挠度计算ppt课件
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挠度预拱度的计算
• 《桥规》规定：对于钢筋混凝土及预应力 混凝土梁桥，用汽车荷载（不计冲击力） 计算的上部结构跨中最大竖向挠度，不应 超过l/600。 • 如果已知某钢筋混凝土简支梁的跨中最大 静活载弯矩为M，则该构件在短期荷载作用 下挠度为：
3.5 挠度、预拱度的计算
3.5 挠度、预拱度的计算 Nhomakorabea3.5 挠度、预拱度的计算
• 对于一般小跨径的钢筋混凝土梁桥，当恒 载和静活载所计算的挠度不超过l/1600时， 可以不设预拱度。 • 活载挠度虽然是临时出现的，但是随着活 载的移动，挠度大小发生变化，在最不利 的荷载位置夏，挠度达到最大值，一旦活 载驶离桥梁，挠度就会消失。因此在桥梁 设计中需要验算活载挠度来体现结构的刚 度特性。
3.5 挠度、预拱度的计算
• 桥梁变形过大，给人以不安全感，不但导致行车 困难，而且容易使桥面铺装层和结构的辅助设备 遭到损坏，严重者危及桥梁安全，必须计算梁的 变形，以确保结构具有足够的刚度。 • 桥梁挠度产生的原因：恒载挠度和活载挠度。 • 恒载：包括长期预应力、混凝土徐变和收缩作是 恒久存在的，其产生的挠度与持续时间相关。恒 载挠度可以通过施工时预设的反向挠度（预拱度） 来加以抵消，桥梁预拱度一般取等于全部恒载和 一半静活载所产生的竖向挠度值，使竣工后的桥 梁达到理想的线型。
材料力学梁的挠度和刚度计算课件
桥梁刚度
桥梁刚度反映了桥梁结构抵抗变形的能力。刚度计算可以帮助工程师了解桥梁在不同载荷作用下的变形情况，从 而优化结构设计，提高桥梁的承载能力和稳定性。
梁的挠度和刚度在房屋建筑中的应用
房屋挠度
在房屋建筑中，挠度对建筑物的安全 性和稳定性具有重要影响。通过计算 和分析挠度，可以确保建筑物在使用 过程中不会发生过大的弯曲和变形， 从而保证居住者的安全。
泊松比与挠度
泊松比是衡量材料横向变形能力的 参数。泊松比越大，梁在受到压力 时横向变形越大，导致挠度增加。
剪切模量与刚度
剪切模量反映了材料抵抗剪切应力 的能力。剪切模量大的材料具有较 大的刚度，能够更好地抵抗变形。
材料的弹性模量对挠度和刚度的影响
01
弹性模量与挠度
弹性模量是衡量材料抵抗弹性变形能力的参数。弹性模量越大，梁在受
03
梁的挠度计算方法
挠度的计算公式
挠度计算公式：$y = frac{Fl^4}{48EI}$
$I$：梁的惯性矩 $E$：材料的弹性模量
$F$：施加在梁上的力 $l$：梁的长度
挠度的计算步骤
确定施加在梁上的力 $F$和梁的长度$l$。
将已知数值代入挠度 计算公式进行计算。
确定材料的弹性模量 $E$和梁的惯性矩$I$ 。
材料的泊松比对挠度和刚度的影响
泊松比与横向变形
泊松比描述了材料在受到压力时横向变形的程度。泊松比 越大，横向变形越明显，这可能对梁的挠度和刚度产生影 响。
泊松比与交叉应力
在分析梁的挠度和刚度时，需要考虑由于泊松比引起的交 叉应力效应。这种效应会影响梁的剪切力和弯矩分布，从 而影响挠度和刚度。
泊松比与材料非线性的考虑
梁的刚度定义
刚度
桥梁刚度反映了桥梁结构抵抗变形的能力。刚度计算可以帮助工程师了解桥梁在不同载荷作用下的变形情况，从 而优化结构设计，提高桥梁的承载能力和稳定性。
梁的挠度和刚度在房屋建筑中的应用
房屋挠度
在房屋建筑中，挠度对建筑物的安全 性和稳定性具有重要影响。通过计算 和分析挠度，可以确保建筑物在使用 过程中不会发生过大的弯曲和变形， 从而保证居住者的安全。
泊松比与挠度
泊松比是衡量材料横向变形能力的 参数。泊松比越大，梁在受到压力 时横向变形越大，导致挠度增加。
剪切模量与刚度
剪切模量反映了材料抵抗剪切应力 的能力。剪切模量大的材料具有较 大的刚度，能够更好地抵抗变形。
材料的弹性模量对挠度和刚度的影响
01
弹性模量与挠度
弹性模量是衡量材料抵抗弹性变形能力的参数。弹性模量越大，梁在受
03
梁的挠度计算方法
挠度的计算公式
挠度计算公式：$y = frac{Fl^4}{48EI}$
$I$：梁的惯性矩 $E$：材料的弹性模量
$F$：施加在梁上的力 $l$：梁的长度
挠度的计算步骤
确定施加在梁上的力 $F$和梁的长度$l$。
将已知数值代入挠度 计算公式进行计算。
确定材料的弹性模量 $E$和梁的惯性矩$I$ 。
材料的泊松比对挠度和刚度的影响
泊松比与横向变形
泊松比描述了材料在受到压力时横向变形的程度。泊松比 越大，横向变形越明显，这可能对梁的挠度和刚度产生影 响。
泊松比与交叉应力
在分析梁的挠度和刚度时，需要考虑由于泊松比引起的交 叉应力效应。这种效应会影响梁的剪切力和弯矩分布，从 而影响挠度和刚度。
泊松比与材料非线性的考虑
梁的刚度定义
刚度
裂缝和挠度计算
我们称变形及裂缝宽度为验算，并在验算时采用荷载原则值、 荷载准永久值和材料强度旳原则值。因为构件旳变形及裂缝宽度 都随时间而增大，所以应按荷载效应旳原则组合并考虑长久作用 旳影响。
材料强度
材料强度原则值
按荷载效应 旳原则组组合
原则组合并考虑 长久作用旳影响
裂缝计算
裂缝宽度计算措施
m
lcr 0
( s
c )dl
( sm
cm )lcr
1
cm sm
sm
lcr
c
sm
Es
lcr
式中： c
1
cm sm
，考虑裂缝间砼本身伸长对裂缝宽度旳影响系数；
与配筋率、截面形式、砼保护层厚度等原因有关，但在一般情况下变化
裂缝计算
9.2.2 平均裂缝间距
无粘结滑移理论以为钢筋与混凝土之间旳粘结滑移很小，裂缝宽度在
钢筋处为0，在混凝土表面最大，裂缝宽度距离钢筋越远越大，裂缝
宽度是因为钢筋外围混凝土弹性收缩引起，混凝土保护层是影响裂缝
宽度旳主要原因。综合粘结滑移理论和无粘结滑移理论，根据试验资
料分析得到平均裂缝间距计算公式为：
cq 准永久荷载作用下抗裂验算边沿混凝土旳预压应力。
裂缝计算
9.1.1 裂缝控制旳三个等级
3 三级：构件上允许出现拉应力，但对裂缝宽度需要进行控制。 要求：在荷载效应原则组合并考虑长久作用影响旳最大裂缝宽度不超出 要求旳限值（详细计算见后）。
注意 （1）一级、二级为抗裂验算，一般属于预应力混凝土构件；三级为裂 缝宽度验算，一般属于一般混凝土构件； （2）一般混凝土构件在使用中一般会存在裂缝，但是过大旳裂缝宽度 会影响构造外观并影响正常使用。 （3）裂缝控制等级和裂缝宽度限值根据环境类别和构造类别拟定（附 表1－13）。
材料强度
材料强度原则值
按荷载效应 旳原则组组合
原则组合并考虑 长久作用旳影响
裂缝计算
裂缝宽度计算措施
m
lcr 0
( s
c )dl
( sm
cm )lcr
1
cm sm
sm
lcr
c
sm
Es
lcr
式中： c
1
cm sm
，考虑裂缝间砼本身伸长对裂缝宽度旳影响系数；
与配筋率、截面形式、砼保护层厚度等原因有关，但在一般情况下变化
裂缝计算
9.2.2 平均裂缝间距
无粘结滑移理论以为钢筋与混凝土之间旳粘结滑移很小，裂缝宽度在
钢筋处为0，在混凝土表面最大，裂缝宽度距离钢筋越远越大，裂缝
宽度是因为钢筋外围混凝土弹性收缩引起，混凝土保护层是影响裂缝
宽度旳主要原因。综合粘结滑移理论和无粘结滑移理论，根据试验资
料分析得到平均裂缝间距计算公式为：
cq 准永久荷载作用下抗裂验算边沿混凝土旳预压应力。
裂缝计算
9.1.1 裂缝控制旳三个等级
3 三级：构件上允许出现拉应力，但对裂缝宽度需要进行控制。 要求：在荷载效应原则组合并考虑长久作用影响旳最大裂缝宽度不超出 要求旳限值（详细计算见后）。
注意 （1）一级、二级为抗裂验算，一般属于预应力混凝土构件；三级为裂 缝宽度验算，一般属于一般混凝土构件； （2）一般混凝土构件在使用中一般会存在裂缝，但是过大旳裂缝宽度 会影响构造外观并影响正常使用。 （3）裂缝控制等级和裂缝宽度限值根据环境类别和构造类别拟定（附 表1－13）。
弹性薄板的小挠度弯曲课件
践指导。
06
参考文献
参考文献
总结词：详细描述了弹性力学的基本 原理，包括应力和应变的关系，以及 弹性薄板在受到外力作用时的弯曲变 形规律。
详细描述：在弹性力学中，薄板的小 挠度弯曲是指薄板在受到外力作用时 发生的弯曲变形，其弯曲变形程度较 小，可以忽略不计薄板的剪切变形和 转动惯性。这种变形情况下，薄板的 弯曲变形可以通过挠度（即变形量） 来描述。在弹性力学中，应力和应变 之间的关系由胡克定律（Hooke's Law）描述，即应力与应变成正比， 比例系数为材料的弹性模量。
详细描述
圆形薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形薄板类似，这种弯曲程度较 小，也称为小挠度弯曲。在圆形薄板中，各个方向的弯曲程度基本相同，因此圆心位置的应力最大。
实例三：不规则形状薄板的弯曲
总结词
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会发生小挠度弯曲。
详细描述
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形和圆形薄 板类似，这种弯曲程度较小，也称为小挠度弯曲。不规则形状薄板的弯曲情况较为复杂，需要考虑各 个方向的弯曲程度以及应力分布。
05
结论与展望
研究结论
结论一
弹性薄板在受到小挠度弯 曲时，其弯曲行为与材料 属性、几何尺寸等因素密 切相关。
结论二
通过理论分析和数值模拟， 我们得到了弹性薄板在小 挠度弯曲下的变形规律和 应力分布。
结论三
实验结果与理论预测和数 值模拟结果基本一致，验 证了理论的正确性和数值 方法的可靠性。小的单元，对每 个单元进行弯曲分析，通过求解每个 单元的平衡方程得到整体的挠度分布。
对于某些特定形状和载荷条件的薄板， 可以通过解析方法直接求解弯曲微分 方程，得到挠度分布的精确解。
06
参考文献
参考文献
总结词：详细描述了弹性力学的基本 原理，包括应力和应变的关系，以及 弹性薄板在受到外力作用时的弯曲变 形规律。
详细描述：在弹性力学中，薄板的小 挠度弯曲是指薄板在受到外力作用时 发生的弯曲变形，其弯曲变形程度较 小，可以忽略不计薄板的剪切变形和 转动惯性。这种变形情况下，薄板的 弯曲变形可以通过挠度（即变形量） 来描述。在弹性力学中，应力和应变 之间的关系由胡克定律（Hooke's Law）描述，即应力与应变成正比， 比例系数为材料的弹性模量。
详细描述
圆形薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形薄板类似，这种弯曲程度较 小，也称为小挠度弯曲。在圆形薄板中，各个方向的弯曲程度基本相同，因此圆心位置的应力最大。
实例三：不规则形状薄板的弯曲
总结词
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会发生小挠度弯曲。
详细描述
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形和圆形薄 板类似，这种弯曲程度较小，也称为小挠度弯曲。不规则形状薄板的弯曲情况较为复杂，需要考虑各 个方向的弯曲程度以及应力分布。
05
结论与展望
研究结论
结论一
弹性薄板在受到小挠度弯 曲时，其弯曲行为与材料 属性、几何尺寸等因素密 切相关。
结论二
通过理论分析和数值模拟， 我们得到了弹性薄板在小 挠度弯曲下的变形规律和 应力分布。
结论三
实验结果与理论预测和数 值模拟结果基本一致，验 证了理论的正确性和数值 方法的可靠性。小的单元，对每 个单元进行弯曲分析，通过求解每个 单元的平衡方程得到整体的挠度分布。
对于某些特定形状和载荷条件的薄板， 可以通过解析方法直接求解弯曲微分 方程，得到挠度分布的精确解。
《梁的挠度及转角 》课件
长度、弯曲刚度等因素。
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
梁跨中挠度的计算.ppt
❖ 然后相加求得系统总体刚度矩阵。之后求节点载荷 向量，最后根据求出位移分量。
❖ (3)编程 ❖ 程序编写如下: ❖ E = 210 * 10 ^ 9
❖ I = 0.1 ^ 4 / 12
❖ A = 0.1 * 0.1
❖ L = 0.5
❖ k1=E*I/L^3*[A*L^2/I 0 0 -A*L^2/I 0 0
1
2
3 4
❖ = [f(x,y)]{}
局部坐标系下的单元刚度矩阵为：
12 6L 12 6L
__
[Ke ]
EI L3
6L
-12
6L
4L2 - 6L 2L2
- 6L 12 - 6L
2L2Biblioteka - 6L4L2三、Matlab编程
❖ (1)基本思路：利用有限元原理分析：建立坐 标系，划分单元；求出单元刚阵；根据局部 坐标与整体坐标关系，求出系统总体刚度矩 阵；求节点载荷向量；引入约束条件，根据 力与节点位移的关系，求出位移向量，最后 求出节点作用力。
❖ 0 12 6*L 0 -12 6*L
❖ 0 6*L 4*L^2 0 -6*L 2*L^2
❖ -A*L^2/I 0 0 A*L^2/I 0 0
❖ 0 -12 -6*L 0 12 -6*L
❖ 0 6*L 2*L^2 0 -6*L 4*L^2]
❖
单元刚度矩阵
❖ dd1=zeros(12)
建立一个6*6的空矩阵
❖ (2)分析此题：如图所示，将梁划分成两个单 元。
❖ 每个单元的刚度矩阵如前求出的，即：
12 6L 12 6L
❖ K1=k2=
__
[Ke ]
EI L3
6L
-12
桥梁挠度检测课件
报告案例分析
案例一
某市一座高速公路桥梁的挠度检测报告。通过对桥梁的挠度检测，发现该桥梁的挠度值超过了规范要求，存在安 全隐患。建议采取措施进行加固或维修。
案例二
某市一座铁路桥梁的挠度检测报告。通过对桥梁的挠度检测，发现该桥梁的挠度值符合规范要求，但仍需注意加 强监测和维护，确保安全运行。
06 桥梁挠度检测未 来发展与挑战
仪器使用
使用全站仪、水准仪等测量仪 器进行挠度检测。
数据处理
对测量数据进行处理和分析， 得出挠度值。
结果判断
根据规范要求，判断桥梁挠度 是否符合规范要求。
实践案例分析
案例一
某梁式桥的挠度检测及原 因分析
案例二
某拱桥的挠度检测及加固 方案设计
案例三
某斜拉桥的挠度检测及健 康监测系统应用
04 桥梁挠度检测数 据处理与分析
激光准直法
通过在桥梁上设置激光准直仪，测量桥梁的挠度。
激光干涉法
通过在桥梁上设置激光干涉仪，测量桥梁的挠度。
其他检测技术
超声波测量法
通过在桥梁上设置超声波传感器，测量超声波传播时间或振 幅变化，再转换为挠度值。
GPS测量法
通过在桥梁上设置GPS接收器，测量桥梁的位移量，再转换 为挠度值。
03 桥梁挠度检测实 践
桥梁挠度检测课件
目录
• 桥梁挠度检测概述 • 桥梁挠度检测技术 • 桥梁挠度检测实践 • 桥梁挠度检测数据处理与分析 • 桥梁挠度检测报告编写 • 桥梁挠度检测未来发展与挑战
01 桥梁挠度检测概 述
桥梁挠度的定义
01
桥梁挠度是指桥梁在承受载荷后 ，梁体产生的垂直向下或向上的 弯曲变形。
02
挠度变形会导致桥梁的几何形状 发生变化，影响其承载能力和安 全性。
材料力学-梁的挠度 PPT
最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
[例3] 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并
求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。
解：1．外力分析：求支座约束反力。 研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：
m F yA R R A B R l B FF 1 .5 0 l0 R R B A 1 .0 5.F 5F
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件： fC fC
光滑条件： 讨论：
C
C
fD 0 D 0
或写 fC 左成 fC 右
或 写 C 左 成C 右
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
x
M (x)P(xL)
f
写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数
E f I M (x ) P (L x ) EfI1 2P(Lx)2C1
大家有疑问的，可以询问和交
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EfI (x) M (x)
§7-3 积分法计算梁的位移
板壳理论--薄板小挠度弯曲问题及经典解法 ppt课件
§13.2弹性曲面的微分方程
3.力平衡方程
z
w 表示，取体力分量 Z 0
z xz yz
z x y
zx
2
E
1 2
z2
t2 4
x
2w
zy
2
E
1 2
z2
t2 4
y
2w
z
z
E (z2t2)4w
2(12) 4
推导过程
21
PPT课件
z xz yz z x y
zx
y xy zy 0 y x z
z
xz
yz
Z
0
z x y
x ux,y yv,z wz,xyxvuy,
yzvzw y,zx
uw z x
物理方程
x E1[(x (y z)];y E1[(y (x z)];
z E1[(z (x y)]
xy
8G1xy;yz
G1yz;zx
Ez2
1 2
x
2w
F1
x,
y
zy
2
Ez2
1 2
y
2
w
F2
x,
y
zy z t 0 2
zx z t 0 2
F1x,y81Et22
2w x
F2x,y81Et22
2w y
zx
2
E
1 2
z2
t2 4
x
2w
zy
2
E
1 2
z2
t2 4
y
2w
20
PPT课件
z E (z2t2)4w
z 2(12) 4
22
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
《梁的挠度及转角 》课件
静载荷
载荷大小和方向不随时间变化，转角计算相对简 单。
动载荷
载荷大小和方向随时间变化，需要考虑时间因素 对转角的影响，计算较为复杂。
冲击载荷
载荷突然施加或卸载，可能导致梁发生大变形和 瞬时转角，需要特别考虑安全系数。
04
梁的挠度及转角实例分析
实际工程中的挠度及转角问题
总结词：实际应用
详细描述：梁的挠度和转角是实际工程中常见的问题，特别是在桥梁、建筑和机 械工程中。了解和掌握梁的挠度及转角对确保结构安全和性能至关重要。
设计思路
通过调整梁的截面尺寸、材料、支撑条件等，使挠度和转角在一个 合理的范围内，以保证梁的安全性和稳定性。
优化设计实例分析
1 2 3
案例一
某桥梁的横梁设计，通过优化截面尺寸和材料分 布，显著降低了挠度，提高了承载能力。
案二
某高层建筑的楼板设计，通过合理布置支撑和优 化梁的尺寸，有效控制了转角，增强了结构的稳 定性。
案例三
某机械设备的框架设计，综合考虑挠度和转角的 影响，优化了整体结构，实现了轻量化和高性能 。
THANKS
感谢观看
进行计算。
动载荷下的挠度
在动载荷作用下，梁的挠度值可能 较大，需要考虑动载荷对挠度的影 响，可以采用动力学模型进行计算 。
复合载荷下的挠度
在实际工程中，梁可能同时受到静 载荷和动载荷的作用，需要采用更 为复杂的模型进行计算。
03
梁的转角计算
转角的计算方法
公式法
根据梁的物理方程和边界条件， 通过数学公式计算转角。
实例分析一：简支梁的挠度及转角
总结词
简支梁分析
详细描述
简支梁是一种常见的梁类型，其挠度和转角可以通过理论公式进行计算。该实 例将介绍简支梁在不同载荷下的挠度和转角，以及如何通过优化设计来减小挠 度和转角。
载荷大小和方向不随时间变化，转角计算相对简 单。
动载荷
载荷大小和方向随时间变化，需要考虑时间因素 对转角的影响，计算较为复杂。
冲击载荷
载荷突然施加或卸载，可能导致梁发生大变形和 瞬时转角，需要特别考虑安全系数。
04
梁的挠度及转角实例分析
实际工程中的挠度及转角问题
总结词：实际应用
详细描述：梁的挠度和转角是实际工程中常见的问题，特别是在桥梁、建筑和机 械工程中。了解和掌握梁的挠度及转角对确保结构安全和性能至关重要。
设计思路
通过调整梁的截面尺寸、材料、支撑条件等，使挠度和转角在一个 合理的范围内，以保证梁的安全性和稳定性。
优化设计实例分析
1 2 3
案例一
某桥梁的横梁设计，通过优化截面尺寸和材料分 布，显著降低了挠度，提高了承载能力。
案二
某高层建筑的楼板设计，通过合理布置支撑和优 化梁的尺寸，有效控制了转角，增强了结构的稳 定性。
案例三
某机械设备的框架设计，综合考虑挠度和转角的 影响，优化了整体结构，实现了轻量化和高性能 。
THANKS
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进行计算。
动载荷下的挠度
在动载荷作用下，梁的挠度值可能 较大，需要考虑动载荷对挠度的影 响，可以采用动力学模型进行计算 。
复合载荷下的挠度
在实际工程中，梁可能同时受到静 载荷和动载荷的作用，需要采用更 为复杂的模型进行计算。
03
梁的转角计算
转角的计算方法
公式法
根据梁的物理方程和边界条件， 通过数学公式计算转角。
实例分析一：简支梁的挠度及转角
总结词
简支梁分析
详细描述
简支梁是一种常见的梁类型，其挠度和转角可以通过理论公式进行计算。该实 例将介绍简支梁在不同载荷下的挠度和转角，以及如何通过优化设计来减小挠 度和转角。
挠度分析
ql 3 ml 24EI 3 EI
wc wc ( q ) wc ( m )
A
A (q )
m A
C
B
wc (q)
5ql ml 384EI 16 EI
4
2
A (m)
C
wc ( m )
B
HOHAI UNIVERSITY
例2：已知F、q、EI。求θc和wc。
F=qa A B
Fa Fl 2 EA 48EI
3
l
F
A C
D a
wc1 wc2
l
B
HOHAI UNIVERSITY
例3：一阶梯形悬臂梁，在左端受集中力作用。 试求左端的挠度。
F
EI
A B
2EI
a
a
C
HOHAI UNIVERSITY
F
解：采用逐段刚化法
A
EI a F B
2EI
a C
1、令BC刚化，AB为
A 悬臂梁。 wA1 θA1
y
2 o 梁的挠曲线微分方程为 ql qx 2 EIw x 2 2 ql x 2 qx3 积分 EIw C 2 2 2 3 ql x 3 qx4 EIw Cx D 2 2 3 2 3 4
HOHAI UNIVERSITY
边界条件 x0: w 0 xl : w0
w max
Fbl 2 0.0642 。 EI 9 3 EI
2
Fbl 2
F b C D B
Fbl Fbl wc 0.0625 。 16EI EI
A x
a
x
y
l
因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线上没 有拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度。
wc wc ( q ) wc ( m )
A
A (q )
m A
C
B
wc (q)
5ql ml 384EI 16 EI
4
2
A (m)
C
wc ( m )
B
HOHAI UNIVERSITY
例2：已知F、q、EI。求θc和wc。
F=qa A B
Fa Fl 2 EA 48EI
3
l
F
A C
D a
wc1 wc2
l
B
HOHAI UNIVERSITY
例3：一阶梯形悬臂梁，在左端受集中力作用。 试求左端的挠度。
F
EI
A B
2EI
a
a
C
HOHAI UNIVERSITY
F
解：采用逐段刚化法
A
EI a F B
2EI
a C
1、令BC刚化，AB为
A 悬臂梁。 wA1 θA1
y
2 o 梁的挠曲线微分方程为 ql qx 2 EIw x 2 2 ql x 2 qx3 积分 EIw C 2 2 2 3 ql x 3 qx4 EIw Cx D 2 2 3 2 3 4
HOHAI UNIVERSITY
边界条件 x0: w 0 xl : w0
w max
Fbl 2 0.0642 。 EI 9 3 EI
2
Fbl 2
F b C D B
Fbl Fbl wc 0.0625 。 16EI EI
A x
a
x
y
l
因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线上没 有拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度。
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要求
f ≤[f]
表 11.1 受弯构件的挠度限值 [ f ]
构件类型 吊车梁：手动吊车
电动吊车
挠度限值（以计算跨度 l0 计算）
l0/500 l0/600
屋盖、楼盖及楼梯构件：
当 l0≤7m 时
l0/200(l0/250)
当 7m≤l0≤9m 时
l0/250(l0/300)
当 l0 > 9m 时
l0/300(l0/400)
第十章 变形和裂缝宽度的计算
§ 10.3 钢筋混凝土受弯构件的挠度验算
10.3.1 挠度控制的目的和要求 目的
1、保证结构的使用功能要求。结构构件产生过大的变形将影响 甚至丧失其使用功能，如支承精密仪器设备的梁板结构挠度 过大，将难以使仪器保持水平；屋面结构挠度过大会造成积 水而产生渗漏；吊车梁和桥梁的过大变形会妨碍吊车和车辆 的正常运行等。
Pl
3 0
EI
5 Ml02 48 EI
1 Ml02 12 EI
f
f
S
M EI
l02
Sf l02
fM
EI
EI M
f
M EI f
截面抗弯刚度EI 体现了截面抵抗弯曲变形的能力，同时也反映
了截面弯矩与曲率之间的物理关系。
对于弹性均质材料截面，EI为常数，M-f 关系为直线。 3 10.3 受弯构件的挠度验算
几何关系 物理关系 平衡关系
fe s M
y Ey EI
8 10.3 受弯构件的挠度验算
第十章 变形和、物理关系：
es
ss
Es
，
ec
sc Ec
3、平衡关系：根据裂缝截面的应力分布
M s C h0 s c h0 b h0
M s T h0 s s As h0
在短期弯矩Msk=（0.5~0.7）Mu范围，三个参数、 和 中， 和 为常数，而 随弯矩增长而增大。
2、受压区边缘混凝土平均应变综合系数 根据试验实测受压边缘混凝土的压应变，可以得到系数 的试
验值。在短期弯矩Msk=（0.5~0.7）Mu范围，系数 的变化很小，
仅与配筋率有关。《规范》根据试验结果分析给出，
E 0.2 6 E
1 3.5 f
f
(bf b)hf bh0
受压翼缘加强系数
12
sc
Ms
bh02
ss
Ms
As h0
h0
h0
sc sc
C
ssAs
9 10.3 受弯构件的挠度验算
第十章 变形和裂缝宽度的计算
ec
cec
c
sc Ec
c
Ms
Ecbh02
Ms Ecbh02
es
e s
ss
Es
Ms Es As h0
sc sc
3、平衡关系：根据裂缝截面的应力分布
C
M s C h0 s c h0 b h0 M s T h0 s s As h0
h0
h0
Bs
Es As h02
E
11 10.3 受弯构件的挠度验算
第十章 变形和裂缝宽度的计算
四、参数、 和
1、开裂截面的内力臂系数
试验和理论分析表明，在短期弯矩Msk=（0.5~0.7）Mu范围，
裂缝截面的相对受压区高度 变化很小，内力臂的变化也不大。 对常用的混凝土强度和配筋情况， 值在0.83~0.93之间波动。 《规范》为简化计算，取=0.87。
10.3 受弯构件的挠度验算
第十章 变形和裂缝宽度的计算
13 10.3 受弯构件的挠度验算
第十章 变形和裂缝宽度的计算
3、钢筋应变不均匀系数
1.1 0.65 ftk s sk te
s sk
M sk
As h0
当 <0.2时，取 =0.2；
当 >1.0时，取 =1.0；
对直接承受重复荷载作
用的构件，取 =1.0。
应变分布具有以下特征：
6 10.3 受弯构件的挠度验算
第十章 变形和裂缝宽度的计算
c
ec ec
f es ec
h0
es es
Bs
Ms
f
7 10.3 受弯构件的挠度验算
第十章 变形和裂缝宽度的计算
三、刚度公式的建立 材料力学中曲率与弯矩关系的推导
fM
EI
fe
y
s Ee e s
E
sM y
I
te
As Ate
te为以有效受拉混凝土截面面积
计算的受拉钢筋配筋率。
Ate为有效受拉混凝土截面面积，对
受弯构件取
Ate 0.5bh (bf b)hf
14 10.3 受弯构件的挠度验算
第十章 变形和裂缝宽度的计算
Bs
Es Ash02
E
Bs
Es Ash02
1.15 6E
1 3.5 f
1.1 0.65 ftk s sk te
第十章 变形和裂缝宽度的计算
刚度是反映力与变形之间的关系：
应力-应变：s E e
弯矩-曲率：M EI ×f
荷载-挠度：P
48 ×
EI l03
×
（f 集中荷载）
水平力-侧移：V
12
EI h3
d（两端刚接）
4 10.3 受弯构件的挠度验算
第十章 变形和裂缝宽度的计算
对钢筋混凝土梁
由于混凝土开裂、弹塑性应力-应变关系和钢筋屈服等影响，
2、防止对结构构件产生不良影响。如支承在砖墙上的梁端产生 过大转角，将使支承面积减小、支承反力偏心增大，并会引 起墙体开裂。
3、防止对非结构构件产生不良影响。结构变形过大会使门窗等 不能正常开关，也会导致隔墙、天花板的开裂或损坏。
1 10.3 受弯构件的挠度验算
第十章 变形和裂缝宽度的计算
4、保证使用者的感觉在可接受的程度之内。过大振动、变形 会引起使用者的不适或不安全感。
注：1、表中括号内数值适用于使用上对挠度有较高要求的构件；
2、悬臂构件的挠度限值按表中相应数值乘以系数 2.0 取用。
2 10.3 受弯构件的挠度验算
第十章 变形和裂缝宽度的计算
10.3.2 截面抗弯刚度的概念 钢筋混凝土梁的抗弯刚度B
对匀质弹性材料梁
均布： f 集中：f
5 384 1 48
ql04 EI
h0
h 0
sc
Ms
bh02
ss
Ms
As h0
ssAs
10 10.3 受弯构件的挠度验算
第十章 变形和裂缝宽度的计算
ec
cec
c
sc Ec
c
Ms
Ecbh02
Ms Ecbh02
es
e s
ss
Es
Ms Es As h0
f Ms
es ec
Ms Ecbh02
Ms Es Ash0
Bs
钢筋混凝土适筋梁的M-f 关系不再是直线，而是随弯矩增大，
截面曲率呈曲线变化。
M 0.85EcI0
My
Mk
Mcr
Bs
f
5 10.3 受弯构件的挠度验算
第十章 变形和裂缝宽度的计算
对钢筋混凝土梁
f
S
Mk B
l02
短期弯矩Mk一般处于第Ⅱ阶段，刚度计算需要研究构件带裂缝 时的工作情况。该阶段裂缝基本等间距分布，钢筋和混凝土的