双曲线及其标准方程--导学案
双曲线及其标准方程导学案
课题：双曲线及其标准方程导学案一．教学目标:知识与技能：1.掌握双曲线的定义和标准方程的推导过程;2.学会判断双曲线标准方程焦点所在位置,会求解双曲线的标准方程过程与方法：本节课主要运用类比思想通过学生自己动手实践总结出双曲线的定义，运用类比和数形结合思想自我探究，分组讨论找到双曲线的标准方程。
情感态度与价值观：学生通过本节课自己动手实践亲身经历研究双曲线的过程，从中找到自我价值，从双曲线方程的形式上进一步体会数学也是一种美的学科。
二.教学重点:双曲线的定义及其标准方程三.教学难点:双曲线的定义及其标准方程四.教学过程:(一)课前复习：（二）类比椭圆定义的研究，让学生用自己提前准备拉链，图钉等东西，自己动手画双曲线，分组讨论给出双曲线定义,在这一过程中回答下列问题：思考：1.在作图的过程中拉链两边的长是否一致？拉链哪一部分的长没有变化？除了这些，还有没有不变的量？2.动点在运动过程中满足什么条件？F F|的关系是什么？3.这个常数与|124.动点运动的轨迹是什么？5.若拉链上被固定的两点互换，则出现什么情况？(二)双曲线的定义:（类比椭圆定义给出双曲线定义）1. 双曲线的定义:2.探究以下问题，巩固双曲线定义：(1)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差为8,则M 点的轨迹是什么?(2)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差的绝对值为10,则M 点的轨迹是什么? (3)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差的绝对值为12,则M 点的轨迹是什么? (4)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差的绝对值为0,则M 点的轨迹是什么? 得出以下结论：1）当常数等于21F F 时，动点M 的轨迹是———————————————— 2）当常数大于21F F 时，动点M 的轨迹————————————————— 3）若常数等于0时,动点M 的轨迹—————————————————— 4）在双曲线的定义描述中要注意几个条件？分别是什么？(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？动手实践推导过程并展示：(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记) 两种标准方程的比较(引导学生归纳)：(1)------------------------------表示焦点在x 轴上的双曲线,焦点是:1(,0),F c -2(,0)F c ,这里222c a b =+.(2)------------------------------表示焦点在y 轴上的双曲线,焦点是:1(0,),F c -2(0,)F c ,这里222c a b =+.(只需将(1)方程的x,y 互换即可得到)强调指出：(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，0,0a b >>，但a 不一定大于b ；(3)如果2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中,,a b c 的关系是222c a b =+，不同于椭圆方程中222c a b =-．练习：写出以下双曲线的焦点坐标(四).课堂巩固 例1.已知双曲线的焦点为1F (-5,0),2F (5,0)，双曲线上一点P 到1F ,2F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：若双曲线上一点Ｐ， |1PF |=10， 则|2PF |=_________1916)2(,191612222-=-=-y x y x ）（方案(五)小结(六)作业:课本108P 习题8.3 第1,2,4思考题: 当0180θ≤≤ 时，方程22cos sin 1x y θθ+=表示怎样的曲线？。
高中数学双曲线及其标准方程精品导学案
双曲线及其标准方程一、课前导学1.什么叫做双曲线?为什么常数2a 要小于21F F ？与椭圆有何异同？双曲线的定义： 叫做双曲线， 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距。
2.双曲线标准方程的推导：（类比求椭圆标准方程的方法）；确定,,a b c 的关系3.双曲线定义（1）把椭圆定义中的“距离的和（大于21F F ）”改为“距离的差（小于21F F ）”，那么点的轨迹会怎样？（2）双曲线定义中动点M 到两定点21,F F 满足几何条件 （3）在椭圆的定义中，强调了c a 22<；若22a c =动点的轨迹是什么？ 若c a 22>呢？设动点M ，两定点21,F F 满足a MF MF 221=-（2a 常数），为常数）c c F F 2(221=c a MF MF 2221<=-时 轨迹是 ；c a MF MF 2212<=-时 轨迹是 ； c a MF MF 2221==-时 轨迹是 ； c a MF MF 2212==-时 轨迹是 ；c a MF MF 2221>=-时 轨迹是 要点总结注意：(1)若常数要等于12||F F ，则图形是什么？ 二、课堂导学例1已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=, 求动点P 的轨迹方程.变式1:已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足1210PF PF -=,求动点P 的轨迹方程.变式2:已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=,求动点P 的轨迹方程.例2.写出适合下列条件的双曲线的标准方程1.a=4,b=3,焦点在x 轴上;2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)3已知双曲线与椭圆1362722=+y x ，有公共的焦点，且过点)4,15( 4.焦点在y 轴上,a=4,过点)3104,1( ⒌经过两点A )26,7(--，B )3,72( 例3.如果方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，求m 的取值范围. 变式3：如果方程11222=+-+m y m x :表示焦点在y 轴双曲线时，求m 的取值范围. 变式4：当k 取何值时，方程13522=-+-k y k x 表示圆？椭圆？双曲线？ 三、课堂小结1.双曲线方程的推导2.求双曲线方程3.利用定义和标准方程解决一些简单的问题.四、课堂练习1.求适合下列条件的双曲线的标准方程。
双曲线及其标准方程
探究点二 待定系数求双曲线的标准方程
例 2-1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式： （1）焦点在 x 轴上， a 4, b 3 ； （2）焦点为 (0, 6),(0,6) ，且经过点 (2, 5)
（3）焦点为 F 5,0 ， F2 5,0 ，双曲线上任意点到 F1 ， F2 的距离的差的绝对值为 6 1 （4）焦点在 y 轴上，中心在原点，且点 P (3,4 2 ) ， P2 ( ,5) 1
MF1 MF2 是常数，这样就画出一条曲线； MF2 MF1 是同一常数，可以画出另一支．
问题 2：请结合上面演示以及椭圆的定义，请说说你对双曲线的认识？（形状以及形成过程）
我的困惑(学生)
1
探
究
案（课堂 30 分钟）
探究点一 双曲线的定义及标准方程
例 1-1：请根据以上所得及椭圆的定义，给出双曲线的定义？ 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的__________等于常数（该常数___ F1 F2 ）的点的轨迹叫做 _________。这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的_____。
预
一．知识链接
习
案（课前 20 分钟）
姓名 吴兴昌
椭圆的第一定义：平面内到两定点 F1 , F2 的距离的和为常数（大于 F1F2 ）的动点的轨迹叫椭 圆；即 MF1 MF2 2a ， a ﹥2 c ） （2 。 当 2 a =2 c 时，轨迹是一条线段 F1 F2 ； 当 2 a ﹤2 c 时，轨迹不存在。
广饶一中二校区高效课堂导学案
课题 教研组 高一数学 学习 目标 重点 难点
双曲线及其标准方程(第一课时)
1.掌握双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程，能根据条件求简单的双曲线标准方程； 2.培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。 3.启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。 双曲线的定义、标准方程 双曲线的定义、标准方程
双曲线导学案1
双曲线及其标准方程一、学习目标1、能口述：双曲线的定义和标准方程。
2、会利用双曲线的定义求双曲线的标准方程。
会与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．3、本节课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．4．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．5．难点：双曲线的标准方程的推导．二、情景导入，问题引领：1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)老师：如果把椭圆的定义中的和变成差呢?同学们能求一下它的轨迹方程吗？三、自主学习1、类比椭圆得出双曲线的概念2、类比椭圆得出双曲线的标准方程四、合作探究1、双曲线的定义把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？（1）、简单实验(边演示、边说明)如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．（2）、类比椭圆设问问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答：问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？请学生回答：问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？请学生回答：问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？请学生回答：（3）．定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．2、双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导：两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．五、典型例题书上相关例题六、练习及其巩固，布置作业。
新人教A版数学选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；2.掌握双曲线的标准方程；3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【重点难点】双曲线定义及其标准方程【学习过程】一、问题情景导入：1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理）1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的 等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 双曲线的定义用集合语言表示为{}21212,2F F a a MF MF M P <=-=思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2.焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图象 标准方程焦点坐标c b a ,,的关系思考：⑴方程13222=-y x 与13222=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？⑵方程122=+ny m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？三、例题演练：例 1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹.例 2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上；⑵4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3104,1A ; ⑶求与双曲线141622=-y x 有共同的焦点，且过点()2,23的双曲线的标准方程.例3.在ABC ∆中，已知4=BC ,且A B C sin 21sin sin =-，求动点A 的轨迹方程.变式：已知定圆02410:221=+++x y x C ，定圆:C 091022=+-+x y x ，动圆C 与定圆21,C C 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值. ①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y2．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程3．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程4．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同5．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或237．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 98．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________9．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( )A 1 B55 C 2 D 510．P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交。
双曲线及其标准方程导学案
双曲线及其标准方程导学案
一、要点阐述
1、双曲线的定义及焦点、焦距、
2、双曲线的标准方程及其特点；求简单的双曲线的标准方程
教学过程：一、自主学习
完成《学海导航》P29的一层练习
二、演示实验：用拉链画双曲线并与讲解，对答案。
根据所学完成下列所学定义M不图形同点标准方程焦点方程
MyF2OF1F2某F1某相a、b、c的关系同焦点位置的判断点
二、课前训练
1、写下列双曲线焦点的坐标。
某2y21（2）y2某21（3）4y29某236（1）42某2y21表示双曲线，则k的范围是2、若
k1k1
某2y23、若双曲线221的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线
ab的离心率是
某2y24、如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴
42的距离是某2y21上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是5.
已知点P在双曲线
169P到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P点的横坐标是
_________
三、典型例题
9例1、已知双曲线的焦点在y轴上且双曲线上的两点P1（3，-42），P2（，5）
4求双曲线的标准方程？解：
某2y21有共同的焦点，且过P（15，4）例2、已知双曲线与椭圆，
求双曲
2736线的方程。
解：
例 3.双曲线的中心为原点O，焦点在某轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右
AB、OB成等焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已
知OA、差数列，且BF与FA同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：。
高中数学 选修2-1双曲线导学案
双曲线及其标准方程导学案【学习要求】1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程.3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【学法指导】本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程.【知识要点】1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准 方程 焦点焦距|F 1F 2|＝ ，c 2＝【问题探究】探究点一 双曲线的定义问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|?问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1）6)5()5(2222=+--++y x y x ；（2）6)4()4(2222=+--++y x y x（3）方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程.跟踪训练1 （1）过点(1,1)且ba＝2的双曲线的标准方程是 ( )A ．12122=-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1D ．x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1（2）若双曲线以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______探究点三 与双曲线定义有关的应用问题例2 已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点).跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A ． 3B ． 5C ．5－ 3D ．5＋ 3例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.【当堂检测】1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或234．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程.【课堂小结】1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立.要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别.在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解.【拓展提高】1．已知方程12522=---k y k x 的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）A ．k >5B ．k >5，或22<<-kC ．k >2,，或2-<kD ．22<<-k2．===-212221121625,PF PF y x F F P ，则上一点，且为焦点的双曲线是以点（ ） A ．2 B ．22 C ．4或22 D ．2或223．已知双曲线14922=-y x ，B A 、为过左焦点1F 的直线与双曲线左支的两个交点，2,9F AB =为右焦点，则△B AF 2的周长为4．是双曲线上的一点，且，点的两个焦点分别是已知双曲线P F F y x 2122,13=- __________602121的面积等于，则PF F PF F ∆=∠5．根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点P )415,3(，Q )5,316(-且焦点在坐标轴上； （2）c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． （3））的双曲线。
高中数学选修一《双曲线及其标准方程》教案与导学案和同步练习
《3.2.1双曲线及其标准方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线及其标准方程学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。
如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。
所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用。
从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。
正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。
而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。
在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。
【教学目标与核心素养】【教学重点】：用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.【教学难点】：双曲线的标准方程及其求法.【教学过程】双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。
类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
我们知道，平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数于|F 1F 2|）的点的轨迹是椭圆，一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？1.双曲线的定义121如图，在直线上取两个定点,，是直线上的动点。
在平面内，取定点,，以点为圆心、线段为半径作圆，在以为圆心、线段为半径作圆。
l A B P l F F F PA F PB 12如图，在＞的条件下，让两圆的交点的轨迹是什么形状？F F AB M从椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出双曲线的标准方程。
F(-c,0),F F(0,-c),F解：建立平面直角坐标系，使并且原点与线段的中点重合。
2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质【导学案】
故得|MC1|-|MC2|=2 2.在④的情况下,
同理得|MC2|-|MC1|=2 2.
由③④得|MC1|-|MC2|=±2 2.
已知|C1C2|=8,根据双曲线定义,
可知点 M 的轨迹是以 C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线,
且 a= 2,c=4,b2=c2-a2=14,
22
其方程为 - =1.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准
xa22-by22=1
方程
(a>0,b>0)
ya22-bx22=1 (a>0,b>0)
图形
性 范围
质
x≤-a 或 x≥a,y∈R
y≤-a 或 y≥a,x∈R
对称轴:坐标轴 对称中心:原 对称性
点
顶点坐标:
顶点坐标:
顶点
A1(-a,0),
A1(0,-a),
A2(a,0)
22
2.已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|
4 12
的最小值为 ( )
A.9B.8 C.7 D.6
22
【解析】选 A.由 - =1,得 a2=4,b2=12,
4 12
则 a=2,b=2 3,c= 2 + 2=4,
所以左焦点为 F(-4,0),右焦点为 F'(4,0),
22
4.(结论 1)若双曲线 2- 2=1 的焦点 F(3,0)到其渐近线的距离为 5,则双曲线的方程
为( )
22
22
A. - =1 B. - =1
45
54
22
22
C. - =1 D. - =1
2.3.1 双曲线及其标准方程导学案
2.3.1 双曲线及其标准方程【教学目标】1.知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；2.过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；3.情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
【教学重难点】重点：双曲线的定义及其标准方程难点：双曲线定义的理解，双曲线标准方程的推导一、自主学习1.复习回顾（1）椭圆的定义：（2）椭圆的标准方程：①焦点在x轴上：______________________________________________②焦点在y轴上：______________________________________________③a,b,c之间的关系：___________________________________________2.思考：我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？二、合作探究1.双曲线的定义：定义：把平面内的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的_________,两焦点间的距离叫做双曲线的___________. 2.探究：试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？（F1,F2是两定点，|MF1|−|MF2|=2a，|F1F2|=2c，a,c都为正常数）（1）当|MF1|−|MF2|=2a时，点M的轨迹（2）当|MF2|−|MF1|=2a时，点M的轨迹（3）当2a=2c时，点M的轨迹（4）当2a>2c时，点M的轨迹（5）当2a=0时，点M的轨迹3.双曲线标准方程的推导（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程①建系、设点：②写出动点M满足的条件：③将相应点的坐标代如条件，列出方程：④化简：焦点在x轴上的双曲线的标准方程为___________________________________(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，双曲线的焦点分别为F1(0,−c)，F2(0,c),a,b的意义同上，这时双曲线的标准方程是什么？三、典例讲解例.已知双曲线两个焦点分别为F1(−5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.四、当堂检测1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，a＝4，b＝3；（2）焦点为（0，－6），（0，6），且经过点（2，－5）．五、小结总结一下我们这节课学了些什么？六、作业1.教材P61 A组 1、2、32.从定义、标准方程、焦点坐标及a,b,c之间关系等四个方面比较双曲线与椭圆的区别和联系。
3.2.1 双曲线及其标准方程 导学案正文
3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程【学习目标】1.能直观认识双曲线的几何特征,会识别双曲线的定义和相关概念.2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据双曲线定义的代数表达类比导出双曲线的标准方程.3.能识别焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程,能说出标准方程中特征量的关系,能初步应用双曲线的定义和标准方程解决一些相关问题.◆ 知识点一 双曲线的定义1.双曲线的定义:平面内与两个定点F 1,F 2的距离的 等于非零常数( )的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的 .2.双曲线上动点M 的集合表示:P= ,焦距常用 表示. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知两定点F 1(-3,0),F 2(3,0),满足条件|PF 1|-|PF 2|=5的动点P 的轨迹是双曲线. ( ) (2)已知两定点F 1(-3,0),F 2(3,0),满足条件||PF 1|-|PF 2||=6的动点P 的轨迹是双曲线. ( ) (3)已知两定点F 1(-3,0),F 2(3,0),满足条件||PF 1|-|PF 2||=7的动点P 的轨迹是双曲线.( )◆ 知识点二 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 焦点坐标a ,b ,c 的关系【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知方程x 23-m -y 2m -5=1表示焦点在y 轴上的双曲线,则m 的取值范围是3<m<5. ( )(2)在双曲线的标准方程中,a ,b ,c 的关系是a 2=b 2+c 2. ( ) (3)双曲线x 2-y23=1的焦点在y 轴上. ( )◆探究点一与双曲线有关的轨迹方程例1 (1)(多选题)[2024·武汉外国语学校高二月考] 已知F1(-4,0),F2(4,0),下列说法中错误的是( )A.平面内到F1,F2两点的距离相等的点的轨迹是直线B.平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆C.平面内到F1,F2两点的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线的一支D.平面内到F1,F2两点的距离的平方之和为12的点的轨迹是圆(2)若动圆与圆C1:x2+(y-2)2=1和圆C2:x2+(y+2)2=4都内切,则动圆的圆心P的轨迹方程为.变式已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B(-1,0),C(1,0),且sin C-sin B=12sin A,求顶点A 的轨迹方程.[素养小结]1.求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,结合双曲线的定义,得出对应的方程.2.求解与双曲线有关的点的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹是双曲线的一支还是两支.◆探究点二双曲线的标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)a=4,经过点A(1,-4√103);(2)经过点(3,0),(-6,-3).(3)与双曲线x 24-y22=1有相同的焦点且过点P(2,1).变式 根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)a=4,c=6,且焦点在x 轴上; (2)与椭圆C :x 215+y 26=1共焦点且过点P (2,√2).(3)经过点P (-3,2√7),Q (-6√2,-7).[素养小结]双曲线标准方程的两种求法:(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a ,b ,c ,再写出双曲线的标准方程.(2)待定系数法:首先设出双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1或y 2a 2-x 2b2=1(a>0,b>0),然后根据条件求出待定的系数,代入方程即可.特别地,若双曲线的焦点的位置不明确,则应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx 2+ny 2=1,注意标明条件mn<0.◆ 探究点三 双曲线定义的应用例3 (1)设F 1,F 2分别是双曲线C :x 24-y 23=1的左、右焦点,过F 2的直线与C 的右支交于P ,Q 两点,则|F 1P|+|F 1Q|-|PQ|= ( ) A .5B .6C .8D .12(2)已知双曲线x 24-y 29=1,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,点M 在双曲线上且∠F 1MF 2=120°,则△F 1MF 2的面积是 .变式 (1)已知双曲线x 24-y 29=1上一点M 到左焦点F 1的距离为10,则MF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为 ( )A .3或7B .6或14C .3D .7(2)设F 1,F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b2=1(b>0)的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ,B 两点,若△ABF 1为正三角形,则△ABF 1的面积为( ) A .4√3B .4C .3√3D .3(3)[2024·湖北荆荆襄宜七校联盟高二期中] 已知双曲线的方程为x 29-y 216=1,点F 1,F 2分别是其左、右焦点,A是圆x 2+(y-5)2=4上的一点,点M 在双曲线的右支上,则|MF 1|+|MA|的最小值是 .[素养小结]双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间的距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于c-a).(2)双曲线中的焦点三角形问题在双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的焦点三角形PF1F2中,令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,因为|F1F2|=2c,所以有①定义:|r1-r2|=2a;②余弦公式:4c2=r12+r22-2r1r2cos θ;③面积公式:S△PF1F2=12r1r2sin θ.一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.◆探究点四双曲线的实际应用例4如图所示,B地在A地的正东方向4千米处,C地在B地的北偏东30°方向2千米处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2千米.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B,C两地修建公路的费用都是a万元/千米,求修建这两条公路的最低总费用.变式 如图所示,某拱桥的截面图可以看作双曲线y 216-x 2m =1(m>0)的一部分,当拱顶M 到水面的距离为4米时,水面宽AB 为4√3米,则当水面宽度为4√6米时,拱顶M 到水面的距离为( )A .4米B .(8√2-4)米C .(2√6-4)米D .(4√7-4)米[素养小结]利用双曲线的定义与标准方程解决双曲线的实际应用问题的一般方法:在实际问题中寻找几何量之间的关系,得到几何关系式,验证满足双曲线的定义.检验所求的轨迹是双曲线、线段还是不存在,判断是双曲线的一支还是两支.。
双曲线的方程
高二数学选修2-1 编号：SX-理科-2012.2.1《双曲线及其标准方程》导学案编写： 审核： 使用时间：2013年2月18日班级： 组名： 姓名：【学习目标】了解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程,会利用定义和标准方程解决一些简单的问题. 【重点难点】重点：双曲线的定义难点：双曲线标准方程的推导【知识链接】1、什么叫椭圆?2、椭圆的标准方程有哪两种形式?其中的,,a b c 的关系式是什么?【引入新课】一、双曲线的定义与标准方程：1． 双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫 ，即a MF MF 221=-，这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做 。
(1)将定义中的“绝对值”去掉,动点轨迹是什么?例如|MF 1|-|MF 2|=2a ，表示哪支呢？ 而|MF 2|-|MF 1|=2a 呢？ (2)将定义中的常数令为零,动点轨迹是什么? (3)将定义中的“小于”换为“等于”,动点轨迹是什么? (4)将定义中的“小于”换为“大于”,动点轨迹是什么?2．双曲线的标准方程：1）以 为 轴，以 为 轴，建立直角坐标系XOY （如下图），则F 1、F 2、O 的坐标分别是F 1 、F 2 、O 。
2)设M(x,y)是双曲线上的任意一点,由双曲线的定义有:-1MF = ，（＊）由两点距离公式有：1MF = ，2MF = ； 代入（＊）式：化简得到焦点在X 轴上的双曲线的标准方程为： ， 其中焦点坐标为 ；类似的得到焦点在Y 轴上的双曲线的标准方程为： ， 其中焦点坐标为 。
3．双曲线的标准方程的特点：（1）焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为： ；焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为： 。
_y标准方程左边的两项用 号连接，这点与椭圆有什么不同？(2)c b a ,,的关系： ，而椭圆标准方程中c b a ,,的关系是： 。
4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在 轴上。
双曲线(经典导学案及练习答案详解)
§8.7双曲线学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±ba x y＝±ab xa，b，c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a.(4)若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.(5)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) 教材改编题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b ＝2a ， 又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 2．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对 答案 B解析 根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|等于1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17. 3．(2022·汕头模拟)写一个焦点在y 轴上且离心率为3的双曲线方程________． 答案y 2－x 22＝1(答案不唯一，符合要求就可以) 解析 取c ＝3，则e ＝ca＝3，可得a ＝1，∴b ＝c 2－a 2＝2， 因此，符合条件的双曲线方程为y 2－x 22＝1(答案不唯一，符合要求就可以).题型一 双曲线的定义及应用例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆答案 B解析 如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|， 所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM || ＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______． 答案 2 3解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.延伸探究 在本例(2)中，若将“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，则△F 1PF 2的面积为_____．答案 2解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1―→·PF 2―→＝0，∴PF 1―→⊥PF 2―→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.教师备选1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A ．x 2－y 28＝1B.x 28－y 2＝1 C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1) 答案 C解析 设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切， 得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ， |MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3,0)和C 2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3， 则b 2＝c 2－a 2＝8， 所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． 2．(2022·长春模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A ．8 B ．10 C ．4＋37 D ．3＋317答案 B解析 由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时， |PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3， 故△P AF 的周长的最小值为10.思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1 (1)(2022·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C 的离心率为3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2，则双曲线C 的实轴长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 答案 B解析 由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ， 又离心率e ＝ca ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝23a ，所以cos ∠F 1PF 2＝9a 2＋a 2－12a 22·3a ·a＝－2a 26a 2＝－13， sin ∠F 1PF 2＝223，所以12PF F S △＝12·a ·3a ·223＝2a 2＝2，所以a ＝1，实轴长2a ＝2.(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 答案 9解析 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|， 所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小． 由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时， 满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|＋4即|PF |＋|P A |的最小值． 又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9. 题型二 双曲线的标准方程例2 (1)(2021·北京)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．x 2－3y 23＝1D.3x 23－y 2＝1答案 A解析 ∵e ＝ca＝2，则c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ， 则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y 23＝1. (2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________．答案y 2－x 29＝1 解析 设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(3，2)， 所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1. 教师备选1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析 因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1. 2．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．答案 y 225－x 275＝1解析 设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1， 解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ，2b 或2c ，从而求出a 2，b 2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2 (1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x 223＝1 答案 C解析 因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)(2022·佛山调研)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 28＝1 D ．x 2－y 22＝1 答案 D解析 由题意可知|PF 1|＝43c3， |PF 2|＝23c3， 2b ＝22，由双曲线的定义可得43c 3－23c3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1.题型三 双曲线的几何性质 命题点1 渐近线例3 (1)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A.y 212－x 24＝1 B.3y 24－x 24＝1 C.x 24－y 24＝1 D.y 216－x 24＝1 答案 B解析 由题意知，b ＝2， 又因为e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，解得a 2＝43，所以双曲线的方程为3y 24－x 24＝1.(2)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 B解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax .因为D ，E 分别为直线x ＝a 与双曲线C 的两条渐近线的交点， 所以不妨设D (a ，b )，E (a ，－b )，所以S △ODE ＝12×a ×|DE |＝12×a ×2b ＝ab ＝8，所以c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16(当且仅当a ＝b 时等号成立)， 所以c ≥4，所以2c ≥8， 所以C 的焦距的最小值为8.思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb ＝0⎝⎛⎭⎫y ＝±b a x . (2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2 离心率例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( ) A.72 B.132C.7D.13 答案 A解析 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ， 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝m 2＋9m 2－2×3m ×m ×cos 60° ＝7m ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝7m 2m ＝72. 高考改编已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线E 的左支上，且∠F 1AF 2＝120°，|AF 2|＝2|AF 1|，则双曲线E 的离心率为( ) A. 3 B. 5 C.7 D ．7答案 C解析 点A 在双曲线E 的左支上，左、右焦点分别为F 1，F 2， 设|AF 1|＝m ，由|AF 2|＝2|AF 1|知|AF 2|＝2m ，由双曲线定义得|AF 2|－|AF 1|＝2m －m ＝m ＝2a ， 在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°， 由余弦定理知，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos 120° ＝4a 2＋16a 2＋8a 2＝28a 2， ∴|F 1F 2|＝27a ， 又|F 1F 2|＝2c ，∴27a ＝2c ，e ＝ca＝7.(2)(2022·滨州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,3) C ．(3，＋∞) D ．(2,3)答案 A解析 在△PF 1F 2中， sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2， 由正弦定理得，|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点， 所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|， 得3a ＋a >2c ，即2a >c ， 所以e ＝ca <2，又e >1，所以1<e <2. 教师备选1．(2022·济南模拟)已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m 等于( )A.12B.3－1C.3＋12D ．2答案 A解析 由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ， 所以b a ＝33， 则b 2a 2＝13， 即m m ＋1＝13，m ＝12. 2．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5答案 A解析 令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)，则c ＝a 2＋b 2. 如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2， 由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝⎛⎭⎫c 22＋⎝⎛⎭⎫c 22＝a 2，∴c a＝2，即离心率e ＝ 2. 思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝c a转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3 (1)(多选)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，C 上的点到其焦点的最短距离为1，则( )A ．双曲线C 的焦点坐标为(0，±2)B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．点(2,3)在双曲线C 上D ．直线mx －y －m ＝0(m ∈R )与双曲线C 恒有两个交点答案 BC解析 双曲线C 上的点到其焦点的最短距离为c －a ＝1，离心率e ＝c a ＝2，所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1，所以C 的焦点坐标为(±2,0)，A 错误； 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x ，B 正确； 因为22－323＝1，所以点(2,3)在双曲线C 上，C 正确； 直线mx －y －m ＝0即y ＝m (x －1)，恒过点(1,0)，当m ＝±3时，直线与双曲线C 的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D 错误．(2)(2022·威海模拟)若双曲线C 1：y 24－x 29＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线C 2的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，132B.⎝⎛⎭⎫1，133 C.⎝⎛⎭⎫132，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫133，＋∞ 答案 D解析 因为双曲线C 1：y 24－x 29＝1的渐近线方程为y ＝±23x ， 双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax ， 为使双曲线C 1：y 24－x 29＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点， 只需b a >23， 则离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋49＝133. 课时精练1．双曲线9x 2－16y 2＝1的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫±512，0 B.⎝⎛⎭⎫0，±512 C ．(±5,0) D ．(0，±5)答案 A解析 将双曲线的方程化为标准形式为x 219－y 2116＝1， 所以c 2＝19＋116＝25144， 所以c ＝512， 所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫±512，0. 2．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 28＝1 C ．x 2－y 28＝1 D.x 22－y 28＝1 答案 D解析 由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，所以双曲线的标准方程为x 22－y 28＝1. 3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3答案 B解析 方法一 依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9.方法二 根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．4．(2022·大连模拟)若双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C.43 D.233答案 A解析 双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点坐标为(9＋b 2，0)，渐近线方程为y ＝±b 3x ，即bx ±3y ＝0， ∵双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33， ∴b 9＋b 2b 2＋9＝33， 解得b ＝33，∴c ＝9＋b 2＝9＋(33)2＝6，∴离心率e ＝c a ＝63＝2. 5．(多选)已知双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1，则下列说法正确的是( ) A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34x C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94答案 ABC解析 因为a 2＝16，所以a ＝4,2a ＝8，故A 正确；因为a ＝4，b ＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x ，故B 正确； 因为c ＝a 2＋b 2＝16＋9＝5，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x －4y ＝0的距离为|15|32＋(－4)2＝3，故C 正确；双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为c －a ＝1，故D 错误． 6．(多选)(2022·潍坊模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线方程为y ＝34x ，P 为C 上一点，则以下说法正确的是( ) A ．C 的实轴长为8B ．C 的离心率为53 C ．|PF 1|－|PF 2|＝8D ．C 的焦距为10 答案 AD解析 由双曲线方程知，渐近线方程为y ＝±3a x ，而一条渐近线方程为y ＝34x ， ∴a ＝4，故C ：x 216－y 29＝1， ∴双曲线实轴长为2a ＝8，离心率e ＝c a ＝16＋94＝54， 由于P 可能在C 不同分支上，则有||PF 1|－|PF 2||＝8，焦距为2c ＝2a 2＋b 2＝10.∴A ，D 正确，B ，C 错误．7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则该双曲线C 的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2， 所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a2＝3， 所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 8．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案 3215解析 因为a 2＝9，b 2＝16，所以c ＝5.所以A (3,0)，F (5,0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)， 代入双曲线方程解得B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12×2×3215＝3215. 9．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1－→·MF 2－→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同的焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程． 解 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，∵MF 1－→·MF 2－→＝0，∴MF 1⊥MF 2.设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线的定义知m －n ＝2a ＝8.①在Rt △F 1MF 2中，由勾股定理得m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8.∵12MF F S △＝12mn ＝4＝12×2ch ， ∴h ＝255. 即M 点到x 轴的距离为255. (2)设双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1. 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线方程是y ＝±255x ，点A (0，b )，且△AF 1F 2的面积为6.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若|AP |＝|AQ |，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意得b a ＝255，① 12AF F S △＝12×2c ·b ＝6，②a 2＋b 2＝c 2，③由①②③可得a 2＝5，b 2＝4，∴双曲线C 的标准方程是x 25－y 24＝1. (2)由题意知直线l 不过点A .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点为D (x 0，y 0)，连接AD (图略)．将y ＝kx ＋m 与x 25－y 24＝1联立，消去y ， 整理得(4－5k 2)x 2－10kmx －5m 2－20＝0，由4－5k 2≠0且Δ>0，得⎩⎪⎨⎪⎧4－5k 2≠0，80(m 2－5k 2＋4)>0，④ ∴x 1＋x 2＝10km 4－5k 2，x 1x 2＝－5m 2＋204－5k 2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝5km 4－5k 2， y 0＝kx 0＋m ＝4m 4－5k 2. 由|AP |＝|AQ |知，AD ⊥PQ ，又A (0,2)，∴k AD ＝y 0－2x 0＝4m 4－5k 2－25km 4－5k 2＝－1k， 化简得10k 2＝8－9m ，⑤由④⑤，得m <－92或m >0. 由10k 2＝8－9m >0，得m <89. 综上，实数m 的取值范围是m <－92或0<m <89.11．(多选)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的离心率为62B ．双曲线y 24－x 28＝1与双曲线C 的渐近线相同 C ．若PO ⊥PF ，则△PFO 的面积为 2D ．|PF |的最小值为2答案 ABC解析 因为a ＝2，b ＝2，所以c ＝a 2＋b 2＝6，所以e ＝c a ＝62， 故A 正确；双曲线y 24－x 28＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，故B 正确； 因为PO ⊥PF ，点F (6，0)到渐近线2x －2y ＝0的距离d ＝|2×6|6＝2， 所以|PF |＝2，所以|PO |＝(6)2－(2)2＝2，所以△PFO 的面积为12×2×2＝2， 故C 正确；|PF |的最小值即为点F 到渐近线的距离，即|PF |＝2，故D 不正确．12．(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C: x 24－y 2b2＝1(b >0)，以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫1，132 C.⎝⎛⎭⎫ 32，132 D ．(1，13) 答案 B解析 由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y ＝b 2x ，即bx －2y ＝0， 又该圆的圆心为(c ，0)，故圆心到渐近线的距离为bc b 2＋4， 则由题意可得bc b 2＋4<3，即b 2c 2<9(b 2＋4)， 又b 2＝c 2－a 2＝c 2－4，则(c 2－4)c 2<9c 2，解得c 2<13，即c <13，则e ＝c a ＝c 2<132，又e >1， 故离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，132. 13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，双曲线的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 A 解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，可得a ＝2b ，由双曲线的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，可得c ＝5，则由a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝1，双曲线的方程为x 24－y 2＝1， 由题意可得A (－2,0)，B (2,0)，设P (m ，n )(m >2，n >0)，则m 24－n 2＝1，即n 2m 2－4＝14， k 1k 2＝n m ＋2·n m －2＝n 2m 2－4＝14， 易知k 1，k 2>0，则k 1＋k 2≥2k 1k 2＝1，由A ，B 分别为双曲线的左、右顶点，可得k 1≠k 2，则k 1＋k 2>1.14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为原点，若以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且|F 1P |＝3|OP |，则C 的渐近线方程为________． 答案 y ＝±3x解析 根据双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，O 为原点，以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，如图所示，则|F 1O |＝|OP |＝c ，|F 1P |＝3|OP |＝3c ，所以在△POF 1中，由余弦定理可得cos ∠POF 1＝|OP |2＋|OF 1|2－|PF 1|22|OP |·|OF 1|＝c 2＋c 2－()3c 22×c ×c＝－12. 所以∠POF 1＝2π3，则∠POF 2＝π3，所以tan ∠POF 2＝tan π3＝3， 则渐近线方程为y ＝±3x .15．(多选)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在圆O ：x 2＋y 2＝13上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M ，N ，点E (0，a )满足EO →＋EM →＋EN →＝0(其中O 为坐标原点)，则( )A ．双曲线C 的一条渐近线方程为3x －2y ＝0B ．双曲线C 的离心率为132C ．|OE →|＝1D ．△OMN 的面积为6答案 ABD解析 如图，设双曲线C 的焦距为2c ＝213，MN 与y 轴交于点P ，由题意可知|OM |＝c ＝13，则P (0，b )，由EO →＋EM →＋EN →＝0得点E 为△OMN 的重心，可得|OE |＝23|OP |， 即a ＝23b ，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝94， 所以a ＝2，b ＝3，e ＝132. 双曲线C 的渐近线方程为3x ±2y ＝0，|OE →|＝2，M 的坐标为(2,3)，S △OMN ＝6.16．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |.(1)求C 的离心率；(2)若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF .(1)解 设双曲线的半焦距为c ，则F (c ，0)，B ⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ， 因为|AF |＝|BF |，所以b 2a＝a ＋c ， 所以c 2－a 2a＝a ＋c ， 所以c －a ＝a ，即c ＝2a ，所以e ＝2.(2)证明 设B (x 0，y 0)，其中x 0>a ，y 0>0. 因为e ＝2，故c ＝2a ，b ＝3a ， 故双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠BAF ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∠BF A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 当∠BF A ＝π2时， 由题意易得∠BAF ＝π4， 此时∠BF A ＝2∠BAF .当∠BF A ≠π2时， 因为tan ∠BF A ＝－y 0x 0－c ＝－y 0x 0－2a， tan ∠BAF ＝y 0x 0＋a， 所以tan 2∠BAF ＝2y 0x 0＋a 1－⎝⎛⎭⎫y 0x 0＋a 2＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－y 20 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－b 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3a 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3(x 20－a 2) ＝2y 0(x 0＋a )－3(x 0－a ) ＝－y 0x 0－2a＝tan ∠BF A ，因为2∠BAF ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，故∠BF A ＝2∠BAF . 综上，∠BF A ＝2∠BAF .。
精品导学案：双曲线及其标准方程
精品导学案：1. 1.3双曲线及其标准方程课前预习学案一、预习目标①双曲线及其焦点,焦距的定义。
②双曲线的标准方程及其求法。
③双曲线中a，b，c的关系。
④双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。
二、预习内容①双曲线的定义。
②利用定义推导双曲线的标准方程并与椭圆的定义、标准方程和推导过程进行李类比。
③掌握a，b，c之间的关系。
三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、教学过程前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆”。
下面我们来考虑这样一个问题？平面内与两定点F1，F2的距离差为常数的点的轨迹是什么？我们在平面上固定两个点F1，F2，平面上任意一点为M，假设|F1F2|=100,|MF1|＞|MF2|且|MF1|－|MF2|=50不断变化|MF1|和|MF2|的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。
若我们交换一下长度，|MF1|＜|MF2|且|MF1|－|MF2|=－50时，可知它的轨迹也是一条曲线那么由这个实验我们得出一个结论：“平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。
”但大家思考一下这个结论对不对呢？我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一个常数，这个常数（必须大于|F1F2|）那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和|F1F2|有什么关系呢？下面我们来看一个试验，当|MF1|－|MF2|=0时，M点的轨迹为F1，F2的中垂线；随着|MF1|-|MF2|的不断变化，呈现出一系列不同形状的双曲线；当|F1F2|即和|F1F2|长度相等时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；若|MF1|-|MF2|＞100 时，就不存在点M。
那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义：定义：平面内与两定点F1，F2的距离差的绝对值为非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是双曲线。
高中数学《双曲线及其标准方程》(导学案)
第二章 圆锥曲线与方程2.2.1 双曲线及其标准方程一、学习目标1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．【重点、难点】1.双曲线的定义及标准方程2.双曲线的标准方程的推导及简单应用二、学习过程【复习引入】复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．【导入新课】问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线；由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．新知2：双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴） 其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？【典型例题】【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．【例2】 如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2【变式拓展】1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)．2.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．三、总结反思1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论．四、随堂检测1．动点P 到点M (1,0)，N (－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0) B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)3．满足条件a ＝2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 24－y 216＝1 D.x 216－y 24＝14．已知双曲线x 216－y 29＝1的左支上一点M 到其左焦点F 1的距离为10，求点M 到该曲线左焦点F 2的距离．。
高中数学《双曲线及其标准方程》导学案
2．3.1双曲线及其标准方程1．双曲线(1)定义□01平面内与两个定点F，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于1零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)双曲线的集合描述设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合□02P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}．2．双曲线的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b.()(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax2＋By2＝1(其中AB<0)．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若双曲线x24－y216＝1上一点M到左焦点的距离为8，则点M到右焦点的距离为________．(2)双曲线x2－4y2＝1的焦距为________．(3)(教材改编P55T1)已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．(4)下列方程表示焦点在y轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x2－y22＝1；②x2a＋y22＝1(a<0)；③y2－3x2＝1；④x2cosα＋y2sinα＝1⎝⎛⎭⎪⎫π2<α<π.答案(1)4或12(2)5(3)x225－y224＝1或y225－x224＝1(4)②③④解析(3)∵a＝5，c＝7，∴b＝c2－a2＝24＝2 6.当焦点在x轴上时，双曲线方程为x225－y224＝1；当焦点在y轴上时，双曲线方程为y225－x224＝1.探究1双曲线标准方程的认识例1若θ是第三象限角，则方程x2＋y2sinθ＝cosθ表示的曲线是()A．焦点在y轴上的双曲线B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在x轴上的椭圆[解析] 曲线方程可化为x2cosθ＋y2cosθsinθ＝1，θ是第三象限角，则cosθ<0，cosθsinθ>0，所以该曲线是焦点在y轴上的双曲线．故选A.[答案] A拓展提升双曲线方程的认识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x2m＋y2n＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m>0，n<0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m<0，n>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线．【跟踪训练1】 若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线 答案 C 解析 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1， ∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．探究2 双曲线的标准方程例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，352，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4两点； (2)两焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，且过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫352，2.[解] (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3522b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4732a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19(不符合题意，舍去)．当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫3522a 2－4b 2＝1，42a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4732b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)由已知可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 代入点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫352，2可得454a 2－4b 2＝1，① 又a 2＋b 2＝25，②由①②联立可得a 2＝9，b 2＝16， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1.[解法探究] 例2(1)有没有其他解法呢？ 解 ∵双曲线的焦点位置不确定， ∴设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵M ，N 在双曲线上，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋454n ＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19，∴所求双曲线方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.拓展提升利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c (m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将a ，b ，c (m ，n )代入所设方程即为所求．【跟踪训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． 解 (1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)， F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1. 由题意，知⎩⎨⎧a 2＋b 2＝9，42a 2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1. (2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1. 探究3 双曲线定义的应用例3 如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.由于c －a ＝5－3＝2,10>2,22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16. 拓展提升双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．(2)双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有①定义：|r1－r2|＝2a.②余弦公式：4c2＝r21＋r22－2r1r2cosθ.③面积公式：S△PF1F2＝12r1r2sinθ.一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【跟踪训练3】(1)已知P是双曲线x264－y236＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，求|PF2|的值．解由双曲线方程x264－y236＝1可得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2，因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.(2)已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．解由x29－y216＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，则S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝12×64×32＝16 3.探究4与双曲线有关的轨迹问题例4如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．并指出表示什么曲线．[解] 如图，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－22，0)，B(22，0)．由正弦定理得sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2a＋c＝2b，即b－a＝c2.从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝22<AB.∴由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支且不包括顶点．∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6.∴顶点C的轨迹方程为x22－y26＝1(x>2)．故C点的轨迹为双曲线右支且除去点(2，0)．拓展提升用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)．(2)根据已知条件确定参数a，b的值(定参)．(3)写出标准方程并下结论(定论)．【跟踪训练4】如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：(x －5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心为F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心为F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1， |MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3<|F 1F 2|＝10， ∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支， 且a ＝32 ，c ＝5，∴b ＝912，∴点M 的轨迹方程为49x 2－491y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤－32.1.双曲线的定义中，一定要注意的几点(1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了； (2)不可漏掉定义中的常数小于|F 1F 2|，否则，当2a ＝|F 1F 2|时，||PF 1|－|PF 2||＝2a 表示两条射线；当||PF 1|－|PF 2||>2a 时，不表示任何图形；(3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支.2.求双曲线的标准方程时，应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置；(2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a ，b 的值.1．若方程y24－x2m＋1＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A．(－1,3) B．(－1，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，－1)答案B解析依题意，应有m＋1>0，即m>－1.2．已知双曲线x216－y29＝1，则双曲线的焦点坐标为()A．(－7，0)，(7，0) B．(－5,0)，(5,0)C．(0，－5)，(0,5) D．(0，－7)，(0，7)答案B解析由双曲线的标准方程可知a2＝16，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，故c＝5.又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)．3．已知双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为() A．2a＋2m B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m答案B解析∵A，B在双曲线的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，∴|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a.∴|BF1|＋|AF1|＝4a＋m.∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m.4．焦点在y轴上，a＝3，c＝5的双曲线方程为________．答案y29－x216＝1解析∵b2＝c2－a2＝52－32＝16，又焦点在y轴上，∴双曲线方程为y29－x216＝1.5．已知双曲线的两个焦点F1，F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．解 若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得2a ＝24，2c ＝26.∴a ＝12，c ＝13，b 2＝132－122＝25. 双曲线的方程为x 2144－y 225＝1；若以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系．则双曲线的方程为y 2144－x 225＝1.A 级：基础巩固练一、选择题1．已知F 1(－5,0)，F 2 (5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3和5时，P 点的轨迹分别是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线 答案 D解析 依题意得|F 1F 2|＝10，当a ＝3时，2a ＝6<|F 1F 2|，故P 点的轨迹为双曲线的右支；当a ＝5时，2a ＝10＝|F 1F 2|，故P 点的轨迹为一条射线．选D.2．已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A. 2B.10 C ．4 D.34 答案 C解析 因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a 2－9＝7，∴a ＝4.选C.3．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )答案 C解析 方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2b ＝1.从B ，D 中的两个椭圆看，a ，b ∈(0，＋∞)，但由B 中直线可知a <0，b <0，矛盾，应排除B ；由D 中直线可知a <0，b >0，矛盾，应排除D ；再由A 中双曲线可知a <0，b >0，与直线中a >0，b >0矛盾，应排除A ；由C 中的双曲线可知a >0，b <0，和直线中a >0，b <0一致，应选C.4．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A ．4B ．6C ．214D ．47 答案 B解析 由双曲线方程得a 2＝4，b 2＝5，c 2＝9， 即c ＝3，则焦点为F 1(－3,0)，F 2(3,0)． ∵点P 在双曲线C 的右支上，且PF 1→·PF 2→＝0，∴△F1PF2为直角三角形．则|PF1→＋PF2→|＝2|PO→|＝|F1F2|＝2c＝6.故选B.5．若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是()A.x216＋y215＝1 B.x225＋y224＝1C．x2－y215＝1 D．x2－y2＝1答案D解析不妨设曲线的焦点为F1，F2，假设|PF1|＝2|PF2|，若是椭圆，则|PF1|＋|PF2|＝2|PF2|＋|PF2|＝3|PF2|＝2a，即|PF1|＝4a3，|PF2|＝2a3；若是双曲线，则|PF1|－|PF2|＝2|PF2|－|PF2|＝|PF2|＝2a，即|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.可以验证，对于选项A，B，C，上述条件下的数量关系都不能保证构成三角形PF1F2，只有D，由于a＝1，c＝2，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝22构成三角形．即存在“Ω点”的曲线是x2－y2＝1.6．P是双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为() A．6 B．7 C．8 D．9答案D解析如图所示，因为a＝3，b＝4，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)，因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6.所以|MP|≤|PF1|＋|MF1|，|PN|≥|PF2|－|NF2|，所以－|PN|≤－|PF2|＋|NF2|，所以|PM|－|PN|≤|PF1|＋|MF1|－|PF2|＋|NF2|＝6＋1＋2＝9.二、填空题7．若双曲线x2m－y23＝1的右焦点坐标为(3,0)，则m＝________.答案6解析由已知a2＝m，b2＝3，∴m＋3＝9.∴m＝6.8．已知椭圆x26＋y22＝1和双曲线x23－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是________．答案1 3解析不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点，因为P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2 6.又P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝23，两式联立，得|PF1|＝6＋3，|PF2|＝6－ 3.又|F1F2|＝4，根据余弦定理可以求得cos∠F1PF2＝13.9．已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的标准方程是________．答案x214－y234＝1解析如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，在Rt△BMN 中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝|BM|2＋|MN|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，即a 2＝14.而2c ＝|MN |＝2，从而c ＝1，b 2＝34.所以双曲线E 的标准方程是x 214－y 234＝1.三、解答题10．已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解 设P 的坐标为(x ，y )． ∵圆P 与圆C 外切且过点A ， ∴|PC |－|P A |＝4. ∵|AC |＝(3＋3)2＋0＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C ，A 为焦点，实轴长为2a ＝4的双曲线的右支， ∵a ＝2，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝5.∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．B 级：能力提升练1．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判别△MF 1F 2的形状．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则有⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设点M 在双曲线的右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23， 又|MF 1|＋|MF 2|＝63， 故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，边MF 1最长，因为cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．2．A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6千米，C 在B 北偏西30°，相距4千米，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方向角．解 如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－3,0)，A (3,0)，C (－5，23)．因为|PB |＝|PC |，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上． 设敌炮阵地的坐标为(x ，y )， 因为k BC ＝－3， BC 中点D (－4，3)， 所以直线l PD ：y －3＝13(x ＋4)．① 又|PB |－|P A |＝4，故P 在以A ，B 为焦点的双曲线右支上． 则双曲线方程为x 24－y 25＝1(x >0)．②联立①②式，得x ＝8，y ＝53，所以P 的坐标为(8,53)． 因此k P A ＝538－3＝ 3.故炮击的方向角为北偏东30°.。
高中数学第二章圆锥曲线与方程双曲线1双曲线及其标准方程导学案11
2。
3。
1双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2。
掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题。
知识点一双曲线的定义思考1如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案曲线上的点满足条件：｜MF1|－｜MF2｜＝常数；如果改变一下笔尖位置，使｜MF2｜－｜MF1|＝常数,可得到另一条曲线。
思考2已知点P（x，y）的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)｜错误!－错误!｜＝6；（2）错误!－错误!＝6。
答案(1)∵|错误!－错误!|表示点P(x，y)到两定点F1（－5，0)、F2（5，0）的距离之差的绝对值,｜F1F2｜＝10，∴||PF1｜－｜PF2|｜＝6〈｜F1F2｜，故点P的轨迹是双曲线.（2)∵错误!－错误!表示点P（x，y)到两定点F1（－4，0）、F2（4，0)的距离之差，｜F1F2|＝8,∴｜PF1|－｜PF2｜＝6〈｜F1F2｜，故点P的轨迹是双曲线的右支。
梳理把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于｜F1F2｜)的点的集合叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距。
知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准形式有两种,如何区别焦点所在的坐标轴？答案双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴.当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关.思考2如图,类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B,使|OB|＝b吗？答案以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B.类型一双曲线的定义及应用命题角度1双曲线中的焦点三角形问题例1(1）如图，已知双曲线的方程为错误!－错误!＝1(a〉0，b〉0)，点A,B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB｜＝m，F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为________.(2）已知双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°,则△F1PF2的面积为________。
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双曲线及其标准方程
学习目标：掌握双曲线的定义及标准方程，进一步理解坐标法的思想；
学习重点：了解双曲线的定义；
学习难点：双曲线标准方程的推导过程；
学习过程：
一、复习与问题：
1、复习：椭圆的定义
椭圆的标准方程：
2、问题：平面内与两定点的距离的和等于常数（大于两定点之间的距离）的
点的轨迹叫做椭圆，平面内与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样
的曲线呢
二、双曲线的定义：
双曲线的定义：把平面内 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的
合作探究：试说明在下列条件下动点M 的轨迹各是什么图形
),,2,2,(212121都为正常数是两定点，c a c F F a MF MF F F ==-
（1）当21MF MF -=2a 时，点M 的轨迹
（2）当12MF MF -=2a 时，点M 的轨迹
（3）当2a =2c 时，动点M 的轨迹
（4）当2a >2c 时，动点M 的轨迹
（5）当2a =0时，动点M 的是轨迹
三、双曲线的标准方程：
1、焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 建系：
设点：
若焦距为2c (c >0),则1F ，2F ，又设点M 与两焦点的距离差的绝对值等于常数2a ，由双曲线的定义得：
（整理过程）
由曲线与方程的关系知所求方程为双曲线的标准方程，
双曲线的标准方程
它所表示的双曲线的焦点在 ，焦点坐标为
2、焦点在y 轴上的双曲线的标准方程
焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 ，
它所表示的双曲线的焦点在 ，焦点坐标为
思考:如何根据双曲线的标准方程确定焦点的位置
四、典例剖析
例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于8，则求双曲线的标准方程.
变式1、已知双曲线的焦点为F1(0,-5), F2(0,5)，双曲线上一点P 到F1、F2的距离的差等于6，求双曲线的方程.
例2、求适合下列条件的双曲线的标准方程
1、焦点为（0，--6）,（0，6）,且经过点（2，5）
2、焦点在x 轴上，
3、经过两点
），（），，
（372B 267A --），
（经过点25A ,52-=a
例3、已知方程表11
22
2=+-+m y m x 示双曲线，求m 的取值范围
五、当堂检测：（见PPT ）
六、课堂小结：
师：我们总结一下本节课我们学了什么
生：1、双曲线的定义；2、双曲线标准方程推导过程；3、运用已有知识解决一些
简单的问题。
七、作业：
1、课本P49：1.2.3
2、预习双曲线的几何性质。