4.7Stokes公式环量与旋度
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[理学]第七节 Stokes 公式 环流量与旋度
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曲线L复杂时，
注意：是封闭曲线
曲线的方向与曲面的侧成右手系
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. z
解
1
n
y
X z, Y x, Z y
S
z
平面方程为：
S
平面 S 的法向量
n (0,1, 1)
zy
因此
I
( z cos y cos ) d S
S
S
1 ( y z) d S 0 2
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场 A( x, y, z ) X ( x, y, z )i Y ( x, y, z ) j Z ( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 A ds Xdx Ydy Zdz C C 称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量.
第七节 Stokes 公式： 环流量与旋度
• • • • Stokes公式（斯托克斯公式） 简单的应用 物理意义：环流量与旋度 小结
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数 X ( x, y, z ) , Y ( x, y, z ) ,
Dxy
x y 1 2 x y 3 2
I
4 ( x y z )dS 3
3 ( 在上x y z ) 2
3chapter4(7)Stokes公式及环量与旋度
即du( x , y, z ) = Pdx + Qdy + Rdz ,
且 u( x , y, z ) = ∫( x
x
0
( x , y, z )
0 , y0 , z0 )
Pdx + Qdy + Rdz
y z
0 0
= ∫x P ( x , y0 , z0 )dx + ∫y Q ( x , y, z0 )dy + ∫z R( x , y, z )dz .
1 2 dS = 1 dS = ∫∫ ∫∫ 2Σ 2 2 Σ
1 π 2 2 R = R . = π 2 2 2 2
注意: 注意 x
2
z y
o
1 2 2 2 (R + R ) = R. (1) 截面圆的半径为 2 2 (2) 选用两种类型的曲面积分都可以，就本题来说， 选用两种类型的曲面积分都可以，就本题来说， 积分号下出现常数，故选对面积的曲面积分为宜. 积分号下出现常数，故选对面积的曲面积分为宜
(3) 积分曲面∑是选平面还是选球面被平面割下的那一 积分曲面∑ 部分，从理论上讲，都是可以的，以计算简单为宜. 部分，从理论上讲，都是可以的，以计算简单为宜
R Q Q P P R cos Q ∫∫ β + cos α + cos γ dS = 0 y z z x x y Σ + Σ′
Solution. 如图所示 x z v 1 1 取Σ为 + = 1的上侧, n = ,0, 的上侧 a b a b z
cos α = cos γ =
b a2 + b a
, cos β = 0, 2
x a
b o
a
y
斯托克斯公式
∂ ∂y
d xd y
∂ ∂z
∫ zd x + xd y + yd z =
Γ ∑
∫∫
Σ
∂ ∂x
= ∫∫ d y d z + d z d x + d x d y
z
x
y
利用轮换对称性
= 3 ∫∫ d x d y
Σ
3 = 3 ∫∫ d x d y = . 2 D
xy
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I = ∫ ( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
3 其中Γ 是用平面 x + y + z = 截立方体 : 2 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 的表面所得的截痕 , 若从 Ox轴的正向看去 , 取逆时 针方向. 3 解 取Σ为平面 x + y + z = 的上侧被 Γ 所围的部分， 2
Γ
1 {1, 1, 1}, Σ的单位法向量 n = 3 1 即 cosα = cos β = cos γ = 3 1 1 1 3 3 3
∂ ∂P ∂P Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z
∂P ⎞ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎛ ∂P 左边 = − ∫∫ ⎜ fy + fy + ⎟ cos γdS = − ∫∫ ⎜ ⎟ d xd y ∂y ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂z Σ ∑ ∂P ∂P ∂ Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z ∂ = − ∫∫ P [ x , y , f ( x , y )] dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx ∂y c ∂P ∂P ∴ ∫∫ dzdx − dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx 成立 ∂y ∂z c
d xd y
∂ ∂z
∫ zd x + xd y + yd z =
Γ ∑
∫∫
Σ
∂ ∂x
= ∫∫ d y d z + d z d x + d x d y
z
x
y
利用轮换对称性
= 3 ∫∫ d x d y
Σ
3 = 3 ∫∫ d x d y = . 2 D
xy
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I = ∫ ( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
3 其中Γ 是用平面 x + y + z = 截立方体 : 2 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 的表面所得的截痕 , 若从 Ox轴的正向看去 , 取逆时 针方向. 3 解 取Σ为平面 x + y + z = 的上侧被 Γ 所围的部分， 2
Γ
1 {1, 1, 1}, Σ的单位法向量 n = 3 1 即 cosα = cos β = cos γ = 3 1 1 1 3 3 3
∂ ∂P ∂P Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z
∂P ⎞ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎛ ∂P 左边 = − ∫∫ ⎜ fy + fy + ⎟ cos γdS = − ∫∫ ⎜ ⎟ d xd y ∂y ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂z Σ ∑ ∂P ∂P ∂ Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z ∂ = − ∫∫ P [ x , y , f ( x , y )] dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx ∂y c ∂P ∂P ∴ ∫∫ dzdx − dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx 成立 ∂y ∂z c
87斯托克斯公式与旋度汇总
Pdx Qdy Rdz
R Q P R Q P rotF ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
旋度
设 r x2 y2 z 2 , 则 2 div (grad r ) r ; rot(grad r ) 0 . x y z 提示: grad r , , r r r x 2 2 x r x ( y) r y ( ) r r 2 x2 , 3 3 2 y x r r r r r ( z ) r2 z2 三式相加即得 div (grad r ) z r r3 i j k
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 沿闭曲 五、求向量场
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
三、空间定向曲线积分与路径无关的充要条件
定理 设 G 是空间的一个一维单连通区域, F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k C ( 则 F ( x , y , z ) 沿 G 内定向曲线的积分与路径无关的 rot F 0 充分且必要条件是
斯托克斯公式 环流量与旋度
向前进 , 在左手边.
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R
, , x y z
,
则
grad u u , u , u 梯度: x y z
散度:
u
P Q R div A x y z A
i
旋度: rot A
x
j
y
k
z
A
P
Q
R
o
1
1 y
d yd z d zd x d xd y
x y z
x
Dx y
z
x
y
利用对称性
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
例2. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
n (cos , cos , cos ) (cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
P d x Q d y R d z
d yd z d zd x d xd y
4.7 Stokes公式 环量与旋度
同理可证 Q Q dxdy dydz Q( x , y , z )dy , z x R R dydz dzdx R( x , y , z )dz , x y
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
( y z )dx ( z x )dy ( x y )dz
2 2 2 2 2 2
3 2 0
R
3 2 0
(1 cos t )d cos t R
2
(1 sin t )d sin t
2
3 1 1 4 R 3 3 3 3 3 3 R [0 1 (0 1 )] R [1 0 (1 0 )] 3 3 3 由字母的轮换对称性 3 4R I2 I3 BC CA 3
简单闭曲线；
G
曲面 是以 为边界且
完全位于 G 内的任一分 片光滑的有向曲面, 的
S
n
C
方向与 的法方向遵从右手法则； M G R3 ; 函数 P(M )、Q(M )、R(M ) 1 (G),
则
Pdx Qdy Rdz
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y S正侧
记作
n 与成右手系
dydz x P
dzdx y Q
dxdy z R
斯托克斯公式
32
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
证明
如图
高等数学《斯托克斯公式与旋度》
带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
n
定向曲面 边界曲线
的正向与定向曲面的法向 量符合右手法则.
当右手除拇指外的四指
依 的绕行方向时, 竖 起的拇指的指向与 上
的法向量指向相同.
2、斯托克斯(stokes)公式 定理 设 是一张光滑或分片光滑的定向曲面, 正向 边界 +为光滑或分段光滑的闭曲线.若函数P(x,y,z)、 Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数,则有：
则沿场
F
F中 某dr一封 P闭dx的定Q向dy曲 线Rdz
上的曲线积分
称为向量场F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
i jk
环流量
F
drLeabharlann dSx y zPQR
2. 旋度的定义:
设向量场 F ( x, y, z) (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) i jk
上，最大环量密度为|rotF |.
如果rot
F
(
M
)在场内处处为零,
称F为无旋场.
如果divF(M )在场内处处为零,称F为无源场.
一个无旋无源场称为调和场 .
调和场是物理学中的一类重要的场 , 与调和函数有着密切联系 .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
则F ( x, y, z)沿 G 内定向曲线的积分与路径无关的
充分且必要条件是 rot F 0
课本Page 222的5个公式.
四、小结
1、斯托克斯公式
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
n
定向曲面 边界曲线
的正向与定向曲面的法向 量符合右手法则.
当右手除拇指外的四指
依 的绕行方向时, 竖 起的拇指的指向与 上
的法向量指向相同.
2、斯托克斯(stokes)公式 定理 设 是一张光滑或分片光滑的定向曲面, 正向 边界 +为光滑或分段光滑的闭曲线.若函数P(x,y,z)、 Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数,则有：
则沿场
F
F中 某dr一封 P闭dx的定Q向dy曲 线Rdz
上的曲线积分
称为向量场F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
i jk
环流量
F
drLeabharlann dSx y zPQR
2. 旋度的定义:
设向量场 F ( x, y, z) (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) i jk
上，最大环量密度为|rotF |.
如果rot
F
(
M
)在场内处处为零,
称F为无旋场.
如果divF(M )在场内处处为零,称F为无源场.
一个无旋无源场称为调和场 .
调和场是物理学中的一类重要的场 , 与调和函数有着密切联系 .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
则F ( x, y, z)沿 G 内定向曲线的积分与路径无关的
充分且必要条件是 rot F 0
课本Page 222的5个公式.
四、小结
1、斯托克斯公式
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
数学分析 Stokes 公式
有时也用 curlX 表示旋度. 利用旋度, Stokes 公式可以改写为
rotX · n dσ = X · T ds,
Ω
∂Ω
其中 n 为曲面的单位法向量, T 为曲线的单位切向量, s 为弧长参数.
Stokes 公式
(Stokes 公式)
设 Σ 为定向曲面, Ω 为曲面上的有界区域, 其边界赋以诱导定向. 如果 P, Q, R 为 Ω 附近的 C1 函数, 则
∂R ∂Q
∂P ∂R
∂Q ∂P
− dy ∧dz+ − dz∧dx+ − dx∧dy = P dx+Q dy+R dz.
Ω ∂y ∂z
∂z ∂x
∂R ∂Q
∂P ∂R
∂Q ∂P
− dy ∧dz+ − dz∧dx+ − dx∧dy = P dx+Q dy+R dz.
Ω ∂y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
∂Ω
我们只证明一个特殊情形: 假定 ϕ : D → R3 为定向曲面的 C2 参数表示, 且 ϕ(Ω˜ ) = Ω, Ω˜ 为 D ⊂ R2 中的有界区域. 根据诱导定向的定义, ∂Ω˜ 的定向也是平
关于 Q, R 有完全类似的等式, 将它们代入前式可得 Tu − Sv = Py (yuxv − xuyv ) + Pz (zuxv − xuzv ) + Qx (xuyv − yuxv ) + Qz (zuyv − yuzv ) + Rx (xuzv − zuxv ) + Ry (yuzv − zuyv ),
∂x ∂y
∂Ω
Stokes 公式
(Stokes 公式)
设 Σ 为定向曲面, Ω 为曲面上的有界区域, 其边界赋以诱导定向. 如果 P, Q, R 为 Ω 附近的 C1 函数, 则
斯托克斯公式
z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
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同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
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情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
机动 目录 上页 下页 返回 结束
令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y
斯托克斯公式环流量与旋度
环流量与旋度的关系式
斯托克斯公式
∮F·dr=∫(curlF)·dS，其中∮表示线积分符 号，∫表示面积分符号，dS表示微分面积。
VS
解释
斯托克斯公式表明，矢量场中封闭曲线上 的线积分等于该曲线所围成的面积上旋度 的面积分。即，矢量场穿过封闭曲线的线 段数等于矢量场在围成该曲线的各点处的 旋转程度在面积上的积分。
证明过程
利用数学归纳法证明斯托克斯公式的正确性，通过逐 步推导和归纳，最终得出结论。
结论
斯托克斯公式可以通过数学归纳法证明，证明了其在 数学上的严谨性和正确性。
05 斯托克斯公式的扩展与推 广
适用于非牛顿流体的推广
总结词
斯托克斯公式在非牛顿流体中的推广主要考虑了流体的非线性性质，包括剪切稀化和弹 性等特性。
基于电动力学公式的推导
电动力学公式
01
描述电磁场对带电粒子的作用电动力学公式分析流体微团在
磁场中受到的作用力，从而推导出斯托克斯公式。
结论
03
斯托克斯公式可以通过电动力学公式推导得出，适用于分析粘
性流体在磁场中的运动。
基于数学归纳法的证明
数学归纳法
一种证明数学命题的方法，通过递推关系证明无限序 列的结论。
物理意义
斯托克斯公式揭示了流体的动量守恒和角动量守恒两个基本物理规律，是流体力学中的基本方程之一 。
解释
通过斯托克斯公式，我们可以理解流体在粘性力作用下的运动行为，包括旋涡的形成、流体绕过障碍 物的流动以及流体内部的剪切力等。
02 环流量与旋度的关系
环流量的定义与计算
环流量定义
环流量是矢量场中封闭曲线上的线积 分，表示矢量场中穿过封闭曲线的矢 量线段数。
详细描述
4.7Stokes公式 环量与旋度
Σ
1 1 3 = ∫∫ 3 ⋅ dS = ∫∫ 3 ⋅ ⋅ 3dxdy = 2 3 3 Σ Dxy
例 2 计算曲线积分
∫Γ ( y
2
− z )dx + ( z − x )dy + ( x − y )dz
2 2 2 2 2
3 截立方体: 其中Γ 是平面 x + y + z = 截立方体:0 ≤ x ≤ 1, 2 0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的表面所得的截痕,若从 ox 的表面所得的截痕,
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
斯托克斯公式
r n
∑
右手法则
Γ
正向边界曲线
z
r n
Γ是有向曲面 Σ的
∑ :z =
Γ
证明
如图
设 Σ 与平行于 z 轴的直线 相交不多于一点, 相交不多于一点 , 并 Σ 取 上侧, 上侧,有向曲线 C 为Σ的正 向边界曲线 Γ 在 xoy 的 投 影.且所围区域 D xy .
这时原函数u 这时原函数u可用下列公式求出
u=∫
( x, y, z )
( x0 , y 0 , z 0 )
Pdx + Qdy + Rdz
其中 M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ G , M ( x, y, z ) ∈ G , 通 常取折线路径求u用下列公式计算 常取折线路径求 用下列公式计算
同理可证 ∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy − ∂z dydz = ∫ΓQ(x, y, z)dy, Σ ∂R ∂R ∫∫ ∂y dydz − ∂x dzdx = ∫Γ R(x, y, z)dz, Σ
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∫∫ ( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x)dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
1 1 3 = ∫∫ 3 ⋅ dS = ∫∫ 3 ⋅ ⋅ 3dxdy = 2 3 3 Σ Dxy
例 2 计算曲线积分
∫Γ ( y
2
− z )dx + ( z − x )dy + ( x − y )dz
2 2 2 2 2
3 截立方体: 其中Γ 是平面 x + y + z = 截立方体:0 ≤ x ≤ 1, 2 0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的表面所得的截痕,若从 ox 的表面所得的截痕,
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
斯托克斯公式
r n
∑
右手法则
Γ
正向边界曲线
z
r n
Γ是有向曲面 Σ的
∑ :z =
Γ
证明
如图
设 Σ 与平行于 z 轴的直线 相交不多于一点, 相交不多于一点 , 并 Σ 取 上侧, 上侧,有向曲线 C 为Σ的正 向边界曲线 Γ 在 xoy 的 投 影.且所围区域 D xy .
这时原函数u 这时原函数u可用下列公式求出
u=∫
( x, y, z )
( x0 , y 0 , z 0 )
Pdx + Qdy + Rdz
其中 M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ G , M ( x, y, z ) ∈ G , 通 常取折线路径求u用下列公式计算 常取折线路径求 用下列公式计算
同理可证 ∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy − ∂z dydz = ∫ΓQ(x, y, z)dy, Σ ∂R ∂R ∫∫ ∂y dydz − ∂x dzdx = ∫Γ R(x, y, z)dz, Σ
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∫∫ ( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x)dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
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x2 y2
x y3
Dxy
2
x y1 2
4 3
(
x
y z)ds
( 在上x y z 3) 2
4 3
3 2
ds
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
应用Stokes公式：可将Ⅱ型空间曲 线积分化为二种情况计算（ⅰ）化 为Ⅱ型曲面积分（P232例4.7.1) （ⅱ）化为Ⅰ型曲面积分（P233例 4.7.2)
z0
例3 证明下列曲线积分与路径无关,并求积分值
(1,2,1)
(y z)dx (z x)dy (x y)dz (0,0,0)
解 P y z,Q z x, R x y
Q R 1 Q , P 1 R , Q 1 P
y
z z
x x
y
故曲线积分与路径无关.下面求原函数u(x,y,z)
r j y 3x z
r k z y 2x
(2)A (z sin y)i (z x cos y) j
解r r r
r
i jk
i
r
r
j
k
rotA x y z x
y
z
P Q R z sin y (z x cos y) 0
rr
r
rr r
0i j cos yk cos yk i 0 j
1 Pdx Qdy Rdz 在G内与路径无关
2沿G内任意闭曲线L的线积分 Pdx Qdy Rdz 0 C
3在G内恒成立下列条件
P Q , Q R , R P y x z y x z
4被积表达式是某三元函数u的全微分，即
du(x, y, z) Pdx Qdy Rdz
这时原函数u可用下列公式求出
的正向与 的侧符合右手法则)
例3 求下列向量场的旋度
r
r
r
(1) A (2z 3y)i (3x z) j ( y 2x)k
解
rrr i jk
r i
rotA x
y
z
x
P Q R 2z 3y
r r r rr r i 2 j 3k 3k i 2 j
rrr 2i 4 j 6k
I
dl
dx
dy
dz
2
(
3
2 3
1)dS 3
=
dS
3dxdy
Dxy
3 .
一、计算 I L (z y)dx (x z)dy (x y)dz ，L 为曲线
x2 y2 1
x
y
z
2 ，从z
轴正向往z
轴负向看
L
的方向为顺时针的.
解：S : x y z 2, x2 y 2 1，方向与z 轴正向夹钝角,S 在
xoy 面上的投影为 D : x2 y 2 1，由 Stokes 公式得
dydz dzdx dxdy
I S
x
zy
y xz
z x y
S
2dxdy 2
.
二、计算 I y2 z 2 dx z 2 x2 dy x2 y2 dz ，其中 L 为平面 L x y z 3 截立体：0 x 1,0 y 1,0 z 1 的表
面所得的截痕，若从ox 轴的正向看去，取逆时针方向.
z
，因此，积分与路径无关，
z 2 xy
从而， L
x 2 yz dx
y 2 zx dy
z 2 xy dz
(a,0,k ) (0,0,0)
=
a
P(a,0,0)dx
a
0
Q(a,
y,0)dy
0
k
R(a,0, z)dz
0
0 0
k (z2
0
0)dz
k3 3
.
四、求向量
rr
i j
例 3 设一刚体绕过原点 O 的某个
轴转动,其角速度 (1 , 2 , 3 ) ,
刚 线体 速上 场每 ,则一向点量处r的 线OM速度构成一个
x, y, z在点M 处的线速度
L
o
v
M
解
由力学知道点M
的线速度为
i jk
v r 1 2 3
由此可看出旋 度与旋转角速
x y z 度的关系.
应用步骤： （ⅰ）选定∑（被Γ 所 围的部分）并由Γ 的方向指明∑ 的 侧向
（ⅱ）利用Stokes公式时，可将Ⅱ 型空间曲线积分化为化为两种曲面 积分，一般以计算较简便的为宜。
n
三 空间曲线积分与路径无关的条件
定理：设空间开区域G是单连通域，P、Q、R在G内 具有一阶连续偏导数，则以下四个命题彼此等价
1
x
由于的法向量的三个方向余 弦都为正， 再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
y
Dxy如图
1
zdx
xdy
ydz
3 2
Dxy o
x 1
解2 : 平面x y z 1被三坐标面所截的部分,
取上侧,{cos, cos , cos } { 1 , 1 , 1 },
zi
xj
yk 的旋度，并计算此向量沿闭曲线
(x 1)2 ( y 1)2 1
2x 2 y 1 z
（从 z 轴正向看去为逆时针方向）的环流
量.
i jk
rot
i j k.
解：
x y z
zxy
取 : 2x 2 y 1 z (上侧），n0 ( 2 , 2 , 1), 33 3
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面 x y z 3 2
z
n
的上侧被 所围成的部分.
o
y
则 n 1 {1,1,1}
x
3
即 cos cos cos 1 ,
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
dydz dzdx dxdy
x
y
z Pdx Qdy Rdz
PQ R
cos cos cos
x
y
z
ds Pdx Qdy Rdz
其P中n
QR
{cos ,cos
,cos
}
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是 xoy 面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形
y
P[ x,
y,
f
( x,
y)]
P y
P z
fy
P z
dzdx
P y
dxdy
Dxy
P[ x, y
y,
f
(
x,
y)]dxdy
,
1
根椐格林公式
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy P[ x, y, f ( x, y)]dx
Dxy y
c
即
P z
dzdx
P y
dxdy
cP[
x,
y,
f
(rotA)n
rotA
n
(R Q)cos (P R)cos (Q P )cos
y z
z x
x y
At
A
n
P cos
Qcos
R cos
环流量
rotA
ds
Atds
Stokes公式的物理解释:
向量 场 A沿有向闭曲线 的环流量等于向量 场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.(
公式
(R y
Q z
)dydz
(P z
R x
)dzdx
(Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
n
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于z 轴的直线
z
n :z f ( x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 在 xoy 的投 o
观察旋度 rot v 21, 22 , 23 2.
四、小结
cos cos cos
斯托克斯公式
x
ds y z
PQR
dydz dzdx dxdy
x
y
z
Pdx Qdy Rdz
P
Q
R
rotA
ndS
A
t ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习 4.7 Stokes 公式 环量与旋度
y
影.且所围区域Dxy . x
Dxy C
思路
曲面积分 二重积分 曲线积分
1
2
P z
dzdx
P y
dxdy
(
P z
cos
P y
cos
)ds
又 cos f y cos , 代入上式得
P
z
dzdx
P dxdy y
(
P y
P z
f y )cosds
即
P z
dzdx
P y
dxdy
(
P y
P z
f y )dxdy
格林公式
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则.
z
解1 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz
0 Dxy
y 1
x y3
Dxy
2
x y1 2
4 3
(
x
y z)ds
( 在上x y z 3) 2
4 3
3 2
ds
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
应用Stokes公式：可将Ⅱ型空间曲 线积分化为二种情况计算（ⅰ）化 为Ⅱ型曲面积分（P232例4.7.1) （ⅱ）化为Ⅰ型曲面积分（P233例 4.7.2)
z0
例3 证明下列曲线积分与路径无关,并求积分值
(1,2,1)
(y z)dx (z x)dy (x y)dz (0,0,0)
解 P y z,Q z x, R x y
Q R 1 Q , P 1 R , Q 1 P
y
z z
x x
y
故曲线积分与路径无关.下面求原函数u(x,y,z)
r j y 3x z
r k z y 2x
(2)A (z sin y)i (z x cos y) j
解r r r
r
i jk
i
r
r
j
k
rotA x y z x
y
z
P Q R z sin y (z x cos y) 0
rr
r
rr r
0i j cos yk cos yk i 0 j
1 Pdx Qdy Rdz 在G内与路径无关
2沿G内任意闭曲线L的线积分 Pdx Qdy Rdz 0 C
3在G内恒成立下列条件
P Q , Q R , R P y x z y x z
4被积表达式是某三元函数u的全微分，即
du(x, y, z) Pdx Qdy Rdz
这时原函数u可用下列公式求出
的正向与 的侧符合右手法则)
例3 求下列向量场的旋度
r
r
r
(1) A (2z 3y)i (3x z) j ( y 2x)k
解
rrr i jk
r i
rotA x
y
z
x
P Q R 2z 3y
r r r rr r i 2 j 3k 3k i 2 j
rrr 2i 4 j 6k
I
dl
dx
dy
dz
2
(
3
2 3
1)dS 3
=
dS
3dxdy
Dxy
3 .
一、计算 I L (z y)dx (x z)dy (x y)dz ，L 为曲线
x2 y2 1
x
y
z
2 ，从z
轴正向往z
轴负向看
L
的方向为顺时针的.
解：S : x y z 2, x2 y 2 1，方向与z 轴正向夹钝角,S 在
xoy 面上的投影为 D : x2 y 2 1，由 Stokes 公式得
dydz dzdx dxdy
I S
x
zy
y xz
z x y
S
2dxdy 2
.
二、计算 I y2 z 2 dx z 2 x2 dy x2 y2 dz ，其中 L 为平面 L x y z 3 截立体：0 x 1,0 y 1,0 z 1 的表
面所得的截痕，若从ox 轴的正向看去，取逆时针方向.
z
，因此，积分与路径无关，
z 2 xy
从而， L
x 2 yz dx
y 2 zx dy
z 2 xy dz
(a,0,k ) (0,0,0)
=
a
P(a,0,0)dx
a
0
Q(a,
y,0)dy
0
k
R(a,0, z)dz
0
0 0
k (z2
0
0)dz
k3 3
.
四、求向量
rr
i j
例 3 设一刚体绕过原点 O 的某个
轴转动,其角速度 (1 , 2 , 3 ) ,
刚 线体 速上 场每 ,则一向点量处r的 线OM速度构成一个
x, y, z在点M 处的线速度
L
o
v
M
解
由力学知道点M
的线速度为
i jk
v r 1 2 3
由此可看出旋 度与旋转角速
x y z 度的关系.
应用步骤： （ⅰ）选定∑（被Γ 所 围的部分）并由Γ 的方向指明∑ 的 侧向
（ⅱ）利用Stokes公式时，可将Ⅱ 型空间曲线积分化为化为两种曲面 积分，一般以计算较简便的为宜。
n
三 空间曲线积分与路径无关的条件
定理：设空间开区域G是单连通域，P、Q、R在G内 具有一阶连续偏导数，则以下四个命题彼此等价
1
x
由于的法向量的三个方向余 弦都为正， 再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
y
Dxy如图
1
zdx
xdy
ydz
3 2
Dxy o
x 1
解2 : 平面x y z 1被三坐标面所截的部分,
取上侧,{cos, cos , cos } { 1 , 1 , 1 },
zi
xj
yk 的旋度，并计算此向量沿闭曲线
(x 1)2 ( y 1)2 1
2x 2 y 1 z
（从 z 轴正向看去为逆时针方向）的环流
量.
i jk
rot
i j k.
解：
x y z
zxy
取 : 2x 2 y 1 z (上侧），n0 ( 2 , 2 , 1), 33 3
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面 x y z 3 2
z
n
的上侧被 所围成的部分.
o
y
则 n 1 {1,1,1}
x
3
即 cos cos cos 1 ,
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
dydz dzdx dxdy
x
y
z Pdx Qdy Rdz
PQ R
cos cos cos
x
y
z
ds Pdx Qdy Rdz
其P中n
QR
{cos ,cos
,cos
}
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是 xoy 面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形
y
P[ x,
y,
f
( x,
y)]
P y
P z
fy
P z
dzdx
P y
dxdy
Dxy
P[ x, y
y,
f
(
x,
y)]dxdy
,
1
根椐格林公式
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy P[ x, y, f ( x, y)]dx
Dxy y
c
即
P z
dzdx
P y
dxdy
cP[
x,
y,
f
(rotA)n
rotA
n
(R Q)cos (P R)cos (Q P )cos
y z
z x
x y
At
A
n
P cos
Qcos
R cos
环流量
rotA
ds
Atds
Stokes公式的物理解释:
向量 场 A沿有向闭曲线 的环流量等于向量 场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.(
公式
(R y
Q z
)dydz
(P z
R x
)dzdx
(Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
n
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于z 轴的直线
z
n :z f ( x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 在 xoy 的投 o
观察旋度 rot v 21, 22 , 23 2.
四、小结
cos cos cos
斯托克斯公式
x
ds y z
PQR
dydz dzdx dxdy
x
y
z
Pdx Qdy Rdz
P
Q
R
rotA
ndS
A
t ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习 4.7 Stokes 公式 环量与旋度
y
影.且所围区域Dxy . x
Dxy C
思路
曲面积分 二重积分 曲线积分
1
2
P z
dzdx
P y
dxdy
(
P z
cos
P y
cos
)ds
又 cos f y cos , 代入上式得
P
z
dzdx
P dxdy y
(
P y
P z
f y )cosds
即
P z
dzdx
P y
dxdy
(
P y
P z
f y )dxdy
格林公式
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则.
z
解1 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz
0 Dxy
y 1