精品 九年级数学下册 相似与二次函数 综合练习题

相似与二次函数综合练习题

1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC=5,AD=2,BC=8,∠MEN=∠B,∠MEN的顶角E在边BC上移动，一条边始终经过点A,另一边与CD交与点F,连接AF.

(1)设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数自变量x的取值范围；

(2)若△AEF为等腰三角形，求出BE的长。

2.在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),点B(0,3),点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发。

(1)连接AQ,当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；

(2)当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；

(3)过点A作AC AB,AC交射线PQ于点C,连接BC,D是BC的中点，在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出这时tan∠ABC的值；若不存在，请说明理由。

3.如图，将一块直角三角纸板的直角顶点C(1,0.5)处，两直角边分别是x 、y 轴平行，纸板的另两个顶点A 、B 恰好是直线2

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+=kx y 与双曲线)0(>=m x m y 的交点，

(1)求m 和k 的值；

(2)设双曲线)0(>=m x

m y 在A 、B 之间的部分为L,让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动，两直角边始

终与坐标轴平行，且与线段AB 交于M 、N 两点，请探究是否存在点P 使得MN=

AB 2

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，写出你的探究过程。

4.把两块全等的直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中∠ABC=∠DEF=900

,∠C=∠F=450

,AB=DE=4,把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q.

(1)如图1，当射线DF 经过点B,即点Q 与点B 重合时，易证△APD ∽△CDQ,此时AP ·CQ= (2)将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中00900<<α，问AP ·CQ 的值是否改变？说明你的理由。

(3)在（2）的条件下，设CQ=x ，两块三角板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式。

5.等腰三角形ABC,AB=AC=8,∠BAC=1200,P 为BC 的中点，小慧拿着含300角的透明三角板，使300

的顶点落在点P,三角板绕P 点旋转。

(1)如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时，求证：△BPE ∽△

(2)操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ，连接EF.

①△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由。

② 设EF=m ，△PFE 的面积为S,试用m 的代数式表示S.

6.已知：如图所示,关于x 的抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于点A(-2,0),点B(6,0)，与y 轴交于点C.求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

(1)在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并写出直线AD 的解析式； (2)在（2）中的直线AD 角抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x 轴上有一动点Q,是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。

7.在平行四边形ABCD 中，AB=4,BC=3,∠BAD=1200,点E 为射线BC 上的一动点（不与点B 、C 重合），过点E 作EF ⊥AB,FE 分别交线段AB 、射线DC 于点F 、G. (1)如图，当点E 在线段BC 上时， ① 求证：△BEF ∽△CEG;

② 如设BE=x ，△DEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）点E 在射线BC 上运动时，是否存在2:3:=∆∆DEC AFD S S ?若存在，请求出BE 的长。

8.如图，双曲线x y 2-=和x y 8-=在第二象限中的图像，A 点在x y 8-=的图像上，点A 的横坐标为m （m<0），

AC ∥y 轴交x y 2-=图像于点C,AB 、DC 均平行x 轴，分别交x y 2-=、x

y 8

-=的图像于点B 、D.

（1）用m 表示A 、B 、C 、D 的坐标； （2）求证：梯形ABCD 的面积是定值； （3）若△ABC 与△ACD 相似，求m 的值。

已知，在坐标系中，三角形OAB的面积为6，BC:AC=3:1，求经过点A的双曲线解析式。