2热传导方程的初值问题
热传导方程的求解
热传导方程的求解热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
求解热传导方程有多种方法，下面将介绍两种常用的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是一种常见且简单的求解热传导方程的方法。
它基于热传导方程的偏微分方程特性，将变量分离并进行独立的求解。
1. 问题设定假设需要求解的热传导问题为一维情况，物体的长度为L，初始时刻温度分布为u(x,0)=f(x)，物体两端保持恒温边界条件u(0,t) = A，u(L,t) = B。
2. 分离变量假设u(x,t)可表示为u(x,t) = X(x)T(t)，将u(x,t)代入热传导方程中，可得到两个方程：X''(x)/X(x) = T'(t)/αT(t)，其中α为热扩散系数。
由于左侧只依赖于x，右侧只依赖于t，所以二者必须等于一个常数λ。
3. 求解分离后的方程将上述得到的分离变量方程代入边界条件，可得到两个常微分方程，分别是X''(x)/X(x) = λ 和T'(t)/αT(t) = -λ。
这两个常微分方程可以求解得到X(x)和T(t)。
4. 求解系数通过使用初始条件u(x, 0) = f(x)，可以求解出常数λ的值，进而求解出X(x)和T(t)。
5. 求解问题最终将X(x)和T(t)重新结合，即可得到热传导问题的解u(x, t)。
二、有限差分法有限差分法是一种数值求解热传导方程的常用方法，它通过将连续的空间和时间离散化，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
1. 空间和时间离散化将物体的空间进行网格划分，时间进行离散化，并在网格节点上计算温度的近似值。
2. 差分方程将热传导方程中的偏导数进行近似，得到差分方程。
例如，可以使用中心差分法来近似偏导数。
3. 迭代求解根据差分方程，通过迭代计算每个网格节点的温度值，直到达到收敛条件。
4. 求解问题最终，根据求解的温度值，在空间和时间通过插值或者线性拟合等方法得到热传导问题的解。
二维热传导方程求解
二维热传导方程求解二维热传导方程是描述平面内物体温度分布随时间变化的数学模型，被广泛应用于工业制造、城市规划和环境模拟等领域。
本文将介绍二维热传导方程的求解方法及其应用。
一、二维热传导方程的基本形式二维热传导方程可以写成以下形式：∂u/∂t = α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u表示温度分布，t表示时间，x和y分别表示平面内的水平和竖直坐标，α为热传导系数。
二、二维热传导方程的求解方法为了求解二维热传导方程，需要确定初始条件和边界条件。
初始条件指在t=0时刻温度分布的初始状态，边界条件指平面内边界的温度（或热流）分布。
常见的求解方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
这里以有限差分法为例。
有限差分法是将待解区域划分成一个个小网格，用数值方法近似代替微分方程，然后逐步迭代求解。
假设在(x_i,y_j,t_n)处的温度为u_(i,j,n)，则可以用以下式子近似代替热传导方程：u_(i,j,n+1) = u_(i,j,n) + αΔt/Δx^2(u_(i+1,j,n)+u_(i-1,j,n)-2u_(i,j,n))+ αΔt/Δy^2(u_(i,j+1,n)+u_(i,j-1,n)-2u_(i,j,n))其中，Δt为时间步长，Δx和Δy为空间步长。
通过迭代计算，即可得到平面内任意位置随时间的温度变化规律。
三、应用实例二维热传导方程的应用范围非常广泛。
在工业制造中，可以用来分析材料的热处理过程，优化生产工艺；在城市规划中，可以用来预测城市内部的热岛效应，为城市绿化提供科学依据；在环境模拟中，可以用来模拟地下水温度变化、河流水温变化等。
例如，在炼钢过程中，需要控制钢材的温度分布，以保证钢材的物理性能。
通过建立二维热传导方程模型，可以计算出钢材表面的温度分布，进而调整生产参数，达到最佳的钢材质量。
在城市规划中，针对不同的城市形态和环境条件，可以建立相应的二维热传导方程模型，预测城市内不同区域的温度分布情况，并提出合理建议。
热传导方程的初值问题
§2热传导方程的初值问题一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题)⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）偏导数的多种记号xx x t u xuu x u u t u =∂∂=∂∂=∂∂22,,. 问题也可记为⎩⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0,,),(2ϕ.Fourier 变换我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上可积，若积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。
将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1+∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{}∞<=+∞-∞=+∞-∞⎰+∞∞-dx x f f L L )(|),(),(1，称为可积函数空间.连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。
定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分),(ˆ)(21λπλf dx e x f x i =⎰+∞∞--有意义,称为Fourier 变换, )(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ⎰+∞∞--==dx e x f f Ff x i λπλλ)(21)(ˆ)(定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞∈C L f ,那么我们有),()(ˆ21limx f d e f NNx i N =⎰+-∞→λλπλ公式称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值.通常将由积分)()(21x g d e g x i ∨+∞∞-=⎰λλπλ所定义的变换称为Fourier 逆变换.因此亦可写成()f f =∨ˆ即一个属于),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.在应用科学中经常把)(ˆλf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.定理的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)定理 设),(+∞-∞∈L f ，⎰+∞∞--=dx e x f fx i λπλ)(21)(ˆ，则)(ˆλf 是有界连续函数,且 .0)(ˆlim =∞→λλf在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质.Fourier 变换的性质： 1.（线性性质） 若.2,1,),,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则(),ˆˆ22112211f f f f αααα+=+∧2.（微商性质）若),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 则.ˆf i dx df λ=⎪⎭⎫⎝⎛∧证明 由假设),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞→x f x ,事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x⎰'+=0)()0()(,因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有⎰±∞±±∞→'+==0)()0()(lim dt t f f a x f x又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a .由0)(lim =∞→x f x ,利用分部积分公式⎰∞+∞--∧'=⎪⎭⎫⎝⎛dx e x f dx df x i λπ)(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰+∞∞--∞+∞--dx e i x f e x f x i xi ))(()(21λλλπ).(ˆ)(2λλπλλf i dx e x f i x i ==⎰+∞∞--附注 这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具. 3.（乘多项式）若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(ˆ)(λλf d d ix xf =∧. 证明 由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(ˆλf 是λ的连续可微函数,且有 []∧+∞∞---=-=⎰)()())((21)(ˆx xf i dx e ix x f f d d x i λπλλ附注 作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x fx f x f m Λ则 ())1(,)(ˆ≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧m f i dx fd m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f mΛ则[])1(,)(ˆ)(≥=∧m f d d i x f x mm mmλλ4．（平移性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])1()(ˆ)(≥=--∧m f e a x f a i λλ证明[])(ˆ)(21)(21)()(λππλλλf e dy e y f ya x dx e a x f a x f a i a y i x i -∞+∞-+-+∞∞--∧==--=-⎰⎰5.（伸缩性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])0(,)(ˆ1)(≠=∧k kf k kx f λ证明 无妨设,0<k 由定义[])(ˆ11)(1211)(21)(21)(kf k dy ke yf k dy k ey f y kx dxe kxf kx f kyi kyi x i λπππλλλ=⎪⎭⎫⎝⎛-===⎰⎰⎰∞+∞--∞-∞+-+∞∞--∧6.（对称性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则 ,)(ˆ)(λλ-=∨f f 证明⎰+∞∞-∨=dx e x f f x i λπλ)(21)(⎰+∞∞---=dxe xf x i )()(21λπ.)(ˆλ-=f7.（卷积定理）若),,()(),(+∞-∞∈L x g x f ⎰+∞∞--=*dt t g t x f x g f )()()(称为f 与g 的卷积,则),()(+∞-∞∈*L x g f ,且有()).(ˆ)(ˆ2)(λλπλgf g f =*∧证明 由积分交换次序定理⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞--=*dx dt t g t x f dx x g f |)()(|)(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤dt dx t g t x f )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt dx t x f t g )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⋅=dt t g dx x f )()( 故),()(+∞-∞∈*L x g f ,又由积分交换次序定理()()()().ˆˆ2)(21)(212)()(21)()(21)(λλππππππλλλλλλgf dy e y f dt e tg dx e t x f dt e t g dt t g t x f dx e g f yi t i t x i ti xi =⋅⋅=-=-=*⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞---∞+∞-∞+∞----+∞∞-+∞∞--∧下面作为例子,我们根据Fourier 变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier 变换.例1 设 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=Ax A x x f ,0,1)(1,(其中常数0>A ).求)(ˆ1λf .解 由定义⎰⎰----==AAx i AAx i dx e dx e x f f λλππλ21)(21)(ˆ11AAx i e i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπ121λλπA sin 2=. 例2 设⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(2x x e x f x , 求)(ˆ2λf . ⎰+∞--=221)(ˆdx ee f xi x λπλ⎰+∞+-=)1(21dx e x i λπ∞++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0)1(1121x i e i λλπλπi +=1121.例3 设,)(3xex f -=求)(ˆ3λf⎰+∞∞---=dx e ef x i xλπλ21)(ˆ3⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞--+∞+-0)1(0)1(21dx e dx e xi x i λλπ ⎪⎭⎫⎝⎛-++=λλπi i 11112121221λπ+=. 例4 设,)(24x e x f -=求)(ˆ4λf⎰+∞∞---=dx eef xi x λπλ221)(ˆ4⎰∞+∞---'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i ex i x λλπ1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞+∞---∞+∞---dx e xe i e e i x i x x x i λλλλπ222121[]∧-=22x xe iλ)(ˆ24λλλf d d -= ， 上面最后一个等式应用了性质3. 因为)(ˆ4λf 作为λ的函数适合下面常微分方程初值问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⎰∞+∞--2121)0(ˆ,)(ˆ2)(ˆ2444dx e f f d f d x πλλλλ, 解之得44221)(ˆλλ-=ef .例5 设,)(25Ax e x f -=（0>A ）,求)(ˆ5λf .由性质5()()AeA A f A x A f x f f 44455221)(ˆ1)()()(ˆλλλ-∧∧====.例6 ),()(4622Bx f eex f B x Bx ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--(0>B )()446622)/1(ˆ/11()(ˆλλλB eB Bf Bx f f -∨===.()()⎰+∞∞-∨*=*λλπλd e g f x g f xi )(21)( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλd e dy y g y f x i )()(21dy d e y g y f x i ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()(21dy d e y f e y g xy i iyx ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()()(21 )()(2x g x f ∨∨=π,()()g f gfg f ⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*∨∨∨∧∧ˆˆ22121πππ,于是()∧∧∧*=⋅g f g f π21,因为()gf g f ˆˆ2⋅=*∧π, 所以()()[]g f g f g f *=*=⋅∨∧∨ππ2121ˆˆ.最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier 变换的基本知识定义 设),(),,,()(21nn R L x x x f x f ∈=Λ那么积分())(ˆ)(21λπλf dx e x f nRx i n=⎰⋅-,有意义,称为)(x f 的Fourier 变换,)(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式.定理（反演公式）若)()()(1nn R L R C x f ⋂∈,则有())()(ˆ21limx f d e fNx i nN =⎰≤⋅∞→λλλλπ. ()⎰⋅∨=nRx i nd e g x g λλπλ)(21)(称为)(λg 的Fourier 逆变换.定理表明()()f f f f ＝∧∨∨=,ˆ容易证明关于一维Fourier 变换的性质1—7对于多维Fourier变换依然成立.根据上面Fourier 变换的定义,我们还有下面的结论： 8. 若),()()()(2211n n x f x f x f x f Λ=其中),,()(+∞-∞∈L x f i i 则有)(ˆ)(ˆ1ii ni f f λλ=∏= （） 利用这一性质,我们可求出函数221)(i Ax ni xA e ex f -=-∏==的Fourier 变式.事实上()AAx i i eAe42221λ-∧-=,()()AnAni Ax ni Ax ni eAe Ae ef i ii 4411122222121)(ˆλλλ--=∧-=∧-==∏=∏=⎪⎭⎫ ⎝⎛∏=.Poisson 公式在这一小节中我们应用Fourier 变换解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）在方程（）两边关于变量x 作Fourier 变换,⎰+∞∞--=dx e t x u t ux i λπλ),(21),(ˆ ,利用性质1和性质2,得到⎪⎩⎪⎨⎧==+=),(ˆˆ),,(ˆˆˆ022λϕλλt u t f ua dt u d 其中 ⎰+∞∞--=dx et x u t uxi λπλ),(21),(ˆ,⎰+∞∞--=dx e x x i λϕπλϕ)(21)(ˆ[]∧=),(),(ˆt x f t f λ.解之得⎰---+=t t a t a d e f e t u 0)(2222),(ˆˆ),(ˆττλϕλτλλ,现在对上式两边求反演,由反演公式,得()()⎰∨--∨-+=tt a ta d e f e t x u 0)(2222),(ˆˆ),(ττλϕτλλ （）由(),21422AAx e Aeiλ-∧-=取t a A 241=则ta x t a e ta e 2222241211λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 即t a x t a ee t a 22224121λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 令224121),(x ta eta t x g -=,[]t a e t x g 22),(λ-∧=,从而有()()g g e ta *21ˆˆˆ22ϕπϕϕλ==∨∨- ⎰+∞∞--=ξξξϕπd x g )()(21⎰∞+∞---=ξξϕπξd t ata x 224)()(21 （）同理我们有()()g f t g f ef t a *21),(ˆ),(ˆ),(ˆ)(22πτλτλτλτλ=-=∨∨-- ⎰∞+∞-----=ξτξτπτξd e f t a t a x )(4)(22),()(21（）于是得⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞----+=ξτπτξτξξϕπτξξd et a f d d t at x u t a x t ta x )(4)(04)(2222)(21),()(21),(在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解. 定理 若),()(+∞-∞∈C x ϕ,且)(x ϕ有界,则⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(在),0(+∞⨯R 上连续,且在),0(+∞⨯R 上具有任意阶的连续偏导数，),(t x u 是问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x xu a t u ),()0,(0,,0222ϕ的解,即),(t x u 满足方程和)(),(lim 00x t x u x x t ϕ=→→+. ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(⎰+∞∞--+-=ηηϕπξηηd e t a x ta x 2)2(12/)(特别说明：当)(x ϕ连续,)(x ϕ是某些无界函数时,),(t x u 的表达式亦是解（)(x ϕ无界时，也可以是解）.例1 求解⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=xux u at u t sin ,0222解 1、直接观察x e t x u t a sin ),(2-=是解. 2、⎰+∞∞--+=ηηϕπηd e t a x t x u 2)2(1),(⎰+∞∞--+=ηηπηd e t a x 2)2sin(1()⎰+∞∞---+=ηηηπηηd e t a x e t ax 222sin cos 2cos sin 1⎰+∞∞--=ηηπηd et a x 22cos sin 1⎰+∞∞---=ηπηηd e e x t ai 22212sin442212sin t a e x -=442212sin t a e x -=x e t a sin 2-=, ()42221λη-∧-=e e .例2求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=x ux u at u t cos ,0222的解x e t x u t a cos ),(2-=.例3求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+===1,202x u u a u t xx t 的解. 解1 直接观察t a x t x u 2221),(++= 2. []⎰+∞∞--++=ηηπηd e t a x t x u 21)2(1),(2[]⎰+∞∞--+++=ηηηπηd e t a t ax x 21441222t a x 2221++=从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.⎪⎩⎪⎨⎧++===1cos ,22x x u u a u t xx t 定理 设)(x ϕ在),(+∞-∞上连续且有界，),(t x f ，(,)x f x t 在],0[),(T ⨯+∞-∞上连续且有界，令 ⎰∞+∞---=ξξϕπξd etat x u ta x 224)()(21),(⎰⎰∞+∞-----+ξττξτπτξd e t f d a t a x t )(4)(0221),(21，其中常数0>a ，则有)(),(lim 00,0x t x u t x x ϕ=+→→；(,)u x t 问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a t u ),()0,(0,),,(222ϕ的解。
热传导方程的初边值问题
例4 周期初始温度分布 求解热传导方程txx u u =,(,0)x t -∞<<+∞>给定初始温度分布(,0)1cos 2,()u x x x =+-∞<<+∞。
解4(,)1cos2t u x t e x -=+.初始高斯温度分布例 5求解定解问题22220,(,0)(,0),()kx u u a x t tx u x e x -⎧∂∂-=-∞<<+∞>⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩，其中常数0k >.解22()4(,)()x s a tu x t s eds ϕ--+∞-∞=⎰222()4x s ks a teeds --+∞--∞=⎰2222(41)24ka t s xs x a teds +-+-+∞-∞=⎰22222224(41)()41414x ka t ka t s xka t ka t a teds +-+++-+∞-∞=⎰222222(41)()41441k ka t x x s ka t a t ka t e eds+---+∞++-∞=⎰2241kx ka t e-+=2241kx ka t -+=.§3初边值问题设长度为l ,侧表面绝热的均匀细杆,初始温度与细杆两端的温度已知,则杆上的温度分布),(t x u 满足以下初边值问题⎪⎩⎪⎨⎧≤<==≤≤=<<<<=-Tt t g t l u t g t u l x x x u T t l x t x f u a u xx t 0),(),(),(),0(,0),()0,(0,0),,(212ϕ 对于这样的问题,可以用分离变量法来求解.将边值齐次化令())()()(),(121t g t g lxt g t x U -+= 再作变换U u V -=引入新的未知函数,易知它满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≤≤-=<<<<-=-T t t l V t V l x x U x x V T t l x U t x f V a V t xx t 0,0),(,0),0(,0),0,()()0,(0,0,),(2ϕ 我们先考虑齐次方程,齐次边界的情形⎪⎩⎪⎨⎧≥==≤≤=><<=-)3.3(0,0),(),0()2.3(,0),()0,()1.3(0,0,02t t l u t u l x x x u t l x u a u xx t ϕ 解 设),()(),(t T x X t x u =代入方程),()()()(2t T x X a x X t T ''=',)()()()(2x X x X t T a t T ''='这等式只有在两边均等于常数时才成立. 令此常数为λ-,则有,02=+'T a T λ （3.4）,0=+''X X λ （3.5）先考虑（3.5）,根据边界条件(3.3),)(x X 应当满足边界条件0)(,0)0(==l X X （3.6）情形A ：当0<λ时,方程（3.5）的通解可以写成12(),X x C C e =+要使它满足边界条件（3.6）,就必须,021=+C C,021=+---lle C eC λλ由于,011≠-=------llllee eeλλλλ只能,021==C C 故在0<λ的情况得不到非平凡解. 情形B ：当0=λ时,方程（3.5）的通解可以写成,)(21x C C x X +=要满足边界条件（3.6）,,0,0211=+=lC C C 即021==C C .)(x X 也只能恒等于零.情形C ：当0>λ时,方程（3.5）的通解具有如下形式：,sin cos )(21x C x C x X λλ+=由边界条件,0)0(=X 知,01=C 再由,sin )(2l C l X λ=可知,为了使,02≠C 就必须,0sin =l λ于是),2,1(, ==k k l πλ),2,1(,222 ===k lk k πλλ （3.7）这样就找到了一族非零解),2,1(,sin)( ==k x lk C x X k k π（3.8） 称x lk C x X k k πsin)(=为常微分方程边值问题 ⎩⎨⎧==<<=''-0)()0(0,)()(l X X lx x X x X λ 的固有函数（特征函数）.而222l k πλ=称为相应的固有值（或特征值）.将固有值k λ代入方程（3.4）中,,02222=+'T lk a T π 可得tl k a k k eB t T 2222)(π-= （3.9）于是得到一列可分离变量的特解),2,1(,sin),(2222==-k x lk eA t x u tl k a k k ππ （3.10） 由于方程（3.1）及边界条件（3.3）都是齐次的,故可利用叠加原理构造级数形式的解,sin ),(),(112∑∑∞=-∞===k k tak k k x e A t x u t x u k λλ （3.11）其中222lk k πλ=.由（3.2）,为使在0=t 时,),(t x u 取到初值)(x ϕ,应成立,sinsin )0,()(11∑∑∞=∞====k k k k k x lk A xA x u x πλϕ （3.12）得出⎰=l k d lk l A 0sin )(2ξξπξϕ. （3.13） 得到问题（3.1）－（3.3）的解,sin ),(12∑∞=-=k k ta k x eA t x u k λλ其中222l k k πλ=,⎰=l k d lk l A 0sin )(2ξξπξϕ.定理 若,0)()0(],,0[1==∈l l C ϕϕϕ则,sin ),(12∑∞=-=k k tak x e A t x u k λλ （3.14）是 ⎪⎩⎪⎨⎧≥==≤≤=><<=-)3.3(0,0),(),0()2.3(,0),()0,()1.3(0,0,02t t l u t u l x x x u t l x u a u xx t ϕ 的古典解（经典解）.证明 由],,0[l C ∈ϕ得ϕ在],0[l 上可积.02|||()sin |l k k A d l lπϕξξξ=⎰ M d l l=≤⎰ξξϕ0|)(|2 对任意,0>δ当δ≥t 时,成立22()21(),k k n m n m a t a k k m nA e x M e t xλλδλ++--∂≤∂∂（任意整数,0m n ≥） 又对任意,0>p 而级数21k a p kk eλδλ∞-=∑收敛,所以21(sin )k m n a tk m n k A e t xλ+∞-=∂∂∂∑在δ≥≤≤t l x ,0上一致收敛.于是21(,)()k m n m n a tk m n m n k u x t A e t x t xλ++∞-=∂∂=∂∂∂∂∑，即级数∑∞=-=1sin ),(2k k t a k x e A t x u k λλ,当δ≥≤≤t l x ,0时,关于x 及t 具有任意阶的连续偏导数,并且求偏导与求和可以交换.由于级数的每一项都满足方程及边界条件,从而函数),(t x u 在δ≥t 时,确实满足方程及边界条件.再由0>δ的任意性,得),(t x u 在0t >时满足方程及边界条件, 且)).,0(],0([),(+∞⨯∈∞l C t x u再证)0(),(),(lim 0000l x x t x u t x x ≤≤=+→→ϕ由条件),()0(],,0[1l l C ϕϕϕ=∈02|||()sin |l k k A x xdx l l πϕ=⎰02|()cos |||l k l k l x xdx a k l l k πϕππ'==⎰()222111sin ,2k a tk k k A ex Ca C a k k λ-⎛⎫≤≤+ ⎪⎝⎭由Bessel 不等式,知()()22012()l k k a x dx lϕ∞='≤∑⎰, 从而得到∑∞=-1sin 2k k k ta x A ek λλ在0,0t x l ≥≤≤上一致收敛,1k k A ∞=∑在0x l ≤≤上一致收敛于()x ϕ,从而得),(t x u 在0,0t x l ≥≤≤上连续. 于是)0(),(sin sin lim ),(lim 0010100200l x x x A x A et x u k k k k k k ta t x x t x x k ≤≤===∑∑∞=∞=-→→→→++ϕλλλ.3.1初边值问题解的渐近性态定理 假设初始函数)(x ϕ满足,0)()0(],,0[1==∈l l C ϕϕϕ则当t趋于无穷大时,问题（3.1）－（3.3）的唯一的古典解指数衰减地趋于零,确切地说,当+∞→t 时,对一切],0[l x ∈,,0|),(|12→≤-t a Ce t x u λ其中C 是一个与解无的正常数. 证明 古典解是唯一的,∑∞=-=1sin ),(2k k t a k x e A t x u k λλ是唯一的古典解,其中222l k k πλ= ,2,1,sin )(20==⎰k d lk l A l k ξξπξϕ)(x ϕ在],0[l 上有界,设M x ≤)(ϕ,则有0022||()sin 2l lk k A d Md M l l lπϕξξξξ≤≤=⎰⎰ 当1≥t 时∑∞=-≤12),(k ta k k eA t x u λ∑∞=-≤122k t a k e M λ∑∞=---=1)(12122k ta ta k eMeλλλ∑∞=---≤1)(12122k ata k e Meλλλ∑∞=--≤1222122k kl a ta eMeπλta Ce12λ-≤.3.2非齐次方程求解方法—齐次化原理考虑非齐次方程⎪⎩⎪⎨⎧====-,0),(),0(,0)0,(),(2t l u t u x u t x f u a u xx t . 齐次化原理：若);,(τt x w 是下述问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥===<<>∂∂=∂∂=τττττττt t l w t w x f t x w l x t x wa t w t ,0);,();,0(),(|);,(0,,222 （*） 的解（其中0≥τ为参数）,则⎰=td t x w t x u 0);,(),(ττ是非齐次问题⎪⎩⎪⎨⎧≥===><<=-0,0),(),0(,0)0,(0,0,),(2t t l u t u x u t l x t x f u a u xx t 的解.证明 显然0),(),0(,0)0,(===t l u t u x u ,ττd t w t x f d t w t t x w tut t ⎰⎰∂∂+=∂∂+=∂∂00),();,(,0222222⎰∂∂=∂∂t d x w a x u a τ则u 满足),(222t x f x u a t u =∂∂-∂∂.),(t x u 是非齐次问题的解. 现在来求问题（*）的解.作变换τ-='t t 则问题（*）化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥'=+'=+'=<<>'=∂∂-'∂∂='0,0);,();,0(),(|0,0,00222t t l w t w x f w l x t x wa t w t τττττ （**） 我们已知问题（**）的解为,sin )();,(12∑∞='-='k k t a k x e B t x w k λττλ其中222l k k πλ=,⎰=l k d lk f l B 0sin ),(2)(ξξπτξτ.于是,sin )();,(1)(2∑∞=--=k k t a k x e B t x w k λτττλ故⎰=td t x w t x u 0);,(),(ττ,sin )(1)(2∑⎰∞=--=k k tt a k x d e B k λτττλ是非齐次问题的解.初边值问题⎪⎩⎪⎨⎧====-,0),(),0(),()0,(),,(2t l u t u x x u t x f u a u xx t ϕ的解为,sin )(sin ),(1)(122∑⎰∑∞=--∞=-+=k k t t a k k k ta k x d e B x eA t x u k k λττλτλλ其中222l k k πλ=,⎰=l k d l k l A 0sin )(2ξξπξϕ,⎰=l k d lk f l B 0sin ),(2)(ξξπτξτ.3.3非齐次初边值问题的特征函数展开法⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≤≤=≤<<<=-T t t l u t u l x x x u Tt l x t x f u a u xx t 00),(),0(,0),()0,(0,0),,(2ϕ （3.15） 方法步骤 把),(t x u ,方程的非齐次项),(t x f 和初值都按照特征函数系⎭⎬⎫⎩⎨⎧x lk πsin展开：,sin)(),(1∑∞==k k x l k t T t x u π ,sin)(),(1∑∞==k k x lk t f t x f π ,sin)(1∑∞==k k x l k x πϕϕ 由特征函数系⎭⎬⎫⎩⎨⎧x lk πsin在区间],0[l 上的正交性,可得 ⎰=l k xdx l k t x f l t f 0sin ),(2)(π, ⎰=l k xdx l k x l 0sin )(2πϕϕ.而函数)(t T k 暂时还是未知的.为确定)(t T k ,把上述展开式问题（3.15）代入方程和初始条件,由特征函数系⎭⎬⎫⎩⎨⎧x lk πsin的完备性,从而得到)(t T k 适合下列微分方程和初始条件. ,sin )(sin )()()(1122∑∑∞=∞==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+'k k k k k x l k t f x l k t T l k a t T πππ ,sin sin )0(11∑∑∞=∞==k kk k x l k x l k T πϕπ 于是得到⎪⎩⎪⎨⎧===+',2,1,)0()()()()(22k T t f t T l k a t T k k k k kϕπ)()(2222)()(t f e t T ek t lk a k t l k a ππ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 从0到t 积分⎰=-tlk a k k k t lk a d ef T t T e)()(2222)()0()(τττππ ⎰---+=tt lk a k t lk a k k d ef et T 0)()()(2222)()(ττϕτππ故非齐次初边值问题解),(t x u 的表达式为,sin )(sin ),(1)(122∑⎰∑∞=--∞=-+=k k tt a k k k a k x d e f x et x u k kλττλϕτλλ这与前面的结果一致. 能量衰减估计⎪⎩⎪⎨⎧≥==≤≤=><<=-00),(),0(,0),()0,(0,0,02t t l u t u l x x x u t l x u a u xx t ϕ 用u 乘以方程两端,在],0[l 上积分,0)(02⎰=⋅-⋅lxxtdx u ua u u220011,22lll t d u udx u dx u dx t dt∂⋅==∂⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=+-=-lx lx x lx l xx dx u a dx u u a u u a udx u a 022020202,,20222⎰⎰-=l x l dx u a dx u dt d ⎰=xx d t u t x u 0),(),(ξξ⎰≤x x d t u t x u 0),(),(ξξ⎰≤lx d t u 0),(ξξ2/1022/1021),(⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰⎰l l x d d t u ξξξ2/10221),(⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰l x dx t x u l ,⎰≤lx d u l t x u 022),(ξ,⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤l x ll x l dx u l dx dx u l dx u 02200202, ⎰⎰-≤-l l x dx u l dx u 022021 于是,2022202⎰⎰-≤ll dx u la dx u dt d002222≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰l tl a dx u e dt d ,0)0,(0202222≤-⎰⎰lltl a dx x u dx u e ,⎰⎰⎰--=≤lt l a ltl a ldx x edx x uedx t x u2202202)()0,(),(2222ϕ.定理 (Cauchy-Schwarz 不等式)设g f ,在],[b a 上可积，则有212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤。
热传导方程初边值问题的三次样条解
hi+1
xi
+
ω2 i +1
hi2+1
S
xi
.
对公式(2)两端进行求导并令 x = xi ，则有：
S′(
xi
+
0)
=− S′′(
xi+1 ) − S ′′( xi ) cosωi+1
ξ 1 2 sin ωi+1
+
S ′′( xi+1 ) − S ′′( xi
ξ hi+1
)
+
一般来说，对函数 u ( x) 在插值节点 xk (0 ≤ k ≤ n) 处进行插值形成的含参三次样条插值函数的好坏程
( ) 度，即 S ( x,ξ ) S ( x,ξ ) ∈ C2 [a,b] 逼近函数 u ( x) 的好坏程度，取决于参数 ξ (ξ > 0) 的适当选取以及当参数
ξ → 0 时三次样条函数在区间 [a,b] 上的改变程度。 该样条函数 S ( x,ξ ) = S ( x) 在区间 [ xi , xi+1 ] 上满足以下的微分方程[9]：
∂ui (t ) =
∂t
∂2ui (t )
∂x2
−
fi
(t)
=
Mi (t ) − fi (t ),i = 1, 2,
, n −1.
其中= ： fi (t ) f ( x= i ,t );ui (t ) u ( xi ,= t ); Mi (t ) u= xx ( xi ,t ),i 0,1, 考虑 ∂ui (t ) 前面的系数，有：
以 Legendre-Gauss-Lobatto 节点为配置点来构造含参数三次样条函数，然后用含参数的三次样条函数来逼 近求解热传导方程初边值问题。
热传导方程初边值问题
热传导方程初边值问题介绍热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的一类偏微分方程。
在实际生活和工程中，了解和解决热传导问题对于保护环境和优化工艺非常重要。
本文将详细介绍热传导方程的初边值问题及其解决方法。
初边值问题的定义初边值问题是指在给定一定空间区域和时间区域内，求解偏微分方程在这些区域内满足一定初值和边界条件的解。
对于热传导方程，我们通常关注的是物体内部的温度分布随时间的变化，因此需要给出初始时刻物体内各点的温度，并指定物体表面与周围介质之间的热量交换方式。
热传导方程热传导方程描述了物体内部温度分布随时间变化的规律，其一维形式为：∂u ∂t =α∂2u∂x2其中，u(x,t)代表了某一点(x,t)处的温度，α代表热扩散系数，t代表时间，x代表空间位置。
初边值条件为了求解热传导方程的初边值问题，我们需要给出一些初始条件和边界条件。
常见的初边值条件包括： - 初始条件：u(x,0)=f(x)，给出初始时刻物体内各点的温度分布，f(x)代表初始时刻的温度函数。
- 边界条件：u(a,t)=g(t)和u(b,t)=ℎ(t)，指定物体表面与周围介质之间的热量交换方式，a和b分别为空间区域的起始和结束位置，g(t)和ℎ(t)为边界处的温度函数。
初边值条件的选择对于求解问题的精确性和适用范围具有重要影响。
解法针对热传导方程的初边值问题，我们可以通过数值方法或解析方法来求解。
下面介绍两种常见的解法。
球坐标系下的分离变量法对于某些具有球对称性的问题，可以采用球坐标系下的分离变量法来求解。
通过假设解具有分离变量形式u(r,θ,ϕ,t)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)T(t)，将热传导方程分解成径向、角度和时间三个单变量函数的形式，然后带入原方程得到各个变量的微分方程。
最后通过求解单变量微分方程和利用边界条件，确定解的具体形式。
差分方法差分方法是一种常用的数值方法，通过将连续的空间和时间区域离散化，将热传导方程转化为有限差分方程组，并通过迭代求解来逼近真实的解。
微分方程中的边值问题与初值问题
微分方程中的边值问题与初值问题微分方程是数学中的一种重要概念，广泛应用于科学和工程领域。
边值问题和初值问题是微分方程的两类基本问题。
本文将重点讨论微分方程中的边值问题与初值问题，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、边值问题边值问题是指在给定的区间内，求解微分方程的解在区间两个端点处满足一些给定的条件。
通常情况下，边值问题的求解需要利用方程的边界条件来确定解的形式。
对于一阶微分方程，边值问题的一般形式可以表示为：$$\begin{cases}y'(x) = f(x, y(x)) \\y(a) = \alpha \\y(b) = \beta \\\end{cases}$$其中，$f(x, y(x))$是给定的函数，$a$和$b$是区间的端点，$\alpha$和$\beta$是给定的常数。
边值问题的求解可以利用一些经典的数值方法，如有限差分法、有限元法等。
这些方法将边值问题转化为一个离散的数值问题，并通过迭代求解来逼近真实的解。
边值问题在物理学、工程学和生物学等领域有广泛应用。
例如，在弹簧振动系统中，可以通过求解边值问题来确定系统的稳定状态。
在电路分析中，可以利用边值问题求解电路中的电压、电流分布等问题。
二、初值问题初值问题是指在给定的初始条件下，求解微分方程的解在某一点处的值。
与边值问题不同，初值问题只需要确定方程在某一点的解，而不需要确定整个区间上的解。
对于一阶微分方程，初值问题的一般形式可以表示为：$$\begin{cases}y'(x) = f(x, y(x)) \\y(x_0) = y_0 \\\end{cases}$$其中，$f(x, y(x))$是给定的函数，$x_0$是初始点的横坐标，$y_0$是初始点的纵坐标。
初值问题的求解可以采用一些经典的数值方法，如欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过迭代计算微分方程的斜率和步长，逐步逼近解的真实值。
初值问题在物理学、控制系统和经济学等领域有广泛应用。
热传导方程初值问题解的性质的证明
文章编号：1004-3918（2011）11-1261-06
河南科学 HENAN SCIENCE
Vol.29 No.11 Nov. 2011
热传导方程初值问题解的性质的证明
邢家省 1， 张军民 2
（1. 北京航空航天大学 数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191； 2. 河南省工业情报标准信息中心，郑州 450011）
d ξ=
1
-∞
姨π
乙+∞ （f x+2a姨 t
y，t）e-y2dy，
-∞
有 坠w 坠t
，坠2w 坠x2
在（-∞，+∞）×［0，T］×［0，T］上连续 .
定理 8 设（f x，t）∈C2，（0（-∞，+∞）×［0，T］），且满足条件（13），
乙t
u（x，t）= w（x，t-t；t）dt， 0
（13） （14）
其中常数 a>0，则有 lim u（x，t）=φ（x0）；进一步若假设函数 （f x，t），φ（x）关于 x 都是解析的，则 u（x，t）可以写 x→x0 t→0+
成
Σ Σ 乙 u（x，t）= ∞ （a2t）n φ（2n）（x）+ ∞ t［a（2 t-t）］n f（x 2n）（x，t）dt，
n=0 n！
3 非齐次热传导方程初值问题的形式解是古典解的一些充分条件
对非齐次热传导方程初值问题
∞
∞∞ut
-a2uxx
=
（f x，t）
（-∞<x<+∞，0<t≤T），
∞
∞∞∞u（x，0）=φ（x） （-∞<x<+∞），
热传导方程初值问题的解在概率统计中的应用
( 2a 槡πt )
1
n
e－
| x － ξ| 2 4 a2 t
其实可看作 n
∫
+∞
－∞
φ（ x ） e
－
（ x －a） 2 b2
dx，
∫
0
φ（ x ） e
－
（ x －a） 2 b2
X2 ， …， X n ） 的联合密度函数， 维随机变量 （ X1 ， 所以 结合定理 2 有以下命题： 命题 2
2 …， n ） 相互独 若 Xi ～ N（ μi ， σ ） （ i = 1，
imX
4
=e－
cosmμ + ie －
sinmμ；
2
另一方面由期望的线性性有： ） = E （ cosmX ） + iE （ sinmX ） 。 1 2πσ 槡
+∞
（ x － μ） 2 2σ2 σ2m2 2
3 σ4 4 － 3 = 0。 σ 利用常规的分部积分法积分前要进行变量代 换， 而 且 还 要 用 到 重 要 的 尤 拉普阿桑积分
∫
+∞
－∞
e
－x2
dx t = 槡 2x
1 2槡 2
∫
+∞
－∞
e
－2
t2
（ sinnX cosmX ） 等 的 积 分。 这 些 无 非 就 是 形 如 dt = =
1 π 槡 · 2 2π 槡 π 槡 。 2
∫
+∞
－∞
t2 π e － 2 dt = 槡 E（ 1 ） 2
∫ ∫
+∞
－∞ +∞
e nx sinmxe －
－ φ（ x ） e
（ x － μ） 2 2 σ2
热传导方程(扩散方程)
u q0 k n x=l处： u
n
x
n
若端点是绝热的，则
u u |xl x x
0
x 0
三、定解问题 定义1 在区域 G [0, ) 上，由偏微分方程、初 始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为 初边值问题或混合问题。
ut a 2 uxx 0, u x ,0 ( x ), u o, t 1 ( t ), 0 x l , t 0, 0 x l , t 0, ux l , t hu l , t 2 (t ), t 0, h 0.
内温度变化所需要的热量 Q =通过曲面 S 流入 内的热量 Q1+热源提供的热量 Q2
下面分别计算这些热量
（1） 内温度变化所需要的能量 Q 设物体 G 的比热（单位质量的物体温度改变 1 C 所需要的热量为c c( x , y , z ), 密度为 ( x , y , z ), 那么包含点 ( x , y , z )的体积微元 dV的温度从 u( x , y , z , t1 ) 变为 u( x, y, z , t 2 ) 所需要的热量为
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件）
初始条件：
u( x , t ) ( x , y , z ), ( x , y, z ) G , t 0 : (1.7)
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u f x , y , z
或者 2u f x, y, z .
拉普拉斯方程和泊松方程不仅描述稳定状态下温 度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静 电场的电位分布等物理现象。
数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第七章 一维波动方程的傅氏解1． 今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由，它的初位移为： 2．(01)()(2)(12)hx x x h x x ϕ≤<⎧=⎨-≤≤⎩，初速度为0，试求其付氏解，其中h 为已知常数。
解：所求问题是一维波动方程的混合问题：2(12,0)(0,)(,)0(0)(01)(,0)(2)(12)(,0)0tt xx t u a u x t u t u l t t hx x u x h x x u x ⎧=<<>⎪==≥⎪⎪≤≤⎧⎨=⎨⎪-≤≤⎩⎪⎪=⎩，根据前面分离变量解法得其傅氏解为：1(,)(cossin )sin n n n n at n at n xu x t C D l l l πππ∞==+∑。
其中，122201228()sin [sin (2)sin ]222l n n n n hC d h d h d l l n πξπξπξϕξξξξξξπ==+-=⎰⎰⎰，0n D =，于是所求傅氏解为：2218(,)cos sin n h n at n xu x t n l l πππ∞==∑2.将前题之初始条件改为：(1)(10)()(1)(01)h x x x h x x ϕ+-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，试求其傅氏解。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：211((1)sin (1)sin n n l l l h d h d πξπξξξξξ--=++-⎰⎰n c 012222211(sinsinsin )n n n h d d d πξπξπξξξξξ--=++⎰⎰⎰2282sin h n n ππ=22821(,)sin cossinh n n at n x lln n u x t ππππ∞=∴=∑。
3今有一弦，其两端0x =和x l =为钉所固定，作自由摇动，它的初位移为0。
初速度为[](2()0(2,c x x x βϕβ≤≤⎧=⎨∉⎩，其中c 为常数，0,l αβ<<<试求其傅氏解。
2热传导方程的初值问题
§2热传导方程的初值问题一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题)⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）偏导数的多种记号xx x t u xuu x u u t u =∂∂=∂∂=∂∂22,,. 问题也可记为⎩⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0,,),(2ϕ.Fourier 变换我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具.可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数,且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上可积，若积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。
将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1+∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{}∞<=+∞-∞=+∞-∞⎰+∞∞-dx x f f L L )(|),(),(1，称为可积函数空间.连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。
定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分),(ˆ)(21λπλf dx e x f x i =⎰+∞∞--有意义,称为Fourier 变换, )(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ⎰+∞∞--==dx e x f f Ff x i λπλλ)(21)(ˆ)(定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞∈C L f ,那么我们有),()(ˆ21limx f d e f NNx i N =⎰+-∞→λλπλ公式称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值.通常将由积分)()(21x g d e g x i ∨+∞∞-=⎰λλπλ所定义的变换称为Fourier 逆变换.因此亦可写成()f f =∨ˆ即一个属于),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.在应用科学中经常把)(ˆλf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.定理的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)定理 设),(+∞-∞∈L f ，⎰+∞∞--=dx e x f fx i λπλ)(21)(ˆ，则)(ˆλf 是有界连续函数,且 .0)(ˆlim =∞→λλf在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质.Fourier 变换的性质： 1.（线性性质） 若.2,1,),,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则(),ˆˆ22112211f f f f αααα+=+∧2.（微商性质）若),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 则.ˆf i dx df λ=⎪⎭⎫⎝⎛∧证明 由假设),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞→x f x ,事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x⎰'+=0)()0()(,因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有⎰±∞±±∞→'+==0)()0()(lim dt t f f a x f x又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a .由0)(lim =∞→x f x ,利用分部积分公式⎰∞+∞--∧'=⎪⎭⎫⎝⎛dx e x f dx df x i λπ)(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰+∞∞--∞+∞--dx e i x f e x f x i xi ))(()(21λλλπ).(ˆ)(2λλπλλf i dx e x f i x i ==⎰+∞∞--附注 这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具.3.（乘多项式）若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(ˆ)(λλf d d ix xf =∧. 证明 由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(ˆλf 是λ的连续可微函数,且有 []∧+∞∞---=-=⎰)()())((21)(ˆx xf i dx e ix x f f d d x i λπλλ附注 作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x fx f x f m 则 ())1(,)(ˆ≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧m f i dx fd m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f m则[])1(,)(ˆ)(≥=∧m f d d i x f x mm mmλλ4．（平移性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])1()(ˆ)(≥=--∧m f e a x f a i λλ证明[])(ˆ)(21)(21)()(λππλλλf e dy e y f ya x dx e a x f a x f a i a y i x i -∞+∞-+-+∞∞--∧==--=-⎰⎰5.（伸缩性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])0(,)(ˆ1)(≠=∧k kf k kx f λ证明 无妨设,0<k 由定义[])(ˆ11)(1211)(21)(21)(kf k dy ke yf k dy k ey f y kx dxe kxf kx f kyi kyi x i λπππλλλ=⎪⎭⎫⎝⎛-===⎰⎰⎰∞+∞--∞-∞+-+∞∞--∧6.（对称性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则 ,)(ˆ)(λλ-=∨f f 证明⎰+∞∞-∨=dx e x f f x i λπλ)(21)(⎰+∞∞---=dxe xf x i )()(21λπ.)(ˆλ-=f7.（卷积定理）若),,()(),(+∞-∞∈L x g x f ⎰+∞∞--=*dt t g t x f x g f )()()(称为f 与g 的卷积,则),()(+∞-∞∈*L x g f ,且有()).(ˆ)(ˆ2)(λλπλgf g f =*∧证明 由积分交换次序定理⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞--=*dx dt t g t x f dx x g f |)()(|)(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤dt dx t g t x f )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt dx t x f t g )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⋅=dt t g dx x f )()( 故),()(+∞-∞∈*L x g f ,又由积分交换次序定理()()()().ˆˆ2)(21)(212)()(21)()(21)(λλππππππλλλλλλgf dy e y f dt e tg dx e t x f dt e t g dt t g t x f dx e g f yi t i t x i ti xi =⋅⋅=-=-=*⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞---∞+∞-∞+∞----+∞∞-+∞∞--∧下面作为例子,我们根据Fourier 变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier 变换.例1 设 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=Ax A x x f ,0,1)(1,(其中常数0>A ).求)(ˆ1λf .解 由定义⎰⎰----==AAx i AAx i dx e dx e x f f λλππλ21)(21)(ˆ11AAx i e i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπ121λλπA sin 2=. 例2 设⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(2x x e x f x , 求)(ˆ2λf . ⎰+∞--=221)(ˆdx ee f xi x λπλ⎰+∞+-=)1(21dx e x i λπ∞++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0)1(1121x i e i λλπλπi +=1121.例3 设,)(3xex f -=求)(ˆ3λf⎰+∞∞---=dx e ef x i xλπλ21)(ˆ3⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞--+∞+-0)1(0)1(21dx e dx e xi x i λλπ ⎪⎭⎫⎝⎛-++=λλπi i 11112121221λπ+=. 例4 设,)(24x e x f -=求)(ˆ4λf⎰+∞∞---=dx eef xi x λπλ221)(ˆ4⎰∞+∞---'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i ex i x λλπ1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞+∞---∞+∞---dx e xe i e e i x i x x x i λλλλπ222121[]∧-=22x xe iλ)(ˆ24λλλf d d -= ， 上面最后一个等式应用了性质 3. 因为)(ˆ4λf 作为λ的函数适合下面常微分方程初值问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⎰∞+∞--2121)0(ˆ,)(ˆ2)(ˆ2444dx e f f d f d x πλλλλ, 解之得44221)(ˆλλ-=ef .例5 设,)(25Ax e x f -=（0>A ）,求)(ˆ5λf .由性质5()()AeAA f A x A f x f f 44455221)(ˆ1)()()(ˆλλλ-∧∧====.例6 ),()(4622Bx f eex f B x Bx ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--(0>B )()446622)/1(ˆ/11()(ˆλλλB eB Bf Bx f f -∨===.()()⎰+∞∞-∨*=*λλπλd e g f x g f xi )(21)( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλd e dy y g y f x i )()(21dy d e y g y f x i ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()(21dy d e y f e y g x y i iyx⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()()(21)()(2x g x f ∨∨=π,()()g f gfg f ⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*∨∨∨∧∧ˆˆ22121πππ,于是()∧∧∧*=⋅g f g f π21,因为()gf g f ˆˆ2⋅=*∧π, 所以()()[]g f g f g f *=*=⋅∨∧∨ππ2121ˆˆ.最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier 变换的基本知识定义 设),(),,,()(21nn R L x x x f x f ∈= 那么积分())(ˆ)(21λπλf dx e x f nRx i n =⎰⋅-,有意义,称为)(x f 的Fourier 变换,)(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式. 定理（反演公式）若)()()(1nnR L R C x f ⋂∈,则有())()(ˆ21limx f d e fNx i nN =⎰≤⋅∞→λλλλπ. ()⎰⋅∨=nRxi nd e g x g λλπλ)(21)(称为)(λg 的Fourier 逆变换. 定理表明()()f f f f ＝∧∨∨=,ˆ容易证明关于一维Fourier 变换的性质1—7对于多维Fourier 变换依然成立.根据上面Fourier 变换的定义,我们还有下面的结论：8. 若),()()()(2211n n x f x f x f x f =其中),,()(+∞-∞∈L x f i i 则有)(ˆ)(ˆ1ii ni f f λλ=∏= （） 利用这一性质,我们可求出函数221)(i Ax ni xA e ex f -=-∏==的Fourier 变式.事实上()AAx i ieAe42221λ-∧-=,()()AnAni Ax ni Ax ni eAe Ae ef i ii 4411122222121)(ˆλλλ--=∧-=∧-==∏=∏=⎪⎭⎫ ⎝⎛∏=.Poisson 公式在这一小节中我们应用Fourier 变换解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）在方程（）两边关于变量x 作Fourier 变换,⎰+∞∞--=dx e t x u t ux i λπλ),(21),(ˆ ,利用性质1和性质2,得到⎪⎩⎪⎨⎧==+=),(ˆˆ),,(ˆˆˆ022λϕλλt u t f ua dtu d 其中 ⎰+∞∞--=dx e t x u t ux i λπλ),(21),(ˆ,⎰+∞∞--=dx e x x i λϕπλϕ)(21)(ˆ[]∧=),(),(ˆt x f t f λ.解之得⎰---+=tt a t a d e f e t u 0)(2222),(ˆˆ),(ˆττλϕλτλλ,现在对上式两边求反演,由反演公式,得()()⎰∨--∨-+=t t a ta d e f e t x u 0)(2222),(ˆˆ),(ττλϕτλλ （） 由(),21422AAx e Aeiλ-∧-=取t a A 241=则t a x t a e ta e 2222241211λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 即t a x t a e e t a 22224121λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 令224121),(x ta eta t x g -=,[]ta et x g 22),(λ-∧=,从而有()()g g e ta *21ˆˆˆ22ϕπϕϕλ==∨∨- ⎰+∞∞--=ξξξϕπd x g )()(21⎰∞+∞---=ξξϕπξd t ata x 224)()(21 （）同理我们有()()g f t gf e f t a *21),(ˆ),(ˆ),(ˆ)(22πτλτλτλτλ=-=∨∨-- ⎰∞+∞-----=ξτξτπτξd e f t a t a x )(4)(22),()(21（）于是得⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞----+=ξτπτξτξξϕπτξξd et a f d d t at x u t a x t ta x )(4)(04)(2222)(21),()(21),(在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解. 定理 若),()(+∞-∞∈C x ϕ,且)(x ϕ有界,则⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(在),0(+∞⨯R 上连续,且在),0(+∞⨯R 上具有任意阶的连续偏导数，),(t x u 是问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x xu a t u ),()0,(0,,0222ϕ的解,即),(t x u 满足方程和)(),(lim 00x t x u x x t ϕ=→→+. ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(⎰+∞∞--+-=ηηϕπξηηd e t a x ta x 2)2(12/)(特别说明：当)(x ϕ连续,)(x ϕ是某些无界函数时,),(t x u 的表达式亦是解（)(x ϕ无界时，也可以是解）.例1 求解⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=xux u at u t sin ,0222解 1、直接观察x e t x u t a sin ),(2-=是解. 2、⎰+∞∞--+=ηηϕπηd e t a x t x u 2)2(1),(⎰+∞∞--+=ηηπηd e t a x 2)2sin(1()⎰+∞∞---+=ηηηπηηd e t a x e t ax 222sin cos 2cos sin 1⎰+∞∞--=ηηπηd et a x 22cos sin 1⎰+∞∞---=ηπηηd e e x t ai 22212sin442212sin t a e x -=442212sin t a e x -=x e t a sin 2-=, ()42221λη-∧-=e e .例2求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=xuxu a t u t cos ,0222的解x e t x u t a cos ),(2-=.例3求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+===1,22x u u a u t xx t 的解. 解1 直接观察t a x t x u 2221),(++= 2. []⎰+∞∞--++=ηηπηd e t a x t x u 21)2(1),(2[]⎰+∞∞--+++=ηηηπηd e t a t ax x 21441222t a x 2221++=从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.⎪⎩⎪⎨⎧++===1cos ,22x x u u a u t xx t 定理 设)(x ϕ在),(+∞-∞上连续且有界，),(t x f ，(,)x f x t 在],0[),(T ⨯+∞-∞上连续且有界，令 ⎰∞+∞---=ξξϕπξd etat x u ta x 224)()(21),(⎰⎰∞+∞-----+ξττξτπτξd e t f d a t a x t )(4)(0221),(21，其中常数0>a ，则有)(),(lim 00,0x t x u t x x ϕ=+→→；(,)u x t 问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u atu ),()0,(0,),,(222ϕ的解。
热传导方程的初边值问题
热传导方程的初边值问题热传导方程是研究物体在热传导过程中温度随时间和空间的变化规律的数学模型。
初边值问题是给定某个初始条件和边界条件，求解热传导方程的问题。
本文将讨论热传导方程的初边值问题，并介绍一些求解方法。
1. 热传导方程的基本概念热传导方程描述了物体内部的温度随时间和空间的变化规律。
它的数学表达式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} - a^2\nabla^2u=0$$其中，$u$表示物体内每个点的温度，$a$代表物体的热传导系数，$\nabla^2u$表示温度的梯度。
这个方程可以描述一维、二维和三维的情况。
2. 初边值问题的基本概念在研究热传导方程时，通常需要解决初边值问题。
这个问题是在一定的时间范围内，在某些区域内确定某些温度和温度梯度的初始值和边界条件，然后根据热传导方程求解温度随时间和空间的变化规律。
初边值问题的形式可以表示为：$$\left \{\begin{aligned}&\frac{\partial u}{\partial t} - a^2\nabla^2u=0&\quad\Omega\times(0,T)\\&u(x,t)=u^0(x,t)&\quad\text{on }\ \partial\Omega\times(0,T)\\&u(x,0)=u_0(x)&\quad \text{in }\ \Omega\end {aligned}\right .$$其中，$\Omega$表示问题所在的区域，$T$表示时间范围，$u^0(x,t)$表示边界条件，$u_0(x)$表示初始条件。
3. 求解初边值问题的方法对于初边值问题，常见的求解方法有以下几种：（1）分离变量法分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法。
可以根据问题的对称性，将其解分解成一个时间函数和一个空间函数的乘积。
通过对每一部分采用不同的数学处理方法，最终得到问题的解。
数理方程：第2讲典型方程的定解条件
弹性力 k u xl
张力
T u x xl
u
u
x
xl
0
( T )
k
(2) 热传导问题（端点自由冷却）
散失的热量
dQ1 h(u u1)dSdt
内部流到边界的热量
dQ2
k
u dSdt n
dQ1 dQ2 k nu h(u u1 )
即
(u
u )
x xl
u1
( k )
h
§3 定解问题
x
, t
0)
的解等于问题(I)和问题(II)的解之和
(I)
utt u t0
a2uxx 0
( x), ut
t0
(
(x)
x
, t
0)Байду номын сангаас
(II) utt a2uxx f ( x, t ) u t0 0, ut t0 0
( x ,t 0)
如
Lu
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u y
c
u
u x
x0
二阶偏微分方程
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u cu y
f
可简写为
L[u] f
叠加原理 1 若ui 满足线性方程 L[ui ] fi ，i 1,2,, n
➢包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题 (初边值问题)
uutt
0
a2(uxx
(x, y
u yy ,z)
数理方程第三章热传导方程
关于一维Fourier变换的性质（1）-（7）对于多 维Fourier变换也成立。此外还有 性质8.若
f ( x ) f1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) f n ( xn ), 其中 f i ( xi ) L( , ), 则有
F ( f ) F ( f i ) i
(1i ) x
Hale Waihona Puke 0例2：设 f ( x ) e
Ax 2
( A 0),
求F ( f )( )
2 1 Ax i x 解： F f e e dx 2 1 i Ax2 i x Ax 2 i x {e e 2 A xe e dx} 2 2 Ai Ax 2 F ( xe ) 2 A dF ( f ) d
为此在u(x,t)的积分表达式中做变量替换 ( x) ( 2a t ), 则 1 2 u x, t e x 2a t d
x x0 , t 0
由的有界性，当x (-, ),t>0时，积分关于x，t是 一致收敛的，当x x0 , t 0 时可在积分号下取极限，
t
K ( x , t ) d
d K ( x , t ) f , d
0
()
u x , t K ( x , t ) d
t
d K ( x , t ) f , d
2） 微分性质 设 f ,
3）乘多项式 设
f , xf , x m f绝对可积，则 (m 1)
d F xf i F f d m d F xm f i m F f m d
中国海洋大学vhdl习题
习题七1.写出下面方程的阶,判别它们是齐次还是非齐次的,线性还是非线性的.(1)u t −u xx +1=0;(2)u t −u xx +xu =0;(3)u t −u xxt +uu x =0;(4)u tt −u xx +x 2=0;(5)u x +e y u y =0;(6)u t +u xxxx +√1+u =0;(7)u x (1+u 2x )−1/2+u y (1+u 2y )−1/2=0.2.求下面的一阶线性偏微分方程的通解:(1)xu x −2yu y =0;(2)xu x +yu y =0;(3)xu x +3u =x 2;(4)xu x +2u y −2u =0;(5)(1+x 2)u x +u y =0;(6)3u y +u xy =0;(7)u x −u y =1;(8)yu x −xu y =3x ;(9)x 2u x +y 2u y =(x +y )u ;(10)au x +bu y +cu =0.3.求解下面的初值问题:(1){u t =x 2,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=x 2,−∞<x <+∞.(2){2u t +3u x =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞.(3){u t −au x =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=x 2,−∞<x <+∞.4.求方程u x −u y =1满足条件u (x,0)=x 2的解.5.求方程yu x +xu y =u 分别满足条件u (x,0)=x 3和条件u (0,y )=y 3的解.6.求方程u x +3y 23u y =2满足条件u (x,1)=1+x 的解.7.求解方程u x +u y +u =1,使其在曲线y =x 2+x (x >0)上满足条件u (x,y )=sin x .8.试证明如果u 1(x,t )和u 2(x,t )分别是下面两个热传导方程初值问题{u 1t =a 2u 1xx ,−∞<x <+∞,t >0,u 1(x,0)=φ1(x ),−∞<x <+∞和{u 2t =a 2u 2yy ,−∞<y <+∞,t >0,u 2(y,0)=φ2(y ),−∞<y <+∞的解,则u (x,y,t )=u 1(x,t )u 2(y,t )是初值问题{u t =a 2(u xx +u yy ),−∞<x,y <+∞,t >0,u (x,y,0)=φ1(x )φ2(y ),−∞<x,y <+∞1的解.9.函数1+x,1−x和1+x+x2是线性相关还是线性无关的?为什么?10.下面哪些算子是线性的?(1)Lu=u x+xu y;(2)Lu=u x+uu y;(3)Lu=u x+u2y;(4)Lu=u x+u y+1.11.证明非齐次线性算子方程Lu=f的任意两个解的差是齐次线性算子方程Lu=0的解.12.判别下列方程的类型,并将其化为标准型:(1)4u xx+5u xy+u yy+u x+u y=2;(2)u xx−4u xy+4u yy=e y;(3)u xx+u xy+u yy+u x=0.13.求方程3u xx+10u xy+3u yy=0的通解.14.求方程u xx+2u xy+u yy=0的通解.15.判断能否找到方程u xx+2u xy+5u yy+u x=0的通解?为什么?16.对偏微分方程u tt=a2u xx+bu x,其中a,b为常数,寻找合适的函数变换u(x,t)=w(x)v(x,t)使得v满足的偏微分方程中不含一阶偏导数项.17.化简偏微分方程u tt=a2u xx+bu x+cu t+du,其中a,b,c,d为常数.18.试求满足方程u tt=a2u xx和u2t=a2u2x的公共解.习题八1.求解下列特征值问题:(1){X′′+λX=0,0<x<l,X′(0)=X′(l)=0;(2){X′′+λX=0,0<x<l,X′(0)=X(l)=0;(3){X′′+λX=0,a<x<b,X(a)=X(b)=0;(4){X′′+λX=0,0<x<l,X(0)=0,X′(l)+γX(l)=0;2.一根长为l的弦,两端固定,初始位移为A sin πxl,初始速度为零.求该弦的振动规律.3.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=sinπxl,u t(x,0)=sinπxl,0≤x≤l.24.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=sin3πxl,u t(x,0)=x(l−x),0≤x≤l.5.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u x(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=cosπx2l,0≤x≤l,u t(x,0)=cos3πx2l+cos5πx2l,0≤x≤l.6.一根长为l的均匀细杆,它的初始温度为常数u0,两端温度恒为零.试求杆上的温度分布情况.7.求解混合问题u t=u xx,0<x<1,t>0, u x(0,t)=u x(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=1+cosπx,0≤x≤1.8.用分离变量法求解梁振动方程混合问题u tt+a2u xxxx=0,0<x<l,t>0, u(0,t)=u xx(0,t)=u(l,t)=u xx(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x),0≤x≤l.9.求解阻尼弦振动方程混合问题u tt=a2u xx−2hu t,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x),0≤x≤l,其中0<h<aπl是一个常数.10.求解混合问题u t=a2u xx−b2u,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),0≤x≤l,其中b为已知常数.311.求解混合问题u tt=a2u xx+g,0<x<l,t>0, u(0,t)=0,u x(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤l,其中g为已知常数.12.求解混合问题u t=u xx+sinπx,0<x<1,t>0, u(0,t)=u(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤1.13.求解具有放射性衰变的热传导方程混合问题u t=a2u xx+A e−βx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=T0,0≤x≤l,其中A,β,T0均为已知常数.14.求解混合问题u tt=u xx,0<x<1,t>0, u(0,t)=E,u(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤1,其中E为已知常数.15.求解混合问题u t=a2u xx,0<x<l,t>0, u x(0,t)=0,u(l,t)=u0,t≥0,u(x,0)=u0lx,0≤x≤l,其中u0为已知常数.16.设弹簧的一端固定,另一端在外力作用下作周期振动,此时归结为混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=0,u(l,t)=A sinωt,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤l,其中A,ω>0为已知常数,试求解.417.求解混合问题u t=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=A sinωt,u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤l,其中A,ω>0为已知常数.18.试证明如果w(x,t;τ)是混合问题w t=a2w xx,0<x<l,t>τ, w(0,t;τ)=w(l,t;τ)=0,t≥τ,w(x,τ;τ)=f(x,τ),0≤x≤l的解,其中τ≥0表示初始时刻,则u(x,t)=∫tw(x,t;τ)dτ是混合问题u t=a2u xx+f(x,t),0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤l的解.这是热传导方程混合问题的齐次化原理. 19.考察由下列定解问题描述的矩形平板上的温度分布u xx+u yy=0,0<x<a,0<y<b, u(0,y)=0,u(a,y)=0,0≤y≤b,u(x,0)=f(x),u(x,b)=0,0≤x≤a,其中f(x)为已知的连续函数.20.求解定解问题u xx+u yy=0,0<x<a,0<y<b, u x(0,y)=A,u x(a,y)=A,0≤y≤b,u y(x,0)=B,u y(x,b)=B,0≤x≤a,其中A,B为已知常数.21.求解单位圆上的拉普拉斯方程狄利克雷边值问题u rr+1ru r+1r2uθθ=0,0<r<1,−π≤θ≤π, u(1,θ)=f(θ),−π≤θ≤π,5其中f(θ)分别为(1)f(θ)=A cosθ;(2)f(θ)={A,|θ|<α,0,|θ|≥α,这里A和α都是常数.22.求解定解问题u rr+1ru r+1r2uθθ=0,0<r<l,0≤θ≤α, u(r,0)=0,u(r,α)=0,0≤r≤l,u(l,θ)=f(θ),0≤θ≤α,其中f(θ)为已知的连续函数,而α<2π.习题十1.求下列函数的傅里叶变换(1)sin axx(a>0);(2)1x2+a2;(3)sinηx2,cosηx2(η>0);(4)x e−ax2(a>0).2.已知∫+∞−∞f(ξ)dξ(x−ξ)2+a2=1x2+b2(0<a<b),求未知函数f(x).3.用傅里叶变换求解下列定解问题(1){u t+au x=f(x,t),−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=φ(x),−∞<x<+∞,(2)u tt=a2u xx+f(x,t),−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=0,−∞<x<+∞,u t(x,0)=0,−∞<x<+∞,(3){u t=u xx+tu,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=f(x),−∞<x<∞.(4)u tt+2u t=u xx−u,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=0,−∞<x<+∞,u t(x,0)=x,−∞<x<+∞,(5)∗u tt+a2u xxxx=0,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=φ(x),−∞<x<+∞,u t(x,0)=0,−∞<x<+∞.4.试证明若w(x,t;τ)是齐次初值问题{w t=w xx,−∞<x<+∞,t>τ,w(x,τ;τ)=f(x,τ),−∞<x<∞.6的解,则u(x,t)=∫tw(x,t;τ)dτ是非齐次初值问题{u t=u xx+f(x,t),−∞<x<+∞,t>0,u(x,0)=0,−∞<x<+∞.的解.这就是热传导方程初值问题的齐次化原理.5.利用延拓法求解热传导半无界问题u t=a2u xx,x>0,t>0, u x(0,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),x≥0.6.利用延拓法求解弦振动半无界问题u tt=a2u xx,x>0,t>0, u(0,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x)x≥0.7.求下列函数的拉普拉斯变换(1)f(t)=e−2t;(2)f(t)=t2;(3)f(t)=sin t cos t;(4)f(t)=cosh t;(5)f(t)=cos2kt;(6)f(t)=sin2t cos3t.8.求函数f(t)=(t−1)[H(t−1)−H(t−2)]的拉普拉斯变换,其中H(t)是单位阶跃函数.9.求下列函数的拉普拉斯变换(1)f(t)=(t−1)2e t;(2)f(t)=e−2t sin3t;(3)f(t)=H(3t−5);(4)f(t)=t e−3t sin2t;(5)f(t)=∫t0t e−3t sin2t d t;(6)f(t)=t∫te−3t sin2t d t.10.按定义10.4计算下列卷积(1)t∗t;(2)t∗e t;(3)t∗sin t;(4)cos t∗cos t;(5)sin t∗cos t;(6)e kt sin t∗e kt cos t.11.求下列函数的拉普拉斯逆变换7(1)1s+5;(2)2s4;(3)1s2+9;(4)2s+3s2+4;(5)s−2(s+1)(s−3);(6)s+1s2+s−6;(7)s(s2−1)2;(8)1s3(s2+4);(9)s2+2s−1s(s−1)2;(10)s(s2+1)(s2+4);(11)s+8s2+4s+5;(12)s+2(s2+4s+5)2;(13)s(s2+1)2;(14)2s2+3s+3(s+1)(s+3)3;(15)1(s−1)(s−2)(s+3).12.利用拉普拉斯变换公式计算如下积分(1)∫+∞0e−t sin2t d t;(2)∫+∞t e−3t cos2t d t.13.求解下列微分方程(1){y′+y=1,t>0,y(0)=0.(2){y′−y=−3e2t,t>0,y(0)=2.(3){y′′−6y′+9y=e3t,t>0,y(0)=y′(0)=0.(4){y′′−3y′+2y=5,t>0,y(0)=1,y′(0)=2.(5){y′′−2y′+2y=2e t cos t,t>0,y(0)=y′(0)=0.(6){y′′−2y′+5y=e t sin2t,t>0,y(0)=0,y′(0)=7/4.(7){y′′′+3y′′+3y′+y=6e−t,t>0,y(0)=y′(0)=y′′(0)=0.(8){y′′′+2y′′+y′=−2e−2t,t>0,y(0)=2,y′(0)=y′′(0)=0.14.求解下列微分方程组(1)x′+2x+2y=10e2t,y′+y−2x=7e2t,x(0)=1,y(0)=3.(2)3x′+y′+2x=1,x′+4y′+3y=0,x(0)=y(0)=0.15.求解积分方程f(t)=sin t+2∫tcos(t−τ)f(τ)dτ.16.利用拉普拉斯变换求解下列定解问题(1){u xy=1,x>0,y>0, u(0,y)=y+1,u(x,0)=1.(2)u tt=a2u xx,x>0,t>0, u(x,0)=0,u t(x,0)=b,u(0,t)=0.8(3)u t =a 2u xx ,0<x <l,t >0,u x (0,t )=0,u (l,t )=u 0,u (x,0)=u 1(u 0,u 1为常数).(4)u tt =a 2u xx +cos ωt,x >0,t >0,u (x,0)=0,u t (x,0)=b,u (0,t )=0.习题十一1.求出下列弦振动方程初值问题的解:(1)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=0,u t (x,0)=1;(2)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=sin x ,u t (x,0)=x 2;(3)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=x 3,u t (x,0)=x ;(4)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=cos x ,u t (x,0)=e −1.2.求解无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为φ(x ),初始速度为−aφ′(x ).3.对方程u tt =4u xx ,x ∈R ,t >0,写出点(4,1)的依赖区间,区间[2,4]的决定区域.4.求解弦振动问题的古尔萨问题u tt =u xx ,−∞<x <+∞,t >0,u (x,−x )=φ(x ),−∞<x <+∞,u (x,x )=ψ(x ),−∞<x <+∞,其中φ(x ),ψ(x )为充分光滑的已知函数,且φ(0)=ψ(0).5.试求出方程∂∂x [(1−x h )2∂u ∂x ]=1a 2(1−x h )2∂2u∂t 2的通解为u =f (x −at )+g (x +at )h −x,其中h 为已知常数,f,g 为充分光滑的任意函数.提示：令v (x,t )=(h −x )u (x,t ).6.一根无限长的弦与x 轴的正半轴重合,并处于平衡状态中,弦的左端位于原点.当t >0时左端点作微小振动A sin ωt ,试求弦的振动规律为u (x,t )= 0,t ≤x a ,A sin ω(t −x a ),t >x a ,其中A,ω为已知常数.97.求解定解问题u xx +2u xt −3u tt =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,u t (x,0)=x,−∞<x <+∞,8.求解下列非齐次弦振动方程初值问题:(1)u tt −a 2u xx =x +at,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t (x,0)=0,−∞<x <+∞,(2) u tt −u xx =t sin x,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,(3) u tt −u xx =−1,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,u t (x,0)=x,−∞<x <+∞,(4)u tt −a 2u xx =x,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t(x,0)=3,−∞<x <+∞.习题九1.在点x =x 0处用幂级数方法求解下列微分方程:(1)y ′′−xy =0,x 0=0,1;(2)y ′′−xy ′−y =0,x 0=0,1;(3)(1−x )y ′′+y =0,x 0=0;(4)(1−x 2)y ′′−xy ′+4y =0,x 0=0.2.试判别x =−1,0,1是下面方程的什么点（常点、正则奇点或非正则奇点）:(1)xy ′′+(1−x )y ′+xy =0;(2)(1−x 2)y ′′−2xy ′+n (n +1)y =0;(3)2x 4(1−x 2)y ′′+2xy ′+3x 2y =0;(4)x 2(1−x 2)y ′′+2xy ′+4y =0.3.写出下列方程的指标方程及其根:(1)x 3y ′′+(cos 2x −1)y ′+2xy =0;(2)4x 2y ′′+(2x 4−5x )y ′+(3x 2+2)y =0;(3)x 2y ′′+3xy ′+4xy =0;(4)x 3y ′′−4x 2y ′+3xy =0.4.求出下列方程的两个线性无关的弗罗贝尼乌斯级数解:(1)xy ′′+2y ′+xy =0;(2)xy ′′−y ′+4x 3y =0;(3)x 2y ′′−x 2y ′+(x 2−2)y =0;(4)4xy ′′+2y ′+y =0.5.证明勒让德多项式P n (x )满足:(1)P n (−1)=(−1)n ;(2)P 2m −1(0)=0;(3)P 2m (0)=(−1)m(2m )!22m (m !)2.106.证明勒让德多项式有如下的积分表示公式,即施列夫利公式P n(x)=12n2πiC(z2−1)n(z−x)n+1d z,(1)其中C是围绕x的任意周线.7.利用上题中的施列夫利公式,取积分路径为圆周C:|z−x|=√1−x2,证明勒让德多项式的拉普拉斯积分表示公式P n(x)=1π∫π(x+i√1−x2cosφ)n dφ.(2)设x=cosθ,进一步证明|P n(x)|=|P n(cosθ)|≤1.8.证明P n(x)在开区间(−1,1)内有n个单零点.9.证明P n(x)=n∑k=0(n+k)!(n−k)!(k!)22k(x−1)k.10.证明勒让德多项式满足递推关系式P n(x)=P′n+1(x)−2xP′n(x)+P′n−1(x),n=1,2,···.11.证明n∑k=0(2k+1)P k(x)=P′n(x)+P′n+1(x),n=0,1,2,···.12.证明∫1−1P n(x)d x=0,n=1,2,···.13.证明∫1−1(1−x2)[P′n(x)]2d x=2n(n+1)2n+1,n=0,1,2,···.14.计算下列积分:(1)∫1−1xP n(x)P n+1(x)d x;(2)∫1−1x2P n(x)P n+2(x)d x;(3)∫1−1[xP n(x)]2d x.15.将函数f(x)=5x3+3x2+x+1展开成F–L级数.16.将单位阶跃函数f(x)={0,−1<x<0,1,0≤x<1展成F–L级数.17.将函数f(x)=|x|在区间(−1,1)内展开成F–L级数.1118.求解球坐标系下的下列定解问题:(1)∆u =0,r >1,u (1,θ)=cos 2θ,lim r →+∞u (r,θ)=0.(2) ∆u =0,1<r <2,u (1,θ)=cos θ,u (2,θ)=1+cos 2θ.(3)∆u =0,r <a,0≤θ<π2,u (a,θ)=u 0,∂u ∂n θ=π2=0.19.试求半径为R 的球体的定常温度分布.假定球面上的温度分布恒为u (R,θ)=u 0cos θ.20.有一个单位球,使其上半球面温度恒为1,下半球面温度恒为0.试求球内的温度分布.21.在半径为a 的接地金属球壳内,在到球心的距离为b 的位置处放置一个点电荷4πε0q .求球内的电势分布.22.设半径为a 的半球球面保持恒温u 0cos θ,底面保持零度.求半球内的温度分布.23.在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球,球的半径为a .设球心即球坐标系的原点处的电势为u 0,求球外的电势分布.24.用分离变量法求偏微分方程∂2u ∂t 2−∂∂x [(1−x 2)∂u∂x]=0,−1<x <1的通解.25.证明P m n (−x )=(−1)m +n P mn (x ).26.证明如下递推公式:(1)(1−x 2)12[P m n (x )]′=P m +1n (x )−mx (1−x 2)−12P mn (x );(2)2mx (1−x 2)12P m n (x )=P m +1n (x )+[n (n +1)−m (m −1)]P m −1n (x ).27.证明递推公式(9.52)和(9.53).28.利用递推公式(9.50)–(9.53)证明如下递推公式:(1)P m n (x )=xP m n −1(x )+(n +m −1)(1−x 2)12P m −1n −1(x );(2)(1−x 2)12P m +1n (x )=(n −m )xP m n (x )−(n +m )P m n −1(x );(3)(1−x 2)[P m n (x )]′=(n +m )P m n −1(x )−nxP m n (x );(4)(1−x 2)[P m n (x )]′=mxP mn (x )−(n +m )(n −m +1)(1−x 2)12P m −1n(x ).1229.将下列函数展开成球面调和函数的广义傅里叶级数:(1)sinθcosφ;(2)32(5cos2θ−1)sinθsinφ;(3)3sin2θcos2φ−1.30.在半径为r0的球体外部区域求解∂2u∂r2+2r∂u∂r+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂u∂θ)+1r2sin2θ∂2u∂φ2=0,r>r0,0<θ<π,−∞<φ<+∞, u(r0,θ,φ)=u0(sin2θcos2φ−13),0≤θ≤π,−∞<φ<+∞,limr→+∞|u(r,θ,φ)|<+∞,0≤θ≤π,−∞<φ<+∞.31.分别在半径为r0的球体的内部区域和外部区域求解∆3u=0,u(r0,θ,φ)=4sin2θ(cosφsinφ+12).32.分别在半径为r0的球体的内部区域和外部区域求解∆3u=0,u r(r0,θ,φ)=−sin2θcos2φ+13.33.在内半径为r1,外半径为r2的球壳区域内求解∆3u=0,u(r1,θ,φ)=u1cosθ,u(r2,θ,φ)=u2sinθcosθsinφ,其中u1,u2为常数.34.在半径为r0的球体内部区域求解泊松方程定解问题{∆3u=Ar cosθ,u(r0,θ,φ)=0,其中A为常数.35.证明对任意实数x有e x2(z−1z)=+∞∑n=−∞J n(x)z n,0<|z|<+∞.因为这个等式,函数e x2(z−1z)称为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）.1336.证明e i x cosθ=J0(x)+2+∞∑n=1i n J n(x)cos nθ.这个等式的物理意义为平面波按柱面波展开.由它导出cos(x cosθ)=J0(x)+2+∞∑m=1(−1)m J2m(x)cos2mθ,sin(x cosθ)=2+∞∑m=0(−1)m J2m+1(x)cos(2m+1)θ.37.证明:(1)cos x=J0(x)+2+∞∑m=1(−1)m J2m(x);(2)sin x=2+∞∑m=0(−1)m J2m+1(x);(3)1=J0(x)+2+∞∑m=1J2m(x);(4)x=2+∞∑m=0(2m+1)J2m+1(x).38.利用第35题的结论证明J n(x)=12πiCe x2(ζ−1ζ)ζn+1dζ,n=0,±1,±2,···,其中C是任一围绕z=0的周线.进一步证明当C为单位圆周时有J n(x)=1π∫πcos(x sinθ−nθ)dθ.39.证明J0(x)=2π∫1cos xt√1−t2d t.由此证明J0(x)在(π/2,π)内有一个零点.40.证明|J n(x)|≤1,n=0,1,2,···.41.证明除原点外,Jν(x)和J′ν(x)的其它零点都是单零点.42.试证贝塞尔函数的加法公式J n(x+y)=+∞∑k=−∞J k(x)J n−k(x),n=0,±1,±2,···.43.证明1=J20(x)+2+∞∑k=1J2k(x).1444.证明:(1)J2(x)−J0(x)=2J′′0(x);(2)J3(x)+3J′0(x)+4J′′′0(x)=0;(3)J2(x)=J′′0(x)−x−1J′0(x);(4)x2J′′n(x)=(n2−n−x2)J n(x)+xJ n+1(x).45.证明∫x n J0(x)d x=x n J1(x)+(n−1)x n−1J0(x)−(n−1)2∫x n−2J0(x)d x.46.计算积分:(1)∫J3(x)d x;(2)∫x4J1(x)d x.47.计算积分∫+∞e−ax J0(bx)d x,其中a,b为实数,a>0.48.设ωm是J1(x)的第m个正零点,m=1,2,···.将函数f(x)=x在区间(0,1)上展为J1(ωm x)的傅里叶-贝塞尔级数.49.设ωm是J0(x)的第m个正零点,m=1,2,···.将函数f(x)=1−x2在区间(0,1)上展为J0(ωm x)的傅里叶-贝塞尔级数.50.考虑一个半径为a、高为h的均匀圆柱体,下底和侧面的温度保持为零度,上底温度分布恒为u0,求柱内稳定的温度分布.51.考虑一个半径为a、高为h的均匀圆柱体,侧面绝热,下底的温度保持为零度,上底温度分布恒为1−r2a2,求柱内稳定的温度分布.52.设有半径为1的薄均匀圆盘,边界上温度为0,初始温度分布为1−r2,求盘内的温度分布.53.考虑一个半径为R的无限长均匀圆柱体,侧面保持常温u0,柱内初始温度为0,求柱内的温度分布.54.考虑一张边界固定的环形膜,内外半径分别为r1和r2,试求它振动的特征频率.55.证明半奇数阶第二类贝塞尔函数Y n+12(x)=(−1)n+1J−(n+12)(x).这说明所有的半奇数阶第二类贝塞尔函数都是初等函数,从而所有的第二类球贝塞尔函数也都是初等函数.56.证明艾里微分方程y′′−xy=0的通解可以表示为y=CJ13(2i3x32)+DY13(2i3x32).57.证明微分方程x2y′′+axy′+(x2−ν2)y=0(a=1)可以化为贝塞尔方程.15。
热传导方程初值问题解的若干性质
热传导方程初值问题解的若干性质邢家省;李争辉【摘要】研究热传导方程初值问题解的性质,利用求解公式给出了热传导方程的解是解析函数的直接证明,对初值连续可积条件下,给出齐次热传导方程初值问题解的存在性证明.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(023)003【总页数】4页(P6-8,39)【关键词】热传导方程;初值问题;解析函数【作者】邢家省;李争辉【作者单位】北京航空航天大学,数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京,100191;北京航空航天大学,数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京,100191【正文语种】中文【中图分类】O175.29文献[1-5]指出热传导方程的解是解析函数,热传导的逆问题的不存在性亦用到这一结果.文献[2-8]中给出了齐次热传导方程边值问题解是解析函数的证明,然而其中的证明方法过程较为复杂.我们给出了一种直接且简单的证明方法,完善了热传导方程的理论证明.对齐次热传导方程初值问题利用Fourier变换,可得到形式解定理1[1-6]设φ(x)在(-∞,+∞)上连续且有界,则(2)式确定的函数上连续,且u(x,t)是问题(1)的唯一有界的古典解.定理2[1-6]设φ(x)在(-∞,+∞)上连续,且满足其中常数A,B,r>0,则(2)式确定的函数u(x,t)∈C((-∞,+∞)×[0,+∞)),u(x,t)∈C∞(R×(0, +∞)),且u(x,t)是问题(1)的古典解.定理3[1,2,8,12]设φ(x)∈C(-∞,+∞),且φ(x)有界,则对每一个t>0由(2)式所确定的函数u(x, t)是的整解析函数.证明设复数z∈C,考虑含复参变量的广义积分设|φ(x)|≤M,对任意t>0固定,存在δ>0,T>0使得δ<t<T.对任意r>0,容易知道积分在|z|≤r上是一致收敛的,令,显然{Un(z,t)}是解析函数列,且有{Un(z,t)}在|z|≤r上一致收敛于U(z,t),由一致收敛的解析函数列的性质定理,得U(z,t)关于|z|≤r是解析的,从而U(z,t)在整个复平面上是解析的,于是,对每一个t>0,初值问题的解u(x,t)是的是解析函数.定理4 设φ(x)∈C(-∞,+∞),且满足|φ(x)|≤A+Ber|x|,(-∞<x<+∞),其中常数A, B,r>0,则对每一个t>0由(2)式所确定的函数u(x,t)是问题(1)的古典解,且对每一个t>0,齐次热传导方程初值问题的解u(x,t)是x的整解析函数.在文献[12]中证明了,对热传导方程的解u(x,t),当t>0时,u(x,t)是(x,t)的解析函数.文献[8]中给出一例,在t≥0上,u(x,t)关于(x,t)非解析.例[8]热传导方程的柯西问题在坐标原点(0,0)的邻域中不存在解析解.证明用反证法.假设在坐标原点的邻域内问题(4)存在解析的解,把它代入方程,比较系数,得出:;由初值条件,得u2s+1,0=0,u0,0=1,u2s,0=(-1)s,(s≥0,k≥0);从而u2s+1,k=0,(s≥0,k≥0);u2s,k+1(k+1)=u2s+2,k(2s+2)(2s+1),(s≥0,k≥0);u2s,1=u 2s+2,0(2s+2)(2s+1)=(-1)(s+1)(2s +2)!/(2s)!,利用数学归纳法,可证得,系数ua1,a2具有如下形状:于是,但此时,这个级数在坐标原点无论怎样的邻域中都不收敛,因为它在任何一点(0,t),t≠0,级数是发散的.定理5[7]设函数f(x)在区间(-∞,+∞)内连续且绝对可积,则有积分满足热传导方程及初值条件证明[7]当.而,故积分在t>0,-∞<x<+∞上一致收敛,从而u(x,t)是t>0,-∞<x<+∞上的连续函数.考查下列几个积分先考查(5)式中的积分:由于对|x|≤x0,0<t0≤t≤t1(x0,t0,t1任意固定)当|y|>x0时,有而故当|y|>x0时,有|f(y)e-(y-x)2/4a2t(y-x)2/4a2t2|≤M|f(y)|,其中M是某常数. 于是,根据,由魏氏判别法知,(5)式中的积分在|x|≤x0,0<t0≤t≤t1上一致收敛.同理可证,(6)式中的积分和(7)式中的积分都在|x|≤x0,0<t0≤t≤t1上一致收敛.于是,在由积分所确定的函数可在积分号下求导,由x0,t0,t1得任意性知,即得u(x,t)满足方程下面证明利用,得任给ε>0,根据f(x)在点x的连续性,可取某δ>0,使得当|y-x|≤δ,恒有|f(y)-f(x)|<ε/3,我们有下面我们分别估计I1,I2,I3,从而有又有由此可知同理可证于是,存在η>0,使得当0<t<η时,成立|I3|<ε/3,|I1|<ε/3.由此,当0<t<η时,便有|u(x,t)-f(x)|<ε/3+ε/3+ε/3=ε,故(8)式成立.从证明过程中,我们还可以发现在(-∞,+∞)内是局部一致收敛的.若f(x)只在(-∞,+∞)上绝对可积,而无连续性条件,结论就有可能不成立了[7].【相关文献】[1]Smoller J.Shock Waves and Reaction Diffusion Equations[M].Sp ringer Verlag,1983.[2]魏光祖,袁忠信,王恩三,等.索伯列夫空间与偏微分方程[M].开封:河南大学出版社,1994.[3]陈祖墀.偏微分方程[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2002.[4]谷超豪,李大潜.数学物理方程[M].北京:高等教育出版社,2002.[5]姜礼尚,陈亚浙.数学物理方程讲义[M].北京:高等教育出版社,1986.[6]王明新.数学物理方程[M].北京:清华大学出版社,2005.[7]费定晖,周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解:六[M].济南:山东科学技术出版社,1980.[8]奥列尼克著.郭思旭译.偏微分方程讲义[M].北京:高等教育出版社,2008.[9]华罗庚.高等数学引论:三册[M].北京:科学出版社,2009.[10]邢家省,崔玉英.齐次热传导方程初边值问题的解是解析函数的证明[J].河南科学,2009,27(11);1 341-1 345.[11]邢家省,张愿章,郭秀兰.非齐次热传导方程初边值问题的形式级数解的收敛性[J].河南科学,2010,28(1):1-5.[12]John F.Partial Differential Equations[M].北京:世界图书出版公司北京公司,2009.。
热传导方程初边值问题
热传导方程初边值问题热传导方程初边值问题引言•热传导方程是描述物质内部温度分布随时间变化的重要方程之一。
•初边值问题是研究热传导方程在给定初始条件和边界条件下的解的问题。
•本文将介绍热传导方程的基本概念以及求解初边值问题的方法。
热传导方程的基本概念•热传导方程描述了物质内部温度分布随时间变化的规律。
•方程的形式为：∂u∂t =k⋅∂2u∂x2，其中u是温度分布函数，t是时间变量，x是空间变量，k是热传导系数。
•热传导方程的解依赖于初始条件和边界条件。
初边值问题的定义•初边值问题是指在给定初始条件和边界条件下求解热传导方程的解的问题。
•初始条件是指在t=0时刻的温度分布情况。
•边界条件是指在空间边界上温度的分布情况。
求解初边值问题的方法•求解初边值问题的方法多种多样，下面介绍两种常用的方法。
分离变量法•分离变量法是一种常用的求解热传导方程初边值问题的方法。
•首先将温度分布函数u(x,t)表示为两个变量x和t的乘积：u(x,t)=X(x)T(t)。
•然后将乘积形式的温度方程带入原方程，得到两个单独的方程：1 kX ∂2X∂x2=1T∂T∂t=−λ2。
•分别解这两个方程，得到X(x)和T(t)的表达式。
•最后将X(x)和T(t)相乘，即可得到最终的温度分布函数u(x,t)。
使用数值方法•当无法使用分离变量法求解热传导方程初边值问题时，可以使用数值方法进行求解。
•常见的数值方法包括有限差分法、有限元法等。
•有限差分法将连续的空间和时间离散化为网格点，通过近似求解差分方程得到温度分布。
•有限元法将连续的空间离散化为有限个单元，建立代表温度分布的函数空间，通过求解变分问题得到温度分布。
结论•热传导方程初边值问题在工程和科学研究中具有重要的应用价值。
•本文介绍了热传导方程的基本概念和求解初边值问题的方法。
•分离变量法和数值方法是常用的求解初边值问题的方法。
•进一步深入研究和应用这些方法，可以帮助我们更好地理解和解决热传导问题。
偏微分方程期末复习笔记
《偏微分方程》期末考试复习一、波动方程（双曲型方程）),(2t x f u a u xx tt =-（一）初值问题（柯西问题）1、一维情形⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(),(002x u x u t x f u a u t t t xx tt ψϕ（1）解法（传播波法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(0002x u x u u a u t t t xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==00),(002t t t xx tt u u t x f u a u其中，问题（I ）的解由达朗贝尔公式给出：ξξψϕϕd a at x at x t x u at x atx ⎰+-+++-=)(212)()(),(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t x W t x u t⎰=);,(),(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧===-==),(002τττx f W W W a W t t t xx tt ，利用达朗贝尔公式得ξτξτττd f at x W t a x t a x ⎰-+--=)()(),(21);,(从而问题（Ⅱ）的解为：τξτξττd d f a t x u t t a x t a x ⎰⎰-+--=0)()(),(21),(综上所述，原初值问题的解为：τξτξξξψϕϕττd d f ad a at x at x t x u t t a x t a x at x at x ⎰⎰⎰-+--+-++++-=0)()(),(21)(212)()(),(（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：①依赖区间：点(x , t )的依赖区间为：[x-at , x+at ];②决定区域：区间],[21x x 的决定区域为：{(x,t )|at x x at x -≤≤+21}③影响区域：区间],[21x x 的影响区域为：{(x,t )|at x x at x +≤≤-21} ④特征线：at x x ±=0 （3）解的验证：见课本P10, P142、三维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(),,,()(002z y x u z y x u t z y x f u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ（1）解法（球面平均法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(0)(002z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==00),,,()(002t t t zz yy xx tt u u t z y x f u u u a u其中，问题（I ）的解由泊松公式给出：⎰⎰⎰⎰+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=M at M at S S dS t a dS t a t t z y x u ψπϕπ224141),,,(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t z y x W t z y x u t⎰=0);,,,(),,,(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,,(00)(2τττz y x f W W W W W a W t t t zz yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=M t a S t a r dS r f a t z y x W )()(),,,(41);,,,(τττζηξπτ 从而问题（Ⅱ）的解为：dV ra rt f a t z y x u atr ⎰⎰⎰≤-=),,,(41),,,(2ζηξπ综上所述，原初值问题的解为：dV ra rt f a dS t a dS t a t t z y x u atr S S M at M at ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=),,,(414141),,,(222ζηξπψπϕπ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：①依赖区域（球面）：点),,,(000t z y x 的依赖区域为202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-；②决定区域（锥体）：球面202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-决定区域为：202202020)()()()(t t a z z y y x x -≤-+-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥面）：点)0,,,(000z y x 的影响区域为：22202020)()()(t a z z y y x x =-+-+- )0(>t④特征锥：202202020)()()()(t t a z z y y x x -=-+-+-惠更斯原理（无后效现象）见课本P35（3）解的验证：见课本P29, P323、二维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(),,()(002y x u y x u t y x f u u a u t t t yy xx tt ψϕ（1）解法（降维法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(0)(002y x u y x u u u a u t t t yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==00),,()(002t t t yy xx tt u u t y x f u u a u其中，问题（I ）的解由二维泊松公式给出：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=⎰⎰⎰⎰∑∑M at M at d d y x at d d y x at t a t y x u ηξηξηξψηξηξηξϕπ222222)()()(),()()()(),(21),,( 由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t y x W t y x u t⎰=);,,(),,(其中，);,,(τt y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),,(00)(2τττy x f W W W W a W t t t yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=M r d d y x r a r t f a t y x W t a r ηξηξηξπττ)(222)()(),,(21);,,( 从而问题（Ⅱ）的解为：⎰⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=at t a r M r d d y x r a r t f a t y x u 0)(2222)()(),,(21),,(ηξηξηξπτ综上所述，原初值问题的解为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑-=∑∑⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=at t a r Mr M at M at d d y x r a r t f a d d y x at d d y x at t a t y x u 0)(2222222222)()(),,(21)()()(),()()()(),(21),,(ηξηξηξπηξηξηξψηξηξηξϕπτ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：①依赖区域（圆饼）：点),,(00t y x 的依赖区域为2022020)()(t a y y x x ≤-+-；②决定区域（锥体）：圆饼2022020)()(t a y y x x ≤-+-决定区域为：2022020)()()(t t a y y x x -≤-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥体）：点)0,,(00y x 的影响区域为：222020)()(t a y y x x ≤-+- )0(>t④特征锥：2022020)()()(t t a y y x x -=-+-后效现象见课本P35、36（3）解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。
热传导方程的数值求解
热传导方程的数值求解热传导方程是描述热传导现象的一种常见偏微分方程。
它在物理学、工程学以及其他领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论热传导方程的数值求解方法。
通过数值求解，我们可以得到方程的近似解，从而更好地理解和分析热传导过程。
热传导方程的一般形式可以写作：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$其中，$u$是温度分布随时间和空间变化的函数，$\alpha$是热扩散系数。
上式表示了温度分布随时间变化的速率与温度分布的曲率之间的关系。
要求解这个方程，并得到温度分布随时间变化的近似解，我们可以使用一些常见的数值方法。
其中，有限差分法是最常见的一种方法。
有限差分法是将求解区域离散化，将连续的空间和时间分割成有限的小区域。
通过在这些小区域上近似描述方程，我们可以用差分方程代替原方程，进而得到方程的数值解。
对于热传导方程，我们可以将时间和空间分割成一系列网格点。
在每个网格点上，我们可以用温度的数值逼近代替温度的连续函数值。
这样，我们可以得到在每个时间步长和空间步长上的温度逼近。
通过迭代计算，我们可以得到整个时间和空间范围内的温度近似解。
在具体的计算过程中，我们可以采用显式差分法或隐式差分法。
显式差分法是一种较为简单的方法，它根据当前时间步的温度逼近来计算下一个时间步的温度逼近。
然而，显式差分法需要满足一定的稳定性条件。
在一些情况下，显式差分法可能会导致数值解不稳定和发散。
为了克服这些限制，我们可以使用隐式差分法。
隐式差分法通过在时间步迭代过程中使用未知的时间步温度逼近，可以得到更加稳定的数值解。
然而，隐式差分法的计算复杂度较高，需要求解一个线性方程组。
除了有限差分法之外，还有其他的数值方法可以用于求解热传导方程。
例如，有限元法、辛方法等。
每种方法都有其优缺点和适用范围。
根据具体的问题和计算需求，选择适合的数值方法是至关重要的。
在实际求解过程中，还需要注意数值参数的选择。
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§2热传导方程的初值问题一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题)⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）偏导数的多种记号xx x t u xuu x u u t u =∂∂=∂∂=∂∂22,,. 问题也可记为⎩⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0,,),(2ϕ.Fourier 变换我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上可积，若积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。
将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1+∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{}∞<=+∞-∞=+∞-∞⎰+∞∞-dx x f f L L )(|),(),(1，称为可积函数空间.连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。
定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分),(ˆ)(21λπλf dx e x f x i =⎰+∞∞--有意义,称为Fourier 变换, )(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ⎰+∞∞--==dx e x f f Ff x i λπλλ)(21)(ˆ)(定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞∈C L f ,那么我们有),()(ˆ21limx f d e f NNx i N =⎰+-∞→λλπλ公式称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值.通常将由积分)()(21x g d e g x i ∨+∞∞-=⎰λλπλ所定义的变换称为Fourier 逆变换.因此亦可写成()f f =∨ˆ即一个属于),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.在应用科学中经常把)(ˆλf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.定理的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)定理 设),(+∞-∞∈L f ，⎰+∞∞--=dx e x f fx i λπλ)(21)(ˆ，则)(ˆλf 是有界连续函数,且 .0)(ˆlim =∞→λλf在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质.Fourier 变换的性质： 1.（线性性质） 若.2,1,),,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则(),ˆˆ22112211f f f f αααα+=+∧2.（微商性质）若),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 则.ˆf i dx df λ=⎪⎭⎫⎝⎛∧证明 由假设),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞→x f x ,事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x⎰'+=0)()0()(,因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有⎰±∞±±∞→'+==0)()0()(lim dt t f f a x f x又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a .由0)(lim =∞→x f x ,利用分部积分公式⎰∞+∞--∧'=⎪⎭⎫⎝⎛dx e x f dx df x i λπ)(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰+∞∞--∞+∞--dx e i x f e x f x i xi ))(()(21λλλπ).(ˆ)(2λλπλλf i dx e x f i x i ==⎰+∞∞--附注 这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具. 3.（乘多项式）若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(ˆ)(λλf d d ix xf =∧. 证明 由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(ˆλf 是λ的连续可微函数,且有 []∧+∞∞---=-=⎰)()())((21)(ˆx xf i dx e ix x f f d d x i λπλλ附注 作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x fx f x f m Λ则 ())1(,)(ˆ≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧m f i dx fd m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f mΛ则[])1(,)(ˆ)(≥=∧m f d d i x f x mm mmλλ4．（平移性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])1()(ˆ)(≥=--∧m f e a x f a i λλ证明[])(ˆ)(21)(21)()(λππλλλf e dy e y f ya x dx e a x f a x f a i a y i x i -∞+∞-+-+∞∞--∧==--=-⎰⎰5.（伸缩性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])0(,)(ˆ1)(≠=∧k kf k kx f λ证明 无妨设,0<k 由定义[])(ˆ11)(1211)(21)(21)(kf k dy ke yf k dy k ey f y kx dxe kxf kx f kyi kyi x i λπππλλλ=⎪⎭⎫⎝⎛-===⎰⎰⎰∞+∞--∞-∞+-+∞∞--∧6.（对称性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则 ,)(ˆ)(λλ-=∨f f 证明⎰+∞∞-∨=dx e x f f x i λπλ)(21)(⎰+∞∞---=dxe xf x i )()(21λπ.)(ˆλ-=f7.（卷积定理）若),,()(),(+∞-∞∈L x g x f ⎰+∞∞--=*dt t g t x f x g f )()()(称为f 与g 的卷积,则),()(+∞-∞∈*L x g f ,且有()).(ˆ)(ˆ2)(λλπλgf g f =*∧证明 由积分交换次序定理⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞--=*dx dt t g t x f dx x g f |)()(|)(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤dt dx t g t x f )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt dx t x f t g )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⋅=dt t g dx x f )()( 故),()(+∞-∞∈*L x g f ,又由积分交换次序定理()()()().ˆˆ2)(21)(212)()(21)()(21)(λλππππππλλλλλλgf dy e y f dt e tg dx e t x f dt e t g dt t g t x f dx e g f yi t i t x i ti xi =⋅⋅=-=-=*⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞---∞+∞-∞+∞----+∞∞-+∞∞--∧下面作为例子,我们根据Fourier 变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier 变换.例1 设 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=Ax A x x f ,0,1)(1,(其中常数0>A ).求)(ˆ1λf .解 由定义⎰⎰----==AAx i AAx i dx e dx e x f f λλππλ21)(21)(ˆ11AAx i e i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπ121λλπA sin 2=. 例2 设⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(2x x e x f x , 求)(ˆ2λf . ⎰+∞--=221)(ˆdx ee f xi x λπλ⎰+∞+-=)1(21dx e x i λπ∞++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0)1(1121x i e i λλπλπi +=1121.例3 设,)(3xex f -=求)(ˆ3λf⎰+∞∞---=dx e ef x i xλπλ21)(ˆ3⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞--+∞+-0)1(0)1(21dx e dx e xi x i λλπ ⎪⎭⎫⎝⎛-++=λλπi i 11112121221λπ+=. 例4 设,)(24x e x f -=求)(ˆ4λf⎰+∞∞---=dx eef xi x λπλ221)(ˆ4⎰∞+∞---'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i ex i x λλπ1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞+∞---∞+∞---dx e xe i e e i x i x x x i λλλλπ222121[]∧-=22x xe iλ)(ˆ24λλλf d d -= ， 上面最后一个等式应用了性质3. 因为)(ˆ4λf 作为λ的函数适合下面常微分方程初值问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⎰∞+∞--2121)0(ˆ,)(ˆ2)(ˆ2444dx e f f d f d x πλλλλ, 解之得44221)(ˆλλ-=ef .例5 设,)(25Ax e x f -=（0>A ）,求)(ˆ5λf .由性质5()()AeA A f A x A f x f f 44455221)(ˆ1)()()(ˆλλλ-∧∧====.例6 ),()(4622Bx f eex f B x Bx ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--(0>B )()446622)/1(ˆ/11()(ˆλλλB eB Bf Bx f f -∨===.()()⎰+∞∞-∨*=*λλπλd e g f x g f xi )(21)( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλd e dy y g y f x i )()(21dy d e y g y f x i ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()(21dy d e y f e y g xy i iyx ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()()(21 )()(2x g x f ∨∨=π,()()g f gfg f ⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*∨∨∨∧∧ˆˆ22121πππ,于是()∧∧∧*=⋅g f g f π21,因为()gf g f ˆˆ2⋅=*∧π, 所以()()[]g f g f g f *=*=⋅∨∧∨ππ2121ˆˆ.最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier 变换的基本知识定义 设),(),,,()(21nn R L x x x f x f ∈=Λ那么积分())(ˆ)(21λπλf dx e x f nRx i n=⎰⋅-,有意义,称为)(x f 的Fourier 变换,)(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式.定理（反演公式）若)()()(1nn R L R C x f ⋂∈,则有())()(ˆ21limx f d e fNx i nN =⎰≤⋅∞→λλλλπ. ()⎰⋅∨=nRx i nd e g x g λλπλ)(21)(称为)(λg 的Fourier 逆变换.定理表明()()f f f f ＝∧∨∨=,ˆ容易证明关于一维Fourier 变换的性质1—7对于多维Fourier 变换依然成立.根据上面Fourier 变换的定义,我们还有下面的结论： 8. 若),()()()(2211n n x f x f x f x f Λ=其中),,()(+∞-∞∈L x f i i 则有)(ˆ)(ˆ1ii ni f f λλ=∏= （） 利用这一性质,我们可求出函数221)(i Ax ni xA e ex f -=-∏==的Fourier 变式.事实上()AAx i i eAe42221λ-∧-=,()()AnAni Ax ni Ax ni eAe Ae ef i ii 4411122222121)(ˆλλλ--=∧-=∧-==∏=∏=⎪⎭⎫ ⎝⎛∏=.Poisson 公式在这一小节中我们应用Fourier 变换解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）在方程（）两边关于变量x 作Fourier 变换,⎰+∞∞--=dx e t x u t ux i λπλ),(21),(ˆ ,利用性质1和性质2,得到⎪⎩⎪⎨⎧==+=),(ˆˆ),,(ˆˆˆ022λϕλλt u t f ua dt u d 其中 ⎰+∞∞--=dx et x u t uxi λπλ),(21),(ˆ,⎰+∞∞--=dx e x x i λϕπλϕ)(21)(ˆ[]∧=),(),(ˆt x f t f λ.解之得⎰---+=t t a t a d e f e t u 0)(2222),(ˆˆ),(ˆττλϕλτλλ,现在对上式两边求反演,由反演公式,得()()⎰∨--∨-+=tt a ta d e f e t x u 0)(2222),(ˆˆ),(ττλϕτλλ （）由(),21422AAx e Aeiλ-∧-=取t a A 241=则ta x t a e ta e 2222241211λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 即t a x t a ee t a 22224121λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 令224121),(x ta eta t x g -=,[]t a e t x g 22),(λ-∧=,从而有()()g g e ta *21ˆˆˆ22ϕπϕϕλ==∨∨- ⎰+∞∞--=ξξξϕπd x g )()(21⎰∞+∞---=ξξϕπξd t ata x 224)()(21 （）同理我们有()()g f t g f ef t a *21),(ˆ),(ˆ),(ˆ)(22πτλτλτλτλ=-=∨∨-- ⎰∞+∞-----=ξτξτπτξd e f t a t a x )(4)(22),()(21（）于是得⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞----+=ξτπτξτξξϕπτξξd et a f d d t at x u t a x t ta x )(4)(04)(2222)(21),()(21),(在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解. 定理 若),()(+∞-∞∈C x ϕ,且)(x ϕ有界,则⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(在),0(+∞⨯R 上连续,且在),0(+∞⨯R 上具有任意阶的连续偏导数，),(t x u 是问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x xu a t u ),()0,(0,,0222ϕ的解,即),(t x u 满足方程和)(),(lim 00x t x u x x t ϕ=→→+. ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(⎰+∞∞--+-=ηηϕπξηηd e t a x ta x 2)2(12/)(特别说明：当)(x ϕ连续,)(x ϕ是某些无界函数时,),(t x u 的表达式亦是解（)(x ϕ无界时，也可以是解）.例1 求解⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=xux u at u t sin ,0222解 1、直接观察x e t x u t a sin ),(2-=是解. 2、⎰+∞∞--+=ηηϕπηd e t a x t x u 2)2(1),(⎰+∞∞--+=ηηπηd e t a x 2)2sin(1()⎰+∞∞---+=ηηηπηηd e t a x e t ax 222sin cos 2cos sin 1⎰+∞∞--=ηηπηd et a x 22cos sin 1⎰+∞∞---=ηπηηd e e x t ai 22212sin442212sin t a e x -=442212sin t a e x -=x e t a sin 2-=, ()42221λη-∧-=e e .例2求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=x ux u at u t cos ,0222的解x e t x u t a cos ),(2-=.例3求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+===1,202x u u a u t xx t 的解. 解1 直接观察t a x t x u 2221),(++= 2. []⎰+∞∞--++=ηηπηd e t a x t x u 21)2(1),(2[]⎰+∞∞--+++=ηηηπηd e t a t ax x 21441222t a x 2221++=从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.⎪⎩⎪⎨⎧++===1cos ,22x x u u a u t xx t 定理 设)(x ϕ在),(+∞-∞上连续且有界，),(t x f ，(,)x f x t 在],0[),(T ⨯+∞-∞上连续且有界，令 ⎰∞+∞---=ξξϕπξd etat x u ta x 224)()(21),(⎰⎰∞+∞-----+ξττξτπτξd e t f d a t a x t )(4)(0221),(21，其中常数0>a ，则有)(),(lim 00,0x t x u t x x ϕ=+→→；(,)u x t 问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a t u ),()0,(0,),,(222ϕ的解。