椭圆知识点总结

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椭圆知识点总结 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

椭圆知识点

知识要点小结:知识点一: 椭圆的定义

平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121

F F a PF PF >=+ ,这个

动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若)(2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ; 若)(2121

F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形.

知识点二:椭圆的标准方程

1.当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程:12222=+b

y a x )0(>>b a ,其中2

22b a c -=

2.当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程:12222=+b

x a y )0(>>b a ,其中2

22b a c -=;注

意:1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时, 才能得到椭圆的标准方程;

2.在椭圆的两种标准方程中,都有)0(>>b a 和2

2

2

b a

c -=; 3.椭圆的焦点总在长轴上.

当焦点在x 轴上时,椭圆的焦点坐标为)0,(c ,)0,(c -; 当焦点在y 轴上时,椭圆的焦点坐标为),0(c ,),0(c - 知识点三:椭圆的简单几何性质

椭圆:122

22=+b

y a x )0(>>b a 的简单几何性质

(1)对称性:对于椭圆标准方程122

22=+b

y a x )0(>>b a :说明:把x 换成x -、或把y

换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变,所以椭圆122

22=+b

y a x 是以x 轴、y

轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 (2)范围:

椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足

a x ≤,

b y ≤。

(3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为

)0,(1a A -,)0,(2a A ,),0(1b B -,),0(2b B

③线段21A A ,21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,a A A 221=,b B B 221=。a 和b 分

别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 (4)离心率:

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作a

c

a c e ==

22。 ②因为)0(>>c a ,所以e 的取值范围是)10(<

22c a b -=越小,因此椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近0,从而b 越接近于a ,这

时椭圆就越接近于圆。 当且仅当b a =时,0=c ,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为

a y x =+2

2

。注意: 椭圆122

22=+b

y a x 的图像中线段的几何特征(如下图):(1)

)2(21a PF PF =+;

e PM PF PM PF ==

2

21

1;

)2(2

2

1c

a PM PM =+;

(2))(21

a BF BF ==;)(21c OF OF ==;2221

b a B A B A +==;

(3)c a F A F A -==2211;c a F A F A +==1221;c a PF c a +≤≤-1;

知识点四:椭圆12222=+b y a x 与 122

22=+b

x a y )0(>>b a 的区别和联系

标准方程 图形

性质

焦点

)0,(1c F -,)0,(2c F

),0(1c F -,),0(2c F

焦距

范围 a x ≤,b y ≤

b x ≤,a y ≤

对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点 )0,(a ±,),0(b ±

),0(a ±,)0,(b ±

轴长 长轴长=a 2,短轴长=b 2

离心率 准线方程

焦半径

01ex a PF +=,02ex a PF -= 01ey a PF +=,02ey a PF -=

注意:椭圆12222=+b y a x ,122

22=+b

x a y )0(>>b a 的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系

都有)0(>>b a 和)10(<<=e a

c

e ,222c b a +=;不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。

规律方法:

1.如何确定椭圆的标准方程?

任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件b a ,;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义

椭圆标准方程中,c b a ,,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:

)0(>>b a ,)0(>>c a ,且)(222c b a +=。

可借助右图理解记忆:

显然:c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边,其中a 是斜边,b 、c 为两条直角边。

3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看2x ,2

y 的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。

4.方程均不为零)C B A C By Ax ,,(2

2

=+是表示椭圆的条件

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