凑微分法
常微分方程凑微分法
常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。
在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。
一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。
该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。
具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。
2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。
3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。
这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。
二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。
下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。
1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。
5.3 凑微分法和分部积分法
例7. 求
解: 令 u a x b , 则 d u ad x , 故
m 1 d u 1 1 u m 1 C 原式 = u
a a m 1
注: 当
时
例8. 求
想到公式
1 a
解:
2
dx 1 ( x )2
du 1 u2
x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C a a 1 u2
小练习: 求下列不定积分
dx (1) ; 2 1 25 x
(2) e x sin( e x )dx;
1 ln x (4) dx. x
(3) x
23
1 x dx;
3
1 Key : arcsin 5 x C ; cos e x C ; 5 4 3 1 2 3 3 (1 x ) C ; (1 ln x ) 2 C . 4 3
2. (3) 3. (1)(9) 4. (2)
P136. 5. (1) (4) (6) (9)
( x 2) 3 C 3 ln x 2 ln x 1 C ln x 1
例18 dx d ( x 1) arctan( x 1) C x2 2x 2 1 ( x 1) 2 1
2x 1
1
1 ( 2 x 2) 4 dx 例19 2 dx 2 2 x 2x 2 x 2x 2
u
指: 指数函数 三: 三角函数
1 1 x
2
, vx
x 1 x
2
原式 = xarccos x
dx
2
1 2
xarccos x
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式是一种常用的数学方法，其可以将复杂函数变换为微分形式，从而使得计算过程更加简单，有效地求解复杂问题。
本文结合具体实例，介绍不定积分凑微分法公式，并运用此方法求解复杂函数，以此来认识并理解不定积分凑微分法公式的应用。
首先，让我们来认识不定积分凑微分法公式。
不定积分凑微分法公式（I.F.D.）是一种数学方法，它利用基本定理将一些复杂的函数转换成微分形式，使得计算变得更加简单，能够有效求解一些复杂的问题。
通俗地说，它就是通过记录函数的不同方程参数来求解函数。
此外，它还可以帮助求解积分函数。
具体而言，这就意味着当一个函数被积分时，可以用I.F.D.来简化函数的形式，从而求得函数的极限，即求出函数的精确结果。
下面，让我们来看看不定积分凑微分法公式是如何运用的。
先来看一个例子，假设我们要求解一个复杂函数y = x^3 + 3x^2 + 4x + 5，《不定积分凑微分法公式》可以将它拆解为y = 3x^2 + 6x + 4，于是我们就可以将这个复杂函数转换为微分形式，从而使得计算变得简单。
除此之外，《不定积分凑微分法公式》也可以帮助求解积分函数。
举个例子，假设要求解积分函数y =e^x dx，可以利用不定积分凑微分法公式，从而求解y = e^x + c，而c为常数。
以上就是不定积分凑微分法公式的具体应用，它可以帮助我们将复杂的函数变换为微分形式，更重要的是，它还能帮助求解积分函数，
使计算过程变得更加简单。
总之，不定积分凑微分法公式是一种非常有益的数学方法，它能帮助我们更好地求解复杂的函数，使计算过程变得更加简单，由此也可以更快捷更加准确地求解函数。
第一换元积分法(凑微分法)
π π 作三角变换，令 x a sin t t , 那么 2 2
求 a 2 x 2 dx.
x
2 a x 1 a 2 x 2 dx arcsin x a 2 x 2 C . 2 a 2
a2 - x 2
x π π 解 令 x a tan t t ，则dx a sec 2 tdt． 2 2 dx a sec 2 t 1 1 d t cos t d t sin t C ． 所以 3 3 3 3 2 a a 2 x 2 2 a sec t a
积分
F t C
t 1 x 回代
1 F x C.
这种方法叫第二换元法．
使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数x t , 对 于 x t , 要 求 其 单 调 可 导 ， t 0, 且 其 反 函 数 t 1 x 存在．下面通过一些例子来说明．
例 2
解 注意到被积式中含有 e 项,而余下的部分恰有 微分关系： 2 xdx d( x 2 ) ．于是类似于例 1,可作如下变 换和计算：
求 2 xe dx ．
x2
x2
2 xe dx e d( x )
x
2
x
2
2
令u x 2
回代 x 2 e du e C e C.
2 2
解
设u cos x, 得 du sin xdx ,
求 cos 2 x sin xdx .
例 4
解
dx 求 ． 2 x 1 ln x
dx x 1 ln 2 x 1 ln 2 x x arcsin ln x C . dx 1
第一类换元法(凑微分法)
例 10 求下列不定积分
(1) sin 3 x dx ;
( 2) sin 2 x cos 5 x dx .
解 (2) 原式 sin 2 x cos 4 xd (sin x )
sin 2 x (1 sin 2 x ) 2 d (sin x ) (sin 2 x 2 sin 4 x sin 6 x ) d (sin x )
完
1 dx . 例 2 求不定积分 3 2x 解 1 dx 1 1 ( 3 2 x )dx 3 2x 2 3 2x 1 1 d (3 2 x ) 2 3 2x 3 2x u 1 1 1 ln u C du 换元 2 u 2 u 3 2x 1 ln 3 2 x C . 回代 2
例7
求下列不定积分
1 dx ; ( 2) 2 1 dx . 2 2 x 8 x 25 a x 1 arctan x C ; 解 (1) 原式 a a 1 1 (2) 原式 dx 12 dx 2 2 ( x 4) 9 3 x 4 1 3 (1)
解法一 原式 1 sin 2 x d ( 2 x ) 1 cos 2 x C ;
2 2 解法二 原式 2 sin x cos x dx 2 sin x d (sin x )
(sin x ) 2 C ;
解法三 原式 2 sin x cos x dx 2 cos x d (cos x )
注: 一般情形: f (ln x ) 1 dx f (ln x)d (ln x) x
例 6 求下列不定积分
凑微分法文档
凑微分法什么是凑微分法凑微分法（Method of Undetermined Coefficients）是一种常见的微分方程求解方法，特别适用于非齐次线性微分方程。
凑微分法的基本思想是通过猜测一个特解来接近原非齐次方程的解。
这种方法的优点是求解过程相对简单，不需要像变量分离法或常数变易法一样引入任意常数或变量变化。
凭借其简洁的求解过程，凑微分法在得到特解后，可以通过一般解和特解的线性组合求得原方程的通解。
凑微分法的步骤凑微分法的求解步骤如下：1.首先，我们需要根据原方程的形式，猜测一个特解。
特解的形式通常与原方程中的非齐次项相关。
2.将猜测的特解代入原方程，计算出特解的导数、二阶导数等。
3.将特解及其相应导数的表达式带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧。
4.整理右侧的项，得到一个关于未知系数的线性方程。
5.解线性方程得到特解中的未知系数。
6.将特解及一般解的线性组合作为原方程的通解。
凑微分法的示例下面通过一个具体的例子来说明凑微分法的应用。
假设我们要求解非齐次二阶线性微分方程：$$y'' + 3y' + 2y = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$首先我们需要猜测一个特解。
由于原方程右侧包含e−x和$\\sin(2x)$两种函数，我们可以假设特解的形式为$Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)$，其中A、B和C为待定常数。
接下来，我们对特解进行求导，得到：$$y' = -Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) - 2C\\sin(2x)$$$$y'' = Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)$$将特解及其导数带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧，得到：$$(Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)) + 3(-Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) -2C\\sin(2x)) + 2(Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)) = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$ 简化上述方程，整理得到未知系数的线性方程：$$(6A - 2B - 4C)e^{-x} + (3B + 4C)\\sin(2x) - (3A - 2B + 4C)\\cos(2x) = 4e^{-x}+ 5\\sin(2x)$$通过比较左右两侧的系数，我们可以得到未知系数的值：6A−2B−4C=43B+4C=53A−2B+4C=0解上述线性方程组，可以得到A=1，B=1，C=1。
微积分第一类换元法
定理1
u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
1 2 a
例10 解
1 求 x 2 a 2 dx.
1 1 1 原式 ( x a x a )dx 2a
1 xa ln C. 2a x a
令：u ( x) x a 可以吗？
2 2
1 a 2 x 2 dx ?
例11 求 解
tan xdx
解
1 dx 2 2 ( x 1) 2
1 dx 用 2 2 x a 1 xa ln C 2a x a
1 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 2
1 x 1 1 ( x 1) 2 C. ln C ln 4 x3 4 ( x 1) 2
ln csc x cot x C.
类似地可推出
sec xdx ln sec x tan x C.
基 本 积 分 表
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
1 1 xa (21) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a 1 x (22) dx arcsin C. a a2 x2
化为
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d [ ( x)].
例1 求
e dx
5x
1 解 令u 5x, 则du 5dx, 从而dx du , 5
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(；○4nn n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ； ○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ （3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
定积分的凑微分法公式
定积分的凑微分法公式
是微积分中的一类积分办法。
对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行
换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。
定积分的分部积分法公式是（uv）'=u'v+uv'，代入∫u'vdx=uv-∫uv'dx，得u'v=（uv）'-uv'，即∫u'vdx=uv-∫uv'dx。
的定分数就是分数的一种，就是函数在区间上分数和的音速。
一个函数，可以存有不
定积分，而不存有的定分数；也可以存有的定分数，而不存有不定积分。
一个连续函数，
一定存有的定分数和不定积分；若只有非常有限个间断点，则的定分数存有；若存有弹跳
间断点，则原函数一定不存有，即为不定积分一定不存有。
分部积分，integral by parts，是适用于三种情况的积分方法： 1、可以逐步降低
幂次的积分例如：∫x?sinxdx = -∫x?dcosx = -x?cosx + 4∫x3cosxdx + c 这样一来，x 的幂次就降低了，以此类推，就积出来了。
2、可以将对数函数转化成代数函数的积分
例如：∫x3lnxdx = (1/4)∫lnxdx? = (1/4)x?lnx - (1/4)∫x3dx + c 这样一来，lnx
就消失了，就轻而易举地可以积出来了。
3、可以将积分过程当成解代数方程一样解的积
分例如∫(e^x)sinxdx∫(e^x)cosxdx∫(e^-2x)sin3xdx、∫(e^-4x)cosxdx。
5.3凑微分法和分部积分法
x 1 1 1 2 2 2 x x 1 ( x 1) x( x 1)
dx dx dx 原式 2 x x 1 ( x 1)2 d( x 1) d( x 1) ln x 2 x 1 ( x 1)2
1 d( x 2 1) ln x arctan x 2 2 x 1
1 ln x ln( x 2 1) arctan x C . 2
2. 当真分式分母中含有因子( x a) 时,则分解后
k
有下列k 个部分分式之和：
A1 A2 2 x a ( x a) Ak . k ( x a)
解 (1) (sin x) cos xdx (sin x) d sin x
t dt ( 令 t sin x )
ln sin x C , 1 ln t C , 1 1 1 (sin x ) t C , 1 . C , 1 1 1
1 1 1 d(a x) d (a x) 2a a x ax
1 ax 1 ln C ln a x ln a x C 2a a x 2a
1. 当真分式分母中含有因子( x 2 px q)k , p 2 4q 0 时,则分解后有下列k 个部分分式之和：
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C [ f ( u)du]u ( x ) .
使用此公式的关键在于
(5 1)
第一换元积分公式（凑微分法）
说明
将
f ( x)dx 凑成 F '[ ( x)] '( x)dx.
4.2 凑微分法
解: 对照基本积分公式，上式和
1 写成 − 3 d ( − 3 x + 1)
u
相似
就可以使用公式 于是
∫e
u
dx = e
+ C
∫e
−3 x +1
1 −3 x+1 dx = − ∫ e d (−3x + 1) 3
1 − 3 x +1 = − e +C 3
1 （ 3） ∫ 1 + 4 x 2 dx
解: 对照基本积分公式，上式和
= − ln cos x + C
( 2 ) ∫ sin xdx
3
解: :
sin 3 xdx = ∫ sin 2 x ⋅ sin xdx ∫
= −∫ (1 − cos x)d cos x
2
= − ∫ d cos x + ∫ cos2 xd cos x
1 3 = − cos x + cos x + C 3
∫
∫
1 x−4 = ln +C 3 x −1
(2)∫
解: :
1 dx 2 x + 4x + 5
1 1 ∫ x2 + 4x +5dx= ∫1+ (x + 2)2 dx d ( x + 2) =∫ 1 + ( x + 2) 2
= arctan( x + 2) + C
1 （ 3）∫ 1 + e
x
dx
解: :
因为 d (1 + x ) = 2 xdx
1 2 所以 xdx = d (1 + x ) 2
则
∫1+
凑微分法解不定积分个人用讲义
凑微分法解不定积分个人用讲义Last updated on the afternoon of January 3, 2021凑微分法一，凑微分法原理回忆一下，我们导函数的几种表示方法：f′(x)dy/dxdf(x)/dx等等，那么我们对于同一个函数是否就有如下等式：f′(x)=df(x)/dx再加以变形可得f′(x)dx=df(x)我们把这个式子称之为凑微分法的原理公式。
（我自己定义的，别和别人说哦，教科书上没定义）为了说明这个式子，我们来看几个例子：例题一：d(2x+1)=dx解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为2x+1的导函数，既2，所以d(2x+1)=2d(x) 例题二：d(e^x)=dx解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为e^x的到函数，既e^x，所以d(e^x)=e^xdx因为做题目的时候，往往是告诉你们e^xdx要你们求d(e^x)。
我再举一个凑微分法的事例:例题三：12dx x=-⎰解析：我们会求解的，其实都是最原始的积分公式有的，如果这题是要我们求1/x我想你们都会吧，但是这里是x-2所以就很麻烦了，那你们就牢记一点，谁可恨，我们就把谁弄到d后面去。
所以我就想到用d(x-2),根据凑微分法原理公式可知d(x-2)=1*d(x),所以我们可以将这题变为d(x-2),如果你们还看不出来，那你们用t 来代替x-2，是不是就是你们会解的题目了，最后再把t还原为x-2就好了。
具体的实例就不举了，多操作。
下面我要重点说说，讨厌，这个问题二，什么函数可以凑微分，什么函数讨厌什么函数最讨厌，什么函数一看就是要凑微分我们知道，凑微分其实是把被积函数的一个部分与dx看作一个整体，运用凑积分法原理公式进行替换。
所以被积函数可以表示为两个有求导关系的函数时，一般采用凑微分法。
根据已知的不定积分公式我们可以知道：1三角函数求导仍为三角函数2反三角函数求导为有理函数3幂函数求导认为幂函数4对数函数求导为指数幂为-1的幂函数5幂函数求导仍为幂函数所以，当我们发现一个大的函数是由上述关系中的一种构成的，那么我们就会把求导为的那个函数拿去d一下，然后与原来的式子进行比较，缺什么，补什么，有的时候，甚至要进行多次的凑微分，但是不要怕，一步步往下做一定可以。
不定积分的凑微分
不定积分的凑微分法一、不定积分的凑微分法例1 cos x x e e dx ⎰（x x e dx de =） cos x x e de =⎰ （cos d O O ⎰）sin x e C =+ （sin C O + ）通过凑微分公式，凑出一个中间变量（被积函数中那个复合函数的中间变量“O ”），得到一个不定积分公式的左边，从而套公式解决问题———这是《凑微分法》的主要思想.二、不定积分的凑微分举例例1. 求下列积分：（1）3x e dx ⎰；（2）112dx x -⎰； (3) .解（1）3x e dx ⎰ 3133x e d x =⎰ 313x e C =+； （2）112dx x-⎰ ()1112212d x x=---⎰ 1ln 122x C =--+；（3）2=22csc =⎰C =-.例2. 求下列积分： (1)1ln dx x x ⎰；（2） 1xxe dx e +⎰；（3）tan xdx ⎰； 解 (1)1ln dx x x ⎰1ln ln d x x=⎰ ln ln x C =+（注：此类积分一般都含“ln x ”，所以“1ln dx d x x=”中“x ”不用加绝对值.）； （2）1xxe dx e +⎰ 11x x de e=+⎰ 1(1)1x x d e e=++⎰ ln(1)x e C =++；（3）tan xdx ⎰ sin cos x dx x=⎰ 1cos cos d x x=-⎰ ln cos x C =-+即tan xdx ⎰ln cos x C =-+------------------------------------可做不定积分公式； 类似可得cot xdx ⎰ln sin x C =+-------------------------------可做不定积分公式综上所述，凑微分法的关键是：利用凑微分公式凑出剩下的那个复合函数的中间变量.凑不出，就不能用凑微分法，须考虑其它的积分法-------比如说下一节的分部积分法.思考题1. 思考凑微分公式在凑微分法中的地位与作用.练习题1.用凑微分法计算下列积分：（1）cos 2xdx ⎰；（2）1x dx e ⎰； （3）（4）5sin cos x xdx ⎰；（5）； .练习题1.答案（1）cos 2xdx ⎰1cos 222xd x =⎰1sin 22x C =+；（2）1x dx e ⎰x e dx -=⎰()x e d x -=--⎰x e C -=-+；（3）()1223x dx -=-⎰()()12123233x d x -=---⎰C =；（4）5sin cos x xdx ⎰ 5sin sin xd x =⎰ 61sin 6x C =+；（5）= ()arcsin ln x C =+；。
凑微分法怎么理解 [浅谈凑微分法的理解及应用]
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凑微分法怎么理解[浅谈凑微分法的理解及应用]【摘要】凑微分法是微积分学中重要的积分法，初学者难以熟练掌握.本文主要讨论其一般规律，并通过举例来说明如何凑微分. 【关键词】基本积分公式；凑微分；不定积分计算不定积分的方法很多，凑微分法是比较重要而且常用的方法之一，深刻理解并熟练应用这种方法是学习后继微积分知识的基础.本文主要讨论其一般规律，并通过举例来说明如何凑微分. 一、凑微分法的理论依据例1求∫2cos2xdx. 分析因为cos2x是复合函数，这个不定积分不能用直接积分法求出结果，但可以考虑套用公式∫cosxdx=sinx+C来计算. ∫2cos2xdx=∫cos2xd2x令2x=u1∫cosudu=sinu+C回代u=2x1sin2x+C. 验证积分结果的正确性：sin2x+C′=2cos2x，积分结果的导数等于被积函数，说明这种积分思路及过程是正确的. 解设u=2x，则du=2dx. ∫2cos2xdx=∫cos2xd2x=∫cosudu=sinu+C=sin2x+C. 解题特点引入新变量u=2x，把原被积表达式化成基本初等函数的微分形式cosudu，再用基本积分公式求出积分结果∫cosudu=sinu+C=sin2x+C. 这种求不定积分的方法具有一般性，其理论依据如下：设y=F（u）及u=φ（x）都是可导函数，且F′（u）=f（u），则由y=F（u）和u=φ（x）构成的复合函数是y=F[φ（x）]. 对函数y=F（u），dy=F′（u）du=f（u）du，则∫f（u）du=F（u）+C；对复合函数y=F[φ（x）]，dy=y′xdx=F′（u）u′xdx=f（u）φ′（x）du=f（u）du，即dy=f（u）du，则∫f（u）du=F（u）+C. 由此可见，不论u是自变量还是中间变量，总有∫f（u）du=F（u）+C.于是得到结论：如果∫f（x）dx=F（x）+C，而u是x的可导函数，那么∫f（u）du=F （u）+C. 即只要所给积分的被积表达式能凑成f[φ（x）]dφ（x），即f（u）du的形式，就可利用公式∫f（u）du=F（u）+C写出积分结果. 此结论表明：在基本积分公式中，自变量换成任何可导函数u=φ（x）时，公式仍成立.这条性质叫做积分形式不变性.这个结论扩大了基本积分公式的使用范围. 例1中使用的方法，实质上是把微分形式不变性反过来用于不定积分而得到的求积分的方法，这种方法通常叫做第一类换元积分法，也叫凑微分法. 二、凑微分法的定义一般地，若不定积分的被积表达式能写成f[φ（x）]φ′（x）dx=f[φ（x）]d[φ（x）]，令φ（x）=u，当积分∫f （u）du=F（u）+C时，则有下面的结论：∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f （u）duu=φ（x）=∫f（u）du=F（u）+C=F[φ（x）]+C. 通常把这种积分方法称为第一类换元积分法，又叫凑微分法. 三、凑微分法的理解在凑微分法的过程中，变量u在这里处于中间变量的地位，u是x的可导函数u=φ（x），因此这种方法的关键也可以说是正确选择中间变量u.在具体解题的过程中，要注意凑出来的新的积分∫f（u）du要能用直接法求出积分结果，否则就失去了换元的意义.四、应用举例 1.凑微分法求解步骤设∫f（u）du=F（u）+C，运用凑微分法做积分运算时首先将原积分形变为∫f[φ（x）]φ′（x）dx，再按下列步骤进行：∫f[φ（x）]φ′（x）dx凑微分1∫f[φ（x）]dφ（x）变量代换1φ（x）=u ∫f（u）du计算积分1F（u）+C变量代换1u=φ（x）F[φ（x）]+C. 2.常用的凑微分形式（1）dx=11ad （ax）=11ad（ax+b）；（2）xdx=112dx2=112ad（ax2+b）；（3）11xdx=dlnx；（4）11xdx=2dx；。
凑微分法详细讲解
凑微分法详细讲解
嘿，朋友们！今天咱来唠唠凑微分法。
这凑微分法啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱打开好多数学难题的大门呢！
你想想看，有些数学式子就像一团乱麻，让你摸不着头脑。
可凑微分法呢，就像是一个耐心的梳理者，能把这团乱麻慢慢地理顺。
比如说，遇到那种看起来很复杂的式子，咱通过巧妙地变形、凑一凑，就能让它变得清晰明了。
这凑微分法就好像是变魔术一样！本来让人头疼的式子，经过这么一凑，嘿，就变得乖乖听话啦。
举个例子哈，就像你有一堆七零八落的积木，你得想办法把它们拼成一个完整的形状。
凑微分法就是帮你找到那些合适的积木块，然后把它们拼凑在一起。
咱在学习凑微分法的时候，可别着急，得慢慢来。
就跟学走路似的，一步一步来，走稳了才不会摔跟头。
一开始可能会觉得有点难，哎呀，这怎么凑啊？但别灰心，多试试，多练练，慢慢就找到感觉啦。
你看那一道道难题，不就是一个个小怪兽嘛！咱拿着凑微分法这把宝剑，勇敢地去挑战它们。
有时候可能一下子没凑对，没关系，调整调整再上。
就像打游戏，失败了再来一局呗。
而且啊，凑微分法还特别实用。
在好多数学问题里都能派上大用场。
你说，这是不是个宝贝？它能让咱解题的效率大大提高，就像给咱加了一双翅膀，能在数学的天空中飞得更高更远。
所以啊，朋友们，可别小瞧了这凑微分法。
好好学，好好用，让它成为咱数学学习路上的得力助手。
相信我，一旦你掌握了它，你就会发现数学的世界变得更加精彩啦！这凑微分法，真的值得咱好好去钻研，去掌握，去运用！咱可不能错过这么好的方法呀，对不对？。
高等数学第二节 凑微分法
解
1
a2 x2dx
1 a2[1 (
x)2]dx
a[11(x)2]d(ax)
a
a
例5 求 a2 1x2dx(a0为常 ).数
解
a2 1 x2dx
a2[1
1 (
x)2]dx
1
x
a[1(x)2]d(a)
a
a
1 a
1
1 ( x)2
d(x) a
1arctxanC.
a
a
a
以上两个例子可作式为使公用:
a21x2dxarca xsiC n . a2 1x2dxa 1arca xta C.n
例13 求a2 1x2dx(a0).
解
a2
1
x2
dx
1
(ax)(ax)dx
21a(a (axx ))a ((axx ))dx21a(a 1xa 1x)d x
பைடு நூலகம்
2 1 a a 1 x d ( a x ) 2 1 a a 1 x d ( a x )
1ln |ax|1ln |ax| C1ln|ax|C.
1(x1si2nx)C 22
1x1sin 2xC. 24
例16 求co3sxdx.
解 co3sxdxco2x scoxd sxco2sxdsin x
(1si2n x)dsixn
d sixn si2x n d sixn
sin x1si3nxC. 3
例17 求 si3n xco 2xd sx.
解 si3n xco 2xs dx1 2(si5nxsin x)dx
令 u14x1 4
u3du
1 u4 16
C 1(14x)4C. 16
凑微分方法总结
凑微分方法总结
凑微分法，也被称为第一换元法，是一种在积分学中常用的方法。
以下是其一般步骤和注意事项：
1. 识别不定积分中的复合函数部分，尝试将其拆分成基本初等函数。
2. 观察不定积分中的被积函数，尝试将其表示为其他初等函数的导数。
3. 使用初等函数的积分公式，将不定积分转化为容易计算的积分。
凑微分法常见于以下几种情况：
1. 类型一、类型二、类型三的不定积分，这些类型的不定积分可以归纳成特定的形式，当遇到这些形式的不定积分时，可以考虑使用凑微分法。
2. 类型四，应与类型一进行区分，以避免混淆。
3. 类型五，这种情况下的不定积分只有当k为大于1的整数时才适用。
4. 类型六、类型七、类型八，这三种类型是非常常见的，一般通过对数化简来凑微分。
5. 类型九、类型十和类型十一，分别涉及到三角函数、反三角函数和微分关系式的凑微分法。
对于这些特定类型的不定积分，需要记住相应的凑微分公式才能求解。
在运用凑微分法时，需要注意以下几点：
1. 识别被积函数的形式，判断是否适合使用凑微分法。
2. 对于较为复杂的不定积分，可能需要结合其他积分技巧，如变量代换、部分分式分解等，才能成功应用凑微分法。
3. 在使用凑微分法时，需要注意公式的正确性和适用条件，以免出现错误的结果。
4. 对于一些较为特殊的不定积分，可能需要查找特定的凑微分公式或者使用数值方法进行近似计算。
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(1)(二级)(２)(二级)
(3)(二级)(４)(二级)
(５)(二级)(6)(二级)
(7)(二级)
解:(１)
(2)
(3)
(４)
(5)
(6)
(7)
由以上题目可见,凑微分就是通过凑出某个函数得微分进一步得凑成基本得积分公式,从而掌握一些常用得凑微分方法就是必要得,下面就是一些常用得凑微分方法:
1、不定积分得凑微分法(第一换元积分法)
(1)基本积分公式得推广
定理:若,则
例如:
(2)引例:求不定积分
分析:在基本积分公式中只有、比较与这两个积分,我们发现区别只就是得幂次相差一个常数因子,但显然。如果将中得凑上一个常数因子2,使之成为下式
然后再令,那么上述积分就变为
这样就将原不定积分化为可用基本积分公式得问题了,而
(４)案例讲解
例１、求下列函数得不定积分
(1)(一级)(2)(一级)
(3)(一级)
解:(1) (令)
注:此题利用凑微分公式,从而凑出了这个积分公式
(2) (令)
注:此题利用凑微分公式,从而凑出了
这个积分公式
(3)()
()
注:此题利用凑微分公式,从而凑出了
这个积分公式
在计算比较熟练以后,换元这一步可以省略,即按如下方法写出计算过程:
２。培养学生得计算能力
时间分配
90分钟
编撰
尧克刚
校对
熊文婷
审核
危子青
修文编写思路及特点
思路:在熟练掌握积分基本公式得基础上,引入凑微分法,按照由易到难得顺序讲题例题、安排习题,使学生能够灵活运用凑微分积分法求函数得不定积分、在学习完不定积分得凑微分法后再来学习定积分得凑微分法。
(5)(二级)
(1)解:
(２)解:
＝
(３)解:
(4)解:
(5)解:
3、能力反馈部分
1、用凑微分法求下列函数得不定积分
(1)(一级)(2)(二级)
(3)(二级)(４)(二级)
(５)(二级)(6)(二级)
(7)(二级)(8)(二级)
(9)(三级)(10)(三级)
2、用凑微分法求下列函数得定积分
(二级)(一级)
,最后将代回,从而有
由于,所以计算结果正确。
(3) 不定积分得凑微分法(第一换元法)
将引例抽象化,对于具有形如得不定积分,可利用下面得积分方法:
定理1设f(u)具有原函数u(x)可导则有换元公式
其中,, 此称为积分形式得不变形,又称为第一换元积分法或凑微分法。
总结:凑微分法得关键就是凑成微分得形式,即通过凑成某个函数得微分,进一步得凑成基本积分公式,然后利用基本公式积出来
(二级)(二级)
=
2、定积分得凑微分法(第一换元积分法)
由牛顿—莱布尼茨公式可知,定积分得凑微分法与不定积分得凑微法类似,只就是多了一步将上、下限代入得步骤.
类似于不定积分得思路,我们可以得到如下定理
定理2设ｆ(u)具有原函数可导Ｆ(u)则有换元公式
例5 求下列函数得定积分
(1)(一级)(2)(一级)
(３)(二级)(4)(二级)
模块基本信息
一级模块名称
积分学
二级模块名称
计算模块
三级模块名称
凑微分法
模块编号
4—9
先行知识
1、积分基本公式
模块编号
4—7
2、牛顿—莱布尼茨公式
模块编号
4-6
知识内容
教学要求
掌握程度
1、凑微分法求不定积分
1。会运用凑微分法求不定积分
熟练掌握
2、凑微分法求定积分
2.会运用凑微分法求定积分
能力目标
1。培养学生得知识迁移能力
（1）
（2）
（3）
（4）
特别地,
(5)
(６)
(７)
(８)
（9）
（10）
例3、求下列函数得不定积分
(1)(二级)(2)(ａ０)(二级)
(3)(二级)
解:(１)
即
(2)
即
(3)
即
这样,我们得到三个积分公式:
(选讲)例４求下列函数得不定积分(提高部分,可选讲)
(1)(三级)(2)(三级)
解: (1)
(2)
特点:通过变换习题得手段,一方面进一步得巩固积分基本公式,另一方面锻炼学生得观察能力与知识得迁移能力。
2、授课部分
（一）新课讲授
利用基本积分公式与不定积分得性质,所能计算得不定积分就是非常有限得.因此有必要进一步来研究不定积分得求法、由微分运算与积分运算得互逆关系,我们可以把复合函数得微分法反过来用于求不定积分,利用中间变量得代换,得到复合函数得积分法,称为换元法积分法,简称换元法。我们来讨论两类换元法-－-－－第一类换元法与第二类换元法、本节课我们来学习第一换元法,也称为凑微分法。