北师版九年级数学下册电子课本
(完整版)新北师大九年级数学下册知识点总结
新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一•锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与邻边的比叫做/A的正切，记作tanA ,① tanA 是一个完整的符号，它表示/A的正切，记号里习惯省去角的符号“/”；② tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/A 的对边与邻边的比；③ tanA 不表示"tan ”乘以"A ”；④ 初中阶段，我们只学习直角三角形中，/A是锐角的正切；⑤ tanA 的值越大，梯子越陡，ZA 越大；ZA 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2. 正弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与斜边的比叫做/A 的正弦，记作sinA ，即sin AA的对边................................... """■ 斜边3. 余弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的邻边与斜边的比叫做/A 的余弦，记作cosA ，即cosA A的邻边 .............................. ■■■■■斜边之变化三•三角函数的计算1. 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 仰角2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 俯角值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大 < sin a< 1， 0< cos a< 1。
4. 坡度：如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度i tan Al5. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角...。
如图3，OA OB OC 的方位角分别为 45 °、135 °、225 °。
6. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角.。
三角函数的计算
C．68°
D．以上结论都不对
3.用计算器验证，下列等式中正确的是（ D ） A．sin18°24′+sin35°26′=sin45° B．sin65°54′-sin35°54′=sin30° C．2sin15°30′=sin31° D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
4.下列各式中一定成立的是（A ） A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15° C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48°<sin15°
帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
A
解：由已知得DC EB 20m，
Q tan ADC tan 42 AC , DC
AC DC tan 42,
D 42°
C
AB AC CB 20 tan 42 1.6. 1.6m
E
20m B
这里的tan42°是多少呢？
5.sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( D) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1， cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐 角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞ sin20°＝cos70°.故选D.
tan∠BDE＝DBEE，∴BE＝DE·tan39°.
∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116(米)． 答：大楼的高度 CD 约为 116 米．
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北师大版数学九年级下册（全新打造精心汇编）全套电子教案[可直接打印使用]教学计划教材：教学情况分析：教材分析：教学目标要求：各单元重点：教学方法和措施：目录第一章01《锐角三角函数》（一） (01)02《锐角三角函数》（一） (04)03《300,450,600角的三角函数值》 (07)04《三角函数的计算》 (11)05《解直角三角形》 (14)06《三角函数的应用》 (17)07《利用三角函数测高》（一） (20)08《利用三角函数测高》（二） (23)《利用三角函数测高》活动报告 (25)09《回顾与思考》（一） (26)10《回顾与思考》（二） (29)第二章11《二次函数》 (32)12《二次函数的图像与性质》（一） (34)13《二次函数的图像与性质》（二） (36)14《二次函数的图像与性质》（三） (38)15《二次函数的图像与性质》（四） (41)16《确定二次函数的表达式》（一） (44)17《确定二次函数的表达式》（二） (46)18《二次函数的应用》（一） (48)19《二次函数的应用》（二） (51)20《二次函数与一元二次方程》（一） (54)21《二次函数与一元二次方程》（二 (57)22《回顾与思考》（一） (60)23《回顾与思考》（二） (63)第三章24《圆》 (66)25《圆的对称性》 (68)26《垂径定理》 (70)27《圆周角和圆心角的关系》（一） (72)28《圆周角和圆心角的关系》（二） (74)29《确定圆的条件》 (76)30《直线和圆的位置关系》（一） (78)31《直线和圆的位置关系》（二） (80)32《切线长定理》 (82)33《圆内接正多边形》 (84)34《弧长及扇形的面积》 (87)35《回顾与思考》（一） (89)36《回顾与思考》（二） (91)与不险，只不过这是在直观感受上判断的。
而今天，就让我们一同从理论上来进一步研究这陡与不陡的问题------《锐角三角函数》（一）（书写课题）合作交流探索新知10min 师：同学们，你们能够比较两个斜靠在墙上的梯子哪个放置的更陡吗？你会有哪些办法呢？请各组同学用2分钟时间相互交流探讨一下。
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新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数1.正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，．．即tan A=∠A的对边;∠A的邻边①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
2.正弦：．．定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sin A=∠A的对边;斜边3.余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cos A=∠A的邻边;斜边锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值sinαcosαtanα30º1245º60º3233222213212Bi=h:lhC A图13l图2三．三角函数的计算1.仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2.俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。
用字母i表示，即．．．．．．．．．．．．．i=h=tan A l5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
1.1.2北师大版九年级数学下册课件第一章第一节锐角三角函数第二课时正弦余弦
课堂小结 1.结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关: sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡. 2.在∠A+∠B=90°时，cosA=sinB 另外：cosA=sin(90°-A) sinA=cos(90°-A) 3、tanA>0 0<sinA<1 1>cosA>0
知识技能
习题1.2
α 9 β
1. 如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.
36 5
┐
x
数学理解 2.如何用正弦、余弦、正切来刻画梯子的倾斜程度？ tanA越大,梯子越陡; sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.
联系拓广 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和 cosB有什么关系? ∠C=90°时，cosA=sinB
C
BC sin A AC BC AC sin A 200 0.6 120.
A 请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和 tanC的值.
200 120 ┌ 160
B
做一做 例2:如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, 求:AB,sinB. 解：在Rt△ABC中,∠C=900,
北师大版九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系
第一节 锐角三角函数
第二课时 正弦和余弦
A
1
B
2
回顾与思考 1.在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记 B 作tanA,即 tanA= A的对边
A的邻边
2.tanA的大小只与∠A的大小有关, 而与直角三角形的边长无关. 3.tanA﹥0,无单位. 4.tanA的值越大,梯子越陡.
∠A的对边
∠A的邻边
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北师大版数学电子课本是一本由北京师范大学出版社出版的数学教材，主要面向高中学生，内容涵盖高中数学的各个方面，包括函数、代数、几何、概率统计等。
该教材以系统的知识结构，精辟的讲解，丰富的例题，精美的图表，清晰的解题思路，为学生提供了一个良好的学习环境。
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北师大版九年级数学下第二章2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(含答案)
北师大版九年级数学下第二章2.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质（含答案）一、选择题1．用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为()A．y＝(x－4)2＋7B．y＝(x－4)2－25C．y＝(x＋4)2＋7D．y＝(x＋4)2－252．抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是()A．直线x＝2B．直线x＝－2C．直线x＝1D．直线x＝－13．关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是()A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为－34．如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断正确的是()A．a＜0，b＜0B．a＞0，b＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜05．若点(－1，y1)，(1，y2)，(4，y3)都在抛物线y＝－x2＋4x＋m上，则y1，y2，y3的大小关系是() A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y26．已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n的值为()A．－2 B．－4 C．2 D．47．一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝cx在同一平面直角坐标系中的图象如图1所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为()图1图2二、填空题8．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为________．9．某市政府大楼前广场上有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．若以水平地面为x轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x的一部分，则水喷出的最大高度是________米．图310．2019·贺州如图4是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分，对称轴是直线x＝1，且经过点(3，0)，有下列说法：①abc＜0；②a－b＋c＜0；③3a＋c＝0；④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的是________．(填序号)图4三、解答题11．已知二次函数y＝－2x2＋4x＋6.(1)求出该函数图象的顶点坐标、对称轴及图象与x轴、y轴的交点坐标，并在如图5所示的网格中画出这个函数的大致图象．(2)利用函数图象回答：①当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？②当x在什么范围内时，y＞0?图512．已知抛物线y＝x(x－2)＋2.(1)用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出它的顶点坐标；(2)将抛物线y＝x(x－2)＋2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．13．抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a(x－3)2－1，且平移后的抛物线经过点A(2，1)．(1)求平移后的抛物线的函数表达式；(2)设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后的抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．附加题若二次函数的表达式的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标．(2)探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，求得到的图象对应的函数的特征数；②若一个函数的特征数为[2，3]，则此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?参考答案1．[答案] B 2．[答案] C 3．[答案] D4．[解析] D ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c的图象全部在x 轴的下方，∴a ＜0，4ac －b 24a＜0，∴a ＜0，c ＜0.故选D.5．[解析] D ∵y ＝－x 2＋4x ＋m ＝－(x －2)2＋4＋m ，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2.∵a ＝－1＜0，∴抛物线开口向下，且当x ＜2时，y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．∵2－(－1)＝3，2－1＝1，4－2＝2，∴y 1，y 2，y 3的大小关系是y 1＜y 3＜y 2.故选D.6．[解析] B 由抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，可知抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴－b2×（－1）＝1，∴b ＝2，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋4. 将(－2，n )代入y ＝－x 2＋2x ＋4，可得n ＝－4. 故选B. 7．[答案] C 8．[答案] －2[解析] ∵y ＝x 2＋4x ＋9＝(x ＋2)2＋5，∴当x ＝－2时，二次函数取得最小值． 9．[答案] 4[解析] ∵水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x 的一部分，∴水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线y ＝－x 2＋4x 的顶点坐标的纵坐标．∵y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(2，4)，∴水喷出的最大高度为4米．10．[答案] ①③④[解析] 根据图象可得a <0，c >0. ∵对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a ， ∴b >0，∴abc <0，故①正确．把x ＝－1代入函数关系式y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得y ＝a －b ＋c .由二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，且过点(3，0)，可得当x ＝－1时，y ＝0， ∴a －b ＋c ＝0，故②错误． ∵b ＝－2a ， ∴a －(－2a )＋c ＝0， 即3a ＋c ＝0，故③正确． 由图象可以直接看出④正确． 故答案为①③④.11．解：(1)∵a ＝－2，b ＝4，c ＝6， ∴－b 2a ＝－42×()－2＝1，4ac －b 24a ＝4×()－2×6－164×（－2）＝8， ∴该函数图象的顶点坐标为(1，8)，对称轴为直线x ＝1. 当y ＝0时，－2x 2＋4x ＋6＝0， 解得x 1＝3，x 2＝－1； 当x ＝0时，y ＝6，∴函数图象与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，与y 轴的交点坐标为(0，6)．画图略． (2)①当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，y 随x 的增大而减小． ②当－1＜x ＜3时，y ＞0.12．解：(1)y ＝x (x －2)＋2＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，则它的顶点坐标为(1，1)．(2)由(1)知抛物线y ＝x (x －2)＋2的顶点坐标为(1，1)，将抛物线向下平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为(1，0)，在x 轴上，此时新抛物线的表达式为y ＝(x －1)2. 13．解：(1)把(2，1)代入y ＝a (x －3)2－1， 得1＝a (2－3)2－1，整理，得1＝a －1，解得a ＝2.故平移后的抛物线的函数表达式为y ＝2(x －3)2－1.(2)由(1)知，平移后的抛物线的函数表达式为y ＝2(x －3)2－1，则M (3，0)． ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝2(x －3)2－1， ∴平移前的抛物线的函数表达式为y ＝2(x －1)2－1，∴P (1，－1)． 令x ＝0，得y ＝1，故B (0，1)， ∴BM ＝10，BP ＝PM ＝ 5.∵BM 2＝BP 2＋PM 2，∴△BPM 为直角三角形，且∠BPM ＝90°， ∴S △BPM ＝12BP ·PM ＝12×5×5＝52.附加题解：(1)由题意，得y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∴特征数为[－2，1]的函数的图象的顶点坐标为(1，0)．(2)①特征数为[4，－1]的函数的表达式为y ＝x 2＋4x －1，即y ＝(x ＋2)2－5.∵函数图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象的函数表达式为y ＝(x ＋2－1)2－5＋1，即y ＝x 2＋2x －3，∴得到的图象对应的函数的特征数为[2，－3]．②∵特征数为[2，3]的函数的表达式为y ＝x 2＋2x ＋3，即y ＝(x ＋1)2＋2， 特征数为[3，4]的函数的表达式为y ＝x 2＋3x ＋4，即y ＝(x ＋32)2＋74，∴所求平移过程为：先向左平移12个单位长度，再向下平移14个单位长度(平移方法不唯一)．。