=203，则由4、12、20可知每个比前面一个多8，所求为[4+8(n-1)]3=(8n-4)
3.
5.（2011山东威海）如图8，直线1l x ⊥轴于点(1,0)，直线2l x ⊥轴于点(2,0)，直线3l x ⊥轴于点(3,0)，…直线n l x ⊥轴于点(,0)n .函数y x =的图象与直线1l ，2l ，3l ，…n l 分别交于点1A ，2A ，3A ，…n A ；函数2y x =的图象与直线1l ，2l ，3l ，…n l 分别交于点1B ，
2B ，3B ，…n B .如果11OA B ∆的面积记作1S ,四边形1221A A B B 的面积记作2S ,四边形
2332A A B B 的面积记作3S ,…四边形11n n n n A A B B --的面积记作n S ,那么2011S = .
6.如图，已知A （4，0），点A 1、A 2、…、A n-1将线段OAn 等分，点B 1、B 2、…、B n-1、B 在直线y=0.5x 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥…∥A n-1B n-1∥AB ∥y 轴．记△OA 1B 1、△A 1A 2B 2、…、△A n-2A n-1B n-1、△A n-1AB 的面积分别为S 1、S 2、…S n-1、S n ．当n 越来越大时，猜想S 1+S 2+…+S n 最近的常数是
（）
A.1
B.2
C.4
D.8
7. 如图，点A、B、C在一次函数y=-2x+m的图象上，它们的横坐标依次为-1、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积的和是_________.
解：易知三个三角形全等。

不要惧怕解析式中的字母系数。

由题意可得：A点坐标为（-1，2+m），B点坐标为（1，-2+m），C点坐标为（2，m-4），D点坐标为（0，2+m），E点坐标为（0，m），F点坐标为（0，-2+m），G点坐标为（1，m-4）．所以，DE=EF=BG=2+m-m=m-（-2+m）=-2+m-（m-4）=2，又因为AD=BF=GC=1，所以图中阴影
部分的面积和等于1
2
×2×1×3=3．
练：如图，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x相交，其中a＞0．则图中阴影部分的面积是______．
解：
把x=1分别代入y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x得：AW=a+2，WQ=a+1-a=1，
∴AQ=a+2-（a+1）=1，
同理：BR=RK=2，CH=HP=3，DG=GL=4，EF=FT=5，
2-1=1，3-2=1，4-3=1，5-4=1，
8. 如图所示，直线y=
33x+33与y 轴相交于点D ，点A 1在直线y=33x+3
3上，点B1在X 轴上，且△OA 1B 1是正三角形，记作第一个正三角形；然后过B 1作B 1A 2∥OA 1与直线y=
33x+3
3
相交于点A 2，点B 2在X 轴上，再以B 1A 2为边作正三角形A 2B 2B 1，记作第二个正三角形；同样过B 2作B 2A 3∥B 1A 2与直线y=
33x+3
3
相交于点A 3，点B 3在x 轴上，再以B 2A 3为边作正三角形A 3B 3B 2，记作第三个正三角形；…依此类推，则第n 个正三角形的顶点An 的纵坐标为（） A 、2
1
-n B 、2
2
-n C 、2
1
-n ×3 D 、22
-n ×3
解：过A 点分别作x 轴的垂线。

设A1为（a ，3a ），代入解析式，求得a=1
2。

同理，设A2为（1+b ，3b ），代入解析式，求得b 值。

变（必做）：(2009年本溪)如图已知：点(00)A ，
，3B ，，(01)C ，在ABC △内依次作等
边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个
11AA B △，第2个122B A B △，第3个233B A B △，…，则第n 个等边三角形的边长等于
_______．
解：法二：求出BC 的解析式，同例题解。

9．（2014•莆田）如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为2的等边三角形，
边AO 在y 轴上，点B 1，B 2，B 3，…都在直线3
y x
上，
则点A 2014的坐标是________．
10. （2013•内江）如图，已知直线:3l y x
，过点M （2，0）做x 轴的垂线交直线l 于
点N ，过点N 做直线l 的垂线叫x 轴于点M 1，过点M 1作x 轴的垂线交直线l 于N 1，过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于点M 2，…；按此作法继续下去，则点M 10的坐标为 .
11. 如图，已知直线l ：x y 3
，过点A （1，0）作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，在线段1
1B A 右侧作等边三角形111C B A ，过点1C 作x 轴的垂线交x 轴于2A ，交直线l 于点2B ，在线段
22B A 右侧作等边三角形222C B A ，按此作法继续下去则2B 的坐标为；n B 的坐标为
________（n 为正整数）.
4。