配套K12北京师范大学附属中学2017_2018学年高二数学上学期期中试题理
2018北京师大附中高二(上)期中数学含答案
2018北京师大附中高二（上）期中数学一、选择题，本大题共10小题，共40分，从列出的四个选项中，选出符合要求的一项。
1.在数列中，，且，则等于A. 8B. 6C. 9D. 72.在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.3.在等比数列中，，且，则这个数列的公比为A. 3B.C. 9D.4.在正方体中，向量和的夹角是A. B. 60° C. 45° D. 135°5.某种农产品前n年的总产量与n之间的关系满足：，若前m年的年平均产量最小，则m值为A. 5B. 4C. 3D. 26.若数列是公比为q的递增等比数列，则A. B.C. D.7.在棱长为1的正四面体ABCD中，E, F分别是 BC, AD的中点，则（）A. 0B.C.D.8.已知平面ABC，点O是空间任意一点，点M满足条件，则A. 直线AM与平面ABC平行B. 直线AM是平面ABC的斜线C. 直线AM是平面ABC的垂线D. 直线AM在平面ABC内9.已知两个不共线的向量，与平面共面，向量v是直线l的一个方向向量，则“存在两个实数x,y，使”是“l//”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.如图，棱长为2的正方体中，M是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于CM，则的面积的最小值为A. B.C. D. 1二、填空题，本大题共6小题，共30分。
11.与共线且满足的向量b=__________。
12.已知数列满足：，，，则数列的前2n项和_______________。
13.如图，在正四面体V－ABC中，直线VA与BC所成角的大小为______________；二面角V－BC－A的余弦值为____________。
14.设数列满足“，”，则的通项公式可以为_________。
15.已知等比数列的前n项和为，则常数C=________16.有一条珍珠项链，上面共有33颗珍珠，最下面中央的那颗珍珠最大，也最有价值，由这颗珍珠往右，越往上的珍珠越小，且价值依次递减100元；同样的，由这颗珍珠往左，越往上方的珍珠也越小，且价值依次递减150元，假设整条珍珠项链的总价值是65000元，则最大的那颗珍珠的价值是_________元。
北京2017-2018学年上学期高二期中试卷数学(理科)试题
绝密★启用前 【全国校级联考】北京2017-2018学年第一学期高二数学期中考试（理）word 含解析 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A ． 平行 B ． 相交 C ． 异面 D ． 以上都有可能 2．已知直线 的倾斜角为 ，则 为（ ）． A ． B ． C ． D ． 不存在 3．圆 的圆心横坐标为 ，则 等于（ ）． A ． B ． C ． D ． 4．在空间四边形 的边 ， ， ， 上分别取 ， ， ， 四点，如果 ， ，交于一点 ，则（ ） A ． 一定在直线 上 B ． 一定在直线 上 C ． 一定在直线 或 上 D ． 既不在直线 上，也不在直线 上 5．已知直线 不经过第一象限，且 ， ， 均不为零，则有（ ）．A ．B ．C ．D ． 6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）．○…………外…………○…………订…………………线…………○……※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………订…………………线…………○…… A ． B ． C ． D ．7．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一点侧棱和高做截面，正确的截面图形是（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知 ， 是不同的直线， ， 是不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）．A ． 若 ， ，则B ． 若 ， ，则C ． 若 ， ，则D ． 若 ， ，则9．过点 且被圆 截得弦长最长的直线 的方程为（ ）．A ．B ．C ．D ．10．如图，在正方体 中， 为对角线 的三等分点， 到各顶点的距离的不同取值有（ ）．A．个B．个C．个D．个…○…………订……※装※※订※※线※※内※※答※…○…………订……第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则a的值为_______12．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是__________．13．圆的圆心到直线的距离为，则__________．14．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件__________时．有．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）15．已知从球的以内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为，，，则此球的表面积为__________．16．直线与曲线的位置是__________．三、解答题17．已知三个顶点是，，．（）求边高线所在直线方程．（）求外接圆方程．18．如图，在正四棱柱中，是的中点，若，．（）求证：平面．（）求证：平面平面．（）求三棱锥的体积．…装…………○………○…………线…………○……__姓名：___________班级：________ …装…………○………○…………线…………○…… 19．如图，等腰梯形 中， ， ， ， ， 为 的中点，矩形 所在的平面和平面 互相垂直． （ ）求证： 平面 ． （ ）设 的中点为 ，求证： 平面 ． （ ）求三棱锥 的体积．（只写出结果，不要求计算过程）参考答案1．D【解析】分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D2．A【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的关系解题即可.【详解】∵直线的斜率为，∴直线的倾斜角为．故选．【点睛】本题考查斜率与倾斜角的关系，属基础题.3．D【解析】【分析】根据题意可求出圆心坐标，由圆心横坐标为，可求值.【详解】圆的圆心坐标为，∴，解得．故选．【点睛】本题考查利用圆的方程求圆心坐标，属基础题.4．B【解析】【分析】由题意，，相交于点，则点，且，而平面，平面，又面面由此可得结论.【详解】由题意，，相交于点，则点，且，又平面，平面，则平面，且平面，则点必在平面与平面的交线上，即点一定在直线上．故选．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．C【解析】【分析】由直线不经过第一象限，且，，均不为零，∴，，即可得出．【详解】∵直线不经过第一象限，且，，均不为零，∴，，即，．故选．【点睛】本题考查了直线的斜率与截距的意义，属于基础题．6．A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为，下底长为，高为，棱锥的一条侧棱垂直底面高为，所以这个几何体的体积：，故选．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7．D【解析】由题意作出图形，如图所示；SO⊥底面BPM，过侧棱SB与高的平面ABCD截得圆柱与圆柱内接正三棱锥S﹣BPM，截面图形为D选项．故选：D．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.8．C【解析】考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：A选项可由线面平行的判定定理进行判断；B选项可由线面垂直的位置关系进行判断；C选项可由面面垂直的判定定理进行判断．D选项可由面面垂直的性质定理进行判断；解答：解：A选项不正确，因为m∥n，nα时，mα也有可能，故m∥α不成立．B选项不正确，因为m⊥α，n⊥α，只能得出n∥m；C选项正确，因为m⊥α，m∥β，则α⊥β是面面垂直的判定定理．D选项不正确，因为α⊥β，mα时，m⊥β不一定成立，有可能是m∥β；故选C．点评：本题考查空间中线面垂直的判断及线面平行、面面垂直的判断．主要考查答题者空间想像能力及组织条件证明的能力．9．A【解析】【分析】题意可知过点和圆心的直线被圆截得的弦长最长，求出圆心坐标，即可得到线的方程.【详解】依题意可知过点和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆的方程得，圆心坐标为，此时直线的斜率为，∴过点和圆心的直线方程为，即．故选．【点睛】本题考查圆的标准方程，直线方程的求法，属基础题.10．B【解析】设正方体的棱长为，计算得，，，，所以到各顶点的距离的不同取值有个，故选．11．－6.【解析】【分析】根据它们的斜率相等，可得﹣=3，解方程求a的值【详解】∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y=0平行，∴它们的斜率相等，∴﹣=3，∴a=﹣6．故答案为：-6．【点睛】本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．12．【解析】设等边三角形边长为，则，∴，即圆锥底面的圆半径为，圆锥的高，母线长为，侧面积．13．【解析】【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标，代入点到直线距离公式即可求出.【详解】圆可化为，圆心坐标为，半径，圆心，到直线的距离，解得．即答案为.【点睛】本题考查圆的标准方程，点到直线距离公式，属基础题.14．【解析】【分析】根据题意，由，结合直棱柱的性质，分析底面四边形，只要，进而验证即可．【详解】∵四棱柱是直棱柱，∴，若，则平面，∴，又由，则有，反之，由亦可得到．即答案为..【点睛】题主要考查了棱柱的几何特征以及空间线线，线面，面面垂直关系的转化与应用．15．【解析】【分析】求出长方体的体对角线长，即可得到球的半径，进而得到球的表面积.【详解】长方体从一个顶点出发的三条棱分别是，，，∴长方体的体对角线长为：，∴内接于该长方体的球的半径为，故此球的表面积．【点睛】本题考查球的接长方体的有关性质，属基础题.16．相交【解析】【分析】化简得，，故直线恒过定点，可判断点在圆内，即直线与圆相交.【详解】化简得，，故直线恒过定点，将代入得，所以点在圆内，故直线与曲线的位置关系是相交．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题.17．（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出边所在直线的斜率，进而求出边上的高所在直线的斜率，用斜截式求直线方程并化为一般式．（）设外接圆的方程为，将，，代入圆的方程求出，，即可.【详解】（）∵，，∴，∴，∴所在直线方程为．（）设外接圆的方程为，将，，代入圆的方程得：，解得，，，故外接圆的方程为．【点睛】本题考查两直线垂直，斜率之积等于-1，以及利用待定系数法求圆的一般方程，属基础题. 18．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）设，由三角形的中位线的性质可得，从而证明直线平面．（2）证明，，可证平面，进而证得平面平面平面．（3）利用可求三棱锥的体积．【详解】（）证明：设，则是中点，又∵是的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．（）证明：∵是正四棱柱，∴是正方形，∴，又∵底面，平面，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面．（），∵，，∴，，∴，，∴．【点睛】本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点．同时开出利用等体积法求三棱锥的体积，属基础题.19．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）欲证平面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直，而A，，，满足定理条件；（2）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，设的中点为，又平面，平面，满足定理条件．（3）先计算底面三角形的面积，在等腰梯形中，可得此三角形的高为，底为1，再计算三棱锥的高，即为，最后由三棱锥体积计算公式计算即可.（只写出结果，不要求计算过程）【详解】（）∵是矩形，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴，又，且，平面，平面，∴平面．（）证明：设的中点为，∵是的中点，∴，且，又∵是矩形，是的中点，∴，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（）．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．。
20172018学年第一学期北师大附中高二数学理科期中试卷试题Word版本,含含含
北师大隶真切验中学2021 －2021 学年度第一学期高二年级数学〔理科〕期中练习试卷〔一卷〕 试卷说明：1、 本试卷考试时间为 120 分钟；总分为 150 分，试卷一 100 分，试卷 二 50 分.2、试卷一共有三道大题，19 道小题；试卷二共有两道大题，8 道小题 .3、选择题、填空题、解答题在答题纸上作答.命题人 :批阅人 :一、选择题〔本大题共10 小题，每题4 分，共 40 分. 每题只有一个正确答案, 〕1．直线3x y 1 0的倾斜角的大小是〔〕A. 30B. 150C. 120D. 602.圆 2 2 2 2xy 1和圆 x(y 3) 4 的地址关系是〔〕A ．外切B ．内切C ．外离D ．内含3．假设正方体的各极点都在一个半径为 R 的球面上，那么该正方体的体积是〔 〕 A.32 2R B.43 3 R C. 89 33 R D. 3 9 3 R4. 水平放置的正ABC 中 , 点 A 的坐标为〔 -1,0 〕，点 B 的坐标为〔 1,0 〕，用斜二测画 法获取A' B 'C ' ，那么点 C ' 到 x '轴的距离为 ()A. B.C.D.25. 在空间直角坐标系中，点 A 在 x 轴上，B(4, 2,3) ，C (6, 1,4) ，假设AB AC那么点 A 的横坐标是〔〕A ．5 B．6 C．7 D ． 86. 如图，在正方体A BCD A B C D 中，M , N 分别是BC1, CD 1 的中点，那么以下判断错1 1 1 1．误．的是( ) D1C1A1B 1NMDCA ．MN 与CC 1 垂直B ．MN 与AC 垂直A B C．MN 与BD 平行 D ．MN 与 A1 B1 平行7．两条直线m, n ，两个平面, ，给出下面四个命题：①m // n,m n ②// ,m,n m // n③m // n,m// n // ④// , m // n, m n其中正确命题的序号是〔〕A ．①③B．②④C．①④D．②③8．假设P 2，1 为圆2 2x 1 y 25 的弦AB 的中点，那么直线AB 的方程A1是〔〕A ．x y 3 0 B．x y 3 0 C．x y 3 0 D．x y 3 0 9．圆C： 2 2 2 6 0x y x y F 与直线x 2 y 5 0交于A, B 两点 ,假设CA CB , 那么 F 的值为( )A ．-10B ．-30 C．10 D ．2010. 在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AB = 2, BC = AA1 =1，A1D1点P 为对角线AC1 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点B1C1P〔点P ，Q 可以重合〕，那么B1 P + PQ 的最小值为( ) ADQA. 2B. 3 BCC.32 D. 2二、填空题〔本大题 6 小题，每题 4 分，共24 分，将正确答案填在答题纸上〕11. 假设a，b是异面直线，直线 c ∥a ，那么c 与b的地址关系是__________12. 圆 C 的圆心在直线2x y 10 0 上，且经过点 A (2, 7 ), B (8, 7 ) ，那么圆C 的标准方程是__________________________ ；13. 一个底边长均为4, 侧棱长4 3 的正三棱柱，假设在它的上下底面的中心地址上各打一个直径为2, 深为 1 的圆柱形孔，那么该几何体的表面积是_______________ ．14. 一个四棱锥的三视图以以下图，其中侧视图为正三角形，那么该四棱锥的体积是_____________ ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是___________ ．15 ．如图，四边形ABCD 中，AB AD CD 1，BD 2 ，BD CD ．将四边形ABCD 沿BD折成周围体 A BCD ，使面 A BD 面BCD ，那么以下结论中正确的选项是___________〔1〕A C BD 〔2〕BA C 90〔3〕 A DC 是正三角形〔4 〕周围体 A BCD 的体积为1 616.圆 2 2C : ( x 3) ( y 5) 5 ，过圆心 C 的直线l 交圆 C 于A, B两点，交y 轴于点P .假设A 恰为PB 的中点，那么直线l 的方程为____________________________________.三. 解答题〔本大题共 3 小题，共36 分，写出必要的解答过程, 将答案写在答题纸上〕17. 〔本小题总分值12 分〕。
北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题：（可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃）1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．A B 1D A 【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =，∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CB A D【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________．【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100) ②(85,85,100) ③255x y z ++≥ ④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意． 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分） 已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点．1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底．表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________．【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++． 【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________．【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体，∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像）3．求直线1AB 与11AD C 所成的角．【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =，设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-， ∴(0,1,1)n =-， ∴1||1sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小．【答案】见解析．。
北京师大二附中2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N2．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．4．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5．将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）A．B．y=2cos2x C．y=2sin2x D．y=cosx6．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B．C．4 D．7．如果关于x的方程正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0}B．{a|a≤0或a=2}C．{a|a≥0}D．{a|a≥0或a=﹣2}8．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）﹣g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）=+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2]D．二、填空题9．设复数z满足（1﹣i）z=2+2i，其中i是虚数单位，则|z|的值为．10．若||=3，||=2，且与的夹角为60°，则|﹣|=11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为．12．已知，则cos2x=．13．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值；其中描述正确的是．14．若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）2；③．能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是．三、解答题15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设α是锐角，且，求f（α）的值．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1．（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．19．已知函数f（x）=cos，g（x）=e x•f（x），其中e为自然对数的底数．（1）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）若对任意时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．20．已知集合A=a1，a2，a3，…，a n，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求证：；（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？2016-2017学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由z•i=3﹣i，得，∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，﹣3），位于第三象限．故选：C．3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．【考点】正弦定理．【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：C．4．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】由题意知，用平行和垂直的定理进行判断，对简单的可在长方体中找反例．【解答】解：A错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；B错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；C错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；D对，由α⊥β，在α内作交线的垂线c，则c⊥β，因m⊥β，m⊄α，所以m∥α．故选D．5．将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）A．B．y=2cos2x C．y=2sin2x D．y=cosx【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换步骤，进行解答即可．【解答】解：函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin2（x+）=cos2x将该函数所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得y=cosx的图象所以函数的解析式为y=cosx．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体是对角线长为2的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为2，利用体积公式可得结论．【解答】解：由三视图可知，几何体是对角线长为2的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为2，则该几何体的体积是=故选D．7．如果关于x的方程正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0}B．{a|a≤0或a=2}C．{a|a≥0}D．{a|a≥0或a=﹣2}【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故我们可将关于x的方程有且仅有一个正实数解，转化为方程ax3﹣3x2+1=0有且仅有一个正实数解，求出函数的导函数后，分类讨论函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，即方程ax3﹣3x2+1=0有且仅有一个正实数解，构造函数f（x）=ax3﹣3x2+1，则函数f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点．又∵f'（x）=3x（ax﹣2）①当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解满足要求；②当a＞0时，则得f（x）在（﹣∞，0）和（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，f（0）=1，知若要满足条件只有x=时，f（x）取到极小值0，x=入原方程得到正数解a=2，满足要求；③当a＜0时，同理f（x）在（﹣∞，）和（0，+∞）上单调递减，在（，0）上单调递增f（0）=1＞0，所以函数f（x）的图象与x轴的正半轴有且仅有一个交点，满足题意综上：a≤0或a=2．故答案为：{a|a≤0或a=2}8．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）﹣g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）=+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2]D．【考点】导数的运算．【分析】先对f（x）求导，由题意可得h（x）=f′（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．【解答】解：f′（x）=x2﹣3x+4，∵f（x）与g（x）在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f′（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选：A．二、填空题9．设复数z满足（1﹣i）z=2+2i，其中i是虚数单位，则|z|的值为2．【考点】复数求模．【分析】变形可得复数z=，化简可得z=2i，可得其模．【解答】解：∵（1﹣i）z=2+2i，∴z====2i，∴|z|=2故答案为：210．若||=3，||=2，且与的夹角为60°，则|﹣|=【考点】向量加减法的应用．【分析】向量求模的运算，要求向量的模，一般用求模的公式，先求向量的平方运算，题目中给的条件能让我们先求数量积，进而求向量的模．【解答】解：∵||=3，||=2，且与的夹角为60，∴||====，故答案为：．11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为∃x∈R，x2﹣x+1≤0．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．12．已知，则cos2x=．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用两角差的正弦函数公式化简已知可得cosx﹣sinx=﹣，利用二倍角公式两边平方可求sin2x，进而结合2x的范围，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵sin（﹣x）=（cosx﹣sinx）=﹣，解得：cosx﹣sinx=﹣，∴两边平方可得：1﹣sin2x=，可得：sin2x=，∵x∈（，），2x∈（，π），∴cos2x=﹣=．故答案为：．13．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值；其中描述正确的是①③．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性和对称性对每一个选支进行逐一判定即可．【解答】解：∵为偶函数∴f（﹣x+）=f（x+），对称轴为而y=f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣x+）=﹣f（x﹣）=f（x+）即f（x+）=﹣f（x﹣），f（x+π）=﹣f（x），f（x+2π）=f（x）∴y=f（x）是周期函数，故①正确x=（k∈Z）是它的对称轴，故②不正确（﹣π，0）是它图象的一个对称中心，故③正确当时，它取最大值或最小值，故④不正确故答案为：①③14．若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）2；③．能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是①．【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】利用函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离“的定义需满足三个条件对各个函数判断是否具有这三个性质．【解答】解：对于①，f（x，y）=|x﹣y|≥0满足（1），f（x，y）=|x﹣y|=f（y，x）=|y ﹣x|满足（2）；f（x，y）=|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|z﹣y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数对于②不满足（3）对于③不满足（2）故答案为①三、解答题15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设α是锐角，且，求f（α）的值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）=cos2x，由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得f（x）的单调递减区间．（Ⅱ）由α是锐角，且，得=，α=，故f（α）=cos2x=cos．【解答】解：（Ⅰ）=cos2x﹣sin2x=cos2x．由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，可得kπ≤x≤kπ+，故求f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）∵α是锐角，且，∴=，α=．∴f（α）=cos2x=cos==﹣．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【考点】解三角形．【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．【解答】解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，∵sinA≠0，∴，∵B为三角形的内角，∴；（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，∴ac=3，∴．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1．（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对函数f（x）求导，由题意点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1，可得f′（1）=﹣3，再根据f（1）=﹣1，又由f′（﹣2）=0联立方程求出a，b，c，从而求出f（x）的表达式．（2）由题意函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，对其求导可得f′（x）在区间[﹣2，0]大于或等于0，从而求出b的范围．【解答】解：f′（x）=﹣3x2+2ax+b，因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为﹣3，所以f′（1）=﹣3+2a+b=﹣3，即2a+b=0，又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1．（1）函数f（x）在x=﹣2时有极值，所以f'（﹣2）=﹣12﹣4a+b=0，解得a=﹣2，b=4，c=﹣3，所以f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3．（2）因为函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，所以导函数f′（x）=﹣3x2﹣bx+b在区间[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，则得b≥4，所以实数b的取值范围为[4，+∞）19．已知函数f（x）=cos，g（x）=e x•f（x），其中e为自然对数的底数．（1）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）若对任意时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．【考点】余弦函数的图象．【分析】（1）利用导数的几何意义即可求出曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）构造函数H（x）=g（x）﹣xf（x），；利用导数判断函数的单调性，根据根的存在性定理即可判断函数H（x）在上零点的个数．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=sinx，g（x）=e x sinx，∴g（0）=e0sin0=0；g'（x）=e x（cosx+sinx），∴g'（0）=1；故曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程为y=x；（2）设H（x）=g（x）﹣xf（x），；则当时，H'（x）=e x（cosx+sinx）﹣sinx﹣xcosx=（e x﹣x）cosx﹣（e x﹣1）sinx，当，显然有；当时，由，即有，即有H'（x）＜0，所以当时，总有H'（x）＜0，故H（x）在上单调递减，故函数H（x）在上至多有一个零点；又，；且H（x）在上是连续不断的，故函数H（x）在上有且只有一个零点．20．已知集合A=a1，a2，a3，…，a n，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求证：；（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？【考点】数列的应用；计数原理的应用．【分析】（Ⅰ）直接利用定义把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l （P）和l（Q）；（Ⅱ）先由a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，可得；再利用定义推得所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论．（Ⅲ）l（A）存在最小值，设a1＜a2＜＜a n，所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n﹣1+a n．由此即可证明l（A）的最小值2n﹣3．【解答】解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l（P）=5．由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l（Q）=6．（Ⅱ）证明：因为a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，所以．又集合A=2，4，8，，2n，任取a i+a j，a k+a l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），当j≠l时，不妨设j＜l，则a i+a j＜2a j=2j+1≤a l＜a k+a l，即a i+a j≠a k+a l．当j=l，i≠k时，a i+a j≠a k+a l．因此，当且仅当i=k，j=l时，a i+a j=a k+a l．即所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，所以．（Ⅲ）l（A）存在最小值，且最小值为2n﹣3．不妨设a1＜a2＜a3＜…＜a n，可得a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n+a n，﹣1所以a i+a j（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3个不同的数，即l（A）≥2n﹣3．事实上，设a1，a2，a3，，a n成等差数列，考虑a i+a j（1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，当i+j≤n时，a i+a j=a1+a i；+j﹣1+a n；当i+j＞n时，a i+a j=a i+j﹣n因此每个和a i+a j（1≤i＜j≤n）等于a1+a k（2≤k≤n）中的一个，或者等于a l+a n（2≤l≤n﹣1）中的一个．所以对这样的A，l（A）=2n﹣3，所以l（A）的最小值为2n﹣3．2016年12月18日。
北京市2017-2018学年上学期高二年级期中考试理科数学试题
……外……………装…………○___姓名：___________班级……内……………装…………○绝密★启用前 北京市2017-2018学年上学期高二年级期中考试理科数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．三条直线l 1，l 2，l 3的位置如图所示，它们的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系是（ ） A ． k 1>k 2>k 3 B ． k 1> k 3> k 2 C ． k 3> k 2> k 1 D ． k 2> k 3> k 1 2．如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，若AB a =， AD b =， 1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ） A ． 1122a b c -++ B ． 1122a b c ++ C ． 1122a b c --+D ． 11a b c -+○…………外……………装…………○…※※要※※在※※装※※订○…………内……………装…………○…3．过点（-l ，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是（ ） A ． x-2y-5=0 B ． x-2y+7=0 C ． 2x+y-1=0 D ． 2x+y-5=0 4．已知球O O 的表面积为（ ） A ． B ． 2π C ． 4π D ． 6π 5．在下列命题中： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++。
2018届北京市北京师范大学附属中学高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
北京师大附中2018届上学期高中三年级期中考试数学试卷（理科）本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由得，解得：，即，∵，∴，则集合中元素的个数为2，故选B.2. 设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据命题的否定和全称命题的否定是特称命题，可知命题：，则为.考点：命题的否定.3. 已知为等差数列，为其前n项和.若，则=（）A. 6B. 12C. 15D. 18【答案】A【解析】设等差数列的公差为，∵，，∴，，解得，，则，故选A.4. 设函数，则“”是“函数为奇函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：当时，函数，此时函数为奇函数；反之函数为奇函数，则，所以“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.考点：1.充分必要条件的判断；2.函数的奇偶性.5. 设函数的图象为C，下面结论中正确的是（）A. 函数的最小正周期是B. 图象C关于点对称C. 图象C可由函数的图象向右平移个单位得到D. 函数在区间上是增函数【答案】B【解析】试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减.考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.6. 若则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，，则，，的大小关系是，故选D.7. 设D为不等式组表示的平面区域，点B（1，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则b的最大值等于（）A. 1B. 2C. 0D. 3【答案】A【解析】由作出平面区域D如图，联立，解得，联立，解得，联立，解得，由，得，即，即的最大值为1，故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了平面向量数量积的坐标运算，是中档题；作出不等式组所表示的区域，根据当目标函数为线性时，其最值一定在交点处取得列出不等式组，解出即可.8. 已知函数，。
2017-2018年北京市首师大附中高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2017-2018学年北京市首师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求）1．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．2．（5分）已知抛物线C：y2=4x上的点P到准线的距离为5，则点P的横坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．164．（5分）直线被椭圆所截得的弦中点坐标是（）A．（4，4） B．（﹣4，0）C．（﹣2，1）D．（2，3）5．（5分）“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图，直线x=2与双曲线的渐近线交于E1，E2两点，记，，任取双曲线Γ上的点P，若，则a，b满足的一个等式是（）A．B．C．2ab=1 D．4ab=17．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点M是双曲线右支上一点，且MF1⊥MF2，延长MF2交双曲线C于点P，若|MF1|=|PF2|，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．D．8．（5分）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：①P到F1（﹣4，0），F2（4，0），E1（0，﹣4），E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x，y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36；④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为（）A．②①B．②③C．②③④D．①②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）命题：∀x∈N，x2≥x的否定是．10．（5分）已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x﹣y=0，则此双曲线的标准方程是．11．（5分）如图，程序输出的是132，则判断框中应填．12．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是．13．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中．点M不与点O重合，称射线OM与圆x2+y2=1的交点N为点M的“中心投影点“．（1）点M（1，）的“中心投影点”为（2）曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是．三、解答题（本大题共4小题，共50分）15．（12分）已知命题p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，命题q：关于x的不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．16．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥，求k的值．17．（13分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0）．（1）求抛物线C的方程．（2）如图，点为抛物线C的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．18．（13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平行面，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．在直线x=2的右侧，考察范围是到点B的距离不超过的区域E；在直线x=2的左侧，考察范围是到A，B两点的距离之和不超过的区域F（1）求考察区域边界E，F的曲线方程，并在如图的平面直角坐标系中画出考察区域的边界简图．（2）考察区域的边界线上存在几对关于点（2，0）对称的点？并写出对称点的坐标．（3）如图所示，设P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），其中：，，P 3（8，6）．当冰川融化时，冰川的边界线P1P2，P2P3所在直线分别沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，每年移动0.2km，问第几年开始，考察区域的边界上不再存在关于（2，0）对称的点．2017-2018学年北京市首师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求）1．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆的标准方程为，∵椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，∴，解得．故椭圆的方程为．故选：C．2．（5分）已知抛物线C：y2=4x上的点P到准线的距离为5，则点P的横坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：抛物线C的方程为：y2=4x的准线为x=﹣1，设点P的横坐标为x0，由于点P到准线的距离为5，所以x0+1=5，解得x0=4．故选：C．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：根据程序框图，知当k=3时输出S，第1次循环得到：S=1×20=1，k=1；第2次循环得到：S=1×21=2，k=2；第3次循环得到：S=2×22=8，k=3；此时不满足循环条件，输出S=8．故选：C．4．（5分）直线被椭圆所截得的弦中点坐标是（）A．（4，4） B．（﹣4，0）C．（﹣2，1）D．（2，3）【解答】解：将直线方程代入椭圆得x2+4x﹣4=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4，，∴，，即直线被椭圆所截得的弦中点坐标为（﹣2，1）．5．（5分）“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在椭圆的方程中，a=5，b=4，则c=3，则椭圆的离心率e==，即必要性成立，反之不一定成立，则“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）如图，直线x=2与双曲线的渐近线交于E1，E2两点，记，，任取双曲线Γ上的点P，若，则a，b满足的一个等式是（）A．B．C．2ab=1 D．4ab=1【解答】解：由题意有，是渐近线方向向量，又，点P在双曲线上，所以，化简得4ab=1．7．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点M是双曲线右支上一点，且MF1⊥MF2，延长MF2交双曲线C于点P，若|MF1|=|PF2|，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设|MF1|=t，由双曲线的定义可得|MF2|=t﹣2a，|PF2|=t，|PF1|=t+2a，由MF1⊥MF2，可得|MF1|2+|MP|2=|PF1|2，即t2+（2t﹣2a）2=（t+2a）2，解得t=3a，又|MF1|2+|MF2|2=|F2F1|2，即为（3a）2+a2=4c2，即为c=a，则e==．故选：C．8．（5分）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：①P到F1（﹣4，0），F2（4，0），E1（0，﹣4），E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x，y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36；④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为（）A．②①B．②③C．②③④D．①②③④【解答】解：对于①，考虑点P不是交点的情况，若点P在椭圆上，P到F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和为定值，到E1（0，﹣4），E2（0，4）两点的距离之和不是定值，故①错误；对于②，两个椭圆关于直线y=x，y=﹣x均对称，故曲线C关于直线y=x，y=﹣x 均对称，故②正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故④错误．综上所述，正确命题的序号是②③．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）命题：∀x∈N，x2≥x的否定是∃x∈N，x2＜x．【解答】解：∵命题∀x∈N，x2≥x是全称命题命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：∃x∈N，x2＜x．故答案为：∃x∈N，x2＜x．10．（5分）已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x﹣y=0，则此双曲线的标准方程是．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为2x﹣y=0，则可设双曲线的方程为x2﹣=λ，λ≠0；又由双曲线的右焦点为（5，0），即焦点在x轴上且c=5，则λ＞0；则双曲线的方程可变形为=1，又由c=5，则5λ=25，解可得λ=5；则此双曲线的标准方程是；故答案为：．11．（5分）如图，程序输出的是132，则判断框中应填i≥11？（或i＞10？）．【解答】解：模拟程序的运行，可得第一次运行：i=12，判断成立，S=12，i=11；第二次运行：i=11，判断成立，S=12×11=132，i=10；第三次运行：i=10，判断不成立，故输出S=132，故判断框中应填i≥11？（或i＞10？）．故答案为：i≥11？（或i＞10？）．12．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，m=±．则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，），故答案为：（﹣，0）∪（0，）．13．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是6．【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故答案为：6．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中．点M不与点O重合，称射线OM与圆x2+y2=1的交点N为点M的“中心投影点“．（1）点M（1，）的“中心投影点”为（，）（2）曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是．【解答】解：（1）由题意可得射线OM方程为y=x（x＞0）与圆x2+y2=1联立，解得x=，y=，即有N（，）；（2）双曲线x2的渐近线方程为y=±x，代入圆x2+y2=1可得四个交点（，），（﹣，），（﹣，﹣），（，﹣）；即有曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线为两段圆弧，且圆心角为120°，半径为1，则弧长为．故答案为：（1）（，）；（2）．三、解答题（本大题共4小题，共50分）15．（12分）已知命题p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，命题q：关于x的不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则有，所以m＞2．若q为真命题，则有△=[4（m﹣2）2]﹣4×4×1＜0，所以1＜m＜3．由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，知命题p与q一真一假．当p真q假时，由得m≥3；当p假q真时，由，得1＜m≤2．综上，m的取值范围为（1，2]∪[3，+∞）．16．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥，求k的值．【解答】解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，﹣），（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b==1，故曲线C的方程为x2+=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，故x1+x2=﹣，x1x2=﹣，若⊥，即x1x2+y1y2=0．而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是x1x2+y1y2=﹣﹣﹣+1=0，化简得﹣4k2+1=0，所以k=±．17．（13分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0）．（1）求抛物线C的方程．（2）如图，点为抛物线C的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．【解答】解：（1）由已知可得，P=2，故抛物线C的方程为y2=4x．（2）证明：由（1）知：P（﹣1，t）（t≠0），则，直线PO的方程为y=﹣tx，代入抛物线C的方程有：，当t2≠4时，，∴直线MN的方程为：，即，∴此时直线MN过定点（1，0），当t2=4时，直线MN的方程为x=1，此时仍过点（1，0），综上所述，直线MN过定点（1，0）．18．（13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平行面，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．在直线x=2的右侧，考察范围是到点B的距离不超过的区域E；在直线x=2的左侧，考察范围是到A，B两点的距离之和不超过的区域F（1）求考察区域边界E，F的曲线方程，并在如图的平面直角坐标系中画出考察区域的边界简图．（2）考察区域的边界线上存在几对关于点（2，0）对称的点？并写出对称点的坐标．（3）如图所示，设P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），其中：，，P 3（8，6）．当冰川融化时，冰川的边界线P1P2，P2P3所在直线分别沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，每年移动0.2km，问第几年开始，考察区域的边界上不再存在关于（2，0）对称的点．【解答】解：（1）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），当x≥2时，由题意知，当x＜2时，由知，点P在以A，B为焦点，长轴长的椭圆上，此时短半轴长，故其方程为．综上，考察区域边界（曲线）的方程为：，．（2）设A（a，b）位于椭圆C2上，其关于（2，0）对称的点B（4﹣a，﹣b）位于圆C1上，则：，解得或，故考察区域的边界上有且只有1对关于点（2，0）对称的点，对称点为，．（3）∵，，∴P1P2的方程为，则点到直线P1P2的距离，∵，P3（8，6），∴P2P3的直线方程为y=6，点到直线P2P3的距离，设第七年开始，考察区域的边界上不再存在关于点（2，0）对称的点，由于d2＜d1，且t∈N*，解得t≥22，故从第22年开始，考察区域的边界上不再存在关于点（2，0）对称的点．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
北京市2017-2018高二上期中试卷 北师大版 数学(理科)
○…………外……○…………内……绝密★启用前北京市2017-2018高二上期中试卷北师大版数学（理科）试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（）．A ．空间中任意三点B ．空间中两条直线C ．一条直线和一个点D ．两条平行直线2．已知空间两点P (−1,2,−3)，Q (3,−2,−1)，则P 、Q 两点间的距离是（）． A ．6 B ．2 2 C ．36 D ．2 53．在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，与AD 成异面直线的棱共有（）． A ．4条 B ．5条 C ．6条 D ．7条4．球的表面积膨胀为原来的3倍，膨胀后的球的体积为原来的（）． A ． 3倍 B ．2 3倍 C ．3 3倍 D ．4倍5．已知向量()()3,4,3,5,3,1a b =-=-，则它们的夹角是A ．0︒B ．45︒C ．90︒D ．135︒6．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）．…………装…………○………………○………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※答※※题※※…………装…………○………………○………A ．2π B ．5π2C ．4πD ．5π7．在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若E 是AD 的中点，则异面直线A 1B 与C 1E 所成角的大小是（）．A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π28．一长方体木料，沿图①所示平面EFGH 截长方体，若AB ⊥CD 那么图②四个图形中是截面的是（）．A ．B ．C ．D ．9．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′=C ′O ′=1，A ′O ′=32，那么原△ABC 中∠ABC 的大小是（）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°10．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知()()()()2,0,02,2,0,0,2,0,1,1,2A B CD .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为__________．线…………○……线…………○…………装…………○……订…………○…※※不※※要※※在※※装※※线※※内※※答※※题※※……装…………○……订…………○…第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题12．已知向量a=(2,−1,3)，b=(−4,2,x)，若a∥b，则x=__________．13．已知圆锥母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面半径为__________．14．如图所示，在长方体OABC−O1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=3，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是__________．15．如下图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A−BB1D1D的体积为__________cm3．16．正方形ABCD沿对角线BD折成二面角后，有如下结论：①AC⊥BD；②△ADC为正三角形；③AB、CD所成角为60°；④AB与面BCD所成角为60°．其中正确的序号是__________．三、解答题17．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AB=1，G………○…………装………订…………线…………○……学校:___________姓名___________考号：_________………○…………装………订…………线…………○……（1）求证：GA ∥面PCE ． （2）求证：面PCD ⊥面PAD ．18．如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD =90°，且PA =AD ，E 、F 分别是线段PA 、CD 的中点．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ．（2）求EF 和平面ABCD 所成的角α的正弦值． （3）求异面直线EF 与BD 所成的角β的余弦值．19．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，∠BAD =60°．（1）求证：BD ⊥平面PAC ．（2）若PA =AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值． （3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．20．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，BC =1，AB =2，PC =PD = 2，E 为PA 中点．…………○………………○……（1）求证：PC ∥平面BED ．（2）求二面角A −PC −D 的余弦值．（3）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM ⊥AC ？若求PMPC 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．D【解析】【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可【详解】A，当这三个点共线时经过这三个点的平面有无数个，故错误B，当着两条直线是异面直线时则根据异面直线的定义可得这对异面直线不同在任何一个平面内，故错误C，当此点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故错误D，根据确定平面的公理的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故正确故选D【点睛】本题主要考查的是平面的基本公理和推论，属于基础题2．A【解析】∵空间两点P(－1,2，－3)，Q(3，－2，－1)∴PQ=42+42+22=36=6故选：A3．A【解析】【分析】剩下的11条棱中，有4条与AD相交，3条与它平行，其余4条异面【详解】如图：与AD 成异面直线的棱有BB 1、CC 1、A 1B 1、C 1D 1共4条棱 故选A 【点睛】本题主要考查的是异面直线的判定，通过观察图形即可得出答案，属于基础题。
北京市教育学院附中2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科)(ab卷) Word版含解析
2017-2018学年北京市教育学院附中高二（上）期中数学试卷（理科）（AB卷）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知p：∀x∈R，x＞2，那么￢p为（）A．∀x∈R，x＜2 B．∃x∈R，x≤2 C．∀x∈R，x≤2 D．∃x∈R，x＜22．抛物线y2=﹣8x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣23．直线x+ay﹣a=0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0互相垂直，则a的值是（）A．2 B．﹣3或1 C．2或0 D．1或04．圆x2+y2﹣2x﹣3=0与圆x2+y2+2x+4y+4=0的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．外切 D．内含5．平行线x﹣2y=0与x﹣2y﹣5=0之间的距离为（）A．5 B．C．D．26．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=47．直线ax+y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣18．椭圆经过点（3，0），且离心率是，则该椭圆的标准方程为（）A． +y2=1 B． +=1C． +y2=1或+=1 D． +y2=1或+=19．已知p：如果x＜1，则x＜2；q：∃x∈R，x2+1=0，则（）A．p∨q是假B．p是假C．p∧q是假D．¬q是假10．“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题11．“若x＜2，则x＜3”的否是______．12．双曲线﹣=1的实轴长为______，离心率为______．13．已知双曲线的一个顶点为（2，0），且渐近线的方程为y=±x，那么该双曲线的标准方程为______．14．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为______．15．圆（x﹣1）2+y2=4的圆心到直线2x﹣y+3=0的距离是______，该圆与直线的位置关系为______．（填相交、相切、相离）16．圆x2+y2﹣4x+4y+6=0截直线x﹣y﹣5=0所得的弦长为______．三、解答题17．已知直线l经过直线x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x+2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．18．已知三个点A（0，0），B（4，0），C（3，1），圆M为△ABC的外接圆．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设直线y=kx﹣1与圆M交于P，Q两点，且|PQ|=，求k的值．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F到直线l：x﹣y+1=0上．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣y+2=0与抛物线C相交于P，Q两点，求|PQ|以及线段PQ中点M的坐标．B卷二、填空题20．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标为______．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于______．22．若抛物线y2=4x上的一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则点M到y轴的距离为______．23．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点与椭圆+=1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为______．24．已知椭圆+y2=1的两个焦点F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，且|PF2|=______．25．若椭圆x2+=1的离心率为，则m的值为______．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）26．已知椭圆+=1与直线y=2x+m交于A，B两个不同点．（1）求m的取值范围；（2）若|AB|=，求m的值．27．已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．2015-2016学年北京市教育学院附中高二（上）期中数学试卷（理科）（AB卷）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知p：∀x∈R，x＞2，那么￢p为（）A．∀x∈R，x＜2 B．∃x∈R，x≤2 C．∀x∈R，x≤2 D．∃x∈R，x＜2【考点】的否定．【分析】直接利用全称否定是特称写出结果即可．【解答】解：因为全称的否定是特称，所以：p：∀x∈R，x＞2，那么￢p为：∃x∈R，x ≤2．故选：B．2．抛物线y2=﹣8x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=﹣8x的开口向左，2p=8，从而可得抛物线y2=﹣8x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=﹣8x的开口向左，2p=8，∴抛物线y2=﹣8x的准线方程为x==2故选A．3．直线x+ay﹣a=0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0互相垂直，则a的值是（）A．2 B．﹣3或1 C．2或0 D．1或0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】当a=0时，两直线为x=0或3y=1，则两直线垂直；当a≠0时，由斜率之积等于﹣1求得a的取值的集合，再把a的取值的集合取并集，即得所求．【解答】解析：当a=0时，两直线为x=0或3y=1，则两直线垂直，当a≠0时，两直线的斜率分别为﹣和，可得，解得a=2，此时两直线垂直，故a的取值为0或2．，故选C．4．圆x2+y2﹣2x﹣3=0与圆x2+y2+2x+4y+4=0的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．外切 D．内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和两半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，从而可得结论．【解答】解：把两圆化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=4，（x+1）2+（y+2）2=9，∴两圆心坐标分别为（1，0）和（﹣1，﹣2），R=2，r=3，∴两圆心间的距离d==∵3﹣2＜＜3+2，∴两圆的位置关系是相交故选A．5．平行线x﹣2y=0与x﹣2y﹣5=0之间的距离为（）A．5 B．C．D．2【考点】两条平行直线间的距离．【分析】根据两平行线之间的距离为，运算求得结果．【解答】解：两平行线x﹣2y=0与x﹣2y﹣5=0，故它们之间的距离为==，故选C．6．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4【考点】圆的标准方程．【分析】先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选C．7．直线ax+y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．﹣1【考点】圆的切线方程．【分析】根据直线ax+y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，得到圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式列出关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵直线ax+y+1=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离等于半径，∴1=，∴，∴a=0故选A．8．椭圆经过点（3，0），且离心率是，则该椭圆的标准方程为（）A． +y2=1 B． +=1C． +y2=1或+=1 D． +y2=1或+=1【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题意分椭圆焦点在x轴或y轴分类设出椭圆的标准方程，并得到a（或b）的值，结合已知条件即可求得答案．【解答】解：当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为，则a=3，又，得c=2，∴b2=a2﹣c2=1，椭圆方程为；当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为（a＞b＞0），则b=3，又，a2=b2+c2，联立解得a2=81，b2=9，椭圆方程为．∴椭圆的标准方程为+y2=1或+=1．故选：C．9．已知p：如果x＜1，则x＜2；q：∃x∈R，x2+1=0，则（）A．p∨q是假B．p是假C．p∧q是假D．¬q是假【考点】四种的真假关系．【分析】由已知中p：如果x＜1，则x＜2；q：∃x∈R，x2+1=0，结合实数的性质，我们可以判断出p与q的真假，再由复合的真值表，分别判断四个答案的真假，即可得到结论．【解答】解：∵p：如果x＜1，则x＜2为真，故B错误；又∵q：∃x∈R，x2+1=0，为假故p∨q是真，故A错误，p∧q是假，故C正确；¬q是真，故D错误；故选C10．“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】椭圆的标准方程．【分析】由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab ＞0”，所以∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．【解答】解：∵由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，例如a＜0，b＜0时，“方程ax2+by2=1不表示椭圆”．“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab＞0”，∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．二、填空题11．“若x＜2，则x＜3”的否是“若x≥2，则x≥3”．【考点】四种．【分析】根据“若p，则q”的否是“若￢p，则￢q”，写出它的否即可．【解答】解：“若x＜2，则x＜3”的否是“若x≥0，则x≥3”．故答案为：“若x≥2，则x≥3”．12．双曲线﹣=1的实轴长为4，离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程求解实轴长，离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1可得a=2，b=3，c=，双曲线的实轴长为：4，离心率为：．故答案为：4；．13．已知双曲线的一个顶点为（2，0），且渐近线的方程为y=±x，那么该双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】由双曲线的渐近线的方程为y=±x，可知双曲线为等轴双曲线，且e==，根据顶点为（2，0），即可求得a和b的值，求得双曲线方程．【解答】解：双曲线的渐近线的方程为y=±x，∴双曲线为等轴双曲线，且e==，∵双曲线的一个顶点为（2，0），c2=a2+b2，∴a=b=2，∴双曲线的标准方程为：．故答案为：．14．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为﹣8．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率k也是﹣2，∴解得：m=﹣8故答案为：﹣815．圆（x﹣1）2+y2=4的圆心到直线2x﹣y+3=0的距离是，该圆与直线的位置关系为相离．（填相交、相切、相离）【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【分析】圆（x﹣1）2+y2=4的圆心是（1，0），利用点到直线的距离能求出圆心到直线2x﹣y+3=0的距离，再由圆的半径能判断出该圆与直线的位置关系．【解答】解：∵圆（x﹣1）2+y2=4的圆心是（1，0），∴圆心（1，0）到直线2x﹣y+3=0的距离d==，∵圆（x﹣1）2+y2=4的半径r=2＜，∴该圆与直线相离．故答案为：，相离．16．圆x2+y2﹣4x+4y+6=0截直线x﹣y﹣5=0所得的弦长为．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心坐标，求出半径，利用圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，即可得到结果．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6=0的圆心坐标（2，﹣2），半径为；圆到直线的距离为：=，又因为半径是，所以半弦长为=；弦长为．故答案为．三、解答题17．已知直线l经过直线x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x+2y﹣1=0．（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ． 【考点】直线的一般式方程；三角形的面积公式． 【分析】（1）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点P 的坐标，根据直线l 与x +2y ﹣1=0垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为﹣1，可设出直线l 的方程，把P 代入即可得到直线l 的方程；（2）分别令x=0和y=0求出直线l 与y 轴和x 轴的截距，然后根据三角形的面积函数间，即可求出直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：（1）由解得，由于点P 的坐标是（﹣，）．则所求直线l 与x +2y ﹣1=0垂直，可设直线l 的方程为2x ﹣y +m=0．把点P 的坐标代入得2×（﹣）﹣+m=0，即m=．所求直线l 的方程为2x ﹣y +=0．即14x ﹣7y +26=0．（2）由直线l 的方程知它在x 轴．y 轴上的截距分别是﹣．，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S=×=．18．已知三个点A （0，0），B （4，0），C （3，1），圆M 为△ABC 的外接圆． （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）设直线y=kx ﹣1与圆M 交于P ，Q 两点，且|PQ |=，求k 的值． 【考点】圆的一般方程． 【分析】（Ⅰ）设出圆的一般式方程，代入三个点的坐标联立方程组求得D ，E ，F 的值，则圆的方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆M 的圆心为（2，﹣1），半径为，结合弦长求得圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式求得k 的值． 【解答】解：（Ⅰ）设圆M 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0． ∵点A （0，0），B （4，0），C （3，1）在圆M 上，则，解得：D=﹣4，E=2，F=0．∴△ABC 外接圆的方程为x 2+y 2﹣4x +2y=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）圆M 的圆心为（2，﹣1），半径为．又，∴圆M 的圆心到直线y=kx ﹣1的距离为．∴，解得：k2=15，k=．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F到直线l：x﹣y+1=0上．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣y+2=0与抛物线C相交于P，Q两点，求|PQ|以及线段PQ中点M的坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）根据抛物线的标准方程，将焦点F（0，p）代入直线l方程算出p=2，即可得到抛物线C的方程；（2）将直线l方程与抛物线C消去y，得x2﹣x﹣1=0．由根与系数的关系和中点坐标公式，即可算出线段PQ中点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，p）∴0﹣p+1=0，可得p=2，因此抛物线C的方程是x2=4y；（2）由，消去y得x2﹣x﹣1=0设P（x1，y1），Q（x2，y2）∴x1+x2=4，可得中点M的横坐标为（x1+x2）=2，代入直线l方程，得纵坐标为y M=x M+1=3．即线段PQ中点M的坐标（2，3）．B卷二、填空题20．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标为（0，﹣）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将抛物形式化简为标准形式，求出p的值，进而得到焦点坐标．【解答】解：抛物线的标准形式是，p=∴焦点坐标为：（0，﹣）故答案为（0，﹣）21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍，，可求椭圆的离心率．【解答】解：由题意，∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b∴∴=故答案为：22．若抛物线y2=4x上的一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则点M到y轴的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标（1，0），抛物线y2=4x上的一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则M到准线的距离为5，则点M到y轴的距离为：4．故答案为：4．23．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点与椭圆+=1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据椭圆的标准方程求出c，利用双曲线的离心率建立方程求出a，b，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵椭圆的标准方程为+=1，∴椭圆中的a1=5，b1=3，则c=4，∵双曲线的焦点与椭圆+=1的焦点相同，∴双曲线中c=4，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e===2，则a=2．在双曲线中b====2，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x，故答案为：y=±x ．24．已知椭圆+y 2=1的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，且PF 1⊥F 1F 2，且|PF 2|= 3.5 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的性质分别求得|PF 1|+|PF 2|=4，|F 1F 2|=2，由PF 1⊥F 1F 2，根据勾股定理即可求得|PF 2|的值．【解答】解：由椭圆的性质可知：a=2，b=1，c=，|PF 1|+|PF 2|=2a=4，|F 1F 2|=2c=2，由勾股定理可知：|PF 1|2+|F 1F 2|2=|PF 2|2，∴（4﹣|PF 2|）2+12=|PF 2|2，解得：|PF 2|=3.5，故答案为：3.5．25．若椭圆x 2+=1的离心率为，则m 的值为 4或 ． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】当 m ＞1时，由离心率的定义可得=，当 m ＜1时，由离心率的定义知=，解方程求出m 的值．【解答】解：当 m ＞1时，由离心率的定义知=，∴m=4，当 m ＜1时，由离心率的定义知=，∴m=，故答案为：4 或．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）26．已知椭圆+=1与直线y=2x +m 交于A ，B 两个不同点． （1）求m 的取值范围；（2）若|AB |=，求m 的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）通过直线l 与椭圆交于A 、B 两不同点可知联立椭圆与直线方程后的一元二次方程中的根的判别式大于零，进而计算可得结论；（2）利用弦长公式列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵椭圆+=1，直线l ：y=2x +m ，代入椭圆方程化简得：24x 2+20mx +5m 2﹣20=0，∵直线l 与椭圆交于A 、B 两不同点，∴△=400m2﹣4×24×（5m2﹣20）＞0，解得：﹣2＜m＜2；（2）24x2+20mx+5m2﹣20=0，∴x A+x B=﹣=﹣，x A x B=，∴弦AB长为|x A﹣x B|===．解得：m=．27．已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．【解答】解：（1）∵椭圆C：x2+3y2=3，∴椭圆C的标准方程为： +y2=1，∴a=，b=1，c=，∴椭圆C的离心率e==；（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），令x=3，得M（3，2﹣y1），∴直线BM的斜率k BM==1；（3）结论：直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知k BM=1，又∵直线DE的斜率k DE==1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），令x=3，则点M（3，），∴直线BM的斜率k BM=，联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，∵k BM﹣1====0，∴k BM=1=k DE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．2016年9月14日。
北京师范大学附属实验中学2017—2018学年度第二学期期中测试高二数学理科试卷(含解析)
已知函数 f ( x)
sin x ex
x.
（Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f (x) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值 .
（Ⅱ 卷）
四、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸横
线上）
1 18. 若对任意 x ( ,
D.
y
O
x
6．函数 f ( x) 的图象如图所示，下列结果正确的是
A. 0
f ( x1)
f (x2)
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
B. 0 f ( x2 )
f ( x2) f ( x1) x2 x1
f ( x1)
C. 0 f ( x2 )
f (x1)
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
函数 f ( x) 具有性质 P.
（1）下列函数中具有性质 P 的有 .
① f ( x) 2x 2 2 ② f ( x) sin x ( x [0,2 ])
③ f ( x) x （2）若函数 f ( x)
1 ， ( x (0, )) ④ f ( x) ln( x 1)
x
a ln x 具有性质 P，则实数 a 的取值范围是 .
数 a 的值为
A. 1
B. 1 2
C. 1 2
D. 1 或 1 22
111
4．若 a,b, c 均为正实数，则三个数 a
,b b
,c c
a 中不小于 2 的数
A.可以不存在
B.至少有 1 个
C.至少有 2 个
D. 至多有 2 个
1
5．函数 y 2x ex 的大致图象是
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。
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北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知命题N n p ∈∀:，n n>2，则p ⌝是A. N n ∈∀，n n≤2 B. N n ∈∀，n n<2C. N n ∈∃，n n ≤2D. N n ∈∃，n n >22. 设直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则a,b 满足 A. 1=+b a B. 1=-b aC. 0=+b aD. 0=-b a3. 已知p,q 是简单命题，那么“q p ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E ，F 两点，则EOF ∆（O 是原点）的面积为A.23B.43C. 52D.556 5. 关于两条不同的直线m,n 与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是 A. α//m ，β//n 且βα//，则n m // B. α⊥m ，β//n 且βα//，则n m ⊥ C. α⊥m ，β⊥n 且βα⊥，则n m //D. α//m ，β⊥n 且βα⊥，则m//n6. 已知椭圆12222=+y ax 的一个焦点与抛物线x y 82=的焦点重合，则该椭圆的离心率是A.36B.332 C. 22 D.23 7. 已知双曲线的焦点在x 轴上，焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线012=+-y x 平行，则双曲线的标准方程为A. 1422=-y xB. 1422=-y xC. 15320322=-y xD. 12035322=-y x 8. 已知点A （2，1），抛物线x y 42=的焦点是F ，若抛物上存在一点P ，使得||||PF PA +最小，则P 点的坐标为 A. （2，1） B. （1，1）C. （21，1）D. )1,41(9. 某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛，该校高一年级有1，2，3，4，四个班参加了比赛，其中有两个班获奖，比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”，已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是 A. 乙，丁 B. 甲，丙 C. 甲，丁D. 乙，丙10. 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，P 为底面ABCD 上的动点，C A PE 1⊥于E ，且PA=PE ，则点P 的轨迹是A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分二、填空题（每小题5分，共30分）11. 已知直线02=+y x 与直线04)1(=+++y a x 垂直，则实数a 的值是________。
12. 已知方程13522=++-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围_______。
13. 已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的离心率为___________，其焦点到渐近线的距离为_____________。
14. 已知直线2=-y x 与抛物线x y 42=相交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是____________。
15. 若直线1-=kx y 与曲线2)2(1---=x y 有公共点，则k 的取值范围是_____________。
16. 在平面直角坐标系中，当),(y x P 不是原点时，定义P 的“伴随点”为),('2222yx xy x y P +-+；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C 定义为曲线C 的“伴随曲线”，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ’，则点A ’的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ’关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线其中的真命题是____________（写出所有真命题的序列）三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知点A(-2,m)(m>0)，圆02042:22=-+-+y x y x C（I ）写出圆C 的标准方程；（II ）若过点A 的圆的切线只有一条，求m 的值及切线方程；（III ）若过点A 且在两坐标轴上截距（截距不为零）相等的直线被圆截得的弦长为172，求m 的值。
18. 已知椭圆W ：04422=-+y x ，直线l 过点（0，-2）与椭圆W 交于两点A ，B ，O 为坐标原点。
（I ）求椭圆的离心率和短轴长；（II ）若直线l 的斜率是2，求线段AB 的长。
20. 如图，已知直三棱柱111C B A ABC -中，AB=BC ，E 为AC 中点。
（I ）求证：//1AB 平面E BC 1；（II ）求证：平面⊥E BC 1平面11A ACC 。
20. 已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点F 在直线x-y-1=0上。
（I ）求抛物线C 的方程；（II ）设直线l 经过点A （-2，-1），且与抛物线C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程。
21. 已知：椭圆C 两焦点坐标分别为)1,0(1-F ，)1,0(2F ，且经过点N )1,23(。
（1）求椭圆C 的标准方程；（II ）若过M （0，-4）的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得PAB ∆为等边三角形？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由。
22. 已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(1>≤≤∈n n i R a ，将j i a a +（n j i ≤<≤1）中所有不同值的个数记为L （A ）。
（I ）设集合}4,3,2,1{=P ，}16,8,4,2{=Q ，求L （P ），L （Q ）； （II ）设集合}2,,8,4,2{nB =，求L （B ）的值（用含n 的式子表示）；（III ）求L （A ）的最小值（用含n 的式子表示）【试题答案】一、选择题（每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. C 2. D 3. D 4. C 5. B 6. A7. A8. C9. B10. A二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 23-=a 12. (1，5) 13.332，1 14. （4，2） 15. [0，1]16. ②③三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解：（1）25)2()1(22=++-y x（2）由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故25)2(92=++m ，2=∴m 切线方程为01443=+-y x ；（3）5=m 18. （1）23=e ；22=b ；（II ）17654 19. （I ）证明：连结1CB ，与1BC 交于点F ，连结EF ，因为三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，所以四边形11B BCC 是矩形，点F 是C B 1中点，又E 为AC 中点，所以EF//1AB 。
因为⊂EF 平面E BC 1，/1⊂AB 平面E BC 1，所以//1AB 平面E BC 1（II ）证明：因为AB=BC ，E 为AC 中点 所以AC BE ⊥又因为三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱， 所以⊥1CC 底面ABC ，从而BE CC ⊥1。
所以⊥BE 平面11A ACC 。
因为⊂BE 平面E BC 1， 所以平面⊥E BC 1平面11A ACC 20. （I ）x y 42=；（II ）当直线l 的方程为042=++y x ，01=+-y x 或1-=y21. （I ）13422=+x y （II ）)51,0(-22. 解：（I ）由321=+，431=+，541=+，642=+，743=+，得5)(=P L由642=+，1082=+，18162=+，1284=+，20164=+，24168=+，得6)(=Q L（II ）因为)1(n j i a a j i ≤<≤+共有2)1(2-=n n C n 项，所以2)1()(-≤n n B L 。
又集合}2,,8,4,2{nA =，任取j i a a +，)1,1(n l k n j i a a l k ≤<≤≤<≤+，①当l j ≠时，不妨设l j <，则l k l j j j i a a a a a a +<≤=<++122， 即l k j i a a a a +≠+。
②当l j =，k i ≠时，l k j i a a a a +≠+，因此，当且仅当k i =，l j =时，l k j i a a a a +=+。
即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同，所以2)1()(-=n n B L 。
（III ）不妨设n a a a a <<<< 321，可得n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+-1213121 ，故j i a a +（n j i ≤<≤1）中至少有32-n 个不同的数，即32)(-≥n A L 。
事实上，设n a a a a ,,,,321 成等差数列，考虑)1(n j i a a j i ≤<≤+，根据等差数列的性质， 当n j i ≤+时，l j i j i a a a a -++=+1； 当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+；因此每个)1(n j i a a j i ≤<≤+或等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个，或等于)12(-≤≤+n l a a n i 中的一个。
故对这样的A ，32)(-=n A L ，所以)(A L 的最小值为32-n 。