二次函数与一元二次方程集体备课
九年级数学上22.2二次函数与一元二次方程备课教案
温州尚学堂教育教学过程一、导入新课我们以前学习了一次函数，并从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系．今天节我们学习二次函数，并从二次函数的角度看一元二次方程，从而认识二次函数与一元二次方程的联系．二、新课教学问题如图（见教材图22.2-1），以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．师生互动，完成上面4个问题．（1）当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m．（2）当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m．（3）方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m．（4）当小球飞行0 s和4s时，它的高度为0 m．这表明小球从飞行到落地要用4 s．从上图来看，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面．从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．问题2 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－6x＋9；（3）y＝x2－x＋1．教师引导学生画出函数的图象（下图），然后说说有什么特点和性质．（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1．当x取公共点的横坐标时，函数值是0．由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1．（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3．（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．三、归纳总结从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出如下结论：（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．四、巩固练习例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）．解：画出函数y＝x2－2x－2的图象（下图），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7．所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7．我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．五、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？六、布置作业习题22.2 第2、4题．。
二次函数与一元二次方程优秀教案
二次函数与一元二次方程【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】（一）教学知识点。
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）交点的横坐标。
（二）能力训练要求。
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。
2．通过观察二次函数图像与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
3．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。
（三）情感与价值观要求。
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2．具有初步的创新精神和实践能力。
【教学重点】1．体会方程与函数之间的联系。
2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根。
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）交点的横坐标。
【教学难点】1．探索方程与函数之间的联系的过程。
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
【教学方法】讨论探索法。
【教学过程】一、创设问题情境，引入新课师：我们学习了一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）和一次函数y＝kx＋b（k≠0）后，讨论了它们之间的关系。
当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx ＋b＝0的解。
现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。
二、讲授新课（一）例题讲解展示例题：我们已经知道，竖直上抛物体的高度h（m）与运动时间t（s）的关系可以用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0（m）是抛出时的高度，v0（m/s）是抛出时的速度。
222二次函数与一元二次方程(教学设计)九年级数学上册(人教版)
22.2 二次函数与一元二次方程教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.2 二次函数与一元二次方程，内容包括：二次函数与一元二次方程的联系．2.内容解析解一元二次方程ax2+bx+c=0可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0，求自变量的值．从图象上看，如果二次函数的图象与x轴有公共点，当自变量取公共点的横坐标时，函数的值为0.由此可求出相应的一元二次方程的根.当二次函数的图象与x轴有两个公共点时，相应的一元二次方程有两个不等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个公共点时，相应的一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与x 轴没有公共点时，相应的一元二次方程没有实数根．通过探究二次函数与一元二次方程的联系，进而掌握利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的方法。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次函数与一元二次方程的联系．二、目标和目标解析1.目标1) 理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
2）通过图象理解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合思想。
2.目标解析达成目标1）的标志是：学生能够利用二次函数的图象，通过观察与x轴交点的横坐标，确定一元二次方程的近似解．达成目标2）的标志是：在探索二次函数与一元二次方程联系的过程中，理解二次函数与x轴的公共点个数与对应的一元二次方程的实数根的数量关系．三、教学问题诊断分析探究二次函数与一元二次方程的联系的过程与函数和一元一次方程的探究过程一致，但二次函数与x 轴公共点的个数共有三种情况.需学生理解当二次函数图象与x轴有公共点时，公共点的横坐标就是相应的一元二次方程的根.基于以上分析，本节课的教学难点是：用数形结合的思想探究二次函数与一元二次方程的联系．四、教学过程设计（一）探究新知以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .[问题一]球的飞行高度能否达到15 m? 若能，需要多少时间？[问题二]球的飞行高度能否达到20 m? 若能，需要多少时间？[问题三]结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？[问题四]球的飞行高度能否达到20.5 m? 若能，需要多少时间？[问题五]球从飞出到落地要用多少时间？[问题六]结合此问题，你发现二次函数与一元二次方程的联系.师生活动：教师提出问题，学生积极回答问题。
九年级数学下册《二次函数与一元二次方程的关系》教案、教学设计
-例如：“已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），求该二次函数的解析式。”
4.小组合作探究题：这部分作业要求学生在小组内共同完成，培养学生的合作精神和探究能力。
（三）学生小组讨论
在讲授新知之后，我会组织学生进行小组讨论。我将设计一些具有探究性的问题，如：“二次函数的开口方向和顶点坐标是如何影响一元二次方程的解的？”、“在实际问题中，如何运用二次函数的性质求解一元二次方程？”等。学生通过小组合作，共同探讨这些问题，培养他们的合作精神和探究能力。
（四）课堂练习
-教师设计具有现实背景的实际问题，引导学生运用二次函数知识进行分析和解决。
-学生在解决问题的过程中，掌握数学建模、问题求解等数学方法。
3.通过对二次函数图像的观察与分析，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生主动参与学习的积极性。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数与一元二次方程关系的理解，提高学生的应用能力和解决问题的策略，我设计了以下几类作业：
1.基础知识巩固题：这部分作业主要针对课堂所学的基本概念和性质进行设计，包括填空题、选择题和简答题，旨在帮助学生巩固二次函数与一元二次方程的基本知识。
-填空题：如“二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，当a<0时，图像开口______。”
2.掌握一元二次方程的求解方法，了解一元二次方程与二次函数之间的关系，并能运用二次函数解决实际问题。
-学生能够运用直接开平方法、配方法、求根公式等求解一元二次方程。
二次函数与一元二次方程--教学设计
二次函数与一元二次方程--教学设计教学设计主题：二次函数与一元二次方程教学目标：1.理解二次函数的定义和性质；2.掌握一元二次方程的求解方法；3.能够将实际问题转化为二次函数或一元二次方程进行求解。
教学重点：1.二次函数的定义和性质；2.一元二次方程的求解。
教学难点：1.实际问题的建模；2.一元二次方程的求解。
教学准备：1.教师准备：教师课件、教学演示；2.学生准备：学生课本、笔记本。
教学过程：一、导入（5分钟）1.教师通过课件展示一张图，引导学生思考二次函数的图像特点；2.教师提问：你们在高中学过哪些与二次函数相关的知识？请举例说明。
二、概念讲解（20分钟）1.教师通过课件讲解二次函数的定义，并给出例题让学生进行分析和讨论；2.教师引导学生总结二次函数的性质，并进行讨论交流。
三、习题练习（15分钟）1.教师布置若干练习题，要求学生互相讨论解题方法和结果。
练习题可以涉及二次函数的图像、顶点坐标、对称轴等内容。
四、实际问题建模（15分钟）1.教师通过课件呈现一些实际问题，并提问学生如何将这些问题转化为二次函数或一元二次方程；2.学生进行小组讨论，寻找问题的解决方法和步骤。
五、一元二次方程的求解（20分钟）1.教师通过课件讲解一元二次方程的定义、一般形式和求解方法，引导学生理解方程解的含义；2.教师给出一些例题，引导学生进行求解过程，并解释每个步骤的含义和思路。
六、总结归纳（10分钟）1.教师带领学生总结二次函数与一元二次方程的相关知识点和求解方法；2.学生进行讨论和补充。
七、拓展与应用（15分钟）1.教师设计一些拓展题目，要求学生运用所学知识解决实际问题；2.学生进行小组讨论和解答，教师给予指导和点评。
八、课堂总结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并提醒学生复习和预习下节课的内容。
教学反思：通过本节课的教学，学生可以对二次函数与一元二次方程的定义、性质和求解方法有更深入的理解。
通过实际问题的建模和解答，学生可以将所学知识应用到实际生活中，提高问题解决能力。
2023最新-二次函数与一元二次方程教案设计(优秀6篇)
二次函数与一元二次方程教案设计（优秀6篇）在近几年中考中，经常出现利用一元二次方程解决的应用题，这类问题主要考查同学们利用一元二次方程的相关知识分析问题和解决实际问题的能力，这对大部分同学而言仍具有一定的挑战性。
这次帅气的小编为您整理了6篇二次函数与一元二次方程教案设计，希望能够给您提供一些帮助。
元二次方程的应用篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题。
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识。
二、教学重点、难点1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题。
2.教学难点：找等量关系。
列一元二次方程解应用题时，应注意是方程的解，但不一定符合题意，因此求解后一定要检验，以确定适合题意的解。
例如线段的长度不为负值，人的个数不能为分数等。
三、教学步骤（一）明确目标。
（二）整体感知（三）重点、难点的学习和目标完成过程1.复习提问（1）列方程解应用题的步骤？（2）长方形的周长、面积？长方体的体积？2.例1 现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则盒底面长方形的长为（19-2x）cm，宽为（15-2x）cm，据题意：（19-2x）（15-2x）=77.整理后，得x2-17x+52=0，解得x1=4，x2=13.∴ 当x=13时，15-2x=-11（不合题意，舍去。
）答：截取的小正方形边长应为4cm，可制成符合要求的无盖盒子。
练习1.章节前引例。
学生笔答、板书、评价。
练习2.教材P.42中4.学生笔答、板书、评价。
注意：全面积=各部分面积之和。
剩余面积=原面积-截取面积。
例2 要做一个容积为750cm3，高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长及宽应该各是多少（精确到0.1cm）？分析：底面的长和宽均可用含未知数的代数式表示，则长×宽×高=体积，这样便可得到含有未知数的等式——方程。
九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》教案、教学设计
（1）教师给出练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（3）教师挑选部分学生的作业进行展示、讲解，总结解题方法。
（五）总结归纳
1.教学内容：总结二次函数与一元二次方程的知识点，梳理知识结构。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学内容，总结二次函数与一元二次方程的知识点。
（2）学生分享自己的学习心得，交流学习过程中遇到的困难和解决方法。
（3）教师总结归纳，强调重点，指出易错点，为课后复习提供指导。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数与一元二次方程知识点的掌握，提高学生的实际应用能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合课堂所学，完成课后练习题第1、2、3题，加深对二次函数与一元二次方程概念的理解。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一次函数、一元一次方程等知识点有了深入的理解和掌握。在此基础上，学生对二次函数与一元二次方程的学习将更加顺利。然而，由于二次函数与一元二次方程的概念较为抽象，学生在理解上可能会遇到一定的困难。此外，学生在解决实际问题时，可能会对知识点的运用感到困惑。
2.从生活中的实际问题出发，选取一个案例，将其抽象为二次函数与一元二次方程模型，并求解。要求撰写解题过程，明确解题思路和方法。
3.小组合作，共同完成一道拓展题。题目如下：
拓展题：已知抛物线y = ax^2 + bx + c（a≠0）的图象，求该抛物线与x轴的交点坐标。
要求：各小组通过讨论、探究，给出至少两种解题方法，并在课堂上分享解题过程和心得。
4.培养学生面对困难、挑战的精神，鼓励学生勇于尝试、不断探索，树立克服困难的信心。
《22.2 二次函数与一元二次方程》教案、教学设计、导学案
《22．2 二次函数与一元二次方程》教案【教学目标】1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．【教学过程】一、情境导入如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断下列函数的图象与x只有一个交点的是( )A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D.【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )A．0 B．0或2C．2或－2 D．0，2或－2解析：若m≠0，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点．由(m＋2)2－4m(12m＋1)＝0，解得m＝2或－2，当m＝0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点．方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x 轴没有交点．【类型四】利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax ＋b＝0的解是( )A．无解B．x＝1C．x＝－4D．x＝－1或x＝4解析：∵二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴交于(－1，0)和(4，0)，即当x＝－1或4时，x2＋ax＋b＝0，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x＝4，故选D.2方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集是( )A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1解析：观察图象，可知当－3＜x＜1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是－3＜x＜1.故选C.方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是( )A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x ＞3.故选D.方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系.《22.2 二次函数与一元二次方程》教学设计【教学目标】知识与技能1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．【教学重点和难点】重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.【教学过程设计】（一）问题的提出与解决问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2.所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：（1）解方程 15＝20t—5t2. t2—4t＋3=0. t1＝1,t2＝3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.（2）解方程 20＝20t－5t2. t2－4t＋4＝0. t1＝t2＝2.当球飞行2s时，它的高度为20m.（3）解方程 20.5＝20t－5t2. t2－4t＋4.1＝0因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m.（4）解方程 0＝20t－5t2. t2－4t＝0. t1＝0,t2＝4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案.从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） .反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值.一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.（二）问题的讨论二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2） y＝x2－6x＋9；（3） y＝x2－x＋0.的图象如图26.2－2所示.（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题.可播放课件：函数的图像，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解.可以看出：（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.总结：一般地，如果二次函数y=2ax bx c++的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程2ax bx c++=0的根.（三）归纳一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.（四）例题例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异.（五）小结总结本节的知识点.（六）作业:（七）板书设计《22.2 二次函数与一元二次方程（第一课时）》教案【教学目标】：1．知识与技能：通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.2．方法与过程：使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识.3．情感、态度与价值观：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想.【教学重点】：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点.【教学难点】：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．【教学过程】：一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义.本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内，柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示.根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋4 5 .(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?问题2：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题.(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－34＝0有什么关系?(3)你能从中得到什么启发?对于问题(2)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－34的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－34＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－34的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－34＝0的解.更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系.三、课堂练习： P23练习1、2.五、小结：1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情况.六、作业：《22.2 二次函数与一元二次方程（第二课时）》教案【教学目标】：1．知识与能力：复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解.2．方法与过程：让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解.3．情感、态度与价值观：提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想.【教学重点】；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点.【教学难点】：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点.【教学过程】：一、复习巩固1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解.(精确到0.1)(2)画出函数y＝2x2－3x－2的图象，求方程2x2－3x－2＝0的解.二、探索问题已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m).(1)求这两个函数的关系式；(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标.解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m ＝1所以y1＝x＋1，P(3，4). 因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有4＝18－24＋k ＋8 解得 k ＝2 所以y 1＝2x 2－8x ＋10(2)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y ＝2x 2－8x ＋10 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3y 1＝4 ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1.5y2＝2.5所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5).五、小结： 如何用画函数图象的方法求方程的解?六、作业：《22.2二次函数与一元二次方程》导学案【学习目标】：1.探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．2.掌握一元二次方程(组)的图象解法．【重点、难点】1.重点：探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．2.难点：掌握一元二次方程(组)的图象解法．【导学过程】：阅读教材P16 — 19 , 完成课前预习【课前预习】1：准备知识（1） 一元二次方程根的情况：（2）一次函数与一元一次方程的关系：2：探究1以40米/秒的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。
初中数学初三数学上册《二次函数与一元二次方程》教案、教学设计
在本章节的教学中，我们需要面对的是初三学生，他们在前两年的数学学习中，已经积累了一定的数学基础，掌握了函数、一元一次方程等基本知识。然而，二次函数与一元二次方程作为数学知识的一个难点，对学生而言，理解和运用上可能存在一定困难。
学生在学习过程中可能出现以下情况：对二次函数图像特征的理解不够深入，对一元二次方程求解方法的掌握不够熟练，以及在解决实际问题时不能灵活运用所学知识。因此，在教学过程中，我们要关注以下几点：
（3）鼓励学生进行合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
3.教学步骤：
（1）导入新课：通过生活中的实际问题，引出二次函数与一元二次方程的概念。
（2）探究新知：引导学生观察二次函数的图像，总结图像特征；教授一元二次方程的求解方法，并分析各种求解方法的适用条件。
（3）巩固练习：设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
（2）一元二次方程的求解方法有哪些？它们之间的优缺点是什么？
2.小组汇报
各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
（1）求解给定二次函数的顶点、开口方向和对称轴。
（2）利用一元二次方程求解实际问题的最优解。
2.教师巡回指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
3.鼓励学生分组讨论和合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
4.通过一元二次方程的求解过程，让学生体会数学的转化思想，培养学生解决问题的策略和方法。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生积极主动学习的态度。
2.引导学生体会数学在实际生活中的应用价值，增强学生的数学意识。
1.充分了解学生的知识储备，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。
2023最新-二次函数与一元二次方程教案设计优秀6篇
二次函数与一元二次方程教案设计优秀6篇1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根。
读书破万卷下笔如有神，下面为您精心整理了6篇《二次函数与一元二次方程教案设计》，如果对您有一些参考与帮助，请分享给最好的朋友。
数学《一元二次方程》教案设计篇一一、出示学习目标：1、继续感受用一元二次方程解决实际问题的过程；2、通过自学探究掌握裁边分割问题。
二、自学指导：（阅读课本P47页，思考下列问题）1、阅读探究3并进行填空；2、完成P48的思考并掌握裁边分割问题的特点；3、在理解的基础上完成P48-49第8、9题（不精确，只留根号即可）。
探究3：要设计一本书的封面，封面长27cm,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？分析：封面的长宽之比为27﹕21=9﹕7，中央矩形的长宽之比也应是9﹕7，则上下边衬与左右边衬的宽度之比是。
9﹕7设上、下边衬的宽均为9xcm,左、右边衬的宽均为7xcm,则：由中下层学生口答书中填空，老师再给予补充。
思考:如果换一种设法，是否可以更简单？设正中央的长方形长为9acm，宽为7acm，依题意得9a·7a=（可让上层学生在自学时，先上来板演）2.P48-49第8、9题中下层学生在自学完之后先板演效果检测时，由同座的同学给予点评与纠正9、如图，要设计一幅宽20m，长30m的图案，两横两竖宽度之比为3∶2，若使彩条面积是图案面积的四分之一，应怎样设计彩条的宽带？（讨论用多种方法列方程比较）注意点：要善于利用图形的平移把问题简单化！三、当堂训练：1、如图，在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画。
如果要求风景画的面积是整个挂画面积的72%，那么金边的宽应是多少？（只要求设元、列方程）2、要设计一个等腰梯形的花坛，上底长100m，下底长180m。
二次函数与一元二次方程教案
二次函数与一元二次方程教案教案标题：探索二次函数与一元二次方程教案目标：1. 了解二次函数与一元二次方程的定义和基本性质；2. 掌握解一元二次方程的方法；3. 掌握二次函数的图像特征和性质；4. 能够应用二次函数和一元二次方程解决实际问题。
教案步骤：一、引入（5分钟）1. 利用实例引出学生对于二次函数和一元二次方程的初步认识。
2. 引导学生思考二次函数与一元二次方程的联系，并提出学习的目标。
二、理论讲解（15分钟）1. 介绍二次函数的定义和一般形式，解释二次函数图像的特征。
2. 讲解一元二次方程的定义和一般形式，介绍解一元二次方程的方法。
三、解题演练（20分钟）1. 给学生提供一些简单的一元二次方程，引导学生运用所学方法解题。
2. 给学生提供一些简单的二次函数图像，要求学生根据图像特征写出函数的表达式。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，引导学生将问题转化为一元二次方程，并解答问题。
2. 提供一些实际问题，引导学生根据问题描述绘制对应的二次函数图像，并分析解决问题的方法。
五、总结归纳（10分钟）1. 学生总结二次函数与一元二次方程的基本性质和解题方法。
2. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调学生在课后的复习重点。
六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生巩固所学的知识和解题方法。
2. 鼓励学生积极思考，提出问题并准备下节课的讨论。
教案评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度；2. 练习题表现：检查学生对于二次函数和一元二次方程的掌握情况；3. 实际问题解决能力：评估学生运用所学知识解决实际问题的能力。
教案扩展：1. 可以引入二次函数的最值问题，进一步拓展学生对于二次函数的理解；2. 可以引入一元二次方程的根与系数之间的关系，加深学生对于一元二次方程的理解。
教案注意事项：1. 确保学生已经掌握一元一次方程的解法和基本概念，为学习二次函数和一元二次方程打下基础；2. 鼓励学生多做练习，加深对于二次函数和一元二次方程的理解；3. 教师要及时给予学生反馈，帮助他们纠正错误和提高解题能力。
高中数学教案《二次函数与一元二次方程、不等式》
教学计划：《二次函数与一元二次方程、不等式》一、教学目标1、知识与技能：学生能够理解并掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的概念、性质及其相互关系;能够熟练求解一元二次方程和一元二次不等式，并能根据二次函数的图像判断不等式的解集。
2、过程与方法：通过案例分析、图形辅助、探究学习等方法，培养学生的观察、分析和解决问题的能力;通过小组合作、讨论交流，提升学生的协作学习能力和语言表达能力。
3、情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养探索数学规律的精神和严谨的科学态度;通过解决实际问题，让学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点和难点重点：一元二次方程的求解方法(公式法、因式分解法、配方法);一元二次不等式的解法及与二次函数图像的关系;二次函数的性质(开口方向、顶点、对称轴)。
难点：一元二次不等式解法中根据判别式判断解的存在性;将一元二次不等式转化为二次函数图像下的区域问题;灵活运用二次函数的性质解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）生活实例引入：以医院中病人的病情随时间变化的例子(如体温变化、药物浓度变化)，引导学生思考这些变化可能呈现出的二次函数形态，从而引出二次函数的概念。
提出问题：当病情达到某个临界点时(如体温过高或过低)，医生需要采取相应措施。
这实际上涉及到一元二次方程和不等式的求解问题。
明确目标：介绍本节课将要学习的内容，即二次函数与一元二次方程、不等式的相互关系及其求解方法。
2. 讲解新知（20分钟）二次函数概念：回顾一次函数的概念，通过类比引出二次函数的一般形式及其图像特征(开口方向、顶点、对称轴)。
一元二次方程求解：详细介绍一元二次方程的三种求解方法(公式法、因式分解法、配方法)，并通过实例演示每种方法的应用。
一元二次不等式：结合二次函数图像，讲解一元二次不等式的解法及其与函数图像的关系。
强调根据判别式判断不等式的解集情况，并引导学生掌握将不等式转化为图像下区域问题的方法。
九年级数学下册《二次函数与一元二次方程的联系》教案、教学设计
为了巩固本节课所学知识，培养学生的独立思考和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：
（1）求解以下一元二次方程，并分析解的性质：
① 2x^2 - 5x + 3 = 0
② x^2 - 4 = 0
③ 3x^2 + 4x - 1 = 0
（2）根据题目要求，绘制相应二次函数的图像，并观察图像与x轴的交点。
2.通过解决实际问题，让学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，增强学习的积极性。
3.引导学生树立正确的价值观，认识到数学学习对个人成长和国家发展的重要性，激发学生的社会责任感。
教学设计：
一、导入新课
1.复习二次函数的基本概念、性质和图像特点。
2.提问：一元二次方程的解与二次函数图像有什么联系？
二、新课讲解
（三）学生小组讨论
在这一环节，我会将学生分成若干小组，让他们针对以下问题进行讨论：
1.二次函数图像与一元二次方程解的关系是什么？
2.如何利用二次函数求解一元二次方程？
3.在解决实际问题时，如何运用二次函数与一元二次方程的知识？
在讨论过程中，我会巡回指导，解答学生的疑问，并引导学生从不同角度分析问题。讨论结束后，每组选派一名代表分享本组的讨论成果。
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，注意书写规范，保持解答过程的简洁。
2.对于基础巩固题，要求每个同学都必须掌握，做到熟练解题。
3.能力提升题和拓展探究题可根据自己的实际情况选择完成，鼓励同学们挑战更高难度的题目，培养自己的创新思维能力。
4.作业完成后，请同学们认真检查，确保解答正确，并对疑难问题进行标注，以便在课堂上提问和讨论。
2.根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
二次函数与一元二次方程 优秀教学设计(教案)
二次函数与一元二次方程【教学目标】1．知识与技能：理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化。
2．过程与方法：逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与x轴的交点情况。
由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。
3．情感态度：培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。
【教学重点】探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。
【教学难点】函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。
【教学过程】一、问题导入。
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系。
考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地需要多少时间？2205h t t=-二、探索新知。
1．从上面的问题可以看出，二次函数与一元二次方程有如下关系：函数，当函数值y为某一确定值m时，对应自变量x的值就是方程的根。
特别是y=0时，对应的自变量x的值就是方程的根。
以上关系，反过来也成立。
利用以上关系，可以解决两个方面问题。
其一，当y为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量x值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根。
2．二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系。
观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？方程的根是，。
方程的根是。
方程无实数根。
3．归纳总结。
一般地，从二次函数的图象可得如下结论：如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是方程的一个根。
二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。
《22.2二次函数与一元二次方程》教案、教学设计、导学案
《22. 2二次函数与一元二次方程》教案【教学目标】L通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.2.能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集.3.根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围.【教学过程】如图，是二次函数图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax,+6x+c=0的解集吗？不等式ax+bx+ c<0的解集呢?二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程【类型一］二次函数图象与x轴交点情况判断下列函数的图象与x只有一个交点的是（）A.y=x"+2x—3B. y=x~+2x+3C. y=x“一2x+3D. 2x+l解析：选项A 中3—4ac=22—4XlX ( — 3)=16>0,选项B 中3 — 4四=2' -4XlX3=-8<0,选项C 中万一4ac=( - 2 尸一4X1X3=-8VO,选项D 中5—4ac=（ -2”-4X1X1 = O,所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D.【类型二］利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1, 0), (3, 0)两点，则它的对称轴为.解析：丁点(1, 0)与(3, 0)是一对对称点，其对称中心是(2, 0), •••对称轴 的方程是x=2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算 过程. ［类型三］利用函数图三与」轴交点情况确定字交点情范围的值为() A- 0 B. 0 或 2C. 2 或一2D. 0, 2 或一2解析：若勿W0,二次函数与x 轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的 根的判别式为零来求解.；若成=0,原函数是一次函数，图象与x 轴也有一个交 点.由(卬+2尸一4%(%+1) =0,解得m=2或-2,当m=0时原函数是一次函数,图象与x 轴有一个交点，所以当卬=0, 2或一2时，图象与x 轴只有一个交点.方法总结：二次函数y=ax'+6x+c,当3—4ac>0时，图象与x 轴有两个 交点；当4ac=0时，图象与x 轴有一个交点；当3—4acV0时，图象与x 轴没有交点.［类型四］利用抛物线与x 轴交点坐标确定一元二次方程的解B. x=l312 若函数/=族+包+2)用1的图象与x 轴只有一个交点, 那么my=*+ax+6的图象如图, 则关于x 的方程f+ax314 A.无解C. x=—4D. x= — l或x=4解析：•・•二次函数y=x?+ax+6的图象与x轴交于（-1, 0）和（4, 0）,即当X—— 1或4时，x-+ax+6=0,1•关于x的方程x,+ax+6=0的解为乂= —1,照=4,故选D.方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解.探究点二：二次函数y=aS+6x+c中的不等关系【类型一］利用抛物线解一元二次不等式B.x>-3C.一3VxVlD.xV — 3 或x> 1解析：观察图象，可知当一3VxVl时，抛物线在x轴上方，此时y>0,即a£+ 6x+ c> 0, 关于x的不等式a£ + 6x+ c> 0的解集是一3 VxV 1 .故选C.方法总结：抛物线y=aH+6x+c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式af+6x+c>0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式af+6x+cV0 的解集.［类型二］确定抛物型相座位迎的自变量:的位置应围例@二次函数/=2/+旅+。
人教版数学九年级上册22.2二次函数与一元二次方程(教案)
1.教学重点
-二次函数的定义及其图像特点：强调二次函数的一般形式、顶点坐标、对称轴、开口方向等核心概念。
-二次函数与一元二次方程的关系：通过二次函数图像与一元二次方程解的关系，理解二次函数与方程之间的内在联系。
-二次函数顶点式的应用：掌握顶点式y=a(x-h)^2+k的解析式变换，及其在求解最值、对称点等方面的应用。
还有一个值得注意的问题是，在实践活动环节，学生的参与度并不均衡。有的小组积极主动，讨论热烈，而有的小组则较为沉默。为了提高全体学生的参与度，我计划在下一节课中，对活动组织进行改进，鼓励每个学生都能积极参与，发挥自己的优势。
另外，课后作业的布置也是一个值得反思的方面。在本节课后，我发现部分学生对于作业的完成情况并不理想。为了提高作业质量，我将在下一节课中加强对作业的辅导和讲解，并针对不同水平的学生，合理调整作业难度，使其既能巩固课堂所学，又能激发学生的学习兴趣。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的定义和图像特点，以及二次函数与一元二次方程的关系这两个重点。对于难点部分，如二次函数顶点式的推导，我会通过具体的例子和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题。
其次，二次函数顶点式的推导是本节课的一个难点。虽然我在课堂上通过图示和例题进行了解释，但仍有部分学生对此感到困惑。我考虑在下一节课中，针对这一部分内容进行巩固和拓展，通过更多的实例和练习，帮助学生更好地理解顶点式及其推导过程。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有的小组在讨论过程中偏离了主题，讨论了一些与二次函数无关的内容。这说明我在引导和监督学生讨论方面还需加强。在今后的教学中，我将更加关注学生的讨论过程，及时纠正他们的偏差，确保讨论的有效性。
《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》集体备课ppt课件
解得10≤x≤30.]
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合作探究 提素养
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分式不等式的解法 【例1】 解下列不等式： (1)xx－＋32<0； (2)2xx＋－13≤1.
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[解] (1)xx－＋32<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． (2)∵2xx＋－13≤1， ∴2xx＋－13－1≤0， ∴－2xx－＋34≤0，
y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k
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3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准 不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数 关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题．
锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于
由三角形相似得：4x0＝404－0 y，且
300m2的内接矩形花园(阴影部分)， x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，
则其边长x(单位：m)的取值范围是 整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入
________．
xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第2课时 一元二次不等式的应用
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学习目标
核心素养
1.掌握一元二次不等式的实际应用 1.通过分式不等式的解法及不等式
(重点).
的恒成立问题的学习，培养数学运
2.理解三个“二次”之间的关系. 算素养.
3.会解一元二次不等式中的恒成立 2.借助一元二次不等式的应用培养
《二次函数与一元二次方程》示范公开课教学设计【部编新人教版九年级数学上册】
《二次函数与一元二次方程》教学设计一、教学目标1.理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程的根之间的联系；并能够利用二次函数的图象求一元二次方程的解；2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，渗透数形结合的思想方法；3.通过共同探究的方式，培养学生的合作交流意识，以及观察问题和解决问题的能力；4.在探索二次函数与一元二次方程的关系的过程中，让学生感受数学知识之间的内在联系，认识到事物之间的联系与转化.二、教学重难点重点：理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根难点：探索二次函数与一元二次方程之间的关系.三、教学用具电脑、多媒体、课件四、教学过程设计一次函数 y =kx +b 的图象如图所示， 则关于x 的一元一次方程 kx +b =0 的解为 ．教师引导学生从函数解析式和函数图象的角度分析问题.引出数形结合的思想方法.问题：如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系：h =20t -5t ². 考虑下列问题：（1）球的飞行高度能否达到15m ？若能，需要多少时间？（2）球的飞行高度能否达到20m ？若能，需要多少时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？x–1–2–3–41234–1–2–3–41234O解：（1）解方程15=20t-5t2，t2-4t+3=0，t1=1，t2=3．当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m．（2）解方程20=20t-5t2，t2-4t+4=0，t1=t2=2．当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m．（3）解方程20.5=20t-5t2，t2-4t+4.1=0．因为(-4)2-4⨯4.1＜0，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m．（4）小球飞出时和落地时的高度都为0 m，解方程0=20t-5t2，t2-4t=0，t1=0，t2=4．当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m，即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面．思考：如何从函数解析式和函数图象的角度理解一元二次方程的根？教师通过四个问题引导学生思考二次函数与一元二次方程的关系，并归纳总结.画出下列二次函数的图象，能否写出相应的一元二次方程的根？（1）y=x2+x-2（2）y=x2-6x+9（3）y=x2-x+1答案：（1）-2，1；（2）3；（3）没有实数根.【典型例题】【例】利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根（结果保留小数点后一位）．解：画出函数y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7．所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7．先让学生展示过程，然后教师演示平台动画资源.【探究】还有其它的方法来估算方程x2-2x-2=0的实数根吗？通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.观察函数y=x2-2x-2的图象可以发现，当自变量为2时的函数值小于0，当自变量为3时的函数值大于0，所以抛物线y=x2-2x-2在2<x<3这一段经过x轴，也就是在2＜x＜3之间某个值时，y=0.即方程x2-2x-2=0在2、3之间有根.具体方法步骤参考教材第46页学生阅读、思考、计算、交流，然后教师点拨.1.二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32.不与x轴相交的抛物线是（）A. y=2x2-3B. y=-2x2+3C. y=-x2-3xD. y=-2(x+1)2-33．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），则方程ax2+bx+c=0的解为____________ ．4.根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是（）A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24C. 3.24＜x＜3.25D. 3.25＜x＜3.26 5．抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则ax2+bx+c=0的解为，ax2+bx+c＞0的解为．答案：1.B 2.D 3.x1=1，x2=34.C5.x1=－1，x2=3；x＜-1或x＞3。
二次函数与一元二次方程集体备课
2
3
21个体探究 操源自 流程2集体研讨 预案设计 方法研究 生成设计
形成共案 教案整合
教 后 反 思
函数 y x 2 x 2 与方程 x 2 x 2 0 呢？ 2 2 由此可知函数 y ax bx c 与方程 ax bx c 0 呢？ 2 5、从 2 和 3、4 中你能发现函数 y ax bx c （a≠0）的图象与 x 轴的公共点个数与一元二次 2 方程 ax bx c 0 的根的判别式有什么关系？ 三、交流展示，诠释疑难 2 1、二次函数 y ax bx c 与 x 轴公共点的个数应怎样判断？ 2 2、一元二次方程 ax bx c h （h 是实数）的根可以看作是二次函数 y=_____________与直线 y=_____________的交点的横坐标. 四、梳理归纳，强化训练 1、下列二次函数与 x 轴的公共点各有几个. 2 2 2 （1） y x 6 x 9 （2） y 4 x 9 （3） y x 2 x 5 1、 通过自主探究， 2 2 2、二次函数 y ax bx c 与 x 轴两交步的坐标为（2，0） （－5，0） ，则方程 ax bx c 0 同学们发现二次函数 的根是_____________ y ax 2 bx c 与一 3、 （课本）习题 2·11 2 y 元 二 次 方 程 4、 （课本）随堂练习 1 ax 2 bx c 0 有怎 A B 五、课堂检测，评价反馈 样的关系？ 1 1、本节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？ 2、预习时的疑难解决了吗？ O x 当堂检测： 1、下列二次函数与 x 轴公共点分别有几个 2 2 （1） y 2x （2） y x 3x 5 2 2 （3） y 4 x 12 x 9 （4） y ax bx c （a>0,c<0） 2 2、如图，直线 y=1 与抛物线 y ax hx 1交于 2 A（0，1）,B（5，1）,则方程 ax hx 0 的根是______________ 3、本节小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是 60m？ 作业布置：练习册练习 2.11 日常生活，参加生产和进一步学习的需要看，有关函数的知识是非常重要的。例如在讨论社会问题、经济问题时越来越多地运用数学的思想方法，函数的内容在 其中有相当的地位，二次函数更是重中之重。根据《新课程标准》 ，本节课设计时体现“问题—探究—反思—提高”的教学理念。在教学过程中，鼓励学生自主 探索与合作交流，引导学生观察，实验，猜测，验证、推理与交流等数学活动。让学生主动参与，在活动中感悟，在问题中创造，在讨论中生成、发展。教师可 以深入到某个小组的讨论中，关注学生自主的合作交流意识，及用适当的语言表达和交流自己的学习体验和学习结果的能力.
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形成共案 教案整合
个性设计
解下列方程： x2+2x=0,x2-2x+1=0 ,x 2-2x+2=0
3、一元二次方程 x 2 x 0 有__________个根，分别是_________________ 2 一元二次方程 x 2 x 1 0 有__________个根，是_________________ 2 一元二次方程 x 2 x 2 0 __________（有、无）实根 2 2 4、 2 和 3 中你能得到函数 y x 2 x 的图象与 x 轴的公共点坐标和方程 x 2 x 0 的根有什 从 么关系：__________________________________________________ 2 函数 y x 2 x 1
1
个体探究 操作 流程
2
集体研讨 预案设计 方法研究 生成设计
形成共案 教案整合
教 后 反 思
函数 y x 2 x 2 与方程 x 2 x 2 0 呢？ 2 2 由此可知函数 y ax bx c 与方程 ax bx c 0 呢？ 2 5、从 2 和 3、4 中你能发现函数 y ax bx c （a≠0）的图象与 x 轴的公共点个数与一元二次 2 方程 ax bx c 0 的根的判别式有什么关系？ 三、交流展示，诠释疑难 2 1、二次函数 y ax bx c 与 x 轴公共点的个数应怎样判断？ 2 2、一元二次方程 ax bx c h （h 是实数）的根可以看作是二次函数 y=_____________与直线 y=_____________的交点的横坐标. 四、梳理归纳，强化训练 1、下列二次函数与 x 轴的公共点各有几个. 2 2 2 （1） y x 6 x 9 （2） y 4 x 9 （3） y x 2 x 5 1、 通过自主探究， 2 2 2、二次函数 y ax bx c 与 x 轴两交步的坐标为（2，0） （－5，0） ，则方程 ax bx c 0 同学们发现二次函数 的根是_____________ y ax 2 bx c 与一 3、 （课本）习题 2·11 2 y 元 二 次 方 程 4、 （课本）随堂练习 1 ax 2 bx c 0 有怎 A B 五、课堂检测，评价反馈 样的关系？ 1 1、本节课你有哪些收获？还有哪些疑惑？ 2、预习时的疑难解决了吗？ O x 当堂检测： 1、下列二次函数与 x 轴公共点分别有几个 2 2 （1） y 2x （2） y x 3x 5 2 2 （3） y 4 x 12 x 9 （4） y ax bx c （a>0,c<0） 2 2、如图，直线 y=1 与抛物线 y ax hx 1交于 2 A（0，1）,B（5，1）,则方程 ax hx 0 的根是______________ 3、本节小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是 60m？ 作业布置：练习册练习 2.11 日常生活，参加生产和进一步学习的需要看，有关函数的知识是非常重要的。例如在讨论社会问题、经济问题时越来越多地运用数学的思想方法，函数的内容在 其中有相当的地位，二次函数更是重中之重。根据《新课程标准》 ，本节课设计时体现“问题—探究—反思—提高”的教学理念。在教学过程中，鼓励学生自主 探索与合作交流，引导学生观察，实验，猜测，验证、推理与交流等数学活动。让学生主动参与，在活动中感悟，在问题中创造，在讨论中生成、发展。教师可 以深入到某个小组的讨论中，关注学生自主的合作交流意识，及用适当的语言表达和交流自己的学习体验和学习结果的能力.
数学学科集体备课设计
课题 二次函数与一元二次方程
2
时间
2
主备人 参 与 教 师 集体研讨 方法研究
审阅领导
教 学 目 标 操 作 流 程
知识与技能：1、理解二次函数 y ax bx c 的图象与 x 轴的公共点个数与一元二次方程 ax bx c 0 的根的 2 2 判别式的关系.2、理解一元二次方程 ax bx c h （h 是实数）的解是二次函数 y ax bx c 与直线 y h 的 交点的横坐标. 2 过程与方法：经过探索二次函数和一元二次方程 ax bx c 0 的关系过程体会方程与函数的关系. 情感，态度，价值观：渗透数形结合的思想，并使学生初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题。 个体探究 预案设计 教学过程： 一、教师导航，激发学趣 1.什么叫二次函数?什么叫一元二次方程方程? (请学生举例说明) 什么叫一元二次方程的解? 二．自学互助，合作探究 1、阅读课本 P67 的竖直上抛小球问题.并解决①、②问题.从中你能发现二次函数与一元二次方程有什 么联系？ 2、观察图（1）（2）（3）你发现图（1）与 x 轴有_____个公共点，其横坐标分别是_________________ 、 、 2）与 x 轴有_____个公共点，其横坐标分别是_______________（3）与 x 轴有_____（有、无）公共点