4.7Stokes公式环量与旋度

x2 y2
x y3
Dxy
2
x y1 2
4 3
(
x
y z)ds
( 在上x y z 3) 2
4 3
3 2
ds
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
应用Stokes公式：可将Ⅱ型空间曲 线积分化为二种情况计算（ⅰ）化 为Ⅱ型曲面积分（P232例4.7.1) （ⅱ）化为Ⅰ型曲面积分（P233例 4.7.2)
z0
例3 证明下列曲线积分与路径无关,并求积分值
(1,2,1)
(y z)dx (z x)dy (x y)dz (0,0,0)
解 P y z,Q z x, R x y
Q R 1 Q , P 1 R , Q 1 P
y
z z
x x
y
故曲线积分与路径无关.下面求原函数u(x,y,z)
r j y 3x z
r k z y 2x
(2)A (z sin y)i (z x cos y) j
解r r r
r
i jk
i
r
r
j
k
rotA x y z x
y
z
P Q R z sin y (z x cos y) 0
rr
r
rr r
0i j cos yk cos yk i 0 j
1 Pdx Qdy Rdz 在G内与路径无关
2沿G内任意闭曲线L的线积分 Pdx Qdy Rdz 0 C
3在G内恒成立下列条件
P Q , Q R , R P y x z y x z
4被积表达式是某三元函数u的全微分，即
du(x, y, z) Pdx Qdy Rdz
这时原函数u可用下列公式求出
的正向与 的侧符合右手法则)
例3 求下列向量场的旋度
r
r
r
(1) A (2z 3y)i (3x z) j ( y 2x)k
解
rrr i jk
r i
rotA x
y
z
x
P Q R 2z 3y
r r r rr r i 2 j 3k 3k i 2 j
rrr 2i 4 j 6k
I
dl
dx
dy
dz
2
(
3
2 3
1)dS 3
=
dS
3dxdy
Dxy
3 .
一、计算 I L (z y)dx (x z)dy (x y)dz ，L 为曲线
x2 y2 1
x
y
z
2 ，从z
轴正向往z
轴负向看
L
的方向为顺时针的.
解：S : x y z 2, x2 y 2 1，方向与z 轴正向夹钝角,S 在
xoy 面上的投影为 D : x2 y 2 1，由 Stokes 公式得
dydz dzdx dxdy
I S
x
zy
y xz
z x y
S
2dxdy 2
.
二、计算 I y2 z 2 dx z 2 x2 dy x2 y2 dz ，其中 L 为平面 L x y z 3 截立体：0 x 1,0 y 1,0 z 1 的表
面所得的截痕，若从ox 轴的正向看去，取逆时针方向.
z
，因此，积分与路径无关，
z 2 xy
从而， L
x 2 yz dx
y 2 zx dy
z 2 xy dz
(a,0,k ) (0,0,0)
=
a
P(a,0,0)dx
a
0
Q(a,
y,0)dy
0
k
R(a,0, z)dz
0
0 0
k (z2
0
0)dz
k3 3
.
四、求向量
rr
i j
例 3 设一刚体绕过原点 O 的某个
轴转动,其角速度 (1 , 2 , 3 ) ,
刚 线体 速上 场每 ,则一向点量处r的 线OM速度构成一个
x, y, z在点M 处的线速度
L
o
v
M
解
由力学知道点M
的线速度为
i jk
v r 1 2 3
由此可看出旋 度与旋转角速
x y z 度的关系.
应用步骤： （ⅰ）选定∑（被Γ 所 围的部分）并由Γ 的方向指明∑ 的 侧向
（ⅱ）利用Stokes公式时，可将Ⅱ 型空间曲线积分化为化为两种曲面 积分，一般以计算较简便的为宜。
n
三 空间曲线积分与路径无关的条件
定理：设空间开区域G是单连通域，P、Q、R在G内 具有一阶连续偏导数，则以下四个命题彼此等价
1
x
由于的法向量的三个方向余 弦都为正， 再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
y
Dxy如图
1
zdx
xdy
ydz
3 2
Dxy o
x 1
解2 : 平面x y z 1被三坐标面所截的部分,
取上侧,{cos, cos , cos } { 1 , 1 , 1 },
zi
xj
yk 的旋度，并计算此向量沿闭曲线
(x 1)2 ( y 1)2 1
2x 2 y 1 z
（从 z 轴正向看去为逆时针方向）的环流
量.
i jk
rot
i j k.
解：
x y z
zxy
取 : 2x 2 y 1 z (上侧），n0 ( 2 , 2 , 1), 33 3
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取Σ为平面 x y z 3 2
z
n
的上侧被 所围成的部分.
o
y
则 n 1 {1,1,1}
x
3
即 cos cos cos 1 ,
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
dydz dzdx dxdy
x
y
z Pdx Qdy Rdz
PQ R
cos cos cos
x
y
z
ds Pdx Qdy Rdz
其P中n
QR
{cos ,cos
,cos
}
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是 xoy 面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形
y
P[ x,
y,
f
( x,
y)]
P y
P z
fy
P z
dzdx
P y
dxdy
Dxy
P[ x, y
y,
f
(
x,
y)]dxdy
,
1
根椐格林公式
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy P[ x, y, f ( x, y)]dx
Dxy y
c
即
P z
dzdx
P y
dxdy
cP[
x,
y,
f
(rotA)n
rotA
n
(R Q)cos (P R)cos (Q P )cos
y z
z x
x y
At
A
n
P cos
Qcos
R cos
环流量
rotA
ds
Atds
Stokes公式的物理解释:
向量 场 A沿有向闭曲线 的环流量等于向量 场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.(
公式
(R y
Q z
)dydz
(P z
R x
)dzdx
(Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
n
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于z 轴的直线
z
n :z f ( x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 在 xoy 的投 o
观察旋度 rot v 21, 22 , 23 2.
四、小结
cos cos cos
斯托克斯公式
x
ds y z
PQR
dydz dzdx dxdy
x
y
z
Pdx Qdy Rdz
P
Q
R
rotA
ndS
A
t ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习 4.7 Stokes 公式 环量与旋度
y
影.且所围区域Dxy . x
Dxy C
思路
曲面积分 二重积分 曲线积分
1
2
P z
dzdx
P y
dxdy
(
P z
cos
P y
cos
)ds
又 cos f y cos , 代入上式得
P
z
dzdx
P dxdy y
(
P y
P z
f y )cosds
即
P z
dzdx
P y
dxdy
(
P y
P z
f y )dxdy
格林公式
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则.
z
解1 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz
0 Dxy
y 1
dydz dzdx dxdy
i jk
环流量
CA
ds
x
y
ds z
PQR
2. 旋度的定义:
i jk
称向量
为向量场的旋度
(rotA)
.
x y z
PQR
i jk
旋度
rotA
x y zຫໍສະໝຸດ PQR(RQ
)i
(P
R)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
斯托克斯公式的又一种形式
[(
R y
Q ) cos
z
(P z
( x, y,z )
u
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
其中 M (x0 , y0, z0 ) G, M (x, y, z) G , 通
常取折线路径求u用下列公式计算
x
y
z
u
x0 P(x,, y0, z0 )dx
y0 Q(x, y, z0 )dy
R(x, y, z)dz
18.7 Stokes公式 环量与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是
以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数
P( x, y, z),Q( x, y, z),R( x, y, z)在包含曲面 在
内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有
(
x,
y)]dx
2
平面有向曲线
P z
dzdx
P y
dxdy
P
(
x
,
y
,
z
)dx,
空间有向曲线
同理可证
Q x
dxdy
Q z
dydz
Q(
x
,
y,
z
)dy,
R y
dydz
R x
dzdx
R(
x,
y,
z
)dz,
R Q
P R
Q P
(
y
z
)dydz ( z
)dzdx (
x
x
)dxdy y
Pdx Qdy Rdz .. 故有结论成立.
x
y
z
u
0 P(x, , y0, z0 )dx
0 Q(x, y, z0 )dy
R(x, y, z)dz
0
x
y
z
0 0dx 0 xdy 0 (x y)dz
x
y
z
0 0dx 0 xdy 0 (x y)dz
xy xz yz
所以
(1,2,1)
(y z)dx (z x)dy (x y)dz (0,0,0) (1, 2,1) xy xz yz (0, 0, 0) 21 2 5
解：由 Stokes 公式有
dydz
I
S
x
y2 z2
dzdx
y z2 x2
dxdy
z x2 y2
2( y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy , S
再化为第一类曲面积分，S 的方向余弦为
cos cos cos
1 3 ，因此
I
2
S
y
z
z
x 3
x
y
dS
4 3
S
(x
y
z)dS
4
3
S
3dS
4
3
Dxy
3dxdy 18.
三、计算 x2 yzdx y2 zxdy z 2 xydz ，其中 L 由 A(a,0,0) 沿 L
螺线
x
a
cos
,
y
a
sin
,
z
k
2
到
点
B(a,0,
k
)
的一
段.
i
解： x
x2 yz
j
y y 2 zx
k
0
R)cos x
(Q x
P )cos
y
]dS
(P cos Q cos Rcos )ds
其中
的单位法向量为
n
cos
i
cos
j
cos
k,
的单位切向量为
t cos i cos j cos k
斯托克斯公式的向量形式
rotA
ndS
A
t ds
或
(rotA)n
dS
At
ds
其中
333
Dxy : 如图示
y
1
又按斯托克斯公式, 有
zdx xdy ydz
Dxy o
x 1
(cos cos cos )dS
1
1
3
3
dS 3
3
Dxy
3
3dxdy 2
例 2 计算曲线积分
( y2 z 2 )dx (z 2 x 2 )dy ( x 2 y2 )dz
其中 是平面 x y z 3截立方体:0 x 1, 2
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
则沿场A中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分
CA
称为向
量 ds场A沿C P曲dx线CQ按dy所取Rd方z
向的
环流量
.
利用stokes公式, 有