相似三角形详细讲义
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
相似三角形的性质和应用讲义
学生： 科目： 第 阶段第 次课 教师：课 题相似三角形的性质和应用教学目标1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.重点、难点1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.考点及考试要求1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
教学内容 知识框架1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.考点一：计算线段的长或线段之间的比典型例题1典型例题1、 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AC =6，DB =5，求AD 的长．分析：由已知AC =6，DB =5，选用AB AD AC ⋅=2来解决，考虑△ACD ∽△ABC ．解：在△ACD 和△ABC 中，∵∠A =∠A ，∠ADC =∠ACB =90°， ∴△ACD ∽△ABC ． ∴ACAD AB AC =．∴AB AD AC ⋅=2． 设AD =x ，则AB =x +5，又AC =6，ABC DA B CDE∴)5(62+=x x ． 03652=-+x x 解得：x =4（舍去负值） ∴AD =4．针对性练习针对练习： 如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，底边上的高AD=10cm ，腰AC 上的高BE=12cm ．（1）求证：35=BD AB ；2典型例题2 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2＝2CD 〃AC ．思考：欲证 BC 2＝2CD 〃AC ，只需证BCACCD BC =2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，该怎么办？证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ，∵BD ⊥AC 于D ，∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ．∴ △BCE ∽△ACB ．∴BC AC CE BC =， ∴BCACCD BC =2 ∴BC 2＝2CD 〃AC ．针对练习：证法二（构造2AC ）：证法三（构造BC 21）：知识概括、方法总结与易错点分析1、 相似三角形对应边成比例；2、从结论出发找到边所在的三角形，再利用已知条件证明三角形相似。
相似三角形的性质与判定讲义)
相似三角形的性质与判定讲义)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形模型(全)课件
在解题过程中，可以根据题目的条件 选择适当的方法来证明或推导结论。
全等三角形可以用来证明两个三角形 完全重合，而相似三角形则可以用来 研究两个三角形的形状和大小关系。
05
相似三角形的证明方法
利用角角相似的证明方法
01
02
03
总结词
通过比较两个三角形的对 应角，如果两个三角形有 两组对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形的对应角相等
总结词
如果两个三角形相似，则它们的 对应角相等。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两 个三角形对应的角都相等，则这 两个三角形是相似的。因此，相 似三角形的对应角必然相等。
相似三角形的对应边成比例
总结词
如果两个三角形相似，则它们的对应边之间存在一定的比例关系。
详细描述
由于两个三角形相似，它们的对应角相等，根据三角形的性质，对应的边之间 必然存在一定的比例关系，这个比例关系是固定的，与三角形的形状和大小无 关。
相似三角形的面积比等于边长比的平方
总结词
如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长之比 的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长之比是 固定的，设为k。那么它们的面积之比就是k的平方，即k^2 。这意味着相似三角形的面积比等于边长比的平方。
相似三角形的周长比等于边长比
相似三角形模型(全)课件
目 录
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形的性质和定理 • 相似三角形的应用 • 相似三角形与全等三角形的关系 • 相似三角形的证明方法
01
相似三角形的基本概念
相似三角形的定义
相似三角形的定义
相似三角形的性质
如果两个三角形对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形知识讲义终极版
相似三角形知识讲义（第一课时）一： 相似图形形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.二：相似变换 由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换。
图形相似变换的性质 1.图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；2.图形相似变换后对应线段都扩大（或缩小）相同的倍数，这个数叫相似比。
三：相似三角形成比例线段一： 比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． (3) 比例内项、比例外项、比例中项相关概念练习.下列线段能成比例线段的是（ ）(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm二: 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=． 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a c c d a a b d c b a 等等．等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么ba n f db m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．《比例的性质》练习题一、填空题1.如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的比例中项x=___________。
相似三角形的性质与判定专题讲义
相似三角形的性质与判定专题讲义一、知识梳理（一）、相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角，对应边。
2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于。
3、相似三角形对应周长的比等于。
4、相似三角形对应面积的比等于。
注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进行分类讨论。
（二）、相似三角形的判定：1、判定两个三角形相似的条件：（1）平行截割： _____（2）两角对应相等：（3）两边夹：（4）三边比：_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤：（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。
（3）若找不到相等的角，就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端各自拉关系。
二、基础练习1．（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：162．两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为32cm2，那么小三角形的面积为（）A．10cm2B．14cm2C．16cm2D．18cm23．如图，已知△ABC，AB=6，AC=4，D为AB边上一点，且AD=2，E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE=（）A．2 B．34C．3或43D．3或344．（2008•毕节地区）已知△ABC的三条长分别为2cm，5cm，6cm，现将要利用长度为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（）A．10cm，25cm，30cmB ．10cm ，30cm ，36cm 或10cm ，12cm ，30cmC ．10cm ，30cm ，36cmD ．10cm ，25cm ，30cm 或12cm ，30cm ，36cm 5．（2010•淄博）在一块长为8、宽为32的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是．6．如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB＝5，求： （1）AGAF；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；三、 重难点高效突破专题一：计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是：1、运用勾股定理计算；2、运用相似三角形对应边成比例计算；3、综合运用进行计算。
九年级数学相似三角形的判定及证明技巧讲义
相似三角形是中学数学中的一个重要内容，对于九年级学生来说，掌握相似三角形的判定及证明技巧是必不可少的。
本文将详细讲解相似三角形的判定及证明技巧，帮助学生更好地理解和运用这一知识点。
一、相似三角形的判定：1.AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形相似。
2.AA相似判定法：如果两个三角形的一个角对等于另一个角，且两个角的对边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF，那么这两个三角形相似。
3.SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形相似。
4.平行线判定法：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，那么这两个三角形相似。
二、相似三角形的证明技巧：1.用平行线证明相似：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以使用平行线的性质，如同位角相等、内错角互补等。
2.用角度证明相似：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知信息，使用角度的性质进行推导。
3.用边长比证明相似：如果两个三角形的对应边长比相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知的边长比，通过等式推导得出结论。
4.用等腰三角形证明相似：如果两个三角形分别为等腰三角形，且对应的顶角相等，则这两个三角形是相似的。
以上是常用的相似三角形的判定及证明技巧，希望对九年级的数学学习有所帮助。
在学习过程中，要多加练习，掌握不同方法的应用，提高解题能力。
同时，要注重理论与实践相结合，灵活运用知识，培养自己的思维能力和推理能力。
祝每位同学在数学学习中取得优异成绩！。
相似三角形的性质与判定讲义)
相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．EDCBA(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形完整版PPT课件
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
相似三角形的判定定理完整版课件-2024鲜版
与向量结合应用
向量是数学中的重要工具之一，而相似三角形与向量也有着紧密的联系。在解决一些与向量 相关的问题时，可以利用相似三角形的性质来简化计算或证明过程。
2024/3/28
与不等式结合应用
在一些复杂的数学问题中，可能需要将相似三角形的性质与不等式知识结合起来应用。例如， 在证明一些与线段长度或面积相关的不等式时，可以利用相似三角形的性质来构造不等式并 进行证明。
14
练习题与答案
答案
1. 是。因为$frac{DE}{D'E'} = frac{4}{2} = 2$，$frac{EF}{E'F'} = frac{5}{3}$且 $frac{DF}{D'F'} = frac{6}{4} = frac{3}{2}$，三边对应比例相等。
2. 是。因为$frac{GH}{G'H'} = frac{7.5}{6} = frac{5}{4}$，$frac{HI}{H'I'} = frac{10}{8} = frac{5}{4}$且$frac{GI}{G'I'} = frac{12.5}{10} = frac{5}{4}$，三边对应比例相等。
相似三角形定义及性质
2024/3/28
定义
对应角相等，对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形。
性质
相似三角形的对应角相等，对应边 成比例，且对应高、对应中线、对 应角平分线等也成比例。
4
对应角与对应边关系
对应角
两个相似三角形中，相等的角是对应 角。
对应边
两个相似三角形中，成比例的边是对应 边。在写对应边成比例时，要注意写清 对应边的顺序。
2024/3/28
相似三角形的判定及性质 课件
AC＝BD∶AD，转证 BD∶AD＝DF∶
AF ， 变 为 证 △ FAD ∽ △ FDB. 其 中
BD∶AD 正是两对相似三角形的中
间比．
图 1－3－3
【自主解答】 ∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠C＝∠BAD，Rt△ADB∽Rt△CDA. ∴AB∶AC＝BD∶AD. 又∵E 是 AC 的中点， ∴AE＝DE＝EC， ∴∠DAE＝∠ADE，
如图 1－3－5，D 为△ABC 的边 AB 上一点，过 D 点作 DE∥BC，DF∥AC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H， 连接 GH.
求证：GH∥AB.
图 1－3－5
【思路探究】 结合图形的特点可以先证比例式EEGD＝ EEHB成立，再证△EGH∽△EDB，由此得∠EHG＝∠1
判定 定理 2
判定 定理 3
定理内容
简述
对于任意两个三角形，如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等 ，那么这两个三角形相似.
两角对应相等，两三 角形相似
对于任意两个三角形，如果一个三角形 两边对应成比例且夹
的两边和另一个三角形的两
角相等，两三角形相
边对应成比例，并且夹角相等，那么这 似．
2．判定两个三角形相似时，关键是分析已知哪些边对 应成比例，哪些角对应相等，根据三角形相似的判定定理， 还缺少什么条件就推导出这些条件．
如图 1－3－3，已知△ABC 中，∠BAC＝90°，
AD⊥BC 于 D，E 是 AC 的中点，连接 ED 并延长与 AB 的延
长线交于 F.求证：AACB＝DAFF. 【思路探究】 由条件知：AB∶
所 以 ∠ BAC ＝ ∠ EAD ， ∠ BAC － ∠ DAC ＝ ∠ EAD － ∠ DAC，即∠DAB＝∠EAC.
《相似三角形》完整版教学课件
易错点及注意事项
易错点
在判定两个三角形是否相似时，容易 忽略对应角和对应边的关系，导致判 断错误。
注意事项
在解答相似三角形问题时，要注意单 位统一和比例关系的正确应用，避免 计算错误。
拓展知识点介绍
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项。
、建筑物等的高度。
又如，利用相似三角形的性质， 可以测量河流的宽度或海峡的宽
度等。
求解比例尺问题
比例尺是一种表示实际距离与地图上 距离之间比例关系的工具。
例如，已知比例尺和地图上的距离， 可以计算出实际的距离；反之，已知 实际距离和比例尺，也可以计算出地 图上的距离。
利用相似三角形的性质，可以通过比 例尺求解实际距离或地图上距离。
相似比概念
相似比
相似三角形对应边的比值叫做相似比 。
性质
相似三角形的周长之比等于相似比， 面积之比等于相似比的平方。
应用举例
利用相似三角形测量高度
01
通过构造相似三角形，可以测量出建筑物、山峰等高大物体的
高度。
利用相似三角形证明几何题
02
在几何证明题中，经常需要利用相似三角形的性质来证明线段
或角的相等或比例关系。
对应边与相似比关系
在相似三角形中，对应边的长度之比等于相似比。通过已知 的两边长度，可以计算出相似比，进而求出第三边的长度。
面积比与相似比关系
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。这是因为在相似三角形中，面积与对应边长度的平方成正 比。
利用面积过开方运算求出它们的相似比。
性质应用举例
相似三角形的存在性(讲义及答案)
相似三角形的存在性➢ 知识点睛1. 存在性问题的处理思路①分析不变特征分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征． ②分类、的图形．，画出符合题意 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2. 相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例：一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形， 再借助不变特征和对应边成比例列方程求解． 常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应 点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对 应边成比例列方程求解 ．结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类 画图MM➢ 精讲精练1.如图，将长为 8 cm ，宽为 5 cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边的点 E 处，压平后得到折痕 MN ，点 A 的对称点为点 F ，CE =4 cm ．若点 G 是矩形边上任意一点，则当 △ABG 与△CEN 相似时，线段 AG 的长为．FFADA D EEBNCBNC2.如图，抛物线 y = - 1 x 2 + 10x - 8 经过 A ，B ，C 三点，3 3BC ⊥OB ，AB =BC ，过点 C 作 CD ⊥x 轴于点 D ．点 M 是直线 AB 上方的抛物线上一动点，作 MN ⊥x 轴于点 N ，若 △AMN 与△ACD 相似，则点 M 的坐标为．3.如图，已知抛物线 y = 3x 2 + bx + c 与坐标轴交于 A ，B ，C 三4点，点 A 的坐标为(-1，0)，过点 C 的直线 y = 34tx - 3 与 x 轴交于点 Q ，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作 PH ⊥OB于点 H ．若 PB =5t ，且 0＜t ＜1．（1） 点 C 的坐标是，b = ，c = ．（2） 求线段 QH 的长（用含 t 的代数式表示）．（3） 依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P ，H ，Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有符合条件的 t 值；若不存在，说明理由．yCA OB xEyCA OB xEyCA OB xEyCA OB xE4.如图，抛物线y =-1x2 +3x + 2 与x 轴交于A，B 两点，与2 2y 轴交于点C，点D(1，m)在抛物线上，直线y=-x-1 与抛物线交于A，E 两点，点P 在x 轴上，且位于点B 的左侧，若以P，B，D 为顶点的三角形与△ABE 相似，则点P 的坐标为．5. 如图，已知抛物线过点 A (0，6)，B (2，0)，C (7， 5)．2（1） 求抛物线的解析式．（2） 若 D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线 AC的交点，F 与 E 关于 D 对称．求证：∠CFE =∠AFE ．（3） 在 y 轴上是否存在这样的点 P ，使△AFP 与△FDC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由．6.如图，抛物线y=ax2+bx 经过两点A(-1，1)，B(2，2)．过点B作BC∥x 轴，交抛物线于点C，交y 轴于点D．连接OA，OB，OC，AC，点N 在坐标平面内，且△AOC 与△OBN 相似（边OA与边OB对应），则点N 的坐标为．yE C BFO AxD yE C BD 1 FO AxD7.如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y =3 x 2 + 3 3 x - 7 38 4 8与 x 轴交于点 A ，B （点 A 在点 B 右侧），点 D 为抛物线的顶点．点 C 在 y 轴的正半轴上，CD 交 x 轴于点 F ，△CAD 绕点 C 顺时针旋转得到△CFE ，点 A 恰好旋转到点 F ，连接 BE ．（1） 求点 A ，B ，D 的坐标．（2） 求证：四边形 BFCE 是平行四边形．（3） 如图 2，过顶点 D 作 DD 1⊥x 轴于点 D 1，点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 PM ⊥x 轴，点 M 为垂足，使得△P AM 与△DD 1A 相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点 P 的横坐标； ②直．接．回．答．这样的点 P 共有几个？图1图2⎨【参考答案】1. 15 ， 20 ， 25 或 25 4 3 4 32. M 1( 5 ， - 7 )，M 2( 11 ， 1 )2 4 2 43.（1）(0，-3)； - 9；-3；4⎧4 - 8t （0 < t ≤1 ） （2） QH = ⎪ 2； 1⎪8t - 4（⎪⎩ 2< t < 1）（3）符合条件的 t 值有 732 4. P 1( 13 ，0)，P 2( - 22，0)或 25 或 32-1．7 55.（1）抛物线的解析式为 y = 1x 2 - 4x + 6 ；2（2）证明略；（3）符合条件的点 P 的坐标为(0，-2)或(0，-41 )． 26. (3，4)，(4，3)，(-2，-1)或(-1，-2)7. （1）A (1，0)；B (-7，0)；D (-3， -2 3 )；（2）证明略；（3）①点 P 的横坐标分别为-11，-5 - 37；②共 3 个． 3 32。
相似三角形的性质与判定讲义)讲解学习
相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． EDCBA(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形的概念课件
面的问题。
解决工程问题
在工程问题中，可以利用相似三角 形解决建筑、机械、水利等方面的 问题。
解决数学问题
在数学问题中，可以利用相似三角 形解决代数、几何、概率等方面的 问题。
05
相似三角形的扩展知识
相似多边形的概念
相似多边形
如果两个多边形的对应角相等， 并且对应边的长度成比例，则这 两个多边形被称为相似多边形。
证明过程
设两个三角形为$triangle ABC$和$triangle ABD$，其中$AB parallel CD$。由于平行 线性质，我们知道$angle BAC = angle DCA$，同时$angle ABC = angle ADC$。根据 三角形的相似性质，如果两个角相等，则两个三角形相似。
在测量中的应用
测量长度
利用相似三角形的性质， 可以测量难以直接测量的 长度，如建筑物的高度、 河道的宽度等。
确定角度
通过相似三角形的应用， 可以确定角度的大小，如 测量角度、确定方位角等。
解决实际问题
在测量中，可以利用相似 三角形解决实际问题，如 土地测量、工程测量等。
在解决实际问题中的应用
解决物理问题
相似三角形的判定条件
角角判定
如果两个三角形有两个对应的角 分别相等，则这两个三角形相似。
边边判定
如果两个三角形有三组对应的边 分别成比例，则这两个三角形相
似。
角边判定
如果一个三角形的两个角与另一 个三角形的一对对应的角相等， 并且这两个三角形的一组对应的 边成比例，则这两个三角形相似。
02
相似三角形的性质
角-角-边判定法
总结词
《相似三角形》 讲义
《相似三角形》讲义一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C ＝∠C'，且 AB ： A'B' ＝ BC ： B'C' ＝ AC ： A'C'，那么三角形 ABC 和三角形 A'B'C'就是相似三角形。
相似三角形用符号“∽”表示，例如三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，记作“△ABC ∽△A'B'C'”。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
比如在△ABC 和△DEF 中，若∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，那么△ABC ∽△DEF。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
以△MNP 和△QRS 为例，若 MN ： QR ＝ NP ： RS，且∠N ＝∠R，那么△MNP ∽△QRS。
3、三边成比例的两个三角形相似若两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
像在△GHI 和△JKL 中，若 GH ： JK ＝ HI ： KL ＝ GI ： JL，那么△GHI ∽△JKL。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等这是相似三角形的基本性质之一。
比如相似的△ABC 和△A'B'C'，则∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。
2、相似三角形的对应边成比例即如果△ABC ∽△A'B'C'，那么 AB ： A'B' ＝ BC ： B'C' ＝ AC ：A'C'。
相似三角形的性质讲义
相似三角形的性质一、知识点讲解1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线比等于相似比。
相似三角形对应周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
二、典例分析(一)相似三角形对应线段的比例1如图，i∆ABCs^k A'B'C',相似比为k,AD、N D z分别是边BC、B'C'上的中线，求证:AD, =K OA,D,变式练习：1、∆ABC</>∆A,B'C',AD和A'D'分别是aABC和aA'B'C,的中心，假设BC=IoCm,B zC f=6cm,AD=7cm,那么A'D'=()16 21 35A、12cmB、——cmC、——cmD、——cm3 5 32、如图，在aABC中，点D在线段BC上，且aABCsaDBA,那么以下结论一定正确的选项是()A、AB2=BC∙BDB、AB2=AC-BDC、AB・AD=BD・BCD、AB・AD=AD・CD3、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光的影子长为CD,AB〃CD,AB=2cm,CD=5cm,点P到CD的距离是3cm,那么点P到AB的距离是O5 6 6 10A、—mB、—m C^—m D、一tn6 7 5 34、如下图，在Rt△ABC中，NACB=90°,CD_1.AB于D,E为AC的中点，F为BC的中点，NDCB=30°,求DE：DF的值。
(二)相似三角形对对应周长与面积的比例2如图，在正方形网格上有ZXABC和4DEF0(1)求证：^ABC S∕∖DEF;(2)计算这两个三角形的周长比；(3)根据上面的计算结果，你有何猜测？变式练习：1、假设^ABCsaDEF,Z∖ABC与ADEF的相似比为2：3,那么S MB C：S ADEF为0A、2：3B、4：9C、72:73D、3：2ΔΓ)12、如图，在AABC中，DE/7BC,——=-,那么以下结论中正确的选项是0DB2AE1 A、 --- =—AC2DE 1 ZXADE的周长 1 ZXADE的面积 1 B、= Cx ,. ,—Ds —BC 2 4ABC的周长 3 ZXABC的面积 3第2题第3题第4题第5题3、如图，在aABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE〃BC,且那么aADE的周长3与aABC的周长之比为。
《相似三角形的应用》 讲义
《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：两个相似三角形的对应角大小相等。
2、对应边成比例：相似三角形的对应边长度之比相等。
3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
二、相似三角形的判定方法1、两角对应相等的两个三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边对应成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形在实际生活中的应用（一）测量高度在实际生活中，我们经常会遇到需要测量物体高度的情况，而相似三角形可以帮助我们解决这类问题。
例如，要测量一棵大树的高度。
我们可以在同一时刻，在树旁竖立一根已知长度的标杆，然后分别测量出标杆的影长和树的影长。
由于太阳光线是平行的，所以在同一时刻，树和标杆与地面形成的三角形是相似的。
根据相似三角形对应边成比例的性质，我们可以列出比例式：树高/标杆高＝树的影长/标杆的影长，从而求出树的高度。
（二）测量距离相似三角形还可以用于测量无法直接到达的两点之间的距离。
比如，要测量一条河的宽度。
我们可以在河的一侧选择一个点 A，然后在河对岸选择一个点 B，使得 A、B 两点与河的边缘形成一个直角。
接着，在河的这一侧再选择一个点 C，使得 AC 与河岸垂直，并且测量出 AC 的长度。
然后，沿着 AC 的方向走到点 D，使得从 D 点看 B 点时，视线正好经过 C 点。
此时，三角形 ABC 和三角形 ADC 是相似的。
根据相似三角形的性质，可以列出比例式：AB/AD ＝ AC/CD，从而求出 AB 的长度，即河的宽度。
（三）解决比例问题在一些几何图形中，存在着多个相似三角形，通过利用它们之间的相似关系，可以解决一些比例问题。
例如，在一个梯形中，如果已知上下底的长度和两条对角线的长度，通过构造相似三角形，可以求出梯形的高或者其他线段的长度。
相似三角形的判定及证明技巧课件讲义.doc
相似三角形（三）知识点（一）：相似三角形的证明技巧1.相似三角形的基本图形2.相似三角形判定定理（3条）3.相似三角形的具体解题方法1.“三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1、已知:如图△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:AE•AB=AC•AF.（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 吗？说明理由。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）练习1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。
求证：CD2=DE·DF。
C2.过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．(1)等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。
然后再应用三点定形法确定相似三角形。
只要代换得当，问题往往可以得到解决。
当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．(2)等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
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教育教学讲义课题相似三角形1通过本章的学习，要熟悉数学中的转化思想，数形结合，分类讨论思想特殊值法。
2转化思想：利用相似性质解决问题时，经常用到转化思想，如在有关面积的问题中, 往往要借助于线段的比，周长的比等进行转化，进而解决问题。
教学目标3数形结合思想：对于很多几何图形，我们都要善于观察，找出其中的隐含条件，做到数形结合，从而解决问题。
4分类讨论思想：在运用相似三角形的对应边成比例的性质时，如果题目的条件中，不能确定如何对应，则应给予讨论。
教学内容课前检测全等三角形的概念？知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形. 相似用符号“S”表示，读作“相似于”•相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）• 相似三角形对应角相等，对应边成比例.①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的.③两个三角形形状一样，但大小不一定一样.④全等三角形是相似比为1的相似三角形•二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.定理的基本图形：用数学语言表述是:学员姓名: 年级: 学科教师:上课时间: 辅导科目：数学课时数：2DE//BC ,ADE s ABC•相似三角形的等价关系⑴反身性：对于任一ABC有ABC s ABC .(2) 对称性：若ABC s A'B'C'，贝U A' B'C's ABC .(3) 传递性：若ABC s A'B'C，且A'B'C s ABC，贝U ABC s ABC . 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似.4、判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似. (在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似)6、判定直角三角形相似的方法：(1) 以上各种判定均适用.(2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.(3) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.AB ~6c直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式如图，Rt△ ABC中，/ BAC=90 ，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)( AD ) 2=BD DC，(2)( AB ) 2=BD BC ，(3)( AC ) 2=CD BC。
证明：在△ BAD 与厶ACD 中，/ B+ / C=90，/ DAC+ / C=90 ,二/ B= / DAC，又BDA= / ADC=90 ，二△ BAD ACD 相似，二AD/BD = CD/AD，即(AD ) 2=BD DC。
其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
由公式( 2) + (3)得：(AB ) 2+ (AC ) 2=BD BC+CD BC = ( BD+CD) BC= (BC) 2，即(AB ) 2+ (AC ) 2= ( BC) 2。
这就是勾股定理的结论。
判断相似三角形的几条思路：1条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理2条件中如果有一对等角，可再找一对等角(用判定1)或再找夹边成比例。
(用判定2) 3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等(直角可以直接得出相似)4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。
5条件中若有等腰关系，可找顶角相等，也可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例。
对应角和对应边关系是 对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。
对应角相等一般是公共 角，平行时的内错角，同位角相等，对顶角相等，同角的余角或补角相等。
大边对大角，大角对大边。
温馨提示：在解题中要善于借助于中间量的牵线搭桥，这里的中间量主要指中间比，中间线段，中间 角，中间等积式等。
灵活的运用等积式与比例式的互化，寻找解题思路，创设条件，善于运用类比的 方法分析思考问题。
加强运用观察，分析，联想，归纳，探索等方法技巧。
相似三角形性质（1） 相似三角形对应角相等，对应边成比例.（2） 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. （3） 相似三角形周长的比等于相似比.⑷ 相似三角形面积的比等于相似比的平方.：5）相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等相似三角形与全等三角形相关联系：不相似的三角形一定不是全等三角形。
（对）相似三角形也可能是 全等三角形。
（对）全等三角形一定是相似三角形。
（对）不全等的三角形一定不是相似三角形（错） 相似三角形一定不是全等三角形（错）全等三角形不一定是相似三角形（错）相似三角形常见的图形（1） 若 DE// BC （A 型和 X 型）则厶 ADE P A ABC（2） 射影定理 若CD 为Rt △ ABC 斜边上的高（双直角图形）则 Rt △ AB （P Rt △ AC P Rt △ CBD 且 AC=ADAB ，CD=ADBD ，BC=BDAB ;相似三角形的应用1测量物体的高度（宽度，长度）在利用相似三角形的性质解题的过程中要牢记 似三角形。
2在某一时刻，某物体的头际咼度影子的长度被测物体的影子的长度镜子的反射，球的反弹等都会形成相似。
测量物高的方法有1利用阳光下的影子 原理 旗杆高：人高=旗杆影长： 人影长 缺点 需要阳光，阴天不行2利用标 杆在人和旗杆中间树立一个可以测量长度的标杆， 形成两个三角形相似优点无需阳光，有关数据易测，测量工具简 单。
缺点增加了标杆的测量，要求观察者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端对齐，三点共线。
AD.AC= AE.AB, / DAB=Z CA0WAABC 相似吗?(3) 满足 1、AC=AD ・ A B 2、/ ACD / B, AD AE(4) 当 或 AD- AB=AC - A 时，△ADE^A3、/ ACB M ADC 都可判定厶 AD SA ACBACB. C（直角梯形）被测物体的实际高度 （1）太阳光线是平行线，易找到相 3台球的入射角和反射角会形成相似。
B E解得：x =4 (舍去负值) /• AD =4.1典型例题1、 已知：女口图，在△ ABC 中，/ ACB =90 ° , CD 丄AB 于D , AC =6 ,DB =5，求AD 的长.分析：由已知 AC =6 , DB =5 ,选用 AC 2AD AB 来解决，考虑△ ACDABC .解：在△ ACD •••/ A = /A, •••△ ACD ABC .• AC AD . AC 2 AB AC设 AD =x ,则 AB =x +5 , 和厶ABC 中，/ ADC =Z ACB =90 ° ,AD AB .又 AC =6• 62 x(x 5).x 2 5x36 0针对练习：如图,(1)求证:在等腰三角形 ABC AB 5 BD 3中，AB=AC ，底边上的高 AD=10cm ，腰AC 上的高BE=12cm .典型例题 求证： 2 已知：如图，△ ABC 中，AB = AC BC 2=2CD • AC .BD 丄AC 于D .思考:欲证BC 2 = 2CD • AC ，只需证-BC-2CD ACBC .但因为结论中有“ 2”无法直接找到它们所在的相似三角，该怎么办？ 证法一(构造2CD ):如图，在 AC 截取DE =DC ,•/ BD 丄 AC 于 D ,••• BD 是线段CE 的垂直平分线，••• BC=BE ，•/ C= / BEC , 又••• AB = AC , •••/ C= / ABC .△ BCE s\ ACB .针对练习：证法二（构造2AC ）:1证法三（构造一BC ）:2典型例题•如图，AD 为 ABC 的角平分线，BE 垂直于AD 的延长线于E , CF AD 于F , BF , EC 的延 长线交于点P ，求证：CF // AP证明CF AD ，BE AD ，BEA CFA 90，CF//BE .CF CP BE PE又 BAE CAF ,ABE s ACFBE AE CF AF CFAFBE AE CP AF PEAECF // AP针对练习：如图，梯形ABCD 中，AB//CD , M 为AB 的中点，分别连结BD , MD , MC ，且AC 与MD 交于E , DB 与MC 交于F , 求证：EF//CD求相似三角形的周长 典型例题例：两相似三角形的对应边的比为 4 : 5，周长和为360cm ，这两个三角形的周长分别是多少?如果△ ABC A ' B ' C '，相似比为3： 2,若它们的周长的差为 40厘米，则 △ A ' B ' C '的周长为 _________ 厘米。
针对练习: 如图，D E 分别是 AC, AB 上的点，/ ADE =Z B, AGL BC 于点G AF 丄DE 于点F.若AA 3, AB= 5，求:（1）AG ；BC AC.BCAC CEBC ，2CDBCBC 2=2CD • AC .AG(2)△人。
£与厶ABC的周长之比;如图，梯形ABCD 中，DC // AB , DC = 2cm, AB = 3.5cm，且MN // PQ // AB , DM = MP = PA」MN = , PQ =CAD 中，DA//BC，CD 交AB 于E，且AE : EB 1:2，EF // BC 交ACF , S ADE 1。
求S BCE 和S AEFAEF s ABC EF : BC AE : AB 1:2 , EF : BC AE: AB 1:3BCE, AD:BC 1:2, BCADE与AEF等高的面积解：如图，ABC中，A 90由等腰直角三角形和矩形的性EF : DE 5:2 , BE:EF :FC 2:5:21 2设AB 为x，则S ABC 1X2362由勾股定理得BC2 2x2求多边形的面积解答：DA//BC ,ADE又AE:BE 1:2,ADE : S BCE 1 : 4BBCE S ADE: S BCE AE2 :BES ADE 1 ,S BCES AEF : S ADE EF : AD 2:3 S AEF针对练习.如图，已知, 在梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若COD的面积为a2, AOB的b2，其中a 0, b0.求：梯形ABCD的面积S题2 •已知等腰直角三角形的面2积为36cm ,它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比为5 : 2，求题1 .如图，已知：在ABC与EF // BC ,AE: EB 又ADE sAD//EF2AD EF : AD 2:3,AB AC ,质，得BE内接矩形DEFGDE GF FC DS E求AF一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC BD于点E、F,则△AGD°s 。