江苏省2008年高中数学联赛预赛题与解答
08年全国高中数学联赛试题及答案
2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。
答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。
答卷时问为120分钟。
一 试一、选择题（每小题6分，共36分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）。
（A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3)3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ）。
（A ）24181 （B ）26681 （C ）27481（D ） 6702434．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。
（A ）764 cm 3或586 cm 3 （B ） 764 cm 3（C ）586 cm 3或564 cm 3 （D ） 586 cm 3 5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。
2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题参考答案及评分标准
2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 函数f (x )＝cos 4x ＋sin 2x (x ∈R )的最小正周期是( )A ．π 4B ．π2C ．πD ．2π2. 已知平面上点的集合M ＝{(x ，y )|y ＝2x －x 2}，N ＝{(x ，y )|y ＝k (x ＋1)}. 当M ∩N ≠∅时，k 的取值范围是( )A ．[－33，33] B ．[0，33] C ．[－33，0] D ．[33，＋∞) 3. “x 2＋y 2＜4”是“xy ＋4＞2x ＋2y ”成立的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件4. 已知关于x 的方程x 2－2ax ＋a 2－4a ＝0至少有一个模为3的复数根，则实数a 的所有取值为( ) A ．1，9 B ．－1，9，2－13 C ．1，9，2＋13 D ．1，9，2－135. 设f (x )是一个三次函数，f '(x )为其导函数. 如图所示的是y ＝xf '(x )的图像的一部分. 则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)6. 已知等比数列{a n }的公比q ＜0，其前n 项和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是( )A ．a 9S 8＞a 8S 9B ．a 9S 8＜a 8S 9C ．a 9S 8＝a 8S 9D ．与a 1的值有关二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 集合A ＝{x |x ＝[5k6]，k ∈Z ，100≤k ≤999}，其中[x ]表示不大于x 的最大整数.则集合A 的元素个数为 ．8. 已知数列{a n }满足a 1＝5，a n ＝2a n －1－1a n －1－ 2(n ≥2，n ∈N *），则其前100项的和是 ．9. 在正八边形的八个顶点中任取三个顶点，则这三个点成为一个直角三角形的顶点的概率是 ．10. 关于x 的方程x 2＋a |x |＋a 2－3＝0(a ∈R )有惟一的实数解，则a ＝ ．11. 直线L ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的最短弦长为 ．12. 设以F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点的椭圆的离心率为e . 以F 1为顶点、F 2为焦点的抛物线与该椭圆的一个交点是P . 若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值为 ．三、 解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数f (x )＝x －k x 2－1(x ≥1)，其中k 为给定的实数，0＜k ＜1. 试求f (x )的值域.14．从双曲线x 2 9 －y 216＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝9的切线，切点为T . 延长FT 交双曲线右支于点P . 若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，求|MO |－|MT |的值.15．已知△ABC 的外接圆的直径为25，三条边的长度都是整数，圆心O 到边AB 、BC 的距离也都是整数，AB ＞BC . 求△ABC 的三边的长度.OABCDE2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷加 试一. (本题满分50分)已知点O 为凸四边形ABCD 内的一点，AO ＝OB ，CO ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝120°. 点E 、F 、G 分别是线段AB 、BC 、CD 的中点，求证：∆EFG 为正三角形.二. (本题满分50分)已知a ，b ，c ，d 为正实数，a ＋b ＋c ＋d ＝4，求证：a 2bc ＋b 2da ＋c 2da ＋d 2bc ≤4.三. (本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数n ：存在一个n ＋1项的数列a 0，a 1，…，a n ，满足a 0＝0，a n ＝2008，且|a i －a i －1|＝i 2，i ＝1，2，…，n .E F GB CD A O2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 函数f (x )＝cos 4x ＋sin 2x (x ∈R )的最小正周期是( )A ．π 4B ．π2 C ．π D ．2π选B ．解：法一 由f (x ＋π2 )＝sin 4x ＋cos 2x ＝sin 4x ＋cos 4x ＋cos 2x sin 2x ＝cos 4x ＋sin 2x ＝f (x )；又f (0)＝1、f (π 4 )＝1 4 ＋12≠f (0)；选B .法二 由f (x )＝cos 4x ＋1－cos 2x ＝cos 2x (cos 2x －1)＋1＝1－cos 2x sin 2x ＝1－1 4 sin 22x ＝1 8 cos4x ＋78 ．可知f (x )的最小正周期为2π 4 ＝π2. 选B .2. 已知平面上点的集合M ＝{(x ，y )|y ＝2x －x 2}，N ＝{(x ，y )|y ＝k (x ＋1)}. 当M ∩N ≠∅时，k 的取值范围是( )A ．[－33，33] B ．[0，33] C ．[－33，0] D ．[33，＋∞) 选B ．解：集合M 的图形为以(1，0)为圆心、1为半径的圆的上半圆，集合N 的图形为过(－1，0)的直线．若直线与圆有公共点，则易得其倾斜角在[0，π6]内，故k ∈[0，33]．3. “x 2＋y 2＜4”是“xy ＋4＞2x ＋2y ”成立的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件 选A ．解：由xy ＋4＞2x ＋2y ⇔(x －2)(y －2)＞0⇔x ＜2，y ＜2或x ＞2，y ＞2； 而 x 2＋y 2＜4⇒－2＜x ＜2且－2＜y ＜2⇒xy ＋4＞2x ＋2y .4. 已知关于x 的方程x 2－2ax ＋a 2－4a ＝0至少有一个模为3的复数根，则实数a 的所有取值为( ) A ．1，9 B ．－1，9，2－13 C ．1，9，2＋13 D ．1，9，2－13 选D ．解：将方程写为(x －a )2＝4a . 当a ≥0时，此时方程有实根，该实根之模为3，故方程有一根为3或－3. 代入，由(a ±3)2＝4a ，得a ＝1或9；当a ＜0时，得x ＝a ±2|a |i ，故|x |2＝a 2－4a ＝9，得a ＝2－13．故选D .5. 设f (x )是一个三次函数，f '(x )为其导函数. 如图所示的是y ＝xf '(x )的图像的一部分. 则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)选C ．解：如图，y ＝xf '(x )有三个零点，x ＝0，±2； 因为f '(x )为二次函数，所以它有两个零点，x ＝±2.由图像易知，当0＜x ＜2时，f '(x )＜0；当x ＞2时，f '(x )＞0. 故f (2)是极小值. 类似地可知，f (－2)是极大值. 选C ．6. 已知等比数列{a n }的公比q ＜0，其前n 项和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是( ) A ．a 9S 8＞a 8S 9 B ．a 9S 8＜a 8S 9 C ．a 9S 8＝a 8S 9 D ．与a 1的值有关 选A ．解：a 9S 8－a 8S 9＝a 12q 71－q(q (1－q 8)－(1－q 9))＝－a 12q 7＞0，选A ．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 集合A ＝{x |x ＝[5k6]，k ∈Z ，100≤k ≤999}，其中[x ]表示不大于x 的最大整数.则集合A 的元素个数为 ．填750．解：当k ＝100时，[5k 6 ]＝83，当k ＝999时，[5k6 ]＝832. 又易知，对于100≤k ≤999，有0≤[5(k ＋1) 6]－[5k6]≤1，故A 中元素可以取遍从83到832中的所有整数，所以共有750个元素. 8. 已知数列{a n }满足a 1＝5，a n ＝2a n －1－1a n －1－ 2 (n ≥2，n ∈N *），则其前100项的和是 ．填400 .解：a 1＝5，则a 2＝3，a 3＝5，a 4＝3，数列周期为2，故前100项和是400.9. 在正八边形的八个顶点中任取三个顶点，则这三个点成为一个直角三角形的顶点的概率是 ．填3 7. 解：连接正八边形的三个顶点共可得C 83＝56个三角形，其中4条直径为一边的三角形是直角三角形，共有4×6＝24个直角三角形，所以p ＝37.10. 关于x 的方程x 2＋a |x |＋a 2－3＝0(a ∈R )有惟一的实数解，则a ＝ ．填3.解：f (x )＝x 2＋a |x |＋a 2－3是偶函数，惟一的实数解必为0，所以a 2－3＝0且a ＞0，故a ＝3.11. 直线L ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的最短弦长为 ．填4 5 .解：直线L 过点D (3，1). 圆心为C (1，2). 最短弦垂直于CD ，且CD 2＝5；又圆的半弦长为25，故弦长为45.12. 设以F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点的椭圆的离心率为e . 以F 1为顶点、F 2为焦点的抛物线与该椭圆的一个交点是P . 若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值为 ．填33．解：在抛物线中，p ＝2，准线x ＝－3，|PF 2|就是P 到准线的距离；在椭圆中，|PF 1||PF 2|＝e ，|PF 2|也是P 到左准线的距离，故抛物线准线与椭圆左准线重合，所以a 2 c ＝3. 因为c ＝1，故易知e ＝33.三、 解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数f (x )＝x －k x 2－1(x ≥1)，其中k 为给定的实数，0＜k ＜1. 试求f (x )的值域. 解： 当x ＞1时，f (x )的导数是f '(x )＝1－kxx 2－1. ……5分令f '(t )＝0. 因为t ＞1时，解得t ＝11－k 2. ……10分f (t )＝f (11－k 2)……15分当x →＋∞时，f (x )→－∞，所以f (x )的值域为[1－k 2，＋∞). ……20分又解：令x ＝sec θ，θ∈[0，π2)，则x 2－1＝tan θ．f (x )＝u ＝sec θ－k tan θ＝1－k sin θcos θ⇒u cos θ＋k sin θ＝1⇒sin(θ＋φ)＝1u 2＋k 2．其中sin φ＝uu 2＋k 2，cos φ＝ku 2＋k2．又u ＞0．由|sin θ|≤1，得u 2≥1－k 2⇒u ≥1－k 2， 又对于一切不小于1－k 2的u 值，都有1u 2＋k 2≤1，从而存在φ与θ，使sin φ＝u u 2＋k 2，cos φ＝ku 2＋k2，sin(θ＋φ)＝1u 2＋k2成立．从而u ＝sec θ－k tan θ，即存在x ＝sec θ，使x －k x 2－1＝u 成立．故所求值域为[1－k 2，＋∞)14．从双曲线x 2 9 －y 216＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝9的切线，切点为T . 延长FT 交双曲线右支于点P . 若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，求|MO |－|MT |的值.解： 不失一般性，将P 点置于第一象限. 设F '是双曲线的右焦点，连PF '.因为M 、O 分别为FP 与FF '的中点，所以|MO |＝12|PF'|. 又由双曲线的定义得：|PF |－|PF '|＝6，|FT |＝|OF |2－|OT |2＝4. ……10分故|MO |－|MT |＝1 2 |PF '|－|MF |＋|FT |＝12(|PF '|－|PF |)＋|FT |＝－3＋4＝1． ……20分15．已知△ABC 的外接圆的直径为25，三条边的长度都是整数，圆心O 到边AB 、BC 的距离也都是整数，AB ＞BC . 求△ABC 的三边的长度.解： 如图，过圆心O 作AB ，BC 的垂线，垂足为D ，E .设AB ＝a ，BC ＝b ，OD ＝d ，OE ＝e ，则BD ＝a 2 ，BE ＝b2，其中a ，b 、d 、e 都是正整数，且a ＞b ．因DB 2＋OD 2＝OB 2，故a 2＋(2d )2＝252， ①同理， b 2＋(2e )2＝252． ② 取不定方程 x 2＋(2y )2＝252．得两组正整数解(x ，y )＝(15，10)，(7，12)． ……10分 由a ＞b ，故得a ＝15，b ＝7．即AB ＝15，BC ＝7，而OD ＝10，OE ＝12．……15分又因OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，所以O ，D ，B ，E 共圆. 由托勒密定理，DE ·OB ＝OD ·BE ＋OE ·DB ，得DE ＝OD ·BE ＋OE ·DBOB＝10.由于D 、E 分别为AB 、BC 中点，所以DE 是△ABC 的中位线，因此AC ＝20，即三角形三边的长度分别为15，7，20. ……20分又解：cos ∠OBA ＝3 5 ，sin ∠OBA ＝4 5 ，cos ∠OBC ＝7 25 ，sin ∠OBC ＝2425 ．∴ cos ∠ABC ＝3 5 ×7 25 －4 5 ×24 25 ＝－35．∴AC 2＝152＋72＋2×15×7×35＝400 AC ＝20．OABCDE2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一. (本题满分50分)已知点O 为凸四边形ABCD 内的一点，AO ＝OB ，CO ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝120°. 点E 、F 、G 分别是线段AB 、BC 、CD 的中点，求证：∆EFG 为正三角形.证：连AC 、BD ，则EF ∥AC ，EF ＝1 2 AC ；FG ∥BD ，FG ＝12B D ．因为OA ＝OB ，OC ＝OD ，且∠AOB ＝∠COD ＝120°，所以以O 为心、逆时针旋转120°，则△AOC 成为△BOD .……20分 因此AC ＝BD ，并且BD 逆时针转到AC 的角为60°，从而EF ＝FG ，并且∠GFE ＝60°. 故△EFG 为正三角形. ……50分 注 若不用旋转的方法，证法如下:在△AOC 与△BOD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ＝120°＋∠BOC ；所以，△AOC ≌△BOD ，∴AC ＝BD ，并且∠OAC ＝∠OBD . ……20分 设AC 分别交BD 、BO 于P 、Q ，则∠DP A ＝∠OBD ＋∠PQB ＝∠OAC ＋∠OQA ＝180°－∠BOA ＝60°，由此易知∠GFE ＝∠DP A ＝60°. 又易知EF ＝FG ，因此，△EFG 为正三角形. ……50分又注：该证明是在A 、O 、C 不共线的假设下证明的，若A 、O 、C 共线，则△AOC 、△BOD 均不存在，故应补充证明：若A 、O 、C 共线，则∠BOC ＝60°，于是B 、O 、D 也共线．显然AC ＝BD ，于是易得EF ＝FG ，且∠EFG ＝∠BOC ＝60°．从而△EFG 为正三角形．证法三：前已证△AOC ≌△BOD ，得AC ＝B D ．∠OBP ＝∠OAP ． 取AD 中点K ，连EK 、GK ．则得EFGK 为菱形．且B 、P 、O 、A 共圆，∴ ∠APB ＝∠AOB ＝120°，故∠BPC ＝60°，∴ ∠EFG ＝60°，从而△EFG 为正三角形．证法四：前已证△AOC ≌△BOD ，得AC ＝B D ．取OB 、OC 中点K 、L ，连OE 、OG 、KE 、KF 、LG 、LF ．由已知得，OE ⊥AB ，∠OBE ＝30°，∴ EK ＝OE ＝1 2 OB ，同理，OG ＝OL ＝12 O C ．∵ F 、K 是OB 、OC 中点，FK ＝12OC ＝OG ，∵ ∠EOG ＝∠EOB ＋∠BOC ＋∠COG ＝60°＋∠BOC ＋60°＝120°＋∠BOC ＝∠AOC ＝∠EKF ，同理，∠FLG ＝∠EOG ，∴ △EKF ≌△EOG ，∴ EF ＝EG ，同理，FG ＝EG ．从而△EFG 为正三角形． 证法五：以O 为原点，与AB 平行的直线为实轴建立复平面． 设点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 表示复数a 、b 、c 、d 、e 、f ．则b ＝aω，d ＝cω(其中ω＝cos 2π 3 ＋i sin 2π3)．P Q OAD CB GF EK E F GB CD A O P K LEF GB CDAO于是，e ＝1 2 (a ＋b )，f ＝1 2 (b ＋c )，g ＝12(c ＋d )．向量→FE 表示复数e －f ＝1 2 (a －c )，→FG ＝g －f ＝1 2 (d －b )＝－1 2 (a －c )ω．∴e －fg －f＝－1ω＝－[cos(－2π 3 )＋i sin(－2π 3 )]＝cos π 3 ＋i sin π3 ．∴ 向量→FE 由→FG 旋转π 3得到，故△EFG 为正三角形．二. (本题满分50分)已知a ，b ，c ，d 为正实数，a ＋b ＋c ＋d ＝4，求证：a 2bc ＋b 2da ＋c 2da ＋d 2bc ≤4.证明：a 2bc ＋b 2da ＋c 2da ＋d 2bc ＝ab (ac ＋bd )＋cd (ac ＋bd )＝(ab ＋cd )(ac ＋bd )≤(ab ＋cd ＋ac ＋bd 2)2……20分＝[(a ＋d )(b ＋c )]2 4 ≤1 4 (a ＋b ＋c ＋d 2)4＝4． ……50分三. (本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数n ：存在一个n ＋1项的数列a 0，a 1，…，a n ，满足a 0＝0，a n ＝2008，且|a i －a i －1|＝i 2，i ＝1，2，…，n .解：若n ≤17，则a n ＝i ＝1Σn (a i －a i －1)＋a 0≤i ＝1Σn|a i －a i －1|＝1 6 n (n ＋1)(2n ＋1)≤16×17×18×35＜2008．矛盾. ……15分若n ＝18，则a n ＝i ＝1Σn(a i－ai －1)＋a 0≡i ＝1Σn|a i－ai －1|≡i ＝1Σni 2≡1(mod 2)这与a n ＝2008矛盾. ……30分若n ＝19，注意到 2008＝12＋22＋…＋192－2(22＋52＋92＋112)，取a 0，a 1，…，a 19如下：0，1，－3，6，22，－3，33，82，146，65，165，44，188，357，553，778，1034，1323，1647，2008． 由此知n ＝19可行.综上，n min ＝19. ……50分 注 例子不惟一，如：2008＝12＋22＋…＋192－2(12＋32＋102＋112)＝12＋22＋…＋192－2(22＋32＋42＋92＋112)． ＝12＋22＋…＋192－2(12＋32＋52＋142) ＝12＋22＋…＋192－2(22＋32＋72＋132)等等．。
2008年高考数学(江苏卷)(含加试题)含答案
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学参考公式:样本数据1x ,2x , ,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ▲ .【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒= 【答案】102．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 【答案】1123．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ▲ ．【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 【答案】14．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z 中有 ▲ 个元素【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由2(1)37x x -<+得2560x x --<,(1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5A Z = ，共有6个元素．【答案】65．已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b == ，则|5|a b -= ▲ ． 【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a ba ab b -=-=-+锥体体积公式13V Sh =其中S S 为底面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π==22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -= 7【答案】76．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 ▲【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域 E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯【答案】16π7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ 【解析】由流程图1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6.42=【答案】6.428．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是 ▲ 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．【答案】ln2－19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学(含详细解答)苏教版
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）·数学本试卷分第Ⅰ卷（填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分。
参考公式：样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差 s=1n[(x 1-x -)2+(x 2-x -)2+…+(x n -x -)2]其中x - 为样本平均数柱体体积 V=Sh其中S 为底面面积，h 为高 锥体体积公式V ＝13Sh其中S 为底面面积、h 为高 球体表面积、体积公式S=4πR 2，V=43πR 3，其中R 为球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.若函数y=cos(ωx-π6)(ω>0)的最小正周期是π5，则ω＝_ ▲提示：由T=2πω =π5有ω＝１０2.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是_ ▲提示：设抛掷两次向上点数之和为事件A ，向上点数之和为４为事件B ，则事件A 的总数为６×６＝３６，事件B 共有：{１,３},{３,１},{２,２}3种情形，所以P(B)=336 =1123.若将复数1+i1-i 表示为a+bi (a,b ∈R,i 是虚数单位)的形式,则a+b=_ ▲提示：因为1+i1-i＝i= a+bi,所以a=0,b=1,所以a+b=１4.设集合A={x|(x-1)2<3x +7,x ∈R }，则集合A ∩Z 中有_ ▲ 个元素.提示：因为A={x|(x-1)2<3x+7,x ∈R }＝{x| -1<x<6,x ∈R }，所以A∩Z ＝{０,１,２,３,４,５},其中有６个元素5.已知向量a → 与 b → 的夹角为1200，｜a → ｜＝1，｜b → ｜＝3，则｜5a → －b → ｜=_ ▲ 提示：因为｜5a → －b →｜＝｜5a → －b →｜2 ＝76.在平角直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率_ ▲提示：依题意作简图如下，则P(E) ＝圆面积正方形面积 ＝π167.某地区为了解70～80岁老人的平均睡眠时间(单位:h),随机选择了50位老人进行调查.下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表.在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图,则输出的S 的值是_ ▲提示：从流程图可知S ＝∑i =15G i F i ＝4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.20+8.5×0.08＝6.428.设直线y=12x+b 是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b 的值为_ ▲提示：因为y ' = 1x ，由切线斜率为12有1x ＝12，所以x=2，所以切点为(2,ln2),代入切线方程得b=-1+ln29.如图,在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0);点P(0,p)在线段AO 上的一点（异于端点），这里a,b,c,p 为非零常数.直线BP 、CP 分别与边AC 、AB 交于点E 、F.某同学已正确求得直线OE 的方程：)11(cb -x+)11(a p -y=0.请你完成直线OF 的方程：（_ ▲ ）x+)11(ap -y=0提示：11c b-10.将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15. . . . . . . . .提示：如图，由已知可知，三角形OPH 为等腰直角三角形，所以有a 2c ＝2a ，所以离心率e= 2213.满足条件AB ＝2，AC ＝ 2 BC 的三角形ABC 的面积的最大值是 ▲提示：２ 214.设函数f (x )=ax 3-3x+1(x ∈R ),若对于任意x ∈[-1,1],都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为 ▲ 提示：４二、解答题：本大题共6小题,共计90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案-江苏卷
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差()()()222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．4.A={()}2137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 ▲ ．锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径5.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ▲ ．7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。
2008年全国高中数学联赛试题及解答
2008全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是(C)A ．0B ．1C ．2D ．3 [解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 （ D ）A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[0,3) [解] 因240x ax --=有两个实根12a x =-22a x =故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a ≥-且42a ， 解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ） A.24181B.26681C.27481D.670243[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有 5(2)9P ξ==， 4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=， 1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==， 故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ）A. 764 cm 3或586 cm 3B. 764 cm 3C. 586 cm 3或564 cm 3D. 586 cm 3 [解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为（ B ）A. 1B. 2C. 3D. 4[解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=.易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列， 则sin cot cos sin cot cos A C A B C B ++的取值范围是A. (0,)+∞B.C.D.)+∞ [解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得q q q <<⎨⎪><⎪⎩从而1122q <<，因此所求的取值范围是． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n = ，若7()128381f x x =+，则a b += 5 . [解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-，由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a=[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----，(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -；(2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1；(3)22a -≤≤时，()f x 当cos 2ax =时取最小值21212a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-，故2112122a a ---=-，解得2a =-2a =-舍去)．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种． [解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． [解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=．的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n = ，则通项n a =112(1)n n n -+． [解]1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ．令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)， 有112n n b b +=，故12n nb =，所以)1(121+-=n n a nn ． 11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅，因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+-200822007=+．[解法二] 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=， 6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，答12图1故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+． 12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B CA B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅， 故44PD OD r==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则2211PP PO OP =-==． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为答13图答12图21PEF ，如答12图2．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ． 因16MPP π∠=，有11cos PM PP MPP =⋅==，故小三角形的边长12PE PA PM a =-=-．小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）1PAB P EFS S ∆∆-22())a a =--2=-．又1r =，a =1PAB P EF S S ∆∆-==由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx =)0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证： 2cos 1sin sin 34ααααα+=+．[证]()f x 的图象与直线y kx = )0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈． …5分由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=． …10分 因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+14sin cos αα=…15分22cos sin 4sin cos αααα+=21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+．即 1210864353210x x x x x +++-->．…5分分组分解12108x x x +-1086222x x x ++-864444x x x ++-642x x x ++-4210x x ++->，864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分所以 4210x x +->，2211(022x x ---+-->． …15分所以2x ，即x <x >故原不等式解集为(,)-∞+∞ ． …20分[解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+．…5分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x+<+++++=+++， )1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x xx ， …10分令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x<+，显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于答15图2211x x <+， …15分即222()10x x +->，解得2x >(2x <舍去)，故原不等式解集为(,)-∞+∞ ． …20分15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00y b y b x x --=，化简得000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到PB 的距离为1，1= ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+， 易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分 所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则 22200020448()(2)x y x b c x +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--48≥=．当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,x y ==±．因此PBC S ∆的最小值为8． …20分2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分； 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠< ，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆； （Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：AE AB=，1BC EC=，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O的切线，AC 求()f P 的最小值．[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅．因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时， ()()f P PB PD CA =+⋅．…10分又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆．…20分（Ⅱ）记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE ABαα==，从而32sin 2αα=34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-，…30分解得cosα=cos α=， 故30α= ，60ACE ∠= ．由已知1BC EC=()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ，1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得1cos2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠== 可得75EAC ∠= ， …40分 从而45E ∠= ，45DAC DCA E ∠=∠=∠= ，ADC ∆为等腰直角三角形．因AC =1CD =．又ABC∆也是等腰直角三角形，故BC =，212215BD =+-⋅=，BD =故min ()f P BD AC =⋅=．…50分[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）．过,,A C D 分别作000,,P A P C P D 的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC∆之三内角分别为x y z ，，，则0180AP C y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A P C ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=，所以111A B C ∆∽ABC ∆． …10分设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=， 则对平面上任意点M ，有0000()()f P P A BC P D CA P C AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆=111111MA B C MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅()f M λ=，从而0()()f P f M ≤．由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点． 由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=，记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==，从而答一图232sin 2αα=34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=， …30分解得cosα=cos α=，故30α= ，60ACE ∠= ． 由已知1BC EC=()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得1cos2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠== 可得75EAC ∠= ， …40分 所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，AC 1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，11B C BD ===故λ=min ()21f P == …50分[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 PA BC PC AB PA BC PC AB⋅+⋅≥⋅+⋅ ，所以 ()()()()A P C B C P B A --+--()()()()A P CBC P B A ≥--+-- （1）P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅()()B P C A PB AC=--=⋅，从而PA BC PC AB PD CA⋅+⋅+⋅PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC≥⋅ ． （2） …10分（1）式取等号的条件是 复数 ()()A P C B --与()()C P B A --同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--，A PB AC P C Bλ--=--， 所以 arg()arg()A P B A C P C B--=--，向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC旋转到AB 所成的角，从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上． 故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅． 以下同解法一．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得n T m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得 1ma nb +=．于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅是()f x 的周期． …10分 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅ 是()f x 的周期． …20分（Ⅱ）若T 是无理数，令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……． …30分由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． …40分最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a TT ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设ka 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k = ．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x满足以下条件：（1）010n n x x x +=<<，1,2,3,n = ； （2）lim n n x →∞存在； （3）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n = ．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（1），（2），（3）．注意到（3）中式子可化为2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++- ．…10分由（1）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得 112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++-20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081kk b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑． …20分充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1kk k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．…30分下取数列{}n x 为01n k n k x s ==∑，1,2,n = ，则明显地{}n x 满足题设条件（1），且100101n nkn k s s x s s +=-==-∑．因001s <<，故1lim 0n n s+→∞=，因此10000lim lim 11n n n n s s sx s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）．…40分最后验证{}n x 满足（3），因0()0f s =，即2008011k k k a s ==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（1），（2），（3）． …50分。
最新2006、2007、2008、2009、全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷和答案解析[1]
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2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷2006.4.2 8：00～11：00本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、 选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知数列﹛a n ﹜的通项公式2245n a n n =-+，则﹛a n ﹜的最大项是（ ）(A) a 1 (B) a 2 (C ) a 3 (D) a 42. 函数3log 3xy =的图像大致是（ ）(A ) (B )(C ) (D)3. 已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有( ) (A)0个 (B)2个 (C)4个 (D)6个4.设f （x ）是定义在R 上单调递减的奇函数．若x 1+x 2>O ，x 2+x 3>O ，x 3十x 1>O ，则 ( )(A)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0 (B)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<O (C)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0 (D)f(x 1)+f(x 2)>f(x 3)5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的12条棱所在直线成等角的直线共o 1 1 x y o 1 1 x y o 1 1x yo 1 1 x y有( )(A)0条 (B)1条 (C)4条 (D)无数多条6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，.10103cos ,21tan ==B A 若△ABC 最长的边为1，则最短边的长为（ ） A ．255B ．355 C ． 455D ．55二．填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分.7．集合A={x ∣x=3n ，n ∈N，0<n<10}，B={y ∣y=5m ，m ∈N，O≤m≤6}, 则集合AUB 的所有元素之和为 8．设COS 2θ=23，则COS 4θ+sin 4θ的值是 9．(x-3x 2)3的展开式中，x 5的系数为10.已知,则x 2+y 2的最大值是 11．等比数列{}n a 的首项为12020a =，公比12q =-．设()f n 表示该数列的前n 项的积，则当n = 时，()f n 有最大值．12．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB 1=4，AD 1=3，则对角线AC 1 的取值范围为 三、解答题（第13题、14题各12分，15题16分，16题20分）13．设集合A=12log (3)2x x ⎧⎫⎪⎪-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，B=21a xx a ⎧⎫>⎨⎬-⎩⎭，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围。
2008年南通市高中数学联赛试题参考答案及评分标准
2008年南通市高中数学联赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．已知函数2sin y x =，则（ B ）. （A ） 有最小正周期为π2（B ） 有最小正周期为π（C ）有最小正周期为2π（D ）无最小正周期 解：)2cos 1(21sin 2x x y -==，则最小正周期π=T . 故选（B ）． 2．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值 的和是（ C ）. （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-解：方程02022=--a ax x 的两根是14x a =-，25x a =，则由关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，得9|9|||21≤=-a x x ，即11≤≤-a . 故选（C ）．3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线 的三点是（ A ）.（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D 解：2BD BC CD =+=a 4+b 2AB =，所以A 、B 、D 三点共线. 故选（A ）． 4．设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ D ）. （A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥解：（A ）选项缺少条件m α⊂；（B ）选项当//αβ，βγ⊥时，//m β；（C ）选项当α、β、γ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ=时，m β⊂；（D ）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题. 故选（D ）． 5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ C ）（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个解：由6514233=+=+=+及题设知，个位数字的选择有5种. 因为321=+=7610=+-，故（1） 由321=+知，首位数字的可能选择有2510⨯=种；（2） 由37610=+-及54123=+=+知，首位数字的可能选择有248⨯=种. 于是，符合题设的不同点的个数为5(108)90⨯+=种. 故选（C ）． 6．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ）， 且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（ D ）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个 解：由题设知()f x 为偶函数，则考虑在11≤≤-x 时，恒有 ()2(1232007)20082007f x =⨯++++=⨯．所以当21321a a -≤-+≤，且111a -≤-≤时，恒有2(32)(1)f a a f a -+=-．由于不等式21321a a -≤-+≤a ≤≤ 111≤-≤-a 的解集为20≤≤a ．因此当2253≤≤-a 时，恒有 2(32)(1)f a a f a -+=-. 故选（D ）．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若105=S ，510-=S ，则公差为 1-=d .解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d . 8. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，；2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）.故a b +等于4. 9．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 (2lg 6lg111x x -+>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，． 10．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．11．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为 ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ． sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=．故sin 2ABC AC ABS A ∆⋅==． 12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．三、解答题（本题满分60分，每小题15分）13. 设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C .过点F 的直线 l 与曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示． 设动点为(,)P x y2=，即224x y -=．由P D ∈知0x y +>，x －y <0，即x 2－y 2<0．所以y 2－x 2＝4(y ＞0)，即曲线C 的方程为y 24－x24＝1(y ＞0)．…………5分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则以线段AB 为直径的圆的圆心为1212()22x x y y Q ++，. 因为以线段AB 为直径的圆L 与y 轴相切，所以半径 12122x x r AB +==，即12AB x x =+． ① …………10分因为直线AB 过点F (22，0)，当AB ⊥ x 轴时，不合题意．所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －22)．B CE 代入双曲线方程y 24－x 24＝1(y ＞0)得，k 2(x －22)2－x 2＝4，即(k 2－1)x 2－42k 2x ＋(8k 2－4)＝0． 因为直线与双曲线交于A ，B 两点， 所以k ≠±1．所以x 1＋x 2＝42k 2k 2－1，x 1x 2＝8k 2－4k 2－1．所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[⎝ ⎛⎭⎪⎫42k 2k 2－12－4⋅8k 2－4k 2－1]＝|x 1＋x 2|＝|42k 2k 2－1|，化简得：k 4＋2k 2－1＝0，解得k 2＝2－1（k 2＝－2－1不合题意，舍去）．由△＝(42k 2)2－4(k 2－1) (8k 2－4) ＝3k 2－1＞0， 又由于y ＞0， 所以－1<k <－ 33． 所以k ＝－2－1 …………………15分14. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离. 证：（1）设1AA 中点为D ，连C 、D .因为AB B A =1，所以1AA BD ⊥．因为面C C AA A ABB 1111⊥，所以⊥BD 面C C AA 11． 又1ACC ∆为正三角形，111A C AC =，所以 11AA D C ⊥. 从而11AA BC ⊥．………………6分（2） 由（1），有1BD C D ⊥，11BC CC ⊥，1CC ⊥面1C DB ．设1A 到面ABC 的 距离为h ，则1113ABC B CAC B CDC hS V V ∆--==. 因为11113C C DB C DB V CC S -∆=⨯，所以1C DB ABCS h S ∆∆=．（第14题） B 1BA 1C 1AC又 1C D BD =，且432211==⨯=∆BD BD D C S DB C . 设ABC ∆的高为AE ，则2512312221212=+=+=+=BD CC BC BC ， 8325411=⋅-=AE ， 41583252=⋅=∆ABC S . 于是有 515153==h ，即1A 到平面ABC 的距离为515． ………………15分15．已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .解：由题设，22n n a a +≥+，则2007200520031222210032007a a a a ≥+≥+⨯≥≥+⨯=. ………5分由 22n n a a +≥+，得22n n a a +≤-，则3223231(1)n n n n a a a a n +++≤+≤-+=+≥. ………………10分于是 200720062005200219991123123212a a a a a ≤+≤+⨯≤++⨯≤+⨯+⨯136********a ≤≤+⨯+⨯=，所以 a 2007=2007．易知数列11a =，22a =，，n a n =符合本题要求． ………………15分注意：猜得答案n a n =或20072007a =，给2分．16．已知平面上10个圆，任意两个都相交．是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论．解：存在直线l ，与每个圆都有公共点． 证明如下：如图，先作直线0l ，设第i 个圆在直线0l 上的正投影是线段i i A B ，其中i A 、i B 分别是线段的左右A 1A k A 2B 1B 2 B m端点．10个圆有10个投影线段，有10个左端点，有10个右端点． ………………5分因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设k A 是最右边的左端点，则所有右端点都在k A 的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个 圆相交矛盾． ………………10分再设m B 是最左边的右端点，同理所有左端点都在m B 的左边. k A 与m B 不重合，线段k m A B 是任意一条投影线段的一部分，过线段k m A B 上某一点作直线0l 的垂线l ，则l 与10个圆都相交． ………………15分。
2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛
图1
⊥BC 于 F ,则 △AFE 为直角三角形 . 因为 ∠AEF = 30° ,所以 , 1 5 3 AF = AE = , 2 2 5 3 即梯形 ABCD 的高 AF = . 2 又四边形 AEBD 为平行四边形 ,因此 , AD = EB . 1 1 故 S = ( AD + BC ) AF = EC・ AF 2 2 1 5 3 25 3 = × 10 × = . 2 2 2 四、 原不等式两边同乘以 30 得 15(3 x -1 ) -10 (4 x -2 ) ≥ 6 (6 x -3 ) -39 . 解得 x ≤ 2. 记 y = 2| x -1|+| x +4| . ( 1) 当 x ≤- 4 时 , y =- 2 ( x -1 ) - ( x +4 ) =-3 x -2 . 所以 , y 的最小值为 ( - 3) ×( -4 ) -2= 10 ,此时 x =-4 . ( 2) 当 -4 ≤x ≤ 1时,
2 13. 设函数 f ( x ) = x - k x - 1 ( x ≥ 1, k 为 给 定 的 实 数 ,0< k <1 ) . 试 求 f ( x ) 的 值域 .
参考答案
第一试
一、 1. B. 注意到 π 4 2 f x+ = sin x + cos x 2 4 4 2 2 = sin x + cos x + cos x ・ sin x 4 2 = cos x + sin x = f ( x ) . π 1 1 ≠ 又 f ( 0) =1 、 f = + f ( 0) , 故 4 4 2 选 (B) . 2. B. 由点集 M 、 N 的几何意义易知 . 3. A. xy + 4>2 x +2 y Ζ ( x - 2) ( y -2 ) >0 Ζ x < 2 , y <2 或 x >2 , y >2 .
2008高考江苏数学试卷含附加题详细答案(全word版)
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x , ,n x的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ． 【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=【答案】102．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 【答案】112锥体体积公式 13V Sh =其中S S 为底面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π=3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ． 【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 【答案】14.A={()}2137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 ▲ ．【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()}2137x x -<-得2580x x -+<,∵Δ＜0，∴集合A 为∅ ，因此A Z 的元素不存在． 【答案】05.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ．【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a ba ab b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -= 7【答案】76.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ． 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯【答案】16π7.算法与统计的题目8.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ▲ ． 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．【答案】ln2－19在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：（ ▲ ）110x y p a ⎛⎫+-=⎪⎝⎭. 【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程． 【答案】11b c- 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．【答案】262n n -+11.已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ▲ ．【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x z y +=，代入2y xz得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．【答案】312.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ． ? ?【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c =，解得2c e a ==．13．若，则ABC S ∆的最大值 ▲． ?【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC， 根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B = 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-== 244x x-=，代入上式得ABCS ∆==由三角形三边关系有22x x+>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABCS ∆最大值【答案】14.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x-=0>()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4【答案】4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为10． （Ⅰ）求tan(αβ+)的值； （Ⅱ）求2αβ+的值．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．由条件的cos αβ==，因为α,β为锐角，所以sin αβ=因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定． （Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ． （Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.又EF CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 【解析】本小题主要考查函数最值的应用．（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ， 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<< （Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y >，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+。
2008年江苏省高考数学试卷及答案详解
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式:样本数据1x ,2x ,L ,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．4.A={()}2137x x x -<-，则A I Z 的元素的个数 ▲ ．锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ▲ ．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ▲ ．7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。
2008普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案-江苏卷
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．4.A={()}2137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 ▲ ．锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径5.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ▲ ．7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。
2008江苏高考数学试卷含答案(校正精确版)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ▲ ． 【解析】2105T ππωω==⇒=2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1，3)、(2，2)、(3，1)共3个，故316612P ==⨯ 3．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ▲ ．【解析】因()21112i i i i ++==-，故a ＝0，b ＝1，因此1a b += 4．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z I 中有 ▲ 个元素【解析】由2(1)37x x -<+得2560x x --<，(1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5A Z =I ，共有6个元素．5．已知向量a r 和b r 的夹角为0120，||1,||3a b ==r r ，则|5|a b -=r r ▲ ． 【解析】22222|5|(5)25||10||251a b a b a a b b -=-=-⋅+=⨯-r r r r r r r r 211013()3492⨯⨯⨯-+=，故|5|7a b -=r r ．6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 ▲【解析】如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P ππ⨯==⨯7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统序号i 分组 （睡眠时间） 组中值（i G ） 频数 （人数） 频率（i F ） 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.510 0.20 3 [6,7) 6.520 0.40 4 [7,8) 7.510 0.20 5 [8,9] 8.54 0.08 开始 S ←0 输入G i ，F ii ←1 S ← S ＋G i ·F ii ≥5 i ← i ＋1NY计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ 【解析】由流程图1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6.42=8．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是 ▲【解析】'1y x =，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，故b ＝ln2－1．9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为1111()()0x y b c p a -+-=，请你完成直线OF 的方程：( ▲ )11()0x y p a+-=． 【解析】画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x yb a+=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得1111()()0x y b c p a -+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．10．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 ▲【解析】前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n-个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．11．设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ▲【解析】由230x y z -+=得32x zy +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xz xz xz +++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过2(0)a P c，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ▲【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，故△OAP 是等腰直角三角形，故22a a c=，解得22c e a ==．13．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x .根据三角形的面积公式， 得S △ABC ＝12·AB ·BC sin B ＝x 1－cos 2B .①根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x .②将②代入①，得 S △ABC ＝x1－⎝⎛⎭⎫4－x 24x 2＝128－x 2－12216.由三角形的三边关系，得⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A.14．f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]，总有f (x )≥0成立，则a ＝【解】若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3．设g (x )＝3x 2－1x3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间(0，12]上单调递增，在区间[12，1]上单调递减，因此g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4．当x ＜0即x ∈[－1，0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，且g (x )在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4．二如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点．已知A ，B 两点的横坐标分别是210，255． ⑴．求tan(α＋β)的值； ⑵．求α＋2β的值．【解】⑴．由已知条件即三角函数的定义可知225cos ,cos αβ==，因α为锐角，故ABC DEF Bsin 0α>，从而sin 10α==，同理可得sin 5β==，故1tan 7,tan 2αβ==．故tan()αβ+=17tan tan 2311tan tan 172αβαβ++==---⨯g ； ⑵．132tan(2)tan[()]111(3)2αβαββ-++=++==---⨯，又0,022ππαβ<<<<，故3022παβ<+<，从而由 tan(2)1αβ+=-得，324παβ+=． 16．如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证： ⑴．直线//EF 面ACD ； ⑵．平面EFC ⊥面BCD ．【标准答案】证明：⑴．因E ，F 分别是AB BD ，的中点．故EF 是△ABD的中位线，故EF ∥AD ，因EF ∥⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，故直线EF ∥面ACD ；⑵．因AD ⊥BD ，EF ∥AD ，故EF ⊥BD ，因CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，故CF ⊥BD ，又EF∩CF=F ，故BD ⊥面EFC ，因BD ⊂面BCD ，故面EFC ⊥面BCD 17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ． ⑴．按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； （ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；⑵．请你选用⑴中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短． 【解】⑴．①．由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad)，则10cos cos AQ OA θθ==， 故10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-，故10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+≤≤；②．若OP=x (km)，则OQ ＝10－x，故OA OB ===数关系式为10)y x x =+≤≤．⑵．选择函数模型①，'2210cos cos (2010)(sin )10(2sin 1)cos cos sin y θθθθθθθ-⋅----==，令'y =0 得sin 12θ=，因04πθ<<，故θ=6π，当(0,)6πθ∈时，'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64ππθ∈时，'0y >，y 是θ的增函数，故当θ=6π时，min 10y =+．这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离ABkm 处． 18．在平面直角坐标系xOy 中，记二次函数2()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C ．⑴．求实数b 的取值范围； ⑵．求圆C 的方程；⑶．问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论．【解】⑴．令0x =，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令2()20f x x x b =++=，由题意b ≠0且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．⑵．设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=，令y ＝0得，20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ．令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1．故圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=． ⑶．圆C 必过定点，证明如下：假设圆C 过定点0000(,)(,)x y x y b 不依赖于，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为22000002(1)0x y x y b y ++-+-=(*)，为使(*)式对所有满足1(0)b b <≠的b 都成立，必须有010y -=，结合(*)式得，2200020x y x y ++-=，解得000002 11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，－，或，，，经 检验知，点(0,1),(2,1)-均在圆C 上，因此圆C 过定点．19．⑴．设12,,,n a a a L 是各项均不为零的等差数列(4n ≥)，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列： ①．当4n =时，求1a d的数值；②．求n 的所有可能值； ⑵．求证：对于一个给定的正整数(4)n n ≥，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b L ，其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列．【解】⑴．①．当4n =时， 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出0d =．若删去2a ，则2314a a a =⋅，即2111(2)(3)a d a a d +=⋅+化简得140a d +=，得14a d=-； 若删去3a ，则2214a a a =⋅，即2111()(3)a d a a d +=⋅+化简得10a d -=，得11a d=； 综上，得14a d =-或11ad=．②．当5n =时，12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去1245,,,a a a a ，否则出现连续三项．若删去3a ，则1524a a a a ⋅=⋅，即1111(4)()(3)a a d a d a d +=+⋅+化简得230d =，因0≠d ，故3a 不能删去；当6n ≥时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列12321,,,,,,n n n a a a a a a --L 中，由于不能删去首项或末项，若删去2a ，则必有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；同样若删去1n a -也有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；若删去32,,n a a -L 中任意一个，则必有121n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾．(或者说：当n ≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，4n =．⑵假设对于某个正整数n ，存在一个公差为d 的n 项等差数列12,,...,n b b b ，其中111,,x y z b b b +++(01x y z n ≤<<≤-)为任意三项成等比数列，则2111yx z b b b +++=⋅，即2111()()()b yd b xd b zd +=+⋅+，化简得221()(2)y xz d x z y b d -=+-(*)，由10b d ≠知，2y xz-与2x z y +-同时为0或同时不为0；当2y xz -与2x z y +-同时为0时，有x y z ==与题设矛盾．故2y xz -与2x z y +-同时不为0，故由(*)得212b y xz d x z y-=+-，因01x y z n ≤<<≤-，且x 、y 、z为整数，故上式右边为有理数，从而1b d 为有理数．于是，对于任意的正整数)4(≥n n ，只要1bd为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．例如n 项数列1，11+……，1(n +-满足要求．20．已知函数11()3x p f x -=，22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若⑴．求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；⑵．设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为2b a-（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -） 【解】⑴．由()f x 的定义可知，1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于12()()f x f x ≤（对所有实数x ）这又等价于12||||323x p x p --≤⋅，即312log 2||||332x p x p ---≤=对所有实数x 均成立．（*）由于121212|||||()()|||()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12||p p -，故（*）等价于12||32p p -≤，即123||log 2p p -≤，这就是所求的充分必要条件⑵．分两种情形讨论（i ）当123||log 2p p -≤时，由⑴知，1()()f x f x =（对所有实数[,]x a b ∈）则由()()f a f b =及1a p b <<易知12a bp +=，再111113,()3,p x x px p f x x p --⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的单调性可知，函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度为22a b b ab +--=（参见示意图1） （ii ）123||log 2p p ->时，不妨设12,p p <，是当1x p ≤时，有1212()33()p xp x f x f x --=<<，从1()()f x f x =；当2x p ≥时，312122122log 212()333333(x p p p x p p p x p x p f x f --+----===>=g g 2当12p x p <<时，11()3x p f x -=，及22()23p xf x -=⋅，由方程12323x p p x --=⋅，解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为12031log 222p p x +=+⑴，显然10221321[()log 2]2p x p p p p <=---<，这表明0x 在1p 与2p 之间．由⑴知，101022(),()(),p x x f x f x x x p f x ≤≤⎧=⎨<≤⎩综上可知，在区间[,]a b 上，0102(),()(),a x x f x f x x x bf x ≤≤⎧=⎨<≤⎩ （参见示意图2），故由函数1()f x 及2()f x 的单调性可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为012()()x p b p -+-，由于()()f a f b =，即12323p a b p --=⋅，得123log 2p p a b +=++⑵，故由⑴、⑵得0121231()()[log 2]22b ax p b p b p p --+-=-+-=综合（i ）（ii ）可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度和为2ab -．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）B ．选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F的方程．解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点，'''00(,)P x y 则有'0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'00'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故'0'002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y +=，故曲线F 的方程是 221x y +=C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值． 解：因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<，故1sin 2(cos sin )2sin()223S x y πφφφφφ=+=+=+=+，故当6πφ=时，S 取最大值222．【必做题】记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．解：由题设可知，以DA u u u r 、DC u u ur 、1DD u u u u r 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则有(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)D ，由1(1,1,1)D B =-u u u u r，得11(,,)D P D B λλλλ==-u u u u r u u u u r ，故11(,,)(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r11(,,)(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r ，显然APC ∠不是平角，故APC ∠为钝角等价于cos cos ,0||||PA PCAPC PA PC PA PC ∠=<>=<⋅u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r ，则等价于0PA PC <u u u r u u u r g ，即2(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<，得113λ<<，故λ的取值范围是1(,1)323．在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则，得(sin 2)24cos (sin )x x x -=-g g ，化简得等式：sin 22cos sin x x x =g ．⑴．利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1)C C C C n n n n n n n x x x x +=++++L （x ∈R ，正整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x --=+-=∑．⑵．对于正整数3n ≥，求证：①．1(1)C 0nkknk k =-=∑； ②．21(1)C 0nkk nk k =-=∑； ③．11121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【解】⑴．在等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++L 两边对x 求导得112121(1)2(1)n n n n n n n nnn x C C x n Cx nC x----+=+++-+L 移项得112[(1)1]nn k k n k n x kC x --=+-=∑（*）⑵．①．在（*）式中，令1x =-，整理得，11(1)0nk knk kC -=-=∑故1(1)0nk kn k kC =-=∑ ②．由⑴知，112121(1)2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥L 两边对x 求导，得2232(1)(1)232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x---+=+++-g L 在上式中，令1x =-23220232(1)(1)(1)n n n nC C n n C -=+-++--g L 即22(1)(1)0nkk nk k k C-=--=∑，亦即22(1)()0nkknk k k C =--=∑（1）又由（i ）知1(1)0nkknk kC =-=∑（2）由（1）+（2）得21(1)C 0nk kn k k =-=∑ ③．将等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++L 两边在[0,1]上对x 积分1101220(1)(C C C C )n n nn n n n x dx x x x dx+=++++⎰⎰L 由微积分基本定理，得11110011(1)()11nn k k n k x C x n k ++=+=++∑，故1012111n nk n k C k n +=-=++∑。
2008年江苏省高考数学试卷及部分答案
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式其中x 为样本平均数其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径 一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω 2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率3.),(11R b a bi a ii∈+-+表示为，则b a += 4.{}73)1(2-<-=x x x A ，则A Z 的元素的个数 5.b a ,的夹角为120，,3,1==b a 则=-b a 56在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ）， 随机选择了50位老人进行调查。
下表是这50位老人日睡眠时间的 频率分布表。
序号 （i ） 分组 （睡眠时间） 组中值（i G ） 频数 （人数） 频率 （i F ） 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.20 3 [6,7) 6.5 20 0.40 4 [7,8) 7.5 10 0.20 5 [8,9) 8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是。
8.直线b x y+=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b=▲ 9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程：10.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 23 456 78910。
全国高中数学联赛江苏赛区2008年初赛试题答案
全国高中数学联赛江苏赛区2008年初赛试题答案班级__________ 姓名__________一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1．如果实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22x y b +=，其中a ，b 为常数，那么m x ny +的最大值为________A 、2a b+ BCD解：由柯西不等式可得：22222()()()mx ny m n x y ab +≤++=；或三角换元即可得到：mx ny +，当m n =，x y =时，mx ny += 故选B ．2．设()y f x =为指数函数x y a =，在P (1，1)，Q (1，2)，M (2，3)，11(, )24N 四点中，函数()y f x =与其反函数1()y f x -=的图像的公共点只可能是点________ A 、P B 、Q C 、M D 、N解：取116a =，把坐标代入检验，因为1211()164=，而1411()162=，所以公共点只可能是点N ，故选D ．3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差 数列，每一纵列成等比数列，那么x y z ++=________ A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 解：第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的0.5x =，516y =，316z =，则1x y z ++=；选A ． 4．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别是222A B C ∆的三个内角的正弦值，那么________A 、111ABC ∆与222A B C ∆都是锐角三角形；B 、111A BC ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形； C 、111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形；D 、111A B C ∆与222A B C ∆都是钝角三角形．解：两个三角形的内角不能有直角；111A B C ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222A B C ∆是锐角三角形，则不妨设：122cos sin cos()2A A A π==-，122cos sin cos()2B B B π==-，122cos sin cos()2C C C π==-； 则122A A π=-，122B B π=-，122C C π=-，即1112223()2A B C A B C π++=-++，矛盾； 故选B ．5．设a ，b 是夹角为30︒的异面直线，则满足条件“a α⊆，b β⊆，且αβ⊥”的平面α，β的存 在情况是________A 、不存在B 、有且只有一对C 、有且只有两对D 、有无数对 解：任作a 的平面α，可以作无数个，在b 上任取一点M ，过M 作α的垂线b 与垂线确定的平面β垂直于α；故选D ． 二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6．设集合[]2{2}A x x x =-=和{2}B x x =<，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数即取整数部分，则A B = ________解：因为||2x <，所以[]x 的值可取2, 1, 0, 1--；当[]2x =-，则20x =无解；当[]1x =-，则21x =，所以1x =-；当[]0x =，则22x =无解；当[]1x =，则23x =，所以x所以1x =-或x =7．同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是________（结果要求写成既约分数）解：考虑对立事件，35911()6216P =-=．8．已知点O 在ABC ∆内部，220OA OB OC ++=，ABC ∆与OCB ∆的面积之比为________解：如图，ABC ∆与OCB ∆的底边相同，高是5:1；故面积比是5:1．9．与圆2240x y x +-=外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为________ 解：由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2, 0)为焦点、2x =-为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x 轴负半轴上；所以所求的轨迹方程为：28 (0)y x x =>，或0 (0)y x =<．10．在ABC ∆中，若tan tan tan tan tan tan A B A C C B =+，则22a b c +=________解：切割化弦，已知等式即：sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B A C B CA B A C B C=+， 也即sin sin sin()sin cos A B A B C C +=，即2sin sin cos 1sin A B C C =，即2cos 1ab Cc =；所以，222212a b c c +-=，故2223a b c +=．三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11．已知函数2()2f x x bx c =-++在1x =时有最大值1，0m n <<，并且[],x m n ∈时，()f x 的取值范围为11,n m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试求m ，n 的值． 解：由题意可知：2()2(1)1f x x =--+，………………………………………………5分所以()1f x ≤，所以11m≤，即1m ≥，所以()f x 在[], m n 上是单调递减的， 因此有：21()2(1)1f m m m =--+=且21()2(1)1f n n n=--+=；………………10分 所以m n 、是方程21()2(1)1f x x x=--+=的两个解， 方程即2(1)(221)0x x x ---=，解方程，得解为：1；所以1m n ≤<，故1m =，n ．………………………………………15分 12．设点A 、B 为双曲线22149x y -=上的两个动点，满足0OA OB ⋅= ； （1）求证：11OA OB+ 为定值；（2）动点P 在线段AB 上，满足0OP AB ⋅=，求证：点P 在定圆上． 证明：（1）设点A 的坐标为(cos , sin )r r θθ，B 的坐标为(cos , sin )r r θθ''''，则r OA = ，r OB '= ，而A 在双曲线上，则222cos sin ()149r θθ-=；所以2221cos sin 49rθθ=-；…………………………………………………………5分 由0OA OB ⋅= ，得OA OB ⊥，所以22cos sin θθ'=，22cos sin θθ'=；同理，222221cos sin sin cos 4949r θθθθ''=-=-'， 所以222211111154936'||||r r OA OB +=+=-=．…………………………………10分（2）由三角形面积公式，得OP AB OA OB ⨯=⨯，所以2222OP AB OA OB ⨯=⨯ ，即22222()OP OA OB OA OB ⨯+=⨯ ； 即2222211115()()()14936OP OP OP OA OB⨯+=⨯-=⨯= ；于是，2365OP =；即P 在以O 为半径的定圆上．…………15分 13．如图，平面M 、N 相交于直线l ，A 、D 为l 上两点，射线DB 在平面M 内，射线DC 在平面N内；已知BDC α∠=，BDA β∠=，CDA γ∠=，且α，β，γ都是锐角；求二面角M l N --的 平面角的余弦值（用α，β，γ的三角函数值表示）． 解：在平面M 中，过A 作DA 的垂线，交射线DB 于B 点；在平面N 中，过A 作DA 的垂线，交射线DC 于C 点； 设1DA =；则tan AB β=，1cos DB β=， tan AC γ=，1cos DC =，………………………5分 并且BAC ϕ∠=就是二面角M l N --平面角．………………………………………10分 在DBC ∆与ABC ∆中，利用余弦定理，可得等式：22222112cos tan tan 2tan tan cos cos cos cos cos BC αβγβγϕβγβγ=+-=+-， 所以，22221122tan tan cos tan tan cos cos cos cos cos βγϕβγαβγβγ=+--+ 2(cos cos cos )cos cos αβγβγ-=，…………………………………15分故得到cos cos cos cos sin sin αβγϕβγ-=．…………………………………………………20分14．能否将下列数组中的数填入33⨯的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明． （1）2，4，6，8，12，18，24，36，48； （2）2，4，6，8，12，18，24，36，72．解：（1）不能．…………………………………………………………………………………5分因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数；但是121321324112121198246812182436482322+++++++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯； 显然不是立方数；故不能．………………………………………………………10分 （2）可以．………………………………………………………………………………15分如下表表中每行、每列及对角线的积都是6323⨯．……………………………………20分。
2008年江苏省高考数学试卷及答案详解
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式:样本数据1x ,2x ,L ,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．4.A={()}2137x x x -<-，则A I Z 的元素的个数 ▲ ．锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ▲ ．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ▲ ．7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)(附答案,完全word版)
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ． 【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=【答案】102．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 【答案】112锥体体积公式 13V Sh =其中S S 为底面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π=3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ． 【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 【答案】14.A={()}2137x x x -<-，则AZ 的元素的个数 ▲ ．【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()}2137x x -<-得2580x x -+<,∵Δ＜0，∴集合A 为∅ ，因此A Z 的元素不存在．【答案】05.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ． 【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a b a a b b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -=7 【答案】76.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ． 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯【答案】16π7.算法与统计的题目8.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ▲ ． 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．【答案】ln2－19在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程： （ ▲ ）110x y p a ⎛⎫+-=⎪⎝⎭.【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程． 【答案】11b c- 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．【答案】262n n -+11.已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ▲ ．【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x z y +=，代入2y xz得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．【答案】312.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ． ? ?【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c =，解得c e a ==【答案】213．若，则ABC S ∆的最大值 ▲ ． ?【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC， 根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B = 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABCS ∆最大值【答案】14.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4【答案】4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B的横坐标分别为105． （Ⅰ）求tan(αβ+)的值； （Ⅱ）求2αβ+的值．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．由条件的cos 105αβ==，因为α,β为锐角，所以sin α=,sin 105β=因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定． （Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ． （Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.又EF CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 【解析】本小题主要考查函数最值的应用．CBPOAD（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ， 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<< （Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+。
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答：y2＝8x(x＞0)或y＝0(x＜0)．
解：由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、x＝－2为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为y2＝8x(x＞0)，或y＝0(x＜0)．
10．在∆ABC中，若tanAtanB＝tanAtanC＋tanCtanB，则＝．
答：3．
解：切割化弦，已知等式即＝＋，
同乘以cosAcosBcosC得，sinAsinBcosC＝sinC(sinAcosB＋cosAsinB)＝sin2C．
所以，ab·＝c2，故即a2＋b2＝3c2，故＝3．
三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）
11．已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c在x＝1时有最大值1，0＜m＜n，并且x∈[m，n]时，f(x)的取值范围为[，]．试求m，n的值．
解：由题f(x)＝－2(x－1)2＋1，……5分
∴f(x)≤1，∴≤1，即m≥1，∴f(x)在[m，n]上单调减，
∴f(m)＝－2(m－1)2＋1＝且f(n)＝－2(n－1)2＋1＝．.……10分
∴m，n是方程f(x)＝－2(x－1)2＋1＝的两个解，方程即(x－1)(2x2－2x－1)＝0．
解方程，得解为1，，，.．
A．PB．QC．MD．N
答：[D]
解：由于指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数为对数函数y＝logax，而对数函数经过(1，0)，故不可能经过P、Q．又若经过M，则3＝a2a＝，但y＝log2≠3．
取＝aa＝，而log＝．∴公共点只可能是点N．选D．
1
2
0.5
1
3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( )
A．1B．2C．3D．4
答：[A]
解：第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的x＝0.5，y＝，z＝，则x＋y＋z＝1．选A．
4．如果∆A1B1C1的三个内角的余弦值分别是∆A2B2C2的三个内角的正弦值，那么( )
A．∆A1B1C1与∆A2B2C2都是锐角三角形
B．∆A1B1C1是锐角三角形，∆A2B2C2是钝角三角形
C．∆A1B1C1是钝角三角形，∆A2B2C2是锐角三角形
D．∆A1B1C1与∆A2B2C2都是钝角三角形
答：[B]
解：两个三角形的内角不能有直角；∆A1B1C1的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若∆A2B2C2是锐角三角形，则不妨设
cosA1＝sinA2＝cos(－A1)，cosB1＝sinB2＝cos(－B1)，cosC1=sinC2=cos(－C1)．
2008年全国高中数学联赛江苏赛区
初赛试题参考答案及评分标准
一、选择题（本题满分30分，每小题6分）
1．如果实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为常数，那么mx＋ny的最大值为( )
A．B．C．D．
答：[B]
解由柯西不等式(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab；
二、填空题(本题满分50分，每小题10分)
6．设集合A＝{x|x2－[x]＝2}和B＋{x||x|＜2}，其中符号[x]表示不大于x的最大整数，则A∩B＝．
答：A∩B＝{－1，}．
解：∵|x|＜2，[x]的值可取－2，－1，0，1．
当[x]=－2，则x2＝0，无解；当[x]＝－1，则x2＝1，∴x＝－1；
则A1＝－A2，B1＝－B2，C1＝－C2．即A1＋B1＋C1＝－(A1＋B1＋C1)，矛盾．选．
5．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“aα，bβ，且α⊥β”的平面α，β( )
A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对
答：[D]
解：任作过a的平面α，可以作无数个．在b上任取一点M，过M作α的垂线，b与垂线确定的平面β垂直于α．选D．
∵1＜m＜n，∴m＝1，n＝．……15分
12．A、B为双曲线－＝1上的两个动点，满足·＝0．
(I)求证：＋为定值；
(II)动点P在线段AB上，满足·＝0，求证：点P在定圆上．
证：(I)设点A的坐标为(rcosθ，rsinθ)，B的坐标为(rcosθ，rsinθ)，
则r＝||，r＝||．A在双曲线上，则r2(－)＝1．
当[x]=0，则x2＝2无解；当[x]＝1，则x2＝3，∴x＝．
∴x＝－1或．
7．同时投掷三颗骰子，至少有一颗骰子掷出6点的概率是(结果要求写成既约分数)．
答：．
解考虑对立事件，P＝1－()3＝．.
8．已知点O在∆ABC内部，＋2＋2＝．∆ABC与∆OCB的面积之比为．
答：5∶1．
解由图，∆ABC与∆OCB的底边相同，高的比是5∶1.故面积比是5∶1．
所以＝－．……5分
由·＝0得⊥，所以cos2θ＝sin2θ，cos2θ＝sin2θ．
同理，＝－＝－．
所以，＋＝＋＝－＝．……10分
(II)由三角形面积公式，得||·||＝||·||，所以||2·||2＝||2·||2．
mx＋ny≤，当m＝n＝，x＝y＝时，mx＋ny＝.选B.
又解：三角换元：令m＝cosα，n＝sinα，x＝cosβ，y＝sinβ．
则mx＋ny＝cos(α－β)≤．
2．设y＝f(x)为指数函数y＝ax．在P(1，1)，Q(1，2)，M(2，3)，N(，)四点中，函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的图像的公共点只可能是点( )