江苏省2008年高中数学联赛预赛题与解答

所以＝－．……5分
由·＝0得⊥，所以cos2θ＝sin2θ，cos2θ＝sin2θ．
同理，＝－＝－．
所以，＋＝＋＝－＝．……10分
(II)由三角形面积公式，得||·||＝||·||，所以||2·||2＝||2·||2．
∵1＜m＜n，∴m＝1，n＝．……15分
12．A、B为双曲线－＝1上的两个动点，满足·＝0．
(I)求证：＋为定值；
(II)动点P在线段AB上，满足·＝0，求证：点P在定圆上．
证：(I)设点A的坐标为(rcosθ，rsinθ)，B的坐标为(rcosθ，rsinθ)，
则r＝||，r＝||．A在双曲线上，则r2(－)＝1．
2008年全国高中数学联赛江苏赛区
初赛试题参考答案及评分标准
一、选择题（本题满分30分，每小题6分）
1．如果实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为常数，那么mx＋ny的最大值为( )
A．B．C．D．
答：[B]
解由柯西不等式(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab；
二、填空题(本题满分50分，每小题10分)
6．设集合A＝{x|x2－[x]＝2}和B＋{x||x|＜2}，其中符号[x]表示不大于x的最大整数，则A∩B＝．
答：A∩B＝{－1，}．
解：∵|x|＜2，[x]的值可取－2，－1，0，1．
当[x]=－2，则x2＝0，无解；当[x]＝－1，则x2＝1，∴x＝－1；
C．∆A1B1C1是钝角三角形，∆A2B2C2是锐角三角形
D．∆A1B1C1与∆A2B2C2都是钝角三角形
答：[B]
解：两个三角形的内角不能有直角；∆A1B1C1的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若∆A2B2C2是锐角三角形，则不妨设
cosA1＝sinA2＝cos(－A1)，cosB1＝sinB2＝cos(－B1)，cosC1=sinC2=cos(－C1)．
A．PB．QC．MD．N
答：[D]
解：由于指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数为对数函数y＝logax，而对数函数经过(1，0)，故不可能经过P、Q．又若经过M，则3＝a2a＝，但y＝log2≠3．
取＝aa＝，而log＝．∴公共点只可能是点N．选D．
1
2
0.5
1
3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( )
答：3．
解：切割化弦，已知等式即＝＋，
同乘以cosAcosBcosC得，sinAsinBcosC＝sinC(sinAcosB＋cosAsinB)＝sin2C．
所以，ab·＝c2，故即a2＋b2＝3c2，故＝3．
三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）
11．已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c在x＝1时有最大值1，0＜m＜n，并且x∈[m，n]时，f(x)的取值范围为[，]．试求m，n的值．
A．1B．2C．3D．4
答：[A]
解：第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的x＝0.5，y＝，z＝，则x＋y＋z＝1．选A．
4．如果∆A1B1C1的三个内角的余弦值分别是∆A2B2C2的三个内角的正弦值，那么( )
A．∆A1B1C1与∆A2B2C2都是锐角三角形
B．∆A1B1C1是锐角三角形，∆A2B2C2是钝角三角形
则A1＝－A2，B1＝－B2，C1＝－C2．即A1＋B1＋C1＝－(A1＋B1＋C1)，矛盾．选B．
5．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“aα，bβ，且α⊥β”的平面α，β( )
A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对
答：[D]
解：任作过a的平面α，可以作无数个．在b上任取一点M，过M作α的垂线，b与垂线确定的平面β垂直于α．选D．
当[x]=0，则x2＝2无解；当[x]＝1，则x2＝3，∴x＝．
∴x＝－1或．
7．同时投掷三颗骰子，至少有一颗骰子掷出6点的概率是(结果要求写成既约分数)．
答：．
解考虑对立事件，P＝1－()3＝．.
8．已知点O在∆ABC内部，＋2＋2＝．∆ABC与∆OCB的面积之比为．
答：5∶1．
解由图，∆ABC与∆OCB的底边相同，高的比是5∶1.故面积比是5∶1．
解：由题f(x)＝－2(x－1)2＋1，……5分
∴f(x)≤1，∴≤1，即m≥1，∴f(x)在[m，n]上单调减，
∴f(m)＝－2(m－1)2＋1＝且f(n)＝－2(n－1)2＋1＝．.……10分
∴m，n是方程f(x)＝－2(x－1)2＋1＝的两个解，方程即(x－1)(2x2－2x－1)＝0．
解方程，得解为1，，，.．
9．与圆x2＋y2－4x＝0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为．
答：y2＝8x(x＞0)或y＝0(x＜0)．
解：由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、x＝－2为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为y2＝8x(x＞0)，或y＝0(x＜0)．
10．在∆ABC中，若tanAtanB＝tanAtanC＋tanCtanB，则＝．
mxBiblioteka Baiduny≤，当m＝n＝，x＝y＝时，mx＋ny＝.选B.
又解：三角换元：令m＝cosα，n＝sinα，x＝cosβ，y＝sinβ．
则mx＋ny＝cos(α－β)≤．
2．设y＝f(x)为指数函数y＝ax．在P(1，1)，Q(1，2)，M(2，3)，N(，)四点中，函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的图像的公共点只可能是点( )