1.1 数系的扩充和复数的概念

第三章数系的扩充与复数的引入本章概览教材分析复数在数学、力学、电学等其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础．本章内容分为两节：3.1数系的扩充和复数的概念，3.2复数代数形式的四则运算．教材通过问题情境：“方程x2＋1＝0在实数集中无解，如何设想一种方法使该方程有解？”引出扩充数系的必要性，从而引入虚数、复数的概念．复数实际上是一对有序数对，即a＋bi (a，b)，类比实数可以用数轴上的点表示，复数就可以在直角坐标系中用点或向量表示，从而有了复数的几何意义，使数和形得到了有机的结合．复数代数形式的四则运算可以类比代数式运算中的“合并同类项”“分母有理化”等，利用i2＝－1，将复数代数形式的四则运算归结为实数的四则运算，体现了化虚为实的化归思想．复数的加法、减法运算还可以通过向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来进行，这不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数及其加、减运算与向量及其加、减运算完美地统一起来．教材每节设置了“思考”“探究”，让学生通过类比思想，并借助于具体实例对数系进行了扩充，研究了复数代数形式的几何意义和复数加、减法的运算及几何意义，体现了《课标》以学生为主体的教学理念，有利于培养学生的思想素质和激发学习数学的兴趣和欲望．本章的重点是复数的概念及复数代数形式的四则运算，本章的难点是复数的引入和复数加、减法的几何意义．课标要求(1)在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(3)了解复数的代数表示法及其几何意义．(4)能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．教学建议(1)数的概念的发展与数系的扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求．建议教学时详细介绍从自然数系逐步扩充到实数系的过程，使数系的扩充与复数的引入更为自然，让学生充分领略数系扩充过程中所蕴涵的数学思想和科学发展思想．(2)在讲解复数的相关概念时，在“复数相等”环节，可以类比“相反数”的概念．(3)学习复数代数形式时的加、减、乘等运算时，可设置研究问题：用第二章“类比推理”思想，将多项式的运算法则与之进行类比．(4)删减的内容不必再补．对于弱化的部分，建议也只是在其出现的地方作适当延伸，不必重点讲解．课时分配本章教学时间大约需5课时，具体分配如下(仅供参考)3.1数系的扩充和复数的概念3．1.1数系的扩充和复数的概念整体设计教材分析教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：(1)提出问题(用什么方法解决方程x2＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；(2)回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满足原来的运算律)；(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i所满足的条件(使i2＝－1成立，满足原来的运算律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导．复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)．2过程与方法目标通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识．3．情感、态度与价值观通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．重点难点重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念．难点：虚数单位i的引进及复数的概念．教学过程引入新课请同学们回答以下问题：(1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗？(2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗？(3)在有理数集Q中，方程x2－2＝0有解吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结．活动成果：问题(1)在自然数集中，方程x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数；问题(2)在整数集中，方程3x－2＝0无解，为此引进分数，整数→有理数；问题(3)在有理数集中，方程x2－2＝0无解，为此引进无理数，有理数→实数．数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾．提出问题：从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？每一次扩充的主要原因是什么？每一次扩充的共同特征是什么？活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结．活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要．扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．设计意图回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．探究新知提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗？如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解？活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成．学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述．类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0的根，即i2＝－1；(2)新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．设计意图面对新问题的需要，感到扩充实数集的必要性，通过类比，猜想增添的新数需满足的条件．提出问题：同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达？实数a与实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示？活动设计：学生动手操作，尝试写出新数与实数加法和乘法的运算，然后教师引导，更正不正确的写法，统一新数的特点，为引出复数的概念做铺垫．活动成果：a＋i，bi，a＋bi.根据条件(2)，i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法和加法的交换律，从而都可以把结果写成a＋bi(a，b∈R)的形式．提出问题：形如a＋bi(a，b∈R)的数包括所有实数吗？包括你原来没遇到过的新数吗？写出实数系经过上述扩充后得到的新数构成的集合C.活动设计：学生思考，可以讨论，师生共同总结，得出复数的概念．活动成果：形如a＋bi(a，b∈R)的数，包括所有实数，也包括新数bi和a＋bi，实数a 和新数i可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样数的特殊形式，即a＝a＋0i，i＝0＋i.实数系经过上述扩充后，得到的新数集C＝{a＋bi|a，b∈R}．我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C叫做复数集，即C＝{a＋bi|a，b∈R}．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．注意：今后不做特殊说明，a，b∈R，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．设计意图让学生自己添加上这些新数，感受实数系的扩充过程，认识扩充后新数的特点，知道复数的代数形式及有关概念．提出问题：你认为满足什么条件，可以说这两个复数相等？活动设计：学生讨论探究a ＋bi ＝c ＋di 时，实部和虚部应满足的条件，教师补充． 活动结果：若a ＋bi ＝c ＋di(其中a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝b 且c ＝d ，即两个复数相等的充要条件是实部和虚部分别相等．特别地，a ＋bi ＝0⇔a ＝0且b ＝0.设计意图通过探究讨论，让学生对复数相等的概念达成共识，并揭示复数相等的内涵，利用两复数相等，可以得到关于实数的方程组，进而得到a ，b 的值．理解新知提出问题：对于复数z ＝a ＋bi ，当且仅当a ，b 满足什么条件时，z 为实数，为0，为虚数，为纯虚数？活动设计：学生思考、讨论，师生总结．活动结果：当且仅当b ＝0时，复数z ＝a ＋bi 是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，复数z ＝a ＋bi 为0；当且仅当b ≠0时，复数z ＝a ＋bi 是虚数；当且仅当a ＝0且b ≠0时，复数z ＝a ＋bi 为纯虚数．设计意图让学生进一步理解复数的代数形式，明确复数z ＝a ＋bi 为实数、虚数和纯虚数的充要条件．提出问题：实数系扩充到复数系后，实数集R 与复数集C 有怎样的关系？你能类比实数的分类，对复数进行合理的分类吗？试用韦恩图表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系．活动设计：小组讨论，学生尝试分类，教师引导归纳．活动结果：实数集R 是复数集C 的真子集，即R C .复数z ＝a ＋bi 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数) 复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系用图表示如下：设计意图让学生了解数系扩充后复数的正确分类及各数系之间的包含关系．提出问题：任意两个复数可以比较大小吗？若可以，请说明进行比较的方法；若不可以，请说明理由．活动设计：让学生思考，议论后发言，教师点拨．学情预测：学生可能不知所云，无法下结论，也可能类比实数的大小比较，认为可以比较大小．活动结果：若两个复数都是实数，则可以比较大小；否则就不能比较大小．因此，一般说来，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较其大小．运用新知例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 思路分析：根据复数的代数形式及实部和虚部的概念找出各复数的实部和虚部，根据虚数、纯虚数的概念判断．解：①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部0，虚部为0，是实数．点评：复数a ＋bi 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．巩固练习符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．解答：(1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2实数m 取什么数值时，复数z ＝m ＋1＋(m －1)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．思路分析：因为m ∈R ，所以m ＋1，m －1都是实数．由复数z ＝a ＋bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的取值．解：(1)当m －1＝0，即m ＝1时，复数z 是实数；(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；(3)当m ＋1＝0，且m －1≠0，即m ＝－1时，复数z 是纯虚数．点评：这是一道巩固复数概念的题目，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数的实部和虚部；然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程(或不等式)的方法求出相应的m 的取值．变式练习已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝______.提示：由M ∩N ＝{3}知，3∈M ，即有(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1. 例3已知(2x －1)＋i ＝y －(3－y)i ，其中x ，y ∈R ，求x ，y 的值．思路分析：根据两复数相等的概念，列出关于x 与y 的方程组，可求得x ，y 的值．解：根据复数相等的定义可得，⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )，解得x ＝52，y ＝4. 点评：根据两复数相等的定义求其中参数值的问题，应首先将复数转化为代数形式，并确定其实部和虚部，然后利用两复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等列出相应的方程组，然后解方程组求出参数的值．变练演编1．给出实数－1、1和0，你能构成哪些不同的复数？2．已知复数z ＝(x 2＋5x ＋6)＋(x 2－2x －15)i(x ∈R )，需要添加条件：____________，即可求实数x 的值．答案：1.可以构成不同的复数有：－1＋i ，－1＋0i ，1－i ，1＋0i ，i ，－i ；2．可以添加的条件很多，如z 为实数，z 为虚数，z 为纯虚数，z ＝0，z ＝6－15i 等等． 达标检测1．下列说法正确的是( )①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集．A ．①②③B ．①②④C ．②④D ．①②③2．a ＝0是复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )为纯虚数的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4ai 相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－44．以2i －5的虚部为实部，以5i －2i 2的实部为虚部的复数是__________．答案或提示：1.B 2.B3．C(提示：由两复数相等的条件列出关于a 的方程组)4．2＋2i(提示：先确定两个已知复数的实部和虚部，注意：i 2＝－1)课堂小结可以先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律等．1．内容知识：2．解题规律方法：3．思想方法：布置作业教材本节练习第3题，习题3.1 A 组1,2题．补充练习1．设集合C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是… ( )A ．A ∪B ＝C B ．A ＝BC ．A ∩B ＝D ．B ∪B ＝C2．在下列命题中，正确命题的个数为( )①两个复数不能比较大小；②1＋i 2>0；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b)＋(a ＋b)i 是纯虚数．A ．0B ．1C ．2D ．33．复数(2x 2＋5x ＋2)＋(x 2＋x －2)i 为虚数，则实数x 满足( )A ．x ＝－12B ．x ＝－2或－12C ．x ≠－2D ．x ≠1且x ≠－24．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i}，集合P ＝{－1,0}．若M ∩P ＝{0}，则实数m 的值为( )A ．－1B ．－1或4C ．6D ．6或－15．复数z 1＝a ＋|b|i ，z 2＝c ＋|d|i(a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1＝z 2的充要条件是__________．6．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝12＋4i? 答案或提示：1.D 2.A 3.D 4.A 5.a ＝c 且b 2＝d 26．解：(1)若z ∈R ，则m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0， 解之，得m ＝－3.(2)若z 是虚数，则m 须满足m 2＋2m －3≠0且m －1≠0，解之，得m ≠1且m ≠－3.(3)若z 是纯虚数，则m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧ m (m ＋2)m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，解之，得m ＝0或m ＝－2.(4)若z ＝12＋4i ，则m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧ m (m ＋2)m －1＝12，m 2＋2m －3＝4，解之，得m ∈∅．设计说明本节课的教学设计以问题为驱动，通过不断提出问题，研究问题，解决问题，使学生回顾旧知识获得新知识，完成数系的扩充和复数概念的教学．复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，本课时将已有知识和新学知识通过问题链设计教学，让学生体验已学过的数集的扩充历史，体会数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；通过小组合作学习，使学生了解数的发展过程和规律，对各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识，从而学生更容易积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类以及两复数相等的条件．备课资料数的发展史数的概念是从实践中产生和发展起来的．早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N .随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展．为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数．这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集．有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数．所谓无理数，就是无限不循环小数．有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集．数因为生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾．但是，数集扩到实数集R以后，像x2＝－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位．并由此产生了复数．(设计者：刘洪福)。