正十七边形尺规作图和详解

解读“数学王子”高斯正十七边形的作法

一、高斯的传奇故事

高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。这时的高斯只有3岁！

高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。有一天，布德勒让全班学生计算 1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。”

布德勒抬头一看，大吃一惊。小石板上写着 5050，一点也没有错！高斯的算法是

1 ＋

2 ＋3＋……＋98＋99＋100

100＋99＋98＋……＋3＋ 2＋1

101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝10100

10100÷2＝5050

高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！

1796年的一天，德国哥廷根大学。高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。第三道题写在另一小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。

这道题把他难住了——所学过的数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。他绞尽脑汁，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口露出曙光时，他终于解决了这道难题。

当他把作业交给导师时，感到很惭愧。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，……”导师看完作业后，激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米得没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为拿错了，才将写有这道题目的纸条交给了学生。

在这件事情发生后，高斯曾回忆说：“如果有人告诉我，那是一道千古难题，我可能永远也没有信心将它解出来。”

1796年3月30日，当高斯差一个月满十九岁时，在期刊上发表《关于正十七边形作图的问题》。他显然以此为自豪，还要求以后将正十七边形刻在他的墓碑上。然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形，而刻着一颗十七角星，原来是负责刻纪念碑的雕刻家认为：“正十七边形和圆太像了，刻出来之后，每个人都会误以为是一个圆。”

1877年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章。上面刻着：“汉诺威王乔治V. 献给数学王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi)”，自那之后，高斯就以“数学王子”着称于世。

二、高斯正十七边形尺规作图的思路（这里是纯三角法）

作正十七边形的关键是作出cos

172π，为此要建立求解cos 17

2π

的方程。 设正17边形中心角为α，则17α＝2π，即16α＝2π－α 故sin16α＝－sinα ，而

sin16α

＝2sin8α cos8α

＝4sin4α cos4α cos8α

＝8 sin2α cos2α cos4α cos8α

＝16 sinα cosα cos2α cos4α cos8α

因sinα ≠0，两边除以sinα，有

16cosα cos2α cos4α cos8α＝－1

由积化和差公式，得

4(cosα＋cos3α)(cos4α＋cos12α)＝－1

展开，得

4(cosα cos4α＋cosα cos12α＋cos3α cos4α＋cos3α cos12α)＝－1

再由积化和差公式，得

2[(cos3α＋cos5α)＋(cos11＋cos13α)＋(cosα＋cos7α)＋(cos9α＋cos15α)]＝－1

注意到cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α，cos9α＝cos8α，cos15α＝cos2α，有

2(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－1

设 a＝2(cosα+ cos2α+cos4α+ cos8α)，b＝2(cos3α+ cos5α+cos6α+ cos7α)，则 a＋b＝－1

又ab＝2(cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α)·2(cos3α＋cos5α＋cos6α＋

cos7α)

＝4cosα(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos2α(cos3α＋cos5α＋c os6α＋cos7α)＋4cos4α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＋4cos8α(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)

再展开之后共16项，对这16项的每一项应用积化和差公式，可得：

ab ＝2 [(cos2α＋cos4α)＋(cos4α＋cos6α)＋(cos5α＋cos7α)＋(cos6α＋cos8α)＋(cosα＋cos5α)＋(cos3α＋cos7α)＋(cos4α＋cos8α)＋(cos5α＋cos9α)＋(cosα＋cos7α)＋(cosα＋cos9α)＋(cos2α＋cos10α)＋(cos3α＋cos11α)＋(cos5α＋cos11α)＋(cos3α＋cos13α)＋(cos2α＋cos14α)＋(cosα＋cos15α)]

注意到cos9α＝cos8α，cos10α＝cos7α， cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α，cos14α＝cos3α，cos15α＝cos2α，有

ab ＝2×4(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－4

因为cosα＋cos2α＋cos8α＝(cos

172π＋cos 174π)＋cos 17

16π

＝2cos 17πcos 173π－cos 17π＝2cos 17π(cos 173π－21

)

又 0 < 173π < 3π < 2π

所以cos 173π> 2

1

即cosα＋cos2α＋cos8α > 0 又因为 cos4α＝cos

17

8π

> 0 所以 a ＝cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α > 0 又 ab ＝-4< 0 所以有a > 0， b< 0