西南交通大学高等数学考试试卷

一、填空题： 1．设函数(,)z z x y =是由ln x zz y=所确定，则()0,1,1dz =dx dy + ． 2．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛区间为()3,3-，则幂级数()01nn n a x ∞=-∑的收敛区间为 ()2,4- ．3．设函数,0()0,0x x f x x ππ--<≤⎧=⎨<≤⎩的付氏级数的和函数为()S x ，则(5)S π=2π．4．设),(xyx f z =，其中f 具有连续的二阶偏导数，则y x z∂∂∂2= 223221211f xy f x f x ''-'-'' ． 5．设幂级数()01nn n a x ∞=-∑在0x =处收敛，而在2x =处发散，则幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛域为 [1,1)-．6．函数23)(2-+=x x x f 关于x 的幂级数展开式为 110(1)1,(1,1)2n n n n x x +∞+=⎡⎤--∈-⎢⎥⎣⎦∑ ． 7．设函数y z x =，则(2,1)dz = 2ln 2dx dy +8．曲线23,,x t y t z t ==-=的切线中，与平面236x y z -+=垂直的切线方程是111123x y z -+-==-． 9．设),(y x z z=是由方程sin()ln z e z xy a -= 0a >为常数所确定的二元函数，则 =dz cos()cos()sin()sin()z zyz xy xz xy dx dy e xy e xy +--． 10.旋转抛物面22zx y =+的切平面： 44810x y z -++=，平行与已知平面21x y z -+=.11．微分方程20y y y '''+-=的通解为 1212x x YC eC e -=+，2x y y y e '''+-=的通解为 121212x x x yC eC e e -=++．12.曲线：Γt tu e z t t y udu e x 301,cos sin 2,cos +=+==⎰在点()2,1,0处的切线方程为 3．函数41)(-=x x f 的麦克劳林级数的第5项为544x -，收敛域为)4,4(-.14.．已知函数(,)23a b f x y x y x y =+--（其中,a b 是大于1的实数）,有一个极值点(1,1)， 则3,2==b a ， 此时函数(,)f x y 的极大值为 3.15.试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数a 为三个正数z y x ,,之和，使z y x ,,的倒数之和最小()()a z y x zy x z y x L -+++++=λ111,, 16函数()x x x f -=1ln )(的麦克劳林级数的收敛域为[)1,1-∈x ，=)0()5(f-30二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号内。

1．二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处两个偏导数),(00y x f x'， ),(00y x f y'存在是),(y x f 在该点连续的 【 D 】 （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件2．函数),(y x f z =在点),(00y x 处两个偏导数),(00y x f x'，),(00y x f y '存在是),(y x f 在该点可微分的 【 B 】（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件3．设),(y x z z =是由方程0),(=--bz y az x F 所确定的隐函数，其中),(v u F 是可微函数，b a ,为常数，则必有 【 A 】（A ）1=∂∂+∂∂yz b xz a （B ）1=∂∂-∂∂y z a x z b （C ）1=∂∂-∂∂yz b x z a （D ）1=∂∂+∂∂yz a x z b4．微分方程222x d y dyy e dx dx-+=特解*y 的形式为 【 C 】（A ）x Ae （B ）x Axe （C ）2x Ax e （D ）2()x Ax B x e + 5．若级数∑∞=1n n a 收敛，则下列结论正确的是 【 B 】（A ）∑∞=12n n a 收敛 （B ）∑∞=++11)(n n n a a 收敛（C ）∑∞=-1)1(n n na 收敛 （D ）∑∞=1n n a 收敛6．下列级数中条件收敛的是 【 B 】（A ）1(1)1nn n n ∞=-+∑ （B ）∑∞=+-11)1(n nn n （C ）21(1)n n n ∞=-∑ （D ）∑∞=+-121)1(n nn n 7．曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(-处的切平面方程为 【 C 】 （A ）632=-+z y x （B ）634=-+z y x (C) 632=-+z y x (D) 63=-+z y x 8． 原点)0,0(是函数2(,)f x y xy y =-的 【 C 】（A ）极小值点 （B ）极大值点 （C ）驻点却不是极值点 （D ）非驻点9．下列方程中是一阶线性微分方程是 【 D 】 （A ）2)(()0y dx x d x y y ++-= （B ）(ln ln )dy y x dx =- （C ）25yy y x '-= （D ）25xy y x '-= 10．设p为常数，则级数1n n ∞=【 B 】（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与p 有关11.设dy e y x dx e x y xy x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+12是函数),(y x u 的全微分，则其中一个),(y x u 为(A ) yx ye x y ++2(B ) 12++yx e x（C ） 12-+yx ye x （D ）yx e x yx -+212.级数()∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111n n n n 的敛散情况是 【 C 】 （A ） 条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ） 发散 （D ）敛散性不能确定 三、计算下列各题：1.设()2,sin ()xz f xy y g ye =+，其中函数,f g 具有二阶连续偏导数，求x z ∂∂，yx z ∂∂∂2． 解： 21x z f y g ye x ∂''=+∂g g ，222111122(2cos )x x z y f y f xy f y g e g ye x y ∂''''''''=++++∂∂g g g g g . 2. 设()u f z =，函数f 可导，且方程23zz exy -+=确定了函数(,)z z x y =，求ux∂∂． 【 解 】 因()u zf z x x∂∂'=∂∂，方程23z z e xy -+=两端对x 求偏导，得 20z z z e y x x ∂∂-+=∂∂， 解得21z z y x e ∂=∂-，故2()()1z u z yf z f z x x e ∂∂''==∂∂-。

3. 求级数0(1)21n n n ∞=-+∑的和。

【 解 】考查幂级数210(1)21n n n x n ∞+=-+∑，因 221()23lim lim ()21n n n n u x n x x u x n +→∞→∞+=⋅=+， 所以，当12<x ，即)1,1(-∈x 时，幂级数绝对收敛。

在1±=x 处，原幂级数成为收敛。

故，幂级数的收敛域为]1,1[-，在]1,1[-内，设=)(x S 210(1)21n n n x n ∞+=-+∑，上式两边对x 求导，221()(1)1n n n S x x x∞='=-=+∑，该式两边从0到x 积分，得 201()(0)arctan 1xS x S dx x x -==+⎰又0)0(=S ，因此()arctan ,[1,1]S x x x =∈-故 0(1)21nn n ∞=-+∑arctan14π== 4．求原点到曲面24z xy x y =+-+的最短距离。

【 解 】设点(),,M x y z 为曲面24z xy x y =+-+上任一点，则该点与原点距离的平方和为：()2222,,f x y z d x y z ==++，只要求距离的平方和最小即可，约束条件：240xy x y z +-+-=，设 ()()2222,4,F x y z x y z xy x y z λ=++++-+-由 ()()221021022040x y z F x y F y x F z xy x y z z λλλ=++=⎧⎪=+-=⎪⎨=-⋅=+-+-=⎪⎪⎩，解得1,1,1x y z =-==±故，原点到曲面24z xy x y =+-+5．求幂级数∑∞=-12)1(n nn x n的收敛域及和函数。

【 解 】因 2211lim )()(limx x nn x u x u n n n n =⋅+=∞→+∞→ 所以，当12<x ，即)1,1(-∈x 时，幂级数绝对收敛。

在1±=x 处，原幂级数成为∑∞=-1)1(n nn，收敛。

故，幂级数的收敛域为]1,1[-在]1,1[-内，设=)(x S ∑∞=-12)1(n n n x n ， 上式两边对x 求导，211212)1(2)(x xx x S n n n +-=-='∑∞=- 上式两边从0到x 积分，得)1ln(12)0()(202x dx x x S x S x+-=+-=-⎰又0)0(=S ，因此]1,1[),1ln()(2-∈+-=x x x S6．求幂级数∑∞=-1)1(n n x n 的收敛域及和函数。

【 解 】因 11lim lim1=+==∞→+∞→n n a a n n n n ρ所以，半径11==ρR ，幂级数在11<-x ，即在)2,0(∈x 内绝对收敛。

在0=x 处，原幂级数成为∑∞=-1)1(n n n ，发散；在2=x 处，原幂级数成为∑∞=1n n ，发散。

故，幂级数∑∞=-1)1(n n x n 的收敛域为)2,0(。

在)2,0(内，设=)(x S ∑∞=-1)1(n nx n ，则=)(x S ∑∞=---11)1()1(n n x n x 。

在)2,0(内，再设=)(x f ∑∞=--11)1(n n x n ，则=⎰xdx x f 1)(xx x dx x n n n n xn --=-=-∑∑⎰∞=∞=-21)1()1(1111上式两边对x 求偏导，得 2)2(121)(x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 因此 21)2(1)()1()1(x x x f x x n n n --=-=-∑∞=，)2,0(∈x7．求微分方程ydx dy y x =+)(4的通解。