矢量场的环量 旋度
合集下载
§14矢量场的环量及旋度.
C l F dl
环量不为零的矢量场叫做旋涡场， 其场源称为旋涡源，矢量场的环量有 检源作用。
Ft
F
Fn
环量的计算
在直角坐标系中，设
F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z )ex+ Fy ( x,y,z )ey+ Fz ( x,y,z )ez dl = dx ex+ dy ey+ dz ez
Sen
F dl dC l lim dS S 0 S
上式称为环量密度
l
S
P
面元法向矢量与周界 循行方向的右手关系。
过点P 的有向曲面S 取不同的方向，其环量密度将会不同。
（2）旋度
P 点的旋度定义为该点的最大的环量密度，并令其方向
为 en , 即
F dl en curlF lim l s 0 s max
，
dl=dxex+dyey
l
y (x,y)
F d l 2 x y dx x y dy
l l
3
o
x
设 则
x = 3cos ，y = 3sin
2π
F d l 23cos 3sin 3sin d 3cos 3sin 3cos d 9sin cos 9sincos d
l 0 2π 2 2 0
1 2 91 sincos d 9 sin 18π 0 2 0
2π
2π
例 5 求矢量场 F=xyz（exey+ez) 在点 M(1,3,2)处的旋度。
解：
ex F
x
ey
矢量场的环量和旋度
)
(c)
l A dl S ( A) dS
【例1-11】求矢量 A yex xey cez （c是常量）沿曲线 (x 2)2 y2 R2 , z 0 的环量。
y
R
O (2,0) l
【解】：曲线l是以（2，0）为圆心，R为
半径的圆，故线元 dl dxex dyey
l 方向的单位矢量
lo
l l
1 3 (ex 2ey 2ez )
在点 M (1, 2,3)处沿 l 方向的环量面密度为：
A lo 5 8 6 19
M
333 3
内容小结
主要概念：
环量 旋度
旋涡源
若环量（旋度）等 于零，该矢量场为 无旋场或保守场
主要定理：
3
3
3 (1,2,3) 3
②
ex
ey
ez
rot A A
x
y
z
x(z y) y(x z) z(y x)
(z y)ex (z x)ey ( y x)ez
在点M (1, 2,3) 处旋度为
rot A (1,2,3)
5ex
4ey
3ez
在点M (1, 2,3) 处沿方向 l ex 2ey 2ez 的环量面密度。 ①直接应用环量面密度的计算公式； ②作为旋度在该方向的投影。
【解】：
①矢量 l ex 2ey 2ez 的方向余弦为
cos 1 , cos 2 , cos 2
3
3
3
矢量场为 A x(z y)ex y(x z)ey z(y x)ez 由环量面密度公式
13矢量场的旋度
证明： A dS A dl
S
C
将 S 分成许多面元 S1,S2,Si , 其相应面元的边界为 C1,C2,Ci
对每一个面元 Si，其边界Ci 的环绕方向
均取与大回路 C一致的环绕方向。
则：相邻两面元 Si 、S j的边界 Ci 、C j
在公共边界上的积分等值异号，相互抵消。
1.3 矢量场的旋度
１.３.１、矢量场的环流（环量）：
A线
1 、定义：
A
量在矢A量沿A某的一场闭中合，路矢径
的线积分，称为该矢量
dl
环量是一个标量；
沿此闭合路径的环流。
可正、可负。
A dl Acosdl
C
C
2019/12/5
1
2 、有旋场、无旋场（保守场）：
在某一矢量 A的场中， 矢量 A 沿任意闭合路径的线
积分，恒等于零，则该矢量场
为无旋场，在曲线Ｃ内没有产 生矢量场 A 的旋涡源；反之， 为有旋场，在Ｃ内必然有产
生矢量场 A 的旋涡源。
A dl Acosdl
C
C
2019/12/5
A线 A
dl
2
１.３.２、矢量场的旋度：
故
rotA A
x y z
2019/12/5
Ax Ay Az
6
例点：M求（矢1，量0场，A1 ） ex处x(z的 旋y) 度ey及y(x沿 zl)
ezz(
y
x)
2ex 6ey
在
3ez
方向的环流密度。
矢量场的旋度
C2
A dl
故
C
A d l A d S
S
证毕
例1.4 已知A x, y e x x e y x y 2 。现有一个在x y 面内的 闭合路径C，此闭合路径由0,0 和 2, 2 之间的一段抛物
2
线 y 2 x 和两段平行于坐标轴的直线组成，如图所示。 求：（1）矢量场的A旋度； （2）计算环流 C A dl 。积分区域 为如图所示的闭合路径C； （3）验证斯托克斯定理。
任意方向的环流密度 即
2、旋度的定义：
C
A dl rot A dS
３、旋度的物理意义
矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；
矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；
旋度的计算
在直角坐标系下：
Az Ay Ax Az Ay Ax rotA ex ( ) ey ( ) ez ( ) y z z x x y
A dl ＜ A 与 en 有一夹角 ，则 C
讨论：
A en A dl
A
max
dl
C
M
A 与 S不在同一平面上
max
A
en
当 的法向分量 en 垂直），环流密度有最大值，此即被 en 的方向就称为 A 旋度的方 称为 A 的旋度大小； 向。
0 2 0 2
利用y2 x消去一个自变量y, 有dy dx /(2 x ), y 2 dy
C
2 y dy
2
0 2
2 x x x 2 dx
2.4 旋度
0 记作： rot A ( ) n n max
旋度是由矢量场 A( M ) 派生出来的一个矢量场, 也称 旋度场.
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
14
《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
旋度的意义
旋度用于反映矢量场的漩涡源的分布情况
方向：漩涡面方向 大小：漩涡强度
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
9
《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
A dl l ( ydx xdy)
2 2 2 2
解： 由于在曲线上z=0，所以dz=0．
0 R sind (2 R cos ) 0 (2 R cos )d ( R sin )
环量只能在总量上反映场在某回路上的旋涡特性。
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
6
《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
流速场
均匀直线流动 非均匀直线流动
水流沿平行于水管 轴线方向流动
流体做涡旋运动
=0，无旋涡运动
2014年3月20日星期四
0，有产生旋涡的源
华北科技学院基础部 7
《场论初步》
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
4
《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
l A dl l P dx Q dy R dz
环量的性质： 环量是数量.
l
A
S
A
P Γ>0，场有沿着C旋转的量，旋 涡场，有旋涡源正向穿过曲面S. （a） （S的法向与C成右手螺旋关系）. Γ<0，场有沿着C反向旋转的量，有旋涡源反向穿过S.
矢量场的环量旋度
矢量场的环量__旋度
在矢量分析和流体力学中，矢量场的旋度（或称为旋涡）是一个重要的概念。
旋度描述了一个矢量场在某一点的变化率和方向。
具体来说，它给出了一个矢量场在某一点围绕一个点或一条线的旋转强度和方向。
旋度的数学定义是 curl(F) = ∇× F，其中 F 表示矢量场，∇表示哈密顿算子（一个矢量算子），× 表示矢量的叉乘。
这个定义表明，旋度是一个矢量，其大小等于原矢量场在三个方向上的变化率的最大差值，其方向垂直于原矢量场所在的平面。
在具体应用中，旋度有很多重要的用途。
例如，在电磁学中，根据安培定律和法拉第电磁感应定律，磁场的变化会产生电场，这个电场的大小和方向与磁场的变化率和方向有关。
这表明旋度在电磁场的变化和传播中起着重要作用。
在流体力学中，旋度描述了流体速度场的旋转情况。
如果一个流体速度场的旋度很大，那么这个流体的旋转速度就很大。
这种旋转流体在自然界和工程中有很多重要应用，例如龙卷风、旋涡星云、水涡等。
此外，在向量场中，如果一个向量场的旋度为零，那么这个向量场就是无旋的。
无旋向量场在很多实际应用中具有重要价值。
例如，无旋的电流场不会产生磁场，因此不会受到磁场的干扰。
因此，在电力工程中，无旋电流场的设计和分析是非常重要的。
总之，矢量场的旋度是一个描述矢量场在某一点的变化率和方向的重要概念。
它在矢量分析、流体力学、电磁学、工程应用等领域中有广泛的应用。
通过对旋度的计算和分析，我们可以更好地理解和描述自然现象以及设计各种实际应用。
1.7+矢量场旋度的定义与计算
1.7 矢量场的旋度
1. 矢量场的环量 2. 旋度的定义 3. 旋度的计算 4. 斯托科斯定理
1. 环量：
在矢量场中，任意取一闭合曲线 ， 将矢量沿该曲线积分称之为环量。
C l F dl
可见：环量的大小与环面的方向有关。
2. 旋度的定义:
一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环的法线方 向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。
lbc F dlbc Fyy
lcd
F
dlcd
(Fz
Fz y
y)z
lda
F
dlda
(Fy
Fy z
z)y
za
d
bc
o
y
x
F dl (Fz Fy )yz
l1
y z
在 x 方向的环量密度
F dl
( F )x
lim
S 0
l1
Sx
F dl (Fz Fy )yz
l1
y z
Sx yz
表达式：
rotF
lim
S 0
1 S
[aˆn
l F dl ]max
旋度可用符号表示： rotF F
3. 旋度的计算：
以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：
F ( F)x aˆx ( F)y aˆy ( F)z aˆz
其中：( F)x为 x 方向的环量密度。
za
d
F dl
( F )x
可得：
( F)x
Fz y
Fy z
同理：
( F)y
Fx z
Fz x
( F)z
Fy x
Fx y
旋度公式：
F
Fz y
Fy z
1. 矢量场的环量 2. 旋度的定义 3. 旋度的计算 4. 斯托科斯定理
1. 环量：
在矢量场中，任意取一闭合曲线 ， 将矢量沿该曲线积分称之为环量。
C l F dl
可见：环量的大小与环面的方向有关。
2. 旋度的定义:
一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环的法线方 向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。
lbc F dlbc Fyy
lcd
F
dlcd
(Fz
Fz y
y)z
lda
F
dlda
(Fy
Fy z
z)y
za
d
bc
o
y
x
F dl (Fz Fy )yz
l1
y z
在 x 方向的环量密度
F dl
( F )x
lim
S 0
l1
Sx
F dl (Fz Fy )yz
l1
y z
Sx yz
表达式：
rotF
lim
S 0
1 S
[aˆn
l F dl ]max
旋度可用符号表示： rotF F
3. 旋度的计算：
以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：
F ( F)x aˆx ( F)y aˆy ( F)z aˆz
其中：( F)x为 x 方向的环量密度。
za
d
F dl
( F )x
可得：
( F)x
Fz y
Fy z
同理：
( F)y
Fx z
Fz x
( F)z
Fy x
Fx y
旋度公式：
F
Fz y
Fy z
2.4矢量场的环量及旋度分析
2. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，
模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示，即：
rot A n lim
c
A dl S
max
S 0
ˆ 表示矢量场旋度的方向； 式中：n
3. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。 而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的 分布情况。
2) 在圆柱坐标系下：
1 (er e ez ) r r z 1 (rFr ) 1 F Fz F (r ) r r r z
3) 在球面坐标系下： 1 1 (er e e ( ) ) r r r sin
du el dl
max
式中：el 为垂直于等值面（线）的方向。
2、梯度的物理意义 1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场 变化最快的方向，其幅度表示标量场的最大变化率。
3、梯度的运算
2 2 2 2 2 2 Az Az Ay Ay Ax Ax xy yx zx xz yz zy
=0
小结
1）矢量场的环量 2）环量密度
3）旋度的定义 4）旋度的计算 5）斯托克斯定理
思考题
1、矢量场的环量、环量密度及旋度各表示什么意义？ 2、环量与环量密度以及环量密度与旋度之间各有什么关系？ 3、斯托克斯定理中如果闭合线积分给定，那么积分面是唯一的吗？为什么？ 4、矢量场旋度的方向和使场涡旋的方向有什么关系？
复变函数第四版-第二章_2.4 矢量场的环量及旋度
从（4.13）式知，我们知道旋度的一个重要性质，就是：旋度 矢量在任一方向上的投影，就等于该方向上的环量面密度，即 有
ro t n A μ n ( 4 .1 5)
例如在磁场H 中，旋度rot H 式这样一个矢量，在给定点 处，它的方向乃是最大电流密度的方向，其模即为最大电流密 度的数值，而且它在任一方向上的投影，就给出该方向上的电 流密度。在电学上称rot H 为电流密度矢量。
例5.
2 2 2 2 设ay2z2i+z2x2j+x2yj x 2 y 2 k2k,证明 A= y z iz x
A ro t A 0
证
由
0 2 D A 2 xz 2 xy 2
2
2 yz 0 2 yx
2
2
2y z 2 2 zx 0
2
2 2
得
于是有
3 7
2
6 7
2
2 7
8
2 7
18 7
第二章 场论
12
• 旋度
看环量面密度的计算公式(4. 11)把其中的三个数( Ry −Qz ) ,( Pz − Rx ) ,(Qx − Py ) 视为一个矢量R 的三个坐标，即取
R ( R y Q z ) i ( Pz R x ) j ( Q x Py ) k ( 4 .1 2 )
l
dl lim
s M
I S
s M
s
dI dS
( 4 .9 )
就是在点M 处沿方向n 的电流密度。
又在流速场v 中的一点M 处，沿n 的环量面密度，由(4.3)式为
n lim
v dl
第9讲矢量场的环量及旋度1
Q P ( Pdx Qdy) (( )dxdy x y l S
l 的方向为内边线顺时针，外边线逆时针。
2.环量面密度
环量只能描场中述以
通向任意方向
l
为边界的一块曲面
S
内
总的流（电流强度）；不能反映场中任意一点处
n 的流的密度（电流密度）。
n
流密度：矢量场中 M 点处沿任一方向
1.环量
dl ndl dl cos(t , x)i dl cos(t , y) j dl cos(t , z )k
dxi dyj dzk
l
t dl
cos(t , x), cos(t , y), cos(t , z) 为 l 切线矢量 t 的方向余弦。
《矢量分析与场论》
第9讲 矢量场的环量及旋度（1）
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
《矢量分析与场论》
主要内容
1. 环量 2. 环量面密度 3. 旋度
教材：第2章，第4节
1.环量
环量反映矢量场 A 和环线 l 之间的相互作用。 环线 l 为封闭曲线，其方向规定为：环线 l 和 流 I 成右手螺旋法则。
根据中值定理
[( R Q P R ) cos(n, x) ( ) cos(n, y ) y z z x
(
Q P ) cos(n, z )]M * S x y
2.环量面密度
其中 M *为 S 上的某一点，当 S M 时，有 M * M ， 于是
的
dl
A
在直角坐标系中，环量表示为：
A dl ( Pdx Qdy Rdz )
矢量场的环量和旋度课件
矢量场的环量和旋度
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量。 旋度是描述矢量场中任一点旋转性质的量。
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的环量 二、环量面密度 三、矢量场的旋度
一、矢量场的环量
在矢量场中，若L是一条有向闭合曲线，则矢量场
A 沿有向闭曲线 L的线积分，称为矢量A 沿有向闭
曲线L的环量，即
2. 旋度代表矢量场的涡旋源的特性：
A 0 该点矢量线有旋
A 0
该点矢量线无旋
三、矢量场的旋度(rotation)
旋度小结： 3. 经过点M 的任意方向的环量面密度，都可用 旋度在该方向上的投影获得，即
环量面密度 ( A)M en
4.在矢量场中，若 A J 0 ， 称之为有旋场， J 称为旋度源；
进一步整理，可得
•
环量面密度 ( A)M
en
A M
en cos
rot A A
三、矢量场的旋度(rotation)
A A z
y
Ay e z x
Ax z
Az x
x ey
Ay
x
Ax e y z
旋度小结：
1. 矢量场的旋度是一个矢量，它是描述矢量场中 任一点旋转性质的量。
A
d L
L
一、矢量场的环量
环量的物理意义：不同物理量的环量意义不同。
以河水中放置的水轮为例，水轮边缘受到的力
为 A ，则矢量A 沿水轮边界 L 的环量表示水流
沿整个水轮所作的功。
A
d L
L
Γ0
Γ0
一、矢量场的环量
根据环量的大小判断闭合曲线中是否存在涡旋源：
Γ0
(无涡旋源)
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量。 旋度是描述矢量场中任一点旋转性质的量。
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的环量 二、环量面密度 三、矢量场的旋度
一、矢量场的环量
在矢量场中，若L是一条有向闭合曲线，则矢量场
A 沿有向闭曲线 L的线积分，称为矢量A 沿有向闭
曲线L的环量，即
2. 旋度代表矢量场的涡旋源的特性：
A 0 该点矢量线有旋
A 0
该点矢量线无旋
三、矢量场的旋度(rotation)
旋度小结： 3. 经过点M 的任意方向的环量面密度，都可用 旋度在该方向上的投影获得，即
环量面密度 ( A)M en
4.在矢量场中，若 A J 0 ， 称之为有旋场， J 称为旋度源；
进一步整理，可得
•
环量面密度 ( A)M
en
A M
en cos
rot A A
三、矢量场的旋度(rotation)
A A z
y
Ay e z x
Ax z
Az x
x ey
Ay
x
Ax e y z
旋度小结：
1. 矢量场的旋度是一个矢量，它是描述矢量场中 任一点旋转性质的量。
A
d L
L
一、矢量场的环量
环量的物理意义：不同物理量的环量意义不同。
以河水中放置的水轮为例，水轮边缘受到的力
为 A ，则矢量A 沿水轮边界 L 的环量表示水流
沿整个水轮所作的功。
A
d L
L
Γ0
Γ0
一、矢量场的环量
根据环量的大小判断闭合曲线中是否存在涡旋源：
Γ0
(无涡旋源)
矢量与场论课件—旋度
z轴）的环量面密度。 下面我们来推导直角坐标系中 环量面密度的计算公式。为了
n
S
en
M
简化计算，我们直接选择无限
dl
小的矩形回路，使场点M位于
F
矩形中心，并且使矩形的空间取向端正（它的边
或者与坐标轴平行，或者与坐标轴垂直）。
大理大学工程学院 罗凌霄编写 6
设空间有矢量场 E ，在平面yoz的平行平面上以任
定义 在矢量场 F 中，过任一点 M 作沿任意方向的 n 轴，过 M 点作 n 轴的垂直平面，在此平面内取任意
回路 l 圈围点 M ，并且使 l 的绕行方向与n 轴方向
en 符合右手螺旋关系。当回 路向M点无限收缩时，F 沿回
n
S en
M
路l 的环量与回路l
积 S 的比值
lim
圈l围F 的dl面
ex ey ez
rot E
x y z
Ex Ey Ez
大理大学工程学院 罗凌霄编写 14
因为
E =(ex
x
ey
y
ez
z
)
(ex
Ex
ey Ey
ez Ez )
ex
x
(ex Ex
ey
Ey
ez Ez
的大小等于该点处 E 的环量 面密度的最大值，矢量场
的旋度的方向沿着该点处 E 的环量面密度取最大值时
所环绕的 轴的方向。 矢量场 E 的旋度用rot E 表示。
大理大学工程学院 罗凌霄编写 12
矢量场的环量旋度
A
M
n
2 7
6 7
2
3 7
17 7
【例题2】在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的
电场强度为
E
q
4 r 3
r
q
4 r 3
( xex
yey
zez
)
求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度。 【解】
ex ey ez
E
r sine
A
1
r 2 sin r
Ar rA r sinA
3、旋度的性质
矢量场的旋度是一个矢量。
矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。
矢量场在某点处沿 n 方向的环量面密度，等于旋度在该
方向上的投影。
4、旋度运算的基本公式
C 0
(C为常矢量 )
【例题1】求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0， 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
【解】矢量场A的旋度
ex
rotA A
x
ey
ez
y
z
x(z y) y(x z) z(y x)
(z
y)ex
(x
z)ey
(
y
x)ez
在点M(1，0，1)处的旋度
A M ex 2ey ez
《矢量分析与场论》 矢量场的环量及旋度
。
R Q P R Q P rotA ( )i ( ) j ( )k y z z x x y R Q P R Q P div(rotA) ( ) ( ) ( ) x y z y z x z x y
0
1.旋度运算的基本公式
例：设矢量场
A
的旋度为 rotA 0 ，若存在非零
函数 u ( x, y, z )使 uA 为某数量场 ( x, y, z) 的梯度， 即 uA grad，试证明 A rotA （习题5第10题）。
rot(uA) rot( grad ) 证： rot( grad ) 0 rot(uA) 0 rot(uA) urotA gradu A 0
电位矢量的旋度为，
qr rot D rot ( ) rot ( f (r )r ) 3 4r q f (r ) 4r 3
i rotr x x j y y k 0 z z
1.旋度运算的基本公式 例：设点电荷
电位移矢量 D
q
位于坐标原点，试证明其产生的
qr rot D rot ( ) rot ( f ( r ) r )0 3 4r
1.旋度运算的基本公式
例：设函数 u ( x, y, z ) 及矢量
第10题）(1) 证：（1）
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k 的
2u 2u zx xz
1.旋度运算的基本公式
例：设函数 u ( x, y, z ) 及矢量
第10题）(1) 证：（1）
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k 的
矢量场的旋度
针对场源 物理意义
标矢性 场线特征 表示公式
旋度和散度对照关系
旋度
散度
由面到点
漩涡源 漩涡源面密度
矢量 闭合场线
由体到点
发散源 发散源体密度
标量 非闭合场线
rot A A
div A A
§1.5 矢量场的旋度
§1.5.1 矢量场的环量 一、定义
矢量 A 沿有向闭合曲线 L 的线积分，称为矢量A沿曲
线L的环量
二、计算公式
Adl
l
Acos(A, dl意义
矢量沿闭合曲线的环量反映了闭合曲线内漩涡源的性质。
0 场中必有漩涡源，反之，则没有漩涡源。
在矢量场 A 中的任一点 M 处，其方向为 M 处使 A 具有 最大环量面密度的方向，其模等于此最大环量面密度的矢量称 为矢量场 A 在 M 点处的旋度
二、表示方式
rot A A
三、物理意义
漩涡源的面密度
四、计算公式
ex ey ez
A
x
y
z
Ax Ay Az
研究思想
四、结论 环量大小和正负不仅与矢量 A 的分布有关，而且与所取
的积分环绕方向有关。
§1.5.2 环量面密度 一、定义
若极限 lim L A dl 存在，则称其为矢量场 A 沿S法线方向 S 0 S
的环量面密度
二、特点 在同一点上，矢量A 对于不同方向上的环量面密度并不一
定相等。
§1.5.3 矢量场的旋度 一、旋度定义
标矢性 场线特征 表示公式
旋度和散度对照关系
旋度
散度
由面到点
漩涡源 漩涡源面密度
矢量 闭合场线
由体到点
发散源 发散源体密度
标量 非闭合场线
rot A A
div A A
§1.5 矢量场的旋度
§1.5.1 矢量场的环量 一、定义
矢量 A 沿有向闭合曲线 L 的线积分，称为矢量A沿曲
线L的环量
二、计算公式
Adl
l
Acos(A, dl意义
矢量沿闭合曲线的环量反映了闭合曲线内漩涡源的性质。
0 场中必有漩涡源，反之，则没有漩涡源。
在矢量场 A 中的任一点 M 处，其方向为 M 处使 A 具有 最大环量面密度的方向，其模等于此最大环量面密度的矢量称 为矢量场 A 在 M 点处的旋度
二、表示方式
rot A A
三、物理意义
漩涡源的面密度
四、计算公式
ex ey ez
A
x
y
z
Ax Ay Az
研究思想
四、结论 环量大小和正负不仅与矢量 A 的分布有关，而且与所取
的积分环绕方向有关。
§1.5.2 环量面密度 一、定义
若极限 lim L A dl 存在，则称其为矢量场 A 沿S法线方向 S 0 S
的环量面密度
二、特点 在同一点上，矢量A 对于不同方向上的环量面密度并不一
定相等。
§1.5.3 矢量场的旋度 一、旋度定义
电磁场与电磁波(矢量分析)2
显然，在上面结果中将 ' ，则
R ' R aR R ' R 3
1 1 a ' R 2 R R R ' R 0
2014-9-29
信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民
11/62
域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示
为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即
F (r ) Fl (r ) Fs (r )
Fl 0 Fl 0 Fl
l l
l3
l4
x
( ydx xdy) 4 ( ydx xdy)
l l1
4 ( R x)dx ( R y )dy 4 R 2 R R
0 0
改变路径绕 向，结果为 负值
环量与路径形状、大小及其绕向有关。
2014-9-29 信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民 3/62
重要定理 ——斯托克斯定理 A dl A ds
l s
闭合线积分 —— 面积分
2014-9-29
信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民
7/62
1.4 矢量场的环量与旋度
举例： xa x ya y 已知矢量 A 求点M(2,1,0)的旋度以 y x 及该点处沿 l ay az 的环量密度。
格林定理表明，场量是一个体积分与一个面积分的和， 面积分代表边界上的场，体积分代表所求区域内的场。格
林定理给出了由边界条件和区域内场源求解场的方法。
2014-9-29
信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民
R ' R aR R ' R 3
1 1 a ' R 2 R R R ' R 0
2014-9-29
信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民
11/62
域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示
为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即
F (r ) Fl (r ) Fs (r )
Fl 0 Fl 0 Fl
l l
l3
l4
x
( ydx xdy) 4 ( ydx xdy)
l l1
4 ( R x)dx ( R y )dy 4 R 2 R R
0 0
改变路径绕 向，结果为 负值
环量与路径形状、大小及其绕向有关。
2014-9-29 信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民 3/62
重要定理 ——斯托克斯定理 A dl A ds
l s
闭合线积分 —— 面积分
2014-9-29
信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民
7/62
1.4 矢量场的环量与旋度
举例： xa x ya y 已知矢量 A 求点M(2,1,0)的旋度以 y x 及该点处沿 l ay az 的环量密度。
格林定理表明，场量是一个体积分与一个面积分的和， 面积分代表边界上的场，体积分代表所求区域内的场。格
林定理给出了由边界条件和区域内场源求解场的方法。
2014-9-29
信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民
工程电磁场1-矢量场的环量与旋度
2015-6-18
华北电力大学电气与电子工程学院
25
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
5） div( A B) B rotA A rotB 6） div(rotA) 0 公式 4)可根据梯度和旋度在直角坐标系 中的计算公式直接证明。 公式 6)可利用旋度和散度在直角坐标系中 的计算公式直接证明。
Ax ( )dxdy x y
2015-6-18 28
Ay
华北电力大学电气与电子工程学院
工程电磁场
斯托克斯定理的解释：
主讲人： 王泽忠
环量：法向环量面密度的面积分 环量：矢量闭合线积分 环量面密度＝旋度在法线方向的投影 矢量闭合线积分＝旋度的面积分（通量） （1．5 结束）
2015-6-18
2015-6-18
华北电力大学电气与电子工程学院
31
工程电磁场
只是一种运算
主讲人： 王泽忠
不是函数，不是物理量，
当它以一定方式作用于空间函数时， 所得的矢量或标量空间函数才具有意义。 应用 算子的目的， 是为了使场论中的有关公式更为简洁， 便于记忆和运算。
2015-6-18
华北电力大学电气与电子工程学院
主讲人： 王泽忠
例 已知 A a( yex xe y ) ， a 为常数，求 rotA 。 解
Ax ay ， Ay ax ， Az 0
Ay Ax Ax Az Az Ay rotA ( )ex ( )e y ( )ez y z z x x y
以点积方式作用于矢量函数，得标量函数
A (e x e y e z ) Ax e x Ay e y Az e z x y z Ax Ay Az = x y z
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在矢量场中，一个给定点 M处沿不同方向n，其环量面密度
的值是不同的。
二、矢量场旋度
1、旋度的定义
方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。
大小：等于该环量面密度最大值。即
rotA
nlim
l
A dl
S0 S
max
2、旋度在坐标系下的表示 ro A t A
在直角坐标系中的表示
ex ey ez A
x y z Ax Ay Az
在圆柱坐标系中的表示
e e ez
A
1
z
A A Az
在球坐标系中的表示
er re rsine
A
r2
1
sin
r
Ar rA rsinA
3、旋度的性质
矢量场的旋度是一个矢量。
矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。
矢量场在某点处沿 n方向的环量面密度，等于旋度在该
方向上的投影。
4、旋度运算的基本公式
C0 (C 为常 ) 矢量
(cA )c A
( A B ) A B
( u A ) u A u A
( A B ) B A A B
三、斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量场的曲面积分与曲线积分之间的一个转
【例题1】求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0， 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
【解】矢量场A的旋度
ex
roAt A
x
ey
ez
y
z
x(zy) y(xz) z(yx)
( z y ) e x ( x z ) e y ( y x ) e z 在点M(1，0，1 )处 的A 旋度M e x2 e ye z
求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度。
【解】
ex
ey
ez
E
q
4 x y z
xyz r3 r3 r3
4q0 yrz3zry3e x
zrx3xrz3ey
xry3yrx3ez
0
§1.3 矢量场的环量 旋度
一、矢量场的环量与环量面密度
1、矢量场的环量
矢量场 A(r) 沿场中的一条闭合路径 l的曲线积分称为矢量场
A(r) 沿闭合路径 l的环量。
SnS
Adl
l
P A
C
环流的计算
物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢
量场的旋涡源。 2、环量面密度
Adl
rontAlSi m0பைடு நூலகம்l S
n方向的单位矢量
n 2 2 1 6 2 3 2(2 e x 6 e y 3 e z) 7 2 e x 7 6 e y 7 3 e z
在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度
A Mn7 27 627 31 77
【例题2】在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的
电场强度为
E 4 q r3 r 4 q r3 (xe xy e yze z)
换关系。
AdSAdl
S
l
四、旋度与散度的区别
矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。 旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。
如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果 矢量场散度为零，则称为无源场。
旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律；散度描 述场分量沿着各自方向上的变化规律。