2020江苏高考数学模拟数学答案一
高考数学全国统一模拟考试江苏卷、参考答案与评分标准
高考数学全国统一模拟考试数 学（江苏卷）第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。
1. 已知集合}11log |{2+-==x xy x M ,]}1,0[,|{3∈+==x x x y y N 且,M ∩N = A.]2,1(B.)1,1(-C.)1,0[D.)1,0(2. 数列}{n a (*N n ∈)中,1231,3,5a a a ===,且1237n n n n a a a a +++⋅⋅⋅=,则99a =A.1B.3C.5D.无法确定3. nxx )1(+的展开式中常数项等于20,则n 等于A.4B.6C.8D.104. 空间直线b a ,是成060的异面直线,分别过b a ,作平面βα,,使βα,也成060.这样的平面βα,A.有无穷对B.只有5对C.只有3对D. 只有1对5. 如图AOB ∆，MN 是边AB 的垂直平分线，交OB 于点N ，设b OB a OA ==,，且OB ON λ=，则=λA ．b b a 2+B ．)(222b a b b a -⋅-C ．bb a 2-D ．)(222a b b b a -⋅-注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。
本次考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。
3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。
4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
2020年高考江苏(专用)全真模拟 数学试题(附答案与全解全析)
2020年高考江苏（专用）全真模拟试题数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．定义一种集合运算(){|AB x x A B =∈⋃，且()}x A B ∉⋂}，设{}|22M x x =-<<，{}|13N x x =<<，则MN 所表示的集合是________.2．已知复数z 满足(1)13i z i +=+，则z =________.3．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28sin()a a +=________ 4．函数()f x =的定义域为_______. 5．已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.6．如图，在ABC V 中，若AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，线段AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+u u u v v v，则m n +=_____．7．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.8．设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为______．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，若其外接球的表面积为16π，则异面直线1BD 与1CC 所成的角的余弦值为__________．10．曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______. 11．定义在R 上的奇函数()f x ，若()1f x +为偶函数，且()12f -=，则()()1213f f +的值等于______.12．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，圆222:O x y a +=与双曲线的渐近线在第二象限相交于点M （O 为坐标原点），若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的离心率为______. 14．已知偶函数满足，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小； （2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .16．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =，F 是PB 中点，点E在BC 边上．()f x []2(2)(),1,0()f x f x x f x x -=∈-=且当时，[]13-，()()()log 2a g x f x x =-+a（1）求三棱锥E PAD -的体积； （2）求证：AF PE ⊥；（3）若//EF 平面PAC ，试确定E 点的位置．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.18．已知函数()2ln 1f x x x kx =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()210f x f x <<. 19．已知数列{}n a 中，11a =, 且()21232,1n n n na a n n n N n -*-=+≥∈-g . （1）求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令()13n n nb n N a -*=∈, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 试比较2nS 与n 的大小；（3）令()11n n a c n N n *+=∈+, 数列()221n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T , 求证: 对任意n N *∈, 都有2n T <. 20．如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3OA km =，OB =，AOB 90∠=o 。
2020年江苏省高考数学模拟试卷含答案解析
2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为．7．若函数是偶函数，则实数a的值为．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为．14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=（﹣1，0] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），∴C u B=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩∁U B=（﹣1，0]，故答案为：（﹣1，0]．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为||=|z|====．故答案为：．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=，=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=，又a2+b2=c2，解得a=2，b=，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为﹣2．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．【解答】解：由，可得0≤x≤4，由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，y=﹣在[0，4]递增，可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．7．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为20．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为：tan54°，h=，则此正五棱锥体积为：×=20．故答案为：20．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，3）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，即有f（x）递增；故f（x）在R上单调递增．由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解得或，即为1＜x≤或＜x＜3，即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[，1）．【考点】余弦定理．【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．∵⊥，∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是：[，1）．故答案为：[，1）．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，且当0＜a＜1时，一定成立；故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，故答案为：a≤﹣4或a≥0．故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为（2，4）．【考点】全称命题；特称命题．【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知函数，根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．由f（x）≥0，求得x≤﹣1，即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），故答案为：（2，4）14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为64或65．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，∴2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，故max{}≤A＜min{}，由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=2时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=3时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＞2t，适合题意．此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴≤A＜．当t=4时，24≤A＜，∴无解．当t=5时，25≤A＜，∴无解．当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．当t=7时，27≤A＜，∴无解．则26≤A＜．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：A=64或65．故答案为：64或65．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，可得sin（）=，cos（）=，sin（2）=2sin（）cos（）==，cos（2）=2×=．=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sin cos（2）==．（2）∵，∴tan（2α+2β）===．sin（2）=，cos（2）=．tan（2）=．tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]==，解得=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC ⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．理由如下：∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，∴CD与AB有交点P，∴P∈l，∴直线l∩平面ABCD=P，∴直线l不能与平面ABCD平行．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，即有•=﹣，化为+=1；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1=my1+，x2=my2+，由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，解得M（﹣，），N（，﹣），可得k AM+k BN=+，通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，∴r=，∴圆锥的高h===．∴V==．（2）V==≤=2．当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．∴当α=时，体积V取得最大值．（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．由△AOD∽△ACE得，∴，解得R=3≈0.8．∵0.8＞0.5，∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比关系的确定．=1作差可知a n+1=3a n（n≥2），进而可知数列{a n}【分析】（1）通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知a n=3n﹣1、S n=（3n﹣1），假设存在满足题意的项a k，则3k﹣1=S r+t﹣S t，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；（3）通过（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．【解答】（1）证明：∵S n+1﹣3S n=1，=1，∴当n≥2时，S n﹣3S n﹣1两式相减得：a n+1=3a n，又∵S n+1﹣3S n=1，a1=1，∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）解：结论：不存在满足题意的项a k；理由如下：由（1）可知a n=3n﹣1，S n==（3n﹣1），假设数列{a n}中存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，则3k﹣1=S r+t﹣S t=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），整理得：3r﹣x﹣=2，显然r无解，故假设不成立，于是不存在满足题意的项a k；（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；理由如下：由（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，则2b p=b1+b q，即2=+，整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，∴当p≥3时不满足题意，当p=2时，2=+即为：=+，整理得：=，解得：q=3，综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，则a＞，在x＞0时恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．即a＞．（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由得，即5≤x≤7，由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，∵5≤x≤7，∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，即2≤y2≤4，则≤y≤2，即函数的最大值为2．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=AB=AD=2BC=2，则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线PC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，2，2），设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴θ=135°，∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？【考点】归纳推理．【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，则第十一层十一个数共有=144种不同取法．2020年8月12日。
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案1.已知集合U={-1.0.1.2.3.23}，A={2.3}，则U-A={-1.0.1.4.5.23}。
2.已知复数z=a+bi是纯虚数，则a=0.3.若输出y的值为4，则输入x的值为-1.4.该组数据的方差为 9.5.2只球都是白球的概率为 3/10.6.不等式f(x)>f(-x)的解集为x2.7.S3的值为 61/8.8.该双曲线的离心率为 sqrt(3)/2.9.该几何体的体积为27π/2.10.sin2α的值为 1/2.11.λ+μ的值为 1/2.12.离墙距离为 3.5m时，视角θ最大。
13.实数a的值为 2.14.CD的最小值为 3/2.15.在△ABC中，已知$a$，$b$，$c$分别为角$A$，$B$，$C$所对边的长度，且$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin B+\sin C)$。
1）求角$C$的值；2）若$a=4b$，求$\sin B$的值。
16.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，平面$BPC$⊥平面$DPC$，$BP=BC$，$E$，$F$分别是$PC$，$AD$的中点。
证明：（1）$BE\perp CD$；（2）$EF\parallel$平面$PAB$。
17.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，经过点$M(0,1)$。
1）求椭圆$C$的方程；2）过点$M$作直线$l_1$交椭圆$C$于$P$，$Q$两点，过点$M$作直线$l_1$的垂线$l_2$交圆$N(x_0,0)$于另一点$N$。
若$\triangle PQN$的面积为$3$，求直线$l_1$的斜率。
18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一。
现用一张长$2$米，宽$1.5$米的长方形牛皮纸$ABCD$裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边$AB$，$AD$上取点$E$，$F$，将三角形$AEF$沿直线$EF$翻折到$A'EF$处，点$A'$落在牛皮纸上，沿$A'E$，$A'F$裁剪并展开，得到风筝面$AEA'F$，如图$1$。
2020届江苏省高三高考全真模拟(一)数学试题(含答案解析)
6．为了践行“健康中国”理念更好地开展群众健身活动，某社区对居民的健身情况进行调查，统计数据显示，每天健身时间（单位：min）在 ， ， ， ， 内的共有600人，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这600名居民中每天健身时间在 内的人数为_____________．
2020届江苏省高三高考全真模拟（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 _____________．
2．已知复数 （i为数单位）为纯虚数，则实数a的值为_____________．
（3）设 ，数列 为数列 的“偏差数列”， 、 且 ，若 ，（ ）对任意的 恒成立，求 的最小值．
21．已知矩阵 ，对应的变换把点 变成点 ．
（1）求a，b的特征值；
（2）求矩阵M的特征值．
22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线 的极坐标方程为 、直线 的极坐标方程为 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 有2个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的 ， 恒成立，求实数a的最大值．
20．若数列 ， 满足 ，则称数列 是数列 的“偏差数列”．
（1）若常数列 是数列 的“偏差数列”，试判断数列 是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列 是各项均为正整数的等比数列，且 ，数列 为数列 的“偏差数列”，数列 为递减数列，求数列 的通项公式；
7．如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ，E为PD的中点，已知 ， ， ，则三棱锥 的体积为_____________．
2020年江苏省盐城市、南京市高三年级第一次模拟考试数学试题答案
南京市、 盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题一、 填空题（ 本大题共 14 小题， 每小题 5 分， 计 70 分， 不需写出解答过程， 请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合 A = {0，+∞) ， 全集U = R ， 则C U A =______.2.设复数 z = 2 + i ， 其中i 为虚数单位， 则 z ⋅z = _________.3.学校准备从甲、 乙、 丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 则甲被选中的概率为_________.4.命题“∀θ ∈ R ，cos θ + sin θ > 1 ”的否定是________命题（ 填“真”或“假”） .5.运行如图所示的伪代码， 则输出的 I 的值为________.6.已知样本 789，x ，y 的平均数是 9， 且 xy = 110 ， 则此样本的方差是_______7.在平面直角坐标系 xOy 中， 若抛物线 y 2 = 4x 上的点 P 到其焦点的距离为 3， 则点 P 到点O 的距离为________.8.若数列{a n }是公差不为 0 的等差数列， ln a 1、 ln a 2、 ln a 5 成等差数列， 则21a a 的值为______.9.在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， 点 P 是棱CC 1 上一点， 记三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 与四棱锥 P -ABB 1A 1的体积分别为V 1和V 2 ， 则21V V ＝_______. 10.设函数的图像与 y 轴交点的纵坐标为3， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π， 则ω 的值为______. 11.已知 H 是 ∆ABC 的垂心（ 三角形三条高所在直线的交点），， 则cos ∠BAC 的值为______.12.若无穷数列{cos(ωn )}(ω ∈R ) 是等差数列， 则其前10项的和为______.13.已知集合 P = {(x ，y ) ｜x ｜x ｜+ y ｜y ｜= 16}， 集合Q = {(x ，y ) ｜kx +b 1 ≤ y ≤ kx +b 2} ， 若P ⊆ Q ， 则 的最小值为______.14.若对任意实数 x ∈(∞-，1]， 都有≤1成立， 则实数 a 的值为______.二、 解答题（ 本大题共 6 小题， 计 90 分.解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内） 15.（ 本小题满分 14 分） 已知 ∆ABC 满足 2cos （B ＋6π）＝2cosB （ 1） 若 cos C ＝63，AC =3， 求 AB ； （ 2） 若A ∈（0，3π），且 cos( B －A) ＝45 ，求 sin A .16.（ 本小题满分 14 分）如图， 长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1中， 已知底面 ABCD 是正方形， 点 P 是侧棱 CC 1上的一点. （ 1） 若 AC 1 ∥平面 PBD ， 求1PC PC的值； （ 2） 求证： BD ⊥ A 1P .17.（ 本小题满分 14 分）如图，是一块半径为 4 米的圆形铁皮， 现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶。
【精品高考数学】[2020年江苏高考仿真模拟卷-数学]+答案
![【精品高考数学】[2020年江苏高考仿真模拟卷-数学]+答案](https://img.taocdn.com/s3/m/1848325e4a7302768f993917.png)
2020年江苏高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟一、填空题1．（5分）已知集合M ＝{x |x ＞2}，集合N ＝{x |x ≤1}，则M ∪N ＝__________． 2．（5分）已知复数z 满足z +2z =6+i ，则z 的实部为__________．3．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是__________． 4．（5分）函数f （x ）＝lg （4x ﹣2x +1）的定义域为__________．5．（5分）将100粒大小一样的豆子随机撒入图中长3cm ，宽2cm 的长方形内，恰有30粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为__________cm 26．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为__________．7．（5分）已知双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为__________．8．（5分）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 9的值为__________．9．（5分）下面四个命题：其中所有正确命题的序号是__________． ①函数y ＝sin|x |的最小正周期为π；②在△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（3，2）；④若命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为[14，+∞)；⑤y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π4个单位，所得图象关于y 轴对称．10．（5分）四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，若∠SAB ∈[π3，2π3]，则四棱锥S ﹣ABCD 的体积的取值范围为__________．11．（5分）若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为__________． 12．（5分）设关于x 的不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，则关于x 的不等式ax+bx −5x−6≥0的解集为__________．13．（5分）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且DN →•ME →=−1，则cos A ＝__________．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝__________．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有__________个不同的零点．二、解答题15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别是AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥CD；（2）求证：EF∥平面PCD；（3）求证：平面P AB⊥平面PCD．16．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝2a2﹣2，a3＝a4﹣2a2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4；数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．17．（14分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p（0＜p ＜1），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．（Ⅰ）当p=12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．18．（16分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左右顶点分别为A 、B ，上顶点为T ，且△TF 1F 2为等边三角形． （1）求此椭圆的离心率e ；（2）若直线y ＝kx +m （k ＞0）与椭圆交与C 、D 两点（点D 在x 轴上方），且与线段F 1F 2及椭圆短轴分别交于点M 、N （其中M 、N 不重合），且|CM |＝|DN |． ①求k 的值；②设AD 、BC 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2的取值范围．19．（16分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=12•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数g （x ）的单调区间；（3）给出定义：若s ，t ，r 满足|s ﹣r |＜|t ﹣r |，则称s 比t 更接近于r ，当x ≥1时，试比较ex和e x﹣1+3哪个更接近Inx ，并说明理由．20．（16分）设数列{a n }，{b n }，{c n }的前n 项和分别为A n ，B n ，∁n ，且对任意的都有A n ＝B n +∁n ，已知A n =n2（a n +1）（n ∈N *），数列{b n }和{c n }是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数． （1）求证：数列{a n }是等差数列；（2）若数列{a n }的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列{a n }； （3）若a 2＝4，且B n ＞∁n ，n ∈N *，求数列{b n }，{c n }的通项公式．21．（10分）已知a ，b ∈R ，向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量．（1）求a ，b 的值；（2）若曲线C 1：x ﹣2y +3＝0在矩阵A 对应变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．23．（选做题）已知a ，b ，c ∈（0，+∞），且1a+2b+3c=2，求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD =12AB ＝1，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AE AB=PM PC=λ，其中0＜λ＜1，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME ． （Ⅰ）求证：ME ∥平面PFD ；（Ⅱ）若λ=12时，求二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值；（Ⅲ）若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为√55时，求λ值．25．（10分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；（2）求证：{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．2020年江苏高考仿真模拟卷数学2020.4满分：150分考试时间：120分钟一、填空题1．（5分）已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝__________．【解析】∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．故答案为：{x|x≤1或x＞2}．2．（5分）已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为__________．【解析】设z＝a+bi，（a，b∈R）．∵复数z满足z+2z=6+i，∴3a﹣bi＝6+i，可得：3a＝6，﹣b＝1，解得a＝2，b＝1．则z的实部为2．故答案为：2．3．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是__________．【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：x=15×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）＝5.2，∴该组数据的方差为：S2=15×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]＝0.1．故答案为：0.1．4．（5分）函数f（x）＝lg（4x﹣2x+1）的定义域为__________．【解析】函数f（x）＝lg（4x﹣2x+1），令4x﹣2x+1＞0，即（2x）2﹣2•2x＞0，解得2x＞2，即x＞1，所以f（x）的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．5．（5分）将100粒大小一样的豆子随机撒入图中长3cm，宽2cm的长方形内，恰有30粒豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为__________cm2【解析】设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，30100=x2×3，解得x＝1.8．故答案为：1.8．6．（5分）如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为__________．【解析】模拟执行伪代码，可得：S ＝0+11×2+12×3+⋯+110×11=（1−12）+（12−13）+…+（110−111）＝1−111=1011．故答案为：1011．7．（5分）已知双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为__________． 【解析】双曲线x 23−y 2b =1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°，所以√3=√33，所以b ＝1，所以双曲线的离心率为：e =ca =3=2√33． 故答案为：2√33． 8．（5分）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 9的值为__________．【解析】公差d 不为零的等差数列{a n }，若a 3是a 2与a 6的等比中项， 可得a 2a 6＝a 32，即（a 1+d ）（a 1+5d ）＝（a 1+2d ）2，化为d ＝﹣2a 1，又S 3＝3，可得3a 1+3d ＝3，解得a 1＝﹣1，d ＝2，则S 9＝9a 1+36d ＝﹣9+72＝63， 故答案为：63．9．（5分）下面四个命题：其中所有正确命题的序号是__________． ①函数y ＝sin|x |的最小正周期为π；②在△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则△ABC 一定是钝角三角形； ③函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（3，2）；④若命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为[14，+∞)； ⑤y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π4个单位，所得图象关于y 轴对称．【解析】对于①，函数y ＝sin|x |={sinx ，x ≥0−sinx ，x ＜0，该函数不是周期函数，①错误；对于②，△ABC 中，若AB →⋅BC →＞0，则∠ABC 的外角是锐角， 所以∠ABC 是钝角，△ABC 是钝角三角形，②正确； 对于③，令x ﹣2＝1，解得x ＝3，此时y ＝2+log a 1＝2；所以函数y ＝2+log a （x ﹣2）（a ＞0且a ≠1）的图象必过点（3，2），③正确； 对于④，命题“∃x ∈R ，x 2+x +a ＜0”是假命题时，它的否命题“∀x ∈R ，x 2+x +a ≥0”是真命题，所以△＝1﹣4a ≤0，解得a ≥14， 所以实数a 的取值范围是[14，+∞），④正确；对于⑤，y ＝cos x ﹣sin x =√2cos （x +π4），y 的图象向左平移π4个单位，得y =√2cos （x +π2）=−√2sin x 的图象，所得图象不关于y 轴对称，⑤错误． 综上知，正确的命题序号是②③④． 故答案为：②③④．10．（5分）四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，若∠SAB ∈[π3，2π3]，则四棱锥S ﹣ABCD 的体积的取值范围为__________．【解析】如图，分别取AD 与BC 的中点M 、N ，连接MS ，MN ． 由题意知AD ⊥平面SMN ，作SO ⊥MN ，垂足为O ．则SO ⊥AD ． 由AD ∩MN ＝M ，∴SO ⊥平面ABCD ，即四棱锥S ﹣ABCD 的高为SO ，过O 作OE ∥AD 交AB 于点E ，连接SE ．由题意知∠SEA ＝90°，其中SA =√2． 当∠SAB ∈[π3，2π3]时，sin ∠SAB ∈[√32，1]，SE ＝SA ，sin ∠SAB ∈[√62，√2]，EO ＝1． ∴SO =√SE 2−1∈[√22，1]，∴V S ﹣ABCD =13×4×SO∈[2√23，43]．故答案为：[2√23，43]．11．（5分）若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为__________．【解析】设切点为（x 0，lnx 0+1），则切线为y =1x 0(x −x 0)+lnx 0+1=1x 0x +lnx 0，所以1x 0=a ，lnx 0＝b ，则ab =lnx 0x 0，令g （x ）=lnx x ，所以g ′（x ）=1−lnxx 2， 所以g （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减， 则g(x)max =g(e)=1e ，即ab 的最大值为1e，故答案为：1e．12．（5分）设关于x 的不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，则关于x 的不等式ax+bx 2−5x−6≥0的解集为__________．【解析】∵不等式ax +b ＞0的解集为{x |x ＜2}，∴2是方程ax +b ＝0的解，且a ＜0， ∴2a +b ＝0（a ＜0），ax+b x 2−5x−6≥0⇒ax−2ax 2−5x−6≥0⇒a （x ﹣2）（x ﹣6）（x +1）≥0且x ≠6，x ≠﹣1由标根法得x ＜﹣1或2≤x ＜6．∴原不等式的解集为：{x |x ＜﹣1或2≤x ＜6}． 故答案为：{x |x ＜﹣1或2≤x ＜6}．13．（5分）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点，且DN →•ME →=−1，则cos A ＝__________．【解析】以边BC 所在直线为x 轴，以边BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设A （0，b ），B （﹣a ，0），C （a ，0），且D ，E 与M ，N 分别是AB ，AC 的三等分点， ∴D(−a 3，2b 3)，E(−2a 3，b 3)，M(a 3，2b 3)，N(2a 3，b3)，∴DN →=(a ，−b 3)，ME →=(−a ，−b3)，且DN →⋅ME →=−1， ∴−a 2+b29=−1①，又AC ＝3，∴a 2+b 2＝9②，联立①②得，a 2=95，在△ABC 中，由余弦定理得，cosA =9+9−4a 22×3×3=18−36518=35．故答案为：35．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝__________．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有__________个不同的零点．【解析】（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点． y ＝f （x ）的图象如图：∴k ＝4或k ＝0． （2）∵g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，当x ≤0时，2x +1＝0，得x =−12；此时f （x ）=−12，由图可知有一个解；当x ＞0时，g （x ）＝x 3+2x ﹣16单调递增， ∵g （2）＝﹣4，g （3）＝17，∴g （x ）在（2，3）有一个零点x 0，即f （x ）＝x 0∈（2，3） 由图可知有三个解，∴共有四个解． 故答案为4或0；4．二．解答题15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别是AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥CD；（2）求证：EF∥平面PCD；（3）求证：平面P AB⊥平面PCD．【解析】（1）∵P A＝PD，E是AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴PE⊥CD．（2）取BC中点G，连结EG，FG，∵E，F分别是AD，PB的中点，∴FG∥PC，EF∥DC，∵FG∩EG＝G，∴平面EFG∥平面PCD，∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面PCD．（3）∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD，由（1）得CD⊥PE，又AD∩PE＝E，∴CD⊥平面P AD，∵AP⊂平面P AD，∴CD⊥AP，∵P A⊥PD，PD∩CD＝D，∴P A⊥平面PCD，∵P A⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面PCD．16．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝2a2﹣2，a3＝a4﹣2a2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4；数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．【解析】（1）等比数列{a n}中有a3＝a4﹣2a2，则q2﹣q﹣2＝0，所以q＝2或﹣1，因为S2＝2a2﹣2，所以a1+a2＝2a2﹣2，所以a1＝a1q﹣2，当q＝2时，a1＝2，此时a n=2n；当q＝﹣1时，a1＝﹣1，此时a n=(−1)n；（2）因为数列{a n}为递增数列，所以a n=2n，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4，公差设为d，则有b4﹣b2＝2d＝4﹣2＝2，所以d＝1，所以b n＝b2+（n﹣2）d＝2+（n﹣2）×1＝n，即b n＝n，所以a n b n=n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n，2T n=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1，两式相减得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，−T n=2−2n+11−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，即T n=(n−1)⋅2n+1+2．17．（14分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强．现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统．设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为p（0＜p ＜1），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立．（Ⅰ）当p=12时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元．现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由．【解析】（Ⅰ）∵某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为C 32(12)3+C 33(12)3=12，某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为C 31(12)3[1−(12)2]=932，∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为12+932=2532；（Ⅱ）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500，∵P(X =1500)=C 31p(1−p)2，P(X =900)=1−C 31p(1−p)2，∴E(X)=900×[1−C 31p(1−p)2]+1500×C 31p(1−p)2=900+1800p （1﹣p ）2，令g （p ）＝p （1﹣p ）2，p ∈（0，1），则g '（p ）＝（1﹣p ）2﹣2p （1﹣p ）＝（3p ﹣1）（p ﹣1）， 当p ∈(0，13)时，g '（p ）＞0，g （p ）在(0，13)上单调递增； 当p ∈(13，1)时，g '（p ）＜0，g （p ）在上(13，1)单调递减， ∴g （p ）的最大值为g(13)=427，∴实施此方案，最高费用为100+9000×(900+1800×427)×10−4=1150（万元）， ∵1150＜1200，故不会超过预算． 18．（16分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左右顶点分别为A 、B ，上顶点为T ，且△TF 1F 2为等边三角形． （1）求此椭圆的离心率e ；（2）若直线y ＝kx +m （k ＞0）与椭圆交与C 、D 两点（点D 在x 轴上方），且与线段F 1F 2及椭圆短轴分别交于点M 、N （其中M 、N 不重合），且|CM |＝|DN |． ①求k 的值；②设AD 、BC 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1k 2的取值范围．【解析】（1）设x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，由△TF 1F 2为等边三角形．得a ＝2c ，即椭圆的离心率e =ca =12；（2）①设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），由y ＝kx +m ，可知M(−mk ，0)，N （0，m ）， 联立y ＝kx +m 与x 2a 2+y 2b 2=1，整理得（a 2k 2+b 2）x 2+2kma 2x +a 2m 2﹣a 2b 2＝0，其中△＝4a 2b 2（a 2k 2+b 2﹣m 2）＞0， 易值，x 1+x 2＝x M +x N ，即−2kma 2a 2k 2+b2=−mk，解得k 2=b 2a2=1−e 2=34，因为，k ＞0，所以k =√32，②由M 在线段F 1F 2，且M ，N 不重合， 可知，x M =−m k =−amb ∈[−c ，0)∪(0，c]， 从而m ∈[−bc a ，0)∪(0，bca ]， 即k 1=y 2x 2+a ，k 1=y1x 1−a，并结合在曲线上，则有， 所以k 12k 22=y 22y 12⋅(x 1−a)2(x 2+a)2=a 2−x 22a−x 12⋅(x 1−a)2(x 2+a)2=(x 1−a )(x 2−a )(x 1+a )(x 2+a )=x 1x 2−a (x 1+x 2)+a 2x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2=(m+b)2(m−b)2，从而可得，k 1k 2=−m+b m−b =−1−2b m−b∈[a−c a+c ，1)∪(1，a+ca−c]， 所以k 1k 2的取值范围为[13，1)∪(1，3]．19．（16分）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=12e2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数g （x ）的单调区间；（3）给出定义：若s ，t ，r 满足|s ﹣r |＜|t ﹣r |，则称s 比t 更接近于r ，当x ≥1时，试比较ex和e x﹣1+3哪个更接近Inx ，并说明理由．【解析】（1）∵f （x ）=12e2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2， ∴f ′（x ）＝f '（1）•e 2x ﹣2﹣2f （0）+2x ，令x ＝1可得，f ′（1）＝f '（1）﹣2f （0）+2，可得f （0）＝1， 由f （x ）=12e 2•f '（1）•e 2x ﹣2f （0）•x +x 2，可得f （0）=12e 2•f '（1）＝1， ∴f ′（1）＝2e 2，∴f （x ）＝e 2x ﹣2x +x 2，（2）∵g （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1）．∴g ′（x ）＝e x ﹣a ，①当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，②当a＞0时，当x＞lna，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＜lna，g′（x）＜0，g（x）单调递减，（3）设p（x）=ex−lnx，q（x）＝e x﹣1﹣lnx+3，易得p（x）在[1，+∞）上单调递减，故当e≥x≥1时，p（x）≥p（e）＝0，当x＞e时，p（x）＜0，而q′（x）=e x−1−1 x，q′′（x）=e x−1+12＞0，故q′（x）在[1，+∞）单调递增，q′（x）≥q′（1）＝0，则q（x）在[1，+∞）上单调递增，q（x）≥q（1）＝4＞0，①1≤x≤e时，|p（x）|﹣|q（x）|＝p（x）﹣q（x）=e x−e x−1−3=m（x），∴m′（x）=−ex2−e x−1＜0，故m（x）单调递减，m（x）≤m（1）＝e﹣4＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|即ex比e x﹣1+3更接近lnx，②x＞e时，|p（x）|﹣|q（x）|＝﹣p（x）﹣q（x）=−e x−e x−1−3+2lnx＜﹣e x﹣1+2lnx﹣3＝n（x），∴n′（x）＝﹣e x﹣1+2x，n′′（x）＝﹣e x﹣1−2x2＜0，∴n′（x）单调递减，n′（x）＜n′（e）＜0，故n（x）单调递减，n（x）＜n（e）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，即ex比e x﹣1+3更接近lnx，综上可得，当x≥1时，ex比e x﹣1+3更接近lnx，20．（16分）设数列{a n}，{b n}，{c n}的前n项和分别为A n，B n，∁n，且对任意的都有A n＝B n+∁n，已知A n=n2（a n+1）（n∈N*），数列{b n}和{c n}是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列{a n}；（3）若a2＝4，且B n＞∁n，n∈N*，求数列{b n}，{c n}的通项公式．【解析】（1）∵A n=n2（a n+1），①∴A n+1=n+12(a n+1+1)，②②﹣①得：2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+1，即（n﹣1）a n+1＝na n﹣1，③na n+2＝（n+1）a n+1﹣1，④④﹣③得：2na n+1＝na n+2+na n，即2a n+1＝a n+2+a n，∵n∈N*，∴数列{a n }是等差数列；（2）解：在A n =n 2（a n +1）中，令n ＝1，得a 1＝1， 设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝1+（n ﹣1）d ，∵数列{a n }的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，∴有：①若删去a 1或a 4，剩下的三项连续，若成等比数列，则d ＝0，则数列的通项公式为a n ＝1；②若删去a 2，即a 1，a 3，a 4成等比数列，则（1+2d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d =−14， 则数列{a n }的通项公式为a n ＝1或a n =5−n4； ③若删去a 3，即a 1，a 2，a 4成等比数列，则（1+d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d ＝1． 则数列{a n }的通项公式为a n ＝1或a n ＝n ． 综上所述，满足条件的数列{a n }有a n ＝1或a n =5−n4或a n ＝n ； （3）解：A 2=a 1+a 2=a 1+4=22×(4+1)，则a 1＝1，a n ＝3n ﹣2， ∵对任意n ∈N *，都有A n ＝B n +∁n ，∴对任意n ∈N *，都有a n ＝b n +c n ， 设数列{b n }，{c n }的公差分别为d 1，d 2，则 b 1+（n ﹣1）d 1+c 1+（n ﹣1）d 2＝3n ﹣2，n ∈N *， ∴{d 1+d 2=3b 1+c 1−d 1−d 2=−2，即{d 1+d 2=3b 1+c 1=1，① ∵对任意n ∈N *，都有B n ＞∁n ，∴nb 1+n(n−1)2d 1＞nc 1+n(n−1)2d 2， 整理得：d 1−d 22n 2+(b 1−c 1−d 1−d 22)n ＞0，n ∈N *，∴d 1−d 22≥0，且由n ＝1可得b 1﹣c 1＞0，②由数列{b n }和{c n }的各项均为非负整数， ∴由②得d 1≥d 2＞0，b 1＞c 1≥0，③ 由①③得{b 1=1c 1=0且{d 1=2d 2=1．∴b n ＝2n ﹣1，c n ＝n ﹣1．21．（10分）已知a ，b ∈R ，向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量．（1）求a ，b 的值；（2）若曲线C 1：x ﹣2y +3＝0在矩阵A 对应变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．【解析】（1）由向量α→=[−12]是矩阵A =[a 1−1b ]的属于特征值﹣1的一个特征向量，得[a 1−1b ] [−12]=−1×[−12]，所以﹣a +2＝1，1+2b ＝﹣2，解得a ＝1，b =−32； （2）由（1）得A =[11−1−32]， 设点P （x ，y ）为曲线C 1的任意一点，点P 在矩阵A 的变换下得到点P ′（x 0，y 0）， 则[11−1−32] [x y ]=[x +y −x −32y ]=[x 0y 0]，所以x ＝3x 0+2y 0，y ＝﹣2x 0﹣2y 0，代入C 1得7x 0+6y 0+3＝0， 即有C 2：7x +6y +3＝022．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解析】（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①．直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|2=|2sin(θ+π3)−6|√2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =82=4√2． 23．（选做题）已知a ，b ，c ∈（0，+∞），且1a+2b +3c=2，求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【解析】由于(1a +2b +3c )(a +2b +3c )=[(√1a)2+(√2b)2+(√3c)2][(√a)2+(√2b)2+(√3c)2]≥(√1a √a +√2b √2b +√3c √3c)2=36（5分） 又1a +2b +3c=2，∴a +2b +3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立当a ＝b ＝c ＝3时，a +2b +3c 取得最小值18 （10分）24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD =12AB ＝1，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AEAB=PM PC=λ，其中0＜λ＜1，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME ． （Ⅰ）求证：ME ∥平面PFD ；（Ⅱ）若λ=12时，求二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值； （Ⅲ）若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为√55时，求λ值．【解析】（Ⅰ）在线段PD 上取一点N ，使得PN PD=λ，∵PN PD=λ=PM PC，∴MN ∥DC 且MN =1λDC ，∵AEAB=λ，∴AE =1λAB ，AB ∥DC 且AB ＝DC ，∴且AE ＝MN ，∴四边形为平行四边形，∴ME ∥AN ， 又∵AN ⊂平面PFD ，ME ⊄平面PFD ，∴ME ∥平面PFD ．（Ⅱ）以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A （0，0，0），P （0，0，1），B （0，2，0），C （﹣1，2，0），D （﹣1，0，0）， ∵λ=12，∴E （0，1，0），F （1，0，0）设平面PEA 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， PE →=(0，1，−1)，AP →=(0，0，1)，{n →⋅PE →=y −z =0n →⋅AP →=z =0，令z ＝1，∴y ＝1，∴m →=(0，1，1)， 设平面PEF 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，PE →=(0，1，−1)，PF →=(1，0，−1)，{m →⋅PE →=y −z =0m →⋅PF →=x −z =0， 令z ＝1，∴x ＝1，y ＝1，∴m →=(1，1，1)，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=2⋅3=√33，sin ＜m →，n →＞=√1−cos 2＜m →，n →＞=√63，二面角A ﹣PE ﹣F 的正弦值为√63．（ III ）令E （0，h ，0），0≤h ≤2，PE →=(0，ℎ，−1)，设平面PEA 的一个法向量为n 1→=(x ，y ，z)，PB →=(0，2，−1)，BC →=(−1，0，0)，{n 1→⋅PB →=2y −z =0n 1→⋅PB →=−x =0，令y ＝1，∴z ＝1，∴n 1→=(0，1，2)由题意可得：|cos ＜PE →，n 1→＞|=|PE →⋅n 1→||PE →|⋅|n 1→|=|ℎ−2|√ℎ+1⋅√5=√55，∴ℎ=34，∴AE =34，λ=AE AB =38．25．（10分）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘山标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出奇数点，则棋子向前跳动一站；若掷出偶数点，则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）．（1）求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用P n﹣2和P n﹣1表示P n；（2）求证：{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．【解析】（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为p n，则p0即棋子跳到第0站的概率，则p0＝1，p1即棋子跳到第1站的概率，则p1=1 2，p2即棋子跳到第2站的概率，有两种情况，即抛出2次奇数或1次偶数，则p2=12p0+12p1=34；故跳到第n站p n有两种情况，①在第n﹣2站抛出偶数，②在第n﹣1站抛出奇数；所以p n=12p n−1+12p n−2；（2）证明：∵p n=12p n−1+12p n−2，∴p n−p n−1=−12(p n−1−p n−2)，又∵p1−p0=−1 2；∴数列{P n﹣P n﹣1}（n＝1，2…，100）是以−12为首项，−−12为公比的等比数列．（3）玩游戏获胜即跳到第99站，由（2）可得p n−p n−1=(−12)n（1≤n≤100），∴p1−p0=−1 2，p2−p1=14，p3−p2=−18，p99−p98=(−12)99，∴p99−p0=(−12)×[1−(−12)99]1−(−12)，∴p99=23[1−(12)100]．。
2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷答案解析
2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，共70分）1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝{﹣1，2} ．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．【解答】解：由（1+i）z＝2i，&得．则复数z的模为：．故答案为：．3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为40 ．【解答】解：根据题意，5名党员教师的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值＝（35+35+41+38+51）＝40，故答案为：404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为11 ．—【解答】解：模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a＝1+1+2+3+4＝11．故答案为：11．5．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为 1 ．【解答】解：由题意，可知＝a1a4，∴（a1+d）2＝a1（a1+3d），即+2a1d+d2＝+3a1d．$化简，得a1＝d．∴＝1．故答案为：1．6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为：P＝＝．故答案为：．:7．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积为．【解答】解：如图所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A 1﹣BB1C1的体积＝＝••B1B＝＝．故答案为：．8．已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为5．【解答】解：当x＝时，f（x）取得最大值，~即f（）＝sin（ω﹣）＝1，即ω﹣＝+2kπ，k∈Z，即ω＝12k+5，k∈Z，由于ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为5．故答案为：5．9．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，[即（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x，故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，所以a＜1．故答案为：（﹣∞，1）10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2﹣y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为．【解答】解：设点B的横坐标为m，;因为双曲线C：x2﹣y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设点A在直线y＝x上，点B在直线y＝﹣x上．则点A坐标为（2，2），点B坐标为（m，﹣m），所以线段AB的中点坐标为，因为双曲线C经过线段AB的中点，所以，解得，故答案为：．11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的1000倍．【解答】解：地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE ＝4.8+1.5M．、2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量满足：lgE1＝4.8+1.5×8.0，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量满足：lgE2＝4.8+1.5×6.0．∴lgE1﹣lgE2＝3，解得：＝103＝1000．故答案为：1000．12．已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，若，则BD的最小值为．【解答】解：如图，设AB＝AC＝x，由，得AD＝，【设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理可得：cosθ＝，得，①由△ABC的面积为3，得，即，②联立①②，得，∴，令y＝，则y sinθ＝5﹣3cosθ，∴y sinθ+3cosθ＝5，即（θ+φ）＝5，得sin（θ+φ）＝，由，解得y≥4或y≤﹣4（舍）．]即，得BD，∴BD的最小值为．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为{8，8﹣2，8+2}．【解答】解：已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点，则AB所在直线的方程为2x+y﹣a+8＝0，若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨论：①，P为直角顶点，则AB为圆C1的直径，|即直线2x+y﹣a+8＝0经过圆C1的圆心C1，必有﹣a+8＝0，解可得a＝8；②，A或B为直角顶点，则点C1到直线AB的距离d＝r＝×2＝2，则有d＝＝2，解可得a＝8﹣2或8+2，综合可得：a的取值的集合为{8，8﹣2，8+2}；故答案为：{8，8﹣2，8+2}．14．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1﹣a2＝0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．【解答】解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2+2at+1﹣a2，作f（x）的图象如下，>设g（t）的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需，故，解得．故答案为：．二、解答题（共6题，共90分）15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面P AB⊥平面P AC．~【解答】证明：（1）∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE是三角形ABC的一条中位线，∴DE∥AB，∵AB不在平面PDE内，DE在平面PDE内，∴AB∥平面PDE；（2）∵P A⊥平面ABC，AB在平面ABC内，∴P A⊥AB，又PC⊥AB，P A∩PC＝P，且P A，PC都在平面P AC内，%∴AB⊥平面P AC，∵AB在平面P AB内，∴平面P AB⊥平面P AC．16．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cos B＝﹣．（1）求sin A的值．（2）求的值．【解答】解：（1）如图，∵，∴，!又AC＝4，BC＝3，∴根据正弦定理得，，解得；（2）∵，∴，∴cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝，∴＝＝^＝．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．}【解答】解：（1）设椭圆的E的焦距为2c，则由题意，得，解得，所以b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆E的标准方程为；（2）①证明：由已知，得M（2，2），N（0，4），B（2，0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，解得，即P（，），因为，，所以点P在椭圆上；②解法一：设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，，直线AP的方程为，令，得，直线BP的方程，令y＝4，得，所以＝＝＝＝＝．<解法二：设直线AP的方程为（k 1＞0），令，得，设直线BP的方程为（k 2＜0），令y＝4，得，所以＝＝|k1k2|，设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，所以k1k2＝•＝＝＝，所以＝．(18．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．【解答】解：（1）因为正三角形ABC的边长为a，所以∠AOB＝120°，且OA＝OA1＝OB＝OB1＝OC＝OC1＝，由旋转图形的性质可知，△A1AC1≌△AA1B≌△B1BA1≌△BB1C≌△C1CB1≌△CC1A，所以∠AA1B＝∠A1BB1＝∠BB1C＝∠B1CC1＝∠CC1A＝∠C1AA1＝120°，在等腰△AOA1中，因为∠AOA1＝θ＝，所以∠AA1O＝，…所以∠BA1O＝，因此∠A1OB＝，依此类推可得，∠BOB1＝∠COC1＝，∠B1OC＝∠C1OA＝，所以六边形徽标的面积S＝+＝3（）＝3•＝，故六边形徽标的面积为．（2）由（1）可知，A1A＝B1B＝C1C，A1B＝B1C＝C1A，不妨设A1A＝x，A1B＝y，则六边形徽标的周长L＝3（x+y）．在△AA1B中，由余弦定理得，cos∠AA1B＝cos120°＝\所以xx2+y2+xy＝a2，变形得（x+y）2﹣xy＝a2①由基本不等式可知，②由①②解得，x+y≤，当且仅当x＝y＝时取等号所以六边形徽标的周长L＝3（x+y）≤3×＝故六边形徽标的周长的最大值为．19．已知数列{a n}满足：a1＝1，且当n≥2时，a n＝λa n﹣1+（λ∈R）．（1）若λ＝1，证明：数列{a2n﹣1}是等差数列；（2）若λ＝2．）①设b n＝a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设∁n＝，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．【解答】解：（1）当λ＝1时，则根据a1＝1，a n＝a n﹣1+（n≥2），得，所以a2n+1＝a2n﹣1+1，即a2n+1﹣a2n﹣1＝1为常数，即数列{a2n﹣1}是首项为1，公差为1的等差数列；（2）λ＝2时，a1＝1，且当n≥2时，a n＝2a n﹣1+，①当n≥2时，，所以a2n＝4a2n﹣2+2，则a2n+＝4（a2n﹣2+），又因为b n＝a2n+，即有b n＝a2n+＝4（a2n﹣2+），%而b1＝a2+＝2a1+＝≠0，所以＝4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，则b n的通项公式为b n＝•4n﹣1＝•4n （n∈N+）；②由①知，a2n＝b n﹣＝（4n﹣1），a2n﹣1＝a2n＝（4n﹣1），则＝＝＝（）﹣n＝，所以∁n＝＝[]（n∈N+），则C n+1﹣∁n＝﹣＝，当n＝1时，C2﹣C1＝0，则C2＝C1；当n＝2时，C3﹣C2＝0，则C3＝C2；@当n≥3时，C n+1﹣∁n＞0，则C n+1＞∁n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．20．设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．【解答】解：（1）当a＝0时，，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），．—令f'（x）＜0，则x＞1，∴f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）①由，得，设g（x）＝ax3﹣x+1，则导函数f'（x）有三个零点，即函数g（x）有三个非零的零点．又g′（x）＝3ax2﹣1，若a≤0，则g′（x）＝3ax2﹣1＜0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，g（x）至多有1个零点，不符合题意，∴a＞0．令g′（x）＝0，，则当x∈∪时，g'（x）＞0；当x∈，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减，在和上单调递增，·∴，即，∴．又g（0）＝1＞0，∴g（x）在上有且只有1个非零的零点．∵当时，，，且，又函数g（x）的图象是连续不间断的，∴g（x）在和上各有且只有1个非零的零点，∴实数a的取值范围是．②由f（m1）＝f（m2）＝0，得，^设p（x）＝ax2﹣ax﹣1（a＞0），且p（m1）＝p（m2）＝0，∴．又∵m1＜m2，∴m1＜0＜m2．∴x＜m1或x＞m2时，p（x）＞0；m1＜x＜m2时，p（x）＜0．由①知a＞0，x1＜0＜x2＜x3．∵，∴，，∴，，∴x1＜m1＜x1+1成立．$【选做题】（3选2，每题10分）21．已知a，b∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．【解答】解：（1）由矩阵特征值和特征向量的关系可知：Aα＝3α，带入可知：＝3，即，解得a＝2，b＝﹣1，故矩阵A＝．.（2）设P为（x，y），因为点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），所以，解得x＝1，y＝0，故P（1，0）．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．【解答】解：已知直线l的参数方程（t为参数），转换为直角坐标方程为x+2y+3＝0，椭圆C的参数方程为（θ为参数），设椭圆上的点P（2cosθ，sinθ）到直线l 的距离d＝＝，？当sin（）＝1时，．23．已知a，b，c都是正实数，且＝1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．【解答】证明：（1）∵a，b，c都是正实数，∴，又∵＝1，∴，即abc≥27，得证；}（2）∵a，b，c都是正实数，∴，，，由①+②+③得，，∴，得证．【必做题】（每题10分）24．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．&【解答】解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥AA1，AD⊥AA1，∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，1，2），D1（0，2，2），＝（﹣2，2，0），＝（0，1，﹣2），设平面B1CD1的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，则＝（2，2，1），∵AB⊥平面B1C1C，∴平面B1CC1的一个法向量＝（2，0，0），设二面角C1﹣B1C﹣D1的的平面角为α，由图形得锐角，∴二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值为：cosα＝＝．（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），∵点P是AD中点，则P（0，1，0），＝（λ，﹣1，0），＝（λ﹣2，0，﹣2），设平面B1PQ的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2λ，λ﹣2），设直线B1C与平面B1PQ所成角大小为β，∵直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，∴sinβ＝＝＝，解得λ＝1或．∴AQ＝1．25．一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y 的数学期望（用n表示）．【解答】解：（1）当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n＝56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m＝，∴当n＝3时，恰好取到3次红球的概率P（A）＝＝．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n﹣1，（n∈N*），则P（Y＝2t+1）＝•（2i+1）＝＝．（0≤i≤n﹣1，i∈N），∴E（Y）＝0•P（Y＝0）+3P（Y＝3）+5P（Y＝5）+…+（2n﹣1）P（Y＝2n﹣1）＝（+++…+），令x n＝+++…+，y n＝++，则，x n﹣y n＝（4﹣1）2n﹣1＝32n﹣1．∴．∴E（Y）＝＝＝．。
2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析
2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，每题5分）1．（2020•江苏一模）已知集合A＝（0，+∞），全集U＝R，则∁U A＝（﹣∞，0]．【解答】解：∵A＝（0，+∞），U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．2．（2020•江苏一模）设复数z＝2+i，其中i为虚数单位，则z•＝5．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：5．3．（2020•江苏一模）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为．【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，基本事件总数n＝＝3，甲被选中包含的基本事件个数m＝＝2，则甲被选中的概率为P＝＝．故答案为：．4．（2020•江苏一模）命题“∀θ∈R，cosθ+sinθ＞1”的否定是真命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃θ0∈R，cosθ0+sinθ0≤1为真命题，故答案为：真．5．（2020•江苏一模）运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，I＝0满足条件S≤10，执行循环体，S＝0，I＝1满足条件S≤10，执行循环体，S＝1，I＝2满足条件S≤10，执行循环体，S＝3，I＝3满足条件S≤10，执行循环体，S＝6，I＝4满足条件S≤10，执行循环体，S＝10，I＝5满足条件S≤10，执行循环体，S＝15，I＝6不满足条件S≤10，退出循环，输出I的值为6．故答案为：6．6．（2020•江苏一模）已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是2．【解答】解：∵样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，∴，解得x＝10，y＝11或x＝11，y＝10，∴此样本的方差为：S2＝[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]＝2．故答案为：2．7．（2020•江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为2．【解答】解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，准线方程为：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，所以P（2，）则点P到点O的距离为：＝，故答案为：2．8．（2020•江苏一模）若数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，则的值为3．【解答】解：数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，∴2ln（a1+d）＝lna1+ln（a1+4d），∴＝a1（a1+4d），∴，解得d＝2a1，∴＝＝3．故答案为：3．9．（2020•江苏一模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，则＝．【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，设AB＝a，△ABC的高为b，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h，则，，∴＝＝．故答案为：．10．（2020•江苏一模）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则ω的值为7．【解答】解：∵f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为，∴f（0）＝sinφ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，则f（x）＝sin（ωx+），∵y轴右侧第一个最低点的横坐标为，∴由五点对应法得ω+＝得φ＝7，故答案为：7．11．（2020•江苏一模）已知H是△ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），＝+，则cos∠BAC的值为．【解答】解：∵＝+，令，∴如图，点B，H，E三点共线，则有，，∴．∴，即．∴，∴＝（其中点F为边AB的中点），则有，边AB上的中线与垂线重合，即CB＝CA．∵且．由对称性可知，且．建立如图所示的平面直角坐标系，则有，D（0，0），B（2，0），C（1，0），设A（0，4t），∴H（0，t），t＞0．由BC＝CA可得，．cos∠BAC＝＝．故答案为．12．（2020•江苏一模）若无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，则其前10项的和为10．【解答】解：∵无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，∴ω＝0，∴cos（ωn）＝1，∴无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）的前10项的和为：S10＝10×1＝10．故答案为：10．13．（2020•江苏一模）已知集合P＝{（x，y）|x|x|+y|y|＝16}，集合Q＝{（x，y）|kx+b1≤y ≤kx+b2}，若P⊆Q，则的最小值为4．【解答】解：当x≥0，y≥0时，x2+y2＝16，即y＝；当x≥0，y＜0时；x2﹣y2＝16，即当x＜0，y≥0时；﹣x2+y2＝16，即y＝当x＜0，y＜0时，x2+y2＝﹣16，舍去．作出图象，x2﹣y2＝16的一条渐近线为y＝﹣x，与该渐近线平行，且与圆x2+y2＝16的一条切线为，由图可知，k＝﹣1，最小值为＝．故答案为：4．14．（2020•江苏一模）若对任意实数x∈（﹣∞，1]，都有||≤1成立，则实数a 的值为．【解答】解：依题意，，令，若x2﹣2ax+1＝0的判别式△＝4a2﹣4≥0，则x2﹣2ax+1＝0有解，设一解为x1，则当x→x1时，|f（x）|→+∞，不满足|f（x）|≤1恒成立，故﹣1＜a＜1，，①当2a+1＜0，即时，函数f（x）在（2a+1，1）单调递减，f（0）＝1，则f（2a+1）＞1，不满足题意；②当2a+1＞0，即时，记1，2a+1中的较小值为x0，则函数f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，由f（0）＝1可得f（x0）＞f（0）＝1，不满足题意；③当2a+1＝0，即时，f（x）在（﹣∞，0），（0，1）单调递减，则f（x）≤f（0）＝1，＞0，则|f（x）|≤1恒成立．故答案为：．二、解答题（共6题，满分90分）15．（2020•江苏一模）已知△ABC满足sin（B+）＝2cos B．（1）若cos C＝，AC＝3，求AB；（2）若A∈（0，），且cos（B﹣A）＝，求sin A．【解答】解：（1）由sin（B+）＝2cos B，可知sin B+cos B＝2cos B，即sin B＝cos B，因为cos B≠0，所以tan B＝，又B∈（0，π），故B＝，由cos C＝，C∈（0，π），可知sin C＝，在△ABC中，由正弦定理，所以AB＝2；（2）由（1）知B＝，所以A∈（0，）时，﹣A∈（0，），由cos（B﹣A）＝，即cos（）＝，所以sin（）＝，所以sin A＝sin[﹣（）]＝sin cos（）﹣cos sin（）＝＝．16．（2020•江苏一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P 是侧棱CC1上的一点．（1）若AC1∥平面PBD，求的值；（2）求证：BD⊥A1P．【解答】解：（1）连结AC交BD于点O，连结OP．因为AC1∥平面PBD，AC1⊂平面ACC1，平面ACC1∩平面BDP＝OP，所以AC1∥OP．因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以点O是AC的中点，所以AO＝OC，所以在△ACC1中，＝＝1．（2）证明：连结A1C1．因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，所以侧棱C1C⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC∩CC1＝C，AC⊂面ACC1A1，CC1⊂面ACC1A1，所以BD⊥面ACC1A1，又因为A1P⊂面ACC1A1，所以BD⊥A1P．17．（2020•江苏一模）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）【解答】解：（1）设⊙P的半径为r，则AB＝4（2﹣r），所以⊙P的周长，解得，故⊙P半径的取值范围为；（2）在（1）的条件下，油桶的体积V＝πr2•AB＝4πr2（2﹣r），设函数，则f′（x）＝4x﹣3x2，由于，所以f′（x）＞0在定义域上恒成立，即函数f（x）在定义域上单调递增，故当时，体积取倒最大值．18．（2020•江苏一模）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．【解答】解：（1）由题意知当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．知c＝1，＝e＝，∴b ＝c＝1，又a2＝b2+c2＝2，所以椭圆的方程为：＝1；（2）由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0）设A（x0，y0），由＝λ得，即，代入椭圆方程得：+（﹣λy0）2＝1，又＝1，得，两式相减得：＝1﹣λ2，因为λ+1≠0，所以2λx0+λ+1＝2（1﹣λ），故；同理可得：，故λ+μ＝+＝，当且仅当x0＝0时取等号，故λ+μ的最小值为．19．（2020•江苏一模）定义：若无穷数列{a n}满足{a n+1﹣a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“M（q）数列”．设数列{b n}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n+1＝2S n﹣n+λ，请判断数列{b n}是否为“M（q）数列”，并说明理由；（3）若数列{b n}是“M（2）数列”，是否存在正整数m，n使得＜＜？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，所以q＝＝＝1，所以＝1，n≥2，即b n+1﹣b n＝b n﹣b n﹣1，n≥2，所以数列{b n}是等差数列，其公差为b2﹣b1＝3，所以数列{b n}通项公式为b n＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．（2）由，得，b3＝4+3λ＝7，解得λ＝7，由，得，两式作差，得：，∴，n∈N*，∵，∴，∴对n∈N*恒成立，则＝3（），∵，∴，∴＝3，∴是等比数列，∴，∴，∴＝＝3，∴{b n+1﹣b n}是公比为3的等比数列，故数列{b n}是“M（q）数列“．（3）由数列{b n}是“M（2）”数列，∴b n+1﹣b n＝（b2﹣b1）×2n+1，∵＝2，∴＝2，∴b2＝3，∴b2﹣b1＝2，∴b n+1﹣b n＝2n，∴当n≥2时，b n＝（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1，＝2n﹣1+2n﹣2+…+2+1＝2n﹣1，假设存在正整数m，n，使得，则，由＝，∴，∴m﹣n＝1，∴，即，∴，∴n＝10，m＝11．∴存在满足条件的正整数m，n，其中m＝11，n＝10．20．（2020•江苏一模）若函数f（x）＝e x﹣ae﹣x﹣mx（m∈R）为奇函数，且x＝x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；（3）若f（x0）≥﹣恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数，得f（x）+f（﹣x）＝0在定义域上恒成立，∴e x﹣ae﹣x﹣mx+e﹣x﹣ae x+mx＝0，化简可得（1﹣a）（e x+e﹣x）＝0，故a＝1；（2）由（1）可得f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，则，①当m≤2时，由于e2x﹣me x+1≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故不存在极小值；②当m＞2时，令e x＝t，则方程t2﹣mt+1＝0有两个不等的正根t1，t2（t1＜t2），故可知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx在（﹣∞，lnt1），（lnt2，+∞）上单调递增，在（lnt1，lnt2）上单调递减，即在lnt2出取到极小值，所以，实数m的取值范围为（2，+∞）；（3）由x0满足代入f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，消去m得，构造函数h（x）＝（1﹣x）e x﹣（1+x）e﹣x，则h′（x）＝x（e﹣x﹣e x），当x≥0时，，故当x≥0时，h′（x）≤0恒成立，故函数h（x）在[0，+∞）上单调减函数，其中，则，可转化为h（x0）≥h（1），故x0≤1，由，设y＝e x+e﹣x，可得当x≥0时，y′＝e x﹣e﹣x≥0，∴y＝e x+e﹣x在（0，1]上递增，故，综上，实数m的取值范围为．四、选做题（任选2道，每道10分）21．（2020•江苏一模）已知圆C经矩阵M＝变换后得到圆C′：x2+y2＝13，求实数a的值．【解答】解：设圆C上任一点（x，y），经矩阵M变换后得到圆C’上一点（x’，y’），所以，所以，又因为（x′）2+（y′）2＝13，所以圆C的方程为（ax+3y）2+（3x﹣2y）2＝13，化简得（a2+9）x2+（6a﹣12）xy+13y2＝13，所以解得a＝2．所以，实数a的值为2．22．（2020•江苏一模）在极坐标系中，直线ρcosθ+2ρsinθ＝m被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB是最长弦时，求实数m的值．【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线ρcosθ+2ρsinθ＝m，可得直角坐标方程为x+2y﹣m＝0．又曲线ρ＝4sinθ，所以ρ2＝4ρsinθ，其直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，所以曲线ρ＝4sinθ是以（0，2）为圆心，2为半径的圆．为使直线被曲线（圆）截得的弦AB最长，所以直线过圆心（0，2），于是0+2×2﹣m＝0，解得m＝4．所以，实数m的值为4．23．（2020•江苏一模）已知正实数a，b，c满足++＝1，求a+2b+3c的最小值．【解答】解：根据题意，因为++＝1，则++＝1，由柯西不等式得a+2b+3c＝（a+2b+3c）（++）≥（1+2+3）2；即a+2b+3c≥36，当且仅当a＝b＝c时取等号，解得a＝b＝c＝6，所以当且仅当a＝b＝c＝6时，a+2b+3c取最小值36．五、必做题（每题10分，共计2题）24．（2020•江苏一模）如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线，A1B1、AB分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；（2）若二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，求母线AA1的长．【解答】解：（1）以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．由CD＝2，AA1＝3，所以A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（﹣1，0，0），D（1，0，0），A1（0，﹣1，3），B1（0，1，3），从而＝（﹣1，1，﹣3），＝（1，﹣1，﹣3），所以cos＝，所以异面直线A1C与B1D所成角的余弦值为：．（2）设AA1＝m＞0，则A1（0，﹣1，m），B1（0，1，m），所以＝（﹣1，1，﹣m），＝（1，﹣1，﹣m），，＝（2，0，0），设平面A1CD的一个法向量＝（x1，y1，z1），则所以x1＝0，令z1＝1，则y1＝m，所以平面A1CD的一个法向量＝（0，m，1）．同理可得平面B1CD的一个法向量＝（0，﹣m，1）．因为二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，所以|cos＜，＞|＝＝，解得m＝或m＝，由图形可知当二面角A1﹣CD﹣B1的大小为时，m＝．25．（2020•江苏一模）设（1﹣2x）i＝a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n（n∈N*），记S n＝a0+a2+a4+…+a2n．（1）求S n；（2）记T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n，求证：|T n|≥6n3恒成立．【解答】解：（1）由题意，令x＝1，得a0+a1+a2+…+a2n＝＝0；令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2n﹣1+a2n＝＝31+32+…+32n＝•（9n﹣1）．两式相加，得2（a0+a2+a4+…+a2n）＝•（9n﹣1），即2S n＝•（9n﹣1），∴S n＝（9n﹣1），n∈N*．（2）由题意，T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n＝{[﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n]}＝{[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n ]}＝[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]＝[（﹣9）0﹣（﹣9）1+（﹣9）2﹣（﹣9）3+…+（﹣9）n]＝（1﹣9）n＝•（﹣8）n．故|T n|＝|•（﹣8）n|＝•8n．要证|T n|≥6n3，即证×8n≥6n3，只需证明8n﹣1≥n3，即证2n﹣1≥n．当n＝1，2时，2n﹣1≥n显然成立．当n≥3时，2n﹣1＝++…+≥＝+＝1+（n﹣1）＝n，即2n﹣1≥n，所以2n﹣1≥n对n∈N*恒成立．综上，|T n|≥6n3恒成立．。
2020学年高考模拟试卷江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷 含解析
2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为．4．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为．5．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为．6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为．7．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积为．8．已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为．9．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2﹣y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为．11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的倍．12．已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，若，则BD的最小值为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B 两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为．14．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1﹣a2＝0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC．16．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cos B＝﹣．（1）求sin A的值．（2）求的值．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN 相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．18．（16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．19．（16分）已知数列{a n}满足：a1＝1，且当n≥2时，a n＝λa n﹣1+（λ∈R）．（1）若λ＝1，证明：数列{a2n﹣1}是等差数列；（2）若λ＝2．①设b n＝a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设∁n＝，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．20．（16分）设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．【选做题】本题包含21、22、23小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知a，b∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C 的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a，b，c都是正实数，且＝1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．第24题、第25题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．25．一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y 的数学期望（用n表示）．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝{﹣1，2} ．【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：由（1+i）z＝2i，得．则复数z的模为：．故答案为：．3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为40 ．【分析】根据题意，由平均数的计算公式计算可得答案．解：根据题意，5名党员教师的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值＝（35+35+41+38+51）＝40，故答案为：404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为11 ．【分析】模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a的值．解：模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a＝1+1+2+3+4＝11．故答案为：11．5．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为 1 ．【分析】本题根据等比中项有＝a1a4，然后根据等差数列通项公式代入化简，可得a1与d的关系式，即可得到的值．解：由题意，可知＝a1a4，∴（a1+d）2＝a1（a1+3d），即+2a1d+d2＝+3a1d．化简，得a1＝d．∴＝1．故答案为：1．6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为．【分析】将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，利用n次独立试验中事件A恰好发生k 次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率．解：将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为：P＝＝．故答案为：．7．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积为．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，可得：棱锥A1﹣BB1C1的体积＝＝••B1B，代入即可得出．解：如图所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积＝＝••B1B＝＝．故答案为：．8．已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为 5 ．【分析】由已知可得sin（ω﹣）＝1，利用正弦函数的性质可得ω﹣＝+2kπ，k∈Z，结合ω＞0，可求ω的最小值．解：当x＝时，f（x）取得最大值，即f（）＝sin（ω﹣）＝1，即ω﹣＝+2kπ，k∈Z，即ω＝12k+5，k∈Z，由于ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为5．故答案为：5．9．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．【分析】由已知结合奇函数的定义可求m，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求．解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x，故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，所以a＜1．故答案为：（﹣∞，1）10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2﹣y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为．【分析】写出双曲线的渐近线方程，从而得到A和B两点的坐标，再利用中点坐标中式求得线段AB的中点，将其代入双曲线的标准方程，即可得解．解：设点B的横坐标为m，因为双曲线C：x2﹣y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设点A在直线y＝x上，点B在直线y＝﹣x上．则点A坐标为（2，2），点B坐标为（m，﹣m），所以线段AB的中点坐标为，因为双曲线C经过线段AB的中点，所以，解得，故答案为：．11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的1000 倍．【分析】根据地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE ＝4.8+1.5M．分别计算出：2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量E1，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量E2，利用对数运算性质即可得出．解：地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量满足：lgE1＝4.8+1.5×8.0，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量满足：lgE2＝4.8+1.5×6.0．∴lgE1﹣lgE2＝3，解得：＝103＝1000．故答案为：1000．12．已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，若，则BD的最小值为．【分析】由题意画出图形，设AB＝AC＝x，由，得AD＝，设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理及△ABC的面积为3得，则，令y＝，再由三角函数求最值，即可求得BD的最小值．解：如图，设AB＝AC＝x，由，得AD＝，设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理可得：cosθ＝，得，①由△ABC的面积为3，得，即，②联立①②，得，∴，令y＝，则y sinθ＝5﹣3cosθ，∴y sinθ+3cosθ＝5，即（θ+φ）＝5，得sin（θ+φ）＝，由，解得y≥4或y≤﹣4（舍）．即，得BD，∴BD的最小值为．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B 两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为{8，8﹣2，8+2} ．【分析】根据题意，求出AB所在直线的方程，按直角顶点的位置分情况讨论，求出a 的值，综合即可得答案．解：已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点，则AB所在直线的方程为2x+y﹣a+8＝0，若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨论：①，P为直角顶点，则AB为圆C1的直径，即直线2x+y﹣a+8＝0经过圆C1的圆心C1，必有﹣a+8＝0，解可得a＝8；②，A或B为直角顶点，则点C1到直线AB的距离d＝r＝×2＝2，则有d＝＝2，解可得a＝8﹣2或8+2，综合可得：a的取值的集合为{8，8﹣2，8+2}；故答案为：{8，8﹣2，8+2}．14．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1﹣a2＝0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．【分析】令f（x）＝t，则g（t）＝t2+2at+1﹣a2，作f（x）的图象，观察图象可知，函数g（t）在（0，1）及（1，+∞）各有一根，由二次函数的根的分布列出不等式组得解．解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2+2at+1﹣a2，作f（x）的图象如下，设g（t）的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需，故，解得．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC．【分析】（1）由中位线的性质可知DE∥AB，由此即可得证；（2）先由PA⊥平面ABC，可证PA⊥AB，再结合已知PC⊥AB，即可证得AB⊥平面PAC，进而得证．【解答】证明：（1）∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE是三角形ABC的一条中位线，∴DE∥AB，∵AB不在平面PDE内，DE在平面PDE内，∴AB∥平面PDE；（2）∵PA⊥平面ABC，AB在平面ABC内，∴PA⊥AB，又PC⊥AB，PA∩PC＝P，且PA，PC都在平面PAC内，∴AB⊥平面PAC，∵AB在平面PAB内，∴平面PAB⊥平面PAC．16．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cos B＝﹣．（1）求sin A的值．（2）求的值．【分析】（1）根据条件可求出，然后根据正弦定理即可求出；（2）可以求出，然后根据cos C＝cos[π﹣（A+B）]即可求出cos C＝，从而由进行数量积的运算即可求出答案．解：（1）如图，∵，∴，又AC＝4，BC＝3，∴根据正弦定理得，，解得；（2）∵，∴，∴cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝，∴＝＝＝．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN 相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．【分析】（1）根据椭圆的性质列方程组即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）①求得直线AM和BN的方程，联立，求得P点坐标，由P满足椭圆方程，即可判断P在椭圆E上；②解法一：根据直线的斜率公式及直线的斜率公式分别求得直线AP和BP的方程，求得M和N点坐标，表示出，利用P在椭圆上，即可证明为定值；解法二：设直线AP和BP的方程，同理求得M和N点坐标，根据直线斜率公式即可证明为定值．解：（1）设椭圆的E的焦距为2c，则由题意，得，解得，所以b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆E的标准方程为；（2）①证明：由已知，得M（2，2），N（0，4），B（2，0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，解得，即P（，），因为，所以点P在椭圆上；②解法一：设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，，直线AP的方程为，令，得，直线BP的方程，令y＝4，得，所以＝＝＝＝＝．解法二：设直线AP的方程为（k1＞0），令，得，设直线BP的方程为（k2＜0），令y＝4，得，所以＝＝|k1k2|，设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，所以k1k2＝•＝＝＝，所以＝．18．（16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．【分析】（1）由旋转图形的性质可知，图中存在全等三角形，再结合边长和角度的计算以及三角形的正弦面积公式，即可求出六边形徽标的面积；（2）由全等三角形的性质，可知六边形徽标的周长等于3（AA1+BA1），再结合余弦定理和基本不等式的性质，即可得最大值．解：（1）因为正三角形ABC的边长为a，所以∠AOB＝120°，且OA＝OA1＝OB＝OB1＝OC ＝OC1＝，由旋转图形的性质可知，△A1AC1≌△AA1B≌△B1BA1≌△BB1C≌△C1CB1≌△CC1A，所以∠AA1B＝∠A1BB1＝∠BB1C＝∠B1CC1＝∠CC1A＝∠C1AA1＝120°，在等腰△AOA1中，因为∠AOA1＝θ＝，所以∠AA1O＝，所以∠BA1O＝，因此∠A1OB＝，依此类推可得，∠BOB1＝∠COC1＝，∠B1OC＝∠C1OA＝，所以六边形徽标的面积S＝+＝3（）＝3•＝，故六边形徽标的面积为．（2）由（1）可知，A1A＝B1B＝C1C，A1B＝B1C＝C1A，不妨设A1A＝x，A1B＝y，则六边形徽标的周长L＝3（x+y）．在△AA1B中，由余弦定理得，cos∠AA1B＝cos120°＝所以xx2+y2+xy＝a2，变形得（x+y）2﹣xy＝a2①由基本不等式可知，②由①②解得，x+y≤，当且仅当x＝y＝时取等号所以六边形徽标的周长L＝3（x+y）≤3×＝故六边形徽标的周长的最大值为．19．（16分）已知数列{a n}满足：a1＝1，且当n≥2时，a n＝λa n﹣1+（λ∈R）．（1）若λ＝1，证明：数列{a2n﹣1}是等差数列；（2）若λ＝2．①设b n＝a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设∁n＝，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．【分析】（1）将λ＝1代入，则可得到，故a2n+1﹣a2n﹣1＝1为常数，进而判断为等差数列；（2）λ＝2时，a1＝1，且当n≥2时，a n＝2a n﹣1+，①有b n＝a2n+＝4（a2n﹣2+），所以＝4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，即可求出其通项公式；②∁n＝＝[]（n∈N+），当n＝1时，C2﹣C1＝0，则C2＝C1；当n＝2时，C3﹣C2＝0，则C3＝C2；当n≥3时，C n+1﹣∁n＞0，则C n+1＞∁n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．解：（1）当λ＝1时，则根据a1＝1，a n＝a n﹣1+（n≥2），得，所以a2n+1＝a2n﹣1+1，即a2n+1﹣a2n﹣1＝1为常数，即数列{a2n﹣1}是首项为1，公差为1的等差数列；（2）λ＝2时，a1＝1，且当n≥2时，a n＝2a n﹣1+，①当n≥2时，，所以a2n＝4a2n﹣2+2，则a2n+＝4（a2n﹣2+），又因为b n＝a2n+，即有b n＝a2n+＝4（a2n﹣2+），而b1＝a2+＝2a1+＝≠0，所以＝4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，则b n的通项公式为b n＝•4n﹣1＝•4n（n∈N+）；②由①知，a2n＝b n﹣＝（4n﹣1），a2n﹣1＝a2n＝（4n﹣1），则＝＝＝（）﹣n＝，所以∁n＝＝[]（n∈N+），则C n+1﹣∁n＝﹣＝，当n＝1时，C2﹣C1＝0，则C2＝C1；当n＝2时，C3﹣C2＝0，则C3＝C2；当n≥3时，C n+1﹣∁n＞0，则C n+1＞∁n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．20．（16分）设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．【分析】（1）将a＝0代入f（x）中，然后求导，再由f'（x）＜0得到f（x）的单调递减区间；（2）①对f'（x）求导，然后构造函数g（x）＝ax3﹣x+1，再根据f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），得到函数g（x）有三个非零的零点，进一步求出a的范围；②根据m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，得到f（m1）＝f（m2）＝0，然后p（x）＝ax2﹣ax﹣1（a＞0），进一步证明x1＜m1＜x1+1．解：（1）当a＝0时，，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），．令f'（x）＜0，则x＞1，∴f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）①由，得，设g（x）＝ax3﹣x+1，则导函数f'（x）有三个零点，即函数g（x）有三个非零的零点．又g′（x）＝3ax2﹣1，若a≤0，则g′（x）＝3ax2﹣1＜0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，g（x）至多有1个零点，不符合题意，∴a＞0．令g′（x）＝0，，则当x∈∪时，g'（x）＞0；当x∈，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减，在和上单调递增，∴，即，∴．又g（0）＝1＞0，∴g（x）在上有且只有1个非零的零点．∵当时，，，且，又函数g（x）的图象是连续不间断的，∴g（x）在和上各有且只有1个非零的零点，∴实数a的取值范围是．②由f（m1）＝f（m2）＝0，得，设p（x）＝ax2﹣ax﹣1（a＞0），且p（m1）＝p（m2）＝0，∴．又∵m1＜m2，∴m1＜0＜m2．∴x＜m1或x＞m2时，p（x）＞0；m1＜x＜m2时，p（x）＜0．由①知a＞0，x1＜0＜x2＜x3．∵，∴，，∴，，∴x1＜m1＜x1+1成立．【选做题】本题包含21、22、23小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知a，b∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．【分析】（1）由矩阵特征向量，特征值得关系，可以得到满足的等式，代入可得．（2）直接由矩阵变换，代入等式可求．解：（1）由矩阵特征值和特征向量的关系可知：Aα＝3α，带入可知：＝3，即，解得a＝2，b＝﹣1，故矩阵A＝．（2）设P为（x，y），因为点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），所以，解得x＝1，y＝0，故P（1，0）．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C 的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：已知直线l的参数方程（t为参数），转换为直角坐标方程为x+2y+3＝0，椭圆C的参数方程为（θ为参数），设椭圆上的点P（2cosθ，sinθ）到直线l的距离d＝＝，当sin（）＝1时，．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a，b，c都是正实数，且＝1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．【分析】（1）利用，即可得证；（2）利用基本不等式直接证明即可．【解答】证明：（1）∵a，b，c都是正实数，∴，又∵＝1，∴，即abc≥27，得证；（2）∵a，b，c都是正实数，∴，，，由①+②+③得，，∴，得证．第24题、第25题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．【分析】（1）推导出AB⊥AA1，AD⊥AA1，AB⊥AD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值．（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），求出平面B1PQ的法向量，利用向向量能求出AQ．解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥AA1，AD⊥AA1，∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，1，2），D1（0，2，2），＝（﹣2，2，0），＝（0，1，﹣2），设平面B1CD1的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，则＝（2，2，1），∵AB⊥平面B1C1C，∴平面B1CC1的一个法向量＝（2，0，0），设二面角C1﹣B1C﹣D1的的平面角为α，由图形得锐角，∴二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值为：cosα＝＝．（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），∵点P是AD中点，则P（0，1，0），＝（λ，﹣1，0），＝（λ﹣2，0，﹣2），设平面B1PQ的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2λ，λ﹣2），设直线B1C与平面B1PQ所成角大小为β，∵直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，∴sinβ＝＝＝，解得λ＝1或．∴AQ＝1．25．一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y 的数学期望（用n表示）．【分析】（1）当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n＝56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m＝，由此能求出当n＝3时，恰好取到3次红球的概率．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n﹣1，（n∈N*），则P （Y＝2t+1）＝•（2i+1）＝．（0≤i≤n﹣1，i∈N），E（Y）＝（+++…+），令x n ＝+++…+，y n＝++，由此求出．从而能求出E（Y）．解：（1）当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n＝56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m＝，∴当n＝3时，恰好取到3次红球的概率P（A）＝＝．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n﹣1，（n∈N*），则P（Y＝2t+1）＝•（2i+1）＝＝．（0≤i≤n﹣1，i∈N），∴E（Y）＝0•P（Y＝0）+3P（Y＝3）+5P（Y＝5）+…+（2n﹣1）P（Y＝2n﹣1）＝（+++…+），令x n＝+++…+，y n＝++，则，x n﹣y n＝（4﹣1）2n﹣1＝32n﹣1．∴．∴E（Y）＝＝＝．。
2020届江苏省南通市如皋中学高三(创新班)下学期6月高考模拟数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市如皋中学高三（创新班）下学期6月高考模拟数学试题一、填空题1．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】将原问题转化为Venn 图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩， 即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________． 【答案】2x =-【解析】将双曲线方程化为标准方程得222213x y a a-=，抛物线的准线为2x a =-，联立22222138x y a ay ax⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得3x a =，即点P 的横坐标为3a ，而由1212122PF PF PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得26PF a =-，∴2326PF a a a =+=-，解得1a =，∴抛物线的准线方程为2x =-，故答案为2x =-.3．已知实数a ，b 满足22182a b+=θθ+取最大值时，tan θ=________.【答案】1【解析】根据辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，进而可求得答案 【详解】由22182a b +=得2284a b +=，利用辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，其中tan ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以最大值为2，当且仅当22a b ==，()sin 1θϕ+=时成立， 此时tan 1ϕ=，故4πϕ=，所以sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则24k πθπ=+，k Z ∈，则tan 1θ=，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，关键是利用辅助角公式化简，利用基本不等式求最值，属于中档题目.4．已知等差数列{}n a 满足：22158a a +=，则12a a +的最大值为________.【答案】5【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据22158a a +=，利用平方关系，设15,a a θθ==，则()12cos 5sin 22a a θθθϕ=+=++，再利用三角函数的性质求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为22158a a +=，由22cos sin 1αα+=，设15,a a θθ==，则()211511cos 422a a d a a a θθ=+=+-=+，所以()12cos 5sin ,tan 722a a θθθϕϕ=+=+=+， 当2,2k k Z πθϕπ+=+∈时，12a a +的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围为________.【答案】0a ≤或12a ≥【解析】首先对函数求导，观察得到'(0)0f =，并且将函数只有一个极值点转化为导数等于零只有一个根，结合图象得到结果.【详解】2()x x f x x e ae a '-=⋅+，函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点， 即2()0x xf x x e ae a ='-⋅+=只有1个实根，且在根的两侧异号，可以求得'(0)0f =，令'()0f x =，得2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-，则设2()(0)1xx x e a g x x e ⋅==≠-，求导2222222(1)(1)2[(1)(1)]()(1)(1)x x x x x x x x x e e e xe e x e x g x e e +--⋅--+==-'-，设2()(1)(1)xh x x ex =--+，222'()2(1)1(12)1x x x h x e x e x e =-+--=--，设()()u x h x ='，222()2(24)4xx x u x e x e xe '=-+-=-，可知当0x <时，'()0u x >，0x >时，'()0u x <，所以)'(h x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减，且'(0)0h =， 所以'()0h x ≤恒成立，所以()h x 为减函数，且(0)0h =， 所以当0x <时，'()0g x >，当0x >时，)'(0g x <， 所以()g x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减， 当0x >时，21,()0xeg x >>，当0x <时，21,()0x e g x <>画出()y g x =图象如图所示：可以确定22000(1)1lim ()lim lim 122x x x x x x x xe x e g x e e →→→+===-， 因为函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，且'(0)0f =，所以要求2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-无解，所以0a ≤或12a ≥， 故答案为：0a ≤或12a ≥. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的性质，涉及到的知识点有利用导数研究参数的取值范围，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．其中将函数有一个极值点转化为方程只有一个根，结合图象得到结果，属于较难题目. 6．已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为 ． 【答案】【解析】试题分析：取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切.【考点】圆的切线.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同两点AB ，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为________. 10【解析】由渐近线斜率设出直线l 方程，与双曲线方程联立消去x 得关于y 的二次方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，由韦达定理得12y y +，12y y ，由此可得,,a b c 的齐次等式，从而求得离心率． 【详解】不妨设直线l 与渐近线b y x a=-垂直，即直线l 方程为()ay x c b =+，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222()b y bcy b c a y a b a a -+-=， 即2222324()20c b a y ab cy a b --+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则3122222()ab c y y c b a +=-①，2412222()a b y y c b a =-②， 又2AF FB =u u u r u u u r，(,0)F c -，所以122y y =-③，③代入①得32222()ab y c a b =-，所以31224()ab y c a b =--，12,y y 代入②得 262422222228()()a b a b c a b c b a -=--，整理得22910c a =，所以c e a ==．． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是设出直线l 方程，与双曲线方程联立消元后得一元二次方程，注意这里消去x 得y 的二次方程对解题有帮助，原因是由2AF FB =u u u r u u u r易得122y y =-，结合韦达定理可得关于,,a b c 的齐次式，从而求得离心率．8．用I M 表示函数sin y x =在区间I 上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则a 的取值范围为________.【答案】513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据正弦定理在[0,)+∞上的单调性求解． 【详解】因为sin y x =在[0,]2π上单调递增，所以[0,]2a π∈，若2a π<，则存在0δ>，使得[,2]a a a δ+∈，且[0,]sin()a a M δ+>，不合题意，所以[0,]1a M =，所以由[][]0,,22a a a M M ≥得[,2]12a a M ≤，所以561326a a ππ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得513612a ππ≤≤． 故答案为：513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【点睛】本题考查新定义，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数性质是解题基础，正确理解新定义是关键．9．四棱锥P ABCD -中，2PA BC CD ===，PB PC PD AB AD =====，则四棱锥P ABCD -的体积为________. 【答案】3【解析】连接,AC BD 交于点E ，通过证明平面PCD ⊥平面ABCD ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，利用180AOD COD ∠+∠=︒，应用余弦定理求得各线段长，由P ABCD D PAC B PAC V V V ---=+可得体积． 【详解】连接,AC BD 交于点E ，由,AB AD CB CD ==知AC BD ⊥，E 是BD 中点，又PB PD =，所以PE BD ⊥，又PE AC E =I ，所以BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面ABCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ， 过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，则BO DO CO ===AO =设CO a =，则AO =222242cos 12a a COD a a+-∠==-， 222cos AOD ∠==因为cos cos AOD COD ∠=-∠2221a =-，由0a >，解得2a =，所以1AO =，2BO CO DO ===，PO =，11322PAC S AC PO =⨯=⨯=V ，DE BE = 1133P ABCD D PAC B PAC PAC PACV V V DE S BE S ---=+=⨯⨯+⨯⨯V V11333==． 故答案为：3．【点睛】本题考查求四棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10．已知向量a r ，b r满足1a =r ，3b =r ，若存在不同的实数1λ，()2120λλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+u r r r且()()()01,2i i c a c b i -⋅-==u r r u r r ，则12c c -u r u u r 的取值范围是________.【答案】(2,2222,23⎡⋃⎣【解析】设a b k ⋅=r r，()()0iic a c b -⋅-=u r r u r r 变形（数量积的运算）得12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，利用韦达定理求得12λλ-，则12123c c a b λλ-=-+u r u u r r r可表示为k 的函数，由k 的范围可得结论，在题中注意k 的范围的确定． 【详解】111(1)3c a a b λλ-=-+u r r r r ，111(31)c b a b λλ-=+-u r r r r ，设a b k ⋅=r r（33k -≤≤），由()()110c a c b -⋅-=u r r u r r得211()0c a b c a b -+⋅+⋅=u r r r u r r r ，整理得2116(3)4(3)0k k k λλ+-++=，同理2226(3)4(3)0k k k λλ+-++=，所以12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，由120λλ≠得0k ≠，3k =-方程无解，故0k ≠且3k ≠-，8(3)(6)0k k ∆=+->，1223λλ+=，126(3)kk λλ=+，所以12λλ-===，3a b +===r r所以1212123c c a b λλλ-=-+=-=u r u u r r r33k -<≤且0k ≠得12c c -u r u u r的范围是[2,U ．故答案为：[2,U ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设a b k ⋅=r r后通过数量积的运算把12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，这样可用韦达定理求得12λλ-，从而求得目标12c c -u r u u r关于k 的函数．11．已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos APB ∠的最大值为________.【答案】4【解析】画出椭圆图形，设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ，由正切和角公式用00,x y 表示出tan APB ∠，结合椭圆的方程化为0y 的表达式，利用换元法令01t y =-，将tan APB ∠转化为关于t 的函数式，讨论0t =与(]0,2t ∈两种情况，结合基本不等式即可求得tan APB ∠的最小值，再根据同角三角函数关系式即可求得cos APB ∠的最大值.【详解】根据题意，画出椭圆的图形如下图所示：设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ， 则002tan 1x AH APH PH y +∠==-，02tan 1x BH BPH PH y -∠==-， 由正切和角公式可知()tan tan APB APH BPH ∠=∠+∠tan tan 1tan tan APH BPHAPH BPH∠+∠=-∠⨯∠()()()00000220000002241112214111x x y y y x x y x y y +-+---==+-----⨯--而()00,P x y 在2214x y +=上，所以220014x y +=，则220044x y =-， 代入上式可得()()()()()00222200004141tan 1414y y APB y x y y --∠==-----由椭圆性质可知，[]01,1y ∈-， 令[]01,0,2t y t =-∈， 则()22244tan 38441t t APB t t t t ∠==-+---，[]0,2t ∈，当0t =时，tan 0APB ∠=，此时,cos 1APB APB π∠=∠=-，当(]0,2t ∈时，由基本不等式可知4tan 23443838APB t t ∠=≥=⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭， 当且仅当43t t =，即233t =时取等号，此时cos APB ∠的值最大，因而22sin 23cos sin cos 1APBAPB APB APB ∠⎧=+⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩，化简可得223cos 4APB -∠=，所以62cos APB -∠=， 综上所述，可知cos APB ∠的最大值为624-， 故答案为：624-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程和几何性质的综合应用，由正切和角公式及同角三角函数关系式的应用，由基本不等式确定最值，综合性强，属于难题.12．已知21a e b e -=-=r r r r ，1e =r ，则向量a b ⋅r r的最小值为________.【答案】14-【解析】1e =r ，不失一般性，设(1,0)e =r ，由21a e b e -=-=r r r r 知a b r r，的终点在两个圆上运动，设(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b =+=r r ，，化简(2cos )(1+cos )sin sin a b r r αβαβ++⋅=放缩后得到21114(cos )2444β--≥-得解.【详解】1e r Q =，不妨设(1,0)e =r(.)(.)a m n b c d ==r r ，，21a e r rQ -=，22(2)1m n \-+= 所以(,)A m n 在圆22(2)1x y -+=上运动 1b e r rQ -=，22(1)1c d \-+=所以(,)B c d 在圆22(1)1x y -+=上运动再令(2cos ,sin )A a a +，(1+cos ,sin )B b b(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b \=+=r r，， (2cos )(1+cos )sin sin a b r rαβαβ∴⋅+=+2cos +2cos +cos cos sin sin αβαβαβ+=+2cos +2cos +cos()αβαβ+=-2+2cos +2cos()cos 22βββα+-=224cos 2cos()cos4cos cos22222βββββα=+-≥-21114(cos)2444β=--≥- 故答案为：14- 【点睛】本题考查平面向量数量积最值问题.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．13．三角形ABC 面积为S ，若2221054c a b +=，则2220156Sa b +的最大值是________.【答案】16【解析】由2221054c a b +=求出226cos 8a c B ac +=-，将22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭用a 和c 表示，并化简，再令22c t a =，得到关于t 的式子，构造函数，并利用导数求出22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值，进而得解. 【详解】由2221054c a b +=，得()22211054b c a =+， 2222222221(105)64cos 228a c c a a c b a c B ac ac ac+-++-+===-，()2222222240020156311sin 251052ac B S a b a c a ⎛⎫⨯⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪+⎝⎭⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()2222221001cos 45152a c a c B -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222222226464932a c a c a c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2222222261464932a c a c a c ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令22c t a =，则0t >，2222222(16)464203652181156916927342t t S t t a b t t t ⎡⎤+-⎢⎥-+-⎛⎫⎣⎦== ⎪+⎛⎫⎝⎭⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()223652181169274t t f t t t -+-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则222314404()16927814t t f t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭'，令()0f 't =，解得32t =-（舍）或12t =，所以，当102t <≤时，'()0f t >，()f t 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； 当12t >时，()0f t <'，()f t 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以，当12t =时，()f t 取得最大值，11365211142118123616927424f -⨯+⨯-⎛⎫== ⎪⎛⎫⎝⎭⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭，即22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值为136，所以，2220156Sa b +的最大值是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形的面积公式及利用导数研究函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想以及运算求解能力和逻辑推理能力，构造函数并掌握求极值的方法是求解本题的关键，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.14．已知数列{}n b 为首项为2正项等比数列，数列{}n c 为公差为3等差数列，数列{}n a 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+，若11a =，则数列{}n a 前50项的和为________. 【答案】1275【解析】先根据等差与等比性质列方程组解得{}n b 与{}n c 通项公式，进而可求数列{}n a 通项公式，最后根据等差数列求和公式得结果.【详解】11a =Q 21,,2n n n b a a b +=-=, 13133,213b a a a a ∴=-=-∴=112112,3223n n n n n n n n n c a a c c a a a a +++++=+-=∴+--=Q 2123n n n a a a ++∴--= 3212232a a a a ∴--=∴= 4324234a a a a ∴--=∴=因此2422,b a a =-=数列{}n b 公比为211,2n b b b == 1212553(1)32n c a a c n n =+=∴=+-=+Q因此1232n n a a n ++=+212123542610n n n n a a n a a n ++++∴+=+∴+=+从而2438,n n a a n +-=+22n n n a a b +-==Q10050(150),12752n a n S +∴=== 故答案为：1275 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、解答题15．如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=．（1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．【答案】（1）见解析（2）4811-【解析】（1）由题意可得1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，即可作出证明；（2）由（1）得3cos sin sin cos A B A B =，得到4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =，即可求解tan C 的值.【详解】（1）证明：因为12BD AD c -=， 所以1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以()sin 2sin C A B =-．（2）解：由（1）得，()()sin 2sin A B A B +=-， 所以()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A B +=-， 化简，得3cos sin sin cos A B A B =．又3cos 5A =，所以4sin 5A=，所以4tan 3A =，4tan 9B =， 所以()44tan tan 4839tan tan 441tan tan 11139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：1C E ⊥平面BDE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，可证四边形AEFG 是平行四边形，得EF ∥AG ，即可证明结论；（2）根据已知可得22211EB C E C B +=，得出1C E BE ⊥，再由已知得BD AC ⊥，结合正三棱柱的垂直关系，可证BD ⊥平面11A ACC ，进而有1BD C E ⊥，即可证明结论.【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG . 因为F 为1C B 的中点，所以FG ∥111,2C C FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ∥111,C C A A C C =， 且E 为1A A 的中点，所以FG ∥,EA FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形.所以EF ∥AG . 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .（2）因为在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1A A BD ⊥.因为D 为AC 的中点，BA BC =，所以BD AC ⊥.因为1A A AC A =I ，1A A ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ， 所以BD ⊥平面11A ACC .因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1BD C E ⊥. 根据题意，可得16EB C E AB ==，13C B AB =， 所以22211EB C E C B +=.从而190C EB ∠=︒，即1C E EB ⊥.因为BD EB B =I ，BD ⊂平面BDE ，EB ⊂平面BDE ， 所以1C E ⊥平面BDE .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及直线与平面垂直，注意空间垂直关系的相互转化，属于中档题.17．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0， 设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠. 由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=.()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++， 当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.18．某景区平面图如图1所示，A B C E D 、、、、为边界上的点．已知边界CED 是一段抛物线，其余边界均为线段，且,,3,8AD AB BC AB AD BC AB ⊥⊥===，抛物线顶点E 到AB 的距离7OE =．以AB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求边界CED 所在抛物线的解析式；（2）如图2，该景区管理处欲在区域ABCED 内围成一个矩形MNPQ 场地，使得点M N 、在边界AB 上，点P Q 、在边界CED 上，试确定点P 的位置，使得矩形MNPQ 的周长最大，并求出最大周长． 【答案】（1）217(44)4y x x =-+-≤≤；（2）点P 与点C 重合．最大值为22， 【解析】（1）根据题意，设二次函数解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，代入点C 、E 坐标，即可求解参数；（2）根据题意结合（1）中抛物线解析式，设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用坐标表达矩形的周长，根据二次函数性质，可求最值问题. 【详解】（1）根据对称性可知，1184,3,722OA OB AB BC OE ===⨯===， (4,3),(0,7)C E ∴，设边界CED 所在抛物线的解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，Q 抛物线的图象经过C ，E 两点，1637a c c +=⎧⎨=⎩，解得147a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴边界CED 所在抛物线的解析式为217(44)4y x x =-+-≤≤； （2）设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， Q 四边形MNPQ 是矩形，2ON OM m ∴==，2174PN QM m ==-+， 24MN QP ON m ∴===，∴矩形MNPQ 的周长为： 222112()227414421(4)222MN PN m m m m m ⎛⎫+=-+=-++ ⎪⎝⎭=--+ 102-<Q ，开口向下， ∴当4m =时，矩形MNPQ 的周长有最大值，最大值为22，此时P 点坐标为(4,3)，即点P 与点C 重合．【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式，考查计算能力，考查运用二次函数模型解决实际问题，属于中等题型.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q-=∈≠≠- （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若*q N ∈，是否存在q 的某些取值，使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若q ∈R ，是否存在[3,)q ∈+∞，使数列{}n a 中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在【解析】（1）由前n 项和公式，结合1n n n a S S -=-求出n a ，进而可得出结论成立；（2）根据4321n n n n a a a a =++得3421n n n n q q q q =++，不妨设4321n n n n >>>，两边同除以1nq ，再结合条件，即可得出结论；（3）同(2)，先设4321n n n n >>>，当3q ≥，结合条件验证不成立即可.【详解】（1）n=1时，11a S a ==， 2n ≥时，()1111n n n n n n a a S S q q aq q ---=-=-=-（n=1也符合） ()1n n a aq n N -+∴=∈，1n na q a +∴=，即数列{}n a 是等比数列． （2）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，两边同除以1n q 得：3141211n n n n n n q q q -----=因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．（3）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，3q ≥Q ，334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++，∴ 4321n n n n a a a a =++不成立．【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数数列的性质和公式即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式； （2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =可知()a f x x '=，1y x e'=， 两图象在点(),P s t 处有相同的切线， 所以两个函数切线的斜率相等，即1a s e s⨯=，化简得s = 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =， 综合上述两式可解得1a =，所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+， ()()22221m x x m x x g x x-+=-='+， 因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由根与系数的关系知121x x =+，122m x x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<， ()()2222111ln g x x m x x x -+=， 将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-， 令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得t =当12t ⎛∈ ⎝时，()0h t '<，()h t在12⎛ ⎝单调递减；当t ⎫∈⎪⎭时，()0h t '>，()h t在⎫⎪⎭单调递增； 所以()min 11h t h ===， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭， 即()21g x x的取值范围是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.。
2020年高考数学模拟江苏省宿迁市、徐州市、淮安市、连云港市四市高考数学一模试卷 含解析
2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝．2．已知复数z满足z2＝﹣4，且z的虚部小于0，则z＝．3．若一组数据7，x，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为．5．函数的定义域为．6．某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为．7．若关于x的不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），则实数m的值为．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a9＝8，S5＝﹣5，则S15的值为．10．已知函数的图象与函数y＝cos2x的图象相邻的三个交点分别是A，B，C，则△ABC的面积为．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，圆N与圆M外切于点（0，m），且过点（0，﹣2），则圆N的标准方程为．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为．13．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，，则cos∠ADE 的最小值为．14．设函数f（x）＝|x3﹣ax﹣b|，x∈[﹣1，1]，其中a，b∈R．若f（x）≤M恒成立，则当M取得最小值时，a+b的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC．（1）求证：BC∥平面AMN；（2）求证：平面AMN⊥平面PBC．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．17．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5．用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r．现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V．（1）将V表示成r的函数；（2）求小圆锥的体积V的最大值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为A，过点A作直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q．设直线l的斜率为k．（1）用k表示椭圆C的离心率；（2）若，求椭圆C的离心率．19．（16分）已知函数（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的导函数f'（x）存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；（3）当a＝2时，是否存在整数λ，使得关于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有a n+1＝ka n﹣1（k≠0），数列{a n﹣1}是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{b n}中的项．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），在曲线C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝1，求++的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，∠BB1C1＝60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（1）求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．25．已知n为给定的正整数，设，x∈R．（1）若n＝4，求a0，a1的值；（2）若，求的值．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（﹣1，2）．【分析】进行并集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．2．已知复数z满足z2＝﹣4，且z的虚部小于0，则z＝﹣2i．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出a，b．解：设z＝a+bi，（a，b∈R）．复数z满足z2＝﹣4，∴a2﹣b2+2abi＝﹣4，∴a2﹣b2＝﹣4，2ab＝0，且z的虚部小于0，∴a＝0，b＝﹣2．则z＝﹣2i．故答案为：﹣2i．3．若一组数据7，x，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是．【分析】由平均数的定义列方程求出n的值，再计算这组数据的方差．解：由题意知，×（7+x+6+8+8）＝7，解得x＝6，计算该组数据的方差为S2＝×[（7﹣7）2+（6﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（8﹣7）2]＝．故答案为：．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为20 ．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，I＝1满足条件I＜6，执行循环体，I＝2，S＝2满足条件I＜6，执行循环体，I＝3，S＝5满足条件I＜6，执行循环体，I＝4，S＝9满足条件I＜6，执行循环体，I＝5，S＝14满足条件I＜6，执行循环体，I＝6，S＝20此时，不满足条件I＜6，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．5．函数的定义域为[4，+∞）．．【分析】函数f（x）＝有意义，只需log2x﹣2≥0，且x＞0，解不等式即可得到所求定义域．解：函数f（x）＝有意义，只需log2x﹣2≥0，且x＞0，解得x≥4．则定义域为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．6．某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为．【分析】基本事件总数n＝23＝8，甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出甲、乙两人不在同一教室上自习的概率．解：某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，基本事件总数n＝23＝8，甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数m＝＝4，∴甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为p＝＝＝．故答案为：．7．若关于x的不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），则实数m的值为 4 ．【分析】利用不等式与对应方程的关系，和根与系数的关系，即可求得m的值．解：不等式x2﹣mx+3＜0的解集是（1，3），所以方程x2﹣mx+3＝0的解1和3，由根与系数的关系知，m＝1+3＝4．．故答案为：4．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可．解：双曲线的右准线x＝，渐近线y＝x，双曲线的右准线与渐近线的交点（，），交点在抛物线y2＝2px上，可得：＝3p，解得p＝．故答案为：．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a9＝8，S5＝﹣5，则S15的值为135 ．【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式解答．解：由于a2+a9＝8，S5＝﹣5，所以．则．所以S15＝15×（﹣5）+×15×14×2＝135．故答案是：135．10．已知函数的图象与函数y＝cos2x的图象相邻的三个交点分别是A，B，C，则△ABC的面积为．【分析】根据函数相等，建立方程关系求出x的值，求出点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可．解：由＝cos2x得tan2x＝，则2x＝kπ+，得x＝+，k∈Z，取相邻的三个k，k＝﹣1时，x＝﹣，2x＝﹣，此时y＝cos2x＝﹣，即A（﹣，﹣），k＝0时，x＝，2x＝，此时y＝cos2x＝，即B（，），k＝1时，x＝，2x＝，此时y＝cos2x＝﹣，即C（，﹣），则|AC|＝﹣（﹣）＝π，B到线段AC的距离h＝﹣（﹣）＝，则△ABC的面积S＝π×＝π，故答案为：π11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，圆N与圆M外切于点（0，m），且过点（0，﹣2），则圆N的标准方程为（x+2）2+y2＝8 ．【分析】直接利用圆与圆的位置关系式的应用和相关的运算的应用求出圆的方程．解：已知圆M：x2+y2﹣4x﹣8y+12＝0，整理得：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝8，令y＝0，圆的方程转换为：y2﹣8y+12＝0，解得y＝2或6．由于圆N与圆M相切于（0，m）且过点（0，﹣2）．所以m＝2．即圆N经过点A（0，2），B（0，﹣2）．所以圆心在这两点连线的中垂线x轴上，x轴与MA的交点为圆心N．所以MA：y＝x+2．令y＝0，则x＝﹣2．即N（﹣2，0），R＝|NA＝2．所以圆N的标准方程为：（x+2）2+y2＝8．故答案为：（x+2）2+y2＝812．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为 3 ．【分析】根据题意，分析可得f（x）是周期为4的周期函数，进而结合函数的奇偶性与周期性可得f（2020﹣ln2）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（﹣e x•ln2）＝8，计算可得答案．解：根据题意，f（x）的图象关于x＝1对称，所以f（1+x）＝f（1﹣x）又由f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）＝﹣f（x﹣1），则有f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．则f（x）是周期为4的函数，故f（2020﹣ln2）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（﹣e x•ln2）＝8，变形可得：2x＝8，解可得x＝3；故答案为：313．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，，则cos∠ADE 的最小值为．【分析】由D，E为三等分点可得相等的向量，，分别写出，，，用与∠ADE的边有关系的向量表示，再由均值不等式求出最小值．解：由D，E是BC上的两个三等分点可得，由图形可得＝＝﹣，＝＝2﹣，又因为即（﹣）＝2（2），整理可得：7＝，即7||•cos∠ADE＝||2+4||2，由基本不等式可得cos∠ADE＝≥＝，故cos∠ADE的最小值为：．故答案为：．14．设函数f（x）＝|x3﹣ax﹣b|，x∈[﹣1，1]，其中a，b∈R．若f（x）≤M恒成立，则当M取得最小值时，a+b的值为．【分析】构造函数g（x）＝x3﹣ax﹣b，可知该函数关于点（0，﹣b）对称，然后分a≤0、a≥3、0＜a＜3三种情况讨论，分析函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上的单调性，得出函数f（x）＝|g（x）|在区间[﹣1，1]上最值的可能取值，利用绝对值三角不等式可求出当M取得最小值时a+b的值．解：构造函数g（x）＝x3﹣ax﹣b，则f（x）＝|g（x）|，由于g（x）+g（﹣x）＝（x3﹣ax﹣b）+（﹣x3+ax﹣b）＝﹣2b，∴，函数y＝g（x）的图象关于点（0，﹣b）对称，且g'（x）＝3x2﹣a．①当a≤0时，g'（x）≥0，函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，则，∴，此时，当a＝0，﹣1≤b≤1时，M取最小值1；②当a≥3时，对任意的x∈[﹣1，1]，g'（x）≤0，函数y＝g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，则，∴，此时，当a＝3，﹣2≤b≤2时，M取最小值2；③当0＜a＜3时，令g'（x）＝0，得，令，列表如下：x[﹣1，﹣t）﹣t（﹣t，t）t（t，1] g'（x）+ 0 ﹣0 +g（x）↗极大值↘极小值↗不妨设g（0）＝﹣b≥0，则b≤0，则，∴M≥max{f（1），f（t），f（﹣t），f（﹣1）}，∵g（﹣t）+g（t）＝2g（0）≥0，且g（t）＜g（﹣t），∴g（﹣t）≥|g（t）|＝f（t），∵g（﹣1）+g（1）＝2g（0）≥0，若g（﹣1）≥g（1），则g（﹣1）≥|g（1）|＝f（1），若g（﹣1）＜g（1），则g（1）＞0，但g（﹣t）＞g（﹣1），∵g（﹣t）﹣g（1）＝（2t3﹣b）﹣（1﹣a﹣b）＝2t3+a﹣1＝2t3+3t2﹣1＝（2t﹣1）（t+1）2，∴．当时，，当且仅当b＝0，时，即当，b＝0时，M取得最小值；当时，M≥g（﹣t）＝2t3﹣b≥2t3＞2．综上所述，当，b＝0时，M取得最小值，此时．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AP＝AB，M，N分别为棱PB，PC的中点，平面PAB⊥平面PBC．（1）求证：BC∥平面AMN；（2）求证：平面AMN⊥平面PBC．【分析】（1）线面平行的定理的应用，注意一定要有面内，面外的说明；（2）面面垂直定理的性质定理及判定定理的应用．【解答】证明：如图所示：（1）M，N分别为棱PB，PC的中点，∴MN∥BC，MN⊂AMN，BC⊄AMN，所以BC∥面AMN；（2）PA＝AB，点M为棱PB的中点，∴AM⊥PB，又平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，AM⊂PAB，AM⊥面PBC，又AM⊂AMN，∴平面AMN⊥平面PBC．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．【分析】（1）结合已知，可利用余弦定理求出b；（2）由已知结合同角平方关系可求sin A，然后结合诱导公式及和差角公式可求cos C，sin C，再利用同角基本关系及二倍角正切公式可求．解：（1）在△ABC中，由余弦定理b2+c2﹣2bc cos A＝a2，得，即b2﹣4b﹣5＝0，解得b＝5或b＝﹣1（舍），所以b＝5．（2）由及0＜A＜π得，，所以，又因为0＜C＜π，所以，从而，所以．17．如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5．用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为r．现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V．（1）将V表示成r的函数；（2）求小圆锥的体积V的最大值．【分析】（1）在△SAO中，，由△SNO1∽△SAO可知，，从而，，由此能将V表示成r的函数．（2）由，得，令V'（r）＝0，得r＝2，由此能求出小圆锥的体积V的最大值．解：（1）在△SAO中，，由△SNO1∽△SAO可知，，所以，所以，所以．（2）由（1）得，所以，令V'（r）＝0，得r＝2，当r∈（0，2）时，V'（r）＞0，所以V（r）在（0，2）上单调递增；当r∈（2，3）时，V'（r）＜0，所以V（r）在（2，3）上单调递减．所以当r＝2时，V（r）取得最大值．答：小圆锥的体积V的最大值为．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为A，过点A作直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q．设直线l的斜率为k．（1）用k表示椭圆C的离心率；（2）若，求椭圆C的离心率．【分析】（1）写出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于半径可得．由此求得椭圆的离心率；（2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为，分别联立直线方程、直线与椭圆方程求得Q与P的坐标，结合，得a（a2k2﹣b2）＝2b2k2（a﹣c），由（1）知，，由此列等式求解椭圆C的离心率．解：（1）直线l的方程为y＝k（x﹣a），即kx﹣y﹣ak＝0，∵直线l与圆O：x2+y2＝b2相切，∴，故．∴椭圆C的离心率；（2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为，由，得，∴，由，得（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2＝0，解得，则，∴，∵，∴，即a（a2k2﹣b2）＝2b2k2（a﹣c），由（1）知，，∴，整理得a＝2a﹣2c，即a＝2c，∴，故椭圆C的离心率为．19．（16分）已知函数（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的导函数f'（x）存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；（3）当a＝2时，是否存在整数λ，使得关于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．【分析】（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）因为存在两个不相等的零点，所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在两个不相等的零点，则，再对a分情况讨论求出a的取值范围；（3）当a＝2时，，，设g （x）＝2x﹣1+lnx，则．所以g（x）单调递增，且，g（1）＝1＞0，所以存在使得g（x0）＝0，所以x＝x0时，f（x）取得极小值，也是最小值，此时，因为，所以f（x0）∈（﹣1，0），因为f（x）≥λ，且λ为整数，所以λ≤﹣1，即λ的最大值为﹣1．解：（1），因为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，所以f'（1）＝a﹣1＝﹣1，得a＝0；（2）因为存在两个不相等的零点，所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在两个不相等的零点，则，①当a≥0时，g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，至多有一个零点，②当a＜0时，因为当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以时，，因为g（x）存在两个零点，所以，解得﹣e﹣2＜a＜0，因为﹣e﹣2＜a＜0，所以，因为g（1）＝a﹣1＜0，所以g（x）在上存在一个零点，因为﹣e﹣2＜a＜0，所以，因为，设，则y＝2lnt﹣t﹣1（t＞e2），因为，所以y＝2lnt﹣t﹣1（t＞e2）单调递减，所以y＜2ln（e2）﹣e2﹣1＝3﹣e2＜0，所以，所以g（x）在上存在一个零点，综上可知，实数a的取值范围为（﹣e﹣2，0）；（3）当a＝2时，，，设g（x）＝2x﹣1+lnx，则．所以g（x）单调递增，且，g（1）＝1＞0，所以存在使得g（x0）＝0，因为当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，所以f（x）单调递增，所以x＝x0时，f（x）取得极小值，也是最小值，此时，因为，所以f（x0）∈（﹣1，0），因为f（x）≥λ，且λ为整数，所以λ≤﹣1，即λ的最大值为﹣1．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有a n+1＝ka n﹣1（k≠0），数列{a n﹣1}是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{b n}中的项．【分析】（1）利用递推关系a n+1＝ka n﹣1，取特殊值n＝1，2，3，从而得到a1＝3，a2＝3k﹣1，．因为数列{a n﹣1}是等比数列，利用等比中项公式，可得，进而算出k＝2或，然后检验即可得解；（2）由（1）可得，结合分组求和法算得S2m，S2m﹣1，并得知S2m＞0，S2m＞0．于是假设，则t＝1，3或t为偶数，然后分类﹣1讨论每种情形是否符合题意即可得解．解：（1）由a n+1＝ka n﹣1，a1＝3，可知a2＝3k﹣1，，∵{a n﹣1}为等比数列，∴，即（3k﹣2）2＝2×（3k2﹣k﹣2），整理，得3k2﹣10k+8＝0，解得k＝2或．①当时，，此时a n＝3，则a n﹣1＝2，∴数列{a n﹣1}的公比为1，不符合题意；②当k＝2时，a n+1﹣1＝2（a n﹣1），所以数列{a n﹣1}的公比，综上所述，实数k的值为2．（2）由（1）知，，∴．则＝（4﹣1）+（4﹣3）+...+[4﹣（2m﹣1）]+4+42+ (4)＝，．∵，∴，∵b2+b3＝5＞0，b1＝3＞0，∴S2m﹣1＞0，S2m＞0．设，则t＝1，3或t为偶数，因为S2m≠S2m﹣1，所以t＝3（即b3＝1）不可能，所以t＝1或t为偶数，①当时，，化简得6m2﹣24m+8＝﹣4m≤﹣4，即m2﹣4m+2≤0，所以m可取值为1，2，3，验证得，当m＝2时，成立．②当t为偶数时，，设，则，由①知m＞3，当m＝4时，；当m＞4时，c m+1﹣c m＞0，所以c4＞c5＜c6＜…，所以c m的最小值为，所以，令，则，即﹣3m2+12m﹣4＝0，而此方程无整数解．综上，正整数m的值为2．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．【分析】写出矩阵M的特征多项式f（λ），根据题意知f（4）＝0求出t的值，写出矩阵M，再求它的逆矩阵．解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3t；因为矩阵M的一个特征值为4，所以方程f（λ）＝0有一根为4；即f（4）＝2×3﹣3t＝0，解得t＝2；所以M＝，设M﹣1＝，则MM﹣1＝＝，由，解得；由，解得；所以M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），在曲线C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值．【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝12，转换为直角坐标方程x+y﹣12＝0．曲线C的参数方程为（θ为参数，θ∈R），设点P（），所以点P（）到直线x+y﹣12＝0的距离d＝＝，当时，即M（3，1）到直线的距离的最小值为4．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝1，求++的最小值．【分析】根据题意，分析可得（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）＝3（x+y）＝3，结合柯西不等式分析可得答案．解：根据题意，x+y+z＝1，则（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）＝3（x+y）＝3；则有[（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）]（++）≥[（×）+（×）+（×）]2＝9；当且仅当x＝y＝z＝时等号成立；变形可得：++≥3，即++的最小值为3．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，∠BB1C1＝60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（1）求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．【分析】（1）在平面BB1C1C内过点B作Bz⊥BB1，以点B为坐标原点，分别以BA，BB1所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，用向量法求出即可；（2）求出平面BAC1的一个法向量和平面ACC1的一个法向量，利用向量的夹角公式求出即可．解：（1）在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1，因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1，AB⊂平面ABB1A1，所以AB⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内过点B作Bz⊥BB1，以点B为坐标原点，分别以BA，BB1所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，设A（2，0，0），则B1（0，2，0）．在菱形BB1C1C中，∠BB1C1＝60°，C（0，﹣1，），C1（0，1，），，平面AA1B1B的一个法向量为，则由cos＝＝＝，故线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值为；（2）设平面BAC1的一个法向量为，，由，得，故，设平面ACC1的一个法向量，，，由，得，故，由cos＝，故二面角B﹣AC1﹣C的余弦值为．25．已知n为给定的正整数，设，x∈R．（1）若n＝4，求a0，a1的值；（2）若，求的值．【分析】（1）利用二项式展开式公式计算n＝4时a0和a1的值；（2）由x＝写出a k x k，利用k＝n，讨论n＝1和n≥2时，计算（n﹣k）•a k•x k的值即可．解：（1）因为n＝4，所以a0＝•＝，a1＝•＝；（2）当x＝时，a k x k＝••，又因为k＝k•＝n•＝n，当n＝1时，（n﹣k）a k x k＝•＝；当n≥2时，（n﹣k）•a k•x k＝（n﹣k）•••＝n﹣k＝n﹣n＝n﹣n＝n﹣n＝n，当n＝1时，也符合．所以（n﹣k）a k x k的值为n．。
2020年江苏省高考数学模拟试卷5套(附答案解析)
高考数学模拟试卷一二总分题号得分一、填空题（本大题共14 小题，共70.0 分）1.集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=______．2.已知复数z=i（1+i），其中i是虚数单位，则复数z的虚部是______．3.如图是一个算法的流程图，则输出的S的值是______．4.袋中装有3 个红球，2 个白球，除颜色外其余均相同，现从中任意摸出2 个小球，则摸出的两球颜色不同的概率为______．5.某学校组织部分学生参加英语口语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若不低于60 分的人数是35 人，则参加英语口语测试学生人数是______．的终边经过点6.在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作角α，已知角P（-2，1），则tanα的值是______．7.设正项数列{a}为等差数列，S为数列{a}的前n项和，已知a2-a=9，S-2a=2，n n n 2 3 4 4 则a10=______．8.已知函数，且f（3）=1，则实数a的值是______．9. 在平面直角坐标系 xOy 中，F ，F 分别是椭圆 （a ＞b ＞0）的左、右焦点，1 2 椭圆上一点 P 满足 PF ⊥F F ，若三角形 PF F 为等腰直角三角形，则该椭圆的离 2 12 1 2 心率是______．10. 已知球 O 的半径 R = ，圆柱内接于球 O ，若圆柱的轴截面是一个正方形 ABCD ，则圆柱的表面积为______．11. 已知实数 x ＞0，y ＞0，且 x +2y =xy ，则 x +y 的最小值是______．12. 已知直线 的值为______．13. 如图，在△ABC 中，已知 AC =4，AB =3，∠BAC =60°，且=8，则实数 λ 的值为______．与圆 O ：x 2+y 2=4 相交于 A ，B 两点，若 =0，则实数 m，若 14. 在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边依次为 a ，b ，c ，a +b =2c cos B ，则的最小值为______．二、解答题（本大题共 6 小题，共 90.0 分）15. 如图，在三棱锥 P -ABC 中，平面 PAB ⊥平面 ABC ，PA ⊥PB ，M ，N 分别为 AB ，PA的中点．（1）求证：PB ∥平面 MNC ；（2）若 AC =BC ，求证：平面 PAC ⊥平面 MNC ．16. 已知在斜三角形 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，且 tan A +tan B -tan A tan B + =0，3a =b ．（1）若 a =1，求△ABC 的面积；（2）求 tan A 的值．17.华人著名建筑设计师贝津铭设计的“苏州博物馆”用中国元素和几何元素营造中国气度和内涵．其中一处平面图纸设计如图所示，在矩形ABCD中，阴影区域为墙体涂料部分，空白区域为墙体玻璃部分（边界面积忽略不计），点P，Q是矩形边长AB，CD的中点，且EF=2AE，设∠PEH=∠PFH=θ，θ∈（0，），PE=a（米）．（1）若a=5 米，用θ表示墙体的总面积为S（即矩形ABCD的面积），并求S的最大值；（2）若PQ=10 米，求墙体涂料部分（即阴影区域）面积的最大值．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的左右顶点分别为A、B，右准线方程为直线x= ，以右顶点B为圆心，半径为r（r＞0）的圆B交椭圆于点P，Q（点P位于x轴上方），直线AP与圆B相交于另一点C．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线OP与圆B相切，求圆B的标准方程；（3）若BP=PC，求直线AP的方程．19.已知函数f（x）=a ln x-x+1．（1）若函数f（x）在x=1 处取得极大值，求实数a的值；（2）若函数f（x）有唯一零点，求实数a的值；（3）若不等式对任意实数x＞0 恒成立，求实数a的取值范围．20.己知等比数列{a}首项a=1，公比为q，S为{a}的前n项和．数列{b}满足b=1，n 1 n n n 1且b=max{b+S，b+ ，…，b+ }，设C=（n-1）（b-b）．n 1 1 2 n-1 n n n-1（1）若公比q=1，求数列{b n}的通项公式；（2）若{a n}单调递增，①求证：单调递增；②求{C n}的前n项和；（3）数列中是否存在无穷等差子数列？若存在，求出所有满足条件q的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】{1，2，3}【解析】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}．故答案为：{1，2，3}由集合A与B，求出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.【答案】1【解析】解：∵z=i（1+i）=-1+i，∴复数z的虚部是1．故答案为：1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】9【解析】解：模拟程序的运行，可得a=1，s=0，n=1s=1，a=3满足条件n＜3，执行循环体，n=2，s=4，a=5满足条件n＜3，执行循环体，n=3，s=9，a=7此时，不满足条件n＜3，退出循环，输出s的值为9．故答案为：9．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.【答案】【解析】解：从袋中任意地同时摸出两个球共C2=10 种情况，其中有C1C1=6 种情况5 3 2是两个球颜色不相同；由古典概型概率的定义可知：故其摸出的两球颜色不同的概率为= ；故答案为：利于分布的计数原理，先从袋中任意地同时摸出两个球共C52=10 种情况，再求其中有C1C1=6 种情况是两个球颜色不相同；由古典概型概率的定义可得．3 2本题考查古典概型的概率，分布和分类的计数原理，是基础题．5.【答案】100【解析】解：由频率分布直方图得不低于60 分的频率为：（0.020+0.015）×10=0.35，∵不低于60 分的人数是35 人，∴参加英语口语测试学生人数为：=100．故答案为：100．由频率分布直方图得不低于60 分的频率为0.35，再由不低于60 分的人数是35 人，能求出参加英语口语测试学生人数．本题考查参加英语口语测试学生人数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．6.【答案】-1的终边经过点P（-2，1），【解析】解：∵角∴tan（）=- ，= =-1，则tanα=tan（α+- ）=故答案为：-1根据三角函数的定义得tan（）=- ，然后利用两角和差的正切公式进行计算即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的定义以及两角和差的正切公式进行化简是解决本题的关键．7.【答案】28【解析】解：设正项等差数列{a}的首项为a，公差为d，n 1由a2-a=9，S-2a=2，2 3 4 4得，解得a1=1，d=3．∴a=a+9d=1+9×3=28．10 1故答案为：28．设正项等差数列{a}的首项为a，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解n 1可得首项与公差，再由等差数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n项和，是基础的计算题．8.【答案】-1【解析】解：∵函数，且f（3）=1，∴f（3）=f（1）=f（-1）=（）-1+a=1，解得a=-1．∴实数a的值是-1．故答案为：-1．推导出f（3）=f（1）=f（-1）=（）-1+a=1，由此能求出实数a的值．本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．9.【答案】-1【解析】【分析】本题考查了椭圆的简单性质，离心率的计算，属于中档题．计算 PF ，根据 PF =F F 列方程得出 a ，b ，c 的关系，从而得出椭圆的离心率．2 2 1 2 【解答】解：设 F 2（c ，0），把 x =c 代入椭圆方程可得 y =± ，∵PF ⊥F F ，∴PF = ， 2 1 2 2∵三角形 PF F 为等腰直角三角形，PF ⊥F F ， 1 2 2 12 ∴ =2c ，即 a 2-c 2-2ac =0，∴e 2+2e -1=0，解得：e = -1 或 e =-1- （舍）．故答案为： -1．10.【答案】6π【解析】解：作出轴截面如图，∵球 O 的半径 R = ，直径为 ，∴圆柱的高与底面直径为 2，圆柱的底面半径为 1，∴圆柱的表面积为 2×π×12+2π×1×2=6π．故答案为：6π．由题意画出图形，求出圆柱的高与底面直径，则答案可求．本题考查球内接圆柱表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 11.【答案】3+2【解析】解：x ＞0，y ＞0，且 x +2y =xy ，∴ ，∴x +y =（x +y ）（ ）=3+ ，即 y =1+ ，x =，当且仅当 且 时取等号， 故答案为：3+2 由已知可得， ．，从而有 x +y =（x +y ）（ ），展开后利用基本不等式可求． 本题主要考查了利用 1 的代换配凑基本不等式的应用条件求解最值，属于基础试题． 12.【答案】±2【解析】解：根据题意，直线=0，则 OA 与 OB 垂直，△AOB 为等腰直角三角形，又由 O ：x 2+y 2=4，其圆心为（0，0），半径 r =2，则 O 到 AB 的距离 d = r = 与圆 O ：x 2+y 2=4 相交于 A ，B 两点， 若 ，则有 d = = ，解可得 m =±2 ，故答案为：±2根据题意，由 =0，分析可得△AOB 为等腰直角三角形，由圆的方程分析圆心与半径，进而可得 O 到 AB 的距离 d = r = ，由点到直线的距离公式可得 d == ，解可 得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及向量数量积的计算以及性质，属于基础题． 13.【答案】【解析】解：因为，且 =8，所以（ ）• =8， 所以（ +λ ）• =8，所以[（1-λ）所以（1-λ） ]• =8， 2=8，由 AC =4，AB =3，∠BAC =60°，所以| |=4，| |=3，所以 6（1-λ）+9λ=8，=6，所以 故答案为： ．由平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算得：由， =8，所以（ ）• =8 ，所 以（1-λ）=6，所以 2=8，由 AC =4，AB =3，∠BAC =60°，所以| |=4，| |=3，，得解． 本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题．14.【答案】【解析】解：∵a +b =2c cos B ，∴由正弦定理可得：sin A +sin B =2sin C cos B ，可得：sin B cos C +cos B sin C +sin B =2sin C cos B ，可得：sin B cos C +sin B =sin C cos B ，可得： sin B =sin C cos B -sin B cos C =sin （C -B ），∵B ，C ∈（0，π），B -C ∈（-π，π），∴B =C -B ，或 B =π-（C -B ），解得：C =2B ，或 C =π（舍去），∴B ∈（0， ），∴= •= •= = = == ；使得分母最大时，所求有最小值．即：转换为求分母）-2cos3B+2cos B的最大值．令f（B）=-2cos3B+2cos B，B∈（0，），f′（B）=6cos2B sinB-2sin B=2sin B（3cos2B-1），B∈（0，），利用导函数求最值易知：在（0，B）时f′（B）＞0；在（B，）时，f′（B）＜0；∴在当cos2B= 时，函数f（B）=-2cos3B+2cos B有最大值，B∈（0，），即：cos2B= 时，cos B= 时，f（B）=-2cos3B+2cos B= 为最大值．故所求最小值为：，故答案为：，根据已知a+b=2c cos B由正弦定理化简，再化简利用三角函数求分母最大值即可．本题主要考察了正弦定理的应用，二倍角公式，两角和差公式，三角形内角和的应用，三角函数求最值，属于中档题．15.【答案】证明：（1）∵M，N分别为AB，PA的中点，∴MN∥PB，又MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，∴PB∥平面MNC．（2）∵AC=BC，∴CM⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM⊂平面ABC，∴CM⊥平面PAB，∴CM⊥PA，∵PA⊥PB，PB∥MN，∴PA⊥MN，又MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM=M，∴PA⊥平面MNC，又PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面MNC．【解析】（1）由中位线定理得MN∥PB，故而PB∥平面MNC；（2）证明CM⊥平面PAB可得CM⊥PA，再根据PA⊥PB得PA⊥MN，于是PA⊥平面MNC ，从而有平面PAC⊥平面MNC．本题考查了线面平行的判定定理，面面垂直的判定，属于中档题．16.【答案】解：（1）∵在斜三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且tan A+tan B- tan A tan B+ =0，a=1，∴3a=b=3，且tan（A+B）= = =- ，∴A+B= ，C= ．∴△ABC的面积为S= ab•sin C= •1•3•sin = ．= ，S= = •bc•sin A= •3••sin A，（2）由余弦定理可得c=∴sin A=．= = ，又A为锐角，故cos A=∴tan A= = ．【解析】（1）由题意利用两角和的正切公式求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，进而得到C的值，由△ABC的面积为S= ab•sin C，计算求得结果．（2）先由余弦定理求得c，根据△ABC的面积求得sin A的值，可得cos A的值，进而求得tan A= 的值．本题主要考查两角和的正切公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系，属于基础题．17.【答案】解：（1）∵PE=a=5，∠PEH=∠PFH=θ，∴PH=5sinθ，EH=5cosθ，则墙体的总面积为S=10cosθ（5sinθ+5cosθ）=25sin2θ+25（1+cos2θ）= （0＜θ＜）．当，即θ=时，S有最大值为；（2）当PQ=10 时，有5sinθ+5cosθ=10，即sinθ+cosθ=2，此时阴影区域的面积S1=5sinθ•5cosθ=25sinθcosθ．当且仅当sinθ=cosθ，即θ=时取最大值25．【解析】（1）由题意，PH=5sinθ，EH=5cosθ，可得墙体的总面积为S=10cosθ（5sinθ+5cosθ）=25sin2θ+25（1+cos2θ）= （0＜θ＜）．然后利用三角函数求最值；（2）当PQ=10 时，有5sinθ+5cosθ=10，即sinθ+cosθ=2，写出阴影部分面积，再由基本不等式求最值．本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了三角函数最值的求法，是中档题．18.【答案】解：（1）由题意可知，解得a=2，c= ，∴b2=a2-c2= ，∴椭圆的标准方程为：．（2）∵直线OP与圆B相切，∴OP⊥BP，且BP=r，由（1）可知OB=2，过P作PD⊥AB，垂足为D，则Rt△PBD∽RtOBP，∴，即，故BD= ，∴PD= ，OD=2- ，即P（2- ，），+ =1，把P代入椭圆方程可得：解得：r2=2，∴圆B的标准方程为（x-2）2+y2=2．（3）设直线AP的方程为y=k（x+2），显然k＞0，直线AP的一般式方程为：kx-y+2k=0，∴B到直线AP的距离d= ，联立方程组，消去y可得：（1+3k2）x2+12k2x+12k2-4=0，设P（x，y），则-2+x=- ，即x1= ，∴y1= ，1 1 1∴r=PB= = ，若BP=PC，则△PBC为等边三角形，故d= r，•，解得：k2= ，即k= ，即=∴直线AP的方程为：y= （x+2）．【解析】（1）根据离心率和准线方程列方程组得出a，b的值即可得出椭圆方程；（2）根据三角形相似列比例式，用r表示出P点坐标，代入椭圆方程求出r的值即可得出圆B的方程；（3）设直线AP的方程为y=k（x+2），求出P点坐标，计算PB与B到直线AP的距离d，根据△BPC为等边三角形列方程求出k的值即可得出直线AP的方程．本题考查了椭圆的性质，直线与圆、直线与椭圆的位置关系，属于中档题．19.【答案】解：（1），因为函数f（x）在x=1 处取得极大值，f′（1）=a-1=0，则a=1；所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增；则当x=1 时，函数f（x）有极大值；所以a=1；（2）f（1）=0当a≤0时，f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立成立，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；所以a≤0时满足函数f（x）有唯一零点；当a＞0 时，f（x）在（0，a）上单调递增，f（x）在（a，+∞）上单调递减；函数f（x）有唯一零点，则f（a）=0，即a=1；所以a≤0或a=1 时函数f（x）有唯一零点；（3）不等式对任意实数x＞0 恒成立；即 不等式则对任意实数 x ＞0 恒成立； 对任意实数 x ＞0 恒成立； 或 或 或 或 则对任意实数 x ＞0 恒成立； 对任意实数 x ＞0 恒成立； 对任意实数 x ＞0 恒成立； 故不满足条件； 则则对于对于 当 x =1 时， ，设，则 ； ①当 a ≤0 时，h ′（x ）＜0，h （x ）在（0，+∞）上单调递减，且当 x →0 时，h （x ）→+∞，故不满足条件；②当 a ＞0 时，h （x ）在（0，2a ）上单调递增，在（2a ，+∞）上单调递减；所以 h （x ）max =h （2a ）=a ln2a -a ＜0，即；故实数 a 的取值范围： ； 【解析】（1）f ′（1）=a -1=0，则 a =1，再验证单调性，确定函数 f （x ）在 x =1 处取得 极大值；（2）讨论函数的单调可知：a ≤0 时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （1）=0 满足， 当 a ＞0 时，f （x ）在（0，a ）上单调递增，f （x ）在（a ，+∞）上单调递减，分析零点 位置；（3）不等式 对任意实数 x ＞0 恒成立，即 或 对任意 实数 x ＞0 恒成立；再分别讨论两个函数的最值即可；本题考查函数的极值，零点问题，零点存在性定理，恒成立求参数问题，考查利用导数 考查函数单调性，分析函数最值，属于难题．20.【答案】解：（1）a =1，S =n ．因为 b =max{b +S ，…，b + }≥b + =b n -1+1， n n n 1 1 n -1 n -1所以数列{b n }单调递增．所以 b +S ＜b + ＜…＜b + ，所以 b =b + =b +1，所以数列{b }是 1 为首项， 1 1 2 n -1n n -1 n -1 n 公差为 1 的等差数列．所以 b n =n ．（2）①因为{a }单调递增，所以 a =q ＞1，所以 S = ， ． n 2n 令 f （x ）=，则 f '（x ）= ，令 g （x ）=q x （x ln q -1）+1，则 g '（x ）=q x x ln 2q．当 x ＞0 时，g '（x ）＞0，所以 g （x ）单调递增，g （x ）＞g （0）=0，所以 f '（x ）＞0， 所以 f （x ）单调递增．所以数列{ }单调递增．②因为数列{ }单调递增，所以≥S1=1，所以b=max{b+S，…，b+ }≥b+ ＞b，n 1 1 n-1 n-1 n-1所以数列{b n}单调递增．所以b+S＜b+ ＜…＜b+ ，所以当n≥2时，b=b+ ⇒C=（n-1）（b-b）1 12 n-1 n n-1 n n n-1=S= ；C1=0．n-1所以C+C+…+C= = ．1 2 n（3）i．当q=1 时，=1，本身就是无穷等差数列．ii．当q=-1 时，是无穷等比数列．iii．当|q|∈（0，1）时，0＜＜．假设存在无穷等差子列{ }，其中=An+B．时，＜|B|，因此不存在无穷多项值为若A=0，因为≠0，所以B≠0，则当n＞B，矛盾；若A≠0，则存在正整数n，使得|An+B|＞，与＜≤矛盾．iv．当q＞1 时，由（2）知单调递增．令dn== ，假设存在无穷等差子列{ }，其中=An+B，则A＞0．d n-n= + + ，令h（x）=q x-2x（x+1），则h'（x）=q x ln q-4x-2，h''（x）=q x ln2q-4．所以存在正数N使得当n＞N时，d-n＞0，即d＞n．n n所以当n＞N且，n＞A时，＞= ≥dn＞n＞A，矛盾．v．当q＜-1 时，假设存在无穷等差子列{ }，其中=An+B．因为S2n＜0，S2n+1＞0，，同iv矛盾．所以当A＞0 时，考虑，当A＜0 时，考虑综上，q=±1．【解析】（1）最重要的是要比较max 中各个元素的大小，从而确定bn的递推公式；（2）可以借用函数的单调性来分析数列的单调性；（3）此数列的性质由公比q决定，|q|＜1 时是有界的，|q|＞1 时是增长很快的，远比等差数列增长来的快，因此都不满足．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、数列的单调性等问题，运用了分析法、分类讨论等方法，属于难题．高考数学模拟试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14 小题，共70.0 分）1.设集合A={x∈Z|x2-2x-3＜0}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=______．2.在复平面内，复数对应的点位于第______象限．3.“a＞b”是“ln a＞ln b”的______条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”）4.将某选手的7 个得分去掉1 个最高分，去掉1 个最低分，现场作的7 个分数的茎叶图如图，则5 个剩余分数的方差为______．5.某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4 个社团中随机选择2 个，则数学建模社团被选中的概率为______．6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为______．7.已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为______．8.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O，O，过直线O O的平面截该圆柱所得的1 2 1 2截面是面积为16 的正方形，则该圆柱的表面积为______．，=2 ，则9.平行四边形ABCD中，| |=6，| |=4，若点M，N满足：=3=______．10.若函数f（x）=cos x-sin x在[-a，a]是减函数，则a的最大值是______．11.已知函数f（x）= ，g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2 个零点，则实数a取值范围是______．12.已知公差为d等差数列{a}满足d＞0，且a是a，a的等比中项．记b=a（n∈N+n 2 1 4 n ），则对任意的正整数n均有+ +…+ ＜2，则公差d的取值范围是______ ．13.已知点Q（0，5），若P，R分别是⊙O：x2+y2=4 和直线y= 上的动点，则||的最小值为______14.用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，已知实数x，y满足0≤x≤y≤10，设M=max{xy，xy-x-y+1，x+y-2xy}，则M的最小值为______二、解答题（本大题共10 小题，共120.0 分）15.已知角α的顶点与原点0 重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求tan2α的值；（2）若角β满，求cosβ的值．16.如图，在斜三棱柱ABC-A B C中，侧面AA C C是菱1 1 1 1 1形，AC与A C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥1 1平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC⊥A B，求证：AC⊥BC．1 1 117.已知椭圆=1 的离心率为，以椭圆的2 个焦点与1 个短轴端点为顶点的三角形的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x=1 所得的弦的长度为，求直线l的方程．18.如图（1）是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下：如图（2），自直立于水面的空中平台CP的上端点P处分别向水池内的三个不同方向建水滑道PA，PM，PB，水滑道的下端点B，M，A 在同一条直线上，CM=10m，∠BCA=120°，CM平分∠BCA，假设水滑梯的滑道可以看成线段，B，M，A均在过C且与PC垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求S△PCB+S△PCA≤2S△ACB．（1）求滑梯的高PC的最大值；（2）现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计∠PBC=30°，求该滑梯装置（即图（2）中的几何体）的体积最小值．19.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R），设直线l，l分别是曲线y=f（x1 2）的两条不同的切线．（1）若函数f（x）为奇函数，且当x=1 时f（x）有极小值为-4．（i）求a，b，c，d的值；（ii）若直线l亦与曲线y=f（x）相切，且三条不同的直线l，l，l交于点G（m，3 1 2 34），求实数m的取值范围；（2）若直线l∥l，直线l与曲线y=f（x）切于点B且交曲线y=f（x）于点D，直1 2 1线l2 和与曲线y=f（x）切于点C且交曲线y=f（x）于点A，记点A，B，C，D的横坐标分别为x，x，x，x，求（x-x）：（x-x）：（x-x）的值．A B C D A B B C C D20.如果数列{a}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得a=a a”，则n k i j称数列{a}具有“性质P”．已知数列{a}是无穷项的等差数列，公差为dn n（Ⅰ）若a=2，公差d=3，判断数列{a}是否具有“性质P”，并说明理由；1 n（Ⅱ）若数列{a}具有“性质P”，求证：a≥0且d≥0；n 1（Ⅲ）若数列{a}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a=2018，这样的数列共n k有多少个？并说明理由．21.已知矩阵A= ，向量= ．求向量，使得A2 =b．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是方程是上运动，求△PAB的面积的最大值．（t为参数），圆C的参数（θ为参数），直线l与圆交于两个不同的点A，B，点P在圆C23.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．24.如图，将一个正三角形ABC的每一边都n（n≥2）等分后，过各分点作其它两边的平行线形成一个三角形网．记f（n）为n等分后图中所有梯形的个数．（1）求f（2），f（3）的值；（2）求f（n）（n≥4）的表达式．答案和解析1.【答案】{0，1，2}【解析】解：A={0，1，2}；∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】一【解析】解：∵= ，∴复数对应的点的坐标为（，），位于第一象限．故答案为：一．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】必要不充分【解析】解：由“ln a＞ln b”⇒a＞b＞0，反之，由a＞b无法推出“ln a＞ln b”．∴a＞b”是“ln a＞ln b”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．由“ln a＞ln b”⇒a＞b＞0，反之，由a＞b无法推出“ln a＞ln b”．即可判断出关系．本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】6【解析】解：将某选手的7 个得分去掉1 个最高分，去掉1 个最低分，现场作的7 个分数的茎叶图如图，则5 个剩余分数的平均数为：= （87+90+91+93+94）=91，∴5 个剩余分数的方差为：S2= [（87-91）2+（90-91）2+（91-91）2+（93-91）2+（94-91）2]=6．故答案为：6．先求出则5 个剩余分数的平均数，由此能求出5 个剩余分数的方差．本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，是基础题．基本事件总数n= =6，数学建模社团被选中包含的基本事件个数m= =3，由此能求出数学建模社团被选中的概率．【解答】解：某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4 个社团中随机选择2 个，基本事件总数n= =6，数学建模社团被选中包含的基本事件个数m= =3，∴数学建模社团被选中的概率为p= ．故答案为：．6.【答案】【解析】解：模拟程序的运行过程，可得：第一次运行：k=1 时，，第二次运行：k=2 时，，第三次运行：此时k=3 满足k≥3，退出循环，输出，故答案为：．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】【解析】解：由题意可设此双曲线的标准方程为：（a＞0，b＞0）．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，取焦点F（c，0），∵焦点到渐近线的距离为3，∴，c2=a2+b2，因此该双曲线的方程为：故答案为：，解得b=2，a=2 ，．．利用双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式即可得出．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，属于基本知识的考查．8.【答案】24π【解析】解：如图所示，设圆柱的底面圆半径为r，则高为h=2r，所以该圆柱的轴截面面积为（2r）2=16，解得r=2，∴该圆柱的表面积为S=2πr2+πr2h=2π•22+π•22•4=24π．故答案为：24π．根据题意求出圆柱的底面圆半径r和高h，再计算圆柱的表面积．本题考查了圆柱表面积和体积的计算问题，是基础题．9.【答案】9【解析】解：∵=3 ，=2 ，∴∴∴，，=-= ．= = ，= =．=（）•（- ）= - = 36- =9．故答案为：9．用，表示出，，在进行计算．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．10.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=cos x-sin x= cos（x+ ）在[-a，a]是减函数，∴-a+ ≥0，且a+ ≤π，求得a≤，故a的最大值为，故答案为：．由题意利用两角和的余弦公式，化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的最大值．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性，属于基础题．11.【答案】[-1，+∞）【解析】解：由 g （x ）=0 得 f （x ）=-x -a ， 作出函数 f （x ）和 y =-x -a 的图象如图：当直线 y =-x -a 的截距-a ≤1，即 a ≥-1 时，两个 函数的图象都有 2 个交点， 即函数 g （x ）存在 2 个零点， 故实数 a 的取值范围是[-1，+∞）， 故答案为：[-1，+∞）．由 g （x ）=0 得 f （x ）=-x -a ，分别作出两个函 数的图象，根据图象交点个数与函数零点之 间的关系进行转化求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零 点之间的关系转化为两个函数的图象的交点 问题是解决本题的关键．12.【答案】[）【解析】解：因为 a 是 a 和 a 的等比中项，所以（a +d ）2=a （a +3d ），2 1 4 1 1 1 解得 a =d ＞0，所以 a =nd ，因此，b =2n d ， 1 n n 故， 所以，故答案为：[因为 a 是 a 和 a 的等比中项，所以（a +d ）2=a （a +3d ），继而求得 a =d ，从而 ==，，）． 2 1 4 1 1 1 1的式子即可求得，列式求解即得到 d 的取值范围．本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，属于难度较大的题目，在高考中常在选择填空压轴出现．13.【答案】6．【解析】因为 P 、Q 分别是⊙O ：x 2+y 2=4 和直线 y = 上的动点， 所以设点 P （2cosθ，2sinθ），点 R （m ， ）， 所以 ，， 所以||=，表示的是圆 x 2+y 2=4 上一点与直线 y = 直线上一点距离的最小值， 圆 x 2+y 2=4 是圆心为（0，0）半径为 2 的圆， 直线一般式：3x -4y +40=0， 最小值为：，故答案为：6．设出点 P 的坐标和点 R 的坐标，分别表示出其向量，利用坐标求其模长，可得表示为圆与直线上一点距离的问题，再利用点到直线的距离求得其最小值．本题考查了直线与圆的综合，会结合到参数方程和向量的坐标运算，模长的求法，属于 较难题目．14.【答案】【解析】令 t =x +y ，则 t ∈[0，20]．i ．当 t ∈[ ， ]时，x +y -2xy ≥x +y - =t - ≥ ，所以 M ≥ ；ii ．当 t ∈[0， ）∪（ ，20]时，|（xy -x -y +1）-xy |=|1-t |≥ ，所以当 max{xy ，xy -x -y +1}≤ 时，（xy -x -y +1）+xy ≤ +（ - ）= ．x +y -2xy =1-（xy -x -y +1）-xy ≥ ，所以 M ≥ ；当 x =y = 或 x =y = 时，M = ； 故答案为： ．当 x =y = 或 x =y = 时，M = ．我们针对 x ，y 的不同范围来证明 M 的值始终≥ ．观察发现：xy ，xy -x -y +1，x +y -2xy 三者的和为定值 1，所以理论上可以 M 的最小值可以 达到 ，但是代入检验发现不成立．虽然题干中 x ，y 具有大小关系，实际上在各代数式 中还是等价的，所以可以合理猜测 M 取最小值时，x =y ，从而把答案大致猜测出来，再 辅以严密的证明即可．15.【答案】解：（1）角 a 的顶点与原点 0 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点∴tanα= = ，cosα=- ，sinα=- ， ∴tan2α==- ．（2）若角 β 满 当 cos （α+β）= 时，cosβ=cos[（α+β）-α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα =- ．当 cos （α+β）=- 时，cosβ=cos[（α+β）-α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα =-= ．，=，∴cos （α+β）=±=± ．=++【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用二倍角公式求得tan2α的值．（2）利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式、同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．16.【答案】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA C C是菱形，AC与A C交于点O，1 1 1 1∴O为AC1 的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′BC1；∵OE∥平面BCC B，平面平面1 1∴,∴E，E′重合，∴E是AB中点；（2）∵侧面AA C C是菱形，1 1∴AC⊥A C，1 1∵AC⊥A B，A C∩A B=A，A C⊂平面A BC，A B⊂平面A BC，1 1 1 1 1 1 1 1 1∴AC⊥平面A BC，1 1∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC．【解析】【分析】本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和性质定理，属于中档题．（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．17.【答案】解：（1）由题意可得：= ，•2cb=2 ，a2=b2+c2．联立解得：a2=6，b2=2，c=2．∴椭圆的方程为：+ =1．（2）设直线l方程为：y=k（x-2），A（x，y），B（x，y），AB的中点为：M（x，1 12 2 0y0）．联立，得（1+3k2）x2-12k2x+12k2-6=0，∴x+x= ，，x x=1 2 1 2|AB|= |x-x|= = ．1 2∴x0= ，点M到直线x=1 的距离为d=|x0-1|=| -1|= ．以线段AB为直径的圆截直线x=1 所得的弦的长度为，得-d2= ，∴- = ，解得 k =±1．∴直线 l 的方程为：y =±（x -2）．【解析】（1）由题意可得： = ， •2cb =2 ，a 2=b 2+c 2．联立解得：a 2，b 2，c ．可得 椭圆的方程．（2）设直线 l 方程为：y =k （x -2），A （x ，y ），B （x ，y ），AB 的中点为：M （x ， 1 1 2 2 0y 0）．与椭圆方程联立化为（1+3k 2）x 2-12k 2x +12k 2-6=0，|AB |=|x -x |=1 2．可得 x 0=，点 M 到直线 x =1 的距离为 d =|x 0-1|=．以线段 AB为直径的圆截直线 x =1 所得的弦的长度为 ，得 -d 2=，代入解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）设 CB =xm ，CA =ym ，PC =zm ，x ，y ，z ＞0．由题意可知：S △BCM +S △ACM =S △BCA ．由∠BCA =120°，CM 平分∠BCA ，可得： CB •CM sin60°+ CA •CM sin60°= CB •CA sin120°． 化为：10x +10y =xy ．由 S △PCB +S △PCA ≤2S △ACB ．∴ xz + yz ≤2× xy sin120°，∴z ≤10 ． ∴滑梯的高 PC 的最大值为 10 m ． （2）∵滑道 PB 的坡度为 30°，∴z = x ． 由（1）可得： x ≤10 ，即 x ≤30． 又 10x +10y =xy ，∴y = ∴三棱锥 P -ABC 的体积 V （x ）= S △ABC •PC = × xy •sin120°•z = ∴V ′（x ）=可得：x =15 时，V 取得最小值，V （15）= ∴该滑梯装置（即图（2）中的几何体）的体积最小值为 562.5m 3．，10＜x ≤30．，10＜x ≤30．．=562.5．【解析】（1）设 CB =xm ，CA =ym ，PC =zm ，x ，y ，z ＞0．由题意可知：S △BCM +S △ACM =S △BCA ．由∠BCA =120°，CM 平分∠BCA ，可 得： CB •CM sin60°+ CA •CM sin60°= CB •CA sin120° ．根据 S △PCB +S △PCA ≤2S △ACB ．即可得出滑梯的高 PC 的最大值为 10 m ．（2）由滑道 PB 的坡度为 30°，可得 z = x ．由（1）可得： x ≤10 ，即 x ≤30．又 10x +10y =xy ，可得 y = ，10＜x ≤30．三棱锥 P -ABC 的体积 V （x ）= S △ABC •PC =，10＜x ≤30．利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了三棱锥的体积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不。
2020高三南京盐城市一模数学试题含答案
南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则ðU A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．4．命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．00 101 S I While S S S I I I End For Print I←←≤←+←+(第5题图)8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为 ▲ ． 9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -的体积分别为1V 与2V ，则21V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y轴交点的纵坐标为2， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+， 则cos BAC ∠的值为 ▲ .12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+， 若P Q ⊆的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有1122≤+-ax x e x成立，则实数a 的值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若cos C =3AC =，求AB ； （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．16．(本小题满分14分)如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的一点．（1）若1AC //平面PBD ，求PCPC 1的值； （2）求证：P A BD 1⊥．(第16题图)17．(本小题满分14分)如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P 与Q ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O 上，点P 、Q 在O 的一条直径上，P 、Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与O 内切．（1）求圆形铁皮P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P 与Q 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)(第17题图)18．(本小题满分16分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=，22BF F P μ=，求λμ+的最小值．(第18题图)19．(本小题满分16分)定义:若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)若函数()xxf x e aemx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围； （3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围． 南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 三个小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4-2：矩阵与变换）y已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. B ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值.C ．(选修4-5：不等式选讲）已知正实数,,a b c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，1AA 、1BB 是圆柱的两条母线， 11A B 、AB 分别经过上下底面圆的圆心1O 、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，2CD =.（1）若13AA =，求异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值； （2）若二面角11A CD B --的大小为3π，求母线1AA 的长.23．（本小题满分10分）设22201221(12)nin n i x a a x a x a x =-=++++∑(n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++.（1）求n S ；（2）记123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-，求证：3||6n T n ≥恒成立.南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．27．8．3 9．2310．7 11 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由c o s 3C =，),0(π∈C 可知33co s 1s i n 2=-=C C ， ……………………………4分故在A B C ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(c o s 1)3si n (2=--=-A A ππ， ……………10分 ∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ， 又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分 因为底面ABCD是正方形，所以A C ⊥． ……………………………………………………10分 又1AC CC C =，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ， 所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面， 所以A 1P Ì面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥．………………………………………………14分17．解：（1）设P 半径为r ，则)2(4r AB -=，所以P 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立， 故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分 答：P 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-， 解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩， 代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=， 化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--，当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,1y =，故01212y y m -=+，则121(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，∴322174141b b q b b --===--，∴111n nn n b b b b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=， 故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+12222121n n n --=++++=-， 当1n =时上式也成立，故21n n b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn nn ------+--==+<---， ∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立， 所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ， 化简可得)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分 （2）法一：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分 当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <， 故可知函数mx e e x f x x --=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增， 在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值， 所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(， 令m e e x f x g xx-+='=-)()(，则xx xxee ee x g 1)(2-=-='-，故当0≥x 时，)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分 故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分 （3）由0x 满足m e e x x =+-00，代入mx e e x f x x --=-)(， 消去m可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， ……………………………………11分构造函数x x e x e x x h -+--=)1()1()(， 所以)()(xxe ex x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--xxxxee e e， 所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， ……13分则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥， 故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤， 综上，m的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''， 所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y'+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………………5分 又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=， 所以2913612a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系， 由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=， 又曲线4sin ρθ=，所以24s i n ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)， 于是02m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分 21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=， 由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++，即2336a b c ++≥， (5)分当且仅当1492323a b c a b c==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===，所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. ……………………………………10分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--，1(1,1,3)B D =--，所以117cos ,11A CB D <>==， 所以异面直线1A C与1B D所成角的余弦值为711. …………………………………………4分 （2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ， 所以1(1,1,)A C m =--，1(1,1,)B D m =--，(2,0,0)CD =， 设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =，所以1111111200n CD x n ACx y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，所以10x =，令11z =，则1y m =， 所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =， 同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-， 因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以121cos ,2n n <>==， 解得m =m =， 由图形可知当二面角11A CDB --的大小为3π时,m = …………………………………10分注：用传统方法也可，请参照评分. 23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=，令1-=x 得12201232123333(91)2n n n n a a a a a a --+-+-+=+++=-，两式相加得024232()(912nn a a a a ++++=-，∴3(91)4nn S =-.…………………………………3分（2）123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-{}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n nn n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++- {}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++- 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++- 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++- 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………………7分要证3||6n T n ≥，即证384n⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥， 当1,2n =时，12n n -≥显然成立；当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………………10分 注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n -≥恒成立，请参照评分.。