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81 为了看清图3.3.4中交叉项的行为，我们将该图作了旋转，因此，水平方向为频率，垂直方向为时间。

图3.3.3　例3.3.3的WVD 图3.3.4　例3.3.4的WVD例3.3.5 令　()2142t x t e ααπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭（3.3.5）可求出其WVD 为 ()22,2exp[]x W t t ααΩ=--Ω（3.3.6）这是一个二维的高斯函数，，且是恒正的，如图3.3.5所示。

()Ω,t W x 由该图可以看出，该高斯信号的WVD 的中心在处，峰值为2。

参数控()()0,0,=Ωt α制了WVD 在时间和频率方向上的扩展。

越大，在时域扩展越小，而在频域扩展越大，反α之亦然。

其WVD 的等高线为一椭圆。

当WVD 由峰值降到时，该椭圆的面积。

1-e π=A 它反映了时－频平面上的分辨率。

如果令　，，则的谱图()2142t h t e ααπ-⎛⎫=⎪⎝⎭()2142t x t eββπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭()t x ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω+-+-+=Ω2221exp 2,βαβααββααβt t STFT x82（3.3.7）图3.3.5　例3.3.5的WVD,（a ）高斯信号，（b ）高斯信号的WVD它也是时－频平面上的高斯函数。

当其峰值降到时，椭圆面积。

这一结果说明，1-e π2=A WVD 比STFT 有着更好的时－频分辨率。

如果令 ()()tj et t x t x 001Ω-=（3.3.8）式中是（3.3.5）式的高斯函数。

是的时移加调制，其WVD 是：()t x ()t x 1()t x （3.3.9）()12200,2exp[()()/]x W t t t ααΩ=---Ω-Ω它将（3.3.6）式的由移至处。

其WVD 图形请读者()Ω,t W x ()()0,0,=Ωt ()()00,,Ω=Ωt t 自己画出。

83例3.3.6令 ()2201422j tt j t z t ee e αβαπΩ-⎛⎫=⎪⎝⎭（3.3.10）它是由（3.3.5）式的与()t x ()202j t j t y t Aee βΩ=（3.3.11）相乘而得到的（在（3.3.9）式中，A=1）。

我们已熟知为线性调频Chirp 信号，其WVD()t y 是： ()()20,2y W t A t πδβΩ=Ω-Ω-（3.3.12）其图形我们已在图1.1.2中给出。

（3.3.9）式的WVD 是()t z ()220,2exp[()/]z W t t t αβαΩ=--Ω-Ω-（3.3.13）它是恒正的。

显然，高斯信号、Chirp 信号都是（3.3.9）式的特例。

如图3.3.6()t z ()Ω,t W z 所示。

84图3.3.6　例3.3.6的WVD ，（a ）Chirp 信号，（b ）Chirp 信号的WVD例3．3．7 令为一多普勒信号。

所谓多普勒信号指的是一个物体相对一个位置不变的()x t “观察者（如雷达）”运动时，“观察者”所听到或所记录到的该物体运动的信号，如其运动的速度或发出的声音。

众所周知，当该运动物体接近和远离“观察者”时，其信号当频率会发生变化。

图3.3.7 给出了该信号当时域波形、频谱及时－频分布。

由该图可看出信号的能量随时间和频率的分布。

图3.3.6　例3.3.6的WVD3.4 Wigner 分布的实现如同许许多多的其它信号处理的算法一样，我们最终的目的是要将它们应用于科研或工程的实际。

这时所遇到的问题同样是信号的离散化及数据的有限长问题。

在（3.1.2）式中，若令对信号的抽样间隔为，即，并令，则()t x s T s nT t =s kT =2τ85，这样，（3.1.2）式对的积分变成对k 的求和，即s kT 2=ττ （3.4.1）()()()∑∞-∞=Ω-*-+=Ωk T k j s s s ssx s e kT nT x kT nTx T t W 22,若将归一化为1，并考虑到相对离散信号的频率［19］，则上式变为：s T s T Ω=ω （3.4.2）()()()∑∞-∞=-*-+=k k j x ek n x k n x t W ωω22,我们知道，将变成，则的频谱将变成周期的频谱，周期为，()t x ()n x ()t x ()Ωj X ()ωj eX π2且对应的抽样频率为。

与此同样的是，的WVD 也变成周期的，π2s f ()t x ()Ω,t W x ()ω,n W x 但是，由（3.4.2）式，的周期为，即：()ω,n W x π （3.4.3）()()()()∑∞-∞=+-*-+=+k k j x e k n x k n x n W πωπω22,众所周知，若的最高频率为，那么，抽样频率至少应满足。

这是由抽()t x max f max 2f f s ≥样定理所决定的。

如若按对抽样，那么用抽样后的做WVD ，由于其周max 2f f s =()t x ()n x 期变为，因此在WVD 中必将产生严重的混迭。

解决这一问题的直接方案是提高抽样频率，π要求至少要满足s f max 4f f s ≥（3.4.4）但是，一旦信号由抽样变成后，要想对重新抽样是困难的。

解决()t x max 2f f s =()n x ()t x 该问题的较为简便的方法有两个： １、采用解析信号，由解析信号的性质可知，将作Hilbert 变换得到，按()t x ()t xˆ构成解析信号。

只包含的正频率部分。

这样，既可减轻由正、()()()t xj t x t z ˆ+=()t z ()t x 负频率分量所引起的交叉项干扰，又可在保持原有抽样频率的情况下，避免了max 2f f s =频域的混迭；86２、对作插值，人为地将其抽样频率提高。

具体办法是：()n x s f 若想将抽样频率提高一倍，则可将每两点之间插入一个零，然后再让该信号通s f ()n x 过一低通数字滤波器，从而将插入的这些零值变成原信号相应点的插值，有关插值的原理，详见本书第5章，此处不在讨论。

对（3.4..3）式，现余下两个问题要解决。

一是频率仍需离散化，二是式中对的求ωk 和需要取有限长。

式中是信号的时间序号，代表时移。

现令k x n （3.4.5）()()()k n x k n x k n r x -+=*,并假定的长度为，即，现分析一下的取值情况。

()k x N 1,,1,0-=N k ()k n r x ,如图3.4.1（a ）所示，，将翻转得，现将、()1,,1,0-=N k x ()k x ()k x -()k x 分别向左和向右移动个时刻，如取，，则如图3.4.1（b ）和（c ）所示。

()k x -n 2=n 6=N（a ）、()k x（b ）、()k x +2（c ）、()k x -2 图3.4.1 的解释()k n r x ,当时，读者不难写出：6=N kk k⋅⋅⋅⋅87（3.4.6） (){}(){}(){}(){}(){}(){}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫===-===-===-===-======******************０ 时， ，，时， ，，，，３时， ，，，，时， ，，时， 时，１５２４３３４２５１k x x k r n k x x x x x x k r n k x x x x x x x x x x k r n k x x x x x x x x x x k r n k x x x x x x k r n k x x k r n x x x x x x 55354453041322314002112000,551~1,442~2,32~2,221~1,110,00假定将都扩充成点序列，即在其后补零，那么，（3.4.2）式可写成()k n r x ,N （3.4.7）()()∑-=kkl Njxx ek n r l n W π4,2,式中，在任一时刻的长度都变成了，的实际取值情况由（3.4.4）决定。

这样，()k n r x ,n N k 对（3.1.6）式稍作变化后即可用DFT 来实现。

上述过程即是离散WVD 的思路。

具体实现方案见MATLAB 中High －Order Spectral Analysis Toolbox 中的Wig2.m 文件。

注意：在频域是周期的，周期为（归一化频率为0.5）。

()l n W x ,π 该方法有明显的缺点，即在不同的下，计算时所利用的的点数有着明显n ()k n r x ,()k x 的不同（见（3.4.6）式）。

此外，由于WVD 是二次函数的分布，有交叉项存在，因此，希望能对这种交叉项有所抑制。

针对这两个原因，人们自然提出了“加窗WVD ”，即“伪WVD （Pseudo WVD ，PWVD ）”。

取窗函数，应是实对称的函数，假定其宽度为，即当时，()n w ()n w 14-L L k 2≥，用乘，由（3.4.5）式得：()0=k w ()k w ()k n r x , (3.4.8)()()()() k n x k n x k w k n pr x -+=*,将其代入（3.4.2）式，有88()()()()()()()()()()()()()()()()()()() n x n x e k n x k n x k w n x n x e k n x k n x k w e k n x k n x k w e k n x k n x k w k n PW L k k j L k k j L k kj L L k kj x *-=-**-=-*--=-*---=-*-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=--++-+=-+=∑∑∑∑22Re 42222,12021202012212122ωωωω现将离散化，可将分成等份，即，则（3.4.9）式变为：ωπ2L 2l Ll 22πω=(3.4.10)()()()()()() n x n x e k n x k n x k w l n PW L k L kl j x *-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-*-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+=∑2Re 4,12024π式中。

注意, 由该式，有12~0-=L l (3.4.11)()() iL l n Pw l n PW x x +=,,即以L 为周期。

这样，若按（3.4.10）式计算点FFT ，则求出的将()l n PW x ,L 2()l n PW x ,有一半的冗余。

通常，我们假定： (3.4.12)()() ，当L k k n x k n x >=-+*0这样，（3.4.10）式可变成(3.4.13)()()()()()() n x n x e k n x k n x k w l n PW L k kl L j x *-=⎪⎭⎫⎝⎛-*-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+=∑2Re 4,102π这是一个标准的L 点的FFT 。