二元函数的极限与连续

解
lim sin(xy) lim sin(xy) y
x0 x
y2
x0 xy
y2
u xy
lim sin u lim y
u0 u
y2
12 2
x2 y2 1 1
例5 求极限 lim x0
x2 y2
.
y0
解： lim
x2 y2 1 1 .
x0
x2 y2
为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如, z sin xy 图形如右图.
例如, x2 y2 z2 a2
z
左图球面.
D {(x, Baidu Nhomakorabea) x2 y2 a2}.
o
y
单值分支: z a2 x2 y2
x
z a2 x2 y2.
总结：
1.二元函数的所有学习上的知识都可 以从一元函数推广而来。我们今天就 可以用这个思想来求解二元函数的值 、定义域、极限和判定连续。
2.二元函数作为一个新的概念，和以前 的一元函数还是有区别的，比如定义域 画成图形是一个平面图形，而一元函数 图形的定义域往往是x轴上的区域。
y0
分子有理化lim
x2 y2
x0 y0
(x2

y2
)
(
x2 y2 1 1)
约分
1
2
三、二元函数的连续性
定义：设函数z f (x, y)在点P（0 x0 , y0 )的 某邻域内有定义，如果：
lim f (x, y) f (x0, y0 )
x x0 y y0
则称函数z f (x, y)在点P（0 x0 , y0 ) 处连续，则点P0称为z f (x, y)的连续点。
8.1 二元函数的极限与连续
二元函数的概念 二元函数的极限 二元函数的连续性
一、多元函数概念
（1）二元函数的定义
设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称z是变量 x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
例6 讨论函数
f
(
x,
y)


x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
解 取 y kx
lim
x0
x
2
xy
y
2
y0

lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
ykx

1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续． (称为间断点)
（2）找两种不同趋近方式，使lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，此时也可断言 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )处极限不存在．
sin(xy)
例 求极限 lim
.
x0 x
y2
所用知识点：lim sin u 1(u是 0的整体)
u0 u
不存在．
y0
证 取 y kx3,
lim
x0
x
x3 y 6 y2
lim x0
x3 kx3 x6 k2x6

1
k k
2
,
y0
ykx3
其值随k的不同而变化，
故极限不存在．
确定极限不存在的方法：（了解）
（1） 令P( x, y)沿 y kx 趋向于P0 ( x0 , y0 )，若 极限值与 k 有关，则可断言极限不存在；
f
( x,
y)

arcsin(3 x

x2 y2

y2)
的定义域．
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4

x

y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
（2）二元函数 z f ( x, y)的图形（几何意义）
二、多元函数的极限
定义：设二元函数 z f (x, y) 在点 P0(x0, y0) 的某个去心邻域内有定义，当点 P(x, y) 沿任何路径趋向点 P0 (x0, y0 ) 时，f (x, y) 无 限趋近于一个确定的常数 A，则称 A 是 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0) 时的极限。记 为： lim f ( x, y) A
设函数 z f ( x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的 P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x, y, z) ， 当 x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因 变量等概念.
例 求 f (x, y) 4 x2 y2的定义域．
解 4 x2 y2 0
所求定义域为
D {( x, y) | x2 y2 4}.
例求
x x0 y y0
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例如：
lim( x2
x0

y2 )sin
x2
1
y2

0
y0
例: 证明
lim
x0
x3 y x6 y2