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胡广书《现代信号处理教程》第一章

胡广书《现代信号处理教程》第一章

1. 傅里叶变换在时间、频率“定位”的不足
如果我们想求一个信号,如 x(t ) ,在某一个频 率,如 0 处的值,则
X ( j0 ) x(t )e j 0t d t


需要
t ~

反之,如果我们想求某一个时刻,如 t 0
处的值,需要 ~
1 x(t0 ) 2
a: 是尺度定标常数,决定频率中心及带宽; b: 是位移,决定分析位置; (t ) : 又称为基本小波或母小波。
方法四、信号的子带分解
将信号的频谱均匀或非均匀地分解成若干部分, 每一个部分都对应一个时间信号,我们称它们为 原信号的子带信号 。
H0 ( z)
x ( n)

x0 (n)
M
v0 (n)
“分辨率(resolution)”是信号处理中的基本概念, 能作出辨别的时域或频域的最小间隔(又称最小分辨
细胞)。频率分辨率是通过一个频域的窗函数来观察 频谱时所看到的频率的宽度,时间分辨率是通过一个 时域的窗函数来观察信号时所看到的时间的宽度。显 然,这样的窗函数越窄,相应的分辨率就越好。分辨
能力的好坏一是取决于信号的特点,二是取决于信号
(二)多抽样率信号处理; (三)小波变换; (四)高阶统计量分析; (五)独立分量分析(ICA); (六)压缩感知理论(CS);
现代信号处理这十多年来的新进展
一、Hilbert-Huang变换 二、信号的稀疏表达 (sparse representations) -1998;
-1998;
三、压缩感知 ( compressed sensing,CS) -2006
g ( , ) 1 then
Cohen类分布变成Wigner-Ville分布

现代信号处理--清华胡广书讲义-第6章滤波器组基础

现代信号处理--清华胡广书讲义-第6章滤波器组基础

150第6章 滤波器组基础6.1 滤波器组的基本概念一个滤波器组是指一组滤波器,它们有着共同的输入,或有着共同的输出,如图6.1.1所示。

图6.1.1 滤波器组示意图,(a )分析滤波器组,(b )综合滤波器组。

假定滤波器)(0z H ,)(1z H ,…,)(1z H M -的频率特性如图6.1.2(a )所示,)(n x 通过这些滤波器后,得到的)(0n x ,)(1n x ,…,)(1n x M -将是)(n x 的一个个子带信号,它们的频谱相互之间没有交叠。

若)(0z H ,)(1z H ,…,)(1z H M -的频率特性如图6.1.2(b )所示,那么,)(0n x ,)(1n x ,…,)(1n x M -的频谱相互之间将有少许的混迭。

由于)(0z H ,)(1z H ,…,)(1z H M -的作用是将)(n x 作子带分解,因此我们称它们为分析滤波器组。

将一个信号分解成许多子信号是信号处理中常用的方法。

例如,若图6.1.1中的2=M ,那么,在图6.1.2中,)(0z H 的频率特性将分别占据2~0π和ππ~2两个频段,前者对应低频段,后者对应高频段。

这样得到的)(0n x 将是)(n x 的低频成份,而)(1n x 将是其高频)(0n x )(1n x )(1n x M -)(n x(ˆ0x (ˆ1x)(ˆ1n xM -)(ˆn x151成份。

我们可依据实际工作的需要对)(0n x 和)(1n x 作出不同的处理。

例如,若我们希望对)(n x 编码,设)(n x 的抽样频率为20KHz ,若每个数据点用16bit ,那么每秒钟需要的码图6.1.2 分析滤波器组的频率响应,(a )无混迭,(b )稍有混迭流为320Kbit 。

若)(n x 是一低频信号,也即)(n x 的有效成份(或有用成份)大都集中在)(0n x 内,)(1n x 内含有很少的信号能量。

这样,我们可对)(0n x 仍用16bit ,对)(1n x 则用8bit ,甚至是4bit ,由于)(0n x 和)(1n x 的带宽分别比)(n x 减少了一倍,所以,)(0n x 和)(1n x 的抽样频率可降低一倍。

现代信号处理教程 - 胡广书(清华)

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- 230 -第8章 M 通道滤波器组8.1 M 通道滤波器组的基本关系图8.1.1是一个标准的M 通道滤波器组。

图8.1.1 M 通道滤波器组由第五章~第七章的讨论,我们不难得到图中各处信号之间的如下相互关系: ()()()k k X z X z H z = (8.1.1)1101111()()1 ()() (8.1.2)M lMk kM l M l lMMMk M l V z XW z M X Wz H W z M-=-===∑∑及 101()()()() M l lMk k Mk M l U z V z X zWH zW M-===∑ (8.1.3)滤波器组的最后输出111ˆ()()()1()()() (8.1.4)M k kk M M llM k M k l k X z G z U z X zW H zW G z M-=--====∑∑∑. . . ˆ()z (X- 231 -令 101()()() (8.1.5)M ll kM k k A z HzW G z M-==∑则 10ˆ()()() (8.1.6)M l l Ml X z A z X zW -==∑ 这样,最后的输出ˆ()X z 是()lMX zW 的加权和。

由于 (2/)()()j lj l M M z e X zW X e ωωπ-== (8.1.7)在0l ≠时是()j X e ω的移位,因此,ˆ()j Xe ω是()j X e ω及其移位的加权和。

由上一章的讨论可知,在0l ≠时,(2/)()j l M X e ωπ-是混迭分量,应想办法去除。

显然,若保证()0 1~1l A z l M ==- (8.1.8)则可以去除图8.1.1所示滤波器组中的混迭失真.再定义1001()()()()M kk k T z A z Hz G z M-==∑ (8.1.9)显然,()T z 是在去除混迭失真后整个系统的转移函数。

这时,ˆ()Xz 是否对()X z 产生幅度失真和相位失真就取决于()T z 的性能。

现代信号处理教程 - 胡广书(清华)

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69第3章 Wigner 分布3.1 Wigner 分布的定义我们在第一章讨论了对非平稳信号作时-频联合分析的必要性,在第二章介绍了具有线性形式的时-频分布,如STFT 及Gabor 变换。

这一类形式的时-频分布还有小波变换,我们将在第九章以后详细讨论。

本章及下一章集中讨论具有双线性形式的时-频分布,主要是Wigner 分布及具有更一般形式的Cohen 类分布。

所谓双线性形式,是指所研究的信号在时-频分布的数学表达式中以相乘的形式出现两次。

在有的文献中又称为非线性时-频分布。

令信号()t x ,()t y 的傅立叶变换分别是()Ωj X ,()Ωj Y ,那么,()t x ,()t y 的联合Wigner分布定义为:()()(),,22j x y W t x t y t e d ττττ∞-Ω-∞Ω=+-⎰* (3.1.1)信号()t x 的自Wigner 定义为 ()()(),22j x W t x t x t e d ττττ∞-Ω-∞Ω=+-⎰* (3.1.2)Wigner 于1932年首先提出了Wigner 分布的概念[120],并把它用于量子力学领域。

在之后的一段时间内并没有引起人们的重视。

直到1948年,首先由Ville 把它应用于信号分析。

因此,Wigner 分布又称Wigner -Ville 分布,简称为WVD 。

1973年,DE .Bruijn 对WVD分布作了评述,并给出了把WVD 用于信号变换的新的数学基础[32]。

1966年,Cohen 给出了各种时-频分布的统一表示形式[46],1980年,Classen 在Philips .J .Res .上连续发表了三篇关于WVD 的文章[38,39,40],对WVD 的定义、性质等作了全面的讨论。

由于这些工作,使得80年代后对WVD 的研究骤然引起了人们的兴趣,发表的论文很多,也取得了一些可喜的成果。

由下面的讨论可知,在已提出的各种时-频分布中,WVD 具有最简单的形式,并具有很好的性质。

清华大学《现代信号处理》课件

清华大学《现代信号处理》课件

现代信号处理(离散随机信号处理)电子工程系本课程要讨论的主要问题:(1)对信号特性的了解随机信号(随机过程,时间序列––随机过程的一个实现)信号模型→参数估计→现代谱估计:参数化谱估计讨论信号模型及模型参数的估计问题,比较参数谱估计方法和周期图方法的优劣。

(2)对统计意义下最优滤波器设计的研究平稳条件下:Wiener滤波器理论非平稳条件下:Kalman滤波理论上的目标,实际算法可达到的最佳结果(3)对环境的自适应,具备“学习能力”的滤波算法自适应均衡、波束形成、线性自适应滤波器(4)更多信息的利用,挖掘(针对非高斯问题)线性系统、功率谱:二阶矩,高斯过程的完全刻划非线性、多谱:高阶量,循环平稳(5)对时间(空间)–––频率关系的适应性:全局特性与局域特性,小波变换,时频分析信号处理算法设计面向的几个主要因素n信噪比n先验知识n雷达n通信系统n电子对抗n对先验知识的利用:统计基础上的假设、学习过程n算法复杂性与性能要求的匹配性一些进展中的课题盲自适应信号处理序列贝叶斯估计、粒子滤波阵列信号处理等等与信号处理紧密关联的学科人工神经网络统计学习理论模式识别等等教材n张旭东,陆明泉:离散随机信号处理,2005年10月,清华大学出版社主要参考书①S. Haykin, Adaptive Filter theory, Third Edition, Prentice-Hall, 1996,//Fouth Edition 2001 (电子工业出版社均有影印本)①S.M. Kay, Modern Spectral Estimation: Theory & Application,Prentice-Hall, 1988①S.M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory, Prentice Hall PTR, 1993.①S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic press, 1998,Second Edition 1999①扬福生, 小波变换的工程分析与应用, 科学出版社, 2000.① D. G. Manolakis, et,al. Statistical and Adaptive Signal Processing, Mcgraw-Hall, 2000.①J. G. Proakis, et al. Algorithms for Statistical Signal Processing, Prentice hall, 2002①张贤达现代信号处理第2版清华大学出版社课程成绩n平时作业10%n2个Matlab作业40%(布置后2周内提交)n期末开卷考试50%1.1随机信号基础被噪声干扰的初相位是随机值的正弦波信号本质上均是随机的,但将信号作为随机信号处理,还是做为确定信号处理,与我们的应用目标和我们的先验知识有关,一般地,我们总是选择对应用有利的处理方式。

chapter04 清华大学《现代信号处理》讲义-胡广书

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1.幅度是中心在(0,0)的高斯信号; 2.在 θ , τ 两个方向上是振荡的,振荡频率 由 Ω 0 , t0 决定 ;注意,Ω 0 , t0 并不影响
AF的中心位置; 3. AF是复函数。
例2
α 2 x(t ) = ∑ exp − α (t − t i ) 2 + jΩ i t i =1 π
结论:Cohen 类的任一成员都可由Wigner分布 得到。
(5)用广义模糊函数表示
M x (θ,τ ) = Ax (θ,τ )g(θ,τ )
Cx (t,Ω) = ∫∫ M x (θ,τ )e
− j (θt +Ωτ )
dτdθ
(6)用广义时间相关表示
− jtθ ′ 定义: g ( t,τ ) = ∫ g (θ,τ ) e dθ
上一例已求出,中心在 (θ , τ ) = (0, 0) 处;
互项:
1 2 α 2 1 Ax1 ,x2 (θ,τ ) = exp − (θ −Ωd ) + (τ − td ) exp j ( Ωuτ +θ tu +Ωd tu 2π 4 4α
1 2 α 2 1 Ax1 ,x2 (θ,τ ) = exp − (θ −Ωd ) + (τ − td ) exp j ( Ωuτ +θ tu +Ωd tu ) 2π 4 4α
Wx ( t,Ω ) = ∫ rx (t , τ )e − jΩτ dτ
WVD定义为瞬时自相关对 时间延迟 的傅里叶正变换
τ
rx ( t,τ ) = ∫ Ax (θ ,τ ) e − jθ t dθ
Wx ( t,Ω ) = ∫ rx (t , τ )e − jΩτ dτ = ∫∫ Ax (θ ,τ ) e

现代信号处理教程 - 胡广书(清华)

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180第7章 两通道滤波器组7.1 两通道滤波器组中各信号的关系第6.1节已提及,滤波器组分为分析滤波器组和综合滤波器组。

分析滤波器组将)(n x 分成M 个子带信号。

若M =2,则分析滤波器组由一个低通滤波器和一个高通滤波器所组成,它们把)(n x 分成了一个低通信号和一个高通信号。

我们可依据这两个子带信号所具有的能量的不同,也即“重要性”的不同而分别给以不同的对待及处理。

例如,分别赋以不同的字长来实现信号的编码及压缩,或是别的处理。

处理后的信号经传输后再由综合滤波器组重建出原信号。

由于分析滤波器组将原信号的带宽压缩为1/M ,因此,对每一个子带信号均可作M 倍的抽取,从而将抽样率减低M 倍。

这样可减小编码和处理的计算量,同时,在硬件实现时也可以降低对系统性能的要求,从而降低成本。

在综合滤波器组前面,再作M 倍的插值,以得到和原信号相同的抽样率。

一个两通道滤波器组如图7.1.1所示。

图7.1.1两通道滤波器组如果)()(ˆn x n x=,或)()(ˆ0n n cx n x -=,式中c 和0n 为常数,我们称)(ˆn x 是对)(n x 的“准确重建(Perfect Reconstruction ,PR)”。

本节首先讨论图7.1.1中各信号间的关系,然后讨论实现准确重建的途径。

也即,如何确定)(0z H ,)(1z H ,)(0z G 和)(1Z G 才能去除混叠失真,幅度失真及相位失真。

由图7.1.1及第五章关于抽取与插值的输入、输出关系,对图中的分析滤波器组,有:)()()(00z H z X z X =,)()()(11z H z X z X =)181)]()([21)(2102100z X z X z V -+=)]()()()([212102121021z H z X z H z X --+= ( 7.1.1a )_)]()([21)(2112111z X z X z V -+=)]()()()([212112121121z H z X z H z X --+= (7.1.1b )即: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()()()()()(21)()(212121121121021010z X z X z H z H z H z H z V z V (7.1.2)对综合滤波器组,有:)()()()()(ˆ1100z G z U z G z U z X += 而 )()(200z V z U =,)()(211z V z U =所以 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()()()()(ˆ212010z V z V z G z G z X (7.1.3) 将(7.1.2)式代入(7.1.3)式,有:[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=)()()()()()()()(21)(ˆ110010z X z X z H z H z H z H z G z G z X(7.1.4)该式给出了)(ˆz X 和)(z X 及分析滤波器组)(z H i ,综合滤波器组)(z G i 之间的关系(i=0,1)。

现代信号处理教程_-_胡广书(清华)

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- 352 -
a1 (n)
a 0 ( n)
H0 (z-1)
′ ( n) a1
↑2
H0(z)
↓2
ˆ 0 ( n) a
d 1 2
H1(z)
↓2
图 12.1.1 双正交滤波器组
a1 ( n ) = a0 ( n ) ∗ h0 ( 2n )
= ∑ a0 ( k )h0 ( k − 2n ) = a0 ( k ), h0 ( k − 2n )
- 355 -
(12.1.14a)
ˆ 1 ( z ) = z − ( 2 l +1) H 0 ( − z −1 ) H
假定 l = 0 ,它们对应的时域关系是
(12.1.14b)
ˆ (1 − n ) h1 ( n ) = ( −1) n +1 h 0
ˆ ( n ) = ( −1) n +1 h (1 − n ) h 1 0
重建的充要条件是:
* ˆ 0 (ω ) + H 1* (ω + π ) H ˆ 1 (ω ) = 0 H 0 (ω + π ) H
(12.1.6a) (12.1.6b)

ˆ 0 (ω ) + H 1 (ω ) H ˆ 1 (ω ) = 2 H 0 (ω ) H
* *
证明:仿照(7.1.5)式的导出,有
ˆ ∗ (ω + π ) H 1 (ω ) = e − j ( 2 l +1)ω H 0 ˆ (ω ) = e − j ( 2 l +1)ω H ∗ (ω + π ) H 1 0

(12.1.13a) (12.1.13b)
ˆ 0 ( − z −1 ) H 1 ( z ) = z − ( 2 l +1) H
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81 为了看清图3.3.4中交叉项的行为,我们将该图作了旋转,因此,水平方向为频率,垂直方向为时间。

图3.3.3 例3.3.3的WVD 图3.3.4 例3.3.4的WVD例3.3.5 令 ()2142t x t e ααπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭(3.3.5)可求出其WVD 为 ()22,2exp[]x W t t ααΩ=--Ω(3.3.6)这是一个二维的高斯函数,,且是恒正的,如图3.3.5所示。

()Ω,t W x 由该图可以看出,该高斯信号的WVD 的中心在处,峰值为2。

参数控()()0,0,=Ωt α制了WVD 在时间和频率方向上的扩展。

越大,在时域扩展越小,而在频域扩展越大,反α之亦然。

其WVD 的等高线为一椭圆。

当WVD 由峰值降到时,该椭圆的面积。

1-e π=A 它反映了时-频平面上的分辨率。

如果令 ,,则的谱图()2142t h t e ααπ-⎛⎫=⎪⎝⎭()2142t x t eββπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭()t x ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω+-+-+=Ω2221exp 2,βαβααββααβt t STFT x82(3.3.7)图3.3.5 例3.3.5的WVD,(a )高斯信号,(b )高斯信号的WVD它也是时-频平面上的高斯函数。

当其峰值降到时,椭圆面积。

这一结果说明,1-e π2=A WVD 比STFT 有着更好的时-频分辨率。

如果令 ()()tj et t x t x 001Ω-=(3.3.8)式中是(3.3.5)式的高斯函数。

是的时移加调制,其WVD 是:()t x ()t x 1()t x (3.3.9)()12200,2exp[()()/]x W t t t ααΩ=---Ω-Ω它将(3.3.6)式的由移至处。

其WVD 图形请读者()Ω,t W x ()()0,0,=Ωt ()()00,,Ω=Ωt t 自己画出。

83例3.3.6令 ()2201422j tt j t z t ee e αβαπΩ-⎛⎫=⎪⎝⎭(3.3.10)它是由(3.3.5)式的与()t x ()202j t j t y t Aee βΩ=(3.3.11)相乘而得到的(在(3.3.9)式中,A=1)。

我们已熟知为线性调频Chirp 信号,其WVD()t y 是: ()()20,2y W t A t πδβΩ=Ω-Ω-(3.3.12)其图形我们已在图1.1.2中给出。

(3.3.9)式的WVD 是()t z ()220,2exp[()/]z W t t t αβαΩ=--Ω-Ω-(3.3.13)它是恒正的。

显然,高斯信号、Chirp 信号都是(3.3.9)式的特例。

如图3.3.6()t z ()Ω,t W z 所示。

84图3.3.6 例3.3.6的WVD ,(a )Chirp 信号,(b )Chirp 信号的WVD例3.3.7 令为一多普勒信号。

所谓多普勒信号指的是一个物体相对一个位置不变的()x t “观察者(如雷达)”运动时,“观察者”所听到或所记录到的该物体运动的信号,如其运动的速度或发出的声音。

众所周知,当该运动物体接近和远离“观察者”时,其信号当频率会发生变化。

图3.3.7 给出了该信号当时域波形、频谱及时-频分布。

由该图可看出信号的能量随时间和频率的分布。

图3.3.6 例3.3.6的WVD3.4 Wigner 分布的实现如同许许多多的其它信号处理的算法一样,我们最终的目的是要将它们应用于科研或工程的实际。

这时所遇到的问题同样是信号的离散化及数据的有限长问题。

在(3.1.2)式中,若令对信号的抽样间隔为,即,并令,则()t x s T s nT t =s kT =2τ85,这样,(3.1.2)式对的积分变成对k 的求和,即s kT 2=ττ (3.4.1)()()()∑∞-∞=Ω-*-+=Ωk T k j s s s ssx s e kT nT x kT nTx T t W 22,若将归一化为1,并考虑到相对离散信号的频率[19],则上式变为:s T s T Ω=ω (3.4.2)()()()∑∞-∞=-*-+=k k j x ek n x k n x t W ωω22,我们知道,将变成,则的频谱将变成周期的频谱,周期为,()t x ()n x ()t x ()Ωj X ()ωj eX π2且对应的抽样频率为。

与此同样的是,的WVD 也变成周期的,π2s f ()t x ()Ω,t W x ()ω,n W x 但是,由(3.4.2)式,的周期为,即:()ω,n W x π (3.4.3)()()()()∑∞-∞=+-*-+=+k k j x e k n x k n x n W πωπω22,众所周知,若的最高频率为,那么,抽样频率至少应满足。

这是由抽()t x max f max 2f f s ≥样定理所决定的。

如若按对抽样,那么用抽样后的做WVD ,由于其周max 2f f s =()t x ()n x 期变为,因此在WVD 中必将产生严重的混迭。

解决这一问题的直接方案是提高抽样频率,π要求至少要满足s f max 4f f s ≥(3.4.4)但是,一旦信号由抽样变成后,要想对重新抽样是困难的。

解决()t x max 2f f s =()n x ()t x 该问题的较为简便的方法有两个: 1、采用解析信号,由解析信号的性质可知,将作Hilbert 变换得到,按()t x ()t xˆ构成解析信号。

只包含的正频率部分。

这样,既可减轻由正、()()()t xj t x t z ˆ+=()t z ()t x 负频率分量所引起的交叉项干扰,又可在保持原有抽样频率的情况下,避免了max 2f f s =频域的混迭;862、对作插值,人为地将其抽样频率提高。

具体办法是:()n x s f 若想将抽样频率提高一倍,则可将每两点之间插入一个零,然后再让该信号通s f ()n x 过一低通数字滤波器,从而将插入的这些零值变成原信号相应点的插值,有关插值的原理,详见本书第5章,此处不在讨论。

对(3.4..3)式,现余下两个问题要解决。

一是频率仍需离散化,二是式中对的求ωk 和需要取有限长。

式中是信号的时间序号,代表时移。

现令k x n (3.4.5)()()()k n x k n x k n r x -+=*,并假定的长度为,即,现分析一下的取值情况。

()k x N 1,,1,0-=N k ()k n r x ,如图3.4.1(a )所示,,将翻转得,现将、()1,,1,0-=N k x ()k x ()k x -()k x 分别向左和向右移动个时刻,如取,,则如图3.4.1(b )和(c )所示。

()k x -n 2=n 6=N(a )、()k x(b )、()k x +2(c )、()k x -2 图3.4.1 的解释()k n r x ,当时,读者不难写出:6=N kk k⋅⋅⋅⋅87(3.4.6) (){}(){}(){}(){}(){}(){}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫===-===-===-===-======******************0 时, ,,时, ,,,,3时, ,,,,时, ,,时, 时,1524334251k x x k r n k x x x x x x k r n k x x x x x x x x x x k r n k x x x x x x x x x x k r n k x x x x x x k r n k x x k r n x x x x x x 55354453041322314002112000,551~1,442~2,32~2,221~1,110,00假定将都扩充成点序列,即在其后补零,那么,(3.4.2)式可写成()k n r x ,N (3.4.7)()()∑-=kkl Njxx ek n r l n W π4,2,式中,在任一时刻的长度都变成了,的实际取值情况由(3.4.4)决定。

这样,()k n r x ,n N k 对(3.1.6)式稍作变化后即可用DFT 来实现。

上述过程即是离散WVD 的思路。

具体实现方案见MATLAB 中High -Order Spectral Analysis Toolbox 中的Wig2.m 文件。

注意:在频域是周期的,周期为(归一化频率为0.5)。

()l n W x ,π 该方法有明显的缺点,即在不同的下,计算时所利用的的点数有着明显n ()k n r x ,()k x 的不同(见(3.4.6)式)。

此外,由于WVD 是二次函数的分布,有交叉项存在,因此,希望能对这种交叉项有所抑制。

针对这两个原因,人们自然提出了“加窗WVD ”,即“伪WVD (Pseudo WVD ,PWVD )”。

取窗函数,应是实对称的函数,假定其宽度为,即当时,()n w ()n w 14-L L k 2≥,用乘,由(3.4.5)式得:()0=k w ()k w ()k n r x , (3.4.8)()()()() k n x k n x k w k n pr x -+=*,将其代入(3.4.2)式,有88()()()()()()()()()()()()()()()()()()() n x n x e k n x k n x k w n x n x e k n x k n x k w e k n x k n x k w e k n x k n x k w k n PW L k k j L k k j L k kj L L k kj x *-=-**-=-*--=-*---=-*-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=--++-+=-+=∑∑∑∑22Re 42222,12021202012212122ωωωω现将离散化,可将分成等份,即,则(3.4.9)式变为:ωπ2L 2l Ll 22πω=(3.4.10)()()()()()() n x n x e k n x k n x k w l n PW L k L kl j x *-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-*-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+=∑2Re 4,12024π式中。

注意, 由该式,有12~0-=L l (3.4.11)()() iL l n Pw l n PW x x +=,,即以L 为周期。

这样,若按(3.4.10)式计算点FFT ,则求出的将()l n PW x ,L 2()l n PW x ,有一半的冗余。

通常,我们假定: (3.4.12)()() ,当L k k n x k n x >=-+*0这样,(3.4.10)式可变成(3.4.13)()()()()()() n x n x e k n x k n x k w l n PW L k kl L j x *-=⎪⎭⎫⎝⎛-*-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+=∑2Re 4,102π这是一个标准的L 点的FFT 。

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