第2章 预测控制的基本原理_2010

不稳定
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补充：控制系统的稳定性分析 一、 预备知识
2.2 李雅普诺夫第二法
设V(x)为由n维状态向量x所定义的标量函数，x ∈ Ω ，且在 x=0处，恒有V(x)=0。对所有在域 Ω中的任何非零向量x，如果 1. V(x)>0，则称V(x)为正定的。 2. V ( x ) < 0，即
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补充：控制系统的稳定性分析
李雅普诺夫第二法又称为直接法，它是在用能量观点分析 稳定性的基础上建立起来的。若系统平衡态渐近稳定,则系统 经激励后,其储存的能量将随着时间的推移而衰减,当趋于平衡 态时,其能量达到最小值。反之,若系统平衡态不稳定,则系统将 不断地从外界吸收能量,其储存的能量将越来越大。基于这样 的观点,只要找出一个能合理描述动态系统的n维状态的某种形 式能量的正性函数,通过考察该函数随时间推移是否衰减,就可 判断系统的稳定性。
−V ( x )为正定的,则称V(x)为负定的。
3. V ( x ) ≥ 0 ，则称V(x)为半正定(正半定)的。 4. V ( x ) ≤ 0 , 即 −V ( x )为半正定的,则称V(x)为半负定(负半定)的。 5. V(x) 既可为正值也可为负值，则称V(x)为不定的。
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补充：控制系统的稳定性分析
一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统, 即当系统受到外界干扰时它的平衡被破坏,但在外界干扰去掉以后, 它仍有能力自动地恢复在平衡态下继续工作。系统的这种性能,叫 做稳定性。 例如电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力、火箭 飞行中保持航向为一定的能力等。 具有稳定性的系统称为稳定系统，不具有稳定性的系统称为 不稳定系统。也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后, 系统状态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值) 过渡过程的收敛性。
1. 李雅普诺夫稳定性 定义2-5 稳定：
李亚普诺夫意义下稳定
2. 一致稳定性
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补充：控制系统的稳定性分析 3. 渐近稳定性：系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义 渐近稳定性： 下的稳定性，且有
lim x (t ) − xe = 0
t →∞
(2 − 4)
称此平衡状态是渐近稳定的。
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第2章 预测控制的基本原理
预测控制不是用一个对全局相同的优化指标，而是在每 一个时刻有一个相对于该时刻的局部优化性能指标。不同时刻 优化性能指标的形式是相同的，但其包含的时间区域是不同 的，这就是滚动优化的含义。 3. 预测控制在采用优化控制的同时，没有放弃传统控制中的反馈 在实际过程中，由于存在非线性时变、模型失配和干扰等不 确定性因素，使基于模型的预测不可能与实际相符。因此通过输 出的测量值与模型的预估值进行比较，得出模型的预测误差，再 利用这个误差来校正模型的预测值，从而得到更为准确的、将来 输出的预测值。正是这种模型预测加反馈校正的过程，使预测控 制具有很强的抗干扰和克服系统不准确性的能力。
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补充：控制系统的稳定性分析
2.1 李雅普诺夫稳定性定义
1892年，俄国学者李亚普诺夫（Lyapunov）在他的博士 论文“运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特 征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义,提出了解决稳定 性问题的一般理论,即李亚普诺夫稳定性理论。该理论基于系 统的状态空间描述法,是对单变量、多变量、线性、非线性、 定常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法,是现代稳定性 理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。 李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法, 即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。
xe = f ( xe , t ) = 0
(2 − 1)
成立,则称xe为系统的平衡状态。由平衡状态在状态空间中所确 定的点，称为平衡点。 对于线性定常系统，如果其平衡状态 f ( xe , t ) = Ax ， 且A非奇异，则原点是系统唯一的平衡状态。
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补充：控制系统的稳定性分析 定义2-4 范数： n维状态空间中，向量x的长度(即x到坐标原 点的距离)称为向量x的范数，并用 x 表示，即
⎧≥ 0, i = 1, 2, Δi ⎨ ⎩ = 0, i = n
, n −1
(4) 实对称矩阵P为半负定的充要条件是矩阵P的行列式为零 (即detP=0)，且矩阵P的前n-1阶主子行列式满足当i为奇数时， Δi≤0；当i为偶数时，Δi≥0。 ( i =1，2，… ，n-1)
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补充：控制系统的稳定性分析 二、 李雅普诺夫第二法稳定性定理
> 0.
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补充：控制系统的稳定性分析
(2)实对称矩阵P为负定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列
(−1)i Δi > 0 , i = 1, 2, 式满足
为偶数时，Δi>0。
, n 。即当i为奇数时，Δi<0；当i
(3) 实对称矩阵P为半正定的充要条件是矩阵P的前n-1阶主子 行列式非负,且矩阵P的行列式为零,即
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第2章 预测控制的基本原理
2. 预测控制区别于其他控制方法的关键在于采用滚动优化、 滚动实施控制作用 在预测控制中，通常优化不是一 次离线进行、而是反复在线进行 的，这就是滚动优化的含义，也是 预测控制区别于传统最优控制的根 本特点。 在每一采样时刻，优化性能指标 只涉及从该时刻起到未来的有限时 间段，而到下一个采样时刻，这一 优化时段会同时向前推移。
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在n维状态空间中，若用点集S(ε)表示以xe为中心、 ε为半径 的超球域，则 x ∈ S ( ε ) 表示
x − xe =
( x1 − x1 e ) 2 + ( x 2 − x 2 e ) 2 +
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+ ( x n − x ne ) 2 ≤ ε
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李雅普诺夫稳定性的定义
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补充：控制系统的稳定性分析 5. 不稳定性：
若对某个实数 ε>0 和另一实数δ>0 ，当 x0 − xe ≤ δ 总存在一个初始状态 时，
x (t0 ) = x0 ，使
x (t ) − x e > ε , t ≥ t 0
则称平衡状态xe是不稳定的。
不稳定的几何意义可理解为，对于 某个给定的球域S(ε) ，无论球域S(δ)取 得多么小，内部总存在一个初始状态 x(t0)=x0，使得从这一状态出发的轨迹最 终会超出球域S(ε) 。在二维状态空间中, 不稳定的几何解释如图所示。
补充：控制系统的稳定性分析
二次型函数 V ( x ) = x T Px 的定号性与其对应的权矩阵P的定 号性一致，判别V ( x ) = xT Px 的符号只要判别实对称矩阵P的符 号即可。 7. 塞尔维斯特(Sylvester)准则 (1)实对称矩阵P为正定的充要条件 是矩阵P的各阶主子行列式均大于零， 即
第2章 预测控制的基本原理
三种典型的预测控制优化问题
下面以离散状态空间模型和二次型性能指标为例，来说明 预测控制优化问题的三种形式。
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第2章 预测控制的基本原理
一、无穷时域
无穷时域优化的基本特点是目标函数是无限时间的正定函 数的和的形式。性能指标和约束常为
由于无穷时域优化涉及到无穷个决策变量，一般无法直接求解。
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补充：控制系统的稳定性分析
李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是通过解 系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定 性，其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。 对线性定常系统,只需解出全部特征根即可判断稳定性; 对非线性系统,则采用微偏线性化的方法处理,即通过分析非 线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性,故只能判 断在平衡状态附近很小范围的稳定性。
⎡ p11 ⎢p P = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣ pn1 p12 p22 pn 2 p1n ⎤ p2 n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ pnn ⎦
Δ1 = p11 > 0
p11 Δ2 = p21
p12 > 0, p22
, Δ n = det P =
p11 p21 pn1
p12 p22 pn 2
p1n p2 n pnn
渐近稳定的几何意义可理解为，如果 平衡状态xe为李亚普诺夫意义下稳定，且从 球域S(ε)内发出的状态轨迹当t→∞时，不 仅不超出球域S(ε)之外，而且最终收敛于 xe，则平衡状态xe为渐近稳定的。在二维状 态空间中，渐近稳定的几何解释如图所示。
渐近稳定
4. 大范围渐近稳定性：若初始条件扩展至整个状态空间, 大范围渐近稳定性： 即δ →∞， S(δ) →∞，且平衡状态xe均具有渐近稳定性时, 则称此平衡状态是大范围内渐近稳定的。
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第2章 预测控制的基本原理 预测控制具有如下特征：
① 对数学模型要求不高； ② 能直接处理具有纯滞后的过程； ③ 具有良好的跟踪性能和较强的抗干扰能力； ④ 对模型误差具有较强的鲁棒性等优良性质。 因此，预测控制更加符合工业过程的实际要求，这 是PID控制无法相比的。
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x = x +x +
2 1 2 2
+ x = ( x x)
2 n T
1 2
而向量 ( x − xe ) 的长度(即x到 x e 的距离)称为 ( x − xe ) 的范数，并 用
x − xe 表示，即
x − xe = ( x1 − x1e ) + ( x2 − x2 e ) +
2 2
+ ( xn − xne )
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第2章 预测控制的基本原理 二、有限时域:经典预测控制
经典预测控制的主要特点是目标函数为有限时间正定函数的和的形式。
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第2章 预测控制的基本原理 三、有限时域:综合型预测控制
该类预测控制算法不同于经典形式的主要特点是在优化中引入 离线或在线确定的终端约束集和/或终端代价函数，从而改变优化算 法的收敛特性，使得性能指标在滚动的优化中单调减小。 性能指标和约束常为:
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补充：控制系统的稳定性分析
系统的平衡状态
定义2-1 自治系统：是指零输入作用的系统，即 x = f ( x, t ) t ≥ t0 x (t0 ) = x0 其中，x为n维状态向量，f(.,.)为n维向量函数。 定义2-2 受扰运动：指系统状态的零输入响应。 定义2-3 平衡状态：若系统存在状态向量xe，对所有时间t， 都使
其中，P 为对称矩阵，有 pij = p ji 。
P为二次型各项的系数构成的n×n实对称矩阵，称为二次型 的权矩阵。当P的各顺序主子行列式均大于零时 ，即
p11 > 0, p11 p21 p12 p22 p11 > 0, , p n1
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p1n >0 pnn
则V(x)正定，且称 P为正定矩阵。
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补充：控制系统的稳定性分析 6. 二次型函数：二次型函数是一类特殊的标量函数，其可表 示为
V ( x ) = x T Px = [ x1 x2 ⎡ p11 ⎢p xn ] ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣ pn1 p12 p22 pn 2 p1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ p2 n ⎥ ⎢ x2 ⎥ n ⎥⎢ ⎥ =∑ p x x ⎥ ⎢ ⎥ i =1 ij i j ⎥ ⎢ ⎥ j =1 pnn ⎦ ⎣ xn ⎦
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第2章 预测控制的基本原理
预测控制设计思想： 建立预测模型，根据控制目标 设计系统的性能优化指标； 根据性能指标确定预测控制量，使得未来预测时域内性能 指标取得最优，并重复在线计算优化控制律。
t
t +T
预测控制原理图
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第2章 预测控制的基本原理
1. 预测控制基于模型并采用预测模型 预测控制需要一个描述动态行为的基础模型，称预测模 型。它有预测功能，即能根据系统现时刻和未来时刻的控制 输入及历史信息，预测过程输出的未来值。 预测控制是一种基于模型的控制算法。对于预测控制来 讲，只注重模型的功能，而不注重模型的形式。预测模型的功 能就是根据对象的历史信息和未来输入，预测其未来输出。从 方法的角度讲，只要是具有预测功能的信息集合，无论其具有 什么样的表现形式，均可作为预测模型。 预测控制摆脱了之前的控制基于严格数学模型的要求，从 全新的角度建立模型的概念。