三角形的四心问题(最全面精品)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形的外心、内心、重心、垂心
序号名
称
定义图形性质
1 三
角
形
的
外
心
三角形的三条边
的垂直平分线交
于一点,这点称
为三角形的外心
(外接圆圆心)
1.三角形的外心到三角形的三个顶点距
离相等．都等于三角形的外接圆半径；
2.锐角三角形的外心在三角形内；
直角三角形的外心在斜边中点；
钝角三角形的外心在三角形外
2 三
角
形
的
内
心
三角形的三条内
角平分线交于一
点,这点称为三
角形的内心(内
切圆圆心)
1.三角形的内心到三边的距离相等,都等
于三角形内切圆半径；
2.直角三角形的内心到边的距离等于两
直角边的和减去斜边的差的二分之一
3 三
角
形
的
重
心
三角形的三条中
线交于一点,这
点称为三角形的
重心
1.三角形的重心到边的中点与到相应顶
点的距离之比为 1∶ 2；
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角
形面积相等；
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最
小
4 三
角
形
的
垂
心
三角形的三条高
交于一点,这点
称为三角形的垂
心
1.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外
心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与
外接圆半径之和的2倍；
2.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三
角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外
A
B C
O
I
K
H
E
F
D
A
B C
M
A
B
C
D
E
F
G
A B
C
D
E
F
O
三角形的外心
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上.
性质：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径. 用三角形的三边和面积表示外接圆半径的公式
S
R 4abc
公式中 是这三角形的三条边，S 为三角形的面积.
证明：
例题精讲
一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形
如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径.
2、一般三角形
①已知一角和它的对边
例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径. （用三角函数表示）
C
O
C
O
例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.
②已知两边夹一角
例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. .
③已知三边
例5如图，已知，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径.
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D E A
B
C
O
D E
三角形的内切圆
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
内心性质：内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角. 内切圆半径;
一般三角形中，r=c b S
++a 2(S 为三角形面积）
Rt △中，r=2
b c
a -+（a,
b 为直角边，
c 为斜边）
例题精讲：
探索1：如图，在△ABC 中，点O 是内心，∠ABC=50°，∠ACB ＝7０°，求∠BOC 的度数.
变式1：在△ABC 中，点O 是内心，∠BAC=50°，求∠BOC 的度数.
变式2：在△ABC 中，点O 是内心，∠BOC=120°，求∠BAC 的度数.
探索2：.已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，它的内切圆半径为r ，你会求△ABC 的面积吗？
探索3：如图，直角三角形的两直角边分别是a ，b,斜边为c 求其内切圆的半径ｒ和外接圆半径R.
二、求三角形的内切圆的半径 1、直角三角形
例 已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.
2、一般三角形 ①已知三边
例 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15
求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.
②已知两边夹一角
例 已知：如图，在△ABC 中，sin ∠B=5
3
,AB ＝5，BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.
A
B
C
O
E D
b
c
a A B
C
O E F
D
A
B
C
O
D