含参不等式
含参不等式 文档
含参数的一元二次不等式的解法武汉市江夏一中郭飞含参数不等式的解决涉及到方程的观点及分类讨论的思想，长期以来一直是高考的一大热点。
一般地，一元二次不等式的解集常与以下因素有关：（1）二项式系数的正负：（2）⊿的正负;(3)两根的大小比较。
其中二项式系数影响到解集最后的形式到底是大于取两边，还是小于取中间，⊿关系不等式对应的方程是否有解，而两根的大小关系到解集最后的次序。
怎么把以上认识运用到解题中呢？这儿给大家介绍一种数轴方法辅助解题。
例1、 解不等式(2)(1)ax a x -+＞0分析：不等式可整理成(2)(1)a x x --＞0这里的二项系数与a 有关，而两根已明确为-1，2，因此无须讨论另两项因素。
解：不等式整理可得(2)(1)a x x --＞0这里参数与二项系数的关系可用以下图表示：}{}{01200-12a x x x a a x x ><->=∅<<<当时（x-2)(x+1)>0解集或当时解集为当时（x-2)(x+1)<0解集例2、 解不等式22(1)1x a x -++＜00 a分析：此式二项系数为1，再求⊿试试 这里⊿=248a a +无法确定正负，故需讨论它，()11x a ==++()21x a ==+-12x x >关系明确。
解：⊿=248a a +（易求得⊿>0时，a<-2或a>0） 将a 与⊿图如下：()(){12122001111a a x a x a x x x a x a ≤≤≤∅<->>=++=+->+-<<+当-2a 0时⊿解集当或时⊿此时两根分别为故不等式的解集为例3、 解不等式2256x ax a --＞0分析：此式二项系数也不必讨论，225656()()78a a x ax a x x --=-+，因此不等式重点落在讨论两根大小上。
若078aa a >-⇒>，故两根大小从0这分界。
初一下册不等式含参
初一下册不等式含参初一下册不等式含参一、引言不等式是数学中的一个重要概念，通过不等式我们可以研究数的大小关系。
在初一下册数学学习中，我们接触到了不等式含参这个新的概念。
不等式含参的学习，不仅可以提高我们的逻辑思维能力，还能够帮助我们理解和解决实际问题。
二、基本概念不等式含参是指在不等式中含有带有参数的表达式。
参数是不确定的数，可以取不同的值，从而使得不等式的解集发生变化。
例如，不等式 |2x - 3| > a 可以称为一个不等式含参，其中 x 是参数，a是给定常数。
当我们确定了不同的 a 值时，不等式的解集也会随之改变。
三、解决方法解决不等式含参的问题，一般需要进行以下几个步骤：1. 化简：首先，我们需要对不等式进行化简，将其转化为简洁的形式。
例如，使用绝对值不等式的性质，可以将 |2x - 3| > a 化简为 2x - 3 > a 或者 2x - 3 < -a。
2. 分类讨论：根据化简得到的不等式，我们可以将其分成几种情况进行讨论。
例如，当 a > 0 时，将 2x - 3 > a 分成 x > (a+3)/2 和 x < (3-a)/2 两种情况。
3. 求解：接下来，我们需要解决每个分类讨论中的不等式。
通过运用代数运算和性质，将不等式化简为 x 的区间表示形式。
例如，在第一种情况 x > (a+3)/2 中，可以化简为 x > (a+3)/2。
4. 综合解集：最后，我们需要将每个分类的解集综合起来，得到不等式含参的解集。
综合解集时，需要考虑各个分类的交集或并集。
四、应用示例不等式含参可以帮助我们解决许多实际问题。
例如，在经济学中，我们可以利用不等式含参来分析商品价格的涨跌幅度。
在生活中，我们可以通过不等式含参来研究食品或药品的安全问题。
五、总结初一下册不等式含参是一个重要的数学概念，在我们的学习中扮演着重要的角色。
通过学习不等式含参，我们可以锻炼逻辑思维能力，理解和解决实际问题。
解答含参不等式问题常用的几种方法
考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。
求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”
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含参量不等式解法解析
含参量不等式解法解析一、含参量的一元二次不等式解法例1 解关于x的不等式ax2+2x+1＜0(ar)。
分析：对含参量的一元二次不等式的讨论首先讨论二次项系数，再判断“△”与零的关系。
一般还要对根的大小进行比较。
判断根的大小结合二次函数的图象写解集解：（1）当a=0时，原不等式的解集为{x|x＞-■}。
（2）当a>0时，方程ax2+2x+1=0，△=4－4a。
①若△>0，即0时，方程ax2+2x+1=0的两个解为x1=■，x2=■，x1＜x2。
所以原不等式的解集为{|x＜■,或x＞■ }。
②若△=0，即a=1时，原不等式的解集为{x|x≠-1}。
③若△1时，原不等式的解集为R。
④当a0，方程两个解为x1=■，x2=■，且x1>x2。
原不等式的解集为{x|■＜x＜■}。
总结：对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式”△”进行讨论。
（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。
（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。
二、含参数的绝对值不等式的讨论方法例2 解关于x的不等式|x2+2x-3|＞a。
错解：|x2+2x-3|＞a。
当x2+2x-3＞a时，解得x＞-1+■。
当x2+2x-3＜-a时，解得-1+■＜x＜-1+■。
剖析：此解法没有对a作任何讨论，陷入了解不等式的思维混乱状态。
解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，由于a的范围不确定，所以解题时需对a 进行分类讨论，特别注意解不等式时要考虑0≤a0时，原不等式等价于■＜0。
由于■>1，可解得1＜x＜■。
也可先确定两根，然后直接写出解集。
高二含参不等式重要知识点
高二含参不等式重要知识点含参不等式是高中数学中重要的内容之一，它在数学建模、不等式证明以及解决实际问题中都起着重要作用。
本文将介绍高二阶段学习含参不等式时需要掌握的重要知识点。
1. 含参不等式的基本概念含参不等式是指不等式中包含一个或多个未知数的不等式。
通常使用形如f(x)>g(x)或f(x)<g(x)的形式表示，其中f(x)和g(x)是关于x的算式。
2. 含参不等式的解集表示法含参不等式的解集可以用数学符号表示，例如用区间表示。
对于f(x)>g(x)的不等式，解集可以表示为{x|f(x)>g(x)}，其中x为满足不等式的实数。
3. 含参不等式的性质（1）含参不等式满足运算性质。
对于任意实数a和b，若f(x)>g(x)，则af(x)>ag(x)；若f(x)>g(x)且g(x)>h(x)，则f(x)>h(x)。
（2）含参不等式满足传递性质。
若f(x)>g(x)，g(x)>h(x)，则f(x)>h(x)。
（3）含参不等式的均值不等式。
对于任意实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。
4. 含参不等式的求解方法（1）代数法。
通过变形和运算，将含参不等式转化为可求解的形式，从而求得解集。
（2）图像法。
将含参不等式转化为函数图像，分析图像特征得出解集。
（3）区间法。
通过确定函数的单调性、零点、极值点等，在数轴上找到解集所在的区间。
5. 含参不等式的应用含参不等式在实际问题中有广泛的应用，例如优化问题、最值问题、经济学模型等。
通过建立合适的含参不等式模型，可以解决实际问题，并得到解的范围或最优解。
6. 含参不等式的证明在数学证明中，含参不等式的证明方法有多种。
常用的方法包括归谬法、反证法、数学归纳法等。
根据具体的证明要求，选择适合的方法进行证明。
以上是高二含参不等式重要知识点的介绍。
掌握这些知识点，可以帮助学生在解决实际问题和数学建模中灵活运用含参不等式，提升数学解题能力和逻辑思维能力。
含参不等式(实数解问题)(人教版)
含参不等式(实数解问题)(人教版)一、简介本文档主要讨论含参不等式的实数解问题。
含参不等式是指在不等式中含有未知数的不等式，我们将通过实例详细介绍解决这类问题的方法和步骤。
二、解决方法解决含参不等式的实数解问题可以采取以下步骤：1. 确定不等式的范围：首先，要确定不等式的范围，即确定未知数的取值范围。
这可以通过对不等式进行变形和化简来实现。
2. 根据范围解不等式：根据确定的范围，将未知数代入不等式，并求解。
可以采用试探法、代入法或图像法等方法求解。
3. 验证解的有效性：求解出不等式的解之后，需要验证这些解是否满足原始的不等式。
通过将解代入不等式并判断不等式是否成立来验证解的有效性。
三、实例分析以下是一个实例分析，展示了如何解决含参不等式的实数解问题：例题：求解不等式 |x - a| < b，其中 a > 0，b > 0。
解：首先，根据不等式 |x - a| < b 的定义，可以得到两个不等式：1) x - a < b；2) -(x - a) < b。
将两个不等式进行化简：1) x < a + b；2) x > a - b。
因此，不等式的解是 a - b < x < a + b。
需要注意的是，这个解是根据 a > 0，b > 0 的条件得出的。
接下来，我们需要验证解的有效性。
将解代入原始不等式 |x - a| < b 可得：1) |(a - b) - a| = b，成立；2) |(a + b) - a| = b，成立。
因此，解 a - b < x < a + b 是原始不等式的实数解。
四、总结通过本文档的介绍，我们了解到解决含参不等式实数解问题的方法和步骤。
关键是确定范围、带入求解，并验证解的有效性。
通过实例的分析，我们可以更好地掌握和应用这些方法，解决含参不等式的实数解问题。
以上是对含参不等式(实数解问题)(人教版)的文档概述，希望对您有所帮助。
七年级下册数学含参不等式
七年级下册数学含参不等式
以下是七年级下册数学含参不等式的一些例子：
1. 解不等式：4x + 7 > 23
解法：首先将不等式转化为等价的形式：4x > 23 - 7，即 4x > 16
然后将不等式两边都除以4，得到 x > 4
因此，不等式的解集为 x > 4
2. 解不等式：2(3x + 5) ≤ 10
解法：首先将不等式括号内的式子展开：6x + 10 ≤ 10然后将不等式两边都减去10，得到6x ≤ 0
最后将不等式两边都除以6，得到x ≤ 0
因此，不等式的解集为x ≤ 0
3. 解不等式：3(x + 4) - 2x ≥ 1
解法：首先将不等式括号内的式子展开：3x + 12 - 2x ≥ 1然后将不等式两边都减去12，得到 x - 2 ≥ 1
再将不等式两边都加上2，得到x ≥ 3
因此，不等式的解集为x ≥ 3
这些例子展示了计算含参不等式的步骤，具体的题目可能会有不同的形式和操作，但解题思路大致相同。
在解不等式时，都是通过对不等式进行等式的转化和运算，最后确定不等式的解集。
含参等式和含参不等式
添加标题
参数的几何意义也可以通过代数 方法来表示，例如在二次函数 y=ax^2+bx+c中，参数a、b、 c决定了图像的对称轴、顶点和开 口方向
添加标题
参数的几何意义还可以通过几何 意义来理解，例如在二次函数 y=ax^2+bx+c中，参数a、b、 c决定了图像的顶点坐标和图像的 斜率
含参等式与含参不等式在数学、 物理、化学等学科中的应用
在日常生活中的应用，如计 算、比较、决策等
在人工智能、大数据等领域 中的应用
物理：在力学、电磁学等领域，含参等式和不等式可以用来描述物理现象和规律。
化学：在化学反应速率、平衡常数等方面，含参等式和不等式可以用来描述化学反应的规律 和性质。
生物：在生物代谢、遗传等方面，含参等式和不等式可以用来描述生物体的生长、发育和遗 传规律。
经济：在经济学中，含参等式和不等式可以用来描述经济现象和规律，如供需平衡、价格波 动等。
汇报人：XXX
求解微分方程：含参等式和含参不 等式可以用于求解微分方程，例如 求解常微分方程、偏微分方程等。
力学问题：求解物 体的运动轨迹、速 度、加速度等
热力学问题：求解 物体的温度、热力 学函数等
电磁学问题：求解 电磁场的强度、方 向等
光学问题：求解光 的传播、折射、反 射等
在工程、经济、金融等领域 中的应用
常数参数：在等式中保持不变的参数 变量参数：在等式中可以变化的参数 线性参数：等式中的参数与变量呈线性关系 非线性参数：等式中的参数与变量呈非线性关系
含参等式：等式两边含有未知 参数
《含参不等式专题》课件
几何法
总结词
通过几何意义和图形，将含参不等式问题转化为几何问题。
详细描述
几何法是一种直观的解含参不等式的方法，它通过几何意义和图形，将含参不等式问题转化为几何问题。这种方 法需要了解平面几何、解析几何等基础知识，能够根据不等式的几何意义画出图形，通过观察图形找到不等式的 解。
参数分离法
总结词
将含参不等式中的参数分离出来，转化为容易解决的不等式。
意事项
解题技巧
因式分解法
配方法
对于形如$ax^2 + bx + c > 0$的不等式，如果$a > 0$ ，则可以将不等式化为$(x
+ frac{b}{2a})^2 + frac{4ac - b^2}{4a} > 0$ 的形式，然后进行因式分解
。
对于形如$ax^2 + bx + c > 0$的不等式，如果$a < 0$， 则可以通过配方将其化为$(x + frac{b}{2a})^2 - frac{b^2 - 4ac}{4a^2} < 0$的形式，
在制定计划和决策时，含参不 等式可以用来解决资源分配、 成本预算等问题。
含参不等式在优化资源配置、 提高效率等方面发挥着重要作 用。
在其他学科中的应用
01
含参不等式在其他学科 中也有着重要的应用， 例如物理学、化学、生 物学等。
02
在物理学中，含参不等 式可以用来描述物理现 象和规律，如力学、热 学等。
03
在化学中，含参不等式 可以用来描述化学反应 和平衡状态。
04
在生物学中，含参不等 式可以用来描述生物种 群的增长和变化规律。
04
含参不等式的变式与拓展
含参不等式的解法
不等式(3)----含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。
我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。
解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。
（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。
⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。
⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。
⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。
解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当 当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为∅。
含参不等式(讲稿)
1 1 1 的最小值，并论证你的结论. 3 3 3 2 3 2 2a x b y 2b x c y 2c x a 3 y 2
n ak 2 n 1 1 1 a k 1 解：根据 k n ，有 I 3 3 3 3 2 3 2 2a x b y 2b x c y 2c x a 3 y 2 k 1 bk bk
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高二暑假南理工夏令营
2 2 2 2 2 sin (1, 2 ] ，函数 y 在区间 (1, 2 ] 上是减函数，故 y 4 2 1 因此，最大的 k 2 2 例 4、设 a, b, c 是直角三角形的三边长，且 a b c , 若 a 2 (b c) b 2 (c a) c 2 (a b) kabc 对所有直角 三角形都成立，求最大常数 k ，并确定何时等号成立. 解：当 a b ，即△ABC 为等腰直角三角形时，原不等式为 a 2 (a 2a) a 2 ( 2a a) 2a 2 (a a) 2ka3 ，即 k 2 3 2 , 猜测 k 的最大值为 2 3 2 .
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含参数不等式
在一定条件下，给出一个带参数的不等式，对使不等式恒成立的参数进行讨论，或求其最大(小)值，这是数 学竞赛中比较活跃的题型之一，确定使不等式恒成立的参数的取值范围或最值，一般要经过这样几个步骤：首先 可估计或猜测该参数的上界或下界，再求出该参数的上界或下界，最后注明不等式对于这个上界或下界恒成立. 处理这类问题既要注意运用不等式的比较法、放缩法、反推法、归纳法等，以及善于灵活运用一些基本不等式， 如算术－几何不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等，还要善于利用函数的性质(单调性、最值性等)、 利用所给不等式的结构特征来处理. 例 1、(07 浙江竞赛) 设正实数 a, b, c 及非负实数 x, y 满足条件 a6 b6 c6 3,( x 1)2 y 2 2 求I
含参不等式组的解法
含参不等式组的解法在数学中，含参不等式组是一类常见的数学问题。
含参不等式组中含有未知数，并且不等式中的不等式常数（即系数和常数项）均含有参数，因此需要通过对参数的不同取值进行分析，得到不等式组的解。
在解决含参不等式组的问题时，需要掌握一些重要的技巧和方法，下面我们就来详细了解一下。
首先，对于含参不等式组，我们需要对其进行分类讨论。
一般情况下，含参不等式组可以分为两类：一类是一元不等式组，即只含有一个未知数的不等式组，另一类是多元不等式组，即含有多个未知数的不等式组。
对于不同类型的含参不等式组，需要采用不同的方法进行解答。
对于一元不等式组，我们常用的解题方法有以下几种：代数法、图像法、函数法、极值法等。
其中代数法是最常用的方法。
我们可以通过变量替换、置换、解方程等代数方法来找到解题的思路。
对于一元不等式组，我们还可以通过图像法来得到解的范围。
将不等式中的各项表示成两条直线，然后找到两条直线的交点，直线上方的部分即为不等式解的范围。
函数法是在原函数图像变形后的函数图像进行判断解的范围，其计算方法较为简单；而极值法则是通过对函数的一阶导数和二阶导数进行判定，得出函数的极值，从而确定不等式的解。
对于多元不等式组，我们需要采用代数法、几何法、线性规划、拉格朗日乘数法等方法进行解决。
代数法仍然是最常用的方法。
我们需要采用类似于一元不等式组的代数方法，通过消元、替换、解方程等技巧，将多元不等式组转化为一元或二元不等式组，进而得到其解的范围。
几何法则是通过对多元不等式组中各项函数的几何特性进行分析。
利用二维平面或三维空间中的图像，可以清晰地表示出函数之间的关系，从而得到不等式的解。
线性规划是一种常用的数学方法，它可以找到满足约束条件的最优解，常用于工程、经济、管理等领域。
拉格朗日乘数法则是通过对函数的一阶偏导数等条件进行分析，并添加拉格朗日乘数来解决多元不等式组的问题。
总之，解决含参不等式组的问题需要掌握一些基本的解题方法和技巧，同时需要对数学知识有一定的理解和掌握。
第三讲(2) 含参不等式
第三讲 含参不等式1、 知识要点1.含参不等式的解法：（1）解含参数不等式：一般是对所含的参数进行恰当的分类和讨论；（2）含参二次不等式的分类标准和讨论步骤：(a)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意二次项系数为零转化为一元一次不等式的问题。
(b)对含参数的一元二次不等式，还要分、、讨论。
(c)对一元二次不等式和分式不等式转化为整式不等式后有根，且根为（或更多）但含参数，要分、、讨论。
（3）对指数、对数不等式要注意对底数分与进行讨论。
2.不等式的恒成立问题（1）一般不等式：恒成立恒成立解集非空解集非空无解无解恒成立恒成立解集非空解集非空无解无解(2)二次不等式（设）(a)在时恒成立或；(b)在时恒成立或 ;(c)在时恒成立或 .（注：若二次项系数含有参数，须分“”、“”讨论）3.补充说明：恒成立的解集为无解恒成立的解集为无解二、考点解析题型一：解含参不等式例1解关于的不等式变式1：解关于的不等式例2. 解关于的不等式变式2：解关于的不等式题型二：含参不等式与集合运算例1设，求实数的值.变式1：已知集合，且，则实数的取值范围是题型三：不等式的恒成立问题例1若不等式对一切恒成立，求的取值范围变式1：设关于的不等式的解集为，求的取值范围例2若恒成立，则实数的取值范围是____________ _________变式2：若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是三、巩固练习1.若不等式无解，则的取值范围是（ ）2.设集合，则下列关系式中成立的是（ ）3.已知，不等式在实数集上的解集不是空集，则正实数的取值范围是4.若不等式的解集为，则实数的取值范围是5.设，则实数的值为6.解关于的不等式7解关于的不等式。
含参不等式的例题
含参不等式的例题含参不等式是指在不等式中包含了参数的不等式。
在数学中，含参不等式是一个重要的分支，可以用来解决许多实际问题。
下面是一些例题和相应的拓展。
1. 不等式：|x - 2| > 3 中的参数 x解：这是一个典型的含参不等式，其中 x 是不等式中的参数。
我们可以使用不等式化简的方法求解 x 的值。
首先，我们将不等式化简为:|x - 2| > 3x - 2 > 3 或 x - 2 < -3相加得到:x > 5 或 x < -2因此，当 x > 5 时，不等式成立。
当 x < -2 时，不等式不成立。
拓展：我们还可以使用参数积分的方法求解 x 的值。
具体来说，我们可以使用参数积分的方法来求解如下的含参不等式: ∫(x - 2) > 3解：我们可以将不等式化简为:x - 2 > 3这样，我们就将不等式化简成了一个简单的不等式，可以直接求解 x 的值。
拓展：另一个重要的含参不等式是均值不等式，它可以用来求解两个数的和大于第三个数的问题。
具体来说，我们可以使用均值不等式来求解如下的含参不等式:(x + y) / 2 > z解：我们可以将不等式化简为:x + y > 2z因此，我们可以使用均值不等式来求解 x 和 y 的取值，使得不等式成立。
具体来说，我们可以将 x 和 y 的和取模，即x + y = (x + y) / 2 * |x + y|因此，我们可以得到:(x + y) / 2 > zx + y > 2z因此，我们可以得到:x + y > 4z因此，我们可以得到:x > 2z 或 y > 2z因此，当 x > 2z 时，不等式成立。
当 y > 2z 时，不等式不成立。
总结起来，含参不等式是数学中一个重要的分支，可以用来解决许多实际问题。
在求解含参不等式时，我们需要先化简不等式，然后选择合适的方法求解 x 的值。
含参不等式的解题方法与技巧
含参不等式的解题方法与技巧
1、含参不等式的解题方法与技巧
一、等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数或消去；
4、将等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数或消去。
二、不等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的不等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将不等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将不等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数，这时一般要保留不等式的方向；
4、将不等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数。
三、解题方法
1、先求出不含参数的区间：让参数的系数取已知值，把不等式化为等式，解出已知系数的不含参数的解；
2、在不含参数的区间内求参数的区间：把不等式再化为等式，
分别令不含参数的解取已知系数的区间的上下两端的值，解出参数的区间；
3、再求参数的解：在参数的区间内分别求解参数的解，得到参数的解。
四、解题技巧
1、确定不等式的方向：通过乘以系数，把等式变为不等式；
2、选择合适的参数：选择不含参数的系数，以使参数的系数取一个易于使用的值；
3、求解参数的解：根据不等式的方向，在参数的区间内，用二分法或牛顿迭代法求解参数的解。
含参不等式
含参不等式是含有参数的不等式。
用符号“>”“<”表示大小关系的式子，叫作不等式。
用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为中某一个），两边的解析式的公
共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
证明方法：
综合法：由因导果，证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。
分析法：执果索因，证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。
不等式组的含参问题
不等式组的含参问题不等式组的含参问题是指在一组不等式中，存在一个或多个参数（未知数），需要求出这些参数的取值范围。
这类问题常见于代数与数学分析课程，对于学生来说是一个重要的考察对象。
在解决含参不等式组的问题时，我们可以考虑以下几个主要的思路和方法：1.图形法：将不等式转化为几何图形，在图形上找出参数的取值范围。
在平面直角坐标系上绘制不等式的图形，通过分析图形的位置、形状和交点等特征，确定参数的取值范围。
这种方法适用于一些简单的不等式组，例如线性不等式组或二次不等式组。
例如，考虑如下不等式组：{x + y ≤ 2,x² + y² ≥ k,x ≥ 0,y ≥ 0}将这些不等式转化为图形，可以发现参数k对应的图形是一个闭合的圆，而x + y ≤ 2确定了圆的位置。
因此，根据参数k的取值，圆可以与直线x + y = 2相交或相切。
2.代数方法：通过运用代数的方法进行计算和推导，求出参数的取值范围。
这种方法通常需要借助不等式之间的关系，推导出参数的上界和下界。
一般来说，在解决含参不等式组的问题时，我们需要考虑以下几种可能的情况：-不等式存在等号的情况：将不等式转化为等式，求出参数的值。
-含有分式的不等式：进行分式的乘法或约分，使得不等式中的分式被消去，然后根据参数的范围，确定解的取值。
-多个不等式的组合：通过将不等式进行叠加或相减，确定参数的范围。
例如，考虑如下不等式组：{x + 2y ≤ n,x - y ≥ n,y ≥ 0}我们可以将第一个不等式左右两边同时减去2y，得到x ≤ n -2y；然后将这个结果代入第二个不等式，得到n - 2y - y ≥ n，即-y ≥ 0，由此得出y ≤ 0。
因此，参数y的取值范围是y ≤ 0。
-不等式的相乘：通过乘法，将一个不等式转化为另一个不等式，然后根据参数的范围，确定解的取值。
例如，考虑如下不等式组：{x + y ≤ a,x - y ≤ a,a > 0,x ≥ 0,y ≥ 0}将这两个不等式相乘，得到(x + y)(x - y) ≤ a²，再根据x ≥ 0和y ≥ 0，可以得到x² - y² ≤ a²，即|x| ≤ a，从而x的取值范围是-x ≤ a且x ≥ 0，即0 ≤ x ≤ a。
含参不等式专题
市场供需平衡
在分析市场供需平衡时，需要建 立含参不等式模型，以确定不同
价格和产量下的供需关系。
投资风险评估
在投资决策中，风险评估是关键 的一环。通过建立含参不等式模 型，可以评估不同投资方案的风
险水平，为决策提供依据。
04 含参不等式的扩展
高次含参不等式
总结词
高次含参不等式是指含有未知数的高次幂的不等式，这类不等式在数学中具有广泛的应 用。
详细描述
参数分离法是将含参不等式中的参数分离出来，单独处理的一种方法。通过将参数与未知数分离，可以将复杂的 不等式转化为简单的不等式，从而简化求解过程。这种方法需要观察不等式的特点，正确地将参数分离出来。
图像法
总结词
通过图像表示不等式的解集，直观地展示不等式的解。
详细描述
图像法是通过图像表示不等式的解集的一种方法。通过绘制不等式的图像，可以直观地展示不等式的 解集和参数对解集的影响。这种方法适用于一些简单的不等式和特定类型的不等式。在绘制图像时， 需要注意不等式的定义域和值域，以及参数的取值范围。
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总结词
通过代数手段，将含参不等式转化为不含参的不等式，再求解。
详细描述
代数法是一种常用的解含参不等式的方法，它通过代数手段，如合并同类项、因 式分解、配方等，将含参不等式转化为不含参的不等式，再利用不等式的性质和 求解方法求解。这种方法需要熟练掌握代数运算和不等式性质。
参数分离法
总结词
将含参不等式中的参数分离出来，单独处理，简化不等式的形式。
未来发展方向
深入研究参数范围的影响
01
未来可以进一步深入研究参数范围对不等式证明的影响，探索
含参不等式
的解，
类型一：已知解的范围，求参数
例2、若方程组
2x y k +1 的解为 x 2y =1
x，y，且x＋y ﹥0 ，求k的取值范围。
类型二 解不等式 例3、关于x的不等式 k 1x 2
练习：关于x的不等式3ax≥12的解集如 图所示，求a的值。
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
类型四：已知不等式的整数解，求参数
1，2，3 整数解是 1，2 ，求m的取值范围。
xa 0 例6、关于x的不等式组 2 2 x 0 的 整数解共有6个，求a的取值范围
x m 0 例5、关于x的不等式 的正
1
类型三 不等式组是否有解
x3 例4、若不等式组 的解集是x>3求 xm m的取值范围。
练1、若不等式组 m的取值范围。
x 3 x 3 有解，求 x m x m
x 3 练2、若不等式组 无解，求 x m m的取值范围。 x
含参的不等式
类型一：已知解的范围，求参数
例1、关于x的不等式－x+a≥2的解为 x≤－1，求a的值。
变式 关于x的方程－x+a=2的解为负 正 数，求a的取值范围。
类型一：已知解的范围，求参数
练习:已知关于x的不等式 求a的值。
1 2x 1 的解，也是不等式 6 2
4 2 x 4 2x a 3பைடு நூலகம்3
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含参不等式
编写思路： 题型一：让学生掌握解一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，认识解集，理解解与解集的区别和联系； 题型二：让学生掌握含参不等式（系数含参和不含参两种类型）的解法. 对系数含参的不等式，让学生理解和掌握参数系数的讨论方法，并与含参方程的讨论方法进行比较、认识. 题型三：对于绝对值不等式，通过两种方法让学生理解 （1）代数方法：即讨论、去绝对值，变成一元一次不等式，求解集. （2）几何方法：利用绝对值的几何意义求解.
定 义
示例剖析
一元一次不等式：类似于一元一次方程，含
有一个未知数，未知数的最高次数是1的不等式，叫作一元一次不等式.
25x >，340m -<，3
32307≥y y -+-
一元一次不等式标准形式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b <或ax b >的形式（其中0a ≠）.
5
63
x >，37≤x 等都是一元一次不等式的标准形式
不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫作不等式的解．
4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．
知识互联网
思路导航
题型一：不等式（组）的基本解法
不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫作不等式的解集．一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．
3≥x 是260≥x -的解集； 2x <是2x ->-的解集
解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（化成ax b <或ax b >形
式）→系数化为1（化成b x a >或b
x a
<的形式）．
不等式的解与不等式解集的区别与联系：
不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值组成的集合；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．
定 义
示例剖析
一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组．
1
302841x x x ⎧-⎪⎨
⎪+<-⎩≥和26061503
≥x x x ⎧
⎪-⎪-<⎨⎪⎪->⎩ 都是一元一次不等式组； 2
4x y >⎧⎨<⎩
不是一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集：
几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）．
解一元一次不等式组的步骤：
⑴ 求出这个不等式组中各个不等式的解集；
⑵ 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．
由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中a b >）
不等式 图示
解集 x a
x b >⎧⎨>⎩
x a >
（同大取大） x a
x b <⎧⎨<⎩ x b <
（同小取小）
x a
x b <⎧⎨>⎩
b x a <<
（大小交叉中间找）
x a
x b >⎧⎨<⎩
无解
（大大小小无解了）
典题精练
【例1】 ⑴解不等式
31
423
x x x +--+≤.
⑵解不等式组12(1)532122
x x x --⎧⎪
⎨-<+⎪⎩≤，并在数轴上表示出解集.
⑶求不等式组2(2)43
251x x x x --⎧⎨--⎩
≤＜的整数解．
⑷解不等式组32215x x -<-<
⑸解不等式组253473
x x -<⎧⎪
-⎨>⎪⎩
【引例】⑴关于x 的一次不等式组x a
x b >⎧⎨<⎩
无解集，则a ，b 的大小关系是 ．
⑵关于x 的一次不等式组x a
x b <⎧⎨<⎩
的解集是x b <，则a ，b 的大小关系是 ．
⑶关于x 的一次不等式组x a
x b >⎧⎨<⎩
的解集是a x b <<，则a ，b 的大小关系是 ．
⑷关于x 的一次不等式组x a
x b ⎧⎨⎩
≥≤的解集是a x b ≤≤，则a ，b 的大小关系是 ．
【例2】 解关于x 的不等式：
⑴+2a x b > ⑵13kx +> ⑶132kx x +>- ⑷36mx nx +<--
例题精讲
典题精练
⑸()
212m x +< ⑹()25n x --<
【例3】 ⑴不等式
()1
23
x m m ->-的解集与2x >的解集相同，则m 的值是 ． ⑵关于x 的不等式2x a -≤-1的解集如图所示，则a 的值为 .
⑶关于x 的不等式5ax >的解集为5
2
x <-，则参数a 的值 .
⑷ ①若不等式组3
x x a >⎧⎨>⎩
的解集是x a >，则a 的取值范围是 .
②若不等式组3
x x a >⎧⎨⎩
≥的解集是x a ≥，则a 的取值范围是 .
A ．3a ≤
B ．3a =
C ．3a >
D ．3a ≥
⑸已知关于x 的不等式组2
32x a x a +⎧⎨-⎩
≥≤无解，则a 的取值范围是 ．
⑹已知关于x 的不等式组>0
53x a x -⎧⎨-⎩
≥无解，则a 的取值范围是 ．
【例4】 ⑴ 已知关于x 的不等式组0
521≥x a x -⎧⎨->⎩
只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．
⑵ 如果关于x 的不等式50x m -≤的正整数解只有4个，那么m 的取值范围是（ ） A ．2025m <≤ B ．2025m <≤ C ．25m < D ．20m ≥
【探究对象】以下对于含有字母系数的一元一次不等式组的问题进行变式和拓展，主要针对整数根问
题和解含参的不等式组，需要分类讨论.
【变式】试确定实数a 的取值范围，使不等式组恰有两个整数解.
544(1)33
102
3a x x a x x +⎧+++⎪⎪⎨
+⎪+>⎪⎩≥
【拓展1】如果关于x 不等式组9080.x a x b -⎧⎨-<⎩
，
≥的整数解仅为1，2，3，则a 的取值范围
是 ，b 的取值范围是 ．
【拓展2】解关于x 的不等式组：2326
2(1)11x a x x x
+⎧->
⎪⎨⎪+>-⎩
【拓展3】已知关于x 的不等式组21
4(1)3x ax x -<+⎧⎨+>⎩
⑴若不等式组无正整数解，求a 的取值范围；
⑵是否存在实数a ，使得不等式组的解集中恰含了3个正整数解. 若存在请求出a 的取值范围.
定义
示例剖析
绝对值不等式：不等式中未知数含有一个或几个绝对值的不等式.
≤x a ，122≥x x -+-
对于复杂的不等式可采用整体思想，例如()()22323x x +-+<，此时不必去括号可直接把2x +看成一个整体去解.
思路导航
典题精练
题型三：复杂的不等式（组）
【例5】
解下列不等式 ：
⑴ >2x ．
⑴ 3x ≤． ⑶ 14
≤x -
【例6】 解不等式
⑴ 123≤≤x + ⑴ 235≥x x -++
【例7】 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b <≤，求x 的取值范围．
题型一 不等式（组）的基本解法 巩固练习
【练习1】 不等式组331
482x x x +>⎧⎨--⎩≤的最小整数解是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．－1
真题赏析
复习巩固
题型二 含参数的一元一次不等式（组） 巩固练习
【练习2】 、a b 为参数，解不等式153
b
ax x -<-+
【练习3】 ⑴若不等式(2)2a x a -<-的解集在数轴上表示如图所示，则a 的取值范围是 .
⑵若不等式组213
x x a -<⎧⎨<⎩
的解集是2x <，则a 的取值范围是 ．
⑶如果关于x 的不等式组230
≥≤x x m -⎧⎨⎩
无解，则m 的取值范围是 .
【练习4】 ⑴ 关于x 的不等式组15
32
223
x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）．
A.1453a --≤≤
B.1453a -<-≤
C.145<3a --≤ D ．14
53a -<<-
⑵已知关于x 的不等式组0
321
≥x a x -⎧⎨->-⎩的整数解有5个，则a 的取值范围是 .
题型三 复杂的不等式（组） 巩固练习
【练习5】 解下列不等式：
135x <-<。