向量基础知识汇总

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向量基础知识梳理 1．向量：________的量叫向量．既有________，又有 2．向量的几何表示：________．为起点，B为终点的向量记作以A 3．向量的有关概念：．__________）零向量：长度为的向量叫做零向量，记作______（1 的向量叫做单位向量．2）单位向量：长度为______（的向量叫做相等向量．__________且__________（3）相等向量：向量叫做平行向量，也叫共线向量．__________的________（4）平行向量（共线向量）：方向．b，记作________①记法：向量a平行于平行．②规定：零向量与__________

1．向量的加法法则1）三角形法则（

ruuuruuuBC与叫做a＝b，则向量＝，b，在平面内任取一点A，作a，________如图所示，已知非零向量aABruuuruuuBC．上述求两个向量和的作图法则，叫________＝＋＝的和（或和向量），记作__________，即a＋bbAB做向量求和的三角形法则．．______＝______＋0＝________＋a对于零向量与任一向量a的和有）平行四边形法则（2

ruuuuuurOBOA______，三点不共线，以______O，则、A、Bb如图所示，已知两个不共线向量a，，作＝a，＝b b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．＋__________，则对角线上的向量________＝a为邻边作 2．向量加法的运算律．＝______________b1（）交换律：a ＋．＝）＋＋（2（）结合律：abc______________________

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．向量的减法3．，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________＝a＋（－b）（1）定义：a－bruuuuuurOBOA．如图所示．＝________，则向量aO，作－＝a，b＝b（2）作法：在平面内任取一点

（3）几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为

________，uuuruuurOAOB＝________的向量．例如：．－被减向量的终点为________1．向量数乘运算

实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：

当_______时，与a方向相同?（1）|λa|＝__________．（2）λa（a≠0）的方向；?当_______时，与a方向相反?特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________．

2．向量数乘的运算律

（1）λ（μa）＝________．

（2）（λ＋μ）a＝____________．

（3）λ（a＋b）＝____________．

特别地，有（－λ）a＝____________＝________；

λ（a－b）＝____________．

3．共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．

4．向量的线性运算

向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ、1μ，恒有λ（μa±μb）＝__________________．2121．平面向量基本定理

（1）定理：如果e，e是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a，__________21实数λ，λ，使a＝____________________________．21（2）基底：把________的向量e，e叫做表示这一平面内________向量的一组基底．21.

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两向量的夹角与垂直2.

uuuruuurOAOB＝b，则________＝θ（0°＝a，≤θ≤180°），叫做（1）夹角：已知两个__________a和b，作向量a与b的夹角．

①范围：向量a与b的夹角的范围是______________．

②当θ＝0°时，a与b________.

③当θ＝180°时，a与b________.

（2）垂直：如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作______________．

3．平面向量的坐标表示

（1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．（2）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则

________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．

uuurOA＝________，若A（x，y），Bx（3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A（，y），则（x，211uuury），则＝________________________．AB21．平面向量的坐标运算

（1）若a＝（x，y），b＝（x，y），则a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个2112向量相应坐标的和．

（2）若a＝（x，y），b＝（x，y），则a－b＝____________________，即两个向量差的坐标等于这2112两个向量相应坐标的差．

（3）若a＝（x，y），λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

2．两向量共线的坐标表示

设a＝（x，y），b＝（x，y）．2121（1）当a∥b时，有______________________．

（2）当a∥b且xy≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比

例．22uuuruuurPPPP，则P与P、P＝3．若λ三点共线．2112.

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当λ∈________时，P位于线段PP的内部，特别地λ＝1时，P为线段PP的中点；2211当λ∈________时，P位于线段PP的延长线上；21当λ∈________时，P位于线段PP的反向延长线上．211．平面向量数量积

（1）定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量______________叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．

（2）规定：零向量与任一向量的数量积为____．

（3）投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________．

2．数量积的几何意义

a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影______________的乘积．

3．向量数量积的运算律

（1）a·b＝________（交换律）；

（2）（λa）·b＝________＝________（结合律）；

（3）（a＋b）·c＝______________________（分配律）．

1．平面向量数量积的坐标表示

若a＝（x，y），b＝（x，y），则a·b＝_______．即两个向量的数量积等于_____________．21122．两个向量垂直的坐标表示

设两个非零向量a＝（x，y），b＝（x，y），2211则a⊥b?________________．

3．平面向量的模

（1）向量模公式：设a＝（x，y），则|a|＝________________．11uuur（2）两点间距离公式：若A（x，y），B（x，y），则||＝________________________．AB21124．向量的夹角公式

设两非零向量a＝（x，y），b＝（x，y），a与b的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________．2121向量方法在几何中的应用

（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的等价条件：a∥b（b≠0）?________?______________________．

（2）证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?____________?______________．

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（3）求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝_______________＝_____________．（4）求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝_______．.