数形结合专题课(乘法公式(因式分解)的几何解释)--沈佳

乘法公式（因式分解）的几何解释

——“数形结合”思想

学习目标：1、理解乘法公式（多项式乘法）与几何图形表示之间的相互推导 2、体会数形结合，能熟练“数”与“形”之间的转化

一、回顾旧知、预学展示

1、边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形.

（1）请你分别表示出图1阴影部分的面积S 1，图2阴影部分的面积S 2

（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式

2、在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，把剩下部分如图所示拼成一个长方形.

（1）请你分别表示出两个图形中阴影部分的面积S 1，S 2 （2）请问以上结果可以验证哪个因式分解

3、前两题都通过图形变换，用不同的方式表示了相同的面积（阴影部分的面积），证明了乘法公式

的正确性，思考一下，你还能够将图1中的阴影部分转化成其它几何图形吗（画出图形）是否也能证明以上的乘法公式（写出证明过程）！（小贴士：动手做一做，思路会更清晰哦，方法越多越好）

图1

4、如图1，边长为（a+b ）的正方形，按图2所示分割.请用不同的方法来表示大正方形的面积，从而验证了哪个乘法

公式

图1

图2

5、想要证明

()

2

222a b a b ab -=+-，由上题启发，从等式出发，你该如何构造下面的正方形

6、图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

（1）图②中的阴影部分的面积为 ；

（2）观察图②请你写出三个代数式2

()m n +、2

()m n -、mn 之间的等量关系是 ． （3）若6x y +

=-， 2.75xy =，则x y -= ．

二、归纳方法、思想提炼

①已知图形的变换，根据面积 ，列出等式，可得乘法公式（多项式乘多项式），即由“形”到“数”（1、2、4题）；

②已知乘法公式（多项式乘多项式的结果），同样可以得到图形分割、拼接的思路，从而构造出可证明乘法公式的图形变换，即由“数”到“形”（3、5题）；

③由“数”到“形”，再由“形”到“数”，充分利用了 数学思想. 三、拓展提高、探究活动

7、我们在学习完全平方公式ab b a b a 2)

(222

++=+时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在

习题中我们又遇到了题目“计算：2

)(c b a ++”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并根据图形直接写出2

)(c b a ++的展开式吗

8、如图，现有2张边长为b 的正方形纸片，3张长为b 、宽为a 的长方形纸片和1张边长为a 的正方形纸片，试一试，能否将这些纸片拼成一个长方形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹）由此你发现了什么

9、如图2所示是2002年8月20日在北京召开的国际数学家大会的会标．它是由四个全等的如图1所示的直角三角

形（每个直角三角形两直角边分别是a 和b ，斜边长为c ）与中间的小正方形拼成的一个大正方形．请你根据图2中的

面积写出它所能说明的等式，并写出推导过程

图1 图2 四、目标反思、自我小结

1、今天这节课，我们学会从已知的图形变换，来证明 (填公式)，体会了乘法公式（或因式分解）的几何解释；

2、反之，我们为了得到乘法（或因式分解）的结果，也会从图形入手，巧妙构造图形，也推导出以上 （填公式）；

3、今天，我们主要感受了 的数学思想，并学会了应用。

动手做一做1~3

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