圆切线证明的方法

切线证明法

切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径

切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证：DC 是⊙O 的切线．

思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可．

证明：连接OC ，BC ．

∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º． ∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝2

1

AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝

2

1

OD ．∴∠OCD ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．

【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．

思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．

证明：连接OD ．

∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．

图1

图2

又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，

∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．

∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．

【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ．

思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．

证明：连接OC ．

∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．

【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．

【例4】 如图1，B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？ 解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC ， ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．

∵∠COD 是△BOC 的外角， ∴∠COD =∠OCB +∠B =2∠B ． ∵∠ACD =2∠B ， ∴∠ACD =∠COD ． ∵CD ⊥AB 于D ， ∴∠DCO +∠COD =90°． ∴∠DCO +∠ACD =90°． 即OC ⊥AC ．

∵C 为 ⊙O 上的点，

∴AC 是⊙O 的切线．

【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC 的外接圆，AB 是⊙Ｏ的直径，D 是AB 的延长线上的一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，且AC 平分∠EAB ．求证：DE 是⊙O 的切线．

证明：连接OC ，则OA =OC ，

图3

O A

B

C

D

2 3

1

∴∠CAO=∠ACO，

∵AC平分∠EAB，

∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，

∴AE∥CO，

又AE⊥DE，

∴CO⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径

【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．

证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．

∵AB=AC,OB=OC．

∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO

∵⊙O与AB相切于点D，

∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO

∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．

∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．

∴⊙O与AC边相切．

【例7】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC 于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.

证明：连结OE，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.

又∵AB=BC，

∴∠3=∠4.

⌒⌒

∴BD=DE，∠1=∠2.

又∵OB=OE，OF=OF，

∴△BOF≌△EOF（SAS）.

∴∠OBF=∠OEF.

∵BF与⊙O相切，

∴OB⊥BF.

∴∠OEF=900.

∴EF与⊙O相切.

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA与⊙O相切.

证明一：作直径AE，连结EC.

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径，

∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.

∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切.

证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.

∵AD是∠BAC的平分线，

⌒⌒

∴BE=CE，

∴OE⊥BC.

∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE，

∴∠E=∠1.

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.

证明一：连结OD.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.