学习外微分形式的一些感受

学习外微分形式的一些感受

PB07210141 焦凡书 外微分形式把Stokes,Gauss 公式联系起来,而且推广到高维空间。初学时觉得很“神奇”，查阅了一些书籍后才知道Poincare ’指出多重积分的体积元素应有一个正负定向导致了外微分的出现。而外微分的出现可以说标志着微积分从古典走向现代。在物理，力学，偏微分方程，微分几何中，外微分发挥了巨大的作用。外微分有其更本质的含义，下面是我的一些总结和感受。

如果我们研究曲面（双侧曲面）的方向性，那么：在双侧曲面上任意取定一点M ，并在M 处选定一个单位法向量n(M)，对于曲面S 上任意一点M ’，在S 上做一条连接M,M ’的曲线，由n(M ’)沿曲线连续变化的原则，就可以唯一的确定M ’处的单位法向量n(M ’)，从而就完全确定了双侧曲面的一个侧。曲面S 在M 处的单位法向量有且仅有两个，它们是互为相反方向的单位向量，这两个向量正好确定了曲面的两个定侧。

在双侧曲面内令：x=x(u,v) y=y(u.,v)

则面积元素dA=dxdy=|

())

(v u y x ,,∂∂|dudv=|

v

y u y v x

u x ∂∂∂∂∂∂∂∂|dudv=(

u

y v x v

y u x ∂∂∂∂∂∂∂∂_

)dudv

若将x,y 对换dA=dydx=|

())

(v u x y ,,∂∂|dudv=|

v

x u x v y

u y ∂∂∂∂∂∂∂∂|dudv=(

v

y u x u

y v x ∂∂∂∂∂∂∂∂_

)dudv

可得dxdy=-dydx

dxdx=0

我们把满足上述关系即：两个相同微分乘积为零，不同微分乘积变换顺序时变号的微分之间的乘积称为微分外积，用∧ 表示。由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式。若P ,Q,R,H 是x,y,z 的函数，则Pdx+Qdy+Rdz 为一次外微分形式。Pdy ∧dz+Qdz ∧dx+Rdx ∧dy 为二次外微分形式，Hdx ∧dy ∧dz 为三次外微分形式。 可以证得（1）Newton-Leibniz 公式用外微分表示⎰D

df =f(b)-f(a)=⎰∂D

f

（2）Green 公式用外微分表示=ωPdx+Qdy,

⎰

∂+D

Qdy Pdx =dxdy y

P x

Q D

)(

∂∂-

∂∂⎰,

⎰⎰∂=

D

D

d ωω

（3）Gauss 公式用外微分表示=ωPdy ∧dz+Qdz ∧dx+Rdx ∧dy,

⎰⎰

S

Pdy ∧dz+Qdz ∧dx+Rdx ∧dy=

)(

z

R y

Q x

P V

∂∂+

∂∂+

∂∂⎰⎰⎰

dx ∧dy ∧dz,

⎰⎰⎰⎰⎰

∂=V

V

d ωω

（4

）

Stokes

公

式用外微分表示=ωPdx+Qdy+Rdz,

)(

)(

)(

dy dx y

P x

Q dx dz x

R z

P dz dy z

Q y

R Rdz Qdy Pdx L S

∧∂∂-

∂∂+∧∂∂-

∂∂+∧∂∂-

∂∂=

++⎰

⎰⎰

,

⎰⎰⎰=

∂S

S

d ωω

而数量场的梯度，向量场的散度，旋度分别与之对应。因此他们的关系可以表示为

定理 设为ω外微分形式，d ω是它的外微分，则有⎰⎰=

∂G

G

d ωω

G 是d ω的积分区域，∂G 表示G 的边界。

Stokes 公式揭示了微分与积分在空间上的关系。若令ω，d 为算子，则它们对偶. 所以说Stokes 公式是微积分中最本质的，由它引出了微分几何，广义相对论的很多

内容，我的知识有限，希望以后有能力了解更多。 参考书目：《高等数学导论》 《微积分五讲》龚升