量子力学复习(总)
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学复习习题.doc
一、选择题（每小题3分，共15分〉1.黑体辐射中的紫外灾难表明：CA.黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B.黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。
2.关于波函数屮的含义，正确的是：BA.屮代表微观粒子的几率密度；B.屮归一化后，屮⑴代表微观粒子出现的几率密度；C.屮一定是实数；D.屮一定不连续。
3.对于一维的薛定谭方程，如果屮是该方程的一个解，贝山AA.0 —定也是该方程的一个解；B.『一定不是该方程的解；C.屮与『一定等价；D.无任何结论。
4.与空间平移对称性相对应的是：BA.能量守恒；B.动量守恒；C.角动量守恒；D.宇称守恒。
人人A5.如果算符A、B对易，且A0 =A0,贝归BAA.屮一定不是B的本征态；B.鸭一定是&的本征态；伞AC.屮一定是B的本征态；人D.|屮丨一定是B的本征态。
1、量子力学只适应于C A.宏观物体 C.宏观物体和微观物体 B.微观物体 D.高速物体2、算符F 的表象是指CA.算符F 是厄密算符B.算符F 的本征态构成正交归一的完备集C.算符F 是幺正算符D.算符F 的本征值是实数3、中心力场中体系守恒量有BA.只有能量B.能量和角动量C.只有角动量D.动量和角动量4、Pauli 算符的x 分量的平方的本征值为（B ）A 0B 1C iD 2i5、证明电子具有自旋的实验是AA.史特恩一盖拉赫实验B.电子的双缝实验C.黑体辐射实验D.光电效应实验1、量子力学只适应于CA.宏观物体B.微观物体C.宏观物体和微观物体D.高速物体2、在与时间有关的微扰理论问题中，体系的哈密顿算符由两部分组成，即和n应满足的条件是（B ）B 乩与时间无关,恥与时间 D 乩与时间有关，孙'与时间无B 3/4 D 1/2电子的双缝实验 光电效应实验商⑴=身0 +勁 打 \,其中A 朮与时间无关，怜'与时间无关有关C 乩与时间有关，力与时间有关 关3、自旋量子数S 的值为（D ）A 1/4 C /25、证明电子具有自旋的实验是A A ・史特恩一盖拉赫实验 B. C.黑体辐射实验D.二、简答(每小题5分，共15分〉1.什么叫光电效应？光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸岀金属表面的现象。
量子力学复习题
3.6 算符与力学量的关系（续５）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
F Cn n C d
2 2 n
EX１ 求在能量本征态 n ( x) 量和动能的平均值 Solve
L * n
2 n x sin( ) 下，动 L L
ˆx, p ˆy, p ˆ z 彼此对易，它们有共同的 Ex.1 动量算符 p
本征函数完备系 i pr 3 2 (r ) (2) p e ( r ) 描述的状态中， px , p y , pz 同时有确定值。 在 p
ˆ ,L ˆ2 ] 0 ˆ2 和 L ˆ 对易，即 [ L Ex.2 角动量算符 L z z
( 2a 0 )
2
e
e
i pr cos
r 2 sin drdd
2
(2a0 )
2i
3
2
e
0 1 2
1
r a0
e
i pr cos
r drd cos
2 i pr
p (2a0 )
3
re
0
r a0
[e
i pr
e
]dr
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
思考题 （1）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼 此对易。 （2）若两个厄米算符不对易，是否一定就没有共同 本征态。 （3）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都 同时具有确定值。 ˆ, B ˆ ] =常数，A ˆ 能否有共同本征态。 ˆ 和B （4）若 [ A ˆ 和L ˆ （5）角动量分量 L 能否有共同本征态。 x y
量子力学期末复习
第一章绪论1.量子力学的研究对象和适用范围是什么？量子力学（Quantum Mechanics）是研究微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）运动变化规律的科学。
量子力学规律同时适用于微观世界与宏观世界，即全部物理学都是量子物理学。
2.什么是量子现象？在研究原子、分子、原子核、基本粒子时所观察到的关于微观世界的系列特殊的物理现象。
凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象都可以称为量子现象。
3. 黑体：能够全部吸收各种波长的辐射，完全不发生反射和透射，且能发射各种波长的热辐射能的物体称为绝对黑体（黑体）。
如：空腔上的小孔、烟煤、太阳。
4.普朗克量子假说“能量子”假设：能量是分立的，不是连续的。
物体吸收或发射电磁辐射时，辐射的能量不是连续的，而是分立的，它的取值只能是能量子ε=hν的整数倍。
5.什么是光电效应？它有哪两个突出的特点？写出爱因斯坦的光电效应方程。
金属被光（紫外光）照射时，有电子从金属表面逸出，这种现象称为光电效应。
这种电子称之为光电子。
突出特点：①存在临界频率v0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。
若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。
②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。
光的强度只决定光电子数目的多少。
光电效应方程：其中m e为电子质量，υm为电子的最大初速度，ν为光子的频率，W0为电子挣脱原子束缚所需做的逸出功。
6.爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E =hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。
7.什么是康普顿效应？为什么用X射线来进行实验？X射线投射到石墨上发生散射，在散射的X射线中，不但存在与入射光波长相同的X射线，同时还存在波长大于入射光波长的X射线，且波长增量随散射角增大而增大。
这一波长改变的散射称为康普顿效应。
因为X 射线的能量远大于原子中电子的束缚能，光子的能量只能部分地被电子吸收，能够观察到散射的X 射线。
量子力学复习题答案与题解
量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些p2量子的概念是如何引进的p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。
P12什么是波函数的几率解释p18态的迭加原理。
P22动量算符的定义。
P27写出单粒子薛定谔方程。
P27写出多粒子薛定谔方程。
P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。
P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程p32什么是束缚态p37什么情况下量子系统具有分立能级p37什么是基态p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。
P39写出线性谐振子的能级表达式。
P40写出波函数应满足的三个基本条件。
P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。
P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出p55 写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。
P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。
P60什么是角量子数、磁量子数写出相应的本征值表达式及其数值关系。
P63解：),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y L η+= ),(),(ˆϕθϕθlmlm z Y m Y L η= 其中l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数。
对应于一个l 的值，m 可以取（2l +1）个值，从-l 到+l 。
写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离00.52A a =o( 3分) 113.6eV E =( 3分)可见光的能量不超过, 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。
( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。
P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。
P68 s, p, d, f 态粒子是什么含义p63关于力学量与算符的关系的基本假定。
P83 写出力学量平均值的积分表达式。
P84 两个算符可对易的充要条件是什么p89 写出X 方向坐标与动量的不确定关系。
P92什么是Q 表象p108久期方程带来的好处是什么p113写出两个表象中的力学量和态矢量之间的变换公式。
《量子力学》复习题参考答案
1 《量子力学》练习题一练习题第1套一、基本概念及简要回答1. p - 和 p- 是否相等？为什么？2．判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？ φψ； )()(t t φψ； w v u λ； w Fu ˆ。
3.波函数的导数是否一定要连续？举例说明。
4．为什么既不能把ψ波理解为‘粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子’， 也不把ψ波理解为‘由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的’？5. 设ˆˆA A +=，ˆˆB B +=，ˆˆ0A B ⎡⎤≠⎣⎦，。
试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。
(1)1ˆˆˆˆˆ()2F AB BA i=- ; (2)ˆˆˆG AB = ; (3)ˆˆˆC A iB =+ ; (4)ˆˆˆD A B =-。
二．质量为m 的粒子处于一维谐振子势场()()0,2121>=k kx x V 的基态， 若弹性系数k 突然变成k 2，即势场变成()22kx x V =，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场()x V 2基态的几率；(只列出详细的计算公式即可)三．已知二维谐振子的哈密顿算符为()22220212ˆˆy x p H ++=μωμ，在对其施加微扰xy Wˆλ-=后，利用微扰论求W H H ˆˆˆ0+=第一激发态能量至一级修正。
提示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,2121n m n m n m n n x δδαϕϕ，其中， μωα=，而n ϕ为线谐振子的第n 个本征矢。
四. 已知ˆˆ[,]1αβ=，求证 1ˆˆˆˆˆn n n n αββαβ--= 五． 一个三维运动的粒子处于束缚态，其定态波函数的空间部分是实函数，求此态中的动量平均值。
六． 质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于()kx A x 2sin =ψ的状态 上，求其动量pˆ与动能T ˆ的几率分布及平均值。
量子力学复习题及答案
量子力学复习题及答案填空题1、量子力学体系中，任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ 展开：()()n n nx a x ψψ=∑，则展开式系数()()*n n a x x dx ψψ=⎰。
2、不考虑电子的自旋，氢原子能级的简并度是 n 2___。
3、测量一自由电子的自旋角动量的X 分量，其测量值为2/ ，接着测量其Z 分量，则得到的值为2/ 的概率为 1/2 。
4、坐标表象中，动量的本征函数是__()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=⎪⎝⎭_；动量表象中，坐标的本征函数是_____()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭____。
5、由两个全同粒子组成的体系，一个处在单粒子态1ϕ，另一个处在单粒子态2ϕ。
若粒子是波色子，则体系的波函数是_______)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ+______；若粒子是费米子，则体系的波函数是____)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ-____。
6、波函数满足的三个基本条件是： _单值 _； _有限__；__连续__。
7、设粒子的波函数为),(t r ψ，则相应的概率密度 ρ =_______ ()2,r t ψ ____；概率流密度j =__ ()()()()()**,,,,2i r t r t r t r t m ψψψψ-∇-∇_______。
8、角动量ˆx L 与ˆy L 的海森堡不确定关系为_____()()22224x y z L L L ∆∆≥______。
9、对于两电子体系的总自旋S 及其各分量有2,x S S ⎡⎤⎣⎦= 0 ，,x y S S ⎡⎤⎣⎦= z i S 。
10、全同玻色子的波函数应为 对称化 波函数，全同费米子的波函数应为 反对称化 波函数，全同费米子满足 泡利不相容 原理。
11、在球坐标中，粒子的波函数为),,(ϕθψr ，则在球壳()dr r r +,中找到粒子的 概率是_____⎰⎰]sin |),,(|22ϕθθϕθψd d r dr r ___；在()ϕθ,方向的立体角Ωd 中找。
量子力学复习资料
《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
量子力学期末复习课件省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
能级分布是不均匀旳，能级越高， 能级之间旳间距就越大
22n2
E n 8ma2
41
两组波函数
n
=
Asin n x
2a
0
N为正偶数，|x|<a |x|≥a
n
=
B cos n x
2a
0
N为正奇数，|x|<a |x|≥a
（1） （2）
42
第三步：波函数归一化
43
2
再由波函数旳归一化条件 n (x) dx 1
绪论
黑体辐射、光电效应和康普顿散射 揭示了光旳波粒二象性
三个试验现象经典物理旳理论无法解释
黑体辐射
光电效应 氢原子光谱
从而诞生了量子力学
1
Bohr原子轨道量子化
1、玻尔旳量子论
1923年，Bohr把Planck—Einstein旳概念利用来处理原子 构造和光谱旳问题，提出了原子旳量子论，其中极为主要旳两个 概念（假定）：定态假设与量子跃迁
6
§2.1 波函数旳统计解释
7
§2.1 波函数旳统计解释
波函数是描述微观粒子旳状态
因为微观粒子具有波粒二象性，坐标和动量不能同步拟定， 当粒子处于某一状态时，坐标和动量一般具有许多可能值， 这些可能值各自以一定旳概率出现，这些概率能够由一种 函数得出——波函数 只要系统旳波函数已知，系统旳其他性质也能够懂得：
1
2
y C sin qx C cos qx
1
2
y C sin(qx ) 1
三个方程是等价旳
38
第二步：利用波函数旳原则条件（单值、有限、连续） 定未知数
39
根据波函数旳连续性 ( ) 0 代入到下面旳方程
量子力学知识点总结
量子力学期末复习完美总结一、 填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，2．德布罗意关系为：hE h p k γωλ====； 。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。
这是量子力学的基本原理之一。
波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。
5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。
6．，为单位矩阵，则算符的本征值为：1± 。
7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。
8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。
即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或。
9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。
10.i ；ˆxi L ；0。
11．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则_0__。
12．坐标和动量的测不准关系是： ()()2224x x p ∆∆≥。
自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。
14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
15． 为氢原子的波函数，的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。
16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。
量子力学复习资料
量子力学复习资料一、基本概念1、波粒二象性这是量子力学的核心概念之一。
它表明微观粒子既具有粒子的特性，如位置和动量，又具有波动的特性，如波长和频率。
例如，电子在某些实验中表现出粒子的行为，如碰撞和散射；而在另一些实验中，如双缝干涉实验，又表现出波动的行为。
2、量子态量子态是描述微观粒子状态的方式。
与经典物理学中可以精确确定粒子的位置和动量不同，在量子力学中，粒子的状态通常用波函数来描述。
波函数的平方表示在某个位置找到粒子的概率密度。
3、不确定性原理由海森堡提出，指出对于一个微观粒子，不能同时精确地确定其位置和动量，或者能量和时间。
即：＼（＼Delta x ＼cdot ＼Delta p ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），＼（＼Delta E ＼cdot ＼Delta t ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），其中＼（＼hbar\）是约化普朗克常数。
二、数学工具1、薛定谔方程这是量子力学中的基本方程，类似于经典力学中的牛顿运动方程。
对于一个质量为＼（m\）、势能为＼（V(x)＼）的粒子，其薛定谔方程为：＼（i\hbar\frac{＼partial ＼Psi(x,t)｝｛＼partial t} ＝＼frac{＼hbar^2}｛2m}＼frac{＼partial^2 ＼Psi(x,t)｝｛＼partial x^2} ＋ V(x)＼Psi(x,t)＼）。
2、算符在量子力学中，物理量通常用算符来表示。
例如，位置算符＼（＼hat{x}＼）、动量算符＼（＼hat{p}＼）等。
算符作用在波函数上，得到相应物理量的可能取值。
三、常见量子力学系统1、一维无限深势阱粒子被限制在一个宽度为＼（a\）的区域内，势能在区域内为零，在区域外为无穷大。
其能量本征值为＼（E_n ＝＼frac{n^2\pi^2\hbar^2}｛2ma^2}＼），对应的本征函数为＼（＼Psi_n(x) ＝＼sqrt{＼frac{2}｛a}｝＼sin(＼frac{n\pi x}｛a}）＼）。
2022-2023年高中物理竞赛 量子力学总复习课件(重点难点易错点核心热点经典考点)
五 不确定原理
xpx h
ypy h
zpz h
Et h
微观粒子同一方向上的坐标 与动量不可同时准确测量
四 德布罗意波（物质波）
实物粒子具有波粒二象性
德布罗意公式
h h
p mv
E mc2
hh
德布罗意波是概率波。
强度是与粒子在该处邻近出现的概 率成正比的。
d 2
dx2
8π2m h2
(
E
Ep ) (x)
0
自由粒子平面波函数
i 2 ( Et px)
(x,t) 0e h
一维无限深势阱问题： 1.波函数的统计意义
波动方程，波函数， 概率密度，能量。
概率密度 Ψ 2 *
2.归一化条件
Ψ
2
dV
1
E h
p h
波粒二象性
h 1 mv2 W
2 逸出功 W h 0
三 康普顿效应
二 光子 爱因斯坦方程
x射线通过物质时散射线中
除了有与入射波长0相同的射线 外，还有>0的射线。
康普顿公式
h m0c
(1
cos
)
C
(1
cos
)
h
c
0
e0
e0
y
h
ceLeabharlann exmvE h
p h
波粒二象性
h 1 mv2 W
2 逸出功 W h 0
三 康普顿效应
四 德布罗意波（物质波）
x射线通过物质时散射线中
除了有与入射波长0相同的射线 外，还有>0的射线。
康普顿公式
h m0c
量子力学总复习
1 2
)
i 1,2,3
EN
(n1 n2
n3
3 2
)
(
NLeabharlann 3 2)其 中 N n1 n2 n3
则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程：
Hˆ Hˆ
x y
n1 n2
( (
x y
) )
E n1 n1 ( x) E n2 n2 ( y)
Hˆ
z
n3
(z)
En3 n3
(z)
（3）简并度
2( x
x0 )2
V0
其中：x0
q 2
q2 2 V0 2 2
（3）Hamilton量
• 进行坐标变换：
则 Hamilton 量变为：
x x x0
pˆ i d i d pˆ
dx
dx
Hˆ
pˆ 2
2
1 2
2(x
x0 )2
V0
pˆ 2
2
1 2
2 x2
V0
（4）Schrodinger方程
( N 1) N ( N 1) 1 1 ( N 1)( N 2) 2
例2. 荷电 q 的谐振子，受到沿 x 向外电场
的作用，其势场为： V ( x) 1 2 x 2 qx
2
求能量本征值和本征函数。
解：Schrodinger方程：
d2 dx2
( x)
2
2
[E
V
( x)]
( x)
n1
n2
→
0
0,
1,
...,
N
→
1
0,
1,
...,
N-1
→
2
量子力学 期末考试复习题
量子力学考研模拟题(1) 一、（30分）回答下列问题： （1）何谓微观粒子的波粒两象性？（2）波函数(,)r t ψ 是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？2(,)r t ψ的物理意义是什么？（3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ （4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？（5）坐标x 分量算符与动量x 分量算符ˆx p是对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。
（6）厄米算符ˆF 的本值nf 与本征矢|n >分别具有什么性质？ 二（20分）设氢原子处于211031102111111(,,)()(,)()(,)()(,)222r R r Y R r Y R r Y ψθϕθϕθϕθϕ-=--的状态上，求能其量、角动量平方及角动量Z 分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。
三、（25分）设厄米算符ˆH的本征矢为n,{}n 构成正交归一完备函数系，定义一个算符n m n m U=),(ˆ（1）计算对易ˆˆ,(,)H U m n ⎡⎤⎣⎦（2）证明ˆˆˆ(,)(,)(,)nqU m n U p q U m p δ+= （3）计算阵迹ˆˆr kT F k Fk =<>∑ （4）若算符ˆA 的矩阵元为ˆ,mnA m An =<>证明 ,ˆˆ(,)mn m nA A Um n =∑{}),(ˆˆq p U AT A r pq +=四、（25分）自旋为2，固有磁矩为=u s γ（其中γ为实常数）的粒子，处于均匀外磁场0ˆˆ=BB k 中，设t=0时粒子处于2x s =的状态。
（1）求出t>0时的波函数；（2）求出t>0时ˆx s与ˆz s 的可测值及相应的取值概率。
五、（25分）已知二维谐振子的哈密顿算符为)(212ˆˆ22220y x M Mp H ++=ω，对其施加微扰xy Wλ-=ˆ后，利用微扰论求W H H ˆˆˆ0+=基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。
量子力学复习及答案(88题)
ψ ( r , = / 2)
K
2
K
2
及
∫
K d 3 r ψ ( r , − = / 2)
物
2
解： ψ (r , = / 2 )
表示电子自旋向上（ s z = = 2 ） 、位置在 r 处的几率密度；
2
18. 二电子体系中，总自旋 S = s1 + s 2 ，写出（ S , S z ）的归一化本征态（即自旋单态与三重态） 。 解： （ S , S z ）的归一化本征态记为 χ SM S ，则
(1) ⎢ x ,
⎡ ⎣
d ⎤ ⎥=? d x⎦
（2） 2 x 。
（2 ） ⎢
⎡ d ⎤ , x2 ⎥ =? ⎣ dx ⎦
解：(1)-1
2. 一维运动中，哈密顿量 H =
p2 + V ( x) ，求 [x , H ] = ? 2m
解：
=2 d [x , H ] = ， m dx
[ z = − = 2 ）的几率。
a 的对易关系式； a 的关系； 20. 给出一维谐振子升、 降算符 a 、 粒子数算符 N 与 a 、 哈密顿量 H 用 N
3
理 学
2
分别表示什么样的物理意义。
K
院
+
⎛1⎞ ⎛0⎞ = = ⎟ , α = χ1 2 (s z ) = ⎜ ； s z = − , β = χ −1 2 ( s z ) = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎟。 2 2 ⎝ 0⎠ ⎝ ⎠
学
⎧V , V ( x) = ⎨ 1 ⎩V2 ,
x<a x>a
物
，
4
解：高能粒子散射宜采用玻恩近似方法处理；低能粒子散射宜采用分波法处理。
量子力学复习资料
量⼦⼒学复习资料第⼀章知识点：1. ⿊体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对⿊体，简称⿊体.2. 处于某⼀温度 T 下的腔壁，单位⾯积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
3. 实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与⿊体的绝对温度 T 有关⽽与⿊体的形状和材料⽆关。
4. 光电效应---光照射到⾦属上，有电⼦从⾦属上逸出的现5. 光电效应特点：1.临界频率ν0 只有当光的频率⼤于某⼀定值ν0时，才有光电⼦发射出来.若光频率⼩于该值时，则不论光强度多⼤，照射时间多长，都没有电⼦产⽣.光的这⼀频率ν0称为临界频率。
2.光电⼦的能量只是与照射光的频率有关，与光强⽆关，光强只决定电⼦数⽬的多少（爱因斯坦对光电效应的解释）3. 当⼊射光的频率⼤于ν0时，不管光有多么的微弱，只要光⼀照上，⽴即观察到光电⼦（10-9s ）6. 光的波粒⼆象性：普朗克假定a.原⼦的性能和谐振⼦⼀样，以给定的频率ν振荡;b.⿊体只能以 E = h ν为能量单位不连续的发射和吸收能量，⽽不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收能量.7. 总结光⼦能量、动量关系式如下：把光⼦的波动性和粒⼦性联系了起来8.波长增量 Δλ=λ′–λ随散射⾓增⼤⽽增⼤.这⼀现象称为康普顿效应.散射波的波长λ′总是⽐⼊射波波长长（λ′ >λ）且随散射⾓θ增⼤⽽增⼤。
9.波尔假定：1.原⼦具有能量不连续的定态的概念. 2.量⼦跃迁的概念. 10.德布罗意：假定：与⼀定能量 E 和动量 p 的实物粒⼦相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E = h ν ? ν= E/h ? P = h/λ ? λ= h/p ? 该关系称为de. Broglie 关系.德布罗意波：ψde Broglie 关系：ν= E/h ?ω = 2πν= 2πE/h = E/ λ= h/p ?k = 1/ = 2π /λ = p/n k h k n n h n C h n C E p h E ==========πλπλνων22其中波长。
量子力学主要知识点复习资料
大学量子力学主要知识点复习1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。
这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: 2.波粒二象性波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。
波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。
在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。
前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。
1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。
1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。
根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。
德布罗意公式3.波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具εεεεεn ,,4,3,2,⋅⋅⋅νh =εh νmc E ==2λh m p ==v有的波粒二象性。
波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。
所以，应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。
从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。
表示点(x,y,z )处的体积元中找到粒子的概率。
这就是波函数的统计诠释。
自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1 必然有以下归一化条件 5. 力学量的平均值既然 表示 粒子出现在点 0),()](2[),(22=-∇+∂∂t r r V mt r t i ψψ)](exp[Et r p i A k -⋅=ψ=ψ2|(,,)|x y z ψ2|(,,)|x y z x y z ψ∆∆∆x y zτ∆=∆∆∆2|(,,)|1x y z dxdydz ψ∞=⎰(,,)x y z ψ(,,)c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ22|()||(,,)|r x y z ψψ=),,(z y x r =23*3|()|()(),x r xd r r x r d r ψψψ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如x 的平均值x __，由概率论，有 又如，势能V是 的函数：，其平均值由概率论，可表示为 再如，动量 的平均值为： 为什么不能写成因为x 完全确定时p 完全不确定，x 点处的动量没有意义。
【课后习题】量子力学期末复习专题(仅供参考)
量子力学期末复习专题（仅供参考）第一章 量子理论基础1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么epE μ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmmm E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
第二章 波函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m 2i )(m 2i J e)r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i**Et iEt i**Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见tJ 与 无关。
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：222122)(x xex ααπαψ-⋅=222223222112 24)()(xxex ex x x ααπαπααψω--⋅=⋅⋅==22]22[2 )(3231xex x dxx d ααπαω--=令0 )(1=dxx d ω，得 ±∞=±==x x x 10α由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。
量子力学复习
5、 康普顿效应本质：
ms s 1 2 )
1 2
.决定电子自旋角动量 在外磁场方向的分量：
S
Sz ms .
12、 重要公式:
1 ) 光电效应方程： h E k A 2 ) 康普顿散射： 0 反冲电子动能： h m0 c E k (m m0 ) c
2
1 2
D
I
I
I
o
(C )
U
o
U
( A)
o
2
2
(B )
U
I
光 强 同 ： n1 h 1 n 2 h
2 1 n 2 n1 I s I s .
1
o
1
另外
2
1 Ek
2
Ek Ua
1
2
Ua .
(D)
U
5. 以一定频率的单色光照射到某金属,测出其光电流的曲线如图 中实线所示, 然后保持频率不变，增大光强, 测出其光电流的曲线 如图中的虚线所示. 则满足题意的图是 [ ]
(2) 若入射光的频率都大于一给定金属的红限, 则该金属分别受到 不同频率的光照射时,释出的光电子的最大初动能也不同. (3) 若入射光的频率都大于一给定金属的红限, 则该金属分别受到 不同频率,但强度相等的光照射时, 单位时间释出的光电子数一定 相等.
(4) 若入射光的频率都大于一给定金属的红限, 则当入射光的频率 不变,而强度增大一倍时,该金属的饱和光电流也增大一倍.
量子力学主要学习知识重点复习资料
大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。
这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,⋅⋅⋅ 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: νh =ε2.波粒二象性波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。
波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。
在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。
前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。
1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。
1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。
根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。
德布罗意公式h νmc E ==2λhm p ==v3.波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。
波函数满足薛定格波动方程0),()](2[),(22=-∇+∂∂t r r V mt r t i ρρηρηψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。
所以，应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。
从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -⋅=ψ=ψρρη波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
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h ( 3). 量 子 化 条 件 假 设L ： mvr n n . 2
6、 物质波:
微观粒子都具有波粒二 象性。 E h . P h
.
7、 不确定关系:
微观粒子的位置和动量 不能同时准确测定。
8、 波函数:
1. 微观粒子的运动状态用 波函数 ( r , t ) 表示。 2. 波函数的物理意义— 波函数 本身没有 2 直观的物理意义，而 ( r , t ) 表示 t 时刻，在 r 附近粒子出现的概率密 度。 3. 波函数必须满足标准条 件： 单值，有限，连续 . 和归一化条件： dV 1 .
I
D
U
I
I
o
o
( A)
o
(C)
U
(B)
U
I
光强同： n1h 1 n2 h 2
2 1 n2 n1 I s2 I s1 .
另 外 2 1 Ek 2 Ek1 U a 2 U a1 .
o
( D)
U
5. 以一定频率的单色光照射到某金属,测出其光电流的曲线如图 中实线所示, 然后保持频率不变，增大光强, 测出其光电流的曲线 如图中的虚线所示. 则满足题意的图是 [ ]
莱曼系： n 1. 最 长 波 长 ,即 最 小 频 率 ( n 2) 跃 迁 ( n 1). E1 3 En 2 E2 . E E2 E1 E1 10. 2eV . 4 4 n E1
[ D ]. 9. 不 确 定 关 系 式x p . 表 示 在 x 方 向 上 ， ( A)粒 子 位 置 不 能 确 定 。 ( B )粒 子 动 量 不 能 确 定 。 (C )粒 子 位 置 和 动 量 都 不确 能定 。 ( D)粒 子 位 置 和 动 量 不 能时 同确 定 。
12、 重要公式:
1) 光电效应方程： 1 2 m vm h 0 eU a eU 0 . 2 2) 康普顿散射： h 0 (1 cos ). m0 c h E k A 反冲电子动能： Ek ( m m0 ) c 2 h ( 0 ). 3) 氢原子巴耳末公式： ~ 1 R ( 1 1 ). ( n k ) k 2 n2 E1 1 1 1 ~ ( 2 2 ). ( n k ) hc k n
(2) 若入射光的频率都大于一给定金属的红限, 则该金属分别受到 不同频率的光照射时,释出的光电子的最大初动能也不同. (3) 若入射光的频率都大于一给定金属的红限, 则该金属分别受到 不同频率,但强度相等的光照射时, 单位时间释出的光电子数一定 相等.
(4) 若入射光的频率都大于一给定金属的红限, 则当入射光的频率 不变,而强度增大一倍时,该金属的饱和光电流也增大一倍.
4)
rn n r1
2
( r1 0. 53 A 称为玻尔半径）
E1 En 2 ( E1 13. 6 eV为氢原子基态能） n 5 ）不确定关系： x p h E t h 6) 波粒二象性： E h P h
13、 重要数据:
e 1. 6 1019 (C ) h 6. 63 1034 ( J s ) me 9.1 1031 ( kg ) c 3 108 ( m / s )
当 n 一定时，不同的量子态数目为
2n 2
。
15. 图示被激发的氢原子跃迁到低能级时（图中E1不是基 态），可发出波长为 λ1、 λ2 、λ3的辐射，其频率 ν1 、 ν2 、ν3的关系式是 3 2 1 ； 三个波长的关系等式是
1
2
3
1
2
1
1
。 由题意可设 E1 为k 态。则
光 强 n h .
现 在 I1 I 2 , 说 明 n1 n2 . 但 不 知光 强1 与 光 强2 关 系 ， 故 1与 2关 系 未 定 。
4. 以一定频率的单色光照射到某金属,测出其光电流的曲线如图 中实线所示,然后在光强度不变的条件下,增大光的频率,测出其光 电流的曲线如图中的虚线所示.则满足题意的图是 [ ]
4、 康普顿效应本质：
较高能量的入射光子与 物质中的自由电子 发生完全弹性碰撞，使 散射出的光子波长 有原入射部分，也有变 长的部分（能量传 给电子一部分，使频率 减小，波长变长。）
5、 玻尔氢原子理论三条基本假设：
(1). 定 态 假 设 . ( 2). 跃 迁 假 设 ： nk 1 En Ek . h
A) λ≤ hc / (eU0) .
C) λ≤ eU0 /( hc ).
B) λ≥ hc / (eU0) .
D) λ≥ eU0 /( hc ).
A
h Ek h 0 Ek eU 0
c
c
0
c hc . eU 0 / h eU 0
2. 关于光电效应有下列说法：
(1) 任何波长的可见光照射到任何金属表面都能产生光电效应.
10. 康普顿散射中， 当出射光子与入射光子方向成夹角 时，光子的频率减小得最多；当θ= θ= 0时， 光子的频率保持不变。
(1)
c
. 0
c
c
0
c
0
.
h 最 多 即 最 大.而 (1 cos ). me 0 c 故 cos最 小: cos 1, . ( 2) 0 即 0, cos 1,
量子物理基础
一、重要基本概念：
1. 普朗克量子假说——
构成黑体的分子和原子 可看作带电的谐振子。 这些谐振子与周围电磁 场交换能量，辐射电磁 波。 谐振子的能量是量子化 的：
n 0 .
n 1, 2, 3, ...为正整数，称为能量量 子数;
0 h 是频率为 的谐振子最小能量值。
L5 5 5 第 一激 发 态 ： n 2 . 动 量矩L n . . L2 2 2
7. 若α粒子（电量为 2 e ）在磁感应强度为 B 的均匀磁场中沿半 径为 R 的圆形轨道运动，则 α 粒子的德布罗意波长为 [ ]。 A. C. h/(2eRB). 1/(2eRBh).
1 / 1 R(1 / k 2 1 /(k 1)2 )； 1 / 3 R(1 / k 2 1 /(k 2)2 ). 解之可得结果。
1
3
1 / 2 R(1 /(k 1)2 1 /(k 2)2 )；
16. 已知氢原子光谱的某一线系的极限波长为 3647 埃， 其中有一谱线波长为 6565 埃，求与该波长相应的始态和 终态能级的能量（ R= 1. 097 ×107 m -1 ).
解 ： 思 路— — 不 知 哪 一 线 系 （ 即 知 不 k ?） 故需由已知条件求出 k. 极 限 波 长 为 ( n ). 1 R R( 2 ) 2 . k R 2 (巴 耳 末 系 ） 。 k k 1 1 1 R( 2 2 ). n 3. 2 n E1 E n 2 始 态 E 3 1. 51eV ; 终 态 E 2 3. 4eV . n 1 1
B
I
I
( A)
I
(B)
o
U
o
U
o
(C)
U
不变，光强大，则 n 大 I s大 。
另 外 不 变 E k 不 变 ， U a 不 变.
I
o
( D)
U
6. 根据玻尔理论，氢原子在 n = 5 轨道上的动量矩与在第一激 发态的轨道动量矩之比为： [ ]
A
A. 5 / 2 .B. 5 / 3 .C. 5 / 4 . D. 5 .
h 6. 63 1034 J s 称为普朗克常量。
2、 爱因斯坦光子理论：
光具有粒子性， 一 束 光 是 一 束 以 光 速动 运的 粒 子 流 ， 这种粒子称为光子。 频 率 为 的 光 子 的 能 量 为 h .
3、光电效应本质：
束缚于阴极金属板物质 原子中的一个电子， 与入射光子相互作用（ 完全非弹性碰撞）， 完全吸收一个入射光子 的能量，克服金属 表面势垒，逸出表面， 成为光电子。
3. 用频率为 ν1 的单色光照射某金属时, 测得饱和电流为 I1 . 用 频率为 ν2 的单色光照射某金属时, 测得饱和电流为 I2 . 若 I1 > I2 ,则 [ ]
D
A. ν1 > ν2 . C. ν1 = ν2 .
B. ν1 < ν2 . D. ν1 , ν2的关系还不能 确定.
因 饱 和 光 电 流I s n.
其中正确的是 [ A. (1), (2), (3).
D
]. C. (2), (3), (4).
解释： h 1 Ek 1 h 0 2 ） 1 2 , Ek 1 Ek 2 . h 2 Ek 2 h 0 3) 光强 n h . 光强同：n1 h 1 n2 h 2 1 2 n1 n2 . 4)饱和光电流 I s n. 光强 n h . 现在 不变，光强增一倍： n h 2n h . 所以光电子数增一倍， 光电流也增一倍。
2 2
0 8. 85 10
12
(C / Nm )
1 A 1010 ( m )
1eV 1. 6 1019 ( J )
1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应。若此金属 的逸出电势差为 U0 （使电子从金属逸出需作功 e U0 ), 则此单 色光的波长 λ 必须满足：
2
13. 6
E1 n2
n5.
13. 描述微观粒子运动的波函数为 ( r , t )，则ΨΨ*表 度 示 粒 子 在 t 时 刻 在r 处 附 近 出 现 的 概 率 密 。 ，