一元二次方程 获奖 公开课教案

2．1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程

1．了解一元二次方程的概念；(重点)

2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、

一次项系数等，会把一元二次方程化成一般

形式；(重点)

3．能根据具体问题的数量关系，建立

方程的模型．(难点)

一、情景导入

一个面积为120m 2的矩形苗圃，它的长

比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为x m ，则长为(x ＋2)m.

根据题意，得x (x ＋2)＝120.

所列方程是否为一元一次方程？

(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的概念

【类型一】 判定一元二次方程

下列方程中，是一元二次方程的

是________(填入序号即可)．

①y 24－y ＝0；②2x 2－x －3＝0；③1x

2＝3； ④x 2＝2＋3x ；⑤x 3－x ＋4＝0；⑥t 2

＝2；

⑦x 2＋3x －3

x

＝0；⑧x 2－x ＝2. 解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.

方法总结：判断一个方程是不是一元二

次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．

【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值 a 为何值时，下列方程为一元二次

方程？

(1)ax 2－x ＝2x 2－ax －3；

(2)(a －1)x |a |＋

1＋2x －7＝0.

解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a

－2)x 2＋(a －1)x ＋3＝0，所以当a －2≠0，

即a ≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由

|a |＋1＝2，且a －1≠0知，当a ＝－1时，

原方程是一元二次方程．

解：(1)当a ≠2时，方程ax 2－x ＝2x 2－

ax －3为一元二次方程；

(2)因为|a |＋1＝2，所以a ＝±

1.当a ＝1时，a －1＝0，不合题意，舍去．所以当a

＝－1时，原方程为一元二次方程．

方法总结：用一元二次方程的定义求字

母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．

【类型三】 一元二次方程的一般形式

把下列方程转化成一元二次方程

的一般形式，并指出二次项系数、一次项系

数和常数项：

(1)x (x －2)＝4x 2－3x ；

(2)x 23－x ＋12＝－x －12

； (3)关于x 的方程mx 2－nx ＋mx ＋nx 2＝q

－p (m ＋n ≠0)．

解析：首先对上述三个方程进行整理，

通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”

等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二

次项系数、一次项系数和常数项．

解：(1)去括号，得x 2－2x ＝4x 2－3x .移项、合并同类项，得3x 2－x ＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；

(2)去分母，得2x 2－3(x ＋1)＝3(－x －

1)．去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；

(3)移项、合并同类项，得(m＋n)x2＋(m －n)x＋p－q＝0.二次项系数为m＋n，一次项系数为m－n，常数项为p－q.

方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；

(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；

(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项c，则c＝0.

探究点二：建立一元二次方程模型

如图，现有一张长为19cm，宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．

解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．

解：设需要剪去的小正方形边长为x cm，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm，宽为(15－2x)cm.

根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整

理，得x2－17x＋51＝0(x＜15 2)．

方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．

三、板书设计

一元二次方程⎩⎪

⎪

⎨

⎪

⎪⎧

概念：只含有一个未知数x的整式方

程，并且都可以化成ax2＋bx＋c

＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式

一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0），其中ax2，bx，c

分别称为二次项、一次项和

常数项，a，b分别称为二次

项系数和一次项系数

本课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣.