1.1 数系的扩充和复数的概念

第三章数系的扩充与复数的引入

本章概览

教材分析

复数在数学、力学、电学等其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础．

本章内容分为两节：3.1数系的扩充和复数的概念，3.2复数代数形式的四则运算．

教材通过问题情境：“方程x2＋1＝0在实数集中无解，如何设想一种方法使该方程有解？”引出扩充数系的必要性，从而引入虚数、复数的概念．复数实际上是一对有序数对，即a＋bi (a，b)，类比实数可以用数轴上的点表示，复数就可以在直角坐标系中用点或向量表示，从而有了复数的几何意义，使数和形得到了有机的结合．

复数代数形式的四则运算可以类比代数式运算中的“合并同类项”“分母有理化”等，利用i2＝－1，将复数代数形式的四则运算归结为实数的四则运算，体现了化虚为实的化归思想．

复数的加法、减法运算还可以通过向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来进行，这不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数及其加、减运算与向量及其加、减运算完美地统一起来．

教材每节设置了“思考”“探究”，让学生通过类比思想，并借助于具体实例对数系进行了扩充，研究了复数代数形式的几何意义和复数加、减法的运算及几何意义，体现了《课标》以学生为主体的教学理念，有利于培养学生的思想素质和激发学习数学的兴趣和欲望．本章的重点是复数的概念及复数代数形式的四则运算，本章的难点是复数的引入和复数加、减法的几何意义．

课标要求

(1)在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．

(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．

(3)了解复数的代数表示法及其几何意义．

(4)能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

教学建议

(1)数的概念的发展与数系的扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求．建议教学时详细介绍从自然数系逐步扩充到实数系的过程，使数系的扩充与复数的引入更为自然，让学生充分领略数系扩充过程中所蕴涵的数学思想和科学发展思想．

(2)在讲解复数的相关概念时，在“复数相等”环节，可以类比“相反数”的概念．

(3)学习复数代数形式时的加、减、乘等运算时，可设置研究问题：用第二章“类比推理”思想，将多项式的运算法则与之进行类比．

(4)删减的内容不必再补．对于弱化的部分，建议也只是在其出现的地方作适当延伸，不必重点讲解．

课时分配

本章教学时间大约需5课时，具体分配如下(仅供参考)

3.1数系的扩充和复数的概念

3．1.1数系的扩充和复数的概念

整体设计

教材分析

教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：(1)提出问题(用什么方法解决方程x2＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；(2)回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满足原来的运算律)；(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i所满足的条件(使i2＝－1成立，满足原来的运算律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导．

复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解．

课时分配

1课时．

教学目标

1．知识与技能目标

了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)．2过程与方法目标

通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识．

3．情感、态度与价值观

通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．

重点难点

重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念．难点：虚数单位i的引进及复数的概念．

教学过程

引入新课

请同学们回答以下问题：

(1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗？

(2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗？

(3)在有理数集Q中，方程x2－2＝0有解吗？

活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结．

活动成果：问题(1)在自然数集中，方程x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数；

问题(2)在整数集中，方程3x－2＝0无解，为此引进分数，整数→有理数；

问题(3)在有理数集中，方程x2－2＝0无解，为此引进无理数，有理数→实数．

数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾．

提出问题：从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？每一次扩充的主要原因是什么？每一次扩充的共同特征是什么？

活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结．

活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要．扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．

设计意图

回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．

探究新知

提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗？如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解？

活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成．

学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述．

类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0的根，即i2＝－1；(2)新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

设计意图

面对新问题的需要，感到扩充实数集的必要性，通过类比，猜想增添的新数需满足的条件．

提出问题：同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达？实数a与实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示？

活动设计：学生动手操作，尝试写出新数与实数加法和乘法的运算，然后教师引导，更正不正确的写法，统一新数的特点，为引出复数的概念做铺垫．

活动成果：a＋i，bi，a＋bi.

根据条件(2)，i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法和加法的交换律，从而都可以把结果写成a＋bi(a，b∈R)的形式．

提出问题：形如a＋bi(a，b∈R)的数包括所有实数吗？包括你原来没遇到过的新数吗？

写出实数系经过上述扩充后得到的新数构成的集合C.

活动设计：学生思考，可以讨论，师生共同总结，得出复数的概念．

活动成果：形如a＋bi(a，b∈R)的数，包括所有实数，也包括新数bi和a＋bi，实数a 和新数i可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样数的特殊形式，即a＝a＋0i，i＝0＋i.

实数系经过上述扩充后，得到的新数集C＝{a＋bi|a，b∈R}．

我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C叫做复数集，即C＝{a＋bi|a，b∈R}．

复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．注意：今后不做特殊说明，a，b∈R，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．设计意图

让学生自己添加上这些新数，感受实数系的扩充过程，认识扩充后新数的特点，知道复数的代数形式及有关概念．