两条平行直线间的距离
平行线间的距离公式
的距离公式
点到直线的距离公式 一般地，点 P(x0，y0) 到直线 l：Ax＋By＋C＝0
的距离 d 的公式是
d | Ax0 By0 C | A2 B2
在使用该公式前，须将直线方程化为一般 式A．=0或B=0时，此公式也成立．
求平行线 2x–7y＋8＝0 和 2x–7y–6＝0 的距离． 解：在直线 2x–7y–6＝0 上任取一点，如P(3，0) ，
求平行线 x＋3y–4＝0 和 2x＋6y–9＝0 的距离． 解：将两方程中 x、y的系数化成对应相等的形式，得
2x＋6y–8＝0 和 2x＋6y–9＝0 因此， d | 8 9 | 10 ．
22 62 20
求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
求与直线3x–4y–20＝0平行且距离为3的直线方程． 解：根据题意，可设所求直线方程为3x–4y+m＝0，
则两条平行线的距离就是
点 P(3，0) 到直线2x–7y＋8＝0的距离．
因此，
y
d | 23708| 22 (7)2
–4
14 53 ． 53ຫໍສະໝຸດ 2 1 O 12 3 x求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
y P l1 怎样求任意两条平行线的距离呢？
Q l2
Ax0 By0 C1
PQ C1 C2 A2 B2
两条平行线的距离公式 一般地，两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0 和l2：
Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d 的公式是
d | C1 C2 | A2 B2
用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数 化为对应相同的形式。
所以PP ′⊥l，点P和P ′到直线l 的距离相等.
两条平行直线之间的距离公式
两条平行直线之间的距离公式平行直线是平面中相互平行的两条线，在数学中，两条平行直线之间的距离具有重要的计算意义，是很多数学问题中的重要的研究内容。
在四边形、椭圆、圆等多边形中，这种距离也是计算面积的先决条件之一。
本文将讨论如何求取两条平行直线之间的距离，以及如何利用这种距离来解决数学问题。
一、两条平行直线之间的距离公式首先，我们来看一下两条平行直线之间的距离公式。
一般来说，如果两条直线是平行的，那么它们之间的距离等于两条直线上两点的连线的垂直距离，即：距离 = |P1P2|其中，P1、P2分别是两条直线上任意两点坐标。
二、两条平行直线之间的距离求解要求出两条平行直线之间的距离，可以采用以下几种方法：（1）极长法。
极长法是一种比较常用的求解两条平行直线之间距离的方法，它需要求出两条直线上的任意两点的坐标，再求出这两个点的连线的垂直距离即可求出两条直线的距离。
（2）几何法。
几何法是一种求两条平行直线之间距离的比较简便的方法，只要已知一条直线上任意点坐标和该直点与另一条直线的夹角，就可以求出两条直线之间的距离。
三、两条平行直线之间的距离应用两条平行直线之间的距离公式不仅在几何中有着重要的研究价值，在很多数学问题中，它也被广泛应用。
例如，在用于求四边形、椭圆、圆等多边形面积时，求出两条平行直线之间的距离即可求出该多边形的面积。
此外，考虑任意四边形的每一条边都是两条然不同的平行直线，当知道这四条边时，可以通过求出每一条边之间的距离，来判断该四边形是否为正方形或矩形，这种方法可以用在建筑学等领域。
四、结论通过本文，我们得出结论：两条平行直线之间的距离可以通过极长法和几何法分别求取，而求取的距离可以用来计算多边形的面积、判断四边形是否为正方形或矩形等。
总之，两条平行直线之间的距离极其重要，是很多数学问题解决的关键。
两直线平行的距离公式
两直线平行的距离公式在平面几何中，直线是由一组满足一定条件的点组成的。
直线可以用不同的方程形式表示，如一般式、点斜式、截距式等。
两个平行的直线在平面上永远保持着相同的方向，从始至终都保持着相同的距离。
因此，计算两个平行直线之间的最短距离成为了一个重要问题。
设有两直线L1和L2，它们的斜率分别为m1和m2、如果这两条直线平行，那么它们的斜率相等。
即m1=m2、这也是判定两直线是否平行的一个重要条件。
在有些情况下，直线可能垂直于坐标轴，此时斜率不存在。
但是，我们仍可以利用其他基本几何知识和技巧计算它们之间的距离。
最经典的方法是使用向量。
向量是用来表示方向和大小的量。
我们可以用向量来表示两个直线的方向，然后计算它们之间的距离。
设有一点A 在直线L1上，另一点B在直线L2上。
连接A和B两点的向量为v，它的模长表示两直线之间的距离。
首先，我们需要找到一个直线上的向量，如直线L1，然后将它的起点放在另一直线的一点上，如L2上的点B。
然后，我们可以利用向量代数中的减法来获得向量v。
根据向量的定义，v=A-B，其中A和B分别是直线L1和L2上的点。
接下来，我们计算向量v的模长，即，v，它表示了两直线之间的距离。
然而，这种方法需要我们知道两条直线上的具体点。
在实际应用中，我们往往只知道直线的方程而不知道具体的点。
因此，我们需要使用另一种方法。
考虑直线的一般方程Ax+By+C=0。
对于两直线L1和L2，它们的方程可以分别表示为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0。
保持两直线平行的一个重要条件是它们的法向量相同。
设n=(A,B)为两直线的法向量。
由于两直线平行，它们的法向量相等，即n1=n2=(A,B)。
通过比较系数，我们可以得到以下关系：A1/A2=B1/B2=C1/C2、根据这个关系，我们可以解出两传统方程之间的一个比例关系。
假设A1/A2=B1/B2=k。
将k代入其中一个方程中，我们可以求得一个变量并用于求另一个变量。
空间两平行直线距离公式
空间两平行直线距离公式
空间中两平行直线的距离公式可以通过向量的方法来求解。
设空间中两平行直线分别为。
l1: r = a + λu.
l2: r = b + μv.
其中a和b分别为两直线上的已知点，u和v分别为两直线的方向向量，λ和μ为参数。
两直线的距离可以通过以下公式来计算：
d = |(a b) · n| / |n|。
其中n为u和v的叉乘向量，×表示向量的叉乘，·表示向量的点乘。
|a b|表示向量a b的模，|n|表示向量n的模。
这个公式的推导可以通过将直线l1上的任意点p1投影到直线l2上得到p2，然后计算向量p1p2的模来得到。
另外，也可以通过
点到直线的距离公式来推导得到。
需要注意的是，如果两直线不平行，那么它们之间的距离为0。
两条平行直线间的距离
32 42
总结升华：
求两平行直线间的距离可以利用距离公式，也 可以根据几何意义，借助几何直观背景发挥形 象思维优势，常常可得到简洁优美的解法.
32 42
两条平行直线间的距离
【变式训练】
方法二：
设原点到直线l1 l2的距离分别为d1 ,d2 ，则
即d2 -d1为所求. 15
10
所以 d2 d1
32 42
1. 32 42
方法三： 利用公式 d
C1 C2
(10) (15)
1.
A2 B2
设 P0( x0, y0 ) 是直线 Ax By C2 0 上任一点，
则点P0到直线Ax By C1 0 的距离为
d Ax0 By0 C1
A2 B2
又 Ax0 By0 C2 0
即 Ax0 By0 C2 ，∴d＝
C1 C2 A2 B2
两条平行直线间的距离
【典型例题】
求两平行线 l1 : 2x 3 y 8 0, l2 : 2x 3 y 10 0 ， 求l1与l2间的距离.
解： l1 ∥ l2 ，又 C1 8, C2 10 .
由两平行线间的距离公式得
8 (10) 2 13
d
22 32
知识点——
两条平行直线间 的距离
两条平行直线间的距离
【两平行线间的距离公式】
已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为 l1 ：Ax By C1 0，
l2 ：Ax By C2 0 ，
则l1与l2的距离为 d C1 C2 A2 B2
两条平行直线直线间的距离
两条平行直线间的距离
+2
2
×
= −1
+1
3
−1
−2
−
3
×
+
2
2
33
= − 13
4
= 13
设对称点为M′(a，b)，则
设m与l的交点为N，则由
+2
+0
−
3
×
+
2
2
−0
2
×
= −1
−2
3
1=0
6
解得
= 13
30
= 13
即M′
6 30
,
13 13
2 − 3 + 1 = 0
第
二
章
直线和圆的方程
2.3.4两条平行直线间的距离
一、复习回顾
两点间的距离公式
已知平面内两点 P1 ( x1 ,y1 )，P2 ( x2 ,y2 ) ，
2
2
|=
(
x
x
)
(
y
y
)
则 |PP
1 2
2
1
2
1 .
点到直线的距离公式 点 P ( x0 ,y0 ) 到直线 l：Ax+By+C = 0 的距离
分析：在 l1 上选取一点，如 l1 与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这
点到 l2 的距离，即 l1 与 l2 间的距离.
解：先求 l1 与 x 轴的交点 A 的坐标. 容易知道，点 A 的坐标为（4，0）.
点 A 到直线 l2 的距离 d
| 6 4 21 0 1|
两条平行直线距离公式
两条平行直线距离公式平行直线是指在同一平面内且永不相交的两条直线。
在平行直线之间的距离是垂直于平行直线的任意一条线段与这两条平行直线之间的最短距离，通常用d表示。
要计算平行直线之间的距离，我们可以利用平行线的性质和几何知识得到不同的公式。
方法一：平行线之间的距离等于它们之间任意一点到另一条线的垂直距离。
假设我们有两条平行直线L1和L2、我们可以选择一条直线，比如L1，然后找到与L2垂直的线段，将其与L2的交点标记为A。
然后，我们选择L1上的另一点B，并连接点A和点B。
这条线段AB就是垂直于L1且与L2相交的线段。
根据勾股定理，我们可以计算出线段AB的长度，该长度就是平行直线L1和L2之间的距离。
方法二：平行线之间的距离等于它们之间任意一点到另一条线的距离。
假设我们有两条平行直线L1和L2、我们可以选择线上的两个点A和B，其中A在L1上，B在L2上，然后连接线段AB。
根据实数的性质，两个平行直线之间的距离就是线段AB的长度。
这种方法的思想是，我们可以利用平行线的性质，将问题转化为直线间的距离问题。
方法三：平行线之间的距离等于它们之间任意一点到另一条直线的距离。
假设我们有两条平行直线L1和L2、我们可以选择一条直线，比如L1，然后找到L2上的一点A。
然后，我们找到与点A在L1上垂直的线段，将与L1相交的点标记为B。
接下来，我们选择L2上的另一点C，并连接线段BC。
根据勾股定理，线段BC的长度就是平行直线L1和L2之间的距离。
这种方法的关键是找到与L1上的一点在L2上垂直的线段，并将其与L2相交的点连接起来。
方法四：平行线之间的距离等于它们之间任意一点到另一条直线的距离的绝对值。
假设我们有两条平行直线L1和L2、我们可以选择一条直线，比如L1，然后找到L1上的一点A。
然后，我们找到与点A在L2上垂直的线段，将与L1相交的点标记为B。
线段AB的长度就是平行直线L1和L2之间的距离的绝对值。
这种方法的思想是，利用平行线之间的对应关系，将问题转化为点和直线的距离问题。
两条平行直线间的距离公式
两条平行直线间的距离公式两条平行直线距离公式：若两直线分别为Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0，则距离为|C1-C2|/√ (A²+B²)。
两条平行直线间的距离公式 1定义两条平行直线间的距离公式 1是指夹在两条平行直线间上午公垂线段的长。
夹在两条平行直线间公垂线段的长处处相等。
公式若两直线分别为Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0，则距离为|C1-C2|/√ (A²+B²)。
判断两条直线平行的方法1.同位角相等，两直线平行。
2.内错角相等，两直线平行。
3.同旁内角互补，两直线平行。
4.平面内永不相交的两直线平行。
5.平面内等距的两条直线平行。
6.在直角坐标系中，斜率相等或同时不存在的两直线平行。
两条直线相互垂直的条件两条直线在同一平面内1、如果斜率为k1和k2，那么这两条直线垂直的充要条件是k1·k2=－12、如果一直线不存在斜率，则两直线垂直时，一直线的斜率必然为零。
3、两直线垂直的充要条件是：A1A2+B1B2=0.如果是几何，那就证明两条线所形成的角是90度、勾股定理或是圆周角的性质。
不在同一平面内1、两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
2、线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线，一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边。
3、三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
4、三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
两直线平行求距离的公式
两直线平行求距离的公式在平面几何中，两条平行直线之间的距离是两条直线上任意一点的垂直距离。
下面将从不同的角度来探讨两条平行直线之间距离的公式。
1.两条平行直线的一般公式设两条直线分别为L1和L2，其斜率分别为k1和k2，并且这两条直线的斜率是相等的，即k1=k2、如果两条直线分别过点P1(x1,y1)和点P2(x2,y2)，则P1P2即为两条直线的距离。
根据两点之间的距离公式，P1P2的距离可以表示为：P1P2=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)2.两条直线的点斜式方程两条平行直线的一般表达式可以写成点斜式方程，其中k为直线的斜率，b为直线的截距。
L1的方程为：y = kx + b1L2的方程为：y = kx + b2由于两条直线平行，它们的斜率相等，即k1=k2=k。
3.两条直线的距离公式为了求解两条平行直线之间的距离，我们需要找到两条直线上的垂直距离。
首先，选择任意一点P(x, y)在L1上，其坐标为(x, kx + b1)；同样，选择任意一点Q(x, y)在L2上，其坐标为(x, kx + b2)。
然后，我们可以计算两点P和Q之间的距离：PQ = √((x - x)² + (kx + b2 - kx - b1)²)= √((kx + b2 - kx - b1)²)=，b2-b1因此，两条平行直线L1和L2之间的距离可以表示为：L1L2=，b2-b14.利用点斜式方程求解距离考虑两个特殊情况：a.当L1和L2的截距都存在时:两条直线的方程为：y = kx + b1 和 y = kx + b2垂直距离为：，b2-b1b.当L1和L2的截距不存在时，即b1和b2均为无穷大：两条直线的方程变为：y = kx 和 y = kx垂直距离为：0综上所述，两条平行直线之间的距离公式为：L1L2=，b2-b1注意：上述公式适用于在平面上的两条直线。
如果是在空间中的两条平行直线，距离的计算需要利用向量的方法进行推导。
空间两平行直线间的距离公式
空间两平行直线间的距离公式在欧几里得几何中，空间中的两条直线要么相交，要么平行。
当两条直线平行时，可以通过计算它们之间的距离来衡量它们之间的远近。
空间中两平行直线的距离可以使用向量的方法进行推导，下面将详细介绍。
设空间中的两条直线分别为l1和l2，它们的方向向量分别为d1和d2，直线上的一点分别为P1和P2，我们要求的是l1和l2之间的距离d。
为了方便起见，我们可以考虑将P1和P2两点分别作为直线l1和直线l2上的原点，那么我们可以表示直线l1和l2上的点为向量形式，即P1 + td1和P2 + sd2，其中t和s为实数。
由于直线l1和直线l2平行，且它们的方向向量不为零，所以我们可以得到以下两个关系式：1.(P1P2)·n=02.d1·n=d2·n=0其中，(P1P2)表示向量P1P2的点积，n表示直线l1和l2的方向向量d1和d2的叉积。
我们先来推导第一个关系式：(P1P2)·n=(P2-P1)·n=0展开得：(P2-P1)·n=0P2·n-P1·n=0P2·(d1×d2)-P1·(d1×d2)=0(P2·d1)×d2-(P1·d1)×d2=0(P2·d1-P1·d1)×d2=0由于d1×d2≠0，所以有：P2·d1-P1·d1=0P2·d1=P1·d1我们得到了第一个关系式。
接下来我们来推导第二个关系式。
由于直线l1和l2平行，所以直线l1上的任意一点P3和直线l2上的任意一点P4之间的距离为一个常数K：P3P4=K(P1 + td1)(P2 + sd2) = K展开得：P1P2 + (tP1d2 + sP2d1) + tssd2 = K由于t和s为实数，所以根据多项式的性质，上式中所有项的系数为0：tP1d2+sP2d1=0tP1·d2+sP2·d1=0(P1·d2)·t+(P2·d1)·s=0由于t和s是实数，所以有：P1·d2=0P2·d1=0我们得到了第二个关系式。
第二章 §2.3 2.3.4 两条平行直线间的距离
2.3.4 两条平行直线间的距离 学习目标 1.理解两条平行线间的距离公式的推导.2.会求两条平行直线间的距离． 导语前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的．一、两条平行直线间的距离问题1 已知两条平行直线l 1，l 2的方程，如何求l 1与l 2间的距离？提示 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l 1上取任一点P (x 0，y 0)，点P (x 0，y 0)到直线l 2的距离就是直线l 1与直线l 2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离．问题2 怎样求两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离？ 提示 在直线Ax ＋By ＋C 1＝0上任取一点P (x 0，y 0)，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C 2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d ＝|Ax 0＋By 0＋C 2|A 2＋B 2， 因为点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C 1＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C 1＝0，即Ax 0＋By 0＝－C 1，因此d ＝|Ax 0＋By 0＋C 2|A 2＋B 2＝|－C 1＋C 2|A 2＋B 2＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 知识梳理1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．2．公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为0，C 1≠C 2)之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 注意点：(1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离．(2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x ，y 的系数分别对应相同．例1 (1)(教材P78例7改编)求两平行直线l 1：3x ＋5y ＋1＝0和l 2：6x ＋10y ＋5＝0间的距离．解 由题意，将l 2的方程化为3x ＋5y ＋52＝0， 所以d ＝⎪⎪⎪⎪1－5232＋52＝3234＝33468. (2)若倾斜角为45°的直线m 被直线l 1：x ＋y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0所截得的线段为AB ，则AB 的长为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 B解析 由题意，可得直线m 与直线l 1，l 2垂直，则由两平行线间的距离公式， 得|AB |＝|－1＋3|12＋12＝ 2. 反思感悟 求两条平行直线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．(2)公式法：设直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则两条平行直线间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 跟踪训练1 已知直线5x ＋12y －3＝0与直线10x ＋my ＋20＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 答案 A解析 由两条直线平行可得510＝12m，解得m ＝24. 则直线10x ＋24y ＋20＝0，即5x ＋12y ＋10＝0，由两条平行直线间的距离公式得d ＝|－3－10|52＋122＝1. 二、由平行直线间的距离求参数例2 已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是________．答案 2x －y ＋1＝0解析 方法一 由题意可设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c －(－1)|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|，解得c ＝1，则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.方法二 由题意知l 必介于l 1与l 2中间，故设l 的方程为2x －y ＋c ＝0，则c ＝3＋(－1)2＝1. 则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.反思感悟 由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题．跟踪训练2 (多选)若直线x －2y －1＝0与直线x －2y －c ＝0的距离为25，则实数c 的值为( )A ．9B ．－9C ．11D ．－11答案 BC解析 ∵直线x －2y －1＝0与直线x －2y －c ＝0的距离为25，∴|－1＋c |5＝25， 解得c ＝11或c ＝－9.三、平行直线间的距离的最值问题例3 两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，并且各自绕着A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d .求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．解 (1)如图，显然有0<d ≤|AB |.而|AB|＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310.故所求的d的变化范围为(0,310]．(2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．而k AB＝2－(－1)6－(－3)＝13，所以所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.反思感悟应用数形结合思想求最值(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．跟踪训练3已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．答案x＋2y－3＝0解析当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)．所以k AB＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为－12，所以直线l1的方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.1．知识清单：(1)两条平行线间的距离．(2)两条平行线间的距离最值问题．2．方法归纳：数形结合法、解方程(组)法．3．常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x ，y 的系数分别对应相同．1．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 B2．两条直线y ＝32x ,6x －4y ＋13＝0之间的距离为( ) A.13 B.132 C.134 D ．13答案 B解析 两条直线的方程分别为3x －2y ＝0,3x －2y ＋132＝0， 所以两条直线之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪13232＋22＝132. 3．P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95B.185C.2910D.295答案 C解析 易知直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0平行，故|PQ |的最小值即两平行直线间的距离， 故d ＝⎪⎪⎪⎪52＋125＝2910. 4．两平行直线l 1：x ＋2y ＋20＝0与l 2：x ＋2y ＋c ＝0间的距离为25，则c 等于( )A．0或40 B．10或30 C．－20或10 D．－20或40 答案 B|20－c|＝25，解析由题意可得，12＋22即|20－c|＝10，解得c＝10或c＝30.课时对点练1．平行直线l 1：3x －y ＝0与l 2：3x －y ＋10＝0的距离等于( )A ．1B ．0 C.10 D ．3答案 A解析 l 1，l 2的距离为d ＝|10－0|32＋12＝1.2．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是( )A.213 B.113 C.126 D.526答案 C解析 5x ＋12y ＋3＝0可化为10x ＋24y ＋6＝0.由平行线间的距离公式可得d ＝|6－5|102＋242＝126.3．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是() A ．4 B.21313 C.51326 D.71326答案 D解析 因为3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，所以3∶2＝6∶m ，所以m ＝4.直线6x ＋4y ＋1＝0可以转化为3x ＋2y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式可得d ＝⎪⎪⎪⎪12－(－3)32＋22＝7213＝71326.4．(多选)到直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程可能为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0 D. 2x ＋y ＋2＝0答案 CD解析 因为所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0的距离为55，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，则d ＝|c －1|22＋12＝55， 解得c ＝0或c ＝2，故所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0.5．(多选)若两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25，则m ＋n 的可能值为( )A ．3B ．－17C ．－3D ．17 答案 AB解析 由题意，n ≠0，－2n ＝12，所以n ＝－4， 所以l 2：2x －4y －6＝0，即x －2y －3＝0， 由两平行直线间的距离公式得|m ＋3|12＋(－2)2＝25， 解得m ＝7或m ＝－13，所以m ＋n ＝3或m ＋n ＝－17.6．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823 C. 3 D.833答案 B解析 由题意知，直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行， 则3＝a (a －2)，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1，当a ＝3时，直线l 1：x ＋3y ＋6＝0与l 2：x ＋3y ＋6＝0重合；当a ＝－1时，直线l 1：x －y ＋6＝0与l 2：x －y ＋23＝0平行， 两直线之间的距离为⎪⎪⎪⎪6－232＝823.7．与三条直线l 1：x －y ＋2＝0，l 2：x －y －3＝0，l 3：x ＋y －5＝0可围成正方形的直线方程为________．答案 x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0解析 易知l 1∥l 2，且它们之间的距离d ＝|2－(－3)|2＝522. 设所求直线为l 4，则l 4∥l 3，所以可设l 4：x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋5|2＝522， 解得c ＝0或－10，所以所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0.8．若直线l 1：y ＝kx ＋1与直线l 2关于点(2,3)对称，则直线l 2恒过定点______，l 1与l 2的距离的最大值是______．答案 (4,5) 4 2解析 ∵直线l 1：y ＝kx ＋1经过定点(0,1)，又两直线关于点(2,3)对称，则两直线经过的定点也关于点(2,3)对称，∴直线l 2恒过定点(4,5)，∴l 1与l 2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为(4－0)2＋(5－1)2＝4 2.9．(1)求平行于直线3x ＋4y －2＝0，且与它的距离是1的直线方程；(2)求垂直于直线x ＋3y －5＝0且与点P ( －1,0)的距离是3105的直线方程． 解 (1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 由题意知|m ＋2|32＋42＝1， 解得m ＝3或－7，所以所求直线方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝0.(2)设所求直线方程为3x －y ＋c ＝0，由题意，可得点P 到直线的距离等于3105， 即d ＝|－3＋c |10＝3105， 解得c ＝9或c ＝－3，所以所求直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.10．设直线l 1：x －2y －1＝0与l 2：(3－m )x ＋my ＋m 2－3m ＝0.(1)若l 1∥l 2，求l 1，l 2之间的距离；(2)若直线l 2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l 2的方程． 解 (1)若l 1∥l 2，则m ≠0， ∴12＝－3－m m ，∴m ＝6， ∴l 1：x －2y －1＝0，l 2：x －2y －6＝0，∴l 1，l 2之间的距离d ＝51＋4＝ 5. (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m ＞0，∴0＜m ＜3， 直线l 2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S ＝12m (3－m )＝－12⎝⎛⎭⎫m －322＋98， ∴当m ＝32时，S 的最大值为98， 此时直线l 2的方程为2x ＋2y －3＝0.11．已知直线l 1：mx ＋2y －4－m ＝0(m >0)在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 1与直线l 2：x ＋y －1＝0间的距离为( )A.22 B. 2 C.22或 2 D ．0或 2答案 B解析 ∵直线l 1：mx ＋2y －4－m ＝0(m >0)在x 轴、y 轴上的截距相等， ∴m ＋4m ＝m ＋42，∴m ＝2， ∴直线l 1：2x ＋2y －4－2＝0，即x ＋y －3＝0，则直线l 1与直线l 2：x ＋y －1＝0间的距离为|－1＋3|2＝ 2.12．(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为()A．1 B．3 C．5 D．7答案ABC解析当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的最大距离为|PQ|＝(－1－2)2＋[3－(－1)]2＝5，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5]．13．直线l1，l2分别过点M(1,4)，N(－3,1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是()A．5 B．4 C.13 D．3答案 A解析根据题意画出图象，如图所示，根据图象可得当l1∥l2，且l1⊥MN，l2⊥MN时，l1与l2之间的距离为|MN|；当l1∥l2，但是l1与MN不垂直，l2与MN不垂直时，过M点向l2引垂线，垂足为P，则l1与l2之间的距离为|MP|；因为|MN|>|MP|，所以d max＝|MN|＝[1－(－3)]2＋(4－1)2＝5.14．若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则该直线的倾斜角大小为________．答案15°或75°解析由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝|3－1|＝2，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，2即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.15.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为_______________．答案 x ＋y －3＝0解析 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b ,0)，C (0，b )．所以AD ＝2，BC ＝2b .梯形的高h 就是两平行直线l 1与l 2的距离，故h ＝|b －1|2＝b －12(b >1)， 由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， 所以b 2＝9，b ＝±3.又b >1，所以b ＝3.所以所求直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.16．已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，且l 1和l 2的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5？若能，求出P 点坐标；若不能，请说明理由．解 (1)l 2的方程即为2x －y －12＝0， ∴l 1和l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋(－1)2＝7510， ∴⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72. ∵a >0，∴a ＝3.(2)设点P (x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1和l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上， 且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或c ＝116. ∴2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0. 若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式，得 |2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， ∴x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.∵点P 在第一象限，∴3x 0＋2＝0不符合题意．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得x 0＝－3，y 0＝12，应舍去． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得x 0＝19，y 0＝3718. 所以P ⎝⎛⎭⎫19，3718即为同时满足三个条件的点．。
高中数学必修二 3.3.4 两条平行直线间的距离
=
10 5
=
2.
错因分析:错解中,未把 l2 的方程化为 3x+4y+m=0 的形
式而导致出错.
正解:l2:12x+16y-8=0 可化为 3x+4y-2=0,
则所求距离 d=
|2-(-2本节结束，谢谢观看！
不妨取点������
0,
5 4
,
则点 P 到直线 l2:6x+8y-9=0 的距离即为两条平行直线
间的距离.
因此 d=
0×6+8×54-9 62 +82
= 1.
10
方法二:把
l2:6x+8y-9=0
化为
3x+4y−
9 2
=
0,
则两条平行直线间的距离 d=
-5- -92 32 +4 2
= 1.
10
题型一 题型二 题型三
d=
|������ ������ 0 +������������0 +������2 | ������2 +������ 2
=
|-������1 +������2 | ������2 +������ 2
=
|������1 -������2 | ������2 +������ 2
,
即直线 l1,l2 间的距离 d=
所以所求的距离
d=
|3×2+4×1-15| 32 +4 2
=
1.
方法二:直线l1,l2的方程可化为3x+4y-10=0,3x+4y-15=0,
则两条平行直线间的距离为
d=
|-10-(-15)| 32 +4 2
两条平行直线之间的距离公式
两条平行直线之间的距离公式
在平面几何中，平行直线是指在同一个平面上从任一方向无论延长多少条直线都不会相交的直线。
两条平行直线之间的距离是指从一条直线上的一点到另一条直线上的距离。
下面我们将介绍两条平行直线之间的距离公式。
平行直线的特点是斜率相等，两条直线之间的距离可以通过任意选择两个相应点的距离来计算。
为了方便计算，我们可以假设两条平行直线的方程分别为y=a₁x+b₁和y=a₂x+b₂，其中a₁=a₂。
为了求解两条平行直线之间的距离，我们可以选择将两条直线上的点分别用坐标轴表示。
假设点A(xi, yi)在直线L₁上，点B(xj, yj)在直线L₂上。
则直线L₁与直线L₂的距离可以表示为线段AB的长度d。
要计算d，我们可以使用两点间距离公式。
根据两点间距离公式，线段AB的长度d可以表示为：
d = √((xi-xj)²+(yi-yj)²)
其中，xi和xj分别代表点A和点B在x轴上的坐标，yi和yj分别代表点A和点B在y轴上的坐标。
这个公式是根据勾股定理得出的，根据勾股定理，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
将直线L₁和直线L₂分别看作是直角三角形的直角边，线段AB看作是直角三角形的斜边，可以利用勾股定理推导出上述公式。
在实际应用中，我们可以使用这个公式来计算两条平行直线之间的距离。
例如，在城市规划中，我们可能需要计算两条平行道路之间的距离，
以确定合适的道路宽度。
在建筑设计中，我们可能需要计算两条平行墙壁之间的距离，以确定合适的房间大小。
这个公式也可以用于解决其他与平行直线距离相关的数学问题。
两直线平行求距离的公式
两直线平行求距离的公式假设我们有两个平行直线L1和L2，它们的方向向量分别为v1和v2，并且通过两直线上的点A和B。
我们需要计算的是点A到直线L2的距离。
首先，我们可以找到直线L1的一般方程，该方程可以表示为Ax+By+C1=0，其中A、B和C1是常数。
由于直线L1与L2平行，它们的法向量是相同的。
因此，L2的一般方程可以表示为Ax+By+C2=0，其中C2是常数。
我们知道直线上的任意点A(x1,y1)可以表示为A=v1t+A0，其中A0是直线L1上的任意点，t是参数。
同样地，直线L2上的点B(x2,y2)可以表示为B=v2t+B0，其中B0是直线L2上的任意点。
我们要计算的是点A到直线L2的距离，我们可以利用向量AB和直线L2的法向量来计算。
向量AB可以表示为AB=B-A，即AB=(v2t+B0)-(v1t+A0)。
两个向量的数量积等于零，即AB·n=0。
其中n是直线L2的法向量。
展开这个数量积，我们得到[(v2t+B0)-(v1t+A0)]·n=0。
将v1和v2都表示为向量的形式，我们得到[(v2t+B0)-(v1t+A0)]·n=0。
通过展开和重新排列项，我们可以得到[(v2-v1)·t+(B0-A0)]·n=0。
展开这个数量积，我们得到[(v2-v1)·t]·n+(B0-A0)·n=0。
由于v1和v2是平行的，它们的内积为零。
因此，我们有[(v2-v1)·t]·n=0。
我们可以将上述方程重新写成[(v2-v1)·n]t+(B0-A0)·n=0。
在方程的两边同时乘以t，我们得到[(v2-v1)·n]t^2+(B0-A0)·n·t=0。
上述方程是一个二次方程，我们可以利用二次方程的性质来求解。
首先，我们可以计算方程的判别式D=[(v2-v1)·n]t^2+(B0-A0)·n·t。
两条平行直线间的距离公式
l2
问题1 如何求两条平行直线间的距离？
追问1：两条平行直线间的距离的定义？
l1
追问2：如何确定公垂线段长？
l2
问题1 如何求两条平行直线间的距离？ 追问1：两条平行直线间的距离的定义？ 追问2：如何确定公垂线段长？
l1
A
l2
追问3：将两条平行直线放入平面直角坐标系中，已 知它们的方程，如何求它们之间的距离？
解得交点D的坐标为(1,1) .
例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是 l1 : x 4 y 5 0, l2 : 2x y 8 0, l3 : x 4 y 14 0, l4 : 2x y 1 0, 求□ABCD的面积.
由交点C的坐标为 (3, 2) ， D的坐标为 (1,1) .
所以，d | Ax0 By0 C2 | , A2 B2
PP( x0 , y0 )
| C1 C2 | , A2 B2
问题2 如图，已知两条平行直线 l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0 ，求 l1,l2 间的距离 d.
所以，d | Ax0 By0 C2 | , A2 B2
A2 B2
32 42
例1 求下列两条平行直线间的距离.
（2）l1 : 2x 7 y 8 0 ，l2 : 6x 21y 1 0.
追问1：两条直线是平行的吗？
l1
:
y
2 7
x
8 7
,
l2
:
y
2 7
x
1. 21
斜率相等，截距不等，所以两直线平行.
例1 求下列两条平行直线间的距离.
（2）l1 : 2x 7 y 8 0 ，l2 : 6x 21y 1 0.
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则| 2 C | | 5 C |， 42 62 42 62
即|C+2|=|C+5|,解得C=-7/2。 所以正中平行直线为 4x 6y 7 0
2
例十
求与直线l：5x-12y+6=0平行，且到l得距离 为2的直线的方程。
难点
➢两平行直线间的距离的求法。
思考
两条平行直线的相对位置关系常通过距离来 反映，两平行直线间的距离的含义是什么？
A
B 两条平行பைடு நூலகம்线间的距离是指夹在两条平行直 线间公垂线段的长。
A AAA
B BBB 夹在两条平行直线间公垂线段的长 处处相等。
探 究
（1）直线 l1 Pl2 ，如何求 l1与 l2 之间的距离？
知识与能力
➢使学生理解什么是两条平行直线间的距离。 ➢会将直线间的距离转化为点到直线的距离来求解。
过程与方法
➢充分体会转化思想。
情感态度与价值观
➢通过对问题的探究活动，获得成功的体验 和克服困难的经历，增进学习数学的信心， 优化数学思维品质。
教学重难点
重点
➢将直线间的距离转化为点到直线的距离来 求解两条平行直线间的距离。
| 2 3 7 0 8 | 14 14 53
d
22 (-7)2
53 53
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距
离是多少？
y
l1
l2
o
x
观察两平行线的系数有什么特点。
y
l1
l2
Ao
x
B
在l1与x轴交点处取
A( C1 ,0) A
，A点到l2的距离
d
|
A (- C1) A
设所求直线为5x-12y+C=0, 则 | 6 C | 2，
52 (-12)2 即|6-C|=26,解得C=-20或32。 所求直线为5x-12y-20=0或5x-12+32=0。
课堂小结
y
l1
A
l2
o
B
x
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线 间公垂线段的长。
可将求平行直线间的距离转化为求点到直线的 距离。
习题答案
(1)2 13; (2)2.
y
l1
l2
o
x
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是
d C1 - C2 A2 B2
随堂练习
14 53
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是 53 ;
2 13
2.平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是 13 。
3.已知直线a:2x-7y-8=0和b:6x-21y-1=0,a与b是否平 行？若平行,求a与b的距离。
新课导入
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是：
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
y
P1
o
x
P2
点到直线的距离公式
| PQ | | Ax 0 By0 C | A2 B2
y
P
l
Q
o
x
3.3.4 两条平行直线间的 距离
教学目标
ka
2 7
,
k
b
6 21
2 7
,
k
a
kb
ba
8 7
,
bb
1 21
,
ba
bb
所以直线a与b平行。
把直线a:2x-7y-8=0化成6x-21y-3=0,根据距离公 式 d 。C1 - C2
A2 B2
两直线的距离为： d - 3 - (-1) 1 62 212 3 5
B 0 C2 |
| C2 - C1|
A2 B2
A2 B2
由于两平行直线l1和l2的斜率k1=k2，所以两直 线必可写成Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的形式， 所以可以用公式:
d C1 - C2 A2 B2
计算两直线间的距离。
例九
求直线a：2x+3y-1=0与b:4x+6y-5=0的正中 平行直线。
y
l1
A
l2
o
B
x
将平行直线间的距离转化为点到直线的距离. 在一条直线上任意取一点A, 并过A作另一条直线 的垂线段AB 。
（2）如何取点，可使计算简单？
y
l1
A
l2
A oB
x
B
A点取在l1与坐标轴的交点时，计算较为简单。
例八 求平行线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-6=0 的距离。
解: 在直线 2x -7y -6=0 上取 P( 3, 0), 则 P( 3, 0)到 直线 2x -7y +8 =0 的距离就是两平行线间的距离。