幂函数与二次函数(一轮复习课件))
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第四节 幂函数与二次函数
求二次函数解析式,一般运用待定系数法,选择规律如下:
考点三
二次函数的图象与性质(多考向探究预测)
考向1二次函数的图象
例题(多选)(2023·湖南岳阳高三检测)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为直线x=1,点B坐标为(-1,0),
则下列结论正确的是(
= 7.
= 8,
4
故 f(x)=-4x2+4x+7.
(方法 2 利用二次函数的顶点式)设 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
2+(-1)
因为 f(2)=f(-1),所以二次函数 f(x)图象的对称轴为直线 x= 2
又根据题意函数有最大值 8,所以 n=8,
所以 y=f(x)=a
1 2
x- +8.
( 1 )-( 2 )
x1≠x2,都有 - >1,不妨令 x1>x2,则
1 2
( 1 )-( 2 )
2
>1⇔f(x
1)-x1>f(x2)-x2,令 g(x)=f(x)-x=ax -2x+1,则函数 g(x)在[1,+∞)上
所以a<0,且f(x)max=f(-1)=-a=8,所以a=-8,
所以f(x)=-8x(x+2)=-8x2-16x.
引申探究2将本例中条件变为二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得
的线段长为2,且∀x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式.
解 因为f(2+x)=f(2-x)对任意的x∈R恒成立,所以f(x)的对称轴为直线x=2.
高考数学一轮复习第二章函数6幂函数与二次函数课件新人教A版2
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3
2.4幂函数与二次函数课件高三数学一轮复习
单调递减，则 n 的值为( B )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
【解析】 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只 有 n＝1 符合题意，故选 B.
12
12
11
3．若 a＝ 2 3 ，b＝ 5 3 ，c＝ 2 3 ，则 a，b，c 的大小关系是( D )
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
【解析】
∵y＝x
2 3
(x>0)是增函数，∴a＝12
2 3
>b＝15
2 3
.∵y＝12x 是减函数，
∴a＝12
2 3
<c＝12
1 3
，∴b<a<c.故选
D.
考点二 求二次函数的解析式
【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确 定此二次函数的解析式．
【思路探索】 根据 f(2)，f(－1)可设一般式；根据 f(x)的最大值为 8，可设顶点式； 根据隐含的 f(2)＋1＝0，f(－1)＋1＝0 可考虑零点式．
【解】 解法一(利用一般式)： 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得4aa－c4－ba＋b2c＝＝8－，1，
上单调
在x∈－2ba，＋∞上单调递减
函数的图象关于 x＝－2ba 对称
提醒：二次函数系数的特征 (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数 a 的正负决定图象的开口方向及开口大小． (2)－2ba的值决定图象对称轴的位置． (3)c 的取值决定图象与 y 轴的交点． (4)b2－4ac 的正负决定图象与 x 轴的交点个数．
(完整版)高考数学第一轮复习幂函数与二次函数
∴2m=0,∴m=0.
则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.
3.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象，则解
析式中指数k的值依次可以是( )
(A) 1, 1 ,3
2
(C) 1 , 1,3
2
(B) 1,3, 1
2
(D) 1 ,3, 1
2
【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3，则
k1<0,0<k2<1,k3>1,故选A.
4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数，则实数 a的取值范围是______. 【解析】二次函数f(x)的对称轴是x=1-a, 由题意知1-a≥3,∴a≤-2. 答案：(-∞,-2]
5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若f(x)<0的解集为R，则实数m的取
(A)a>0,4a+b=0
(B)a<0,4a+b=0
(C)a>0,2a+b=0
(D)a<0,2a+b=0
(2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. ①当a=-2时,求f(x)的最值； ②求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数； ③当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
【解析】设f(x)=xn,则 3 ( 3 )n ,
3
即
3
1n
32
,
1
n
1, n
2,f
x
x 2 .
2
2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5,-3)
二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
高考数学(理)一轮复习课件：第二章第四节 幂函数与二次函数(广东专用)
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
综上可知，当 0＜λ≤2 时，函数 g(x)在[－1＋2 λ，＋∞)上 是增函数．
因此 g(x)在(0,1) 上是增函数， 又 g(0)＝－1＜0，g(1)＝2－|λ－1|＞0， 故函数 g(x)在区间(0,1)上只有唯一的零点．
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
已知关于 x 的二次函数 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. (1)求证：对于任意 t∈R，方程 f(x)＝1 必有实数根； (2)若12＜t＜34，求证：方程 f(x)＝0 在区间(－1,0)及(0，12) 上各有一个实根．
【证明】 (1)由于 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. ∴f(x)＝1⇔(x＋2t)(x－1)＝0，(*) ∴x＝1 是方程(*)的根，即 f(1)＝1. 因此 x＝1 是 f(x)＝1 的实根，即 f(x)必有实根． (2)当12＜t＜34时，f(－1)＝3－4t＞0.
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
【解析】 ∵f(x)＝x2＋mx＋1 的对称轴方程为 x＝－m2 . ∴－m2 ＝1，∴m＝－2.
【答案】 A
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
3．(2011·陕西高考)函数 y＝x31的图象是( )
【解析】 因为当 x＞1 时，x＞x13，当 x＝1 时，x＝x31（广东专用）
(2)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝1可知c＝1. 又f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax ＋a＋b， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0. 因而a＝1，b＝－1.所以f(x)＝x2－x＋1.
人教a版高考数学(理)一轮课件：2.6二次函数、幂函数
[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶
定点
(0,0),(1,1)
(1)幂函数因幂指数不同而性质各异,图象更是多样,应熟 悉其图象的分布,着重掌握图象在第一象限的部分,抓住特殊点(1,1),并注意 把 y=x 和 y=x-1 进行比较,掌握它们的变化规律.关于幂函数 f(x)=xα 中的 α 可限定在集合 1,2,3, ,-1 中进行比较. (2)在区间(0,1)上,幂函数的指数越大,函数图象越靠近 x 轴(简记为指大 图低),在(1,+∞)上,幂函数的指数越大,函数图象越远离 x 轴.
1 2
)
【答案】B 【解析】设 f(x)=x ,则 3 3 = 故 α=-3,f(x)=x-3.
α
3 3
α
3 ,即32
=3
-
α 2.
5.(2012·湖北武汉模拟)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数, 且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式为 f(x)= . 【答案】 -2x2+4 【解析】 由于 f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2,结合已知条件可得 ab+2a=0,又函数 f(x) a ≠ 0, 的值域为(-∞,4],则 b = -2, 因此 f(x)=-2x2+4. 2a2 = 4.
1 2
(3)幂函数 y=xα(α∈R)的图象主要分为以下几类: ①当 α=0 时,图象是过(1,1)点的平行于 x 轴但抠去(0,1)点的一条“断” 直线; ②当 α 为正偶数时,幂函数为偶函数,图象过第一、二象限及原点; ③当 α 为正奇数时,幂函数为奇函数,图象过第一、三象限及原点; ④当 α 为负偶数时,幂函数为偶函数,图象在第一、 二象限,且不过原点; ⑤当 α 为负奇数时,幂函数为奇函数,图象在第一、 三象限,且不过原点.
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第4节 幂函数与二次函数
一
章
[课程标准要求]
2
3
1.通过具体实例,结合 y=x,y= ,y=x ,y= ,y=x 的图象,理解它
们的变化规律,了解幂函数.2.理解二次函数的图象和性质,能
用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是 自变量 ,α是常数.
2
2
所以 f(x)=a(x- ) +8.因为 f(2)=-1,所以 a(2- ) +8=-1,
2
2
解得 a=-4,所以 f(x)=-4(x- ) +8=-4x +4x+7.
法三
(利用“零点式”解题)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
2
即 y= x -x-4.
(2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离
等于2,则二次函数的解析式为
2
Hale Waihona Puke 2y= x +x- 或 y=- x -x+
.
解析:(2)因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),
位置.
(3)三看特殊点:看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴
的交点、与x轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数pptx课件
A．y＝x－1
1 B．y＝x－2
1 C．y＝x3
1 D．y＝x2
[解析] 选项A中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，选项B中函 数的定义域为(0，＋∞)，选项C中函数的定义域为R，选项D中函数的定 义域为[0，＋∞)，故选C.
11
8．(2018·上海，7)已知 α∈－2，－1，－2，2，1，2，3.若幂函数
2
[解析] ∵f(x)的图象过点2， 2 ，
21
1
1
∴2α＝ 2 ＝2－2，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2.
由 f(x)的图象可知，f(x)的减区间是(0，＋∞)．
3．(必修1P100T5改编)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函 数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递减，则m的值为( A )
m－3＝－3<0，符合题意，故m＝－1.故选A.
4．(必修1P53T2改编)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所 示，确定下列各式的正负：b___>___0，ac___<___0，a－b＋c___<___0.
b [解析] ∵a<0，－2a>0，∴b>0.
c ∵a＝x1x2<0，∴ac<0，a－b＋c＝f(－1)<0.
顶点坐标 奇偶性 对称轴
___－__2_ba_，__4_a_c4_－a__b_2_ _ 当___b_＝__0__时为偶函数
b 函数的图象关于直线 x＝－2a成轴对称
归纳拓展 1．二次函数解析式的三种形式： (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．一元二次不等式恒成立的条件： (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．
第03讲 幂函数与二次函数(八大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
一轮复习讲练测
第03讲 幂函数与二次函数
目录
C O N T E N T S
01
考情透视·目标导航
02
知识导图·思维引航
03
考点突破·题型探究
04
真题练 习 ·命题 洞见
05
课本典例·高考素材
06
易错分析·答题模板
01
考点要求
（1）幂函数的定义、图像与
性质
（2）二次函数的图象与性质
对于③：由幂函数的图象可知， 在R上单调递增，故③正确；
对于④：因为2 + 1 ≥ 1，且 在R上单调递增，所以 2 + 1 ≥ 1 ，故④错误，
综上可知，②③正确，①④错误．故选：B．
题型二：幂函数性质的综合应用
题型突破·考法探究
2
1 2
+−2
2
【典例2-2】已知幂函数 =
数在(−∞, −
当 =
]上递减，在[− , +∞)上递增，
2
2
− 时，()min
2
=
4−2
；
4
− ，
知识梳理·基础回归
（2）二次函数的图像
二次函数() =
+ + ( ≠ )的图像是一条抛物线，对称轴方程为 =
−
顶点坐标为(− ,
间两个端点和区间中点，一轴指对称轴．即注意对对称轴与区间的不同位
置关系分类讨论：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过
区间内部．
题型突破·考法探究
题型一：幂函数的定义及其图像
【典例1-1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点 2,4 ，则函数的解析式为
2023届高考数学一轮复习讲义：第10讲 幂函数与二次函数
第10讲 幂函数与二次函数1．幂函数 (1)定义形如 的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ ； ②顶点式：f (x )＝ ； ③零点式：f (x )＝ ． (2)二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减奇偶性当时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x＝－b2a成轴对称图形➢考点1 ******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()m nf x x(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（）A．m，n是奇数，且mn<1B．m是偶数，n是奇数，且mn>1C．m是偶数，n是奇数，且mn<1D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1 2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m mf x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．1C ．6D ．1或﹣63．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()(1)n f x m x =-的图象过点(,8)m ．设()0.32a f =，()20.3b f =，()2log 0.3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<[举一反三]1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x =2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 3．（2022·全国·高三专题练习）函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A ．(0,2)B ．[0,1)C ．[1,2)D ．(1,2]4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________.6．（2022·北京通州·一模）幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________． 7．（2022·重庆·二模）关于x 的不等式()999999999999121x x x --⋅≤+，解集为___________.8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______．10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()()11202g x h x h x x ⎫⎡⎫=-∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．➢考点2 二次函数的解析式[名师点睛]求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是_______2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式．[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ）A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x =-+C ．()236f x x x =- D ．()224f x x x =-2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（ ） A ．221x x -+ B ．221x x ++ C ．2221x x -+D ．2221x x +-3．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是二次函数且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，则函数()f x 的解析式为________.➢考点3 二次函数的图象与性质[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为（ ） A ．0a ≤B ．12a ≤-C ．1a ≤-D ．2a ≤-3．（2022·全国·高三专题练习）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________.4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.[举一反三]1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（ ）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x >2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（） A ．k ≤-8B ．k ≥4C ．k ≤-8或k ≥4D ．-8≤k ≤44．（2022·山东济南·二模）若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<，满足(1)(3)f f =，则下列不等式成立的是（ ） A ．(1)(4)(2)f f f << B ．(4)(1)(2)f f f << C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(2)(4)(1)f f f <<5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，若x 1<x 2，则（ ） A ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)<f (x 2) B ．当x 1+x 2=-2时，f (x 1)=f (x 2) C ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小与a 有关6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．（2022·全国·高三专题练习）如果函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则实数a 的取值范围是______.8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 的取值范围为____.9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，求实数m 的取值范围.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()24f x kx x k =-+． （Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．11．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥. (1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围第10讲 幂函数与二次函数1．幂函数 (1)定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a成轴对称图形➢考点1 ******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴(简记为“指大图高”)． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()mn f x x = (m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（ ）A ．m ，n 是奇数，且mn<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1 【答案】C 【解析】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ； 当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ； 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m mf x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6 B ．1 C ．6 D ．1或﹣6【答案】B 【解析】∵幂函数223()(55)()mmf x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴2255130m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数 1m ∴=或6m =-当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去 因此：m ＝1 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()(1)n f x m x =-的图象过点(,8)m ．设()0.32a f =，()20.3b f =，()2log 0.3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】D 【解析】因幂函数()()1nf x m x =-的图象过点(),8m ，则11m -=，且8n m =，于是得2m =，3n =，函数3()f x x =，函数()f x 是R 上的增函数，而20.32log 0.300.312<<<<，则有20.32(log 0.3)(0.3)(2)f f f <<，所以c b a <<. 故选：D [举一反三]1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x =【答案】D 【解析】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，将点(的坐标代入解析式得3α=12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数， 故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A ．(0,2) B ．[0,1) C ．[1,2) D ．(1,2]【答案】C 【解析】函数2()-=a f x x 单调递减可得20a -<及2a <；函数4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 单调递减可得014a <<，解得04a <<，若函数2()-=a f x x与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减，可得02a <<，由题可得所求区间真包含于()0,2，结合选项，函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是C.故选：C.4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =， 对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误； 对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞， 所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确； 对于C ：因为12()f x x =，所以()f x '=设切点坐标为(0x ，则切线斜率为()0k f x ='切线方程为0)y x x =-，又因为切线过点1(0,)2P ，所以01)2x =-，解得01x =，即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+，即选项C 正确；对于D ：当120x x <<时，()()212221212[]222f x f x x x x x f +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎝⎭212024x x +===-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12 【解析】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故答案为：12．6．（2022·北京通州·一模）幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________． 【答案】1，1-（答案不唯一） 【解析】因为幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，所以0m >，因为幂函数()ng x x =在()0,∞+上单调递减，所以0n <，又因为()()y f x g x =-是奇函数，所以幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，所以m 可以是1，n 可以是1-.故答案为：1，1-（答案不唯一）.7．（2022·重庆·二模）关于x 的不等式()999999999999121x x x --⋅≤+，解集为___________.【答案】[)1,-+∞ 【解析】由题设，99999999(1)(2)1x x x --≤+，而9999y x =在R 上递增，当12x x ->即1x <-时，99999999(1)(2)01x x x -->>+，原不等式不成立； 当12x x -≤即1x ≥-时，99999999(1)(2)01x x x --≤≤+，原不等式恒成立. 综上，解集为[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快．9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______． 【答案】3x （答案不唯一） 【解析】设幂函数()f x x α=，由题意，得()f x x α=为奇函数，且在定义域内单调递增，所以21n α=+（N n ∈）或m nα=（,m n 是奇数，且互质）， 所以满足上述条件的幂函数可以为()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【解】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数， 当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t ，则21122x t =-+，(]01t ∈，， 则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，， 函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0=t 时，函数()102f =， 当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，． ➢考点2 二次函数的解析式求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是_______ 【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【解析】法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a ⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f （2）＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝21()82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2)812a -+=-，解得a ＝－4，所以f (x )＝214()82x --+＝－4x 2＋4x ＋7.法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式．【解】解：因为()f x 为二次函数，所以设()2f x ax bx c =++，因为()00f =，所以0c ，所以()2f x ax bx =+，所以()()()()()22212121442f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++，因为()()22132f x f x x x +-=++，所以()()223432ax a b x a b x x ++++=++，所以31a =，43a b +=，2a b +=，所以13a =，53b =，所以()21533f x x x =+．[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ）A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x =-+C ．()236f x x x =- D ．()224f x x x =-【答案】A 【解析】 对于函数12x y a -=+，当1x =时，023y a =+=， 所以函数12x y a-=+过定点P ()1,3，设以P ()1,3为顶点且过原点的二次函数()()213f x a x =-+，因为()f x 过原点()0,0，所以()20013a =-+，解得：3a =-，所以()f x 的解析式为：()()2231336f x x x x =--+=-+，故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（ ） A ．221x x -+ B ．221x x ++ C ．2221x x -+ D ．2221x x +-【答案】B 【解析】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+， 由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是二次函数且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，则函数()f x 的解析式为________. 【答案】2()1f x x x =-+【解析】解：由题意，设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 因为(0)1f =，即1c =，所以2()1f x ax bx =++，所以()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x ⎡⎤+-=++++-++=++=⎣⎦， 从而有220a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==-，所以2()1f x x x =-+， 故答案为：2()1f x x x =-+.➢考点3 二次函数的图象与性质[名师点睛]二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③【答案】B【解析】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+．由①②中函数()g x 的图象得00ac bc >⎧⎨<⎩，若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->， 又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求；若0c >，则00a b >⎧⎨<⎩，此时()00f c =>，02ba ->， 又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数()g x 的图象得00ac bc <⎧⎨>⎩，若0c >，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =>，02ba ->， 又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->， 又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求． 综上，②③符合题意， 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为（ ） A ．0a ≤ B ．12a ≤-C ．1a ≤-D ．2a ≤-【答案】D【解析】解：因为()221f x x ax =+-的对称轴为x a =-，开口向上，所以1a -≥，解得1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的充要条件为1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为2a ≤-；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________.【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a-≤，即1a ≥-，同时 需满足1(2)()02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<，解得142a -<<， 综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[0，1]【解析】对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，即1122()()()()f x g x f x g x --＜，令2()()()21F x f x g x x a x =-=--，即12()()F x F x ＜只需在[0，2]上单调递增即可，当1x =时，()1F x =，函数图象恒过()1,1；当1x ＞时，2()22F x x ax a =-+； 当1x ＜时，2()22F x x ax a =+-； 要使()F x 在区间[0，2]上单调递增，则当2x ≤1＜时，2()22F x x ax a =-+的对称轴1x a =≤，即1a ≤；当1x ≤0＜时，2()22F x x ax a =+-的对称轴0x a =-≤，即0a ≥； 且12121212a a a a +⨯-≤-⨯+, 综上01a ≤≤ 故答案为：[0，1].[举一反三]1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（ ）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x >【答案】B 【解析】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为 ()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，函数2y ax bx c =++，因为0a b c ++=，令1x =，可得0y a b c =++=，即函数图象过点(1,0)， 又由a b c >>，可得0,0a c ><，所以抛物线的开口向上，可排除D 项， 令0x =，可得0y c =<，可排除B 、C 项； 故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（） A ．k ≤-8 B ．k ≥4 C ．k ≤-8或k ≥4 D ．-8≤k ≤4【答案】C【解析】函数2()28f x x kx =--对称轴为4kx =， 要使()f x 在区间[-2，1]上具有单调性，则 24k≤-或14k ≥，∴8k ≤-或4k ≥ 综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4. 故选：C.4．（2022·山东济南·二模）若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<，满足(1)(3)f f =，则下列不等式成立的是（ ） A ．(1)(4)(2)f f f << B ．(4)(1)(2)f f f << C ．(4)(2)(1)f f f << D ．(2)(4)(1)f f f <<【答案】B【解析】因为(1)(3)f f =，所以二次函数2()f x ax bx c =++的对称轴为2x =， 又因为0a <，所以(4)(3)(2)f f f <<， 又(1)(3)f f =，所以(4)(1)(2)f f f <<.故选：B.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，若x 1<x 2，则（ ） A ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)<f (x 2) B ．当x 1+x 2=-2时，f (x 1)=f (x 2) C ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小与a 有关 【答案】AB【解析】二次函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)的图象开口向上，对称轴为x =-1， 当x 1+x 2=-2时，x 1，x 2关于x =-1对称，则有f (x 1)=f (x 2)，B 正确；当x 1+x 2>-2时，而x 1<x 2，则x 2必大于-1，于是得x 2-(-1)>-1-x 1，有| x 2-(-1)|>|-1-x 1|, 因此，点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离，即f (x 1)<f (x 2)，A 正确，C 错误； 显然当a >0时，f (x 1)与f (x 2)的大小只与x 1，x 2离-1的远近有关，与a 无关，D 错误. 故选：AB6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BC 【解析】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤， 结合a 是正整数，所以BC 正确. 故选： BC.7．（2022·全国·高三专题练习）如果函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[2,0]-【解析】当0a =时，()61f x x =-，在(,1)-∞上为增函数，符合题意，当0a ≠时，要使函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则需满足0a <且对称轴为612a x a+=-≥，解得：2a ≥-，即20a -≤<， 综上所述：实数的取值范围是：[2,0]-. 故答案为：[2,0]-8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 的取值范围为____. 【答案】[]1,3【解析】函数f （x ）＝x 2﹣2x 的对称轴方程为x ＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x ≥1时，函数为增函数，且(3)3f =∴要使函数f （x ）＝x 2﹣2x 在定义域[﹣1，n ]上的值域为[﹣1，3]，实数n 的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，求实数m 的取值范围. 【解】(1)由题意得：()02f c ==，()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=-所以22a =，1a b +=-，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 的解析式为()222f x x x =-+.(2)()()()222g x f x mx x m x =-=-++，对称轴为22m x +=，要想函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，则要满足212m +≤-或222m +≥，解得：4m ≤-或2m ≥，故实数m 的取值范围是(][),42,-∞-+∞.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()24f x kx x k =-+． （Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1xk ，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x =+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞11．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥. (1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.【解】(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++， 因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =，所以2(1)2f x x x =++.(2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
(江西专用)高考数学一轮复习 2.4二次函数与幂函数课件 文 新人教A版
④图像在点(1,1)处发生交叉.
(2)当α<0时 ①图像都通过点(1,1). ②在第一象限内,函数值随x的增大而减小.
③图像在点(1,1)处发生交叉.
1.已知幂函数f(x)过点(4,2),则f(9)等于 ( (A)1. (B)2.
α
)
(C)3.
(D)4.
α
【解析】设f(x)=x ,点(4,2)在函数图像上,∴2=4 ,
x轴的下方即可.
(2)函数的图像关于直线x=1对称,则定义域关于1对称,可列 出一个方程.对称轴为直线x=1,也可列出一个方程.解二元一
次方程)=-2x +6x-m=-2(x -3x+ )-m+ =-2(x- ) -m+ ≤m+ , ∵函数f(x)=-2x +6x-m的值恒小于0, ∴-m+ <0,∴m> .
1 a
1 的图像知a<0,而直线在y轴上的截距- a
>0,不符
合.通过比较知C符合. 【答案】C
3.若f(x)=x -ax+1有负值,则实数a的取值范围是( (A)a≤-2. (C)a>2或a<-2.
2
2
)
(B)-2<a<2. (D)1<a<3.
【解析】∵f(x)=x -ax+1有负值, ∴Δ=a -4>0,即a>2或a<-2.
2
【答案】(1)( ,+∞) (2)30 【点评】(1)(2)从二次函数的开口方向与参数的结合命题, 还结合了恒成立与对称轴等问题,属二次函数的性质与应用 范围.
9 2
变式训练1 (1)若函数f(x)=x +ax(a∈R),则下列结论成立的 是 ( )
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 4 第4讲 二次函数与幂函数课件 理
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2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝_____ax_2_＋__bx_＋__c_(a_≠__0_)_____． ②顶点式：f(x)＝_____a_(x_－__m_)_2＋__n_(a_≠__0_)____． ③零点式：f(x)＝____a_(x_－__x_1)_(x_－__x_2)_(a_≠__0_)___．
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法二：(利用顶点式) 设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为 f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为 x＝2＋（2－1）＝12. 所以 m＝12.又根据题意函数有最大值 8，所以 n＝8， 所以 f(x)＝ax－122＋8. 因为 f(2)＝－1，所以 a2－122＋8＝－1， 解得 a＝－4，所以 f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
调递减，则 a 的取值范围是( )
A．a≥3
B．a≤3
C．a<－3
D．a≤－3
解析：选 D.函数 f(x)＝x2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其 对称轴是 x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知， 区间(－∞，6)应在直线 x＝－2a 的左侧， 所以－2a≥6，解得 a≤－3，故选 D.
4a .( )
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(5)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R 不可能是偶函数．( ) (6)在 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同 一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
调 在____－__2_ba_，__＋__∞_____上单 性
2024届新高考一轮复习北师大版 第2章 第4节 幂函数与二次函数 课件(54张)
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2．一元二次不等式恒成立的条件
若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当aΔ><00， 时恒有 f(x)>0，当aΔ<<00， 时，
恒有 f(x)<0.
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[思考辨析] 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) ， x ∈ [m ， n] 的 最 值 一 定 是 4ac－b2 4a .( ) (2)在 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角 坐标系中的开口大小．( )
B．(－∞，－210 )
C．(210 ，＋∞)
D．(－210 ，0)
C 由题意知aΔ><00 即a1>－020a<0 ，解得 a>210 .故选 C.
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3．幂函数 f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且 f(x)在区间(0，＋∞)
上是减函数，则 a 等于( )
A．3
B．4
C．5
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(3)函数
是幂函数．( )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (5)当 n<0 时，幂函数 y＝xn 是定义域上的减函数．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
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[对点查验]
1．若幂函数的图象经过点2，14 ，则它的单调递增区间是(
)
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
D 设 f(x)＝xα，则 2α＝14 ，α＝－2，即 f(x)＝x－2，它是偶函数，单
调递增区间是(－∞，0).故选 D.
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(1)试比较a＝1.2
1 2
，b＝0.9－
1 2
，c＝1.1
1 2
的大小关系
________．
(2)正整数p使函数f(x)＝xp－2在(0，＋∞)上是减函数，则
p＝________，函数的单调递减区间________.
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4. 常用幂函数的性质
函数
特征 y＝x
性质
定义域 R
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
特殊点
(1,1) (0,0)
y＝x2
R [0，＋∞)
偶 x∈[0，＋∞)
时，__ x∈(－∞，0]
时，__
(1,1) (0,0)
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第4讲 幂函数与二次函数
泰安二中数学2020年3月25日星期三
第二章 第4讲
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1. 二次函数的定义
形如：f(x)＝____________的函数叫做二次函数．
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(1) 函 数 f(x) ＝ ax2 ＋ ax ＋ 1 在 x 轴 的 上 方 则 a 的 取 值 范 围 ________．
(2)f(x) ＝ x2 － 2x ＋ 2 的 定 义 域 ， 值 域 均 为 [1 ， b] ， 则 b ＝ ________.
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设 f(x) ＝ (m － 1)xm2 － 2. 如 果 f(x) 是 正 比 例 函 数 ， 则 m ＝ ________，如果f(x)是反比例函数，则m＝________，如果f(x)是 幂函数，则m＝________.
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[审题视点] 先利用幂函数的定义确定出m的取值范围，再 利用f(x)在(0，＋∞)上是增函数确定m的具体值．
[解] ∵f(x)是幂函数， ∴m2－m－1＝1， ∴m＝－1或m＝2， 当m＝－1时，m2＋m－3＝－3， 当m＝2时，m2＋m－3＝3， ∴f(x)＝x－3或f(x)＝x3，
y＝x3
R R 奇
增
(1,1) (0,0)
1 y＝x2
y＝x－1
[0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
[0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
非奇非偶
奇
x∈(0，＋∞) 时，__ 增
x∈(－∞，0) 时，__
(1,1) (0,0)
(1,1)
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2. 二次函数的图象与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 值域
单调性
最值
顶点
对称轴
R
R
__________
__________
在__________上递减，在_________上递 增.
在______上递增，在______上递减．
当x＝－2ba时，函数有最小值________
3. 幂函数的概念 形 如 ________ 的 函 数 叫 做 幂 函 数 ， 其 中 ________ 是 自 变 量，________是常数．
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幂函数与指数函数有何不同？y＝(x＋1)3，y＝x3－1，y ＝ x是幂函数吗？
当x＝－2ba时，函数有最大值________
(－2ba，4ac4－a b2)
函数的
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4ac4－a b2一定是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值吗？
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例1 [2013·苏州调研]已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋
m－3是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的
值为( )
A．－1
B．2
C．－1或2
D．3
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1 个必会代表 函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12 ，y＝x－1 可做为研究和学习 幂函数图象和性质的代表．
2 种必会方法 1. 函数 y＝f(x)对称轴的判断方法 对于二次函数 y＝f(x)对定义域内所有 x，若有 f(x1)＝f(x2)， 那么函数 y＝f(x)的图象关于 x＝x1＋2 x2对称． 2. 对于二次函数 y＝f(x)对定义域内所有 x，都有 f(a＋x)＝f(a －x)成立的充要条件是函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对 称(a 为常数)．
1. 理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 2. 会求二次函数在闭区间上的最值． 3. 能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的 联系去解决有关问题．
4. 了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝1x，y＝x21 的图象，了解它们的变化情况.
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3个熟知规律 1. 在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函 数的图象数形结合来解，一般从四个方面分析：①开口方向； ②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号． 2. 在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二 次函数的图象、性质求解． 3. 研究二次函数图象要结合二次函数对应方程的根及对应 二次不等式的解集来确定图象形状.