凑微分法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）
（2）
（3）
（4）
特别地,
(5)
(６)
(７)
(８)
（9）
（10）
例3、求下列函数得不定积分
(1)(二级)(2)(ａ０)(二级)
(3)(二级)
解:(１)
即
(2)
即
(3)
即
这样,我们得到三个积分公式:
(选讲)例４求下列函数得不定积分(提高部分,可选讲)
(1)(三级)(2)(三级)
解: (1)
(2)
(４)案例讲解
例１、求下列函数得不定积分
(1)(一级)(2)(一级)
(3)(一级)
解:(1) (令)
注:此题利用凑微分公式,从而凑出了这个积分公式
(2) (令)
注:此题利用凑微分公式,从而凑出了
这个积分公式
(3)()
()
注:此题利用凑微分公式,从而凑出了
这个积分公式
在计算比较熟练以后,换元这一步可以省略,即按如下方法写出计算过程:
1、不定积分得凑微分法(第一换元积分法)
(1)基本积分公式得推广
定理:若,则
例如:
(2)引例:求不定积分
分析:在基本积分公式中只有、比较与这两个积分,我们发现区别只就是得幂次相差一个常数因子,但显然。如果将中得凑上一个常数因子2,使之成为下式
然后再令,那么上述积分就变为
这样就将原不定积分化为可用基本积分公式得问题了,而
(二级)(二级)
特点:通过变换习题得手段,一方面进一步得巩固积分基本公式,另一方面锻炼学生得观察能力与知识得迁移能力。
2、授课部分
（一）新课讲授
利用基本积分公式与不定积分得性质,所能计算得不定积分就是非常有限得.因此有必要进一步来研究不定积分得求法、由微分运算与积分运算得互逆关系,我们可以把复合函数得微分法反过来用于求不定积分,利用中间变量得代换,得到复合函数得积分法,称为换元法积分法,简称换元法。我们来讨论两类换元法-－-－－第一类换元法与第二类换元法、本节课我们来学习第一换元法,也称为凑微分法。
=
2、定积分得凑微分法(第一换元积分法)
由牛顿—莱布尼茨公式可知,定积分得凑微分法与不定积分得凑微法类似,只就是多了一步将上、下限代入得步骤.
类似于不定积分得思路,我们可以得到如下定理
定理2设ｆ(u)具有原函数可导Ｆ(u)则有换元公式
例5 求下列函数得定积分
(1)(一级)(2)(一级)
(３)(二级)(4)(二级)
例２。求下列函数得不定积分
(1)(二级)(２)(二级)
(3)(二级)(４)(二级)
(５)(二级)(6)(二级)
(7)(二级)
解:(１)
(2)
(3)
(４)
(5)
(6)
(7)
由以上题目可见,凑微分就是通过凑出某个函数得微分进一步得凑成基本得积分公式,从而掌握一些常用得凑微分方法就是必要得,下面就是一些常用得凑微分方法:
２。培养学生得计算能力
时间分配
90分钟
编撰
尧克刚
校对
熊文婷
审核
危子青
修订人
张云霞
二审
危子青
一、正文编写思路及特点
思路:在熟练掌握积分基本公式得基础上,引入凑微分法,按照由易到难得顺序讲题例题、安排习题,使学生能够灵活运用凑微分积分法求函数得不定积分、在学习完不定积分得凑微分法后再来学习定积分得凑微分法。
(5)(二级)
(1)解:
(２)解:
＝
(３)解:
(4)解:
(5)解:
3、能力反馈部分
1、用凑微分法求下列函数得不定积分
(1)(一级)(2)(二级)
(3)(二级)(４)(二级)
(５)(二级)(6)(二级)
(7)(二级)(8)(二级)
(9)(三级)(10)(三级)
2、用凑微分法求下列函数得定积分
(二级)(一级)
,最后将代回,从而有
由于,所以计算结果正确。
(3) 不定积分得凑微分法(第一换元法)
将Hale Waihona Puke Baidu例抽象化,对于具有形如得不定积分,可利用下面得积分方法:
定理1设f(u)具有原函数u(x)可导则有换元公式
其中,, 此称为积分形式得不变形,又称为第一换元积分法或凑微分法。
总结:凑微分法得关键就是凑成微分得形式,即通过凑成某个函数得微分,进一步得凑成基本积分公式,然后利用基本公式积出来
模块基本信息
一级模块名称
积分学
二级模块名称
计算模块
三级模块名称
凑微分法
模块编号
4—9
先行知识
1、积分基本公式
模块编号
4—7
2、牛顿—莱布尼茨公式
模块编号
4-6
知识内容
教学要求
掌握程度
1、凑微分法求不定积分
1。会运用凑微分法求不定积分
熟练掌握
2、凑微分法求定积分
2.会运用凑微分法求定积分
能力目标
1。培养学生得知识迁移能力
（2）
（3）
（4）
特别地,
(5)
(６)
(７)
(８)
（9）
（10）
例3、求下列函数得不定积分
(1)(二级)(2)(ａ０)(二级)
(3)(二级)
解:(１)
即
(2)
即
(3)
即
这样,我们得到三个积分公式:
(选讲)例４求下列函数得不定积分(提高部分,可选讲)
(1)(三级)(2)(三级)
解: (1)
(2)
(４)案例讲解
例１、求下列函数得不定积分
(1)(一级)(2)(一级)
(3)(一级)
解:(1) (令)
注:此题利用凑微分公式,从而凑出了这个积分公式
(2) (令)
注:此题利用凑微分公式,从而凑出了
这个积分公式
(3)()
()
注:此题利用凑微分公式,从而凑出了
这个积分公式
在计算比较熟练以后,换元这一步可以省略,即按如下方法写出计算过程:
1、不定积分得凑微分法(第一换元积分法)
(1)基本积分公式得推广
定理:若,则
例如:
(2)引例:求不定积分
分析:在基本积分公式中只有、比较与这两个积分,我们发现区别只就是得幂次相差一个常数因子,但显然。如果将中得凑上一个常数因子2,使之成为下式
然后再令,那么上述积分就变为
这样就将原不定积分化为可用基本积分公式得问题了,而
(二级)(二级)
特点:通过变换习题得手段,一方面进一步得巩固积分基本公式,另一方面锻炼学生得观察能力与知识得迁移能力。
2、授课部分
（一）新课讲授
利用基本积分公式与不定积分得性质,所能计算得不定积分就是非常有限得.因此有必要进一步来研究不定积分得求法、由微分运算与积分运算得互逆关系,我们可以把复合函数得微分法反过来用于求不定积分,利用中间变量得代换,得到复合函数得积分法,称为换元法积分法,简称换元法。我们来讨论两类换元法-－-－－第一类换元法与第二类换元法、本节课我们来学习第一换元法,也称为凑微分法。
=
2、定积分得凑微分法(第一换元积分法)
由牛顿—莱布尼茨公式可知,定积分得凑微分法与不定积分得凑微法类似,只就是多了一步将上、下限代入得步骤.
类似于不定积分得思路,我们可以得到如下定理
定理2设ｆ(u)具有原函数可导Ｆ(u)则有换元公式
例5 求下列函数得定积分
(1)(一级)(2)(一级)
(３)(二级)(4)(二级)
例２。求下列函数得不定积分
(1)(二级)(２)(二级)
(3)(二级)(４)(二级)
(５)(二级)(6)(二级)
(7)(二级)
解:(１)
(2)
(3)
(４)
(5)
(6)
(7)
由以上题目可见,凑微分就是通过凑出某个函数得微分进一步得凑成基本得积分公式,从而掌握一些常用得凑微分方法就是必要得,下面就是一些常用得凑微分方法:
２。培养学生得计算能力
时间分配
90分钟
编撰
尧克刚
校对
熊文婷
审核
危子青
修订人
张云霞
二审
危子青
一、正文编写思路及特点
思路:在熟练掌握积分基本公式得基础上,引入凑微分法,按照由易到难得顺序讲题例题、安排习题,使学生能够灵活运用凑微分积分法求函数得不定积分、在学习完不定积分得凑微分法后再来学习定积分得凑微分法。
(5)(二级)
(1)解:
(２)解:
＝
(３)解:
(4)解:
(5)解:
3、能力反馈部分
1、用凑微分法求下列函数得不定积分
(1)(一级)(2)(二级)
(3)(二级)(４)(二级)
(５)(二级)(6)(二级)
(7)(二级)(8)(二级)
(9)(三级)(10)(三级)
2、用凑微分法求下列函数得定积分
(二级)(一级)
,最后将代回,从而有
由于,所以计算结果正确。
(3) 不定积分得凑微分法(第一换元法)
将Hale Waihona Puke Baidu例抽象化,对于具有形如得不定积分,可利用下面得积分方法:
定理1设f(u)具有原函数u(x)可导则有换元公式
其中,, 此称为积分形式得不变形,又称为第一换元积分法或凑微分法。
总结:凑微分法得关键就是凑成微分得形式,即通过凑成某个函数得微分,进一步得凑成基本积分公式,然后利用基本公式积出来
模块基本信息
一级模块名称
积分学
二级模块名称
计算模块
三级模块名称
凑微分法
模块编号
4—9
先行知识
1、积分基本公式
模块编号
4—7
2、牛顿—莱布尼茨公式
模块编号
4-6
知识内容
教学要求
掌握程度
1、凑微分法求不定积分
1。会运用凑微分法求不定积分
熟练掌握
2、凑微分法求定积分
2.会运用凑微分法求定积分
能力目标
1。培养学生得知识迁移能力