排队论方法讲解

确定型
随机型
解
V. 服务时间分布
平稳
非平稳
排 1.2 排队论模型的标准形式
标准形式：X/Y/Z/A/B/C
队
X： 相继到达时间间隔
论
Y： 服务时间的分布
Z： 服务台个数
方
A： 系统容量限制
法
B：
顾客源数目
FCFS：先到先服
讲
C： 服务规则
LCFS：后到先服
其中 M－负指数分布 D－确定型分布 Ek－k阶爱尔朗分布
队
论
常见分布： 1.泊松分布；
方
2.负指数分布；
法
3.爱尔朗分布：
讲
下面分别介绍一下以上3个常
用分布：
解
排
1.5.1 泊松分布
队
设 N(t)=在时段[0,t)内到达的顾客数,
论
Pn(t1,t2)=在时段[t1,t2)内有n个顾客
方
到达的概率,
则
法
Pn(t1,t2)=P｛N(t2)-N(t1)=n｝
论
混合制
等待制：先到先服，后到先服，
方
随机服务，有优先权服务
法
II.
形状
有形
无形
容量有限
容量无限
讲
单列 可以互相转移
解
III.
队列数
多列
不能互相转移
排 队
③服务机构
I. 服务台数目
一个
多个
论
II. 服务台形式
并联
Hale Waihona Puke Baidu
串联
方 法
III. 服务方式
一个一个
一批一批
讲
IV. 服务时间
解
排队主体是物：生产线－产品，维修工
－待修机器，卫星－信息，跑道－飞机
排 1. 基本概念
队
1.排队过程的一般模型
进入排队系统（输入） 等候服务
论
接受服务 离开系统（输出）
方
顾客服务过程分为四个步骤：
法
输入过程
讲
排队系统
排队规则 服务机构
解
输出过程
顾客接受服务后立即离开系统，因此输出
过程可以不用考虑
P0 (t, t t) Pn (t) P1(t, t t) Pn1(t)
解
n
Pk (t,t t) Pnk (t)
k 2
Pn (t)(1 t) Pn1(t)t o(t)
排 Pn (t t) Pn (t)(1 t) Pn1(t)t o(t)
队
即
论
Pn (t
t) t
Pn (t)
排队论方法讲解
简单讲解
排
排队－日常生活常见的一种现象
如：医院－病人，商店柜台－顾客，
队
公交车－乘客
共同特点：在一个排队系统中，进入系
论
统的顾客不能立即得到服务，出现了排
队现象。
方
服务系统
服务设施 被服务者（顾客）
法
由于被服务者到达系统的时间不确定，
故“排队论”又称为“随机服务系统理
讲
论无”形的排队：网络－用户，租车方－顾客
Ws=Wq+
法
⑸ Tb：忙期－服务机构连续工作时间长度
⑹ P损： 损失率，顾客被拒绝服务而使服
讲
务部门受损失的概率 ⑺服务强度：A：平均服务率（绝对通过率）
解
单位时间内完成服务的顾客数均值
A
Q：相对通过能力＝ 请求服务的顾客数
排 1.4 系统状态的概率
队
系统的状态－系统中的顾客数
⑴ Ls无限制：n＝0，1，2，3，… 论
Pn (t)
Pn 1 (t )
o(t) t
令t→0,则
方 法
dPn (t) dt
Pn (t)
Pn 1 (t )
Pn (0) 0, (n 1)
讲
特别的,当n=0时,有
解
dP0 (t) dt
P0 (t)
P0 (0) 1
排
解上述两个方程组,可得
队
P0 (t) et , P1(t) tet ,
①输入过程：
排
队
I.顾客总体 （顾客源）
有限
无限
论 方
II.顾客到来方式
一个一个
一批一批
确定型
法
III.顾客到达时间间隔
随机型
讲
IV.顾客到达相互关系
相互独立
相互关联
解
V.时间间隔分布
与时间无关（平稳） 与时间有关（非平稳）
排
②排队规则：
即时制
队
I.
排队方式
损失制 等待制
如果取时间段的初始时刻为t=0.则记
讲
Pn (0,t） Pn (t）
解
由于 1 Pn (t, t t) P0 (t, t t) n0
P1(t, t t) Pn (t, t t) n2
故
排
P0 (t, t t) 1 P1(t, t t) Pn (t, t t)
n2
队
⑵ Ls有限制：n＝0，1，2，3，…N
方
⑶ 服务台个数为c，且服务为即时制，
法
则n＝0，1，2，…c Pn(t)=t时刻，状态为n的概率
讲
若
lim
t
Pn (t)
Pn，称为稳态解。
解
实际中，多数问题都属于稳态情况，
且通常在经过某一时段后即可到达稳态，
而不需要t→∞
排 1.5 到达时间的间隔分布和服 务时间的间隔分布
1 t o(t)
将[0,t+△t)分为[0,t)和[t,t+△t),
论
则在时间段[0,t+△t)内到达n个顾客的
概率为
方
Pn (t t) P{N (t t) N (0) n}
n
法
P{N (t t) N (t) k} P{N (t) N (0) n k} k 0
n
讲
Pk (t,t t) Pnk (t) k 0
讲
若Pn(t1,t2)满足以下三个条件,
则称顾客的到达形成泊松流：
解
排
(1) 无后效性：
队
在不相交的时间区间内,顾客到达数相互
独立，即在[t,t+△t]时段内到达的顾客数，
论
与时刻t之前到达的顾客数无关；
(2)平稳性：
方 对于充分小的△t，在[t,t+△t]内有１个顾
法
客到达的概率，只与△t有关，而与ｔ无
关，且 P1(t,t t) t o(t),
讲
其中 0, 称为概率强度，
表示单位时间内有一名顾客到来的
解
概率
排
(3)普通性：
对于充分小的△t，在[t,t+△t]内有2个或
队
多个顾客到达的概率极小,可以忽略不
计,即
论
Pn (t,t t) o(t)
n2
方
下面研究系统状态为n的概率分布：
法
论
P2 (t)
(t)2
2!
et
,
方
法
Pn (t)
(t)n
n!
et ,
讲
由上结果可知,在长度为t的时间段内到达
解
n个顾客的概率,服从泊松分布.
其中期望、方差为 E[N (t)] D[N (t)] t
排
1.5.2 负指数分布
当顾客流为泊松流时,用T表示两顾
队
客相继到达的时间间隔,
则T是一个随机变量, 其分布函数为 论
解
GI －一般相互独立的时间间隔分布 G－一般服务时间的分布
如 D/M/10/1000// F
排 1.3 排队系统的运行指标
⑴ Ls：队长 －系统中顾客数的期望
队
⑵ Lq：排队长 －系统中等待服务的顾客数
Ln：正在接受服务的顾客数 Ls=Lq+Ln
论
⑶ Ws：逗留时间
方
⑷ Wq：排队时间， : 服务时间