人教A版数学必修二3.2.3《直线的一般方程》课件(共32张PPT)

（2）直线在y轴上的截距b
令x=0，解出 y C ，则 b C
B
B
(3) 直线与x轴的截距a
令y=0，解出 x C ，则 a C
A
A
研究过一元二次方程与直线方程的联系后，我们 就能从几何的角度看一个一元二次方程，即一个一 元二次方程表示一条直线。一元二次方程的每个解 可以看成直角坐标系中直线上一点的坐标。
y
解：设直线为Ax+By+C=0，
3
x ∵直线过点（0，3）代入直线方程
O
得3B= -C， B= －C/3。
又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A,y= -C/B 由三角形面积为6得 C2 12
AB
∴A=±C/4 ∴方程为 C x C y C 0
43
所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0。
3.2.3 直线的一般式方程
教学目标
知识与能力
➢明确直线方程一般式的形式特征。 ➢会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率 和截距。 ➢会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
过程与方法
➢学会用分类讨论的思想方法解决问题。
情感态度与价值观
➢认识事物之间的普遍联系与相互转化。 ➢用联系的观点看问题。
4、若方程 mx (m2 m)y 1 0 表示一条直线，则 实数m的取值范围是___m_≠_0_____. 5、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3， 则m的值是__-6________.
6、利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并 且与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程。
例一
已知直线经过点P（3,-1），斜率为 2 ，求直线的点
斜式和一般式方程。
解：经过点P（3，- 1）并且斜率等于 2 的直
线方程的点斜式是 y 1 2(x 3)
化成一般式，得 2x y 3 2 1 0 。
例二
把直线l的方程2x+3y-6=0化成斜截式，求出直 线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图。
3
截距是-3；（2）斜率是-1。
解：（1）由题意得
2m 6 m2 2m
3
3
m2 2m 3 3 2m 6 解得m 3或m 5 3
而当m 3时,m2 2m 3 0
m 3,m 5 3
(2)由题意得
m2 2m 3 2m2 m 3 1
m2 2m 3 (2m2 m 1) 0 解得m 1或m 4
直角坐标系是把方程和直线联系起来的桥梁，这 是笛卡尔的伟大贡献。
课堂小结
1、直线方程的一般式Ax+By+c=0（A，B不同时为 零）的两方面含义： (1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程。 (2)关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。 2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化。
随堂练习
1、若直线 (2m2 5m 3)x (m2 9)y 4 0 的倾 斜角为450，则m的值是（B ）
A. 3
B. 2
C. -2
D. 2与3
2、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 │PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直 线PB的方程是( C)
A.2y-x-4=0
B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0
D.2x+y-7=0
3、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则( C) A. AB>0,AC>0 B. AB>0,AC<0 C. AB<0,AC>0 D. AB<0,AC<0
(4)在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线：与y轴重合？
yl
O
x
(4) B=0 , A≠0, C=0。
(5)在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线：过原点？
y
l
O
x
(5) C=0，A、B不同时为0。
(6)在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线：与x轴和y轴相交？
截距式： x y 1
ab
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式 都是关于x , y 的二元一次方程，直线与一元 二次方程之间存在什么关系？
点斜式：y - y0 k(x,x0 )
斜截式： y kx b 两点式：y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
一元二次方程
结论：任何一条直线的方程都是关于ｘ,ｙ的二元 一次方程。
(2)每一个关于 x , y 的二元一次方程都表示一 条直线吗？
任意一个关于x，y的一次方程Ax+By+C=0（A， B不同时为零）判断它是否表示一条直线，就看能 否把它化成直线方程的某一种形式。
⑴B≠0时，方程化成
y A x C BB
这是直线的斜截式，
y
l
O
x
(6)A≠0，B≠0 。
笛卡尔简介
勒奈·笛卡尔 Rence Descartes 1596～1650 法国哲学家、物理学家和 数学家。
笛卡尔与“解析几何”
他把几何与代数的优点 结合起来，建立一种“真正 的数学”.笛卡尔的思想核 心是：把几何学的问题归结 成代数形式的问题，用代数 学的方法进行计算、证明， 从而达到最终解决几何问题 的目的.依照这种思想他创 立了我们现在称之为的“解 析几何学”。
教学重难点
重点
➢直线方程的一般式。
难点
➢对直线方程一般式的理解与应用。
思考
(1)平面上任意一条直线都可以用一个关于 x , y 的二元一次方程表示吗？
⑴倾斜角α≠90°，直线的斜率k存在，其方程为yy0=k(x-x0),是关于x,y的二元一次方程。
⑵倾斜角α=90°，直线的斜率k不存在，其方程为 ｘ=ａ，可以看成是关于x,y的二元一次方程（y的 系数为0）。
7、已知直线Ax+By+C=0 ①当B≠0时，斜率是多少？当B=0呢？ 答：B≠0时，k= -A/B；B=0时，斜率不存在。
②系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？ 答：C=0时，表示直线过原点。
8、设直线l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）
y=2m-6根据下列条件确定m的值（1）l在x轴上的
它表示为斜率为 ， A纵截距为 的 直C 线。
B
B
⑵B＝0时，由于A，B不同时为零所以A≠0，此时， Ax+By+C=0可化为 x C， 当C=0时,它表示为与Y轴平A行的直线。 当C=0时它表示为与Y轴重合的直线。
结论：关于 x , y 的二元一次方程，它都表 示一条直线。
思考
直线与二元一次方程具有什么样的关系？
y
. B
.
O
Ax
y
. B
. O
Ax
解：将直线的一般式化为斜截式
y 2x2 3
因此，直线l的斜率 2 ，它在y轴上的截距是2 ， 3
令y=0，可得 x=3, 即直线l在x轴上的截距是3。
总结
求直线的一般式方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）
斜率和截距的方法：
（1）直线的斜率 k A B
新课导入
名称 点斜式 斜截式 两点式
截距式
已知条件
标准方程 适用范围
(x0,y0 ), k y - y0 k(x,x0 ) 有斜率的直线
k,y轴上截距b
(x1,y1 )(x 2 , y 2 )
x轴上截距a Y轴上截距b
y kx b 有斜率的直线
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
由思考（1）和思考（2）可知： 1.直线方程都是关于x,y的二元一次方程； 2.关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。
结论：直线和二元一次方程是一一对应。
我们把关于 x , y 的二元一次方程
Ax+By+C=0
（A，B不同时为零）叫做直线方程的一般式方程， 简称一般式。
探 究 (1)在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线：平行于x轴？
y
l
O
ห้องสมุดไป่ตู้
x
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0。
(2)在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线：平行于y轴？
y
l
O
x
(2) B=0 , A≠0 , C≠0。
(3)在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线：与x轴重合？
y
l
O
x
(3) A=0 , B≠0 ,C=0。
不垂直于x,y 轴的直线
xy 1 ab
不垂直于x,y轴， 不过原点
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式 都有各自的特点，及其适用范围.能不能用一种 统一的形式来表示所有的直线？
点斜式：y - y0 k(x,x0 )
斜截式： y kx b 两点式：y y1 x x1
y2 y1 x2 x1