三视图及表面积、体积汇编
空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积
（2）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的 连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱 锥面；③直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
第七章 立体几何
球 2．三视图与直观图
半圆
Go the distance
直径所在的直线
第 1 讲 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积
（1）三视图： ①三视图：空间几何体在正投影下在投影面上留下的轮廓线．三视图包括
一．知识梳理
1．空间几何体的结构特征
几何体
底面
棱柱
互相平行
多面体 棱锥
是多边形
侧面 都是四边形，且相邻两个侧面的公
④棱台的上下底面可以不相似，但棱长一定相等．其中正确的命题的个数是
Go the distance
（）
A.0
B.1
C .2
D.3
【变式 1】
（1）下列说法中正确的是（ ）
A. 棱柱的侧面中，至少有两个面互相平行 B. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C. 棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高 D. 棱柱的侧面是平行四边形，它的底面一定不是平行四边形
球 二．要点整合
S表 S侧 S底 S表 S侧 S上 S下
S 4 R2
V 1 Sh 3
V
1 3
(
S上
S下
S上S下 )h
V 4 R3 3
1．辨明三个易误点
（1）台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．
常见几何体的体积和表面积公式及三视图
常见几何体的体积和表面积公式及二视图S宜楼ttm • h『S IE檢台帽=^y （c+c z）//2.圆柱、側锥"圆台的侧面积与表面积（厂*‘为底面半径显为母线长} 侧面积S.比=2砒无卄=罰S^=7r（r+/）/z）表面积S.柱需=2nr（r+/）升卄=nr■（厂+Z）=7t（r+/）/+K（r21 1 ______________________________ 4«铁体=&7 "台第=石（'+ JSS+S‘ ）h = —^R z谨记常见几何体的三视图特点：一般情况下， （1）视图中有两个是矩形的几何体是柱体； （2）视图中有两个是三角形的几何体是锥体； （ 3 ）视图有两个是梯形的几何体是台体； （4 ）视图中有两个是圆的几何体是球•（2016年全国II 高考）下图是由圆柱与圆锥组 （2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的儿何体 葭观图W( 图 俯觇圈 说明正三正三棱锥的M 个觇图是3 牛三角形正四正六正pq 棱無的3亍观图是2亍三角壮和1个正方形 f 含对角线）正六棱無的3个幌图是2 个三角形和1个六边形 （含对角线）圆議的3个视图息2个 尊腰三角形和1个岡说明正四 棱台正检台仪闘台的正觇图、 侧视图均为梯形■帕觇图 为环形球的3平视罔均为圈【2011全国新课标，理6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为（）【2013课标全国I,理8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示cm）,则该几何体的表面积是3 cm .AT正视图Q俯视图2 2正视图侧视图【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体3积（单位：cm）是（单位: 体2cm（2016年全国I高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体28 n积是3，则它的表面积是【2017课标1,理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为【2017课标II ,理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）【2017山东，理13】由一个长方体和两个1圆柱体构成4的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为•（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m,3则该四棱锥的体积为_________ m.（2016年全国III高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为三视图还原几何体方法：（1）理解“正俯一样长，正侧一样高，侧俯一样宽” ；（2）画一个长方体，找准三视图中的点和边在长方体中的对应位置，在长方体中排除掉没有对应的顶点；（3 ）把剩下的顶点用线连起来，注意线的虚实；（4）结合三视图进行检验•（此法适用于棱锥、棱柱的三视图还原，可看作是由长方体拼接或切割而成）•若三视图中有半圆和圆的，要联想到圆柱、圆锥、圆台和球正视囲GJ视图【2014湖南7】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）【2014新课标，理6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1 （表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示•若该几何体的表面积为16 + 20二，则r=（）【2017江苏，6】如图，在圆柱O1,O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切•记圆柱0仆02的体积为V，球O的体积为V2，则V1的V2 值是.【2017课标3,理8】已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为___________ .【2015 高考山东，理7】在梯形ABCD 中，NABC =二，AD//BC BC =2AD =2AB =2 .将2梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为_________________ .【2014高考陕西版理第5题】已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为____________ .【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱ABC - A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB _ BC，AB =6，BC =8，AA =3，则V的最大值是_________________ .正枕图俯视图｛第6题）。
专题05 空间几何体的三视图、表面积和体积(解析版)
专题05 空间几何体的三视图、表面积和体积【要点提炼】1.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式：①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面积S＝4πR2.(2)柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；③V球＝43πR3.2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为32a，a2，22a.考点考向一空间几何体的表面积【典例1】(1)如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体的某个顶点为球心，2为半径的18球体后的剩余部分，则该几何体的表面积为()A.24－3πB.24－πC.24＋πD.24＋5π(2)(多选题)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()A.2πB.(1＋2)πC.22πD.(2＋2)π解析(1)由题意知该几何体的表面积S＝6×22－3×14×π×22＋18×4×π×22＝24－π.故选B.(2)如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，长为2，所以所形成的几何体的表面积S＝π×1×2＋π×12＝(2＋1)π.如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边上的高22，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S′＝2×π×22×1＝2π.综上可知，形成几何体的表面积是(2＋1)π或2π.故选AB.答案(1)B(2)AB探究提高 1.求空间几何体的表面积，首先要掌握几何体的表面积公式，其次把不规则几何体分割成几个规则的几何体.2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【拓展练习1】(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为() A.122π B.12πC.82πD.10π(2)(2020·衡水金卷)一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为()A.1B.2C.3D. 3解析(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为2 2.所以S表面积＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.(2)如图，设圆柱底面半径为r (0＜r ＜2)，高为h ，则h4sin 60°＝2－r 2，即h ＝3(2－r )，其侧面积为S ＝23πr (2－r )＝23π(－r 2＋2r )，根据二次函数性质，当r ＝1时，侧面积取得最大值，此时h ＝ 3. 答案 (1)B (2)D考向二 空间几何体的体积【典例2】 (1)(2020·济南模拟)已知三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠ABC ＝π2，SB ＝4，SC ＝213，AB ＝2，BC ＝6，则三棱锥S －ABC 的体积是( ) A.4B.6C.4 3D.6 3(2)(2020·长沙模拟)如图，在四面体PBCD 中，点A 是CD 的中点，P A ＝AD ，△ABC 为等边三角形，边长为6，PB ＝8，PC ＝10，则△PBD 的面积为________，四面体P ABC 的体积为________.解析 (1)∵∠ABC ＝π2，AB ＝2，BC ＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝22＋62＝210.∵∠SAB ＝π2，AB ＝2，SB ＝4，∴AS ＝SB 2－AB 2＝42－22＝2 3.由SC ＝213，得AC 2＋AS 2＝SC 2，∴AC ⊥AS .又∵SA ⊥AB ，AC ∩AB ＝A ，∴AS ⊥平面ABC ，∴AS 为三棱锥S －ABC 的高，∴V 三棱锥S －ABC＝13×12×2×6×23＝4 3.故选C.(2)因为△ABC 为等边三角形，边长为6，点A 为CD 的中点，所以AD ＝AB ＝6，所以△ADB 为等腰三角形.又∠DAB ＝180°－∠CAB ＝120°， 所以∠ADB ＝12(180°－120°)＝30°，所以∠ADB ＋∠DCB ＝90°，所以∠DBC ＝90°，所以CB ⊥DB ，所以DB ＝CD 2－BC 2＝144－36＝6 3.因为PB ＝8，PC ＝10，BC ＝6，所以PC 2＝PB 2＋BC 2，所以CB ⊥PB .又DB ∩PB ＝B ，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD .因为DA ＝AC ＝AP ＝6，所以△PDC 为直角三角形，且∠DPC ＝90°，所以PD ＝CD 2－PC 2＝144－100＝211.又DB ＝63，PB ＝8，所以DB 2＝PD 2＋PB 2，即△PBD 为直角三角形，所以S △PBD ＝12×8×211＝811.因为点A 为DC 的中点，所以V P －ABC ＝12V P －CBD ＝12V C －PBD ＝12×13×S △PBD ×CB ＝12×13×811×6＝811，即四面体P ABC 的体积为811. 答案 (1)C (2)811 811探究提高 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【拓展练习2】 (1)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.πB.3π4C.π2D.π4(2)(2020·东北三校一联)如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，ED ＝2FC ＝2，则四面体ABEF 的体积为( )A.13B.23C.1D.43解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12.∴底面圆半径r ＝AM ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4.(2)∵ED ⊥平面ABCD 且AD ⊂平面ABCD ， ∴ED ⊥AD .∵在正方形ABCD 中，AD ⊥DC ，而DC ∩ED ＝D ， ∴AD ⊥平面CDEF .易知FC ＝ED2＝1，V A －BEF ＝V ABCDEF －V F －ABCD －V A －DEF .∵V E －ABCD ＝ED ×S 正方形ABCD ×13＝2×2×2×13＝83，V B －EFC ＝BC ×S △EFC ×13 ＝2×2×1×12×13＝23，∴V ABCDEF ＝83＋23＝103.又V F －ABCD ＝FC ×S 正方形ABCD ×13＝1×2×2×13＝43， V A －DEF ＝AD ×S △DEF ×13＝2×2×2×12×13＝43，V A －BEF ＝103－43－43＝23.故选B. 答案 (1)B (2)B考向三 多面体与球的切、接问题【典例3】 (1)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4πB.9π2C.6πD.32π3(2)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥P －ABCD 为阳马，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝3，BC ＝AB ＝4，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则R ＝________；内切球的体积V ＝________.解析 (1)由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r . 则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2. ∴2r ＝4＞3不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大. 由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π.(2)在四棱锥P －ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体，则(2R )2＝AB 2＋AD 2＋AP 2＝16＋16＋9＝41， 因此R ＝412.依题意Rt △P AB ≌Rt △P AD ，则内切球O 在侧面P AD 内的正视图是△P AD 的内切圆，故内切球的半径r ＝12(3＋4－5)＝1，则V ＝43πr 3＝43π. 答案 (1)B (2)412 43π探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P ，A ，B ，C 且P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【拓展练习3】 (1)(2020·太原模拟)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝1，点D 为侧棱BB 1上的动点.若△ADC 1周长的最小值为3＋5，则三棱锥C 1－ABC 的外接球的体积为( )A.2πB.32π C.5π2D.3π(2)(2020·烟台诊断)已知点A，B，C在半径为2的球面上，满足AB＝AC＝1，BC ＝3，若S是球面上任意一点，则三棱锥S－ABC体积的最大值为________. 解析(1)将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开在同一平面内，示意图如图所示，易知当D为侧棱BB1的中点时，△ADC1的周长最小，此时设BD＝x(x＞0)，则21＋x2＋2＋4x2＝3＋5，解得x＝12，所以CC1＝1，AC1＝ 3.又三棱锥C1－ABC的外接球的球心为AC1的中点，所以外接球的半径R＝32，于是三棱锥C1－ABC的外接球的体积为V＝43πR3＝43π×⎝⎛⎭⎪⎫323＝32π.(2)设球心为O，△ABC的外心为D，则OD⊥平面ABC.在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝12＋12－（3）22×1×1＝－12，则sin A＝32.所以S△ABC＝12AB·AC sin A＝12×1×1×32＝34，且△ABC的外接圆半径DA＝BC2sin A＝32×32＝1.因此在Rt△OAD中，OD＝OA2－DA2＝22－12＝ 3.当三棱锥S－ABC的高最大时，三棱锥S－ABC的体积取最大值，而三棱锥S－ABC的高的最大值为3＋2，所以三棱锥S－ABC的体积的最大值为13×34×(3＋2)＝3＋2312.答案(1)B(2)3＋2312【专题拓展练习】1．三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，4ABC π∠=，2AC =，则三棱锥P ABC-外接球表面积的最小值是（ ） A ．8π B ．4πC ．2πD ．π【答案】B 【详解】设底面ABC 外接圆圆心为1O ，半径为r ， 则22sin ACr ABC==∠，即1r =.设三棱锥P ABC -高为h ，球的半径为R .由PA PB PC ==，得球心O 在1PO 上，且222()R h R r -+=，则11112122R h h h h⎛⎫=+≥⋅⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1h =时等号成立， 此时外接球表面积最小，则min 4S π=.故选：B2．已知菱形ABCD 360BAD ∠=︒，将ABD △沿BD 折起，使A ，C 两点的3A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．92πC ．6πD ．152π【答案】B由已知得BAD 为等边三角形，∴对角线3BD AB BC CD DA =====,将ABD △沿BD 折起，使A ，C 两点的距离为3，∴折起后三棱锥A BCD -为正四面体，各棱长都是3，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，设正方体的棱长为a ,则正方体的面对角线为323,2a a =∴=，所以正方体的体对角线为322a R ==,其中R 为正方体的外接球半径，由于正方体的外接球就是正四面体ABCD 的外接球，∴正四面体ABCD 的外接球表面积为24R π=92π,3．三棱柱111ABC A B C -中，棱1AB AC AA 、、两两垂直，12AA =，底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8 B ．10πC ．12πD ．π【答案】C 【详解】底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱111ABC A B C -可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为：22222232++=，所以球O 的表面积为243)12ππ=， 故选：C ．.4．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V ，该几何体所有棱的棱长之和为L ，则A ．8,14253V L ==+ B ．8,1425V L ==+ C ．8,16253V L ==+D ．8,1625VL ==+【答案】A 【详解】在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，E 分别为11,B C BC 的中点，该几何体为四棱锥P ABCD -，且PE ⊥平面ABCD ． 由三视图可知2AB =，则5,3PCPB PD PA ====，则21825681425,2233L V =++=+=⨯⨯=． 故选：A.5．用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为83π，则球的表面积为（ ）A ．16πB ．32πC ．36πD ．48π【答案】C 【详解】设球的半径为R ，圆锥的底面半径为r ，因为球心到截面的距离为1， 所以有：221r R =-， 则题中圆锥体积()2181133V R ππ=⨯⨯-=，解得3R =，故球的表面积为2436R ππ=. 故选：C6．一个体积为243的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面）的三视图如图所示，则侧视图的面积为（ ）A ．63B ．8C ．123D ．12【答案】C 【详解】侧视图的宽为23即为俯视图的高， ∴底面正三角形的边长为234sin 60=︒，设三棱柱的高h ， 体积为1243=42362h h ⨯⨯⇒= ∴侧视图的面积为：236123S ==,故选：C.7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AP =，22AB =4AC =，45BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积是（ ） A ．14π B ．16πC ．18πD ．20π【答案】D 【详解】在BAC 中，45BAC ∠=︒，22AB =4AC =， 由余弦定理可得22222cos 81624222242BC AB AC AB AC π=+-⋅=+-⨯⨯=，则222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥， 由PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ， 所以BC PB ⊥，所以PBC 为直角三角形， 又PAC △为直角三角形，所以PC 是外接球直径，O 是PC 的中点，即为球心， 又22,2AB BC PA ===，所以()()2222222225PC =++=5所以球O 的体积245)20V ππ=⨯=. 故选：D.8．已知长方体的两个底面是边长为1的正方形，长方体的一条体对角线与底面成45角，则此长方体的外接球表面积为（ ） A ．4π B ．6πC ．12πD ．24π【答案】A 【详解】记该长方体为1111ABCD A B C D -，1BD 为该长方体的一条体对角线，其与底面所成角为45，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，侧棱1DD ⊥底面ABCD ， 则1D BD ∠为1BD 与底面所成角，即145D BD ∠=， 因为长方体的两个底面是边长为1的正方形，所以222BD AD AB =+=，则12DD BD ==，所以1222BD =+=， 又长方体的外接球直径等于其体对角线的长， 即该长方体外接球的直径为12222R BD ==+=， 所以此长方体的外接球表面积为244S R ππ==. 故选：A.9．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）A ．2B ．1C ．高D ．考【答案】C 【详解】解：将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”， 故选:C .10．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为43，则正方体外接球的体积为（ ） A ．43π B ．6πC ．323πD ．86π【答案】B 【详解】解：设正方体的棱长为a ，则1111112B D AC AB AD B C D C a ======， 由于三棱锥11A B CD -的表面积为43， 所以()12133442242AB CS Sa==⨯⨯=所以2a =()()()2222226++=，所以正方体的外接球的体积为3466 3ππ⎛⎫=⎪⎪⎝⎭11．已知三棱锥P ABC-，3BACπ∠=，3BC=，PA⊥平面ABC且23PA=，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．163πB．43πC．16πD．323π【答案】D【详解】如图，设球心为O，三角形ABC外接圆心为1O，PA⊥平面ABC，∴1132OO PA==，设球半径为R，圆1O的半径为r，则在三角形ABC中，由正弦定理可得322sin3BCrBAC===∠，即1r=，在直角三角形1AOO中，22211OO AO OA+=，即()2223r R+=，解得2R=，则外接球的体积为343233Rππ=.故选：D.12．已知正三棱柱111ABC A B C-的各棱长均为2，底面ABC与底面111A B C的中心分别为O、1O，P是1OO上一动点，记三棱锥P ABC-与三棱锥111P A B C-的体积分别为1V、2V，则12V V⋅的最大值为（）A ．13B ．3 C ．23 D ．23【答案】A 【详解】∵正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2， ∴111122sin 6032ABC A B C S S ∆∆==⨯⨯⨯=，且12OO =， ∴11112111111123()3333ABC A B C ABC ABC V V S OP S O P S OP O P S OO ∆∆∆∆+=⋅+⋅=⋅+=⋅=， 由1212232V V V V ⋅≤+=得：1213V V ⋅≤，当且仅当点P 为1OO 的中点时等号成立，∴12V V ⋅的最大值为13， 故选：A.13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A ．1B ．2C 6D ．23【答案】D 【详解】借助于边长为2的正方体画出该三棱锥，如图所示，11212ABD BDC S S ==⨯⨯=△△ ,ABC 是边长为22的等边三角形，()2322234ABC S =⨯=△,ACD △是等腰三角形，腰长为5，底边长为22， ()()221225262ACD S =⨯⨯-=△∴该几何体的各个面中最大面的面积为23. 故选:D.14．日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为12cm ，矩形的宽和正方形的边长均为8cm .若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为V 3cm ，则V 的最大值为（ ）A ．6423π B ．3223π C ．32π D ．2563π 【答案】A 【详解】根据题意作出礼盒的直观图如下图所示：由图可知该几何体为直三棱柱，设等腰三角形的内切圆半径为R ，又因为等腰三角形的高为2212482-=， 所以根据等面积法可知：121288822R ++⨯⋅=，所以22R =， 又因为正方形的边长为8，所以82242R =<=， 所以球形硬糖的半径最大值为22，所以体积V 的最大值为()3464222=3ππ，故选：A.15．如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB ､PD 于点E ､F (可与端点重合)，则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围是（ ）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【详解】 设,PE PFx y PB PD==,则,PE xPB PF yPD == 所以412,323P AEF P ABD P MEF P BCD V xy V xy V xyV xy ----=⋅===， 1212,2323P AFM P ACD P AEM P ABC V y V y V x V x ----=⋅==⋅=， ()223P AEMF P AEF P EMF P AFM P AEM V V V V V xy x y -----=+=+==+， 所以3x y xy +=，则331yx y =-， 令31y t -=，因为1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()221311412,319992t y t y tt +⎛⎫⎡⎤==++∈ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦， 所以2238,13319P AEMF y V y -⎡⎤=⋅∈⎢⎥-⎣⎦，。
空间几何体的三视图直观图体积与表面积ppt
圆锥的表面积
圆锥表面积圆锥的表面积等于其侧面面积加上底面面积之 和。
圆锥表面积圆锥有一个侧面和一个底面，这两个面的面积 分别为侧面积和底面积。因此，计算表面积时只需将这两 个面的面积相加即可。
06
三视图与体积表面积的关系 及应用
三视图与体积表面积的关系
投影原理
三视图是空间几何体在三个不同方向的投影，它 能够反映几何体的形状、大小以及相对位置。
构成要素
空间几何体由面、棱、顶点等构成，这些要素的不同组合方 式形成了各种不同的空间几何体。
空间几何体的分类
多面体
多面体是指由多个平面组成的几 何体，其中每个面都是一个平面 多边形。
旋转体
旋转体是指由一Байду номын сангаас平面图形围绕 其所在平面上的一条直线旋转而 成的几何体。
棱柱与棱锥
棱柱与棱锥是指由面和棱构成的 几何体，其中棱柱是指两个平行 的底面之间的距离相等的几何体 ，而棱锥是指有一个顶点，且底 面是多边形或有多个共顶点的多 边形的几何体。
空间几何体的性质
1 2
空间几何体的体积与表面积
对于一些规则的空间几何体，可以通过计算其 体积和表面积来了解其性质。
空间几何体的对称性
一些空间几何体具有对称性，可以通过对其对 称性进行分析来了解其性质。
3
空间几何体的稳定性
一些空间几何体具有稳定性，即在其受到外部 力的作用下不易发生变形或损坏。
02
长方体的表面积
长方体表面积长方体的表面积等于其六个面的面积之和。
长方体表面积长方体有6个面，其中每两个对面的面积相等。因此，计算表面积 时只需将每对相对面的面积相加再求和即可。
圆柱的表面积
圆柱表面积圆柱的表面积等于其侧面面积加上两个底面面积 之和。
高考微点八 空间几何体的三视图、表面积与体积
高考微点八空间几何体的三视图、表面积与体积牢记概念公式，避免卡壳空间几何体的表面积与体积公式几何体名称表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球4πR243πR31.画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.2.长方体的对角线与共点三条棱之间的长度关系为d2＝a2＋b2＋c2；长方体外接球半径为R时，有(2R)2＝a2＋b2＋c2.3.棱长为a的正四面体内切球半径r＝612a，外接球半径R＝64a.高效微点训练，完美升级1.(2019·临沂模拟)某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥.答案 A2.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(注：1丈＝10尺，1尺＝10寸，1斛≈1.62立方尺，圆周率取3)，则圆柱底面圆周长约为()A.1丈3尺B.5丈4尺C.9丈2尺D.48丈6尺解析由题意，圆柱形谷仓的高h＝10＋3＋110×⎝⎛⎭⎪⎫3＋13＝403(尺)，体积V≈2000×1.62＝3 240(立方尺).设圆柱的底面半径为R尺，由体积公式得πR2×403≈3240，得3R2×403≈3 240，解得R2≈81，故R≈9，所以底面圆周长C＝2πR≈2×3×9＝54(尺)，即5丈4尺.答案 B3.如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为()A.2B.2 3C.43 D.83解析多面体ABCDE为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V＝4－43＝83.答案 D4.若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为( ) A.2∶2 B.3∶2 C.5∶2D.3∶2解析 设圆锥底面半径为r ，高为h ，则球的半径R ＝r2， 由条件知，13πr 2h ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 23，所以h ＝r2.所以圆锥的侧面积S 1＝πr ·h 2＋r 2＝πrr 24＋r 2＝52πr 2，球面面积S 2＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝πr 2，所以S 1∶S 2＝5∶2. 答案 C5.(2019·衡水中学调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.6B.4C.223D.203解析 由三视图知该几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱(如图)，且挖去的三棱柱的高为1，底面是边长为2的等腰直角三角形，故几何体体积V ＝23－12×2×2×1＝6.答案 A6.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( ) A.2＋ 2 B.1＋22C.2＋22D.1＋ 2解析 恢复后的原图形为一直角梯形， 所以S ＝12(1＋2＋1)×2＝2＋ 2. 答案 A7.如图所示，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，若V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是( )A.4πB.8πC.12πD.16π解析 由OP ＝OC ＝R ，AB ＝2R ，得13AB 2·OP ＝13×(2R )2×R ＝163，所以R ＝2. ∴S 球＝4πR 2＝16π. 答案 D8.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P－ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3.答案 C9.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A.πB.3π4C.π2 D.π4解析如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝12.∴底面圆半径r＝AM＝OA2－OM2＝32，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·⎝⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4.答案 B10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为( )A.41B.34C.5D.3 2解析 由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥P －ABCD .其中P A ⊥底面ABCD ，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为3的正方形，高P A ＝4. 连接AC ，易知最长的棱为PC ，且PC ＝P A 2＋AC 2＝42＋32＋32＝34.答案 B11.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.解析 设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 答案712.正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________.解析 由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E ，F 分别是AD ，BC的中点，连接AO ，易得AO ＝2，又P A ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2. 答案 2＋2 213.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)为________.解析 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V ＝12×(1＋2)×2×2＝6. 答案 614.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，E 为AB 的中点，则三棱锥P －BCE 的体积为________. 解析 由题意知S △EBC ＝12×2×1×sin 120°＝32，故V P －EBC ＝13×2×32＝33. 答案 3315.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________.解析 由三视图可得该几何体为圆柱和四分之一球的组合体.圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1.故该几何体的表面积为S ＝π×12＋2π×1×3＋4π×12×14＋12π×12＋12π×12＝9π. 答案 9π16.三棱锥P －ABC 的三条侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝2，PB ＝1，PC ＝3，则该三棱锥的外接球的体积是________.解析 三棱锥P －ABC 的三条侧棱P A ，PB ，PC 两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长为2＋1＋3＝6，所以球的直径是6，半径为62.球的体积为V ＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π.答案6π。
第9讲 空间几何体的三视图、表面积与体积(可编辑PPT)
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1.(2016课标全国Ⅰ,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相 高考导航 等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是
28 ,则它的表面积是 ( 3
)
A.17π B.18π C.20π D.28π
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答案
A
由三视图可知,该几何体是一个球被截去 后剩下
3 ,则正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积 一个侧面的周长为6
3 3 4
为 (
A.4π
)
B.8π C.16π D.32π
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答案
C
3 2 3 3 如图所示,设底面边长为a,则底面面积为 a = . 4 4
高考导航 3 .又一个侧面的周长为6 3 ,所以AA1=2 3 .设E,D分别为 所以a=
特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问 题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内
接、外切的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(或
直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.
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1.(2018福建福州质检)已知正三棱柱ABC-A1B1C1高考导航 的底面积为 ,
1
15 8
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▲疑难突破 利用底面半径与母线的关系,以及△SAB的面积值
求出底面半径是解题的突破口.
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命题角度二 空间几何体的体积 例2 (1)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 3 ,D
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为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为 ( A.3
空间几何体的体积与表面积、三视图
空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1．空间几何体的结构特征2(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy .画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段；(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视图、左视图、俯视图． 4．柱、锥、台和球的表面积和体积题型一 空间几何体的结构特征 例1 (1)下列说法正确的是( )A ．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C ．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (2)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°题型二 空间几何体的三视图和直观图例2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )(2)正三角形AOB 的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则 它的直观图的面积是________．(1)(2013·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于 ( )A ．1B. 2C.2－12D.2＋12(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形题型三 空间几何体的表面积与体积例3 (1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为( )A.2π3＋12 B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12(2012·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为 ( )A.26B.36C.23 D.22转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为3的等边三角形，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC′的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥C—MNP的体积．1.【2017课标II ，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90π B.63π C.42π D.36π2.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）103.【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+4.【2016高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）5.【2015北京文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A ．BCD ．6.【2015新课标2文6】 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6 1D.57. (2014课标全国Ⅰ，文8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )．A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱 8.【2015高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A ）1+ （B ）1+ （C ）2+ （D ）9.【2014湖北卷7】在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 10.【2015高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）(A) 123π+ (B)136π(C) 73π (D) 52π11.【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ． 3cmB ．123cm C ．3233cm D ．4033cm12.【2016高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）12+π33 （B）1+π33 （C）1+π36（D）1+π613. 【2014四川，文4】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh，其中S 为底面面积，为高） A 、 B 、 CD 、侧视图俯视图1122221114. 2016高考新课标Ⅲ文数]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+ （B ）54+ （C ）90 （D ）8115.【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）A 、89πB 、827πC 、21)πD 、21)π16.【2016高考新课标1文数】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是（ ）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π17.【2015高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A ．BCD ．。
空间几何体的三视图、表面积与体积
名师解答 如图，三棱锥 S－ABC、M－ABC 内接于球 O， 右侧为该球过 SA 和球心的截面． 设 SM∩平面 ABC＝P， 则点 P 为三角形 ABC 的重心， 且点 P 在 AD 上，SM＝2R，AB＝a，
3 3 3 所以 AD＝ a，PA＝ a，PD＝ a， 2 3 6
SP MP ＋ tanα＋tanβ PD PD 因此 tan(α＋β)＝ ＝ SP MP 1－tanαtanβ 1－ · PD PD 3 a· 2R 6 PD· SM PD· SM 4 3 ＝ 2 ＝ ＝ 2 R. 2 ＝－ 3a PD －SP· MP PD2－PA2 a a － 12 3
又 SA∩AB＝A，∴BC⊥平面 SAB，BC⊥SB， 1 AE＝ SC＝BE， 2 ∴点 E 是三棱锥 S－ABC 的外接球的球心，即点 E 与点 O 重合， 1 1 OA＝ SC＝ SA2＋AC2＝2，故球 O 的表面积为 4π×OA2＝16π. 2 2
例 2 如图 1，在棱长为 6 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分 别在 C1D1 与 C1B1 上，且 C1E＝4，C1F＝3，连接 EF，FB，DE，则 几何体 EFC1－DBC 的体积为( ) A．66 B．68 C．70 D．72
一级整合 常考题型 类型一 空间几何体的三视图 例 1 (1)(2014· 江西卷)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视 图中正确的是( )
解析 (1)根据三视图的概念， 直接观察求解即可． 该几何体是组合体， 上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面 即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左 右两边距离相等，因此选 B.
(2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)； 1 ②V 锥体＝ Sh(S 为底面面积，h 为高)； 3 1 ③V 台＝ (S＋ SS′＋S′)h(不要求记忆)； 3 4 3 ④V 球＝ πR . 3 二级排查 易错易混 1.未注意三视图中实、虚线的区别 在画三视图时应注意看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚 线． 2．不能准确还原几何体致误 对由三视图还原几何体问题，要注意还原时一定要准确． 3．不能准确分析组合体的结构致误 对简单组合体表面积与体积的计算要注意其构成几何体的面积、体积 是和还是差.
§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积
第八章立体几何【真题典例】§8.1空间几何体的三视图、表面积和体积挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点空间几何体的结构及其三视图和直观图①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;②能画出简单空间图形的三视图,能识别三视图所表示的立体模型;会用斜二测画法画出简单几何体的直观图;③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图和直观图,了解空间图形的不同表示形式2018课标全国Ⅰ,9,5分空间几何体的三视图空间几何体的结构特征及空间几何体表面最短路径问题★★★2018课标全国Ⅲ,3,5分空间几何体的三视图数学文化及空间几何体的俯视图空间几何体的表面积通过对柱、锥、台、球的研究,掌握柱、锥、台、球的表面积的求法2018课标全国Ⅰ,5,5分圆柱的表面积圆柱的轴截面★★★2017课标全国Ⅰ,16,5分三棱锥外接球的表面积面面垂直的性质定理及三棱锥的体积2016课标全国Ⅰ,7,5分球的表面积空间几何体的三视图2015课标Ⅰ,11,5分组合体的表面积空间几何体的三视图空间几何体的体积①理解柱、锥、台体的体积概念;②能运用公式求解柱、锥、台、球的体积,并且熟悉台体、柱体与锥体之间的转换关系2018课标全国Ⅰ,10,5分长方体的体积直线与平面所成角★★★2017课标全国Ⅱ,6,5分不规则几何体的体积空间几何体的三视图2015课标Ⅰ,6,5分空间几何体的体积数学文化,圆锥的体积公式分析解读 1.理解柱、锥、台、球的概念,牢记它们的几何特征及形成过程.正确把握轴截面、中截面的含义及空间问题转化为平面问题的方法.2.理解三视图的形成过程及掌握三视图与直观图的画法.3.理解柱、锥、台、球的表面积和体积的概念,掌握其表面积和体积公式.4.高考对本节内容的考查主要以几何体的三视图为背景考查几何体的表面积和体积,分值约为5分,属于中档题.破考点【考点集训】考点一空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2018辽宁六校协作体12月联考,6)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,∠ACB=90°,AB=√2,PA=BC=1,则此几何体的左视图的面积是()A.14B.1 C.√32D.12答案D2.(2015北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1B.√2C.√3D.2答案C3.某几何体的主视图和左视图如图1,它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1,如图2,其中O1A1=6,O1C1=2,则该几何体的侧面积为()A.48B.64C.96D.128答案C考点二空间几何体的表面积1.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12πB.32π C.8π D.4π3答案A2.(2018湖北八校12月联考,8)已知一几何体的三视图如图所示,它的侧视图与正视图相同,则该几何体的表面积为()A.16+12πB.32+12πC.24+12πD.32+20π答案A3.(2017河北衡水中学周测卷(十六),2)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.48B.32+8√17C.48+8√17D.80答案C考点三空间几何体的体积1.(2019届湖北武汉重点中学9月联考,9)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为√2,则此球的体积为()A.4√3πB.6√3πC.√6πD.4√6π答案A2.(2017浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.π2+1 B.π2+3 C.3π2+1 D.3π2+3答案A3.(2018吉林长春质检,8)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为()A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈答案B炼技法【方法集训】方法1空间几何体表面积的求解方法1.(2016课标全国Ⅱ,7,5分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π答案C2.(2018安徽皖南八校二联,8)榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.我国的北京紫禁城,山西悬空寺,福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.图中网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图,则其体积与表面积分别为()A.24+52π,34+52πB.24+52π,36+54πC.24+54π,36+54πD.24+54π,34+52π答案C3.(2018福建六校12月联考,11)如图是某几何体的三视图,正视图是等边三角形,侧视图和俯视图为直角三角形,则该几何体的表面积为()A.4√3B.4+√3C.3+√3D.4+√5答案B4.(2019届广东韶关一调,15)若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,则圆锥侧面积与球面面积之比为.答案√5∶2方法2空间几何体体积的求解方法1.(2017北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.60B.30C.20D.10答案D2.(2019届湖南长沙长郡中学9月月考,8)若某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为()A.4B.6C.8D.10答案B3.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案43方法3与球有关的切、接问题的求解方法1.(2018云南民族大学附中月考,8)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,若某“阳马”的三视图如图所示(单位:cm),则该阳马的外接球的体积为()A.100π cm3B.5003π cm3 C.400π cm3 D.4 0003π cm3答案B2.(2019届安徽皖中入学摸底考试,10)将半径为3,圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计),则该圆锥的内切球的体积为()A.√2π3B.√3π3C.4π3D.2π答案A3.(2016课标全国Ⅲ,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4πB.9π2C.6π D.32π3答案B4.(2017天津,11,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.答案92π过专题A组统一命题·课标卷题组考点一空间几何体的结构及其三视图和直视图1.(2018课标全国Ⅰ,9,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2√17B.2√5C.3D.2答案B2.(2018课标全国Ⅲ,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A考点二空间几何体的表面积1.(2018课标全国Ⅰ,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.12√2πB.12πC.8√2πD.10π答案B2.(2016课标全国Ⅰ,7,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π答案A3.(2016课标全国Ⅲ,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36√5B.54+18√5C.90D.81答案B4.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.8答案B5.(2017课标全国Ⅱ,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案14π6.(2017课标全国Ⅰ,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案36π考点三空间几何体的体积1.(2018课标全国Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为()A.8B.6√2C.8√2D.8√3答案C2.(2017课标全国Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π答案B3.(2017课标全国Ⅲ,9,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.3π4C.π2D.π4答案B4.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B5.(2018课标全国Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.答案8π6.(2017课标全国Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面积为2√7,求四棱锥P-ABCD的体积.解析(1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=12AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD ∩平面ABCD=AD,所以PM ⊥AD,PM ⊥底面ABCD. 因为CM ⊂底面ABCD, 所以PM ⊥CM.设BC=x,则CM=x,CD=√2x,PM=√3x,PC=PD=2x. 取CD 的中点N,连接PN, 则PN ⊥CD,所以PN=√142x.因为△PCD 的面积为2√7, 所以12×√2x×√142x=2√7,解得x=-2(舍去)或x=2. 于是AB=BC=2,AD=4,PM=2√3. 所以四棱锥P-ABCD 的体积V=13×2×(2+4)2×2√3=4√3. 7.(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置. (1)证明:AC ⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=2√2,求五棱锥D'-ABCFE 的体积.解析 (1)证明:由已知得AC ⊥BD,AD=CD. 又由AE=CF 得AE AD =CF CD,故AC ∥EF.(2分)由此得EF ⊥HD,EF ⊥HD',所以AC ⊥HD'.(4分) (2)由EF ∥AC 得OH DO =AE AD =14.(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=√AB 2-AO 2=4. 所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH 2=(2√2)2+12=9=D'H 2,故OD'⊥OH.由(1)知AC ⊥HD',又AC ⊥BD,BD ∩HD'=H,所以AC ⊥平面BHD',因为OD'⊂平面BHD',所以AC ⊥OD'. 又由OD'⊥OH,AC ∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.(8分) 又由EF AC =DHDO得EF=92.五边形ABCFE 的面积S=12×6×8-12×92×3=694.(10分) 所以五棱锥D'-ABCFE 的体积V=13×694×2√2=23√22.(12分)B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2018北京,6,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C2.(2014湖北,7,5分)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②答案D3.(2014北京,11,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为.答案2√2考点二空间几何体的表面积1.(2015福建,9,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()A.8+2√2B.11+2√2C.14+2√2D.15答案B2.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案D3.(2016浙江,9,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.答案80;40考点三空间几何体的体积1.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案C2.(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A.13+23π B.13+√23π C.13+√26π D.1+√26π答案 C3.(2017山东,13,5分)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .答案 2+π24.(2016北京,11,5分)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为 .答案 32C组教师专用题组考点一空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2016天津,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()答案B2.(2014课标Ⅰ,8,5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱答案B3.(2014湖南,8,5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4答案B考点二空间几何体的表面积1.(2015安徽,9,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+√3B.1+2√2C.2+√3D.2√2答案C2.(2014大纲全国,10,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.81π4B.16π C.9π D.27π4答案A3.(2015课标Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π答案C4.(2013课标Ⅰ,15,5分)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为.答案9π25.(2013课标Ⅱ,15,5分)已知正四棱锥O-ABCD的体积为3√22,底面边长为√3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.答案24π考点三空间几何体的体积1.(2015课标Ⅱ,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15答案D2.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()A.8 cm 3B.12 cm 3C.323cm 3 D.403cm 3答案 C3.(2015山东,9,5分)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2√2π3 B.4√2π3C.2√2πD.4√2π答案 B4.(2015重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.13+2π B.13π6C.7π3D.5π2答案 B5.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积原工件的体积( )A.89πB.827πC.24(√2-1)3πD.8(√2-1)3π答案 A6.(2014课标Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13答案C7.(2014湖北,10,5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.227B.258C.15750D.355113答案B8.(2014辽宁,7,5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8-π4B.8-π2C.8-πD.8-2π答案C9.(2014四川,4,5分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是()锥体体积公式:V=13Sh,其中S为底面面积,h为高A.3B.2C.√3D.1答案D10.(2014浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()A.72 cm3B.90 cm3C.108 cm3D.138 cm3答案B11.(2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.12B.18C.24D.30答案C12.(2013课标Ⅰ,11,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π答案A13.(2012课标全国,7,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.6B.9C.12D.18答案B14.(2012课标全国,8,5分)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为√2,则此球的体积为()A.√6πB.4√3πC.4√6πD.6√3π答案B15.(2010全国Ⅰ,12,5分)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为()A.2√33B.4√33C.2√3D.8√33答案B16.(2016四川,12,5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案√3317.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案8π318.(2014天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案20π319.(2011课标,16,5分)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的3,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.16答案1320.(2015课标Ⅱ,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解析(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM ⊥AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EB 1=12,EM=AA 1=8. 因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=√EH 2-EM 2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为97(79也正确).21.(2015安徽,19,13分)如图,三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱锥P-ABC 的体积;(2)证明:在线段PC 上存在点M,使得AC ⊥BM,并求PMMC的值.解析 (1)由题设AB=1,AC=2,∠BAC=60°, 可得S △ABC =12·AB ·AC ·sin 60°=√32.由PA ⊥平面ABC,可知PA 是三棱锥P-ABC 的高,又PA=1, 所以三棱锥P-ABC 的体积 V=13·S △ABC ·PA=√36.(2)证明:在平面ABC 内,过点B 作BN ⊥AC,垂足为N.在平面PAC 内,过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M,连接BM.由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC,所以MN ⊥AC.由于BN ∩MN=N,故AC ⊥平面MBN.又BM ⊂平面MBN,所以AC ⊥BM. 在直角△BAN 中,AN=AB ·cos ∠BAC=12,从而NC=AC-AN=32.由MN ∥PA,得PM MC =AN NC =13.22.(2014广东,18,13分)如图1,四边形ABCD 为矩形,PD ⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2折叠:折痕EF ∥DC,其中点E,F 分别在线段PD,PC 上,沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M,并且MF ⊥CF. (1)证明:CF ⊥平面MDF; (2)求三棱锥M-CDE 的体积.解析 (1)证明:∵PD⊥平面ABCD, AD ⊂平面ABCD,∴PD⊥AD.∵四边形ABCD 是矩形,∴AD⊥DC. 又∵PD∩DC=D, ∴AD⊥平面PCD.∵CF ⊂平面PCD, ∴AD⊥CF.又∵MF⊥CF,MF ∩AD=M, ∴CF⊥平面MDF.(2)由(1)知CF ⊥DF,PD ⊥DC,在△PCD 中,DC 2=CF ·PC. ∴CF=CD 2PC =12. 又∵EF∥DC,∴PC PD =FC ED ⇒ED=PD ·FC PC =√3×122=√34. ∴PE=ME=√3-√34=3√34,∴S △CDE =12DC ·ED=12×1×√34=√38.在Rt △MDE 中,MD=√ME 2-ED 2=√62,∴V M-CDE =13S △CDE ·MD=13×√38×√62=√216.23.(2014福建,19,12分)如图,三棱锥A-BCD 中,AB ⊥平面BCD,CD ⊥BD. (1)求证:CD ⊥平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M 为AD 中点,求三棱锥A-MBC 的体积.解析 (1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD ⊂平面BCD,∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BD,AB ∩BD=B,AB ⊂平面ABD,BD ⊂平面ABD,∴CD⊥平面ABD. (2)解法一:由AB ⊥平面BCD,得AB ⊥BD. ∵AB=BD=1,∴S △ABD =12.∵M 是AD 的中点,∴S △ABM =12S △ABD =14. 由(1)知,CD ⊥平面ABD, ∴三棱锥C-ABM 的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC 的体积V A-MBC =V C-ABM =13S △ABM ·h=112.解法二:由AB ⊥平面BCD 知,平面ABD ⊥平面BCD,又平面ABD ∩平面BCD=BD,如图,过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N, 则MN ⊥平面BCD,且MN=12AB=12, 又CD ⊥BD,BD=CD=1, ∴S △BCD =12.∴三棱锥A-MBC 的体积V A-MBC =V A-BCD -V M-BCD =13AB ·S △BCD -13MN ·S △BCD =112.24.(2014江西,19,12分)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥BC,A 1B ⊥BB 1. (1)求证:A 1C ⊥CC 1;(2)若AB=2,AC=√3,BC=√7,问AA 1为何值时,三棱柱ABC-A 1B 1C 1体积最大?并求此最大值.解析 (1)证明:由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC, 又BB 1⊥A 1B,故BB 1⊥平面BCA 1,则BB 1⊥A 1C, 又BB 1∥CC 1, 所以A 1C ⊥CC 1.(2)解法一:设AA 1=x,在Rt △A 1BB 1中,A 1B=√A 1B 12-BB 12=√4-x 2. 同理,A 1C=√A 1C 12-CC 12=√3-x 2.在△A 1BC 中,cos ∠BA 1C=A 1B 2+A 1C 2-BC 22A 1B ·A 1C=-x 2(4-x )(3-x ),所以sin ∠BA 1C=√12-7x 2(4-x 2)(3-x 2),所以S △A 1BC =12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C=√12-7x 22.从而三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=S △A 1BC ·AA 1=x √12-7x 22. 因为x √12-7x 2=√12x 2-7x 4=√-7(x 2-67)2+367,故当x=√67=√427,即AA 1=√427时,体积V 取到最大值3√77. 解法二:过A 1作BC 的垂线,垂足为D,连接AD.由于AA 1⊥BC,A 1D ⊥BC, 故BC ⊥平面AA 1D,BC ⊥AD. 又∠BAC=90°,所以S △ABC =12AD ·BC=12AB ·AC,得AD=2√217. 设AA 1=x,在Rt △AA 1D 中,A 1D=√AD 2-AA 12=√127-x 2, S △A 1BC =12A 1D ·BC=√12-7x 22.从而三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=S △A 1BC ·AA 1=x √12-7x 22. 因为x √12-7x 2=√12x 2-7x 4=√-7(x 2-67)2+367, 故当x=√67=√427,即AA 1=√427时,体积V 取到最大值3√77.25.(2013课标Ⅱ,18,12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点. (1)证明:BC 1∥平面A 1CD;(2)设AA 1=AC=CB=2,AB=2√2,求三棱锥C-A 1DE 的体积.解析 (1)证明:连接AC 1交A 1C 于点F, 则F 为AC 1中点.由D 是AB 中点,连接DF,则BC 1∥DF. 因为DF ⊂平面A 1CD,BC 1⊄平面A 1CD, 所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以AA 1⊥CD.由已知AC=CB,D 为AB 的中点, 所以CD ⊥AB.又AA 1∩AB=A,于是CD ⊥平面ABB 1A 1. 由AA 1=AC=CB=2,AB=2√2得∠ACB=90°,CD=√2,A 1D=√6,DE=√3,A 1E=3, 故A 1D 2+DE 2=A 1E 2,即DE ⊥A 1D.所以V C -A 1DE =13×12×√6×√3×√2=1.【模拟】时间:45分钟 分值:65分一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2019届安徽芜湖11月调研,7)如图,一个直三棱柱容器中盛有水,且侧棱AA1=8.当侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,当底面ABC水平放置时,液面高为()A.7B.6C.4D.2答案B2.(2019届湖北孝感摸底测试,8)已知正四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形,点P在底面的投影为O,已知PO=1,该四棱锥的侧面积为4√2,则该四棱锥的体积为()A.8B.83C.4 D.43答案D3.(2019届河南联盟尖子生调研考试,7)已知某几何体的三视图如图所示,则在该几何体的所有顶点中任取两点,它们之间的距离不可能为()A.√6B.√3C.2D.√5答案C4.(2018广东佛山一模,9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.212B.15 C.332D.18答案C5.(2019届湖北武汉重点中学9月联考,11)已知四棱锥S-ABCD的三视图如图所示,则围成四棱锥S-ABCD的五个面中最大面的面积是()A.3B.6C.8D.10答案C6.(2019届河南信阳期中联考,10)我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究,从其中的一些数学用语可见,譬如“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”,即三棱柱ABC-A1B1C1,其中AC⊥BC,若AA1=AB=1,当“阳马”(四棱锥B-A1ACC1)体积最大时,“堑堵”(三棱柱ABC-A1B1C1)的表面积为()A.√2+1B.√3+1C.2√2+32D.√3+32答案C7.(2017河南天一12月联考,10)如图,在四面体PABC中,PA=PB=PC=4,点O是点P在平面ABC上的投影,且tan∠APO=√22,则四面体PABC的外接球的体积为()A.24πB.48πC.8√6πD.32√3π答案C8.(2018云南玉溪一中期中,11)已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上,且PA⊥平面ABC,若该三棱锥的体积为2√33,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则球的表面积等于()A.5πB.20πC.8πD.16π答案B9.(2019届湖北八校9月调研,10)某四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是()A.2B.4C.2+√5D.4+2√5答案C二、填空题(每小题5分,共20分)10.(2019届安徽皖中入学摸底考试,15)已知某三棱柱的三视图如图所示,那么该三棱柱的侧面中,最大侧面的面积为.答案√511.(2018陕西部分重点中学摸底检测,14)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,形成的三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为.答案1412.(2017福建四地六校联考,15)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切,已知这个球的体积为32π,则该正三棱柱3的体积为.答案48√313.(2019届陕西四校期中联考,16)直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,侧棱长等于底面三角形的斜边长,若其外接球的体积为32π,则该三棱柱体积的最大值为.3答案4√2。
三视图与表面积体积汇总
环球雅思学科教师辅导学案认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合1．(1)棱柱：选项的正视图应为如图所示的图形．本题主要考查空间想象能力，是近年高考中的热点题型．本题可用排除法一一验证：若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是())由三视图可知该几何体是一个斜四棱柱，高h＝22－1＝3，底面积为通过三视图考查几何体的体积运算是较为常规的考题，考生对此并不陌生．对于空间几何体的考查，从内容上看，柱、锥的定义和相关性质是基础，以它们为载体考查三视图、体积是重点．本题给出了几何体的三视图，长对正、高平齐，宽相等”，不难将其还原得到斜四棱柱．一个体积为20cm3的几何体的三视图，则由三视图可知，该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为＝13×12×，解得h ＝4cm.故填4 如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥．轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝图1，在z 轴上截取O ′使OO ′画出底面A ′B ′C ′D ′.PO ′等于三视图中相应的高度．B ′B ，C ′C ，D ′D ，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图则此四棱锥的体积为A. 2解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为长是3cm，求圆台的母线长．，截得圆台的上、下底面半径分别为r，4r用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解．，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面2x.作SO⊥EF于O，则在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系．中，连接A1B，BC正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方，球的半径为R)．的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a＝2R.对棱中点连线长为22a；，内切球的半径为612a；，体积为2 12a3.视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，对于能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化，注意原图与直观图中的下列说法中正确的是( A ．棱柱的底面一定是平行四边形A ．球的三视图总是三个全等的圆还原正方体知该几何体侧视图为正方形，AD 1为实线，B 1C 的正投影为A 1D 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积为________为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为32πcm 2，故填32π．，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为如图所示是实际图形和直观图．OC ＝34a ，在图中作C ′D ′⊥A ′B ′，垂足为D ′，C——空间几何体的表面积与体积了解棱柱、棱锥、台、球的表面积和体积的计算公式．会利用公式求一些简单几何体的表面积与体积．1．(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积10 环球雅思 的表面积． 边上的高， AD ⊥BD . 平面BDC . ⊥DA ， 2.，3＝3＋32.充分运用图形在翻折前后的不变性，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变等，再由面面垂直2的正方体，∴正方体的体对角线为球的直径＝22＋22＋22＝23， 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______．设球的一条半径与圆柱相应的母线的夹角为α，圆柱侧面积＝π4时，，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π.故填32根据球的性质，内接圆柱上、下底面中心连线的中点为球心，且圆柱的上、下底面圆周均在球面上，球心和圆柱的上、下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等，这些为我们建立圆柱的侧面积与上述夹角之间的函数关系一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为的长方体的中间挖去一个半径为38.类型三空间多面体的体积问题，求这个三棱锥的体积．解：如图所示为正三棱锥的中点，且AH⊥BC.，求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而等积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选，EF＝2，则该多面体的体积为2垂直于EF，垂足分别为分为三部分，即多面体的体积V ABCDEF＝V AMDDMEBN22.由三视图知几何体为一个正方体中间去掉一个圆锥，所以它的体积是根据已知三视图想象出该几何体的直观图，然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式进行计算．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为圆柱的侧面展开图是边长为A．A．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为____________．，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题角，下周八尺，高五尺。
第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积
答案:(2)118.8
︱高中总复习︱二轮·理数
方法技巧
(1)空间几何体的表面积是空间几何体暴露在外的所有面的面积之和,计 算时要正确区分空间几何体中哪些面暴露在外,哪些面成为空间几何体 内部的面; (2)体积计算的关键是求空间几何体的高,常常依靠面面垂直的性质定理, 即两个面垂直时,在一个面内垂直交线的直线垂直另一个平面; (3)常用割补法计算空间几何体的体积.
(A)4 3
(B)6
(C)2 5
(D)4
解析:(1)三视图还原成如图所示的几何体:三棱锥 S-ABC,则 SB=BC=4, SC=4 2 , AC=AB=2 5 , SA=6, 故选 B.
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此 几何体的各个面中是直角三角形的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:(2)三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD: 由正方体的性质得△ABC,△BCD,△ACD为直角三角形,△ABD为正三角形. 故选C.
︱高中总复习︱二轮·理数
热点二 空间几何体的表面积和体积 例2:(1)(2019·河北示范高中4月联考)若某几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积为( )
答案:(1) 10 11
3
︱高中总复习︱二轮·理数
(2)(2019·宁夏石嘴山三中数学能力测试)已知圆锥的顶点为 S,底面圆周上的两点 A,B 满足
△SAB 为等边三角形,且面积为 4 3 ,又知圆锥轴截面的面积为 8,则圆锥的表面积
题型专题(十三) 空间几何体的三视图、表面积及体积31张ppt
2．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三 个步骤 (1)根据给出的三视图判断该几何体的形状． (2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个 度量． (3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．
[即时应用]
1．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的 表面积是 ( )
A．90 cm2
[即时应用]
已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当 正棱柱的体积取最大值时，其高的值为 A．3 3 C．2 6 B. 3 D．2 3 ( )
2 h 解析：设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2＋ 4 2 h 3 2 2 ＝9，即a ＝9－ ，那么正六棱柱的体积V＝ 6× a ×h 4 4
4 32 解析：如图，设球的半径为R，由 πR3＝ π，得R＝2. 3 3 ∴正三棱柱的高h＝4. 设其底面边长为a， 1 3 则 · a＝2， 3 2 ∴a＝4 3， 3 ∴V＝ ×(4 3)2×4＝48 3. 4 答案：D
主要考查迁移思维、数学素养，多角度、 创造性地思考和解决问题的能力
立体几何与函数最值的交汇
近几年，关于立体几何的一些高考试题中，由简单的计 算问题逐步与最值问题交汇命题，强化了函数思想在立体几 何中的应用，加大了题目的难度.
[典例]
如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，
AD＝6，BC＝4，AB＝2，点E，F分别在BC，AD上，EF∥ AB.现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面 EFDC，连接CF.
解析：根据题意，三棱锥PBCD的正视图是三角形，且 底边为正四棱柱的底面边长，高为正四棱柱的高；侧视 图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长，高为正四 棱柱的高．故三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之 比为1∶1. 答案：A
空间几何体的三视图、表面积及体积
2022年高考数学总复习：空间几何体的三视图、表面积及体积1．柱体、锥体、台体、球的表面积与体积(1)空间几何体的三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高．三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面；侧(左)视图放在正(主)视图的右面．(2)空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．Y易错警示i cuo jing shi1．未注意三视图中实、虚线的区别在画三视图时应注意看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．2．不能准确分析组合体的结构致误对简单组合体表面积与体积的计算要注意其构成几何体的面积、体积是和还是差．3．台体可以看成是由锥体截得的，此时截面一定与底面平行．4．空间几何放置的方式不同时，对三视图可能会有影响．1．(2018·全国卷Ⅲ，3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( A )[解析]选A．由直观图可知选A．2．(文)(2018·全国卷Ⅰ，5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B ) A．122π B．12πC．82π D．10π[解析]截面面积为8，所以高h＝22，底面半径r＝2，所以该圆柱表面积S＝π·(2)2·2＋2π·2·22＝12π.(理)(2018·全国卷Ⅰ，7)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( B )A．217 B．25C．3 D．2[解析]选B．将三视图还原为圆柱，M，N的位置如图1所示，将侧面展开，最短路径为M，N连线的距离，所以MN＝42＋22＝2 5.3．(2018·浙江卷，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( C )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 选C ． 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面面积S ＝(1＋2)×22＝3，高h ＝2，所以V ＝Sh ＝6.4．(2018·北京卷，5)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 选C ．将四棱锥三视图转化为直观图，如图，侧面共有4个三角形，即△P AB ，△PBC ，△PCD ，△P AD ， 由已知，PD ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，同理PD ⊥CD ，PD ⊥AB ， 所以△PCD ，△P AD 是直角三角形．因为AB ⊥AD ，PD ⊥AB ，PD ，AD ⊂平面P AD ，PD ∩AD ＝D ， 所以AB ⊥平面P AD ，又P A ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥P A ，△P AB 是直角三角形． 因为AB ＝1，CD ＝2，AD ＝2，PD ＝2，所以P A ＝PD 2＋AD 2＝22，PC ＝PD 2＋CD 2＝22， PB ＝P A 2＋AB 2＝3，在梯形ABCD 中，易知BC ＝5，△PBC 三条边长为22，3，5，△PBC 不是直角三角形． 综上，侧面中直角三角形个数为3.5．(文)(2018·全国卷Ⅰ，10)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( C )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．83[解析]选C ．如图，连接AC 1和BC 1，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，AC 1与平面BB 1C 1C 所成角为30°，所以∠AC 1B ＝30°， 所以AB BC 1＝tan30°，BC 1＝23，所以CC 1＝22，所以V ＝2×2×22＝8 2.(理)(2018·全国卷Ⅲ，10)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为( B )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．543[解析] 设△ABC 的边长为a ，则S △ABC ＝12a 2sin C ＝34a 2＝93，解得a ＝6，如图所示，当点D 在底面上的射影为三角形ABC 的中心H 时，三棱锥D ABC 的体积最大，设球心为O ，则在直角三角形AHO 中，AH ＝23×32×6＝23，OA ＝R ＝4，则OH＝OA 2－AH 2＝16－12＝2，所以DH ＝2＋4＝6，所以三棱锥D ABC 的体积最大值为V ＝13S △ABC ×DH ＝13×93×6＝18 3. 6.(文)(2018·天津卷，11)如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为13.[解析] 连接A 1C 1，交B 1D 1于O 1点，依题意得A 1O 1⊥平面BB 1D 1D ，即A 1O 1为四棱锥A 1BB 1D 1D 的高，且A 1O 1＝22，而四棱锥A 1BB 1D 1D 的底面为矩形，其面积为2，所以四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积V ＝13Sh ＝13×2×22＝13.(理)(2018·天津卷，11)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH 的体积为112.[解析] 依题意得：该四棱锥M EFGH 为正四棱锥，其高为正方体棱长的一半，即为12，正方形EFGH 的边长为22，其面积为12，所以四棱锥M EFGH 的体积V M EFGH ＝13Sh ＝13×12×12＝112. 7．(2018·全国卷Ⅱ，16)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为402π.[解析] 如图：设SA ＝SB ＝l ，底面圆半径为r ，因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以l ＝2r ，在△SAB 中，AB 2＝SA 2＋SB 2－2SA ·SB ·cos ∠ASB ＝12r 2，AB ＝22r ，AB 边上的高为(2r )2－⎝⎛⎭⎫24r 2＝304r ，△SAB 的面积为515， 所以12·22r ·304r ＝515，解得r ＝210，所以该圆锥的侧面积为πrl ＝π2r 2＝402π.8．(2017·全国卷Ⅰ，16)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为36π.[解析] 如图，连接OA ，OB ．由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC ．由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB ． 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， ∴三棱锥S －ABC 的体积V ＝13×(12SC ·OB )·OA ＝r 33，即r 33＝9， ∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π.。
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三视图及表面积、体积由三视图还原几何体的方法：也可以根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题．常见的有以下几类：（1）三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；（2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；（3）三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；（4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；（5）三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；（6）三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱；1．【2017·全国卷】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B 2．【2017·浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是A ．12+πB ．32+πC ．123+πD ．323+π3．【2017·北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A ．23B ．32C ．22D ．2【答案】B4．【2016·全国卷Ⅱ】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．π20B ．π24C ．π28D ．π32【答案】C5．【2016·北京卷】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．61B ．31C ．21D ．1【答案】A6．【2015·陕西卷】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．π3B ．π4C ．42+πD ．43+π【答案】D7．【2016·全国卷Ⅲ】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A ．53618+B ．51854+C ．90D ．81【答案】B8．【2015·全国卷Ⅱ】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．81B ．71C ．61D ．51 【答案】D9．【2016·山东卷】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为A ．π3231+B ．π3231+C ．π6231+D ．π621+ 【答案】C10．【2014·全国卷】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为A ．26B ．24C ．6D ．4【答案】Ｂ11．【2015·浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是A ．38cmB ．312cmC ．3332cmD ．3340cm 【答案】C12．【2015·重庆卷】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．π+31B ．π+32C ．π231+D ．π232+ 【答案】A13．【2014·安徽卷】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A ．321+B ．318+C ．21D ．18【答案】A 14．【2014·湖北卷】在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是)2,0,0(，)0,2,2(，)1,2,1(，)2,2,2(，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和② 【答案】D15．【2015·北京卷】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是11俯视图侧(左)视图21A ．52+B ．54+C ．522+D ．5 【答案】C16．【2016·四川卷】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．正视图331【答案】3317．【2016·浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______2cm ，体积是______3cm ．【答案】72 3218．【2016·天津卷】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ）， 则该四棱锥的体积为_______3m ．【答案】219．【2015·天津卷】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m ． 1侧视图俯视图11112111111【答案】π3820．【2017·全国卷Ⅲ】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．π43C ．2πD ．4π21．【2017·全国卷Ⅱ】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A ．π90B ．π63C ．π42D ．π36【答案】B22．【2017·天津卷】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______． 【答案】π29 23．【2016·全国卷】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A ．π17B ．π18C ．π20D ．π28【答案】A 24．【2014·北京卷】如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，动点E 、F 在棱11B A 上，动点P 、Q 分别在棱AD 、CD 上．若1=EF ，x E A =1，y DQ =，z DP =（x ，y ，z 大于零），则四面体EFQ P -的体积A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关25．【2014·湖南卷】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 26．【2015·山东卷】在梯形ABCD 中，2π=∠ABC ，BC AD //，222===AB AD BC ．将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A ．32π错误!未指定书签。
B ．34π错误!未指定书签。
C ．35π错误!未指定书签。
D ．π2 【答案】C 27．【2014·陕西卷】已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为A ．332π错误!未指定书签。
B ．π4错误!未指定书签。
C ．π2错误!未指定书签。
D ．34π 【答案】D28．【2014·全国卷】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示cm 1），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为cm 3，高为cm 6的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为A ．2717B ．95C ．2710D ．31 【答案】C29．【2015·全国卷Ⅱ】已知A 、B 是球O 的球面上两点，ο90=∠AOB ，C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为【答案】C30．【2015·全国卷】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为62.1立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛【答案】B31．【2015·全国卷】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为π2016+，则=rA ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 32．【2016·全国卷Ⅲ】在封闭的直三棱柱111C B A ABC -内有一个体积为V 的球，若BC AB ⊥， 6=AB ，8=BC ，31=AA ，则V 的最大值是A ．π4B ．π29C ．π6D ．π332 【答案】B33．【2015·安徽卷】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A ．31+B ．32+C ．221+D ．22【答案】B 34．【2017·江苏卷】如图，在圆柱21O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上．下面及母线均相切．记圆柱21O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则21V V 的值是________．【答案】23。