插值与拟合专题精品PPT课件
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十讲插值与拟合ppt课件
容易确定．例如知道时间与因变量有二次函数
关系，且过原点。
2019/7/27
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19
10.6 曲线拟合
• 所以选取 r1(x)x2,r2(x)x ，用
ya1x2 a2x
作拟合．若无法知道y与x之间的关系，
通常可以将数据（xi，yi），i＝1，2，…，
n作图，直观地判断应该用什么样的曲线 去作拟合．人们常用的曲线有（参见图7）
2019/7/27
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10.6 曲线拟合
• 1．线性最小二乘法
• 曲线拟合问题的提法是，已知一组 （二维）数据，即平面上的n个点（xi,yi)， i=1，2，…，n，xi互不相同，寻求一个 函数（曲线）y=f(x)，使f(x)在某种准则 下与所有数据点最为接近，即曲线拟合 得最好，如下图， 图中δi为（x i ，y i） 与y=f(x)的距离）．
• 拟合准则是使n个点（xi，yi），i=1，2，…，
n，与y＝f（xi）的距离δi的平方和最小，称最 小二乘准则．
2019/7/27
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10.6 曲线拟合
2．函数rk (x) 的选取
• 面对一组数据（xi，yi）， i = 1， 2，…n，用
线性最小二乘法作曲线拟合时，首要的、也是 关键的一步是恰当地选取 r1(x)r,2(x) , rm (x) 如果通过机理分析、能够知道 y与 x之间应 该有什么样的函数关系，则 r1(x)r,2(x) , rm (x)
• 格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi， 每一元素对应于参量xi，同时由向量x与Y的内 插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩 阵 ， 则 按 Y 的 每 列 计 算 。 yi 是 阶 数 为 length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
关系，且过原点。
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10.6 曲线拟合
• 所以选取 r1(x)x2,r2(x)x ，用
ya1x2 a2x
作拟合．若无法知道y与x之间的关系，
通常可以将数据（xi，yi），i＝1，2，…，
n作图，直观地判断应该用什么样的曲线 去作拟合．人们常用的曲线有（参见图7）
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10.6 曲线拟合
• 1．线性最小二乘法
• 曲线拟合问题的提法是，已知一组 （二维）数据，即平面上的n个点（xi,yi)， i=1，2，…，n，xi互不相同，寻求一个 函数（曲线）y=f(x)，使f(x)在某种准则 下与所有数据点最为接近，即曲线拟合 得最好，如下图， 图中δi为（x i ，y i） 与y=f(x)的距离）．
• 拟合准则是使n个点（xi，yi），i=1，2，…，
n，与y＝f（xi）的距离δi的平方和最小，称最 小二乘准则．
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10.6 曲线拟合
2．函数rk (x) 的选取
• 面对一组数据（xi，yi）， i = 1， 2，…n，用
线性最小二乘法作曲线拟合时，首要的、也是 关键的一步是恰当地选取 r1(x)r,2(x) , rm (x) 如果通过机理分析、能够知道 y与 x之间应 该有什么样的函数关系，则 r1(x)r,2(x) , rm (x)
• 格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi， 每一元素对应于参量xi，同时由向量x与Y的内 插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩 阵 ， 则 按 Y 的 每 列 计 算 。 yi 是 阶 数 为 length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
数学建模～插值与拟合(课件ppt)
• 代数多项式插值是最常用的插值方式，其内容也 是最丰富的，它又可分为以下几种插值方式： （1）非等距节点插值，包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值； （2）非等距节点插值，包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等； （3）在插值中增加了导数的Hermite（埃尔米特） 插值； （4）分段插值，包括分段线性插值、分段Hermite （埃尔米特）插值和样条函数插值； （5）反插值。 • 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元 插值和多元插值。
引言2---插值和拟合的联系与区别
联系：二者都是函数逼近的主要方法
• 区别： •运算过程上的区别：
– 拟合：是将数据点用最恰当的曲线描述出来，以反映问题的规律， 是特殊到一般的过程。 – 插值：是在知道曲线的形状后得出某些具体点的性质的过程,是 从一般到特殊。
•求解误差上的区别：
– 拟合：考虑观察值的误差（误差不可避免时）。以偏差的某种最 小为拟合标准
n n ik
0 i k 而： lk xi 1 i k
22
例1
x1 1, x2 2, x3 4, f ( x1 ) 8, f ( x2 ) 1, f ( x3 ) 5
求二次插值多项式。
解:
按拉格朗日方法，有：
L( x) y1l1 x y2l2 x y3l3 x ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) 8 1 5 (1 2)(1 4) (2 1)(2 4) (4 1)(4 2) 3x 2 16 x 21
4.2 插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效 果就不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。
数学建模讲座(五)插值和拟合46页PPT
数学建模讲座(五)插值和拟合
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
46
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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第3章插值与拟合ppt课件-PPT精品文档
3.1 插值法 3.1.1 问题的提出 ) 插值问题的一般描述：若已知函数 y f (x （通常为 , ,x 未知）在给定的 n 1 个互不相同的观测点 x 0,x 1 n , ,y 上的函数值（通常为实验或观测值）y 0, y 1 n ， 希望寻求某一近似函数 ( x) , 使满足 ( x f ( x y , i 0 , 1 , 2 , ,n i) i) i （3.1） 则我们称此类问题为插值问题，近似函数 ( x) 称为插 值函数，观测点称为插值节点，式（3.1）称为插值条 min { x }, b max { x } i i 件，若令 a , 则[a,b]称为插值区间。 0 i n 0 i n 若 ( x) 已找到，则在任一点 x （ x ） 上的函 [a ,b ] 数值 f ( x ) 就可以由其插值函数 ( x ) 近似估计。
3.1.2 插值多项式的求法
1 一般方法 线性插值：给定两个互不相同的观测点 ( x0 , y0 ) 和 (x1, y1), ( x ) a a x 求一线性多项式 p 1 0 1 ( x ) y , p ( x ) y 1 0 0 1 1 1 使其通过这两个观测点，即 p 。显然 p1 ( x) 是平面上的一条直线，其表达式可采用两点式或点斜式直接 y y 1 0 给出，即 p( x ) y ( x x ) 1 0 0 x x （3.4） 1 0 当然，也可以利用代数方程组的方法求出待定参数 a 0 , a1 . p1 ( x) 通过这两个观测点，故有 由插值条件，
解此线性方程组，可采用消元法，也可以采用矩阵方法直接 求解. 详见3.1.3.
a0 a1 x0 y0 a0 a1 x1 y1
( x0 , y0 ) , (x1, y1) 和 (， x2 y2 ) 二次插值：给定三个互不相同的观测点， 2 p ( x ) a a x a x 求一个次数不超过2次的多项式 2 0 1 2 使其通过这三个观测点。求解方法与线性插值完全类似，此处 不再累述。二次插值又称抛物型插值。 n次插值多项式：当 n 大于或等于2时，采用上述方法无法直 接给出多项式的表达式，需要求解线性方程组。对 n 次插值多 项式的确定，由于多项式中含有 n +1 个待定系数，通常需要 给定 n +1个互不相同的观测点，由此可建立 n +1元线性方程 组，如下式： 2 n a0 a1 x0 a2 x0 an x0 y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 a a x a x2 a x n y （3.5） n n n 0 1 n 2 n 直接解此线性方程组，通常比较麻烦，可通过数学软件(如 Matlab)求解。
4插值与拟合方法课件-11
第4章 插值与拟合方法插值与拟合方法是用有限个函数值(),(0,1,,)i f x i n =⋅⋅⋅去推断或表示函数()f x 的方法，它在理论数学中提到的不多。
本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插值及曲线拟合等。
对应的方法有Lagrange 插值，Newton 插值，Hermite 插值，分段多项式插值和线性最小二乘拟合。
4.1 实际案例4.2 问题的描述与基本概念先获得函数（已知或未知）()y f x =在有限个点n x x x ⋅⋅⋅,,10上的值x0x 1x … n x y0y 1y … n y 由表中数据构造一个函数P (x )作为f (x ) 的近似函数，去参与有关f (x )的运算。
科学计算中，解决不易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。
1）插值问题的描述已知函数()y f x =在[a,b ]上的n +1个互异点x ,0处的函数值()i i y f x =，求f (x ) 的一个近似函数P (x )，满足()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅ （4.1）● P (x ) 称为f (x )的一个插值函数;● f (x ) 称为被插函数;点i x 为插值节点; ● ()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅称为插值条件; ● ()()()R x f x P x =-称为插值余项。
当插值函数P (x )是多项式时称为代数插值（或多项式插值）。
一个代数插值函数P (x )可写为0()()()mkm k k k P x P x a x a R ===∈∑若它满足插值条件（4.1），则有线性方程组20102000201121112012m m mm m nn m n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ⎧+++⋅⋅⋅=⎪+++⋅⋅⋅=⎪⎨⎪⎪+++⋅⋅⋅=⎩ （4.2）当m=n ，它的系数行列式为范德蒙行列式)(1110212110200j i ni j nnnn nn x x x x x x x x x x x D -∏==≤≤≤因为插值节点互异，0D ≠，故线性方程组（4.2）有唯一解，于是有定理 4.1 当插值节点互异时，存在一个满足插值条件()()(0,1i i P x f x i n ==⋅⋅⋅的n 次插值多项式。
《插值与拟合》课件
拟合的方法
1
最小二乘法
通过最小化残差平方和，找到与数据最匹配的函数。
2
局部加权回归
给予附近数据点更高的权重，拟合接近局部数据点的函数。
3
多项式拟合
用多项式函数逼近数据，通过选择合适的次数实现拟合。
插值与拟合的误差分析
插值和拟合都会引入近似误差，需要评估误差范围和影响因素。
插值与拟合在数据处理与分析中的应用
数据分析
通过插值和拟合方法对数据进 行探索和分析。
数据处理
在数据处理过程中使用插值和 拟合技术来填充缺失值和平滑 数据。
数据建模
利用插值和拟合模型对数据特 征进行捕捉和预测分析。
插值与拟合的推广和发展前景
随着数据科学和人工智能的不断发展，插值和拟合在各个领域的应用前景越 来越广阔。
插值与拟合的应用范围
科学研究
用于数据分析、信号优化设计、近似计算和 效能提升。
经济金融
用于市场分析、预测模型和 风险评估。
插值的方法
1
拉格朗日插值
基于多项式插值公式，用拉格朗日多项式逼近函数。
2
牛顿插值
基于差商的概念，用多项式逼近函数的值。
3
分段插值
将插值区间划分为多个子区间，并在每个子区间上进行插值。
《插值与拟合》PPT课件
插值与拟合是数值计算和数据分析中重要的概念。
插值与拟合的概念
插值
通过已知值的推算，计算在未知点的近似值。
拟合
通过曲线或曲面拟合已知数据，以描述和预 测未知数据。
插值与拟合的区别与联系
1 区别
2 联系
插值重点关注已知点的准确性，而拟合则 着重于整体形状的拟合。
插值和拟合都通过数学模型逼近离散数据， 以实现数据的补全和预测。
实验六拟合与插值问题PPT课件
2021/8/17
插值问题实例1
机翼下 轮廓线
y
x
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第19页/共47页
插值问题的提法 已知 n+1个节点 (xj,yj)(j 0 ,1 ,L n ,其中 x j
互不相同，不妨设 a x 0 x 1 L x n b ) , 求任一插值点 x*( xj )处的插值 y * .
节点可视为由
y* y1
2[a1
xi
a2)
yi ]xi
0
i1
2[a1xi
a2 )
yi
]
0
a1,a2
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用MATLAB作线性最小二乘拟合 1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有程序:
a=polyfit(x,y,m)
输出拟合多项式系数 a=[a1, …,am , am+1] (数组）
1200
1000
800
600
400
200
0
0
2
4
6
8
10
12
14
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二、插 值
1. 插值的基本原理；三种插值方法：拉格朗日 插值，分段线性插值，三次样条插值。
2. 面 对 一 个 实 际 问 题，应 该 用 插 值，还 是 拟 合。
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y* y1
y0 •
• •
• •
x0 x1 x*
xn
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拟合与插值专题ppt课件
在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析 函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问 题有两种方法。
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
数值分析课件第4章
数值分析课件第4章
数值分析课件第4章：插值与拟合。从插值与拟合的概念和区别开始，详细介 绍线性插值、非线性插值、最小二乘法、数据拟合、插值误差和拟合误差等 内容，以及在图像处理和实际问题中的应用。
插值与拟合的概念及区别
插值与拟合是数值分析中常用的数据处理方法。插值通过已知数据点之间的 函数曲线拟合，以在未知点上估计函数值。拟合则是找到最适合数据的函数 曲线，可能不通过已知数据点。
最小二乘法：原理与应用
最小二乘法是一种通过最小化数据与拟合函数之间的误差来拟合数据的方法。它可以应用于线性和非线 性拟合问题，适用于存在噪音和不完美数据的情况。
数据拟合：多项式拟合、指数拟合、对 数拟合等
数据拟合是根据数据的特点选择合适的函数形式进行拟合。多项式拟合在一定范围内适用于大多数问题， 而指数拟合和对数拟合则适合呈指数或对数关系的数据。
插值误差与拟合误差
插值误差是指插值函数与真实函数之间的差距，取决于插值方法和数据分布。 拟合误差则是指拟合函数与真实数据之间的偏差，受拟合口卷积法等
数据平滑是通过降低噪音和突变来减少数据中的波动。移动平均法和窗口卷积法是常用的数据平滑方法， 可以平滑曲线并减少噪音的影响。
线性插值：拉格朗日与牛顿法
线性插值可以用拉格朗日或牛顿法实现。拉格朗日插值使用多个已知数据点 构建一个多项式函数，适用于等间距的数据。牛顿插值则通过分段差商构造 一个插值多项式。
非线性插值：样条插值
非线性插值中，样条插值是常用的方法。它使用分段多项式函数拟合数据， 每个区间内都有一个多项式来逼近数据的行为，从而实现更加平滑的插值效 果。
第五章插值法与曲线拟合插值法精品PPT课件
f (n1) (x
(n 1)!
)
wn1(x)
,
x (a,b)
n
Ln(x) f (xi)li(x)
i0
其中
li(x ) (( x x i x x 0 0 ))(( x x i x x ii 1 1 ) )( (x x i x x ii 1 1 ) )
(x x n ) ,i
(x i x n )
计算各阶差分可按如下差分表进行.
向前差分表
xi fi fi 2 fi 3 fi
n fi
x0 f0 x1 f1 f0 x2 f2 f1 2 f0 x3 f3 f2 2 f1 3 f0
xn fn fn1 2 fn2 3 fn3
n f0
差分具有如下性质:
.
性质1(差分与函数值的关系) 各阶差分均可表示为函值
(1)
使满足
cn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn 1)
N n (x i) f(x i), i 0 ,1 , n
(2)
为了使 N n ( x ) 的形式得到简化,引入如下记号
0(x)1
i(x)(xxi1)i1(x)
(3)
(xx0)(xx1) (xxi1), i1,2, n
定义 由式(3)定义的n+1个多项式 0(x),1(x), ,n(x)
表示f(x)在x0及x1两点的一阶差商. 用记号 f[x0,x1,x2]f[x0,xx10 ] xf2[x1,x2]
表示f(x)在x0,x1,x2三点的二阶差商. 一般地,有了k-1阶差商之后, 可以定义f(x)在x0,x1,..,xk的k阶差商
f[x 0 ,x 1 ,
,x k] f[x 0 ,x 1 ,
2 f (xi ) (f (xi )) ( f (xi h) f (xi )) f (xi h) f (xi ) f (xi 2h) 2 f (xi h) f (xi )
实验四 数据插值与拟合 共50页PPT资料
代数多项式插值是最常用的插值方式，其内容也 是最丰富的，它又可分为以下几种插值方式：
（1）非等距节点插值，包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值；
（2）非等距节点插值，包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等；
（3）在插值中增加了导数的Hermite（埃尔米特） 插值；
（4）分段插值，包括分段线性插值、分段Hermite （埃尔米特）插值和样条函数插值；
同‘pchip’，三次Hermite多项式插值
1.Linear（分段线性插值）
它值的。算在法区是间在[xi,每xi+个1]上小的区子间插[xi值,xi+多1]项上式采为用：简单的线性插
F ix xi x xii 1 1f(xi)xx i 1 xx ii f(xi 1)
（1）nearest方法速度最快，占用内存最小，但一般 来说误差最大，插值结果最不光滑；
（2）spline三次样条插值是所有插值方法中运行耗 时最长的，其插值函数以及插值函数的一阶、二阶 导函数都连续，因此是最光滑的插值方法，占用内 存上比cubic方法小，但当已知数据点不均匀分布时 可能出现异常结果。
由此整个区间[xi,xi+1]上的插值函数为：
n
F(x) Fili(x) i1
其中 li ( x) 定义如下：
li
(x)
x
xi x
xi
xi1
xi1 xi1
xi1
, ,
x x
[xi1, xi ](i [xi , xi1](i
0略去) 0略去)
（5）反插值。 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元
插值和多元插值。
插值与拟合
当 x ∈ [ x i 1 , x i ] 时, S ( x ) 的表达式由(2.3.4)平移下标可得 的表达式由 平移下标可得, 平移下标可得 因此有
S ′( x i 0) = f [ x i 1 , x i ] + hi 1 ( M i 1 + 2 M i ). 6
利用条件 S ′( x i + 0) = S ′( x i 0) 得
第二章 插值与拟合
2.3.2 三弯矩算法
可以有多种表达式， 三次样条插值函数 S ( x ) 可以有多种表达式，有时用二阶导数
S′ 值′ ( x i ) = M
i
( i = 0 ,1 , , n )
M
i
表示时，使用更方便。 表示时，使用更方便。 在力学上解释 ( x) 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关， 为细梁在 S处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故 Mi 的算法为三弯矩算法 三弯矩算法。 称用 表示 的算法为三弯矩算法。 由于 S ( x )在区间 [ x i , x i + 1]( i = 0 ,1, , n 1) 上是三次多项式， 上是三次多项式， 故 S ′′( ) [ , ]
0
先消去 M 3 和 M 3 得
3 .5 1 1 3 .5
M M
1
5 .1 = 10 . 5 2
由此解得 M 1 = 2.52, M 2 = 3.72 。 代回方程组得 M 0 = 0.36, M 3 = 0.36. 的值代入三次样条插值函数的表达式（ ），经化简有 用 M 0 , M 1 , M 2 , M 3的值代入三次样条插值函数的表达式（2.3.4），经化简有 ），
n
=λn0来自= 0,第二章 插值与拟合
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, x [xi , xi1]
则称y L(x)为[a,b]上的分段线性插值。
分段线性插值
••• •
• •
x0
xj-1 xj xj+1 xn
1.1.3 三次样条插值
• 分段线性插值函数在结点的一阶导数一般 不存在，光滑性不高，这就导致了样条插 值的提出。
• 在机械制造、航海、航空工业中，经常要 解决下列问题：已知一些数据点，如何通 过这些数据点做一条比较光滑（如二阶导 数连续）的曲线呢？
Theorem：满足插值条件的次数不超过n的多项式 是唯一存在的。
yy11
• •
yy00 •
x x x00 11
• •
xxnn
两点一次(线性)插值多项式:
L1x
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三点二次(抛物)插值多项式:
L2 x
x x0
x1 x1
x x2 x0 x2
三次样条插值问题提出
• 设在区间[a,b]上，已给n+1个互不相同的节点 • 的列a=值 条x0f件<(xx：i1)<=…yi,<i=x0n=,1b,…以,及n.如函果数分y =段f(函x)数在S这(x些)满节足点下 • （数1为）3的S(多x)在项子式区；间[xi,xi+1]的表达式Si(x)都是次 • （2）S(xi) = yi; • （3） S(x)在区间[a,b]上有连续的二阶导数。 • 就值称 函S数(x.)为f(x)在点x0，x1，…，xn的三次样条插
• 例：在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时， 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x)，但 对于满足条件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值，而是发生突变，产生 剧烈震荡，即Runge现象。
• 绘图员解决这一问题是首先把数据点描绘在 平面上，再把一根富有弹性的细直条（称为 样条）弯曲，使其一边通过这些数据点，用 压铁固定细直条的形状，沿样条边沿绘出一 条光滑的曲线，往往要用几根样条，分段完 成上述工作，这时，应当让连接点也保持光 滑。对绘图员用样条画出的曲线，进行数学 模拟，这样就导出了样条函数的概念。
x12 f (x) 0.95 0.82
写出 f(x) 的线性插值函数 , 并求 f(1.5) 的近似值。
解： x0 1, y0 0.95 ; x1 2, y1 0.82
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
x x0 x1 x0
x 1 2 1
内容提纲
• 1、插值问题 • 2、数据拟合
1、插值问题
1.1、一维插值
插值问题的一般提法：已知y = f(x)（该函数未知）
在互异的n+1个点x0,x1,x2,…,xn处的函数值y0, y1,y2,…, yn,构造一个过n+1个点（xk,yk） k=0,1,2,…,n的次数 不超过n的多项式 y = Ln(x)，（称为插值多项式） 使其满足Ln(xk) = yk ，（称为插值条件） 然后用y = Ln(x)作为准确函数y = f(x)的近似值。此方 法称为插值法。
三次样条插值问题分析
• 即 Si(x)=aix3+bix2+cix+di i=0,1,…,n xi≤x ≤xi+1 （4n个变量） • 需要4n个方程
• S(xi) = yi i=0,1,…,n
(n+1个方程）
• S(xi-0)= S(xi+0) i=1,…,n-1
在xi连续 (n-1个方程）
• S/(xi-0)= S/(xi+0) i=1,…,n-1
分段线性插值
• 设插值节点x0 x1 xn , xi [a,b] , yi f (xi )为已知。
• 若y L(x)满足：
(1)L(xi ) yi
(2)在每个子段[xi , xi1]上y Li (x)是线性函数
•
Li (x)
x xi1 x xi
yi
x xi x xi1
yi1
y0
x x1
x0 x0
x x2 x1 x2
y1
x x2
x0 x0
x x1 x2 x1
y2
1.1.1 Lagrange插值法
上式称为Lagrange插值基函数
n
则Ln ( x) yili ( x) i0
就是满足插值条件的n次多项式 ——Lagrange插值多项式
例1、已知数据表
数学建模方法——插值与拟合
•
插值与拟合的关系
• 在工程中，常有这样的问题：给定一批数据 点（它可以是设计师给定，也可能是从测量与 采样中得到），需确定满足特定要求的曲线或 曲面。对这个问题有两种方法。
一种是插值法。要求所求曲线（面）通过所给的所 有数据点。
另一种方法是数据拟合（曲线拟合与曲面拟合）。 人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据， 但不必要经过所有数据点。
在xi连续(n-1个方程）
• S//(xi-0)= S//(xi+0) i=1,…,n-1
在xi连续(n-1个方程）
• 再为加边两界个条条件件。:可在边界点x0与xn处给出导数的约束条件，称
1.1.2 分段插值法
• 图中看到，随着节点的增加，Lagrange插值函数次 数越高，插值函数在两端容易产生龙格现象，为了 改进高次插值的缺陷，就产生了分段插值。
• 分段插值基本思想：将被插函数逐段多项式化。
• 处理过程：将区间[a,b ]划分：a x0 xn b
• 在每个子段[xi , xi1]上构造低次多项式，然后将其拼 接在一起作为整个区间[a,b ]上的插值函数，这样构 造出的插值函数称为分段多项式，改进了多项式插 值整体性太强的缺点，可以进行局部调整而不会影 响整体。
x 1
L1(x) y0l0 (x) y1l1(x) 0.95(2 x) 0.82(x 1) 0.13x 1.08
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 数也会升高，可能造成插值函数的收敛性和 稳定性变差。如龙格（Runge）现象。