12章动能定理习题课与实例

1 1 2 v 2 1 T2 T轮 T链条 ( mR )( ) ( l )v 2 2 2 R 2 1 2 1 mv lv 2 4 2
外力作功（只有重力作功）： 初始时链条质心坐标为（参照P95半圆弧重心公式 xC
xC1 1 l R l R 2R [2 R ( )] 0.09759m l 2 4
OB杆作定轴转动，AB杆作平面运动， P为AB杆的瞬心。
PB BO l vB ABl OBl AB OB
1 1 2 2 J P AB J OOB 2 2
T2 TAB TOB
1 1 2 3 2 1 1 2 2 [ ml ml ( l ) ] ( ml ) 2 12 2 2 3
解：（a）正方形木板作定轴转动 初始时静止， T1 0 设OA边转到水平位置时，板的角速度为ω，则末动能：
1 T2 J O 2 2
J O J C m( a 2 1 2 1 2 ) ma ma 2 ma 2 6 2 3 2
a 重力做功： W12 mg ( 2 ) 2
2
由动能定理 T2 T1 W12 ，得：
v2 3 1 2 A l m g (sin 45 sin ) m2 v A m1 1 2 4 6 sin 2
d 将上式对时间t求导，并注意到 v A 为正时， 1 ，得： dt
习题详解
12—2 如图所示，用跨过滑轮的绳子牵引质量为2kg 的滑块A沿倾角为30的光滑斜槽运动。设绳子拉力F＝ 20 N。计算滑块由位置A到位置B时，重力与拉力F所 作的总功。 分析： 知识点：外力作功 常力的功
W FS cos( F , v)
C
重力的功
W mgh
解：
重力作功：Wg mgh mgAB sin 30
a
应用动力定理，可得： a 2.468 rad / s
a
（b）：板作平面运动因不考虑摩擦ΣFx=0，且初始 时静止，板的质心守恒，因此质心沿铅垂线运动。
初始时静止， T1 0
当OA边着地的瞬间，P为板的速度瞬心， 此时的动能为：
1 2 T2 J Pb 2
a 2 1 2 a 2 5 J P J C m( ) ma m( ) ma 2 2 6 2 12 a a W 外力只有重力做功： 12 mg ( 2 ) 2
T1 0
1 1 1 2 1 2 v 2 1 2 T2 T轮 T链条 ( mR )( ) ( l )v mv lv 2 2 2 R 2 4 2 1 l R l R 2R xC1 [2 R ( )] 0.09759m l 2 4
xC 2 0.5m
（2）
重力势能
两种势能的计算
V mg ( Z C1 Z C 0 )
1 V k ( 12 02 ) 2
弹性势能
用机械能守恒定理的解题步骤与应用动量定理基本相同， 只是计算势能时，注意零势面的选择。通常采用（2）式。
1.6功率与功率方程 w 功率： p dt p F v Fv cos( F , v) p M
以初始位置为零势面，则V1＝0，
V2 lg( xC 2 xC1 )
应用机械能守恒定理，得：
1 2 1 0 mv lv 2 lg( xC 2 xC1 ) v A 2.512m / s 4 2
12-13 周转齿轮传动机构放在水平面内，如图所示。已 知动齿轮半径为r，质量为m1，可看成为均质圆盘；曲 柄OA，质量为m2，可看成为均质秆；定齿轮半径为R。 在曲柄上作用一不变的力偶，其矩为M，使此机构由静 止开始运动。求曲柄转过φ角后的角速度和角加速度。 解：应用动能定理（选系统为研究对象 ）。 初始时静止，故 T1 0 设曲柄转过φ角后角速度为ω，则： T2 T杆＋T轮
应用动能定理，得： b 3.121 rad / s
a
本题亦可用机械能守恒定理来做。
12-16 均质细杆AB长l，质量为ml，上端B靠在光滑的墙上，
下端A铰链与均质圆柱的中心相连。圆柱质量为m2，半 径为R，放在粗糙水平面上，自图(a)所示位置由静止开 始滚动而不滑动，杆与水平线的交角θ＝45°。求点A在 初瞬时的加速度。
(6)建立运动学补充方程：动能定理只有一个标量方程， 若末知量＞1，应建立运动学补充方程。
1.5机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 const （1）
机械能守恒定律
势能：质点系在某一位置的势能等于质点从该位置运
动到零势能位置过程中，有势力作功之和。
d (T V ) 0 dt
Wi dT 功率方程： P dt dt
dT P输入 - P输出 - P损耗 dt
1.7 理想约束
理想约束的概念：
约束力不作功或作功的总和等于零的约束。 常见的理想约束： 光滑固定支承面、铰链支座、辊轴支座； 连接两个刚体的光滑活动铰链(中间铰)； 连接两个质点的无重刚杆； 质量不计且不可伸长的柔软细绳； 刚体在固定面上作纯滚动。
W mgh
1 W k ( 12 22 ) 2
2 W Md 1
转矩的功

动滑动摩擦力的功
W FS ( F const )
1.2动能的计算
质点 质点系
1 2 T mv 2
（动能是物体机械运动的度量）
1 2 T mi v i i 1 2
n
刚体平动时 刚体
1 3 2 2 其中： J P m2 R m2 R m2 R 2 2 2
vA 2 R
1 l 2 1 2 2 J P1 m1l m1( ) m1l 12 2 3
2 3 1 vA 所以： 2 T2 m2 v A m1 2 4 6 sin θ
外力作功： W12 l m1 g (sin 45 sin )
解法一：用动能定理求解 选系统为研究对象。 初始时杆AB与水平线交 角为θ＝45°，动能 T1 0 当θ为任意角时，运动分 析如图（b）所示。杆 AB的速度瞬心为P1，则
vA l sin
1 1 2 系统此时的动能为： T2 T轮 T杆 J P ω2 J P1ω12 2 2
12-8 图所示链条全长l＝1m，单位长的质量为 2kg / m ， 悬挂在半径为R＝0.1m，质量m＝1kg的滑轮上，在图示 位置受扰动由静止开始下落。设链条与滑轮元相对滑动， 沿轮为均质圆盘，求链子离开滑轮时的速度。
解：应用动能定理 系统初始动能T1=0 设链条离开滑轮时的速度为v，则系 统末了时刻的动能为：

1.8解题方法与技巧




动能是标量且永远为正值；功是代数量，有正负，须 正确判断其正负，及哪些力做功及哪些力不做功。 重力之功只与起始和终了位置有关，而与路径无关。 弹性力之功也只与起始和终了位置上弹簧变形有关， 与路径无关。当初变形大于末变形时，弹性力之功为 正，反之为负功。 要熟记常见力之功及刚体平动、转动和平面运动时具 有的动能的计算。这里要明确刚体平面运动时的动能 是随质心平动和绕质心转动动能之和。 要明确质点在势力场中运动的特征是机械能守恒，利 用机械能守恒定理，易得到质点速度与位置的关系。 不要将动能定理和机械能守恒定理混淆。动能定理建 立了机械能和其他形式能量转换的定量关系，而机械 能守恒定理只建立了质点系动能和势能之间的转换关 系，且只适用于保守系统或非保守力不做功的系统。
F力所做的功：WF＝F（OA－OB）
其中：OA＝OC / sin 45
OB＝OC / sin 60

AB OC * Cot 45 OC * Cot 60 (6 2 3 )m
因此：W＝Wg WF 6.29 J
C
12-7 平面机构由两匀质杆AB，BO组成，两杆的质量 均为m．长度均为l，在铅垂平面内运动。在杆AB上作 用一不变的力偶矩M，由图所示位置从静止开始运动， 不计摩擦。求当杆端A即将碰到铰支座O时秆端A的速 度。
(1)选取研究对象。一般情况下取整个系统为研究对象 （因理想约束情况下，约束反力不作功）。 (2)作受力分析，画受力图。 (3)计算力的功：计算系统由初始位置到末位置时所受的 全部主动力（包括作功的约束力）的功的和。 注意：无论外力还是内力，只要做功，都必须计算其功。 (4)作运动分析：要分清研究对象中每个物体的运动，还 要分清已知运动学参量和未知的参量及相互之间是哪种运 动学关系。 (5)计算动能，建立动能定理方程：计算在运动始末两个 位置的瞬时动能，若应用运动定理的微分形式求加速度， 则计算系统在任意瞬时的动能。
机械能守恒
动能的计算： 质点 质点系 平动刚体的动能 定轴转动刚体动能 平面运动刚体的动能
1.1外力作功
外力作功的定义
W W F d r （一般式） M1
M2

M2
M1
(Fx dx F y dy FZ dz )（解析式）
常力的功 重力的功 弹性力的功
W FS cos( F , v)
2r

）
x 末位置时链条质心坐标为： C 2
所以重力功为：W12
lg( xC 2 xC1 ) 2 g ( xC 2 xC1 )
2
l 0 .5 m 2
代入动能定理： T2 T1 W12 解得：
v 2.512m / s
本题亦可用机械能守恒定理求解。
用机械能守恒定律求解：
l W 外力作功为： 12 M 2mg (1 cos ) 2
4 2 2 ml 3
应用动能定理：
4 2 2 l ml 0 M 2mg (1 cos ) 3 2

3 4ml
2