轧制原理第六讲---新

d σ x y + σ x dy = −τ f ds cos θ + pds sin θ
d (σ x y ) = +τ f ds cos θ + pds sin θ
根据屈服条件， x = p − K，而 σ
d [hθ ( p − K )] = 2R( p sinθ ∓ τ f cosθ ) dθ
y = hθ 2， ds = Rdθ
代入上式，
Karmann方程的这种表达形式，后面将用来与Orowan方程相比 较。
卡尔曼方程的求解条件
单位摩擦力 τ f 沿接触弧的分布规律 ① 全滑动：
τ f ＝f ⋅ p
( f = const )
其中 f 为摩擦系数，当接触面上摩擦不严重时，采用该摩擦规 律是适合的。很多 p分布式的求解都应用了该规律，如采利柯 夫、Bland、Stone、克拉廖夫、Smith等公式。 ② 全粘着：
Karman方程 方程
现对该式进行近似处理并整理 ① 忽略高阶无穷小量dσ x dy ； ② 方程两边同时乘以 ydx； ③ ds = dx cosθ = dy sin θ ； 则得
dσ x σ x dy τ f p dy + + − =0 dx y dx y y dx
dσ x p − σ x dy τ f − ⋅ + =0 dx y dx y
Karman方程的采利柯夫解 方程的采利柯夫解
假定条件
τf ① 摩擦规律—接触面全滑动： =
f ⋅ p，接触面摩擦不太严重时
适用。 ② 接触弧方程（ y =
f (x) 关系）—以弦代弧：
根据两点式直线方程，在所规定的坐标系下，找出两个
y 点： , h 2) ，, H 2) ，由此可写出直线方程为： = (l (0
将其代入(1)式中，得
dp K dy τ f − + =0 dx y dx y
同理，前滑区的Karman方程为
dp K dy τ f − − =0 dx y dx y
这就是著名的Karman微分方程式。
Karman方程 方程
Karmann微分方程式的第二种表达形式 将高阶无论穷小略去后，式 dσ x y + σ x dy + τ f ds cos θ − pds sin θ = 0 可写成如下的形式
τ f =η ⋅
dv x dy
即摩擦切应力 τ f 与流体的速度梯度成正比，这一规律称为 Newton定律，比例系数η 称为液体的粘度系数。该规律仅适于 冷轧，为Nadai公式所采用。
卡尔曼方程的求解条件
⑤ 对屈服应力加权：
τ f = m⋅ k
( 或τ
f
= m ⋅σ s )
其中0 < m < 1，为摩擦因子。该规律一般用于接触面摩擦较重的情 况，为切克马廖夫所采用。 ⑥ 摩擦切应力是单位压力的某个函数：
∓ f =e ∫
y ⋅dx
± f ⋅ (∫ K y ⋅ e ∫
y ⋅dx
⋅ dy + c)
Karman方程的采利柯夫解 方程的采利柯夫解
求特解（确定积分常数） 首先将上式中的 dx换算成dy ，由y = ∆h x + h ，则dy = ∆h dx ，故 dx =
2l 2
2l
2l dy ∆h
将此式代入上式中，且令2l f
Karman方程 方程
假定条件： (1) 材料为各向同性、均质连续体；
∆b (2) 当 b 很大时，宽展很小，可以忽略， = 0 ；
σ (3) 变形区内各截面上的 v x、 x 沿高度方向不变—平截面假定；
h
(4) 变形区内轧件的长、宽、高方向就是主方向； (5) 不考虑轧辊的弹性压扁及轧件的弹性变形，冷轧过程需考 虑。 (6) 沿接触弧上的整个宽度上的单位压力相同，故以单位宽度 为研究对象；
= 2 y。同样方法，可得到具有前后张力时的采利柯夫单位
压力 p 的分布函数式： 后滑区：p 前滑区： p
h
H
=
K H ⋅ (ξ H δ − 1) ⋅ ( )δ + 1 hx δ
=
h K ⋅ (ξ hδ + 1) ⋅ ( x )δ − 1 h δ
中性角的确定
Karman方程 方程
建立近似平衡微分方程
在后滑区取一宽为的微分单元体小条，其上受力如图所示，则 由 ∑ X = 0 ，有 化简后
2(σ x + dσ x )( y + dy ) − 2σ x y + 2τ f ds cos θ − 2 pds sin θ = 0
dσ x y + σ x dy + dσ x dy + τ f ds cos θ − pds sin θ = 0
(1)
近似屈服条件 由假定④，知σ
1
= −σ x ,
σ 2 = −σ z = −σ m ,
σ 3 = −σ y = − p
，这里 p 是单压
力而非静水压力。
Karman方程 方程
根据屈服条件，1 − σ 3 = 2k = K ，即 σ
− σ x − (− p) = K p −σ x = K
σx = p−K dσ x = dp
轧制原理
主讲： 主讲： 张荣华 Emai:zrh1980@ 河北联合大学金属材料与加工工程系
α
第五章 轧制单位压力分布函数式
主要内容 基本概念 Karman方程及其采利柯夫解 方程及其采利柯夫解 Orowan方程及其Sims解 Karman方程与Orowan方程的比较
3.1 基本概念
hγ 1 + 1 + (ξ H δ − 1) ⋅ (ξ hδ + 1) ⋅ ( H h ) δ = h ξ hδ + 1

1δ
其中 ξ H
= 1 − qH K ,
ξ h = 1 − qh K
Orowan单位压力微分方程 单位压力微分方程
假定条件 ① 材料为各向同性、均质连续体； ② ∆b = 0 ； ③ 径向应力σ r 沿高度方向非均匀分布； ④ 切应力τ θ r 在变形区内呈线性分布， 如图1所示， ′ = 0, τ rθ θ
（1）
Karman方程的采利柯夫解 方程的采利柯夫解
+δ 同理，对前滑区可得： ph = ch ⋅ y − K δ
（2）
下面利用边界条件求出积分常数 cH 和 ch 。 将入口处的边界条件：
y x=l， =H 2, p = K （无张力时），代入（1）式，则
K = c H ⋅ ( H 2) −δ + K δ
dp f K dy ± ( )⋅ p = ⋅ dx y y dx
为推导方便，该式可写成如下形式：
p ′ ± P( x ) ⋅ p = Q ( x )
此为一阶变系数非齐次微分方程，根据《高等数学》，其 通解为：
∓ P ( x )⋅dx ± P ( x )⋅dx p=e ∫ ⋅ ( ∫ Q( x) ⋅ e ∫ ⋅ dy + c)
1
因在中性面处有 ph = p H ，即 将hγ h 解出：hh
γ
当有前、后张力 qh ,
1 + 1 + (δ − 1) ⋅ ( H h ) = δ +1
2
δ
qH
时：

δ
K hγ K H ⋅ (δ − 1) ⋅ ( )δ + 1 = ⋅ (δ + 1) ⋅ ( )δ − 1 δ hγ h δ
0 0 L L
其中 R ⋅ dθ = ds ， ds = dx cos θ，B = ( B + b) 2
基本概念
平均单位压力 平均单位压力指接触面水平投影面积上单位压力 p 的平均值。 用 p 表示。
p=P F
建立卡尔曼单位压力微分方程的思路 在一定的假设条件下，于变形区内任意取一微分体，分析作 用在此微分体上的各种作用力，根据力平衡条件，将各力通过 微分平衡方程联系起来，同时运用塑性方程，接触弧方程，摩 擦规律及边界条件来建立单位压力微分方程，并求解。
变形抗力的取法
① 无硬化： = （热变形适用） K c ② 有硬化，但取平均值： K＝ K H＋K h）2 （ ③ 线性关系加权： K＝a ⋅ K H ＋b ⋅ K h 其中a、b为权。 ④ 带张力时： K z
= K −q
H n ) hx
⑤ K 沿接触弧具有分布函数关系：
K ′＝ν ⋅ K ⋅ (
其中 ν 、 为常数，通过两个实验可定。 n
=c
−δ 1
⋅y
−δ
⋅ c + K ⋅c
[
+δ 1
⋅ y δ + c2
δ
]
= c1−δ ⋅ y −δ
[ ⋅ [c + K ⋅ ∫ c
+δ 1
⋅ y δ −1dy
]
]
= c1−δ ⋅ c ⋅ y −δ + K ⋅ δ −1 + c1−δ ⋅ c2⋅ ⋅ y −δ = ( c1−δ ⋅ c + c1−δ ⋅ c2⋅ ) ⋅ y −δ + K δ = c H ⋅ y −δ + K δ
p 无张力： = h 2 ， = K y
p y 有前张力：= h 2 ， = K − q
h
H
= K (1 − q H K ) =ξ H ⋅ K
= K (1 − q h K ) =ξ h ⋅ K
将 ξ h 称为前张力系数。
Karman方程的采利柯夫解 方程的采利柯夫解
推导 ① 求通解: dp K dy τ f 由Karman方程∶ dx − y ⋅ dx ± y = 0 将 τf = f ⋅p 带入，则有