一元二次方程根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系及应用
代数：一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根与系数关系：二、一元二次方程的根与系数关系的应用应用1，验根，不解方程求一元二次方程两根和与两根积，检验两个数是不是一元二次方程的两个根. 应用2，已知方程的一个根，求另一根及方程中未知参数. 应用3，不解方程，利用定理求出关于x 1,x 2的对称式的值..,11,,,11,,213231212132312221等等如x x x x x x x x x x x x ++++++ 应用4，已知方程的两根，求作这个一元二次方程. 应用5，已知两数的和与积，求这两个数. 应用6，求作一个新的一元二次方程，使它的两根与已知方程的两根有某些特殊关系. 应用7，已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.应用8，解决其他问题，如讨论根的范围，根的符号及判定三角形的形状等.三、相关练习1．不解方程，求下列各方程两根之和，两根之积.x x 1.025.0.12-= x x 21231.22+= 22322.32=+x x )(4)(.42222222b a b a a b xx b a ≠-=-- 2．已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.已知方程7x 2+kx-5=0的一个根是3，求另一个根及k 的值.3．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2+3x-1=0两个根的（1）平方和，（2）倒数和，（3）立方和，（4）x 1-x 2，（5）1221x x x x + 4．设x 1、x 2是方程3x 2-9x-7=0的两个根，不解方程，求下列各式的值.221122221221)2()1(x x x x x x x x ++ （3）（2x 1+5）（2x 2+5） （4）x 1-x 25．求作一个一元二次方程，使它的两个根是212,313- 6．已知两数和是8，积是-9，求这两个数.7．已知方程2x 2+4x-3=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根为已知方程两根差的平方，另一根为已知方程两根和的倒数.试求且和分别满足方程、已知实数,1,030311.822≠=-+=-+ab b b a ab a (一)选择题 1．如果方程03622=+-x x 的两个实数根分别为21,x x ，那么21x x ⋅的值是（ ）（A ）3 （B ）–3 （C ）23-（D ）32-2．若21,x x 是方程0532=-+x x 的两个根，则()()1121++x x 的值为（ ） （A ）–7 （B ）1 （C ）291+- （D ）291--3．方程2x 2－ax ＋10=0的一个根为2，则a 的值为 ( ) (A) 25 （B ）29- （C ）49 （D ）9 4．已知方程 2x 2＋kx －2k ＋1=0 两实根的平方和为429 ，则k 的值是： (A) －11 (B) 3或－11 (C) 3 (D) 以上都不对5．若方程 x 2－kx ＋6=0 的两根分别比方程x 2＋kx ＋6=0 的两根大5，则k 的值是：(A) 5 (B) －5 (C) 852 (D) 856．方程x 2－ax －2a=0的两根之和为4a －3，则两根之积为 ( )(A) 1 （B ）－2 （C ）2 （D ）－1(二)填空题1．已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是_____，m 的值为______。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程
1. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况是由2
4b ac -决定的，我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用“∆”表示。
（1） 若方程有两个不等的实数根；则240;b ac ∆=->
（2） 若方程有两个相等的实数根；则240;b ac ∆=-=
（3） 若方程没有实数根，则240.b ac ∆=-<
2. 若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,.x x
则12x x += 。
12x x ⋅= 。
注意：只有一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系，即①240;b ac ∆=-≥ ②二次项系数0.a ≠
已知m,n 是方程22630x x -+=的两根，则m+n= ,m ⋅n= ,
11m n
+= .
已知一元二次方程220x x m -+=，
（1） 若方程有两实根，求m 的取值范围，
（2） 若方程的实根为12,.x x 且1233x x +=，求m.
已知方程2
351x x -=的两根为12,x x 求： 2212(1)x x + （2）
2112
x x x x +。
一元二次方程的根与系数的关系
当今教科书指出：一元二次方程的根与系数的关系属选学内容，只供学习有余力的学生学习。
但是一元二次方程的根与系数的关系这个知识点的应用却是相当的广泛，习题的内容之多，题目的形式灵活多样，在中考及平时的考试中所占分值却很重，而大部分同学对这个内容却学得不好。
在此简单讲解一下一元二次方程的根与系数的关系的相关知识及相关应用，望对同学们有所帮助。
一元二次方程的根与系数的关系（以前的教科书叫韦达定理）：如果方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
也就是说，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数与二次项系数的比。
一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式演变过来的，下面是证明的过程：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当判别式△=b2-4ac≥0时，方程有两个实数根，，，故有x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
该知识点的使用方法：先把一元二次方程化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），然后确定二次项系数、一次项系数及常数项（特别是要注意这些系数的符号），最后再根据根与系数的关系，求出相关值。
一、根与系数的关系的直接应用例1：不解方程，求出2x2+4x=1的两根的和与两根的积。
解：将原方程化为一般形式得：2x2+4x-1=0确定a，b，c的值为a=2，b=4，c=-1于是x1+x2=- c/a=-2，x1x2=c/a=-1/2。
二、根与系数的关系的几种变形例2： x1、x2是方程2x2-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）x12+x22 （2）| x1-x2| （3）x12+3x22-3x2解：由根与系数关系可知 x1+x2=3/2， x1x2 =-5/2（1） x12+x22=（x1+x2）2 -2x1x2=（2） | x1-x2|=√（x1+x2）2-4x1x2=√19/2（3）由2x2-3x-5=0可得：2x2-3x=5故：原式= （x12+x22）+（2x22-3x2）= +5 = 12三、由根与系数的关系求字母的值例3：已知关于x的方程x2+2（m+2）x+m2-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。
一元二次方程根与系数关系
一元二次方程根与系数关系一元二次方程是数学中最基础的方程类型之一，它涉及系数之间的关系，可以用来求解函数的最大值或最小值，也可以解决物理问题。
许多有关二次函数的研究都涉及它的根，而它的根和它的系数之间存在着一定的关系。
一元二次方程形式如下：ax^2+bx+c=0它的根可以从其解析解中得出：x1 = (-b + sqrt(b^2-4ac))/2ax2 = (-b - sqrt(b^2-4ac))/2a从上面可以看出，一元二次方程的根和系数之间的关系主要有以下几点：1、如果给定的a≠0，那么一元二次方程必定有解。
2、当b2-4ac大于0时，方程有两个不等的实数根，且它们的和等于-b/a，其积等于c/a；当b2-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根，它们都等于-b/a；当b2-4ac小于0时，方程有两个不相等的虚数根，且它们的和等于-b/a，其积等于c/a。
3、解的值取决于方程中的参数值，改变参数值，解也会发生变化。
4、当当实数a、b、c中有两个或以上具有相同的参数，解的值也会有一定的改变。
5、关于一元二次方程的系数a、b、c，当a=0时，方程转换为一元一次方程，有一个实数解；当b=0时，方程转换为二次项系数为零的椭圆方程，有两个不等实数解；当c=0时，方程转换为两项系数为零的椭圆方程，有一个实数解；当a=b=c=0时，方程为任何值都满足，这种情况称为无穷多解。
6、一元二次函数的性质也可以由系数的关系得出，如当a>0时，函数是凸函数，x轴的极值点在x1处；当a<0时，函数是凹函数，x 轴的极值点在x2处。
以上就是关于一元二次方程系数的可能的关系。
系数与解之间存在着一定的关系，可以帮助我们更好地解决问题，也为我们提供了新的视角来理解问题。
这也使得数学更加丰富有趣，扩大我们对数学的认识。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系1.知识讲解：方程)0(0ax 2≠=++a c bx 的求根公式a ac b b x 242-±-=不仅表示可以由方程的系数a,b,c 决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗? 思考从因式分解法可知,方程0))((21=--x x x x (1x ，2x 为已知数)的两根为1x 和2x ,将方程化为02=++q px x 的形式,你能看出1x ，2x 与p,q 之间的关系吗?延展把方程0))((21=--x x x x 的左边展开，化成一般形式，得方程 0)(21212=++-x x x x x x这个方程的二次项系数为1,一次项系数)(21x x p +-=，常数项21x x q =，于是,上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系p x x -=+21 q x x =21再思考一般的一元二次方程02=++c bx ax 中，二次项系数a 未必是1,它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢?结论： 根据求根公式可知：a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=由此可得 ab a b a ac b b a ac b b x x -=-=---+-+-=+2224242221， ac a ac b b a ac b b a ac b b x x =---=---∙-+-=22222214)4()(2424 因此，方程的两个根1x ，2x 和系数a,b,c 有如下关系：a b x x -=+21，ac x x =21。
这两条公式叫韦达定理。
2. 典型例题例1：已知方程01832=-+kx x 的一个根式2，求另一个根以及K 的值。
分析：按以往的经验是将x=2带入方程，求出k ，再求解。
但是现在可以用韦达定理进行求解。
解：设方程的两根为1x ，2x ，则1x =2。
由韦达定理可得1x ·2x =-6，∴ 32-=x ， 又1321-=-=+k x x∴ k=3.例2：设a ，b 是一元二次方程0732=-+x x 的两个根，求b a a ++42的值。
一元二次方程根与系数的关系
第一讲 一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a-+= (1) 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-； (3) 当240b ac -<时，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：∆=24b ac -.二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 12x x +=______________, 12x x =______________.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．例1：已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．例2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式． 例3：已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．练习：1.已知一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不等的实数根，求k 的取值范围.2.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值．3.已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．图（12） 第二讲 一次函数、反比例函数、二次函数1.当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而 ；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而 ；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝ ．2.当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而 ；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而 ；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝ ．3.二次函数的三种表示方式：一般式 顶点式 交点式 注：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．例1：如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于A (1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．例2：求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例3：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）； （2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2； （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．巩固练习1.若函数12-+=a ax y 在11≤≤-x 上的值有正也有负，则a 的取值范围是_________2.若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，则实数a 的取值范围是_____________．3.二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．4.把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为________________.第三讲 解不等式一、一元一次不等式（组）及其解法 :例1：（1）解关于x 的不等式组0,231x a x -<⎧⎨-+<⎩二、一元二次不等式及其解法形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式例2：解下列不等式：(1) 260x x +->； (2)(2)(3)6x x +-< (3) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+例:3：已知关于x 的不等式22(1)30kx k x -+-<的解为13x -<<，求k 的值．二、简单分式不等式的解法例4：解下列不等式： (1) 2301x x -<+； (2)2301x x x +≥-+.例5：解不等式132x ≤+.三、含绝对值不等式的解法 例6：解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；练习：1、二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是________.2、如果22()530x a b x b x x ++⋅+=--，则b =___________.3、若2是关于x 的一元二次方程23100x mx +-=的一个根，则m =________.4、若一次函数(12)y k x k =--的图像不经过第二象限，则k 的取值范围是________.5、若函数2y x b =--与24y x =+的图像交于x 轴上一点A ，且与y 轴分别交于B ，C 两点，则ABC ∆的面积为________.6、已知一个直角三角形的两个直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____________.7、当22x -≤≤时，函数223y x x =--的最大值为______.8、不等式260x x -+<的解为_______.9、已知关于x 的方程22310x x m -++-=的两个实根同号，则实数m 的取值范围为____.10、函数231y ax x =-+的最小值大于0，则实数a 的取值范围为_________.11、两个数的和为60，它们的积的最大值为___________.12、如果不等式210ax ax ++<无解，则a 的取值范围是_________.13、已知(3,2),(1,1)M N -，点P 在y 轴上，且PM PN +最短，则点P 的坐标为_______.14、解下列不等式：(1) 23180x x --≤ ； (2)31221x x +<-； (3)116x x -++>． 15、已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数，求m 的取值范围．16、解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．17、已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x . （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.18、已知二次函数212y x bx c =-++的图像经过(2,0),(0,6)A B -两点. (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 设该二次函数图像的对称轴与x 轴交于点C ，连接,BA BC ，求ABC ∆的面积.19、已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上. (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值.。
一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系B重难点解读—————————☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2-4k-12=0， 解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2）x+m=0， （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值.解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵2111x x +=2121x x x x +=-mm 2+=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）A ．x 2-11x+30=0B ．x 2+11x+30=0C ．x 2+11x-30=0D ．x 2-11x-30=05.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +21x = 43- ；x 12+ x 22=47-；21x x -= 423-. 6.已知关于x 的方程x 2+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .7.以3+2和3-28.已知方程5x 2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ， 则-5k=-2，解得52k =，又k-5=5m -，得m=23.9.已知关于x 的一元二次方程kx 2+x-2=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22+3x 1•x 2=3，求k 的值．12（1）求实数m 的取值范围；（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5的值． 解：（1）△=（2m-3）2-4m 2=4m 2-12m+9-4m 2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤43； （2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2，∴m 2-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤43，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-x 1x 2-5=52-1-5=19．能力提升11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．1512.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2-b-2018=0，则ba 11+= 20181-. 13.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4.15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．。
一元二次方程根与系数的关系
（2）解：当a=5为底边长时，b=c 当a=5为腰长时，不妨设a=b=5， 由根与系数的关系：5+c=2k-3 2 ∴Δ = （2K-5） =0，k=2.5， 5c=2k-4 2 原方程为：x -2x+1=0 解得：c=1，k=4.5 ∴b=c=1 ∵b+c<a ∴此三角形的周长为a+b+c=11 ∴此时不构成三角形，舍去。
_年 _月 _日
星期_______
天气_____ 自我评价:___________ 悄悄话:老师我想对你说______ _______________________ _______________________ ________________________
学习课题:_____________ 知识归纳与整理:________ _____________________ 有那些数学思想方法_____ 我的收获与困惑_________
分析解答
2、已知关于的方程。x2－(2k－3)x +2k－4=0 （1）求证：无论取什么实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形的一边长a=5，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根， 求这个三角形的周长？
（1）证明： ∵Δ =[-（2k-3）]2-4（2k-4） =（2K-5）2 ∴不论k取何值，（2K-5）2 ≥0， 即Δ ≥0，原方程总有实数根。
2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2， 不解方程，求：
（1） x1 x2 x2 x1 ;
分析解答
由根与系数的关系得：x1+x2=3/2 x1x2=1/2
x x ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
一元二次方程根与系数的关系
a与c 与 之间 关系
c a
x 1 x 2 x 1 + x 2 x1 • x 2
x2 + 3x − 4 = 0
x2 − 5x + 6 = 0
2
−4 1 2 3
−3 5
3 − 2
2
−4 6
1 2
−3 5
−4 6
1 2
1 2 x + 3x + 1 = 0 − 2
−1
3 − 2
猜想： 猜想： 如果一元二次方程 ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两个根 那么，你可以发现什么结论？ 分别是 x1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac = 2a
− 2b = 2a
−b = a
− b + b − 4ac − b − b − 4ac x1 ⋅ x2 = × 2a 2a
2 2
b − b − 4ac = 2 4a 4a
2 2
(
)
4ac 结论：
如果一元二次方程 ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
2
的两个根分别是
b x1 + x 2 = − a
x1
那么： 、 x 2 ，那么：
c x1 • x2 = a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。 一元二次方程
已知 x1 , x 2 是方程 2x2 − 4x −1 = 0 的值。 的两个实数根， 的两个实数根，求 x12 + x2 2 的值。 解： 根据根与系数的关系: 根据根与系数的关系:
4 X1+X2 = ___
一元二次方程的根与系数的关系知识点
一元二次方程的根与系数的关系知识点嘿，小伙伴们！今天咱来聊聊一元二次方程的根与系数的关系，这可有意思啦！
比如说方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，它的两个根是$2$和$3$。
那根与系
数有啥关系呢？嘿嘿，它们之间的关系可神奇啦！
咱先来看，如果一个一元二次方程是$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq
0$），那两根之和$x_1 + x_2$就等于$-\frac{b}{a}$呀！就像上面那个例子，$a=1$，$b=-5$，那两根之和$2+3$不就等于$-\frac{-5}{1}=5$嘛，神奇吧！比如再举个例子，方程$x^2 + 3x - 4 = 0$，根据这个关系，两根之和不就得$-3$嘛。
然后呢，两根之积$x_1 x_2$就等于$\frac{c}{a}$呀！还是上面那例子，$c=6$，$a=1$，那两根之积$2 \times 3$不就是$\frac{6}{1}=6$嘛！像方程$2x^2 - 5x - 3 = 0$，两根之积就应该是$-\frac{3}{2}$呀。
这关系多奇妙呀，就好像是方程里隐藏的小秘密！小伙伴们，你们说是不是很有趣呢？
我的观点结论就是：一元二次方程的根与系数的关系真的太神奇啦，能让我们更深入地理解方程，快好好去探索发现吧！。
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系一、课堂目标理解根与系数关系，会用根系关系求参数的值或快速求解含参方程二、知识讲解1. 根与系数的关系（韦达定理）在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．设一元二次方程为，其根的判别式为：则①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程没有实数根．一元二次方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数、、决定根的值，而且反应了根与系数间的关系．那么一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？探究1从因式分解法可知，方程（、为已知数）的两根为和，将方程化为一般式后，你能说一说两个根和系数之间的关系吗？探究2探究1是二次项系数为1时，根和系数的关系，现在扩展到一般式（）中，探究根和系数的关系．当，即方程有实数根，由可知，，．因此，方程的两个根，和系数，，有如下关系：，．韦达定理：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．例题1.若关于的一元二次方程的两根为，，则 ．练习2.方程的解为、，则 ； ．3.已知，是方程的两个实数根，则 ．2. 根与系数关系的应用．不解方程，求与方程的根有关的代数式的值；．已知方程的一个根，求方程的另一个根；．与根的判别式相结合，解决一些综合题．【总结】几个重要变形：①；②；③；④．例题4.已知方程的一个根是，则它的另一个根是 ．5.关于的方程有两个不相等的实数根，，且有，则的值是（ ）．A.B.C.或D.练习6.已知关于的一元二次方程的一根为，求的值以及方程的另一根．7.一元二次方程的两根为和，则的值是（ ）．A.B.C.D.8.设关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，若，则的值为 ．例题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9.已知、是方程的两个实数根．则：．．．．．．．．（9）．练习（1）（2）10.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．求的取值范围；若，求的值．11.己知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．（1）（2）12.已知方程的两根是，．不解方程，求：．．13.已知一元二次方程（其中为大于的常数）的两个实根为，，求的值．例题14.已知，且， ，那么．练习15.已知、是方程的两个根，那么．16.已知，是不相等的实数，且，，求的值．三、出门测17.已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．18.方程的所有实数根之和是 ．19.已知关于的方程的两根为和，则 ，．一元二次方程的根与系数的关系 题集【A】20.已知一元二次方程的两个实数根分别是、，则．21.如果，是方程的两个根，那么；．22.若关于的方程的一个根是．则另一根 ；．23.若方程的一根为另一根的倍，求，所满足的关系式．24.已知关于的方程，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一根．25.已知关于的方程的两个根为、，若，则．26.求一个一元二次方程，使得它的两根，满足：，．27.若关于的一元二次方程的两个实根互为倒数，则．（1）（2）（3）（4）28.已知、是方程的两根，不解方程求下列代数式的值．（结果用、、表示）．．．．29.已知一元二次方程的两个根为、，则 ，， ，．30.已知，是方程的两个根，那么 ， ．31.已知、是方程的两根，求的值．32.已知，，求的值．33.若，且及，则，.34.设，是方程的两个实数根（），求的值．（1）（2）35.已知关于的一元二次方程．若方程有实数根，求实数的取值范围．若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．（1）（2）36.已知关于的一元二次方程．求证：方程总有实数根．设这个方程的两个实数根分别为，，且，求的值．（1）（2）37.关于的一元二次方程的两个实数根分别为，．求的取值范围．若，求的值．一元二次方程的根与系数的关系 题集【B】38.已知一元二次方程的两根为、，则（ ）．A.B.C.D.39.一元二次方程的两根为和，则的值是（ ）．A.B.C.（1）（2）40.已知：关于 的方程．若方程总有两个实数根，求 的取值范围．若两实数根、满足，求的值．41.若关于的二次方程的两实根互为倒数，则．42.若方程的一个根是另一个根的倍，则、、的关系是（ ）．A.B.C.D.43.已知关于的方程的两根分别是，，且满足，则的值是 ．44.已知关于的方程有两个实数根，，那么的取值范围是 ，若，则的值 ．（1）（2）（3）（4）（5）（6）45.已知，是方程的两个实数根，求下列代数式的值：．．．．．．46.已知实数，且满足，，则的值为（ ）．A.C.D.（1）（2）47.已知关于的一元二次方程有两个实数根，．求实数的取值范围．是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由．48.已知，是方程的两个根，求的值为 ．49.设的两实数根为、，那么以、为两根的一元二次方程是 ．。
一元二次方程根与系数关系
1
一元二次方程根与系数关系
知识定位
设一元二次方程有二实数根，则，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。
而且这部分内容题型多样，方法灵活，触及知识面广。
知识梳理
知识梳理1：求代数式的值
应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
知识梳理2：构造一元二次方程
如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
知识梳理3：证明等式或不等式
根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式
知识梳理4：研究方程根的情况
将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。
关于方程的实根符号判定有下述定理：
⑴方程有二正根，ab<0，ac>0；
⑵方程有二负根，ab>0，ac>0；
⑶方程有异号二根，ac<0；
⑷方程两根均为“0”，b=c=0，；
1。
第三讲 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系1、一元二次方程的根的判别式综上所述，一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有： （1）当0>∆时，方程有两个不相等的实数根； （2）当0=∆时，方程有两个相等的实数根； （3）当0<∆时，方程没有实数根。
2、一元二次方程的根与系数的关系如果()002≠=++a c bx ax 的两个根是21x x 、，那么ab x x -=+21，ac x x =⋅21。
[例1]已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．[例2]设方程22630x x --=，的两个根是12,x x ，求2221x x +、3231x x +、21x x -的值；[练1]若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．[练2]已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．类型三：利用韦达定理和根的判别式，判断方程根的情况[例]当m 取什么实数时，关于x 的方程()()05242=-+-+m x m x 分别有：（1）两个正实数根；（2）一正根和一负根；（3）正根绝对值大于负根绝对值；小知识：利用根的判别式和韦达定理，可以判定方程()002≠=++a c bx ax 的正根、负根情况：（1）方程有两个正根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅>-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b ；（0=∆时，两正根相等）（2）方程有两个负根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅<-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b ；（0=∆时，两负根相等）（3）方程有一正根和一负根⎪⎩⎪⎨⎧<=⋅>-=∆⇔004212a cx x ac b ； 此时又可进一步分为三种情况：①021>-=+ab x x 时，正根大于负根的绝对值；②021<-=+ab x x 时，正根小于负根的绝对值；③021=-=+ab x x ，即0=b 时，两根互为相反数。
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系
由于文本生成模型的字数限制是2048个字，我无法提供3000字的回答。
以下是一个简短版本的一元二次方程根与系数的关系的说明。
一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是实数且a不等于0。
该方程的解也被称为方程的根。
方程的根可以通过求解二次方程的解进行确定。
根的个数有三种可能的情况：
1. 如果二次方程有两个不同的实根，那么方程的判别式D = b^2 - 4ac大于0。
2. 如果二次方程有两个相等的实根，那么方程的判别式D = b^2 - 4ac等于0。
3. 如果二次方程没有实根，那么方程的判别式D = b^2 -
4ac小于0。
当判别式D大于0时，方程的两个根可以通过以下公式计算：
x = (-b + √D)/(2a) 和 x = (-b - √D)/(2a)
当判别式D等于0时，方程有两个相等的实根，即重根。
此时，根可以通过以下公式计算：
x = -b/(2a)
当判别式D小于0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。
复根可以表示为：
x = (-b ± √(-D))/(2a)
由上述说明可以看出，一元二次方程的根与系数之间存
在密切的关系。
判别式D的正负与方程的根的性质有直接关系。
判别式的值与a、b和c的值有关，因此，改变方程的系数（a、b或c）也会影响到根的性质。
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2a
a
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
x1 x2 ( b
b2 4ac ) • ( b 2a
b2
2
b2 4ac c
4a 2
a
b2 4ac )
2a
归纳：
如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的两个根分别是 x1 、 x2 ，那么：
b x1 x2 a
0 没有实数根
知识小竞赛
设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表
一元二次方程
方程的两个根
2
3
X1+X2
5
X1·6X2
X2＋5X＋6=0 X1= X2=
3
1
X2－4X＋3=0 2X2－X－1=0
X1= 1 X2= X1= 2 X2=
1
4
3
1
1
2
2
3X2＋X－2=0
X1=
2 3
X2=Leabharlann x1•x2c a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
巩固训练: 1.下列方程两根的和与两根的积各是多少?(不解方程）
（1）x2-3x+1=0 （2）3x2-2x=2
（3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
⒉已知方程 x2 (2m 1)x m 0 的两根之和
与两根之积相等，那么m的值为（ B ）
自选商场
用适当的方法解下列一元二次方程
1、x（2x-7）=2x
2、x²+4x=3
3、x²-5x=-4
4、2x²-3x1=0
已知关于x的方程 kx2-2(k+1)x+k-1=0 有两
个不相等的实数根，
① 求k的取值范围；
②是否存在实数k，使此方程的两个实数根 的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；
值是 。
2.已知 3- 2是方程x2+mx+7=0的 一个根,则m=________,另一根 为_______.
运用2：求关于两根的代数式的值
例3、利用根与系数的关系，求一元二次方程
2x2 3x 1 0
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和.
练习：
设 x1 、 x2是方程
2x2 4x 3 0
一元二次方程
根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 bx c 0(a 0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的的解的情况怎样确定？
0 两个不相等的实数根
b2 4ac 0 两个相等的实数根
A.1 B.-1 C. 2 D. -2
⒊方程 2x2 ax 2b 0 的两根和为4，积为
-3，则a= 8
，b= -3 。
运用1、求方程另一个根及k的值
例1 已知方程 5x2+kx-6=0的一个根是2，求
它的另一个根及k的值。
1、已知方程3 x2-19x+m=0的一个根
是1，它的另一个根是
，m的
值.
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
2.应用一元二次方程的根与系数的关系时，首先要 把已知方程化成一般形式。
3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意， 方程有实根的条件，即在初中代数里，只有当
b2 4ac 0时，才能应用根与系数的关系.
智力挑战
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m24=0有两个相等的实数解
的两个根，利用根与系数的 关系，求下列各
式的值：
x x （1）( 1)( 1)
1
2
（2） x13x2 +x1x23
（3）
x2 x1 x1 x2
运用3 根的判别式与根系关系的 综合运用 1、已知方程x2+(2k+1)x+k2－2=0的两实根 的平方和等于11，求k值。
2、若关于x的一元二次方程 x2 kx 4k2 3 0 的 两个实数根分别是 x1, x2,且满足 x1 x2 x1x2 .求k的
已知一元二次方程 x2 10x 20 b 0 。当b 为何值时，方程有一正、一负两个根？
1
1 3
2 3
猜想：
根据所填写的表格，请你猜想出x1 + x2 ， x1 ·x2与
方 程 的系数有什么关系吗？
证明你们的猜想
已知：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 。
求证：
x1
x2
b a
c x1 • x2 a
证明： x1 x2 b
2b b