2热传导方程的初值问题

§2热传导方程的初值问题

一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题)

⎪⎩

⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a t

u ),()0,(0

,),,(2

2

2ϕ （）

偏导数的多种记号xx x t u x

u

u x u u t u =∂∂=∂∂=∂∂22,,. 问题也可记为

⎩⎨

⎧+∞

<<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0

,,),(2ϕ.

Fourier 变换

我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上可

积，若积分

⎰

+∞

∞

-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。

将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1

+∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{

}

∞<=+∞-∞=+∞-∞⎰

+∞

∞

-dx x f f L L )(|

),(),(1

，称为可积函数空间.

连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,

{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。

定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分

),(ˆ)(21

λπ

λf dx e x f x i =⎰

+∞

∞

--

有意义,称为Fourier 变换, )(ˆ

λf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ⎰

+∞

∞

--=

=dx e x f f Ff x i λπ

λλ)(21)(ˆ)(

定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1

+∞-∞⋂+∞-∞∈C L f ,那么我们有

),()(ˆ21lim

x f d e f N

N

x i N =⎰

+-∞

→λλπ

λ

公式称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值.

通常将由积分

)()(21

x g d e g x i ∨+∞

∞

-=⎰

λλπ

λ所定义的变换称为Fourier 逆变换.

因此亦可写成

()

f f =∨

ˆ

即一个属于),(),(1

+∞-∞⋂+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.

在应用科学中经常把)(ˆ

λf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它

是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.

定理的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)

定理 设),(+∞-∞∈L f ，⎰

+∞

∞

--=dx e x f f

x i λπ

λ)(21

)(ˆ，则)(ˆ

λf 是有界连续函数,且 .0)(ˆlim =∞

→λλf

在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质.

Fourier 变换的性质： 1.（线性性质） 若.2,1,),

,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则

(),ˆˆ22112211f f f f αααα+=+∧

2.（微商性质）

若),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 则.ˆ

f i dx df λ=⎪⎭

⎫

⎝⎛∧

证明 由假设),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞

→x f x ,

事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x

⎰'+=0

)()0()(,

因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有

⎰

±∞

±±∞

→'+==0

)()0()(lim dt t f f a x f x

又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a .

由0)(lim =∞

→x f x ,利用分部积分公式

⎰

∞

+∞

--∧

'=

⎪⎭

⎫

⎝⎛dx e x f dx df x i λπ)(21

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--=⎰

+∞

∞

--∞

+∞

--dx e i x f e x f x i x

i ))(()(21λλλπ

).(ˆ)(2λλπ

λλf i dx e x f i x i ==⎰

+∞

∞

--

附注 这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常系

数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具. 3.（乘多项式）

若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(ˆ

)(λλ

f d d i

x xf =∧

. 证明 由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(ˆ

λf 是λ的连续可微函数,且有 []∧

+∞

∞

---=-=⎰

)()())((21

)(ˆx xf i dx e ix x f f d d x i λπ

λλ

附注 作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()

(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f

x f x f m Λ则 ())1(,)(ˆ≥=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∧

m f i dx f

d m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f m

Λ则

[

]

)1(,)(ˆ

)(≥=∧

m f d d i x f x m

m m

m

λλ

4．（平移性质）

若),,()(+∞-∞∈L x f 则

[])1()(ˆ)(≥=--∧

m f e a x f a i λλ

证明

[])

(ˆ)(21)(21

)()(λπ

π

λλλf e dy e y f y

a x dx e a x f a x f a i a y i x i -∞

+∞

-+-+∞

∞

--∧==--=

-⎰

⎰

5.（伸缩性质）

若),,()(+∞-∞∈L x f 则