排队论方法讲解
[管理学]排队论方法
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♂
Probability
16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM
26
28
30
32
34
36
38
40
郑州轻工业学院数学系
M/M/c/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/∞ (系统容量有限的服务系统)
郑州轻工业学院数学系
(Kleinrock) "We study the phenomena of standing, waiting, and serving, and we call this study Queueing Theory." "Any system in which arrivals place demands upon a finite capacity resource may be termed a queueing system."
郑州轻工业学院数学系
2.排队系统的三个基本要素 二、排队规则 损失制－ 顾客到达系统时，如果系统中所有 服务窗均被占用，则到达的顾客随即离去 等待制－ 顾客到达系统时，如果所有服务窗 均被占用，则系统能够提供足够的排队空间让 顾客排队等待 混合制－ 是损失制与等待制混合组成的排队 系统，此系统仅允许有限个顾客等候排队，其 余顾客被拒绝
(1 ) n , 1, n 0,1,2,.., N N 1 1 Pn 1 , 1, n 0,1,2,...,N N 1
( N 1) N 1 L , 1 N 1 1 1
Lq L (1 P0 ) L W (1 P0 ) Wq W 1
排队论知识点(一)
排队论知识点(一)排队论知识点详解什么是排队论排队论是应用概率论、随机过程和数学统计方法来研究队列系统的数学理论。
队列系统是指一些处理实体以确定的方式到达某个系统，被系统以某种方式处理，然后离开系统的系统模型。
排队论研究的目标是为了通过合理的设计和优化队列系统（如银行服务台、电话交换机等）的结构和参数，提高系统的效率和性能。
排队论的主要概念1. 到达过程到达过程是指实体到达队列系统的时间间隔的随机过程。
根据到达的规律性和随机性不同，到达过程可以分为不可预测的泊松到达过程和可预测的非泊松到达过程。
2. 服务过程服务过程是指队列中的实体被处理的时间间隔的随机过程。
根据服务的规律性和随机性不同，服务过程可以分为不可预测的指数服务过程和可预测的非指数服务过程。
3. 队列长度队列长度是指队列中正在等待服务的实体的个数，也可以看作是在系统中等待服务的实体的数学期望。
4. 平均等待时间平均等待时间是指实体在队列系统中等待服务的平均时间。
5. 利用率利用率是指队列系统中服务设备的利用情况，通常用平均到达率与平均服务率的比值来表示。
排队论的基本模型1. M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统。
M/M/1模型的到达过程和服务过程都是泊松过程，服务设备能力为1。
2. M/M/C模型M/M/C模型是M/M/1模型的扩展，代表了含有C个服务台和一个队列的排队系统。
到达过程和服务过程仍然是泊松过程，但是服务设备能力为C。
3. M/G/1模型M/G/1模型是M/M/1模型的变体，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，但是服务过程是一般分布。
到达过程仍然是泊松过程。
4. G/G/1模型G/G/1模型代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，到达过程和服务过程都是一般分布。
排队论的应用1. 交通拥堵排队论可以用来研究交通拥堵的原因和解决方案，进一步优化交通网络资源的利用和流量的分配。
排队论(Lingo方法)
线性规划
01
Lingo方法是线性规划的一种求解算法，可以用于求解排队论中
的优化问题。
迭代法
02
对于一些复杂的问题，可以使用迭代法结合Lingo方法进行求解，
以逐步逼近最优解。
启发式算法
03
对于一些大规模问题，可以使用启发式算法结合Lingo方法进行
求解，以提高求解效率。
04
Lingo方法在排队论中的 案例分析
Lingo方法在排队论中的优化问题
最小化等待时间
通过Lingo方法，可以优化等待时间，以最小化顾 客或任务的等待时间。
最小化队列长度
通过Lingo方法，可以优化队列长度，以最小化等 待空间的使用。
最大化服务台效率
通过Lingo方法，可以优化服务台效率，以提高服 务台的工作效率。
Lingo方法在排队论中的求解算法
等问题。
计算机科学
排队论用于研究计算机 网络的性能分析、负载 均衡和分布式系统等问
题。
排队论的发展历程
1903年，费尔南多·柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化 体系，为排队论奠定了理论基础。
1950年代，肯德尔提出了肯德尔模型，为多服务台排 队模型奠定了基础。
1930年代，厄兰格和朱伯夫提出了厄兰格模型，为单 服务台排队模型奠定了基础。
Lingo方法的适用范围
Lingo方法适用于各种线性规划问题，包括生产计划、资源分 配、运输问题等。
尤其适用于具有大量约束条件和决策变量的复杂问题，能够 有效地解决这些问题的最优解。
Lingo方法的优势和局限性
Lingo方法的优势在于它能够处理大规模的线性规划问题，并且具有较高的计算效率和精度。此外，Lingo方法还具有灵活性 和通用性，可以应用于各种不同的领域和问题。
排队论详解及案例
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2 几个常用的概率分布
9.2.1 经验分布 9.2.2 泊松分布 9.2.3 负指数分布 9.2.4 爱尔朗分布
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.1 经验分布
主要指标
平均间隔时间 = 总时间 到达顾客总数
Operations Research
9.1.3 排队论研究的基本问题
（3）系统优化问题的研究 研究排队系统的目的就是通过对该系统概率规律的研究， 实现系统的优化。系统的优化包括最优设计和最优运营问 题。前者属于静态问题，它是在输入和服务参数给定的情 况下，确定系统的设计参数，以使服务设施达到最大效益 或者服务机构实现最为经济。后者属于动态问题，它是指 对于一个给定的系统，在系统运行的参数可以随着时间或 状态变化的情况下，考虑如何运营使某个目标函数达到最 优。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
一般的排队过程可以这样描述：顾客由顾客源出发，到达 服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接 受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服 务后就离开。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
尽管排队系统是多种多样的，但所有的排队系统都是由输入过程、排 队规则、服务机构及服务规则三个基本部分组成的。 （1）输入过程 描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。 一般从以下几个方面对输入过程进行描述：顾客源中顾客的数量是 有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客的到 达是否相互独立（以前到达的顾客对以后达到的顾客没有影响，则称 顾客的达到是相互独立的，否则就是有关联的）；顾客相继到达的间 隔时间分布是确定型的还是随机型的（如果是随机分布，需要知道单 位时间内的顾客到达数或者顾客相继到达时间间隔的概率分布）；输 入的过程是平稳的还是非平稳的（若相继到达的间隔时间分布参数 （如期望值、方差等）都是与时间无关的，则称输入过程是平稳的， 否则称为非平稳）。 本章主要讨论顾客的到达是相互独立的、输入过程是平稳的情形。
排队论方法讲解
方 法
dPn(t) dt
Pn(t)Pn1(t)
Pn(0)0,(n1)
讲
特别的,当n=0时,有
解
dP0 (t) dt
P0 (t)
P0 (0) 1
排
解上述两个方程组,可得
队
P0 ( t ) e t , P1 ( t ) te t ,
论
P2 (t )
( t ) 2 2!
e t ,
解
排队主体是物：生产线－产品，维修工
－待修机器，卫星－信息，跑道－飞机
排 1. 基本概念
队
1.排队过程的一般模型
进入排队系统（输等入候）服务
论
接受服 务离开系统（输出
方
顾客服务过程分为四个步骤：
法
输入过程
讲
排队系统
排队规则
服务机构
解
输出过程
顾客接受服务后立即离开系统，因此输出
过程可以不用考虑
概率为
方
P n ( t t) P { N ( t t) N ( 0 ) n }
n
法
P { N (t t) N (t) k } P { N (t) N (0 ) n k } k 0
n
讲
Pk(t,tt)Pnk(t) k0
P0(t,tt)Pn(t)P1(t,tt)Pn1(t)
解
n
Pk(t,tt)Pnk(t)
讲
Ws
Wq
1
,Ls
Lq
解
排 2.1.2 系统容量有限 M/M/1/N/∞
（1）系统状态概率
队
P0
1 1 N1
,
1
论
Pn
1 1 N1
n ,1
排队论公式推导过程
排队论公式推导过程排队论是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法。
在咱们生活中，排队的现象随处可见，比如在超市结账、银行办业务、餐厅等座位等等。
咱们先来说说排队论中的一些基本概念。
想象一下，你去一家热门的奶茶店买奶茶，顾客就是“输入”，奶茶店的服务员就是“服务台”，制作奶茶的过程就是“服务时间”，而排队等待的队伍就是“队列”。
排队论中的一个重要公式就是 M/M/1 排队模型的平均排队长度公式。
咱们来一步步推导一下。
假设平均到达率为λ，平均服务率为μ。
如果λ < μ，系统是稳定的，也就是队伍不会无限长下去。
首先，咱们来求一下系统中的空闲概率P₀。
因为没有顾客的概率，就等于服务台空闲的概率。
P₀ = 1 - λ/μ接下来，咱们算一下系统中的平均顾客数 L。
L = λ/(μ - λ)那平均排队长度 Lq 怎么算呢？这就要稍微动点脑筋啦。
Lq = λ²/(μ(μ - λ))推导过程是这样的：咱们先考虑一个时间段 t 内新到达的顾客数 N(t)，它服从参数为λt的泊松分布。
在这个时间段内完成服务离开的顾客数 M(t) 服从参数为μt 的泊松分布。
假设在时刻 0 系统为空，经过时间 t 后系统中的顾客数为 n 的概率Pn(t) 满足一个微分方程。
对这个微分方程求解，就能得到上面的那些公式啦。
我记得有一次，我去一家新开的面包店，人特别多，大家都在排队。
我站在那里，心里就琢磨着这排队的情况，不就和咱们学的排队论很像嘛。
我看着前面的人，计算着大概的到达率，再瞅瞅店员的动作，估计着服务率。
那时候我就在想，要是店家能根据这些数据合理安排人手，大家等待的时间就能大大缩短啦。
总之，排队论的公式推导虽然有点复杂，但只要咱们耐心琢磨，就能搞明白其中的道理。
而且这些公式在实际生活中的应用可广泛啦，能帮助我们优化各种服务系统，让大家的生活更加便捷高效！。
数学建模.排队论讲解
P1
(m 1)
(m n 1) (m n)
P2
Pn 1
Pn
Pn 1
2
由状态转移图，可以建立系统概率平衡方程如下： P 1 mP 0, Pn 1 (m n 1)Pn 1 [(m n) ]Pn , 1 n m 1 Pm Pm 1 ,
E (T ) 1
n!
e
1.5 排队系统的常用分布
同样，对顾客服务时间常用的概率分布也是负指数分布， 概率密度为： t
f (t ) e
(t 0)
其中 表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率． 3）爱尔朗分布：
(k ) k t k 1 kt 分布密度函数： f k (t ) (k 1)! e (t 0, k , 0)
N k k
模型的各数量指标参数如下： 1）系统里没有顾客的概率 1 1 N 1 P
0
1 1
1 1 N
2.2 系统容量有限的 M / M / 1/N / 模型
n P P0，n N 2）系统里有n个顾客的概率 n
3）在系统里的平均顾客数
3）服务时间的分布——在多数情况下，对每一个顾客的服务 时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、 爱尔朗分布等.
1.3 排队系统的符号表示（Kendall符号）
根据不同的输入过程、排队规则和服务台数量，可以形成 不同的排队模型，为方便对模型的描述，通常采用如下的符 号形式：
X /Y / Z / A/ B /C
式中 表示平均到达率与平均服务率 之比，称为服务强度.
2.1 标准的 M / M / 1 模型
运筹学中的排队论分析与应用
运筹学中的排队论分析与应用运筹学是一门研究如何最优化决策的学科。
在现代社会中，许多场景下都存在排队现象，例如银行、超市、机场等场所。
排队论作为运筹学的一个重要分支，专门研究如何通过合理的排队策略来优化服务效率与用户体验。
本文将介绍排队论的基本原理、应用场景以及如何利用排队论进行实际问题的分析与解决。
一、排队论的基本原理排队论是研究排队系统的理论与方法，其基本原理包括排队模型、排队规则以及排队指标。
1. 排队模型排队模型是对排队系统进行抽象和建模的过程，常用的排队模型有M/M/1、M/M/c、M/G/1等。
其中，M表示顾客到达过程符合泊松分布，而服务过程符合指数分布；1表示一个服务台，c表示多个服务台；G表示总体服从一般分布。
2. 排队规则排队规则是指在排队系统中，顾客到达和离开的规则。
常用的排队规则有先到先服务（First-Come-First-Serve，简称FCFS）、最短作业优先（Shortest Job First，简称SJF）、优先级法则等。
3. 排队指标排队指标是对排队系统性能的度量，常用的排队指标包括平均等待时间、平均逗留时间、系统繁忙度等。
这些指标可以帮助我们评估排队系统的效率，并进行比较和优化。
二、排队论的应用场景排队论的应用场景非常广泛，几乎可以涵盖各个行业。
下面以几个典型的应用场景为例，介绍排队论在其中的分析与应用。
1. 银行排队银行是排队论的典型应用场景之一。
通过排队论的分析，银行可以确定合理的柜台数量和工作人员配置，以减少客户的等待时间和提高服务效率。
此外，银行还可以考虑引入预约系统、自助服务等方式，进一步优化排队系统。
2. 售票窗口排队售票窗口也是一个常见的排队场景，如电影院、火车站等。
利用排队论，可以根据顾客到达的速率和服务时间的分布，预测等待时间，并提前安排足够的窗口进行服务，以提高售票效率和用户体验。
3. 交通信号灯优化交通信号灯的优化也可以借助排队论的方法。
通过对道路上车辆到达和通过的流量进行统计和分析，可以调整信号灯的信号周期和配时方案，以减少交通拥堵和减少等待时间。
运筹学 排队论
运筹学排队论引言排队论是运筹学中的一个重要分支，它研究的是如何优化排队系统的设计和管理。
排队论广泛应用于各个领域，如交通流量控制、银行业务流程优化、生产线调度等，对于提高效率和降低成本具有重要意义。
本文将介绍排队论的基本概念、排队模型以及应用案例，帮助读者了解运筹学中排队论的基本原理和应用方法。
什么是排队论排队论是一门研究排队现象的数学理论，它通过定义排队系统的各个要素，如顾客到达率、服务率、队列容量等，建立数学模型分析和优化排队系统的性能指标。
排队论主要研究以下几个方面：•排队系统的模型：包括单服务器排队系统、多服务器排队系统、顾客数量有限的排队系统等。
•排队系统的性能指标：包括平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。
•排队系统的优化方法：包括服务策略优化、系统容量规划等。
排队论的基本概念到达过程排队论中的到达过程是指顾客到达排队系统的时间间隔的随机过程。
常用的到达过程有泊松过程、指数分布等。
到达过程的特征决定了顾客到达的规律。
服务过程排队论中的服务过程是指服务器对顾客进行服务的时间间隔的随机过程。
常用的服务过程有指数分布、正态分布等。
服务过程的特征决定了服务的速度和效率。
排队模型排队模型是排队论中的数学模型，用于描述排队系统的性能和行为。
常用的排队模型有M/M/1模型、M/M/s模型等。
这些模型分别表示单服务器排队系统和多服务器排队系统。
性能指标排队系统的性能指标用于评估系统的性能，常见的性能指标有平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。
这些指标可以帮助决策者优化排队系统的设计和管理。
排队模型与分析M/M/1模型M/M/1模型是排队理论中最简单的排队系统模型，它是一个单服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。
M/M/1模型的性能指标可以通过排队论的公式计算得出。
M/M/s模型M/M/s模型是排队理论中的多服务器排队模型，它是一个多个服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。
运筹学中的排队论分析方法
运筹学中的排队论分析方法运筹学是应用数学的一个分支，被广泛应用于优化、决策、规划等实践问题中。
排队论是运筹学的一个重要分支，它研究客户与服务设施之间的运作规律，以及对这些规律进行优化。
排队论可以应用于许多领域，例如生产线、银行、医院、交通、电信等。
排队模型从大量的数据中挑选出有用的信息，解释客户等待时间、服务设施利用率、系统吞吐量等指标。
运营商们也通过排队论找到了减少服务时间，减少成本和增加收益的方法。
排队论模型通常包括五个元素：客户、服务设施、等待行列、受服务的规则，以及长度测量方法。
客户需求量呈随机分布，服务设施数量有限且运营时间有限，等待时间呈指数分布。
排队论可以预测某个服务系统的运作状态以及在不同服务政策下的结果变化。
排队论中最著名的模型是M/M/1模型，其中M表示到达时间和服务时间都是随机的指数分布，1表示只有一个服务设施的存在。
此模型的解答涉及到稳态等长队和队列中的平均客户数和等待时间，以及服务器的平均利用率等基本指标。
除此之外，排队论中还有其他经典模型，例如M/M/c模型，其中c表示有多个服务器可供选择。
排队论也适用于某些特殊情况的研究。
例如，当服务时间为几何分布时，M/G/1模型就成为了一种理想的情况。
在这个模型中，客户需求量和服务时间具有不同的分布。
G表示这些服务时间的分布可以是任意的。
另外，排队论也可以应用于网络中的传输分配模型，以确定网络在任何负载下的可靠性和运作状态。
排队论模型可以被用于分析较小的网络，或者对于哪些带有网络化延迟的系统。
在实际应用中，排队论分析可以帮助我们寻找优化服务设备的方法。
通过排队论可以确定提高服务速度、增加系统容量或提高等待质量等措施，以提高客户的体验和收益。
在医院中，排队论可以帮助诊所和医院合理分配资源、优化服务流程，减少等待时间、减少节约成本、节约时间等指标。
总之，排队论是运筹学的重要分支，解决了客户与服务设施之间的运作规律和优化。
它在很多领域的帮助下，解决了大量的实践问题。
排队论方法
2.到达时间的间隔分布和服务时间分布
到达时间的间隔分布和服务时间分布一般分为 泊松分布,负指数分布和爱尔朗分布. 2.1 泊松分布 设N(t)表示在时间段[0,t)内的到达的顾客 数,Pn(t1,t2)表示在时间段[t1,t2)(t2＞t1)内有n(n≥0) 个顾客达到的概率,即Pn(t1,t2)=P{N(t2)-N(t1)=n}, 当Pn(t1,t2)满足如下三个条件时,则称顾客到达形 成泊松流;
（3）普通性:对于充分小的△t,在[t,t+△t]内 有2个或2个以上顾客到达的概率极小,即
P (t, t t ) (t )
n2 n
下面研究系统状态概率n的分布. 如果取时间段的 初始时间为t=0,则可记为 Pn(0,t)=Pn(t),在[t,t+△t)内,由于
P (t,t+t) P (t,t+t)+P (t,t+t)
Pn (t t ) {N (t t ) N (0) n} P{N (t t ) N (t ) k}
k 0 n
P{N (t ) N (0) n k} Pn k (t ) Pk (t , t t )
k 0 n
Pn (t )(1 t ) Pn 1 (t )t ( t ),
当顾客流为泊松分布时,用T表示两个相继到达的时间间隔, 是一个随机变量,其分布函数
FT (t ) P{T t} 1 P{T t} 1 P0 (t )
由上可知P0 (t) e 1 e
t
t
, 于是FT (t) 1
, t4系统状态的概率
系统状态是求运行指标的基础,所谓系统状态是指系统中顾 客的数量.如果系统中有n个顾客,则说系统的状态为n,即可 能取值为: (1) 当队长无限制时,则n=0,1,2,…..; (2) 当队长有限制,且最大值为N时,则n=0,1,2,….N; (3) 当服务台个数为c,且服务为即时制时，则 n=0,1,2,…c 一般来说状态取值与时间t有关,因此在时刻t系统状态 取值为n的概率记为Pn(t) ,若Pn(t) →Pn 则称为稳态(或统 计平衡状态)解.实际中多数平衡问题都是属于稳态的情况, 并不是真正的t→∞,即过一段时间以后就有Pn(t) →Pn.
排队论公式与解析
排队论主要公式一、状态平衡方程()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=-<≤=++---++--12.10,011.10,010.10,1,01111001111k k k k n n n n n n n p p p p k n p p p μλμλμμλλ 当系统状态为可数状态时，将上述第一个式子的k 换成∞，而将第三式去掉。
二、的关系为和q s q s W W L L ,,()()()()00;001;10.20210.2113;10.224.10.23s q q s q s q L W L W W W L L Littie λλμλμ===+=+上述四个式子称为公式。
三、标准的M/M/1模型（1）系统在稳定状态下处于状态n 的概率()()13.10,1,1,1,10<≥-=-=ρρρρn p p n n其中μλρ/=，它是系统的平均到达率与平均服务率之比，称为服务强度或称为话务强度。
（2）系统的运行指标 １0系统中的平均顾客数L S 为()14.10;10,10<<-=-==∑∞=ρλμλρρN n S np L02系统中等待的平均顾客数q L 为()()15.10;1121λμρλρρ-=-=-=∑∞=n n q p n L03 顾客在系统中的逗留时间W 的分布及平均逗留时间S W 为()()()[]()17.10;116.10,0,1λμωωωωλμ-==≥-=--E W e F q04 顾客在系统中的等待时间分布及平均等待时间q W 为()()()()()19.10.118.10,0,1λμρλμμλμωρωωλμ-=-=-=≥-=--s q q W W e F //1N M M 四、系统容量有限制（设为）的模型（1）系统在稳态下处于状态n 的概率01 系统空闲的概率为()24.10.1,11;1,1110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠--=+ρρρρN p N02 系统中有n 个客户的概率为()()01,1,1,1110.251,1;1nn n n N N p p N ρρρρρρ⎧-≠≤≤⎪⎪-+==⎨⎪=⎪+⎩其中1,/<=p 此处μλρ的条件可以取消。
排队论(讲稿)PPT课件
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概况3
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
19
清华大学出版社
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
6
清华大学出版社
1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
排队论讲解
排队论是一种研究排队系统的数学理论，它主要用于研究系统在不同的服务策略下的性能指标，如平均等待时间、平均服务时间、系统吞吐量等。
排队系统是指由顾客和服务台组成的系统，顾客按照先来先服务的原则依次到达服务台，并在服务台得到服务。
排队论的基本模型包括M/M/s、M/M/c、M/G/s、M/G/c等模型，其中M表示顾客到达的随机变量是泊松分布，G表示服务时间的随机变量是几何分布，c表示服务台的容量限制，s表示系统的服务速度。
M/M/s模型是指服务台的服务速度s是固定的，即服务台的服务速度不受顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的平均等待时间和平均服务时间。
M/M/c模型是指服务台的容量限制c是固定的，即服务台的服务速度受到顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的排队长度和服务率。
排队论的应用非常广泛，包括电话系统、银行系统、航空系统、医疗系统等。
在实际应用中，排队论可以帮助企业优化服务流程，提高服务质量，减少顾客等待时间，提高顾客满意度，从而提高企业的竞争力和经济效益。
排队论的应用还在不断地拓展和深化，例如近年来出现的排队论模型包括多服务台排队模型、排队网络模型、排队论与动态优化模型等。
这些模型可以更好地模拟实际系统中的复杂排队情况，提高系统的服务质量和效率。
(完整版)排队论公式1
M/M/1/∞/∞标准模型M/M/1/N/∞
系统容量有限模型
N=队伍容量+1
M/M/1/∞/m
顾客源有限模型
m=系统只有m+1种状态
M/M/C/∞/m
多服务台模型
单队，并列C个服务台
系统空闲的概率
ρ
系统有n个顾客的概率（顾
客损失率）
系统至少有1个顾客的概率1-
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均
顾客数
=
（每位）顾客在店内的平均
逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数λ：每小时到达店内人数
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
排队论公式一
排队论公式二
ρ：系统忙着的概率，ρ：系统忙着的概率，
M/G/1/∞/∞M/D/1/N/∞M//1/∞/m 系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均
顾客数
（每位）顾客在店内的平均
逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数E(v):服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，λ：每小时到达店内人数
µ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
:服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，。
排队论方法讲解
排队论方法讲解
排队论是一种运用概率统计方法来分析和解决队列问题的学科。
队列问题是指在等待某个服务或进入某个系统时，人们形成的一种有序排列状态。
排队论主要关注等待时间、排队长度、服务效率等问题。
以下是排队论的一些常见方法：
1. 假设法：假设不同的排队系统具有不同的概率分布，分析不同系统中的各种运行参数，如平均等待时间、服务时间等。
2. 累积等待时间法：计算各客户平均等待时间的总和，再除以系统中客户的总数，用以评价该排队系统是否合理。
3. 平衡方程法：通过统计每个元素在系统中的进入量、离开量、排队量等，建立系统的平衡方程式来求解系统的各项参数。
4. 级数求和法：将排队论中的一些重要参数（如平均等待时间、利用率等）表示成一个级数之和的形式，从而求出这些参数的近似值。
5. Monte Carlo模拟方法：采用随机数模拟的方法，模拟排队系统的服务过程，从而得出系统的性能指标。
以上是排队论的一些常见方法，具体应用时需要考虑具体情况和问题，选择合适的方法进行分析。
第八章排队论
❖ 某企业为职工设立昼夜24小时都能看病的医疗服务室 （按单服务台处理），病人到达为泊松流，平均时间间 隔为15分钟，看病时间服从负指数分布，平均12分钟， 又知道每名职工看病每小时会给企业造成损失为30元。 (1)求职工看病造成的企业每天的损失； (2)问服务率提高到多少，方可使上述损失减少一半；
排队系统的主要数量指标
❖ 系统中恰好有 n 个顾客的概率：Pn ❖ 系统中的平均顾客数： Ls ❖ 排队的平均长度，即排队的平均顾客数：Lq ❖ 顾客在系统中的平均逗留时间：Ws ❖ 顾客花在排队上的平均等待时间：Wq
输入过程、服务时间分布
❖ 输入过程：顾客以什么规律到达系统。
1.到达时间间隔 t； 2.到达数 n ；
❖ 稳态方程的原理：产生该状态的平均速率 =该状态转变成其它状态的平均速率
M/M/1排队模型的主要指标
1、系统中无顾客的概率：P0 =1 ρ 2、系统中有n个顾客的概率： Pn =ρn .(1 ρ)
3、系统中的平均顾客数：Ls =/( )
4、平均排队的顾客数： Lq= Ls ρ
5、顾客在系统中的平均逗留时间：Ws = Ls / 6、顾客花在排队上的平均等待时间：Wq = Lq /
❖ 排队论就是解决这类问题的一门科学。所谓排队论，又 称随机服务系统理论，是研究要求获得某种服务的对象 所产生的随机性聚散现象的理论。
❖ 排队系统的基本组成部分：输入过程、排队规则和服务 机构。
顾客 到达
排队
服务机构 服务
排队系统
服务后顾 客离去
输入过程
顾客 到达
排队
服务机构 服务
服务后顾 客离去
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论
混合制
等待制：先到先服，后到先服，
方
随机服务，有优先权服务
法
II.
形状
有形
无形
容量有限
容量无限
讲
单列 可以互相转移
解
III.
队列数
多列
不能互相转移
排 队
③服务机构
I. 服务台数目
一个
多个
论
II. 服务台形式
并联
串联
方 法
III. 服务方式
一个一个
一批一批
讲
IV. 服务时间
论
P2 (t)
(t)2
2!
et
,
方
法
Pn (t)
(t)n
n!
et ,
讲
由上结果可知,在长度为t的时间段内到达
解
n个顾客的概率,服从泊松分布.
其中期望、方差为 E[N (t)] D[N (t)] t
排
1.5.2 负指数分布
当顾客流为泊松流时,用T表示两顾
队
客相继到达的时间间隔,
则T是一个随机变量, 其分布函数为 论
解
GI －一般相互独立的时间间隔分布 G－一般服务时间的分布
如 D/M/10/1000// F
排 1.3 排队系统的运行指标
⑴ Ls：队长 －系统中顾客数的期望
队
⑵ Lq：排队长 －系统中等待服务的顾客数
Ln：正在接受服务的顾客数 Ls=Lq+Ln
论
⑶ Ws：逗留时间
方
⑷ Wq：排队时间， : 服务时间
关，且 P1(t,t t) t o(t),
讲
其中 0, 称为概率强度，
表示单位时间内有一名顾客到来的
解
概率
排
(3)普通性：
对于充分小的△t，在[t,t+△t]内有2个或
队
多个顾客到达的概率极小,可以忽略不
计,即
论
Pn (t,t t) o(t)
n2
方
下面研究系统状态为n的概率分布：
法
确定型
随机型
解
V. 服务时间分布
平稳
非平稳
排 1.2 排队论模型的标准形式
标准形式：X/Y/Z/A/B/C
队
X： 相继到达时间间隔
论
Y： 服务时间的分布
Z： 服务台个数
方
A： 系统容量限制
法
B：
顾客源数目
FCFS：先到先服
讲
C： 服务规则
LCFS：后到先服
其中 M－负指数分布 D－确定型分布 Ek－k阶爱尔朗分布
⑵ Ls有限制：n＝0，1，2，3，…N
方
⑶ 服务台个数为c，且服务为即时制，
法
则n＝0，1，2，…c Pn(t)=t时刻，状态为n的概率
讲
若
lim
t
Pn (t)
Pn，称为稳态解。
解
后即可到达稳态，
而不需要t→∞
排 1.5 到达时间的间隔分布和服 务时间的间隔分布
Pn (t)
Pn 1 (t )
o(t) t
令t→0,则
方 法
dPn (t) dt
Pn (t)
Pn 1 (t )
Pn (0) 0, (n 1)
讲
特别的,当n=0时,有
解
dP0 (t) dt
P0 (t)
P0 (0) 1
排
解上述两个方程组,可得
队
P0 (t) et , P1(t) tet ,
如果取时间段的初始时刻为t=0.则记
讲
Pn (0,t） Pn (t）
解
由于 1 Pn (t, t t) P0 (t, t t) n0
P1(t, t t) Pn (t, t t) n2
故
排
P0 (t, t t) 1 P1(t, t t) Pn (t, t t)
n2
队
1 t o(t)
将[0,t+△t)分为[0,t)和[t,t+△t),
论
则在时间段[0,t+△t)内到达n个顾客的
概率为
方
Pn (t t) P{N (t t) N (0) n}
n
法
P{N (t t) N (t) k} P{N (t) N (0) n k} k 0
n
讲
Pk (t,t t) Pnk (t) k 0
解
排队主体是物：生产线－产品，维修工
－待修机器，卫星－信息，跑道－飞机
排 1. 基本概念
队
1.排队过程的一般模型
进入排队系统（输入） 等候服务
论
接受服务 离开系统（输出）
方
顾客服务过程分为四个步骤：
法
输入过程
讲
排队系统
排队规则 服务机构
解
输出过程
顾客接受服务后立即离开系统，因此输出
过程可以不用考虑
Ws=Wq+
法
⑸ Tb：忙期－服务机构连续工作时间长度
⑹ P损： 损失率，顾客被拒绝服务而使服
讲
务部门受损失的概率 ⑺服务强度：A：平均服务率（绝对通过率）
解
单位时间内完成服务的顾客数均值
A
Q：相对通过能力＝ 请求服务的顾客数
排 1.4 系统状态的概率
队
系统的状态－系统中的顾客数
⑴ Ls无限制：n＝0，1，2，3，… 论
①输入过程：
排
队
I.顾客总体 （顾客源）
有限
无限
论 方
II.顾客到来方式
一个一个
一批一批
确定型
法
III.顾客到达时间间隔
随机型
讲
IV.顾客到达相互关系
相互独立
相互关联
解
V.时间间隔分布
与时间无关（平稳） 与时间有关（非平稳）
排
②排队规则：
即时制
队
I.
排队方式
损失制 等待制
队
论
常见分布： 1.泊松分布；
方
2.负指数分布；
法
3.爱尔朗分布：
讲
下面分别介绍一下以上3个常
用分布：
解
排
1.5.1 泊松分布
队
设 N(t)=在时段[0,t)内到达的顾客数,
论
Pn(t1,t2)=在时段[t1,t2)内有n个顾客
方
到达的概率,
则
法
Pn(t1,t2)=P｛N(t2)-N(t1)=n｝
P0 (t, t t) Pn (t) P1(t, t t) Pn1(t)
解
n
Pk (t,t t) Pnk (t)
k 2
Pn (t)(1 t) Pn1(t)t o(t)
排 Pn (t t) Pn (t)(1 t) Pn1(t)t o(t)
队
即
论
Pn (t
t) t
Pn (t)
排队论方法讲解
简单讲解
排
排队－日常生活常见的一种现象
如：医院－病人，商店柜台－顾客，
队
公交车－乘客
共同特点：在一个排队系统中，进入系
论
统的顾客不能立即得到服务，出现了排
队现象。
方
服务系统
服务设施 被服务者（顾客）
法
由于被服务者到达系统的时间不确定，
故“排队论”又称为“随机服务系统理
讲
论无”形的排队：网络－用户，租车方－顾客
讲
若Pn(t1,t2)满足以下三个条件,
则称顾客的到达形成泊松流：
解
排
(1) 无后效性：
队
在不相交的时间区间内,顾客到达数相互
独立，即在[t,t+△t]时段内到达的顾客数，
论
与时刻t之前到达的顾客数无关；
(2)平稳性：
方 对于充分小的△t，在[t,t+△t]内有１个顾
法
客到达的概率，只与△t有关，而与ｔ无